（基础数学专业论文）以p（2m1）为极大子群的2群分类.pdf

2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 首都师范大学位论文原创性声明 2 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经 发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 日期：口芗年“2 - 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 忿文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用 于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容 骗入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文 仨解密后适用本规定 学位论文作者签名 赫 日期： 6 7 年 6 月j 一日 摘要 在文献【3 】中b e r k o v i c h 提出了一个问题；能否分类这样的有限p 一群g ，g 包 含一个极大子群是极小非交换群作为解决这个问题的第一步，文献【1 】中李天则讨 论了极小非交换群的自同构群所谓极小非交换群g 是指g 的每个真子群都是交换 群，但g 本身不是交换群本文在文献i 的基础上，给出以一类特殊极小非交换群 尸= p ( 2 ，m ，1 ) 为极大子群的2 一群的完全分类，其中p = p ( 2 ，m ，1 ) = ( z ，可l z 2 ”= y 2 = 1 ，f 一1 x y = x l + 2 m - i ) ，m 2 定理：设g = ( p z ) 是以p = p ( 2 ，m ，1 ) ，m 2 为极大子群的2 一群，其中2 g p 则g 有下列分类： 情形：当m 4 ，o ( z ) = 2 ： g = a l ( o ) ，a 2 ( o ) ，c 3 ( o ) ，a 4 ( o ) ，a s ( o ) ，a d o ) ，a t ( o ) ，g 8 ( o ) 情形2 j 当m 4 ，o ( z ) 2 j 情形2 1 ：当z 2 = z 2 ? 情形2 1 1 ：当z 2 = z 2 1 jg = g 4 ( 2 ”一2 ) ； 情形2 1 2 j 当z 2 = z “，k 为任意奇数：g = g 7 ( 1 ) 情形2 2 ：当z 2 = z 2 “一1 jg = g 9 ( 2 ”一2 ) ，g l o ( 2 一2 ) ，g 1 l ( 2 ”一2 ) 情形舅当m = 3 ，o ( z ) = 2 ：g = a l ( o ) ，g 2 ( o ) ，c 3 ( o ) ，c 5 ( o ) ，a d o ) ，a s ( o ) 情形4 j 当m = 3 ，z 2 = x 2 k j 情形4 17 当z 2 = z 4 7g = g 3 ( 2 ) ； 情形4 ，2 ：当z 2 = x 2 jg = g 8 ( 1 ) 情形5 ：当m = 2 ，o ( z ) = 2 jg = g 1 ( 0 ) ，g 5 ( 0 ) ，g 1 7 ( 0 ) 情形毋当m = 2 ，z 2 = 2 9 ：g = g 1 9 ( 1 ) 约定：1 文中出现的偶数、奇数均为正整数 2 、为了能简明的书写并证明定理，所需群如下： ( 1 ) g 1 ( 女) = ( p z l x 。= 。，y 。= y ，z 2 = z 2 ) ； ( 2 ) g 2 ( ) = ( p ，z f = z 一，y 。= y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 3 ) g 3 ( ) = ( p z l x 2 = x y ，y 。= y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 4 ) g 4 ( 后) = ( p ，z 垆= x 2 “- 2 - 1 y ，y ky ，z 2 = z 2 ) ； ( 5 ) g 5 ( 后) = ( p z l x 。= 茹，y 。= x 2 m - 1 y ，z 2 = 。2 ) ； ( 6 ) g 6 ( 七) = ( p z l x kx 2 1 。1 ，y 。= x 2 m - 1 y ，z 2 = z 2 ) 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 ( 7 ) g d k ) = ( p ，z i z 。= x 2 “一。+ 1 y ，可。= 。2 “一1 y ，= x 2 k ) ； ( 8 ) g s ( k ) = ( p z l x 2 = x - l y ，y 2 = x 2 m - 1 y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 9 ) g g ( k ) = ( p z l x 。= z 2 2 + 1 ，y ky ，z 2 = x 2 k y ) ； ( 1 0 ) g l o ( k ) = ( p z 妒= z 2 一。1 ，y 。= ，z 2 = x 2 k f ) ； ( 1 1 ) g n ( k ) = ( p ，z z 。