（基础数学专业论文）第二类cartanhartogs域上的极值问题.pdf

摘要 本文讨论了第二类c a r t a n h a r t o g s 域与单位超球间的极值问题，其主要结果 是得到了从第二类c a r t a n - h a r t o g s 域到单位超球的c a r a t h 6 0 d o r y 极值映照，并得 到了c a r a t h 6 0 d o r y 极值和极值距离的计算公式。其中第二类c a r t a n - h a r t o g s 域的 形式如下： ( ；p ；j f ) ：= 州c ，z 瓣盯( 芦) ：| i 枷1 1 2 耳 0 其中m = d 掣 接着，根据在不同情况下y n ( n ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球的具体形式 得到了以下结论t 当0 p 时，以下映照是从域m ( v ，p ，k ) 到单位超球b ”+ ”的c a r a t h 6 0 d o r y 极值映照： 其中 ，：，( ，p ，k ) + b + m ，l ( ( ，z ) ) = 瓦砷f t = 1 ，2 ，一，v ( ( ，z ) ) = 佤。“= 1 ，2 ，一，p ；u = 1 ，2 ，一，p ；u 咖= 盟票掣 一 2 n + 0 + 1 ) bo 2 2 。( 。2 。n 。+ p 2 + p ) k 当k p 时，c a r a t h 6 0 d o r y 极值为 k c 螂p 脚，= 咩鞯等葶 m j ( ；p ；k ) 与单位超球b + 村的极值距离是 p ( 巧，( ，p ik ，、，b u + m ) = 砺1 1 0 8 面k p k p ( 两p + x ) 砸( 2 n 而+ 面p 2 + 再p ) 可2 n k 而+ k p 丽( f i i 而) 关键词：极值问题c a r t a n - h a r t o g s 域最小外切h e r m i t i a n 椭球 摘要 i i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ee x t r e m a lp r o b l e mb e t w e e nt h es e c o n dt y p eo fc a f t a n - h a r t o g sd o m a i na n dt h eu n i th y p e r b a l l w eg e tt h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a lm a p - p i n g sf r o mt h es e c o n dt y p co fc a f t a n - h a r t o g sd o m a i nt ot h eu n i th y p e r b m l ，a n dt h e e x p l i c i tf o r m u l a sf o rc o m p u t i n gt h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a lv a l u e sa n dt h ee x t r e m a l d i s t a n c e s h e r ei st h ef o r mo ft h es e c o n dt y p eo fc a r t a n h a r t o g sd o m a i n ： m ( ；p ；j f ) ：= 训c ，z 瓣) ：0 t c j l l 2 k 0 ， w h e r e m = 掣 t h e na c c o r d i n gt ot h ec o n c r e t ef o r mo ft h em i n i m a lc i r c u m s c r i b e dh e r m i t i a n e l l i p s o i do fh r n ；p ；k ) i nd i f f e r e n ts i t u a t i o n s ，w eg e tt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： w h e n0 p ，t h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a lv a l u