（基础数学专业论文）l区间值模糊滤子空间及其范畴livf.pdf

己一区间值模糊滤子空间及其范畴l i v f 陈园园 摘要 模糊集的取值不限于 o ，l 】中的数，也可以取区间数因此区间值模 糊集也被定义和研究，这种特殊的模糊集引起了模糊学者的兴趣，并被用于基础 理论研究及模糊控制、模糊信息分析等应用领域本文首先就有中间元的完备d e m o r g a n 代数l 引入了三一区间值模糊集的概念( 它是区间值模糊集的推广) 其 次，在此基础上定义了三一区间值模糊滤子空间，着重研究了它的拓扑性质；引入 并系统研究了l 一区间值模糊滤子空间之间的基本映射( 如连续映射、开映射以及 同胚映射等) 此外，我们定义了h a u s d o r f fl 一区间值模糊滤子空间，研究了这种 t t a u s d o r f f 分离性是否可乘最后，研究了五一区间值模糊滤子空间范畴l i v f 和 h a u s d o r f fl 一区间值模糊滤子空间范畴l i v f h a u s 的性质通过对范畴l i v f 和l i v f h a u s 中的等子、余等子、乘积、余乘积的存在性及构造的研究，证明了 l 一f 和l i v f h a u s 都不是完备范畴，而l i v f 是余完备范畴同时也证明 了l i v f 和l i v f h a u s 都不是弱拓扑范畴，范畴工一i v f 既存在弱拓扑满子范 畴又存在非弱拓扑满子范畴 下面介绍本文的结构和主要内容： 第一章预备知识为了便于以后的讨论，本章给出了与工一区间值模糊集 有关的格论、模糊集和范畴理论的基本概念和结论 第二章l 一区间值模糊滤子空间首先基于l 一区间值模糊集的概念定义并 研究了三一区间值模糊滤子空间以及产生新的工一区间值模糊滤子空间的方法其 次，引入并系统研究了一区间值模糊滤子空间之间的基本映射( 如连续映射、开 映射以及同胚映射等) ，给出了它们的特征刻画定理第三，定义了乘积l 一区间 值模糊滤子空间，给出了一族l 一区间值模糊滤子的积滤子的特征定理最后，定 义了三一区间值模糊滤子空间的h a u s d o r f f 分离性，并且构造了其中序列的l 一区 间值模糊滤子极限，得到了三一区间值模糊滤子空间中的序列若按工一区间值模 爿胡滤子收敛则极限唯一以及h a u s d o r f f 分离性是任意可乘的等一系列较好的结论 第三章三一区问值模糊滤子空间范畴l i v f 较为系统地研究了范畴 l i v f 和l i v f h a u s 中的等子、余等子、乘积、余乘积的存在性及构造，证 明了l i v f 和l i v f h a u s 都不是完备范畴，而l i v f 是余完备范畴最后， 也证明了l i v f 和l i v f h a u s 都不是弱拓扑范畴，范畴l i v f 既存在弱拓扑 满子范畴又存在非弱拓扑满子范畴 关键词完备d em o r g a n 代数；中间元；l 一区间值模糊集；l 一区间值模糊 滤子空问；连续映射；开映射；同胚映射；乘积三一区间值模糊滤子空间；h a u s d o r f f 分离性；等化子；余等化子；乘积；余乘积；完备范畴；弱拓扑范畴 i i 己一i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c ea n d i t sc a t e g o r y 三一l v f c h e ny u a n y u a n a b s t r a c t ：t h ev a l u eo faf u z z ys e tc a nb et a k e nn o to n l ya san u m b e ro ft h e i n t e r v a l o ，l 】，b u ta l s o a sac l o s e di n t e r v a lo ft h ei n t e r v a l 0 l 】t h e r e f o r et h ei n t e r v a l v a l u e df u z z ys e th a sb e e nd e f i n e da n ds t u d i e d m a n yf u z z ym a t h e m a t i c i a n sh a v ep a i d m u c ha t t e n t i o nt ot h i ss p e c i a lf u z z ys e t ，w h i c hh a sb e e nu s e di nt h es t u d yo ff u n d a m e n - t a lt h e o r ya n dt h ef i e l do fa p p l i c a t i o n ，s u c ha sf u z z yc o n t r o l ，f u z z yi n f o r m a t i o na n a l y s i s a n ds oo n 。