= 。2 “一2 + 1 ，y 2 = ，z 2 = x 2 k 鲈) ； ( 1 2 ) g 1 2 ( k ) = p z f z 。= x - l y ，y 2 = y ，。2 = z 2 。剪) ； ( 1 3 ) g 1 3 ( k ) = ( 尸，z l x k 七2 2 + 1 ，y 。= x 2 m - 1 9 ，z 2 = x 2 k g ) ； ( 1 4 ) g 1 4 ( k ) = z l x kz 2 2 - 1 ，旷= z 2 一y ，2 2 = x 2 k ) ； ( 1 5 ) a l s ( k ) = ( p ，z l x 2 = 鲫，旷= x t n y ，z 2 = x 2 k 眈 ( 1 6 ) g 1 8 ( k ) = ( p ，z l x 。= x 2 m - 2 - - 1 y ，y 。= x 2 m - i y ，z 2 = z 2 k y ) ； ( 1 7 ) g l t ( k ) = ( p ，z l x 。= 扩1 ，y 。= x - - l y ，z 2 = x 2 k ； ( 1 8 ) g l s ( k ) = ( p z t x 。= z ，y 。= x y ，z 2 = x 2 k ； ( 1 9 ) g 1 9 ( k ) = ( p z l 矿= 。，y 2 = x y ，z 2 = x 2 k - 1 ) ； ( 2 0 ) g 2 0 ( k ) = ( 尸，zj = z ，y 2 = x 3 y ，z 2 = x 2 k - 1 ) ； ( 2 1 ) g 1 ，l ( k ) = ( _ p ，。i z 。= 。2 饥一1 + 1 ，2 = y ，z 2 = z 2 ) ； ( 2 2 ) g 2 ，l ( k ) = ( p ，z l x 。= 茁，y 。= x 2 m - 1 y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 3 ) g 2 ，2 ( k ) = ( p iz f z 2 = z 2 “一1 1 ，2 = y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 4 ) g 3 1 ( k ) = ( p z i z 2 = z 2 4 1 + 1 9 ，y 2 = y ，。2 = x 2 k ) ； ( 2 5 ) g 4 ，l ( k ) = ( p z 妒= z 2 m - 2 + 2 m - l - - l y ，y 。= ，z 2 = z 2 ) ； ( 2 6 ) g 5 ，l ( 七) ：= ( p z l z 。= z 2 ”一1 + 1 ，y 2 = x 2 m - i g ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 7 ) g 7 ，l ( 克) = p ，2 l 。= t 2 m - 2 + 2 “一+ 1 ，y 。= x 2 m - l y ，z 2 = x 2 k ) ( 2 8 ) g 8 ，l ( k ) = ( p ，z i = z 2 m - l - - 1 y ，y 。= x 2 m - 1 y ，z 2 = x u k ) ； ( 2 9 ) g 9 ，1 ( ) = ( p z l x 。= z 2 2 + 2 一。+ 1 ，矿= ，z 2 = x 2 k 可) ； ( 3 0 ) g l o ，l ( k ) = ( p # 妒= z 2 2 + 2 1 。1 ，y ky ，z 2 = x 2 ks ，) ； ( 3 1 ) g n ，i ( ) = ( p , z x 。= x 2 m - 2 + 2 “一1 + 1 y ，2 = y ，z 2 = x 2 k y ) ； ( 3 2 ) g 1 2 ，i ( k ) = ( p iz 垆= x 2 m - l - l y ，y ky ，z 2 = x 2 k 可) ； 3 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 ( 3 3 ) g 1 3 , 1 ( 七) = ( p i z l x 2 = x 2 m - 2 + 2 1 + l ，y kx 2 m - i y ，驴= z 2 可) ； ( 3 4 ) g 1 4 , 1 ( 七) = ( 尸，z l x 。= x 2 m - 2 + 2 1 ，y k 。2 1 y ，= z 2 掣) ； ( 3 5 ) g 1 5 ，l ( 七) = ( p z l x 。= x 2 m - 1 + l y ，y 2 = x 2 m - i y ，z 2 = z 强) ； ( 3 6 ) g 1 6 ，l ( ) = ( p 1 z 妒= x 2 m - 2 + 2 1 y ，y kx 2 m - i y ，z 2 = x 2 k y ) 以上3 6 个群中的k 都是小于2 1 的某个自然数 关键词；极小非交换群。极大子群。分类，半直积。