（计算机应用技术专业论文）基于三角域的b样条建模：理论与实践.pdf

摘要 在过去的3 5 年中，多元样条函数在计算机辅动凡何设 中( c o m p u t e r a i d e d g c o m o l r i c d e i g n ) 和数值计算( n u m e d e a l c o m p u t a t l o n y 颚域p 被许多学者进行，大 量的研究。至今为止，许多关于多元样条的文章和专著作已经发表和出版。多元 样条己被j 1 泛应用于许多现代工q k 和学术领域叶1 ，其中包括计葬机图形学和视觉 、数字翔像娃瑶、计箨机动画、镛舞机辅助 ：l k 制造、训算机辅助几何建模、逆 向l 穰、逼近论、讣葬几何甾。计算极辅助几何艘 + 已经从应用数学的一个分支 发展成为一j 独奇的交叉学科。 在训算机辅助凡何设汁领域， 1 许多种参数曲线和曲面已经有了完整的理论。 因为单纯彤足任意维实仿瓣窄划巾最筐单盼多面体因此许多学褰对于摹于三角 剖分域多元参数曲1 面非常感兴趣。犹于任意高维实仿刺空间的多面体都町以被分 解成一个由相领单纯形构成的集台，因此有了上面的曲面，那么我们i u 以定义任 意高维仿射空间多藤体参数域上韵曲面。不步基予三角剖分的瞌断已经被搓如了， 但是最蕈丰的多元b 样条缒形样条，并没商被r 泛应用。这丰要根源子实现它 时的困难。三角b 样条( t r i a n g u i a r b s p l j n e s ) 曲面是以规范的单纯彤样条做为摹函数 的三角剖分l 的f 【“呵，因此它们可以定义在定义域空问中任意拓扑定义域上。我们 尝试来填充三角b 样条精商和理论和实现上的差距，我们已经鬟现了一个二元三次 i 角8 群条曲西平台，安践已经狂明该平套上的效率足阻使粥i 趋b 样条魏砸在实 际中进行建模。 在我们的、f 俞巾，三角b 样祭的几何特性被赋于了特别的熏视。因为这样的设 司会使符建立更高维和更高阶的三角b 样条可以从现在翩平台t 容易的扩偎。本文 中三角b 样条曲面是基于几 可进行舟绍豹，这井每同于班前仅仅做三角b 样条曲 面的实现。 螋我们在实践t i - 发现的有用的命题和，哇质红文中被进静了系统的总 结。这螋命髓和性质部是基于对= 角b 样条的理论背景进行深入研究并口绪台实践 而发现的。嗣时，我们对丁b l o s s o m l n 卫在文中也进行了深入的讨沦。 总蕊言之我们使埘r 从理论到实姨蟾方法来笈；中我们的平台，而且窭践证明 平台的效串足| 三【让三角b = | 羊器被应用于实际建楼中击。 芙键字：三三霸b 样条曲面，b - p a t c h ，多元b 样条，单纯形样条，b l o s s o m i n g 8 i m p l i c i a la l g o r “h m a b s t r a c t i nt h ep a 5 t3 5v e a r s ，m a i i yr e s e 村c h e sh a b e e n ( o n d u c t e do nr m l l t i v a r l a t es 口h n e si n g 0 m p u e ra i d 甜g e o m e t r i c d e s i g i l c a g d ) a n dn u m r i c a lc o m p u t a t i o n6 e l d s n u i t 伽褂 t i d e sa n db o o kh a 鹏b e e p r e 辨n t e dt l l ln a wn 。w 嬲8 ，s s p 崮麟s 。fb w e rd e 附h a wb e e n 印p i b dp c r v a s i v e l vi nb 。t hh l d 惴t r i a ln e l da 1 1 da c a d e m i c 矗e l ds 1 1 c ha 8c o h l p u t e rv i s i o n a n da 。a p h i c s ，d 1 舒t a li m a g ep r o c e s s i n 臣c o m p u t 盯a n l m a t i 。n ，e o 砷u t e ra i d e di n d 噼 t n 越m a n u t u 畦n gg o m p n t e rg m e t r km o d e l i n g ，r e v e r s ee n 昏n e e r i n g ，a p 雕娃h a t | o n t h e o r y 、c o m p u t a 1 0 n a lg e o m e t r v8 n de 托e a g dh 蛐e v 0 她d 行o mab r 毗d 甜a p p l i e d m a t h e m a t i c st oa ni n d e p e n d e n ts u b j e c tv m l li n u 瑚ec 8 丑e l 出 m a n yp 雒岫e 乇r i cc u r v e sa n ds u r 盎c e 8h a 、峙b nd e v e l o p e di ng a g d s u r f a c e bo v e r t r i 础 醵1 0 璐h a 抽e np 萄ds p e c i a li n t o r 侮协b ym a n yr 怕e a t c b c r sf o f 掘es i m p j o xi st h e 蚰n p i 哺tp o l y t o p emt hr e 柚醐- 玳e 印a c o a n yc o m p l e xp ( ) 1 y t o p ec a nb ed e c o r n p o s e d1 n 椭 as e to fa d j a c e 娃ts i m 稠i e 皓a n dn l eg u r f a c e so v 料a f b i t r 缸yt o p o l o g i c a ld o m a i na r eo b “妇e d v l at f i a n g u l a t i o m 辩珂s b r 岛c e sa v 盯t 秭8 n g u l a t i o n s 端ea l r e a d yd e v e i o p e d 弧t h ep 鹅t ， b t 北t h em o s tb a s i cm u h i v 甜i a 托b s p h n e 8 ts i m p l e xs p l i n e s ，h a v er l 。