i nt h i sp a p e r t h ec o n c e p to f 三一i n t e r v a lv a l u e df u z z ys e tf o rac o m p l e t ed e m o r g a na l g e b r aw i t hc e n t r a le l e m e n t si sf i r s ti n t r o d u c e d ，w h i c hi s ag e n e r a l i z a t i o no f i n t e r v a lv a l u e df u z z ys e t t h e nt h ed e n f i n i t i o no fl - i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c ei s g i v e nb a s e do nf o r m e rn o t i o n sa n di t st o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sa r em a i n l yd i s c u s s e d ；t h e b a s i cm a p p i n g sb e t w e e nt w ol - i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c e sa x ei n t r o d u c e da n d s t u d i e di nav e r ys y s t e m a t i cw a y ，s u c ha sc o n t i n u o u sm a p p m g ，o p e nm a p p i n ga n dh o m e - o m o r p h i s m f u r t h e r m o r e ，an e wn o t i o no fh a u s d o f fl i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c e i sd e f i n e ds u c c e s s f u l l ya n dw h e t h e rh a n s d o f f n e s sh a sp r o d u c t so rn o ti sd e e p l ys t u d i e d f i n a l l l y , t h ec a t e g o r yo fl i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c el l v fa n dt h ec a t e g o r y o fh a n s d o f fl i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c el - i v f h a u sa r es t u d i e dc a r e f u l l y b y t h es t u d yo ft h ee x i s t e n c ea n dc o n c r e t ec o n s t r u c t i o no fe q u a l i z e r s ，c o e q u a l i z e r s ，p r o d u c t s ， c o - p r d u c t so ft h ec a t e g o r i e sl i v fa n dl i v f h a u s ，t h ec o n c l u s i o nt h a tn e i t h e ro f t h e mi sc o m p l e 钯，b u t 一f 汀i sc o - c o m p l e t ei sp r o v e d ，a tt h es a m et i m e ，g e tt h e c o n c l u s i o n st h a tn e i t h e ro ft h e mi saw e a kt o p o l o g i c a lc a t e g o r ya n d 一l v fh a sw e a k t o p o l o g i c a lf u l ls u b c a t e g o _ r i e sa sw e l la sn o n - w e a kt o p o l o g i c a lf u l ls u b c a t e g o r i e s t h ef o l l o w i n ga r et h ec o n s t r u c t i o na n dm a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r ： c h a p t e ro n ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v et h eb a s i cc o n c e p t s a n dc o n c l u s i o n so fl a t t i c et h e o r y ，f u