p 一群 4 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 a b s t r a c t 5 i n 【3 】，b e r k o v i c hp o s e st h ep r o b l e mo fc l a s s i f y i n gf i n i t ep - g r o u p sc o n t a i n i n ga m a x i m a ls u b g r o u pw h i c hi sm i n i m a ln o n a b e l i a n a saf i r s ts t e pt o w a r d ss o l v i n gt h i s p r o b l e m ，t i a n z e l is t u d i e st h ea u t o m o r p h i s mg r o u p so fm i n i m a ln o n a b e l i a np - g r o u p s i n 【1 】af i n i t ep - g r o u pi sc a l l e dm i n i m a ln o n - a b e l i a ni fi t i sn o ta b e l i a nb u ta l lo f i t sp r o p e rs u b g r o u p sa r ea b e l i a n t h i sa r t i c l eb a s e do n 【1 】 g i v e st h ec l a s s i f i c a t i o no f 2 - g r o u p sc o n t a i n i n gam a x i m a ls u b g r o u pp ，w h e r ep = p ( 2 ，m ，1 ) = ( z ，可i 。2 “2s ，2 = 1 ，y - l x y = x l + 铲“) w i t hm 2 t h e o r e m l e tg = ( p z ) b ea f i n i t e2 - g r o u pc o n t a i n i n gam a x i m a ls u b g r o u pp ，w h e r e p = p ( 2 ，m ，1 ) = ( z ，y l x 2 ”= y 2 = 1 ，y - x x y = x 1 + 2 “一1 ) ，r n 2 l e tzb ei ngb u tn o t 轨p ，t h e ngh a st h e ，d l l o w i n gc l a s s 祈c a t i o n ： e a s ej ? w h e nm24a n do ( z ) = 27 g = g l ( o ) ，g 2 ( 0 ) ，a 3 ( o ) ，a 4 ( o ) ，g s ( o ) ，g 6 ( o ) ，g 7 ( o ) ，a 8 ( o ) c a s e2 jw h e nm 4a n do ( z ) 2 ： c a s e2 1 ：w h e nz 2 = x 2 k ： c a s e2 1 17w h e nz 2 = x 2 1 ：g = g 4 ( 2 m 一2 、 c a s e2 1 2 jw h e nz 2 = x 2 k ，w h e r e i so d d ：g = g 7 ( 1 1 c a s e2 2 jw h e nz 2 = x 2 m - 1 9 jg = g 9 ( 2 m - 2 ) ，g 1 0 ( 2 m - 2 ) ，g l l ( 2 , - - 2 ) c a s e ，? w h e nm = 3a n do ( z ) = 2 jg = g i ( o ) ，g 2 ( o ) ，g 3 ( o ) ，g 5 ( o ) ，c 6 ( o ) ，g 8 ( o ) c a s ez jw h e n m = 3a n dz 2 2z 2 k ： c a s e4 17w h e nz 2 = x 4 jg = g 3 ( 2 ) ； c a s e4 2 jw h e nz 2 = z 27g = g 8 ( 1 ) c a s e5 ：w h e nm = 2a n do ( z ) = 2 jg = g 1 ( o ) ，g 5 ( o ) ，a l t ( o ) c a s e6 7w h e nm = 2a n dz 2 = z ：g = g 1 9 ( 1 ) ， w h e r eki sap o s i t i v ei n t e g e rs m a l l e rt h a n2 “ k e y w o r d ：m i n i m a ln o n a b e l i a ng r o u p ，m a x i m a ls u b g r o u p ，c l a s s i f i c a t i o n ，s e m i d i r e c tp r o d u c t ，p - g r o u p 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 6 引言 在文献【3 】中b e r k o v i c h 提出了一个问题：能否分类这样的有限p 一群g ，g 包含 一个极大子群是极小非交换群作为解决这个问题的第一步，文献 1 】中李天则讨论了 极小非交换群的自同构群所谓极小非交换群g 是指g 的每个真子群都是交换群， 但g 本身不是交换群文献 2 】中r d d e i 给出极小非交换群的分类本文在文献【1 】 