ei s k c 珊m 胪协群鞯等筹 a n dt h ee x t r e m a ld i s t a n c eb e t w e e n ，( ；p ；k ) a n dt h eu n i th y p e r b a l lb + 肘i s 删，b 州，= 护1s 斋篙黯麓鬻 8 6 8 9 7 7 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：走之听 日期：2 剜年岁月日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 ， 解密后适用本规定。 黜姗繇挪 嗍刎够月日 序言 在单复变函数论中，r i e m a n n 映射定理具有重要的理论及应用意义，它解决 了复平面上单连通区域的分类问题找到 s u pi ，7 ( 幻) l ( 2 , o n ) ，膏( 1 ) 这样的极值问题中的极值函数是证明r i e m a n n 映射定理的关键步骤其中， n 是c 上至少有两个边界点的连通区域， ，是把n 映到单位圆盘的全纯函数且 l ，( ：) l 1 如q ) ，f ( q ) 表示所有这样的函数的集合。在多复变函数论中，r i e m a n n 映射定理不再成立，但类似的极值问题仍有重要的研究价值t 设m 是p 中的一 个域，q 是m 中的个点，我们把这样的域点对( 川，口) 称为。点域。，且记( m ，口) 为m 。对于两个点域m 。和m 。，记h o i ( a a 。 么) 为由所有将m 映入 厂，且将 点q l 映为点啦的全纯映照所组成的集合对于一个映照，h 0 1 ( m 。毛) ，如果 成立 d e t d ) i = s u p id e t d g ( p ) i ：g h o l ( m m 。) ) 则称，为c a r a t h 6 0 d o r y 极值映照，而称id e t d ，( p ) i 为c a r a t h 6 0 d o r y 极值，且分别简 称为c - 极值映照与。极值这个经典的极值问题可以看作是复平面上的s c h w a 弓f 理在高维的个推广鹈 解决c n 中的两个域之间的c a r a t h 6 0 d o r y 极值问题，其核心是要找到这两个 域问的c 一极值映照和。极值的计算公式+c a r a t h 6 0 d o r y 首先研究了这个问题， 并于1 9 3 2 年得到了从多圆柱到单位超球伊的。极值 1 1 k u b o t a 利用级数展开 的方法得到了从c a r t a n 域到单位超球b n 的c - 极值【2 1 ，并进一步对所有有界对称 域上的这类问题做了讨论 3 1 m ad a o w e i 给出了复椭球与b “问的g 极值映照与 c 一极值f 6 】 根据c 一极值映照可以定义两个“点域”间的极值距离： p m 。) = 一1 0 9 1 d e t d ( o0 f ) ( q 1 ) 2 序盲 其中m m 。是c n 中的两个“点域”，h o i ( m q ， 名) ，g h o l 0 乞，m q 。) 均 为c - 极值映照 m ad a - o w e i 得到了复椭球与b “| 6 1 ，强拟凸域与b “i s l 间的极值距离在估计 上的域的k o b a y a s h i 度量，c a r a t h 6 0 d o r y 度量，s i b o n y 度量和e i s c n m a n 体积形 式的研究中，极值距离是一个有力的工具 1 9 9 8 年，殷慰萍和g r o o s 构造了四类域称为c a r t a n h a r t o g s 域【7 1 ，其中第二 类c a r t a n h a r t o g s 域为： 巧j ( ；p ；k ) ：= ( c n , z 耽j ( p ) ：i i | | 2 耳 d e t ( i z 男) ) 其中字母与符号的意义见摘要c a r t a n - h a r t o g s 域既不是齐性域也不是r e i n h a r d t 域 苏简兵把经典的极值问题推广到这类域上，给出了第一类c a r t a n - h a r t o g s 域到 单位超球伊的。