硕士论文-汽车盘式制动器振动与噪声研究.pdf

同济大学汽车学院 硕士学位论文 汽车盘式制动器振动与噪声研究 姓名：周冠嵩 申请学位级别：硕士 专业：车辆工程 指导教师：吴光强 20080301 摘要 摘要 随着环保法规的严格化及消费者对舒适性的要求与日俱增，制动器制动噪 声现象正日益受到整车厂及制动器供应商的关注。因此开展制动噪声的研究是 十分有意义的。， 本文在详细阅读国内外关于制动噪声研究的重要文献的基础上，应用有限 元与模态特征值分析相结合的手段，对某款盘式制动器总成进行制动噪声现象 研究。 首先，本文对制动噪声的成因进行理论推导，认为制动噪声是由摩擦诱发 的，从数学角度上看，是由于将摩擦纳入刚度矩阵后所造成的系统刚度矩阵非 对称现象引起的。非对称系统的特征值及特征向量都可能是复数。模态的特征 值虚部代表模态频率，特征值实部代表该阶模态的不稳定程度。若特征值实部 大于零，表示该阶模态是不稳定模态，有可能导致系统失稳。 建立了某盘式制动器的三维实体几何模型，包括制动钳钳体、制动钳支架、 制动块以及制动盘。 建立了制动系统各零件的有限元模型；同时在制动盘一制动块间定义接触及 摩擦系数，以便将摩擦力耦合到有限元模型里；在系统其他联结面上定义弹簧 单元，得到完整的盘式制动器有限元模型。 对制动器模型进行非线性静力学分析，得到制动系统在给定的制动参数下 的应力一应变状态，该状态将用于特征值分析。 选用L a n c z o s 法计算对称系统模态，选用子空间映射法计算复模态；计算 得到系统复特征值的分布情况。 通过改变摩擦系数，研究制动系统的运动稳定性及发生制动噪声的趋势。 同时还研究了制动压力及制动块背板阻尼对制动噪声发生趋势变化的影响，并 建立了各自的回归方程。 关键词：盘式制动器，制动噪声，摩擦，复特征值提取，回归分析 A b s t m e t A b s t r a c t W i t ht h ei n c r e a s i n ge n v i r o n m e n tp r o t e c t i o ns t a n d a r d s ，a sw e l la sc u s t o m e r s d e s i r ef o rc o n v e n i e n c e ，b r a k en o i s eh a sb e e np a i dg r e a ta R e n t i o n I nt h i sp a p e r , t h e a u t h o rc o m b i n e sf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dm o d ee i g e n v a l u ea n a l y s i st o g e t h e rt o r e s e a r c ht h eb r a k en o i s eo fo n et y p eo fd i s cb r a k es y s t e m T h ea u t h o rp e r f o r m sat h e o r e t i c a la n a l y s i sa b o u tt h eo c c u r r e n c eo fb r a k en o i s e T h ea u t h o r sf i n d sb r a k en o i s ei sc a u s e db yf r i c t i o n F r o mt h ep o i n to fv i e wo f m a t h e m a t i c s ，i ti sc a u s e db yt h eu n s y m m e t r i c a ls y s t e ms t i f f n e s sm a t r i xd u et of r i c t i o n T h ei m a g i n a r yp a r to ft h ec o m p l e xe i g e n v a l u ei n d i c a t e st h em o d ef r e q u e n c y ；t h er e a l p a r to ft h ee i g e n v a l u ei n d i c a t e st h em o d ei n s t a b i l i t y I ft h er e a lp a r to ft h ee i g e n v a l u e i sg r e a t e rt h a nz e r o ，t h em o d ei sc o n s i d e r e da sa nu n s t a b l em o d e T h ea u t h o rc r e a t e st h eg e o m e t r i cm o d e l so ft h ed i s kb r a k es y s t e m ，i n c l u d i n gt h e b