的基础上，给出以一类特殊极小非交换群p = p ( 2 ，m ，1 ) ，m 2 为极大子群的2 一群 的完全分类，其中p = p ( 2 ，m ，1 ) = ( 茹，引z 2 4 = y 2 = l ，y k 耖= x l + 2 m - i ) ，m 2 本文讨论的群g 均为有限群，z ( g ) 为g 的中心，o ( e ) 表示g 的阶，y g ， x y = y - 1 x y 为共轭作用，【x ，y 】= x - l y _ 1 x y 为x ，y 的换位子，o ( x ) 表示z 的阶，其 它记号均为标准的 1 、主要结果 为了能简明的书写并证明定理，我们在定理后的约定中列出所需群的具体形式 定理：设g = ( p z ) 是以p = p ( 2 ，m ，1 ) ，m 2 为极大子群的2 一群，z g p 则 g 有下列分类： 情形j 当m 4 ，o ( z ) = 2 ： g = e l ( 0 ) ，g 2 ( o ) ，c 3 ( o ) ，g 4 ( o ) ，g 5 ( o ) ，g 6 ( o ) ，g 7 ( o ) ，g 8 ( o ) 情形兽：当m 4 ，o ( z ) 2 7 情形2 1 j 当z 2 = z 2 0 j 情形2 1 1 j 当z 2 = 。2 17g = g 4 ( 2 m - 2 ) ； 情形2 1 27 当z 2 = z “，k 为任意奇数：g = g 7 ( 1 ) 情形2 27 当z 2 = x 2 m - 1 ? g = g 9 ( 2 “一2 ) ，g l o ( 2 “一2 ) ，g 1 1 ( 2 ”一2 ) 情形占j 当m = 3 ，o ( z ) = 2 jg = g 1 ( o ) ，a s ( o ) ，g 3 ( o ) ，g 5 ( o ) ，g d o ) ，g 8 ( o ) 情形4 ：当m = 3 ，0 2 = z 2 女j 情形4 1 ：当z 2 = z 4 ：g = g 3 ( 2 ) ； 情形4 2 j 当0 2 = z 2 jg = g s ( 1 ) 情形5 7 当m = 2 ，o ( z ) = 2 jg = g 1 ( 0 ) ，g 5 ( 0 ) ，g 1 7 ( 0 ) 情形6 j 当m = 2 ，轳= 茹：g = g l d l ) 约定：1 、文中出现的偶数，奇数均为正整数 2 ，文中所需群如下： 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 ( 1 ) g l ( ) = ( p z 妒= z ，y 2 = y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 ) g 2 ( k ) = ( p z i z 。= z 一1 ，y 2 = y ，。2 = x 2 k ) ； ( 3 ) g 3 ( k ) = ( p z l x 。= x y ，y 2 = y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 4 ) g 4 ( k ) = ( 只zj 矿= x 2 ”- 2 - 1 y ，y 2 = y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 5 ) g s ( k ) = ( p z f z 。= z ，y 2 = x 2 m - 1 y ，z 2 = z 2 ) ； ( 6 ) g 6 ( k ) = ( p z l x 。= z 2 一。1 ，y 。= x 2 m - i y ，= x 2 k ) ； ( 7 ) a 7 ( k ) = 仍z p = x 2 m - f t + 1 y ，y z = x 2 m - 1 y ，z 2 = x 2 2 ) ； ( 8 ) g s ( ) = ( p ，2 i = x - l y ，y 。= x 2 m - i y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 9 ) g g ( k ) = ( p ，z l x 。= z 2 ”一2 + 1 ，y 。= y ，z 2 = x 2 k 可) ； ( 1 0 ) g l o ( k ) = ( p z 垆= z 2 一钆1 ，y 。= y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 1 1 ) g n ( k ) = ( p z i z 。= z 2 “一2 + 11 ，y 。= y ，z 2 = x 2 k ! ，) ； ( 1 2 ) g 1 2 ( k ) = ( p z l x 5 = x - l y ，y 。= y ，z 2 = x 2 k y ) ； ( 1 3 ) a l s ( k ) = ( p ) ze x 。= x 2 m - 2 “，旷= z 2 m - 1 y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 1 4 ) g 1 4 ( k ) = ( p z l x kz 2 2 ，y kx 2 m - 1 y ，z 2 = x 2 k 剪) ； ( 1 5 ) g 1 5 ( k ) = ( p z 妒= x y ，y 。= x 2 m - i y ，z 2 = 。