极值映照和( 3 - 极值及当k 1 时这两个域间的极值距离【8 】本 文讨论了第= 类c a r t a n - h a r t o g s 域与单位超球问的c a r a t h 6 0 d o r y 极值同题，第一 章叙述了本文所要用到的重要定义与定理，第二，三章分情况讨论了第二类c a r t a n - h a r t o g s 域的最小外切h e r m i t i a n 椭球的形式，第四章根据第三章的结果及第一章 中给出的定理得到了从第二类c a r t a n - h a r t o g s 域到单位超球的g 极值映照，o 极值和极值距离的计算公式一般情况下，g 极值映照并不是唯一的，我们只是 求出其中的一个线性映照 第一章预备知识 对于两个点域m 。，如c c “，设 厶。( 朋。 k ) = s u p ld e t d g ( p ) | ：g h o l ( m 。m ，) ) ， 显然， 芦。 乞) = 一l o g 【厶。( m 。 乞) 矗一( m ：，m a 。) 】 如果m ，都包含原点0 ，我们记 如。( m ，= ( m 。，虬) ，p ( m ，) = p ( m 。，m ) 命题l i 6 1 如果d 1 ，d 2 是c “中的两个b a l a n c e d 域( 即当c c ，l e i 1 ， 而z d ；“= 1 ，2 ) 时，c z d t ) ，若d 2 是一个全纯域，贝d 对任一全纯映照 ，h o l ( ( d 1 ，o ) ，( d 2 ，o ) ) ，必有d ，( o ) ( d 1 ) cd 2 证明：见参考文献 6 】 由命题1 ， 靠。( d l ，d 2 ) = s u p i d e t i i ：z 复线性映照，l ( d 1 ) c d 2 ) 定义2 6 1 一个h e r m i t ia f n 椭球是指如下形式的域； z c “：q i 勺氟 1 ) j ，= 1 这里( q i ) 是一个正定的h e r m i t i a n 矩阵 n 命题3 h e r m i t i a n 椭球s = 2 ：ea j i z j g k 0 ，且c z = ( c z ) ，从而c z 跄仃( p ) 进一步得到 d e t ( i z z ) d e t ( i c z - a z ) ， 从而 l j c 们1 1 2 k i i 叫j | 2 k d e t ( i z 动d e t ( i c z i 牙) 综上所述，( ；纠k ) 是b a l a n c e d 域 第二章y i i ( n ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球的形式 引理8 1 “设a ，b 是两个n 阶正定的h e r m i t i a n 矩阵，如果 ( z 9 ：z a 2 。 1 ) = 彳e “：z b - 2 。 0 i i e n t 对于( 叫，z ) y h ( n ，p ，k ) ，记 = ( u l ，w 2 ，一， ) ，z = ( i 篱) 1 岛， 虢( p ) ，m 女如说明中的定义 我们考虑如下的映照： 1 矗：y i i ( n ，p ，k ) - - - - 4y h ( n ，p ，k ) 7 = l ， t 如”一q w 6 h w 66 = 1 ，1 1 ，7 十1 ， zh ： 8 第二章 m d n ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球的形式 2 乳。：k ( ，p ，k ) - + y ，f ( ，p ，k ) 1 “ u u h w ”d ”w 66 = l ，且j “，u zhz 3 聊：l ( g ，p ，k ) 一巧，( ，p ，k ) r = 1 ，一，p z z 【a x a ，弛 a ，= ，一2 k ，其中j 为p 阶单位阵，。为第m 行第n 列的元素为1 ，其余元素 为0 的p 阶矩阵 a ，a k 表示方阵a 的对称直乘积1 4 设a = ( ) ，。，把指标组( 汀) ( c f ) ，( d w ) ( d u ) 均按确定的次序( 1 ，1 ) ，( 1 ，2 ) ，( 1 ，p ) ，( 2 ，2 ) ，( 2 ，p ) ，白，p ) 排列， a a 】。的第( c t ) 行( 如) 列的元素p ( 。) ( 由) 定义为 其中 日( c r ) ( 血) = p e r p 凼( 8 + 口r d ) ，c 下，d u f 老 阽2 1 【1 1 4 ，口：y h ( n ，p ，k ) 一i ( g ，p ，k ) 其中 c t 1 a 口p zh z a 。口x a 。z ： a o b = i i 。