tg a 汛砸u c hp o p u l a r i 母 f o fs o r n ei 埘o r t a n tr e a s o n si ni m d 胁e n t a t i o h t h e 聃i a n 邓l a rb s p b n es u r f a c e sa t eb u i l t u p o n t h e n 。r m a l l z e ds t m p l e xs p l i n e b a s i s a n d t h e yc 矗nr e p r e s e n t t 博s u r f d o 群o v e r 躯b i 恬a r y t o p o l o g 王c a d o m 缸n w it r i e dt om a 妇u pt h eg a pb e w e e nt h e 也e o o y n di 芏芏l p l e n 璩n 船t i o n o fb j y 越i a t en l 壮u l a rb ，s p h n es u r as y s t e m 醴c u b i cb i v a r i 8 t c 赣i a n 肌l 雅舡s p h n c s u r k e sh 舳b e e nd e v e l 。p e dw | t hp e r f o r 蕈工l a n c e 嚣。o de n o u g hf 甜p r a c t l c e t h e 胛o m c t t 】cr m t u r eo fn i a i 垠u l a fb s p l i i l es n f f a c e si ss b r s e d 址o u r8 y s e mf 0 i f u t u r ed e v e l d p m c n t1 nt m st b e s i s ，t h ej j l a n z u kb s p j i b es h r 矗c sd t ci n t r o d u c c dt h r o u 曲 辨o m e t r k8 p p r 0 8 c h s o m eu 8 e f l l lp r 印。晒t l o n s 拍dp r 。p c n l c so ft h ct h c o r yo f1 i a “g u l 艚 b s 嘲i n os u r t a c c sw of o u n di i lt ki i h p l c i n c n 七a t j o nh r c r 州e “，d “【i i lc 甩i - l e l l th 1 1 w w u r k t or n o d e lw i t ht h 8 n g u l 町b s p h n es u r f b c c si sg c r 垃r 酞o df r o mt h et h c o r o t i c a lb 8 c k e p o u n d s 1 恤8 n w h i k 、t h eb t o s s o m m e1 se l v o nd o c p l vd l s c u $ 8 帕nl ht h 衅t b e 出 l “g e n 啦出 w eh 跏a d o p t e dan b o r m p l e r n e 啦a 上l o na p p r 。a c ht 。出出辨d u rs y s t e m a n d t h ee 盘c i e n c yo f o u rs w 怕me n a b l e s u s t ou 艚1 y i a n 肼l a z b s p h n e s u r f a c e s f j f m p u t e r g e o m e t r 记m o d e l i n g | n 七h e 艮t u 弛 k e yw o r d s ：证i a n 驴l 鲫b s p l i n es u r f a c e ，b p a t c h ，m u m 吼r i a 惦b s p 硅n e ，s i m p l e xs 锄n e b l 。s 8 0 m i n 西s 1 m p b c l a la 1 9 。r i t h m l i s to f f i g u r e s 1 11 w ot r i a n g u l a rb s p l i n es u r f a c e s 2 1as i m p l ec a s e o fs i m p l i c e s i n r 2， 2 2c o n v e x h u u i n a 2 2 3ac o n v e xh u l l i na 3a n di t so r j e n t a t i o n 3 ，1 b 1 0 s s o m l m gap m y n o m i a l ， 32 r e d u s i o n d e m ( m s t r a t i o n f o r s i m p l i c i a la l g o r i t n f o r a ， 3 3 d y n a m i cp r o g r a m m i n g d e m o n s t r a t i o nf o rs i m p l i d a ia l g o r i t h mf o ra 3 4 d ) r n a m i cp r o g r a m m i n gd e m o l l s t r a t j d nf o ra d j a c e n tt r e e s 3 5 m a p p i n gb e t w e e ni n d e xa n dt h ep o l a rf o r mo fc u b i cb 巾a t c h e s 3 6d pa l g o r i 1 m d 邮o n s t r a d o n o f c u b i c b p a t c h e s i n a 2 3 7s u a l i z a t i o no fac u b i c 雕z i e rt r i a n g l es u r f a c ev i au n i f o r ms u b d i v i s i o no f l e v e l 3 4 1g e o r n e t r i cd “l n i 虹o no fu 撕v a z i a 拒b s p l i r 伦 4 2 s i r 叩l e xs p l i n ew i t h5k n o t s ，c o n 6 9 u r a t i o nn o1 4 3 s i m p l e xs p l i n ew i