2 。西； ( 1 6 ) g 1 6 ( ) = ( 尸，z l x 。= x 2 m - 2 - 1 y ，y 。= x 2 m - t y ，z 2 = x 2 k y ) ( 1 7 ) g 1 t ( k ) = ( 只。妒= z ，y 。= 2 7 - 1 y ，。2 = x 2 k ) ； ( 1 8 ) a l s ( k ) = ( p 。垆= z ，y 。= x y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 1 9 ) g 1 9 ( k ) = ( 只z l x 。= z ，y 。= x y ，z 2 = x 2 k - 1 ) ； ( 2 0 ) a ：o ( k ) = ( p z 妒= z ，y 。= x 3 y ，z 2 = x 2 k - 1 ) ； ( 2 1 ) g 1 ，1 ( ) = ( p z f x 。= z 2 1 + 1 ，旷= y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 2 ) g 2 ，i ( 后) = ( p z i z 。= z 一1 ，y 。= x 2 m - i y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 3 ) g 2 2 ( k ) = ( p z l x 。= z 2 1 - 1 ，y 。= y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 4 ) g 3 ，l ( k ) = ( p z i z 。= x 2 m - l + l y ，y 2 = y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 5 ) g 4 ，l ( k ) = ( p z l x 。= x 2 m - 2 + 2 ”- t - l y ，旷= y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 6 ) g 5 ，l ( k ) = ( p iz l x 。= z 2 “一1 + 1 ，y 。= x 2 m - - i y ，z 2 = x 2 k ) ； 7 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 ( 2 7 ) g 7 ，l ( 七) = ( p z l x 。= x 2 m - 2 + 2 1 + 1 y ，y ：= x 2 m - 1 y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 8 ) g 8 ，1 ( 后) = ( p ，z l x 2 = x 2 ”- l - l y ，y 。= x 2 m - 1 y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 2 9 ) g 9 1 ( 七) = ( p z l x 。= , t 2 m - 2 + 2 ”一1 + 1 ，y 。= y ，z 2 = z 2 ) ； ( 3 0 ) g l o ，l ( 七) = ( 尸i 。l z 。= z 2 m - 2 + 2 “一1 1 ，y 2 = y ，z 2 = 石2 ) ； ( 3 1 ) g 1 1 1 ( ) = ( p ，z l x 。= x 2 m - 2 + 2 ”一1 + 1 y ，y ：= y ，z 2 = z 2 ) ； ( 3 2 ) g 1 2 ，1 ( 七) = ( p ，孑i z 。= x 2 m - l - - l y ，y 2 = 轳，z 2 = z 2 ) ； ( 3 3 ) g 1 3 1 ( 后) = ( p ，z l x 2 = x 2 m - 2 + 2 m 一1 + 1 ，可。= 2 ；2 m - i y ，z 2 = x 2 k y ) ； ( 3 4 ) g 1 4 , 1 ( 意) = p z l x 2 = x 2 m - 2 + 2 1 ，y 2 = x 2 m - i y ，z 2 = x 2 k ) ； ( 3 5 ) g 1 5 ，l ( k ) = ( p j z l x 。= x 2 m - l + l y ，旷= x 2 m - i y ，z 2 = 。2 ) ； ( 3 6 ) g 1 6 , 1 ( 七) = ( p z f z 。= x 2 m - $ + 2 ”一1 1 ，可z = x 2 m - i y ，z 2 = x 2 。