r a k ed i s k ，b r a k ep a d ，c a l i p e ra n db r a c k e t T h ea u t h o rm e s h e se a c hp a r to ft h eb r a k es y s t e m I no r d e rt og e tt h ec o m p l e t e f i n i t ee l e m e n tm o d e lo ft h eb r a k es y s t e m ，c o n t a c ti sd e f i n e db e t w e e nt h eb r a k ed i s k a n dp a d , f r i c t i o ni sa p p l i e da tt h ei n t e r a c t i o ns u r f a c e ；s p r i n ge l e m e n t sa r ed e f i n e d b e t w e e nt h eo t h e rp a r t so ft h eb r a k es y s t e m An o n l i n e a rs t a t i ca n a l y s i si sp e r f o r m e d T h en o n l i n e a rs t a t i ca n a l y s i sr e s u l t si n ad e f o r m e dc o n f i g u r a t i o no ft h eb r a k es y s t e m , w h i c hw i l lb eu s e di nt h ee i g e n v a l u e e x t r a c t i o n T h eL a n c z o sm e t h o di Su s e di nt h em o d ee x t r a c t i o nf o rs y m m e t r i cs y s t e m ；t h e s u b s p a c ep r o je c t i o nm e t h o di su s e df o rc o m p l e x e i g e n v a l u ee x t r a c t i o n A f t e rr u n n i n g t h em o d ea n a l y s i s ，t h ec o m p l e xe i g e n v a l u eo ft h eb r a k es y s t e mi so b t a i n e d T h ea u t h o rp e r f o r m st h ef r i c t i o n a la n a l y s i st or e s e a r c ht h ed y n a m i cs t a b i l i t yo f t h eb r a k es y s t e m T h ei m p a c t so fb r a k i n gp r e s s u r ea n dd a m p i n gu p o nt h eb r a k en o i s e a r ea l s os t u d i e d ；t h ep r e d i c tf u n c t i o n sa r ee s t a b l i s h e d , u s i n gt h er e g r e s s i o nf u n c t i o n K e yW o r d s ：d i s cb r a k es y s t e m ，b r a k en o i s e ，f r i c t i o n ，c o m p l e xe i g e n v a l u ee x t r a c t i o n ， r e g r e s s i o na n a l y s i s 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位 论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开 发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 年月 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提 供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国 家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学位论文作者签名： 年月日 第1 章引言 第1 章引言 1 1 课题背景及意义 随着汽车工业的发展，汽车作为一种代步工具，已经进入普及时代，并且正日 益进入寻常百姓的日常生活。