z z ys e ta n dc a t e g o r yt h e o r yr a l a t e dt ot h ei n t e r v a l v a l u e df u z z ys e tf o rc o n v i e n c eo fo u rf o l l o w i n gd i s c u s s i o n ， c h a p t e rt w ol i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c e f i r s t l y , b a s e do nt h ec o n c e p to fl i n t e r v a lv a l u e df u z z ys e tt h el i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c ei sd e f i n e d a n dm a n yw a y so fg e n e r a t i o nt oan e wl i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c ea r ed i s c u s s e d ， i i i s e c o n d l y , t h eb a s i cm a p p i n g sb e t w e e nt w ol i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c e sa r ei n t r o - d u c e da n ds t u d i e di nav e r ys y s t e m a t i cw a y ，s u c ha sc o n t i n u o u sm a p p i n g ，o p e nm a p p i n g a n dh o m e o m o r p h i s m ，b e s i d e s ，t h e i rc h a r a c t e r i s t i ct h e o r m s & r eg i v e i l t h i r d y , t h ed e f t n i t i o no fp r o d u c tl i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c ei sg i v e na n dt h ep r o d u c tf i l t e ro fa f a m i l yo fl i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e r si sc h a r a c t i z e d f i n a l l y , i nt h el i n t e r v a lv a l u e d f u z z yf i l t e rs p a c e ，an e wn o t i o no fh a u s d o f f n e s si sd e f i n e da n dt h el i n t e r v a lv a l u e d f u z z yf i l t e rl i m i to ft h es e q u e n c ei sc o n s t r u c t e d c o n s e q u e n t l y , w eg e tas e r i e so fg o o d c o n c l u s i o n st h a tt h el i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rl i m i to ft h es e q u e n c ew i l lb eu n i q u e i fi tc o n v e r g e si nal i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c ea n dh a n s d o f f n e s si sa r b i t r a r i l y p r o d u c t e d c h a p t e rt h r e et h ec a t e g o r yo f l i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c el i v f b yt h es t u d yo ft h ee x i s t e n c ea n dc o n c r e t ec o n s t r u c t i o no fe q u a l i z e r s ，c o e q u a l i z e r s ，p r o d - u c t s ，c o - p r d u c t so ft h ec a t e g o r i e s 工一i v fa n dl i v f h a u s ，t h ec o n c l u s i o nt