：一i o b 七i q b + i 陆 第= 章 h ( ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球的形式 显然，这些映射岛，。，町r ，口g l ( n + m ，c ) ： 岛( 碍，) = 坼，( 7 = 1 ，一，) ，矗。( y n ) = ( 1 “) ，聃( h ，) = m f ( 7 = 1 ，t ，j ，) ，臻韬( y 0 ) = 碍，( 1 。 p p ) 设s ( a ，b ) 为域h ，的最小外切h e r m i t i a n 椭球，由命题5 及h j 的最小外 切h e r m i t i a n 椭球的唯一性，矗( s ( o ，6 ) ) = s ( a ，b ) n = l ，) ，矗。( s ( n ，6 ) ) = s ( ，b ) ( 1 “ u ) ，町，( s ( o ，6 ) ) = s ( a ，b ) ( r = l ，- ，p ) ，卵。口( s ( o ，6 ) ) = s ( a ，b ) ( 1 o 卢p ) 设s ( a ，b ) 的形式为： 其中 s c 。，。，= t c w ，z ，c 十掰：c ”，z ，( ；三) c 面，萄。 0 引理1 0 “设a 1 ，0 2 ，n 。一1 ，并且它们中的所有非零数的符号相同，则 ( 1 + 0 1 ) ( 14 - g 2 ) ( 14 - a 。) 14 - - ( a l4 - a 2 + + a , o 、1， _ 篁曼丛塑坐迪墅世坠型塑堕壁塑塑 “ 命题1 1 当1 4 1 时，单位超球b v + ”是( m 弘片) 的最大内切球 证明：首先证明b “+ ”cy r ( _ v ，p ，k ) 我们需要证明当v ( ，z ) o b ”+ ”即枷j | 2 + t r ( z 动= l 时陋为p 阶对称矩 阵) ，一z z 0 ，且| | 叫j j 2 k d e t ( i z 牙) ， 由于对任意p 阶对称矩阵z ，都存在酉矩阵u ，使得 其中a 见( ) 式因此 z = u o a u t r ( z 虿) = t r u 。五2 功= t r ( 驴u 。j 【2 ) = 砖+ + 霹 由酽+ t r ( 历) = l t 有t r ( z z ) 1 ，推出1 跫憨霹0 ，进而 i z i 0 由i l 甜1 1 2 = 1 一( 工i + + 五；) ，则当k 1 时，由引理1 0 i w l l 2 耳l l ”l i 2 = 1 一( 碍+ + 鄙) - 5 o ，b 0 ) ，则0 o 从而 0 髦定p l 嚣 1 那么有 t r ( z z ) = t r ( u 。五2 - ) = i ：+ + 霹 0 ) ，则 口i l 0 2 0 1 1 协0 2 + b t r ( z z - - ) 1 ， b t r ( z z ) o l l w l l 2 + b t r ( z 乏) 1 ， 所以0 1 - 设a 。 o ，1 ) ，使得9 ( a ，( h ) 2 m 刨a 川xg t 。，时( a ) 此时取与充分性证明中相同的 ( o ，z o ) ，贝4 1 w o f l 2 = d e t ( i z o z o ) ，即( o ，z o ) a h ，( ，p ，自) 此时n l l u o 俨+ b t r ( z o z o ) = g 【。6 ) ( a o ) 1 ，这与y i i ( n ，p ，k ) cs ( a ，b ) 矛盾 ( 2 ) 假设m a x l i g 、。 1 - 取( 面，z ) o y i i ( n , p ，k ) n o s ( a ，6 ) ，即i i 西0 2 ”= d e t ( i 一2 2 ) ，且n 0 面0 2 + 6 t r ( 牙牙) = 1 r 但是口2 + b t r ( 船) ) ( a ) m a x l l g ( 、n 州 l ，矛盾 由( 1 ) ( 2 ) 必要性得证 如果y u ( n ，p ，k ) cs ( a ，6 ) ，且y n ( n ，p ，k ) 与s ( a ，b ) 相切，贝s j , - i 称s ( a ，b ) 是 m j ( v ，p ，k ) 的外切域 以下讨论m ，( ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球在不同情况下的具体形式t ( i )k = p 引理1 4 当k = p 时。