汽车给人们带来了极大的方便，大大提高了工作效率， 推动了社会的发展与交流。人类在悠然享受着汽车所带来的现代文明生活的同时， 也无条件地承受着它所带来的危害，这其中就包括道路交通的噪声污染，这已经成 为现代城市生活不可忽视的一大公害。 车辆噪声在道路交通噪声中占有主要地位。车辆噪声的噪声源主要包捌l 】：发 动机的机械噪声、燃烧噪声、进排气噪声和风扇噪声：底盘的机械噪声、制动噪声 和轮胎噪声；车厢振动噪声、货物撞击噪声、喇叭噪声以及转向、倒车时的嗡鸣声 等。这些噪声源的噪声程度绝大多数都与车辆的使用情况有关：当车辆加速行驶、 减速制动、超速、超载和路面颠簸时，噪声明显增加。随着车辆噪声法规的不断严 格，解决各种车辆内、外噪声的措施日益受到汽车工业界的重视。如今，车辆内部 噪声已经能够降到很低的程度；车辆外部噪声，尤其是制动噪声和车轮与地面接触 噪声，因此变得更为突出起来。 目前汽车制动大多采用摩擦制动，即通过摩擦片与刹车盘( 或刹车鼓) 表面接触 所产生的摩擦力作为制动力，将运动中物体的动能转化为热能，使汽车减速直至停 止。如果制动器设计不合理、摩擦材料的老化或制动工况的改变，则部分动能转变 成制动器的振动动能，导致制动器的自激振动。 制动器的振动和制动噪声是密切相关的。如果制动器部件以2 0 H z 2 0 k H z 的频率 振动，将导致部件表面附近的空气以相同的频率反复压缩和扩张，辐射出疏密相间 的声波而产生制动噪声。高频制动噪声往往非常刺耳，通常高达1 1 0 d B ：而低频振 动往往恶化汽车制动平稳性。制动振动噪声还会影响乘员的舒适性，降低有关零件 的寿命，严重时会造成承载零件的早期破损。近年来，低阻尼高摩擦系数的新材料 取代石棉作为摩擦衬片使用日趋广泛；逐步提高的车速导致了制动强度的增大；日 益提高的经济性要求带来了汽车结构的轻量化；这些都使得制动噪声问题更加突出。 如此同时，消费者对汽车品质的要求越来越高，市场竞争日趋白热化，环保法规日 益苛刻，这都给制造商造成了巨大压力，制动噪声也因此成了迫切需要解决的问题。 第1 章引言 1 2 盘式制动器的结构 盘式制动器属于摩擦制动器的一种，被广泛应用在各种乘用车上。盘式制动器 依靠旋转元件与固定元件工作表面的摩擦而产生制动力矩。 盘式制动器摩擦副中的旋转元件是以端面工作的金属圆盘，此圆盘称之为制动 盘：其固定元件则有多种结构形式，大体上可以分为两类。一类是固定元件的金属 背板和摩擦片也呈圆盘形，作为旋转元件的制动盘的全部工作面可以同时与摩擦片 接触。因此，这种制动器被称为全盘式制动器。另一类固定元件是工作面积不大的 摩擦块与其金属背板组成的制动块。这些制动块及其促动装置都装在横跨制动盘两 侧的夹钳型支架中，总称为制动钳。这种由制动盘和制动钳组成的制动器称为钳盘 式制动器。 钳盘式制动器又分为定钳盘式和浮钳盘式两类。 定钳盘式制动器的制动钳固定安装在车桥上，既不能旋转，也不能沿制动盘轴 线方向移动，因此必须在制动盘两侧都安装制动块促动装置液压缸。这种制动 器的制动钳结构复杂，尺寸较大，难于安装，热负荷大时液压缸和油道内的制动液 容易受热汽化，需要安装额外的驻车制动钳。这些缺点使得定钳盘式制动器难以适 应现代汽车的要求，逐步让位于浮钳盘式制动器。 浮钳盘式制动器的制动钳一般设计的可以相对制动盘轴向滑动。其中，只在制 动盘的内侧设置液压缸，而外侧的制动块则附装在钳体上。其工作原理见图1 1 。制 动钳支架3 固定在转向节上，制动钳钳体l 与支架3 可沿导向销2 轴向滑动。制动 时，活塞8 在液压力P l 的作用下，将活动制动块6 推向制动盘4 。与此同时，作用 在制动钳钳体l 上的反作用力P 2 推动制动钳钳体沿导向销2 向右移动，使固定在制 动钳钳体上的固定制动块5 压靠到制动盘4 上。于是，制动盘两侧的摩擦块在P l 和 P 2 的作用下夹紧制动盘，使之在制动盘上产生与运动方向相反的制动力矩，促使汽 车制动。 1 制动钳钳体 3 制动钳支架 一 5 固定制动块 2 7 - 活塞密封圈 图1 1 浮钳盘式制动器工作原理示意图 2 2 导向销 4 制动盘 6 活动制动块 8 活塞 第l 章引言 1 3 汽车制动噪声的复杂性 1 3 1 制动噪声的分类 制动振动噪声的频域很宽，可以从几十赫兹直至上万赫兹。制动噪声的主频通 常较为单一，时常还伴有幅度较低的谐波成分。频率是各种文献分析制动噪声时一 致采用的基本特征参数。 根据制动器部件振动频率，可以将制动振动噪声分为低频振动噪声( 约几十到几 百赫兹) 和中高频振动噪声( 约几百到上万赫兹) 。 在众多描述制动振动噪声的术语中，H u m 、M o a n 、G r o a n 、J u d d e r 、R o u g h n e s s 大体上可归入低频振动噪声；S q u e a l 、S q u e a k 大体上可归入中高频振动噪声。