y ) 以上3 6 个群中的k 都是小于2 ”o 的某个自然数 2 、预备知识 定义1 3 】有限p 一群g 称为极小非交换的，如果g 的每个真予群都是交换群，但g 本身不是交换群 定义2 7 ，p 2 0 6 ，定义1 1 1 】群g 的所有极大子群的交所构成的群称为g 的弗拉梯尼 子群，记为圣( g ) 定义3 i s ，p 2 2 】群h ，k ，妒：h - a u t ( k ) 是同态映射，用却表示h h 在妒下的 像，称如下定义的群为日与的半直积，记为k ，h = h k l h h ，k k ) ，其中乘 法定义为v h l ，危2 h ，h ，k 2 k ，( h l k l ) ( h 2 k 2 ) = ( h l h 2 ) ( k l ( h 2 妒) k 2 ) 且h ( 九2 妒) = ：2 ， 并称妒为群作用的同构表示 注：在文献f 6 】中给出半直积的等价定义：设群g 的子群日，且k 里g ，若满足 g = 日，日n k = 1 ，就称g 为日与的半直积 引理1 【2 】有限群g 是极小非交换的，则g 是下列群之一； ( 1 ) q s ； ( 2 ) p ( p ，m ，几) = ( z ，y l x p ”= y p “= 1 ，y - a x y = x 1 + p m - i ) ； ( 3 ) q 国，m ，扎) = 扛，y ，z l x p ”= y p “= 1 ，陋，引= z ，陋，。】= 阿，卅= 1 ) 其中对后两种情形，当p = 2 时，m + n 3 引理2 设p = p ( 2 ，m ，1 ) = ( z ，y l x 2 ”= y 2 = l ，x y = x l + 2 m - i ) ，m 2 ，则 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 z 掣( 件2 一“，当i 为奇数； z 州， 当i 为偶数，其中出现的j 均为正整数 ( x l y ) = ( x i y x 耖) 掣一1 = ( x i x ( 1 + 2 “一1h ) 一1 = z f z i 一1 2 ”一l = ：+ 2 “一2 ) 耋! 茎差薹1 9 口 引理3 【1 ，定理3 4 】设p = p ( 2 ，m ，1 ) ，m 3 ，则a u t ( p ) 型( z 2 。一：xz 2x 历) ) 日易 证明： 由引理2 , o ( x y ) = 2 “甘i 是奇数；o ( x 。y ) = 2 铮i = 2 ”因此若 盯a u t ( p ) ，则o ( z ) = 或矿g ，i 是奇数；盯( ! ，) = y 或x 2 r a - i y 由数论知识知 i a u t ( p ) i = 2 2 ”= 2 州。1 ，于是定义下列映射： 贝40 ，7 - ，叼，p a u t ( p ) ，且盯2 ”一2 = r 2 = 矿= q 2 = 【0 ，7 - = 【盯，纠= 【盯，7 】= 【7 _ ，纠= 1 z 口2 m 一3 = z 5 2 m 一3 = z ( 1 + 2 2 ) 2 m 一3 = z 2 m - - i + 1 ，y a 2 m - 3 = z 卜，州= z 叶一1 7 q = ( z ) 7 町= ( x 2 m - 1 + 1 可) ”= ( z y ) 2 m - - i + 1 y = z 2 m 一1 ( 1 + 2 m 一2 ) x y y = z 2 m l + 1 可| r ，羽= ( x 2 m - 1 ) ”一1 r q = 【( z f ) 2 m - i y 】7 q = ( x 2 m - 1 y ) r q = ( z 2 ”1 2 2 ”一1 ) ”= y z 【p t 川= ( x - 1 ) y 一1 卿= 【( 茁可) 一1 】p q = ( y x 一1 ) 9 q = ( 可z ) 1 = y x y = x 2 m - 1 + 1 ， 【p 州= y 故【7 - ，q 】= 【p ，叩】= 盯2 4 3 ，进而a u t ( p ) = ( 盯，7 ，p ，叩) = ( ( 盯) ( r ) x ( p ) ) ( 7 7 ) 笺( 易一2 z 2 易) 易 口 ，ll_jl-i l | 笋 计 z ，_、 明 证 y z 可 一 时 z 可 ，-i，、ii、 叩 i z y 一 一 z ，llil-fl_【 p y m 护 时 时 z f _-c1_【 r 5 z 可 一 z 可 ，、【 盯 2 d 07 r 年首都师范大学硕士毕业论文 q 忙叫= ； 弓i 理9 设p = p ( 2 ，1 7 t ，1 ) ，m 兰2 ，则z ( p ) = 垂( p ) = ( 。2 ) 证明；p 为极小非交换2 一群，由引理4 ，导群p 7 的阶是2 ，又由矽= x 1 + 2 1 知 【可，z 一1 j = z 2 1 ，而o ( z 2 m - i ) = 2 且阻，z 一1 】p ，故p 7 = ( ，z 一1 】) = ( z 2 m - i ) 由引理2 , p 2 = ( z 2 ) ，又由引理5 ，圣( p ) = 尸p 2 = ( z 2 ) ，由引理4 , z ( p ) = 由( 尸) = ( z 2 ) 口 弓l 理1 0 设p = p ( 2 ，m ，1 ) = ( 石，i z 2 ”= y 2 = 1 ，x y = x l + 2 m - i ) ，m 3 ，则 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 1 1 ( 1 ) ( x + l y ) i _ - - x 士i + 2 m - - 2 ( i - - 1 ) y , 剀为奇数 1x i i + 2 一”， 当j 为偶数 ( 2 ) ( x 2 m - 2 l y ) i = x 2 m - 2 i i y , 幻为奇数 i $ 划， 当j 为偶数 ( 3 ) y 。“= x 2 m - i 口 ( 4 ) ( x 2 m - 2 4 - 1 可) ”= ( z 2 2 士11 ，) 1 + 2 1 ( 5 ) ( x 2 m - x i l ) 。