h a tn e i t h e r o ft h e mi sc o m p l e t e ，b u tl i v fi s c o - c o m p l e t ei sp r o v e d a tt h es a m et i m e ，w eg e t t h ec o n c l u s i o n st h a tn e i t h e ro ft h e mi sw e a kt o p o l o g i c a lc a t e g o r ya n dl i h a sw e a k t o p o l o g i c a lf u l ls u b c a t e g o r i e sa sw e l la sn o n - w e a kt o p o l o g i c a lf u l ls u b c a t e g o r i e s k e y w o r d s ： c o m p l e t ed em o r g a na l g e b r a ；c e n t r a le l e m e n t ；l i n t e r v a lv a l u e d f u z z ys e t ；l i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c e ；c o n t i n u o u sm a p p i n g ；o p e nm a p p i n g ； h o m e o m o r p h i s m ；p r o d u c tl i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e rs p a c e ；h a u s d o f f n e s s ；e q u a l i z e r ； c o e q u a l i z e r ；p r o d u c t ；c o - p r d u c t ；c o m p l e t ec a t e g o r y ；w e a kt o p o l o g i c a lc a t e g o r y i v 学位论文独创性声明 y9 0 0 1 5 7 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成栗。尽我所知，狳文中邑经注裴弓| 翔豹蠹容外，论文中不包含其他个人汪经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范犬学或其它教育机构的学位 溅证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要霓献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：堡璺! ：垫 酲矮； 学位论文使用授权声明 枷i 芏 本人同意研究生在梭攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校厢，发表本论文或使用本论义成果时署名单位仍为陕两师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门泼其它指定机构送交论文的电 子舨稻纸质版；有权将学位论文用于菲赢利目的的少慧复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阙；有权将学位论文的海褰编入有关数据库进行捡索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名；燕咀日期：型 前言 自1 9 6 5 年美国学者l a z a d e h 教授提出模糊集”1 理论以来，在世界各国模糊 学者的共同努力下，模糊理论及其应用研究取得了长足的进步 模糊集的取值不限于 0 ，1 】中的数，也可以取区间数因此区间值模糊集”+ 也被定义和研究，这种特殊的模糊集引起了模糊工作者的兴趣，并被用于理论研究 及模糊控制、模糊信息分析等应用领域文【5 】引入了模糊滤子的概念，文【6 】在此 基础上定义了区间值模糊滤子并讨论了它的简单性质本文将推广和深化文【6 】的 工作 我们知道，经过简单的坐标变换可以把实数轴上的有界闭区间变成【0 ，1 】，因 此研究区间值模糊滤子的拓扑性质是具有典型意义的然而，【0 ，1 毕竟是一个特 殊的f u z z y 格，自然就会想到是否可以将建立在 0 ，1 】上的区间值模糊滤子的概 念推广至一个更为一般的格工上呢? 格l 又需要满足什么条件呢? 