n l5h l o t s ，c 叽矗g u r a t i o n 2 4 4 s i m p l e xs p l i n ew i t h5k n o t s ，c o n n g u r a t i o nn o r 3 4 5 s i m p l e xs p l i n ew i t h5k n o 坞c o n f i g u r a n o nn o 4 46 s i m p l e xs p l i n e 埘t h5l 1 1 0 t s ，c o n f i g u f a t i o nn o 5 4 ，7 s i n l p l e xs p l 妇w i t h5h l o t s ，c o 曲g u r a t i o nn o ，6 4 8 s i i n p l e xs p l i n ew i m 5k n o t s ，c o n 矗g u r a t i o nn o7 4 9 s i m p l e xs p l i n ew i t h5h l o t s ，c o n 船u r a t i o nn o 8 5 拍打玎 耵驰蛄蛎盯鹅 弱仉酡矾晒铂酊 4 1 0t 0 t a lk n o t sc o n f i g u r a t i o n sf o rt h ea b o v es i m p l e xs p i i n e sd e r n o r i s t r a n 4 1 1m a r kt h ef o l d so fd i f f e r e n tc o n n e c t e dp a r to f t o t a lc o n 矗朗m t i o n s 4 1 2h a l f c o n v e x h u u 4 1 3t o t a lk n o t sc o n f ：i g u r a h o r i sf o rt h ea b 。v es i m p l e xs p l i n e sd e n l o s t r a t i o n 4 1 4d a t a n o wc h a r t o f o l l r i m 口l e m e n t a t i o n ， 41 5t w o t r i a n g l ed o m a i nu s e di no u rr e s u l td e m o n s t r a t i o n 4 1 6 t r i a n g u l a fb s p l i n es u r f a c e so nt 1 1 e 血s td o m a i nw i t hc o n t r o ln e ln o 1 4 1 7 t h a n g u l a rb 5 p l i n es u r f a c e so nt h ef i r s td o m a i nw i 山c o n t r o ln e tn 0 2 4 1 8 t r i a n g l i i a rb s p l i n es u r f a c e so nt h ef i r s fd o m a i nw i t hc o n t r o ln e tn o 3 4 ，1 9 t r i a n g u l a rb _ s p l i n es u r f a c e so nt h e 丘r s td o m a i nw 让hc o n t r 0 1n e tn o 4 4 ，2 0 t a n g u l d rb s p l i n es u r f a c e s0 nt h e 觚汁d 0 1 m i nw i t hc o n t r o ln e tn o 5 4 2 1 t r i a n g u l a rb 一印l i n es u r f a c e so n 廿l es e c o n dd o m a i nw i t hc o n t r 0 1 九e tn o 1 4 2 2 t r i a n g u l a rb - s p l i n es u r f a c e so nt h es e c o n dd o m a i nw i mc o n t r o ln e tn 。2 4 2 3 张a n g u l a rb s p l i n es u r f a c e so n 廿l es e c o n dd o m a i nw i t hc o n in e tn o 3 4 2 4 t r i a n g u l a rb s p l i n es u r f a c e so n 也es e c o n dd o m a i nw i t hc o n t r o ln e tn o 4 4 2 5 强a n g u l a rb s p l i n es u r f a c e so nt h es e c o n dd o m a i nw i t hc o n t r o ln e tn o 5胡田田丌舳雅嘶耵昌吕凹如虬s粥舛孵 l i s to f1 1 a b l e s 1 1 n o t a t i o nl i s t 4 - 1h a r d w a r ea n ds o f t a r ep 1 a t f o r m 4 2p e r f o r m a n c er e s u l t v 1 1 8 4 8 5 l i s to f a l g o r i t h m s 2 1 l o w p e r f o r m a n c ea l g o r i t h m f o rc o m p u t e c 石( s ) ， 41p r i m i 石v es g n ( z ) ，w i t hp r e d e f i n e dn o a n n gp o i n tp i e c i s i o n 4 2 p r i m i t i v e d e t ( n 6 ，c ) a f f m e d e t e r “l i n a n t ，、，、 43 p r i m i t i v ea f f c o o r d ( n ，6 r ，a ) a m n ec o ，r d i n a t e so ff1 ，7rtf n ，b ，c ) 4 4p r i m i t i v ea f 配o l l n ) ( n ，b ，c 舢a f 矗n ec o m b i n a t i o no fn ，6 ，ew i t ht h ea f f i n e s c a l e r sa 4 5 