= ( x 2 m - l + ls ，) 1 + 2 4 1 其中j 为自然数，k 为整数 证明：( 1 ) 当j 为奇数。 ( 1 ) = ( 矿1 9 1 ) 学矿1 = ( z 士2 + 2 1 ) 孚铲1 可= x 士j + 2 2 ( j 一1 ) 耖 当j 为偶数；( x t - 1 y ) j = ( x 4 - 1 y x 士1 可) = ( x - l - 2 + 2 “) = z 坷+ 2 ”- 2 j ( 2 ) 当，为奇数； ( $ 2 删i l y ) j = ( x 2 m - 2 士l y x 2 删士1 y ) 学z 2 删士1 暑，= ( 卫2 删士1 。2 删士2 m - 1 士1 ) 孚z 2 m - 2 士1 y = 口士o 一1 ) z 2 m 一2 士1 可= 茹2 m 一2 士j 可 当j 为偶数；( x 2 m - 2 土1 ) o = ( z 2 m 一2 士1 y x 2 m - 2 土l ) ；= ( 。2 m 一2 士1 。2 m - 2 i 2 m - l i l ) = x + j ( 3 ) y 。2 一1 = y z 2 k - 2 y 。= y 。= x - - l x l + 2 ”一1 y = x 2 m - i y ( 4 ) ( x 2 m - 2 士l y ) y = ( 矽) 2 2 士1 y = ( z 1 + 2 一) 2 2 土1 可= z 2 2 士2 1 士1 ，而 ( x 2 ”一2 i l y ) l + 2 ”一1 = ( x 2 ”一2 士1 9 ) 2 m - t x 2 ”一2 士1 y2x 4 - 2 m - i x 2 “一2 士1 y 。x 2 m - 2 i 2 m - x 土l y ， 故( x 2 m - 2 士1 暑，) ”= ( z 2 m - 2 i 1 ) 1 + 2 1 ( 5 ) ( x 2 m - l i l 可) ”= ( 茹) 2 m - 1 1 1 y = ( x 1 + 2 m 一1 ) 2 m 一1 士1 y = $ 2 m 一1 士2 m 一1 士1 暑，= x 士l y ，而 ( x 2 m - l 士1 y ) l + 2 1 = ( x 2 1 士1 9 ) 2 m - ! x 2 m - l 士l y = x 士2 m - t x 2 1 士1 y = x i l y ，故 ( x 2 m - l 士l ) f = ( x 2 m - 2 士l ) 1 + 2 1 口 注：以下证明中的计算所用公式参见引理2 ，引理9 ，引理1 0 ，以后不再单独列出这些 引理 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 1 2 定理证明 引理1 1 设g 是以p = p ( 2 ，m ，1 ) m 3 为极大子群的2 - 群，z g p 且 o ( 。) 2 ，则，y 。的表达式只可能有下列四种： ( 1 ) z j = z i ，y z = y ，t b 时z z 2 = x i 2 ，y 。2 = ； ( 2 ) = x t y ，y k ，此时z 2 2 = 扩+ 2 ”一2 ( 一1 1 ，y 2 2 = 可； ( 3 ) z z = z ，y = = 2 ；2 m - i y ，此时。：2 = z 铲，圹2 = ； ( 4 ) 矿= 一掣，y 。= x 2 m - 1 y ，此时z = x i 2 + 2 一+ 2 2 ( ) ，。2 = y 其中上面四种情况中的i 均为奇数 证明： 先证明矿，y 2 的表达式只可能有上述四种由引理8 ，p 司g ，从而，y 。p ，故 矿= x a y 6 ，y 。= x c y 4 其中b ，d = 0 ，1 ；a ，c 取为模2 ”的整数易知o ( z ) = o ( x 。) ，o ( y ) = o ( y 。) 且p = 缸2 ，旷) ，故结合引理2 知扩，y 。表达式只可能有引理中所列的四种 ( 1 ) 当z 。= z ，y z = y ：z 。2 = ( z 。) 。= 茁铲，y ，= ； ( 2 ) 当矿= x z y ，y 2 = y ： 当。2 = ( 一) = = ( x i y ) i y = ( z t 可) 孚z t 可y = ( z 2 件2 ”一1 i ) 宁= 。2 + 2 1 孚= z t 2 + 2 “一2 a 1 1 ，y 2 22f ； ( 3 ) 当= ，y 。= x 2 m - i g ： 。2 2 = ，y 。2 = ( z 驴) kz 2 m 一1 z 妒y = x 2 1 + 2 1 y = ； ( 4 ) 当= x * y ，y 2 = x 2 m - i y 时： 口严= ( x i 笋) k ( 可) x 2 m - i y = z 铲+ 2 2 ( 弘茁2 1 y = x i 2 + 2 m - i + 2 2 ( i 一1 1 ， y 2 2 = ( x 2 m - i y ) 。= ( x i ) 2 m - i z 2 “一1 y = x 2 m - l i x 2 m - 1 y = y 口 引理1 2 设g 是以p = v ( 2 ，m ，1 ) ，m 3 为极大子群的2 一群，z g p 且 o ( z ) 2 ，则z 2 只可能取z 蛐，x 2 k y 或y ，其中k 是小于2 ”1 的某个自然数 证明：由引理8 , z 2 p ，从而z 2 = 矿，其中i = 0 ，1 ，2 “一1 ，j = 0 ，1 于是只 要排除z 2 = z 2 。