我们发现格l 必须是一个完备d em o r g a n 代数( 即有逆序对合对应的完备格) ，而且l 要有一 个“中间元”a ，即满足a = a 的元于是首先我们在有中间元的完备d em o r g a n 代数工上引入了l 一区间值模糊集的概念( 它是区间值模糊集概念的推广) ，进而给 出了三一区间值模糊滤子空间的定义其次，研究了两个三一区间值模糊滤子空间 之间的连续映射、开映射和同胚等概念，并给出特征刻画定理第三，定义并研究 了工一区间值模糊滤子空间的h a u s d o r f f 分离性，并证明了这种分离性是任意可乘 的，这是在经典集合论中无法做到的 范畴论作为数学中的一种工具，对格、代数和拓扑等结构的深入研究有着重 要的意义它不仅对于一种结构相应范畴的研究可以从宏观上给予指导，而且还 可以将一种结构相应范畴的研究方法移植到另一种相近结构相应范畴的研究中 于是本文在最后研究了三一区间值模糊滤子空间范畴三一i v f 的若干性质，为工一 区间值模糊滤子空间结构与其他数学结构之间的联系提供了一种途径，也为它们 的应用寻找了新的空间这就是本文的主要内容 第一章预备知识为了便于以后的讨论，本章给出了与l 一区间值模糊集 有关的格论、模糊集和范畴理论的基本概念和结论 第二章工一区间值模糊滤子空间首先基于l 一区间值模糊集的概念定义并 研究了工一区间值模糊滤子空间以及产生新的l 一区间值模糊滤子空间的方法其 次，引入并系统研究了五一区间值模糊滤子空间之间的基本映射( 如连续映射，开 映射以及同胚映射等) ，给出了它们的特征刻画定理第三，定义了乘积l 一区间 值模糊滤子空间，给出了一族l 一区间值模糊滤子的积滤子的特征定理最后，定 义了三一区间值模糊滤子空间的h a u s d o r f f 分离性，并且构造了其中序列的l 一区 间值模糊滤子极限，得到了l 一区间值模糊滤子空间中的序列若按三一区间值模 糊滤子收敛则极限唯一以及h a u s d o r f f 分离性是任意可积的等一系列较好的结论 第三章l 一区间值模糊滤子空间范畴l i 较为系统地研究了范畴 l i v f 和l i v f h a u s 中的等子、余等子、乘积、余乘积的存在性及构造，证 明了三一f 和l i v f h a u s 都不是完备范畴，而l i v f 是余完备范畴最后， 也证明了l i v f 和l i v f h a u s 都不是弱拓扑范畴，范畴工一i v f 既存在弱拓扑 满子范畴又存在非弱拓扑满子范畴 2 第一章预备知识 l 一区间值模糊滤子空间的概念是建立在三一区间值模糊集基础上的为了便 于以后的讨论，本章主要介绍与l 一区间值模糊集有关的格论、模糊集以及范畴论 方面的基本知识和结论，作为全文的基础 1 1l 一区间值模糊集 本节给出了本文所需要的有关格论和三一区间值模糊集的基本概念和结论， 所提及的概念和命题参见文献 1 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，t 2 定义1 1 1 设工是集，s 是工上的二元关系，若满足 ( 1 ) 自反性：任取o l ，n s ； ( 2 ) 反对称性：任取口，b l ，若a s 以b sa ，则a = 6 ； ( 3 ) 传递性：任取a ，b ，c l ，若。茎b ，b 茎c ，则a c ， 则称为工上的偏序，并称( l ，) 为偏序集 定义1 1 2 设三是偏序集，如果任取a ，b l ，n vb 与o ab 存在，则称l 是 格；若l 关于任意并和任意交封闭，则称三是完备格 定义1 1 _ 3 设三是完备格，：三斗l 是三到自身的映射，如果 ( 1 ) 是对合对应，即y a l ，( a i ) = o ； ( 2 ) 是逆序对应，即o sb 6 ，兰， 则称7 为l 上的逆序对合对应，简称为逆合对应，且称有逆合对应的完备格为完 备d em o r g a n 代数 定义l _ i 4 设工是完备d em o r g a n 代数，：l 三是其上的逆合对应若 n l 满足= n ，则称a 为工的中间元 注1 1 5 完备d em o r g a n 代数未必有中间元；即使有中间元，也未必唯一 例如，在菱形格m 2 中，：l 斗三是三到自身的映射具体定义为0 = 1 ，1 = 0 ，。= ，矿= b ，则是m 2 上的逆合对应显然，m 2 的中间元为n 和b ，不唯一 定义1 16 设l 是格，a ，b l 且o b ，则称l 的形如k ，6 = l ia z 6 ) 的子集为格工的闭区间( 简称l 一区间) 自然地，v a l ，单点集 n ) 也可视为格 l 的闭区间 a ，n i 3 设l 是完备格，0 ，1 分别表示工的最小元和最大元，i 为l 的闭区间的全 体，即i = 【o ，酬la ，b l ，o 6 ) 在i 上定义关系 陋，6 j 兰 c ，d 】当且仅当a sc 且b d ( v 陋，6 j ， c ，d 】i ) 则( i ，) 构成偏序集易见， 0 ，o 】， 1 ，1 】分别是i 的最小元和最大元进一步，我 们可以证明当l 是完备格时( i ，) 也是完备格，且 v 【o c ，b d = e va t ，v6 t ，八k ，m = 【八a t ，八b t ( v h ，吲) 蚝t i ) t e tt e tt e tt e t t e tt e t 定义1 1 7设x 是集合，称i 一集i t i x 为x 上的工一区间值模糊集 ( l i n t e r v a lv a l u e df u z z ys e t ) ，简称为l i v f 集，并记弘( z ) = 【p ( z ) ，芦( 。) ( v x x ) 又称集合 。