o ( ，产) a l g o r i t h m f o rc o m p u t e c 爿( y ) 4 6 a 1 9 0 r i t h m o f j u d g e m e n t w h e a 钯a r 8 p o i n t i n t h e h a l f c o n v e x h u l l o f a t r i a n 目e f n 6 ，r 1 ， 巧舳虬龇 龇跎 昭 e1 二二二二二二 i n t r o d u c t i o n 1 1 h i s t o r y e wo f 嘣翘g u l a rb s p l i n e s m a n y u r v e sa n ds u r f a c e sh a v ea l r e a d yb e e ns t u d i e da n di m p l e m e n t e dw i t hr d b u s t a l g o r i t h m sa n dw o n d e r f u lt 卜i e o r i e si nc o m p u t e r 灿d e dg e o m e t r i cd e s i g n ( c a g d ) c 0 卜 p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g ni st h es u b j e c tc o n c e m e dw i t ht h ec o n s t r u c t i o no fc o m p l e 3 - d i m e n s i o n a lo b j e c t so nac o m p u t e lc o m p u t e r g r a p h i c si sam o r eg e n e r a l i z e ds u b j e c to n a l lg e o m e t 猡o b j e c t so nac o m p u t e lt h et w os u b j e c t sh a v e m a n yt h i n g si nc o m m o n ：g e o m e r yo 协e c t r 8 p r e s e n t a t i o n ，v i s u a l i z a t i o nt e c h 工讧q u e s ，d e f o n n a t i o na n di n t e r a c d v i t yw i t h u s e lb u tc a g dh a s 雠p o s e do nm a n yo t h e rt h i n g sw h d i s t i n g u i s hi tf r o mc o m p u t e r g r 8 p m c s p e r h a p st h em o s ti m p o r t a n to n ei sp r e c i s i o nf o ro b j e c tr 。p r e s e n t a t i o n a sw e a 1 1k n o w ，c o m p u t e r sa r eb u i l tu p o nd i s c r e t e5 y s t e ma n da c t u a l l yo n l yf i n i t es e t ss u c ha s p o i n ts e t sc a nb er e p r e s e n t e dd i r e c t l ymc o m p u t e r5 y s t e m ，b u tm a n yo b j e c t sj u s ta ss i m p l ea sc i r c l e sc a nn o tb ec o n v e r t e di n oe 。p u c i tf i r i i t ep o 纽ts e t s + m e a n w h i l 岛c a g dh a s a l r e a d ys e n ，e da sa n 而p o r t a n tr o l ei ni n d u s t r yd e s i g ns u c ha sa u t o m o b i i ea n da i l p l a n e m a n u f a c t u r e s c a g dh a sd e v e l o p e ds o m es t a n d a r dc u r v e sa n ds u r f a c e sf o ri n d u s t r i a ia p - 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s p l i n e s ，t h ed i 雠r e n tt y p e so fb s p l i n e sa r eg e n e r a t e ds i m p l e xs p l i n 船a n d b o xs p l i n e sa r et h em o s tp o p u l a rm u l t i v a a t eb - s p l i n e s t h es p l i n eb a s i sf u n c t i o n sa r ed e f i n e dt o 如r map r 。p e rb a s 逸f o rr e p 糖s e m a t i 。no ft h 2p o l y n o m l a b ；n ”- t of o m l6p r 叩盯 b a s i s ，s o m ee x t r ac o n d i t i o n sa r ei n v o l v e di nd e 血、i n gs i m p l e 。叩l i n e s t h et r i a n g u l a rb s p l i n e ss a t b 哆t h ep r o p e ra n d 血d e e df o r mab a s i sf o 。p o i y i l o m i a l sd e 矗n e dw i t h | n u l 印k v a r i a b l e s a l t h o u g ht r i a n g u l a rb s p l i n e sh a v eb e e np r o v e dt oh a v em a n yg o o dp 。