一1 及z 2 = x 2 k - l y 的情形 若z 2 = 。2 k l ：由引理1 0 ，y = 2 = y z 2 “1 = x 2 m - 1 y ，而由引理1 1 ，总有y 。2 = y ，从而 x 2 1 y = y ，于是z 2 1 = 1 ，这与p 定义矛盾，故。2 茁2 2 d d 7 年首都师范大学硕士毕业论文 若z 2 = x 2 k - x y ：y 2 2 = y x 2 k - - i p = ( x 2 m 一) 9 = z 2 m - i 掣，同理知这会与p 定义矛盾， 故z 2 只可能取z 驰，z 2 y 或y ，其中k 是小于2 ”一1 的某个自然数 1 3 口 由引理8 , g = ( p z ) 当m 3 时，我们可对定理按照m 4 和m = 3 以及 o ( z ) = 2 和o ( z ) 2 的不同情形进行证明；而m = 2 的情形比较特殊，我们放到最后 单独讨论 情形1 ：m 4 ，o ( z ) = 2 7 引理1 1 ( 1 ) 若m 3 ，则5 2 3 兰1 + 2 m - - i ( r o o d2 m ) ； ( 2 ) 若m 三5 ，则5 2 4 兰1 2 m - 2 ( m o d2 m ) 证明：( 1 ) 对m 作归纳 当m = 3 时，5 掣一( 1 + 2 3 1 ) 三o ( m o d2 3 ) ，即5 2 。三1 + 2 3 - 1 ( m o d2 a ) ，故m = 3 时，结论成立 假设对m = k ( k 3 ) 结论成立 当m = k + 1 时，由5 2 “2 1 = ( 5 2 “3 1 ) ( 5 2 “3 + 1 ) ，又由假设 5 2 “3 1 三2 k - 1 ( r o o d2 ) ，而5 2 “3 + 1 是偶数，从而5 2 “2 1 三2 k ( m o d2 + 1 ) ，即 5 2 “2 三1 + 2 k ( m o d2 k + 1 ) ，故对m = k + 1 结论成立这就证明了对所有的m ，m 芝3 ， 5 2 “兰1 + t n ( m o d2 m ) ( 2 ) 对m 作归纳 当m = 5 时，5 2 一( 1 2 5 2 ) 三3 2 ( r o o d2 5 ) 三o ( m o d2 5 ) ，即5 2 - - 1 2 5 2 ( r o o d2 5 ) ， 故m = 5 时，结论成立 假设对m = k ( k 5 ) 结论成立 当m = k + 1 时，由5 2 “3 1 = ( 5 2 “4 1 ) ( 5 2 “4 + 1 ) ，又由假设 5 2 “4 一i 三一2 k - 2 ( r o o d2 ) ，而5 2 “4 + 1 是偶数，从而5 2 “3 1 - - 一2 k - - i ( r o o d2 k + 1 ) ， 即5 2 “3 兰1 2 ：- 1 ( r o o d2 k + 1 ) ，故对m = k + 1 结论成立这就证明了对所有的m 5 有5 2 4 三1 2 “一2 ( r o o d2 m ) 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 1 4 口 引理1 2 设g = ( p ，z ) 是以p = p ( 2 ，m ，1 ) ，m 2 为极大子群的2 一群，z g 尸 若o ( z ) = 2 ，则g = p p ( 。) 且当m 5 时，g 至多有- f ，, j 6 种类型； ( 1 ) g l ( o ) ；( 2 ) g 2 ( o ) ；( 3 ) g 3 ( o ) ；( 4 ) g 4 ( o ) ；( 5 ) g 5 ( o ) ；( 6 ) g 6 ( o ) ；( 7 ) g 7 ( o ) ；( 8 ) g 8 ( o ) ； ( 9 ) g i , l ( o ) ；( 1 0 ) g 2 , l ( o ) ，( 1 1 ) g z ，2 ( o ) ；( 1 2 ) g s ，1 ( o ) ；( 1 3 ) g 4 ，1 ( o ) ； ( 1 4 ) g 5 ，l ( o ) ；( 1 5 ) g 7 ，1 ( o ) ；( 1 6 ) g s ，l ( o ) 证明：由引理8 ，p q g ，g = ( p z ) = p ( 2 ) ，又由o ( z ) = 2 且。a v 知p n ( z ) = 1 由定义3 , g = p ，( z ) ，且v h p 有h 。= ( z 妒) 由o ( z ) = 2 知o ( z 妒) = 2 或z 妒为 单位元当z 妒取遍a u t ( p ) 中单位元及所有二阶元时，也就给出了最多可能的不同的 g 的类型 由引理3 ，易知a u t ( p ) 中的单位元加上所有二阶元共有1 6 个，依次为： ( 1 ) 1 ；( 2 ) p ；( 3 ) 7 7 ；( 4 ) 盯2 m - 4 叩p ；( 5 ) r ；( 6 ) 口2 m - s v p ；( 7 ) 矿2 “一4 n t ；( 8 ) t t ? p ；( 9 ) a 2 一3 ；( 1 0 f p ； ( 1 1 ) a 2 “- s p