xl 可( z ) o ) 叫三一f 集p 的承集，记作s u p pp 如果s u p pp 为 单点集，则称p 为x 上的l i v f 点 p 依点式序也构成一个完备格，它的最小元和最大元分别为o x 和i x ( 这里 a x 表示在x 上取常值 a ，a 的i 一集) ，且v 4 i x ，v x x 有 ( vp ) ( z ) = vp ( z ) = 【v 丝( z ) ，v 芦扛) ( 八“) ( z ) = 八肛( z ) = 【八些( z ) ，八f ( z ) 】 # e ap p # e a 当五有逆序对合对应7 时i 和i x 也有逆序对合对应，分别定义为 a ，翻= 【6 ，0 7 】( v 【，6 】i ) 和p ( z ) = 芦( z ) ，丝( z ) 】( v p i 爿，v z x ) 注1 1 8 设x = z l ，z 2 ，z 。) 则芦= ( a l ，h i ， 2 ，幻 ，【a 。，k 】) 表示 x 上的一个l i v f 集满足i t ( z i ) = a i 且- f i ( x i ) = b i ， = 1 ，2 ，n 注1 1 9 设三是完备格，x ，y 是集合则每个映射，：x y 诱导出一个 映射( 称为三一值z a d e h 型函数) ，p ：l x + ，具体定义为， ( a ) ( ) = v 似( z ) i ，( z ) = y ) ( v ae ，v ye y ) ， 的右伴随( 由， 保并知它必存在) 记作，f ，它可 由， ( b ) = bo ，给出( v b l y ) 可以证明，芦和，f 有如下性质： ( 1 ) ， 保并( 从而保序) ；f l - 保并、保交( 从而保序) 、保逆合( 如果l 有逆合 对应) ( 2 ) a 茎y e ( f z ( a ) ) ，s z ( ，f ( b ) ) b ( v a l x , v b l y ) ( 3 ) ， ( a ) b 甘a ，f ( b ) ( v a l “，v b l ) 4 ( 4 ) ，是单射( r e s p ，满射，双射) 铸， 是单射( r e s p ，满射，双射) 注l - 1 1 0 当l 是完备d em o r g a n 代数时，i 、i x 和i y 也是因此注1 1 9 中结论对，：x y 诱导出的映射，r ：p + i y 和，f ：i y + p 仍成立特 别有 在+ ( 芦) ( ) = vp ( z ) = 【v 些( z ) ，v 万( z ) 】( 口i x , v y y ) ，( z ) = 可，( # ) = ，( z ) = 掣 搿一( v ) ( z ) = ( vo ，) ( z ) = 芝( ，( z ) ) ，驴( ，( z ) ) ( b ，v i y ，b 0 x ) 1 2 范畴论的基本概念和结论 本节给出本文所需的范畴论的基本知识和基本结论，所提及的概念和命题参 见文献【1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 定义1 2 1 一个范畴是一个五元组c = ( o ，m ，d o m ，c o d ，o ) 其中 ( 1 ) d 是一个类，其成员称为c 对象； ( 2 ) m 是一个态射类，其成员称为c 态射； ( 3 ) d o m 和c o d 是由州到。的函数，其中d o m ( f ) 称为，的域，c o d ( f ) 称为 ，的上域； ( 4 ) 。为一由 d = ( ，9 ) l ，g m ，d o m ( f ) = c o d ( g ) 到m 的函数，称为c 的结合律( 这里o ( f ，9 ) 通常写作f 。g ，并且我们说fo g 有定 义当且仅当( ，g ) d ) ； 使得以下条件满足 ( 1 ) 匹配条件：若fo g 有定义，则d o m ( fo g ) = d o m ( g ) 且c o d ( o g ) = a o d ( f ) ； ( 2 ) 结合条件：若fog 和ho f 有定义，则ho ( ，o g ) = ( ho ，) o g ； ( 3 ) 单位元存在条件：对任意的c 一对象a ，存在c 一态射e 使得1 d o m ( e ) = a = c o d ( e ) 且 ( a ) 只要，。e 有定义，则，oe = ，； ( b ) 只要eog 有定义，则e 。