s ( a ，b ) 是巧( ，p ，k ) 的外切域当且叙当b = ；1 ，0 口1 ，或者n = 1 ，0 b ；1 证明；当k = p ，9 ( n ，6 ) ( a ) = a ( 1 一a ) + 切a = a + ( b p n ) a 【0 ，1 1 ) ( 1 ) 0 b p ，a = 1 时9 缸，”( a ) 取到最大值， 从而b = ；，0 0 ，a = 0 时9 ( 。，6 ) ( a ) 取到最大值， 而0 b ：，口= 1 此时批m 1 0 1 j a xg ：、a ，删= b p 2 1 ， 此时 m e i a 。x ，1 i g f ，a ，砷( a ) 2n = 1 ，从 由引理1 2 ，1 3 知结论成立 定理1 5 当k = p 时，巧，( ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球是 f ( 伽，：) c u + m lm 2 + ；11 硎2 0 又由命题3 ，h e r m i t i a n 椭球s ( o ，b ) 的体积是 v ( s ( a ，6 ) ) = a - n b 一吖u v + m 崮此，由引理1 4 。：蜀翌；，哪( 删= y ( s ( ，三p 1 1 = 帕；6 = ；，o p 引理1 6 当k p ，s ( o ，b ) 是y u ( n ，p ，k ) 的外切域当且仅当b p + b ( k p ) ( 景) 尚= 1 ，0 0 证明；当k p ，轧6 ) ( a ) = n ( 1 一 ) 嚣+ 幼an 【0 ，1 ) 容易验证g ( 讪) ( a ) 【0 ，1 ) 是连续函数，且当a 1 时可微： ) ( a ) = 一詈( 1 一a ) 磷+ 印( a 1 ) 令g ) ( a ) = o ，解得 枷，一( 去) 南 ( 1 ) 当a b k 0 ，a o = 0 由k p ，一1 6 p ，所以 m l o ，1 j a x 9 r 、a ，”( a ) 2 “ ( 2 ) 当0 p ，b ( k p ) ( 雨a ) 耳彳 0 ，则9 ( 鼬) ( 凡) b p 所以 川m a x 州( a ) 铷础州= 幼+ 6 ( 一p ) ( 面a ) 焉 因此，由引理1 2 ，1 3 知结论成立 定理1 7 ，当k p ，h j ( ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球是 卜肘：鲤裂蔫迹忡旷+ 两2 n k + 怕o , + 删i ) k 砂胪 - 证明：因为y h ( n ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球的体积是 v ( s ( a 扣) ) = a - n b m u + m ， 则求y n ( n ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球需考虑如下函数的最小值 t ( 8 ，b ) ：= a - n b 一 ( 1 ) 当0 0 ，且由限制条件幼+ 6 一p ) ( 壶) 筛= 1 ，知功 0 ，当0 b b o 时，t ) 0 ，t ( b ) 单调递减；当b o 0 ，考虑如下函数的最小值 此时，0 0 ) 的单调性t ，( 。) ：( 1 + 。) ( + l ( 篓二二! 掣) ( 。 o ) ； 其中令9 ( 。) = $ 一l o g ( 1 - i - 。) 扛 o ) ，因为矿( 立) = 1 一南 0 ，且9 ( o ) = 0 ， 得到g ( z ) 0 ( z o ) ，即z l o g ( 1 + 。) 从而，( z ) 0 ( 2 7 o ) ，即f ( x ) 在f 0 ，+ c o ) 单调递增 由于掣 掣，精掰 p ，= a o ，b = b o 时，y ( s ( ，6 ) ) 达到最，j 、；s ( a o ，b o ) = ( ，= ) c ”+ m ：l l w l l 2 + b o l l z l l 2 1 ) 是y i i ( n ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球 ( i i i ) 0 k p 引理1 8 当0 k p 时，s ( a ，b ) 是m j ( ，p 】k ) 的外切域当且仅当幼= 1 ， 0 0 第三章 y h ( n ；p ；k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球 让明： 鲰，6 ) ( a ) = a ( 1 一a ) 嚣+ 助a ， ) ( a ) = 一等( 1 一a ) 警+ b p ( a 1 ) 令9 ；。