叩e m e ss u c h a s1 0 c a lp d 出矗v es u p p o t t 矗n d 日6 b a la u t o m a 雠s m o o e s s ，吼a n g u l a rb - s p l 试es u r f a c e s h a v ec a u s e dl e s 8i n t e r e s tb yr n a n y 传s e a r c h e r sf o rs o m ei m p o r t a n tr e a s o n 5 ： h i g hc o m p u t a t i o no v e d l e a d f o rt h ec o m p l i c a t e dd e 丘n i h o no ft r i a n g u l a r 昏s p l i n es u r f a c e sf o r1 1 u m e r i c a i c o m p u t a t i o 儿m a n yc o m p u t e 。p r o g r a m m e r si o s t t h e i rp 8 t i e n t sf o rm a k i n ga - 2 吖1 0 2 - 1 1 h i s t o r yv i e wo fn i a n 聃l a rb s p h n c s c l e a rv i e wo ft h ec o m p l i c a t i 叽f o ri m p l e m e n t a t i o nt h et r i a n g u l a rb - s p l i n e s ， m e a n w h i l e ，s o m er e s e a r c h e r sh a v ei m p l e m e n t e dt h et r i a n g u l a rb s p l i n e sf o r m o d e l i n gs u c ha s 【p s 9 5 ja n d 【f s 9 3 】，b l i tn or o b u s ta n de f f i c i e n ta l g o r i t h m sf o r d e a l i n gw n ht r i a n g | l l a rb s p u n e sh a v eb e e nm e n h o n e da b o v e ，a sar e s u l t ，n o 8 y s t e m a t i cd e s i 印h a sb e e i ip r o p o s e d t oe n a b l et h a n g u l a rb s p l i n es u r f a c e sf o r p r a c t i c a lg e o r r 慷t r i cm o d e l i n g n oe 佑c i e n ta l g o r i t l l m sf o rv i s u a l i z i n g t r i a n g u l a rb _ s p l i n eb a s i sf l l n c t i o n sh a v es o m ei n 住佃s i cp 叩e r h e sd i f f b r e n t f r o mt h eu n j v a r i a t eb - s p l i n e s ，w h i c hm a k et h et r a d i t i o n a lr e n d e r i n ga 1 9 0 r i t s s u c ha ss u b d i v i s i 帆a n dr a yt r a c i n gf o rr e n d e r i n gp a m m e t r i cs u r f a c e sa n d c u r v e sa l m o s t i m p 0 s s i b kt ob er e u s e dd i r e c t l yt h es u b d i v i s i o na l g o r i m m sf o r t h 。p 8 r a m e 仃i cs u r f a c e sa n dc u r v e sa r ee s s e n t i a lb o t ht ot h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d i r n p l e m e n t a h o n t h es h o r t 8 9 eo fs u b d i v i s i o np 。叩e r 哆o ft r i a n g u l a rb s p l i n e s w i l ld e f i n i t e l yr e s u l ti nl e s sa t t e n t i 。nb yf e s e a r c h e r sf r o mb o t hc a g da n dc 0 m - 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3d ，1 0 2 1 1 h i s t o r yv i e wo f n i a n g i 】l a lb s p l l n 韩 一t h ef 0 1 1 0 w i n g1 i s ti sj u s ta ni n c o m p l e t e1 i s to ft h e i rs i m i l a r i t i e sd e r i v e df r o mt h e u n i v e r s a i9 8 d m e t r i cd e 6 n i t i o nt h e y3 h a r e t h e yb o t hf o nab a s i sf 0 p i e c e w i s ep o l y n o m i a l ss p a c eo r8 p l i n es p a c eo v e r t r l a n g u l a n d n s ，t ob ef u r m e r ，c h e b y g h e vs p i i n e3 p a c e s $ t h e yb o t hh a v ear e c u r s i v ed e 丘n i t i o nb e m e e nb a s i sf l m c t i o n so fd i f f e r e n t d 。g r e e sw h i c hh a sa ni m p u c l t