g = 9 ； ( 4 ) 态射类小性条件：即对任意c - 对象( a ，b ) ，态射类 h o m c ( a ，b ) = ，f ，m ，d o m ( f ) = a ，c o d ( f ) = b ) 5 为一个集 对于给定的范畴c ，用o b ( c ) 记所有c 对象构成的类，用m o r ( c ) 记所有c 态 射构成的类 命题1 2 2 对于范畴中任一对象，其单位元唯一 因此，即可将对象a 唯一的单位元记为1 a 定义1 2 3 一个具体范畴c 是一个序组( p ，“，h o r n ) ，这里 ( 1 ) o 是一个类，其成员称为c 一对象； ( 2 ) 1 4 ：0 十甜是一个集值函数，这里对于任一c 一对象a ，u ( a ) 称为a 的承 载集； ( 3 ) h o r n ：0 0 “是一个集值函数，这里对于任一对c 对象( a ，b ) ， h o m ( a ，b ) 称为以a 为域，以b 为上域的所有c 一态射之集 且满足下列条件： ( 1 ) 对每一对c - 对象( a ，b ) ，h o m ( a ，b ) 是所有由a 到b 的映射之集的一个子 集； ( 2 ) 对任一c - 对象a ，集合u ( a ) 上的恒等映射1 u 是h o m ( a ，a ) 的一个成 员； ( 3 ) 对任一c 一对象的三元组( a ，口，g ) ，l h o m ( a ，b ) 和g h o m ( b ，c ) 推出 g 。，h o m ( a ，g ) 定义1 2 4 范畴8 称为范畴c 的一个子范畴，如果 ( 1 ) o b ( b ) c0 6 ( c ) ； ( 2 ) m o r ( b ) c m o r ( c ) ； ( 3 ) b 中的d a m ，c o d ，o 是c 中相应函数在8 中的限制； ( 4 ) 每个日单位元均为c 单位元 由此定义，我们显然有h o m b ( a ，b ) h o m c ( a ，b ) 定义1 2 5 范畴c 的子范畴8 称为它的满子范畴，如果v a ，b o b ( 1 3 ) ， h o m 8 ( a ，b ) = h o m c ( a ，b ) 定义1 2 6 设c = ( o ，m ，d o m ，c o d ，。) 是一个范畴，则c o p = ( 0 ，m ，d o r a ，c o d ， ) 称为c 的对偶范畴，其中任取，g m o r ( c ) ，有f + g = 9o f 定义1 27c 一态射，：a b 称为c 中的截节或一个c 截节，如果，有左 逆，即存在c 一态射g 使得go f = 1 a 对偶地，如果，有右逆，即存在c 态射9 使 6 得，。9 = 1 b ，称，为c 中的收缩若，既是截节又是收缩，则称，是c 中的一个 同构 定义1 2 8c - 态射，：a b 称为c 中的单态射，如果对于任意c 态射h ，k 使得，。h = ，o k ，均有h = k 对偶地，如果对于任意c 一态射h ，k 使得 o ，= k o ， 均有h = k ，则称，是c 中的满态射 定义1 2 9 一个c 一态射e 称为极端满态射，若满足下列两个条件： ( 1 ) e 是满态射； ( 2 ) ( 极性条件) ：若e = mo ，当，是单态射时，则m 是同构 对偶地，一个c 态射e 称为极端单态射，若满足下列两个条件： ( 1 ) e 是单态射； ( 2 ) ( 极性条件) ：若e = ，o m ，当，是满态射时，则m 是同构 定义1 2 1 0 设，9 ：a b 是c 一态射二元组( e ，e ) 称为，g 在范畴c 中 的一个等化子，若e o b ( c ) 且 ( 1 ) e ：e + a 是c 一态射； ( 2 ) ，0e = 9 。e ； ( 3 ) v e 7 o h ( c ) ，y e 7 ：e i - - - 4a m o r ( c ) 使得，oe t = 9 oe ，则存在唯一的c 态射i ：f e 使得e f = e 。己即下图可换 e ! 一a lb 5f 9 对偶地，设，9 ：a b 是c _ 态射二元组( e ，c ) 称为，1 9 在范畴c 中的一 个余等化子，若c o b ( o ) 且 ( 1 ) e ：b g 是c 一态射 ( 2 ) eo ，= eo9 ( 3 ) v c 7 o b ( c ) ，v e ：b _ c m o r ( c ) 使得e o ，= e 70 9 ，则存在唯一的c 态射e ：c - - - f f c 7 使得e t = i oe 即下图可换 7 a l _ 日一二g 9 定义1 2 1 1 设c 是范畴，：a b 是态射若，是满射，则称b 为a 的 商对象；若，是单射，则称a 为b 的子对象 定义1 2 1 2 一族c 对象( a ) 吲的c 乘积是一个满足下列条件的二元组 ( na i ，( p i ) i e i ) ： ( 1 ) 兀a 为一c 一对象 ( 2 ) 坳i ，巧：兀a 。一山为一c 态射( 称为由a i 到a j 的投射) 4 t 1 t ( 3 ) 对任一二元组( g ( ) 诞j ) ，其中g o h ( e ) ，i ，疗：g 山是c - 态 射，存在唯一的c 态射h ：g + 兀a ，使得，下图可换 对偶地，一族c - 对象( a ) 叫的c 一余乘积是一个满足下列条件的二元组( ( 吼) 州， u a i ) ： ( 1 ) u a i 为一c - 对象 ( 2 ) 巧，q j ：a j - - - - + 1 _ i a i 为一c 一态射( 称为由a j 到h a i 的入射) t t l t j ( 3 ) 对任一二元组( ( g i ) i j ，e ) ，其中g o h ( c ) ，w i ，厶：a j c 是c 态 射，存在唯一的g 一态射9 ：u a i c ，使得i ，下图可换 山 l ua 。 