，( a ) = 0 ，解得= 1 一( 警) 淼 ( 1 ) 当0 o b k 时，站，b ) ( 柚0 ( a 【o ，1 ) ) ，则g ( n 6 ) ( a ) 在【o ，1 ) 单调递 增，且当a 【0 ，1 ) ，g r 。( a ) g f 。( 1 ) 所以 【0 m & x l 】吣2g ( 州1 ) = 幼 ( 2 ) 当n b k 时，0 知 1 ，当a o ，a o 】，9 b ) ( a ) 0 ，此时9 ( a ) ( a ) 单调 递减，当入i a o ，1 ) ，9 ) ( a ) 0 ，此时g ( n ) ( ) 单调递增，则g ( 。j ) ( a ) 在a o 处取极 小值因此 i j 譬黪g ( 。，6 ) ( a ) = m “ 9 ( 。砷( o ) ，g 。 ) ( 1 ) ) = m “和，印) 当6 p ， m 删a xg ( “a ) 5 帅) ( 0 ) = 。； 当b k 。b p ， m 圳a xg ( 洲a ) 2 ( 1 ) 2 蛔 所以，当0 p ，综合( 1 ) ，( 2 ) 由引理1 3 ，当0 0 时，s ( o ，6 ) 是y h ( n , p ，k ) 的外切域当且仅当a = 1 定理1 9 当0 k p 时，磁j ( ，p ，k ) 的最小外切h e r m i t i a a 榷球是 沁。) ec 】v + m ：2 + 渺i i ) 证明；由命题3 ，h e r m i t i a n 椭球s ( a ，6 ) = ( ，z ) c + 肼：a m 2 + b l i z l l 2 1 ) 的体积是 y ( s ( o ，6 ) ) = a 一6 一m 0 2 n + m 则 却：m 。，。i 。n 。；。v ( sc 。，= y ( s ( ，；) ) = p m c g n + m 2 0 第三章h ( ；p ；) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球 。：器骢；：y ( s ( 。，6 ) ) = y ( s ( ，1 1 1 = p m c d n + m p d = l ，o 峰： 因此，当。= 1 ，52 ；1 时，s 0 ，；) = 似，z ) c + ”：1 1 w l l 2 + 洲z i l 2 1 是 0 k p 时h ，( ，p ，k j 的最小外切h c r m i t i a n 椭球 综合( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ，且由命题6 ，当0 k p 时，s ( 1 ，) = ( m ，2 ) c ”+ 吖：l j 训j 2 + ：l l z l l 2 p ，s ( a o ，b o ) = ( ，z ) c ”+ m ：口o i i 1 1 2 + b o i i zj 1 2 1 ) ( a o ，b o 见命题1 7 中 ( i i ) ，( i i i ) 式) 是h ，( ，p ，k ) 唯一的最小外切h e r m i t i a n 椭球 第四章极值( 映照) 问题 定理2 0 当0 k p 时，以下映照是从域y i i ( n ，p ，k ) 到单位超球b “+ ” 的c 一极值映照： f ：h j ( ，p ，k ) b ”+ ” ( ( ，z ) ) = u 3 i i = 1 ，2 ，- ， ( ( w ，z ) ) = ( ；) 。u = 1 ，2 ，i p j ”= 1 ，2 ，p ；u 证明：因为域y i i ( n ，p ，k ) 和b ”+ ”都是b a l a n c e d 全纯域，则由命题1 ，vf h o l ( 圻j ( ，p ，k ) ，b ”+ ”) ，满足d l ( o ) ( b j ( | ，p ，k ) ) cb ”+ ”，所以从h ( ，p ，k ) 到b ”+ ”的c 一极值映照，是如下极值问题的一个解： s u p id e t d l ( 0 ) | ：d l ( o ) 是复线性映照，d l ( 0 ) ( h ，( ，p ，k ) ) cb ”+ m ) 由命题1 9 ，当0 k p 时，m ，( p ，k ) 唯一的最小外切h