i c i 定义1 2 1 3 设c 和_ d 是范畴，一个由c 到口的函子为一个三元组( c ，f d ) 8 一e l g 其中f 为一出m o r ( c ) 到m o r ( d ) 的映射且满足 ( 1 ) f 保单位元； ( 2 ) f 保复合运算 函子也经常表示为f ：c 口 定义1 2 1 4 设j 和c 是范畴，d ：i c 是函子，c 中二元组( l ，( k ) i e o b ( n ) 如果满足 ( 1 ) 任取i o h ( i ) ，“：l - - - - 4 d ( i ) 为c 中的态射 ( 2 ) 任取me m o r ( i ) ：i j ，下图可换： d ( j ) 则称c 中二元组( l ( o h ( o ) 是关于函子d 的自然源泉 定义1 2 1 5 设d ：j c 是函子，则关于d 的自然源泉( l ，( z 。) o b o r ) ) 称为d 的一个极限，如果对于任一自然源泉( 三，( ) ；。( 巾，存在唯一的c - 态射h ：三+ 工 使得对于任一j o h ( z ) ，下图可换： 三 叫 五 o ( j ) 对偶地可定义余极限 定义1 2 1 6 设j 和c 是范畴，如果对任何函子d ：，斗c 有极限，则称范畴 c 是l 完备的如果对任何小范畴i ，c 是j 完备的，则称范畴c 是完备的 定理1 2 1 7 对任意范畴c ，下列条件等价： ( 1 ) c 是完备的； ( 2 ) c 有乘积和拉回； ( 3 ) c 有乘积和逆象； ( 4 ) c 有乘积和等化子； ( 5 ) c 有乘积和有限交； ( 6 ) c 是有限完备的且有逆极限 对偶地，可定义范畴的余完备性及其等价条件 9 式 定义1 2 1 8 个具体范畴4 称为弱拓扑范畴，如果它满足以下条件： ( 1 ) 初始结构的存在性：对任意集合x ，对任意一族a - 对象 ( 玛，白) b e j ，对 任意一族映射舫：x x j b 卧都存在唯一的徭对象( x ，f ) 使得( x ，) 关于 ( x ，乃，( 玛，白) ，j ) 是初始的，即对于任意a 对象( y ) ，g ：( r q ) 斗( x ，) 是a 态射当且仅当w 正f jo g ：( y q ) ( x j ，6 ) 是a 态射； ( 2 ) 纤维小性：对任意集合x ，x 上的a 纤维( 即x 上的所有a 结构) 是一 个集合 ( 3 ) a - 态射，：( x ，) + ( y q ) 是满态射( r e s p ，单态射) 当且仅当，：x + y 是满射( r e s p ，单射) 注1 2 1 9 拓扑范畴都是弱拓扑范畴，反之不然 定理1 2 2 0 弱拓扑范畴都是完备，余完备，良幂，余良幂范畴 1 0 第二章三二区间值模糊滤子空间 上一章中，我们介绍了l 一区间值模糊集的概念在此基础之上，本章我们首 先定义并研究了工一区间值模糊滤子空间以及产生新的工一区间值模糊滤子空间 的几种方法其次，作为三一区间值模糊滤子空间之间的基本映射，我们引入并系 统研究了连续映射、开映射以及同胚等概念，它们中既有类似于拓扑学的方面，又 存在许多不同之处，本章中分别以例子给出第三，我们仿照拓扑学的做法，定义 了乘积工一区间值模糊滤子空间，给出了一族l 一区间值模糊滤子的积滤子的特征 定理最后，我们定义了l 一区间值模糊滤子空间的h a u s d o r f f 分离性，并证明了 h a u s d o d f 分离性是任意可积的 如果没有特别说明，以下总假设l 是有中间元的完备d em o r g a n 代数，既为 工的中间元的全体，x ，y 是集合 2 1l 一区间值模糊滤子空间 定义2 1 1 设，i x ，如果它满足 ( 1 ) 0 x 圣5 v ； ( 2 ) 卢，p e 芦爿p a 5 c ； ( 3 ) p ，且p j ， 则称，为x 上的三一区间值模糊滤子( l i n t e r v a lv a l u e df u z z yf i l t e r ) ，简称为l i v f 滤子，且称( x ，) 为l i v f 滤子空间 定义2 1 2 设b i 。满足 ( 1 ) o x 隹3 ； ( 2 ) 芦，b j 存在7e 廖，使得7 p a 则称8 为x 上的l 一区间值模糊滤子基，简称为l i v f 滤子基 可以证明= pei xi 存在1 b ，使得p 订是x 上的l - i v f 滤子此 时称，冶是由嚣生成的l i v f 滤子，且称8 是l i v f 滤子，8 的基 定义2 1 3 如果s i x 中元素的有限交的全体可以构成某个l i v f 滤子， 的基层，则称s 为l i v f 滤子，的子基，且称日是由s 生成的l i v f 滤子基 定理2 1 4 ( 1 ) 设a 是x 上的一族l i v f 滤子，则 ( a ) n ，是x 上的l i v f 滤子； ，且 1 1 ( b ) u ，不必是x 上的l i v f 滤子，若4 是上定向的可证u ，是 ，ea，4 x 上的l - i v f 滤子 ( 2 ) 设廖1 ，玩是x 上的l i v f 滤子基，谐。，锄是由它们分别生成的l