不同 的术语是从乘员的感觉角度来描述的，各术语并没有严格的频率范围定义： M o a n l 2 l 的频率范围约在1 5 0 4 0 0 H z ，主要为制动钳或支架的刚体振动； G r o a n 或C r e e pg r o a r I 为另一种低频噪声 2 ，频率范围在1 0 0 - 4 0 0 H z ： J u d d e r 或R o u g h n e s s i 3 1 ，频率范围几十到几百赫兹，其振动经转向节和底盘传递 到车身，乘员可从转向轮和制动踏板振动及车身大面积部件如车门、车项、风 挡的嗡鸣声中感受到。 实际中发生较多且研究文献也较多的噪声问题为S q u e a l - 其频率范围1 1 6 K H z 或上限到入耳听力的极耐4 】【2 】。S q u e a l 又可分为低频尖叫( 1 - 3 K H z ) 和高频尖叫 ( 5 一15 K H z ) 1 5 1 。 1 3 2 影响制动噪声的因素 无论盘式制动器还是鼓式制动器，都有可能发生制动噪声。 上，研究人员发现制动噪声有以下特点： 在下列条件下容易产生制动噪声：低速制动和临近停车时： 退后；特定的制动应力范围中；一定的温度、湿度情况下。 在大量实验的基础 摩擦衬片经历热衰 制动噪声的主频率通常是单一的，有时还伴随着幅度较低的谐波成分。尖叫频 率随着制动压力的增加略有增加。 摩擦系数基本相同的摩擦材料在产生尖叫的倾向上可以极不相同。 同一摩擦材料安装于某一制动器时可能无噪声产生，安装于另一不同的制动器 时却可能极易产生噪声。 上述现象说明，制动噪声受环境影响较大，重复性比较羞。所以应该从统计角 度判断说明某制动器产品是否属于易发生尖叫的制动器；另外，制动噪声的主要频 率几乎不变，这又说明制动噪声的产生与制动器结构有十分密切的联系。 3 第1 章引言 1 4 制动噪声研究的理论进展 在制动噪声研究过程中，人们先后提出了如下几种解释制动噪声成因的理论： 摩擦特性理论、几何特性耦合理论，热点理论等。在制动噪声研究的起步阶段，研 究人员总是试图将制动噪声现象与其中某种理论联系起来，以确定制动噪声的根源 究竟在哪里。然而，越来越多的研究结果表明，单独使用任何一种理论都无法完整 解释制动噪声现象。举例来说：在某些情况下，负阻尼可能是引起制动噪声的原因， 但在另外一种情形下，模态耦合又是更合理的解释。从总体上看，究竟哪种制动噪 声机理更适用，这完全取决于制动系统本身特性以及制动条件。 1 4 1 摩擦特性理论 在对制动噪声研究之初，人们普遍认为摩擦材料本身的特性是产生制动噪声的 根本原因。研究发现，摩擦禾才料的摩擦系数与摩擦面的相对滑动速度有两个明显的 特征： 静摩擦系数大于滑动摩擦系数： 当摩擦面的相对滑动速度达到一定程度时摩擦系数随相对速度的增大而减小。 前者导致黏滑现象，后者导致了系统的负阻尼效应，即当系统出现负阻尼现象 时，系统的振动可能发散而引起制动噪声【6 1 1 7 1 。 可以用一个简单的单自由度模型来解释系统在负阻尼条件下失稳的现象。 为说明方便，该系统的运动方程为： m J t + 西+ h = 0( 1 1 ) 其中，m 表示质量，c 为阻尼，k 为刚度，x 代表位移。 令2 玎：三，缈。2 ：! ，f ：旦则运动方程( 1 1 ) 可以写为： mm 国 戈+ 2 9 功。童+ 国。x = 0 ( 1 2 ) 其中国。是系统无阻尼时的固有频率，无量纲的f 为阻尼比。当0 f 0 时) ( 当童= 0 时)( 2 2 ) ( 当童 0 正刚度 向：= 如。 对称性 毛l 如2 一毛2 k 2 l 0 正定性 满足这组条件的系统是保守系统，不可能产生自激振动。现在假定系统分别 受到激振力曩和E 的作用，并且假定激振力本身又受到振动位移x a 、恐的控制： 曩= l 毛+ 磊2 艺 ( 2 8 ) 代入式( 2 7 ) - E = 友。屯+ 乞艺 ( 2 9 ) 第2 章盘式制动器制动噪声研究的理论基础 弦m o 小l ? 屯, l + 陡：臻) ： = 乏二地) 旺 这里略去了系统本身的阻尼，而且假定只有位移反馈。式( 2 1 0 ) 经整理后： m 。i - oA l f 屯膏, 厂l 匮：2 乏：乏 ( 芝) = ( 习 c 2 m ， 假设：巧= + 乃G ，歹= 1 ，2 ) ，式( 2 1 1 ) 可以改写为： 瞌黛 + 乏：K 托m n J k , x 2 7 旺m 为判断此系统的稳定性，设形式解：而( f ) = a , e 、屯( f ) - - A 2 e P t ，其中 P = 五+ ，缈为复特征值。代入得到如下方程组： 耽p 2 + 。：g 1 2I f ：；1 K 2 m PA 2 = 斜0 眩 L l22 + 如 【J 。 上式有非零解的条件为： P 2 + “g ，, 2I ：o ( 2 “) l K 2 lm 2 P 2 + K 2 2 l 展开得： m l m 2 P 4 + 僻l l 聊2 + ，2 2 朋l 加2 + 墨l K ：2 一墨2 心l = 0 ( 2 1 5 ) 设K 1 l o ，K 2 2 O ，墨l m l = 疗1 2 O ，K 2 2 m 2 = ，2 2 2 0 ，则有： P 4 + h 2 + 恐2 易2 + 阢。如一足，：K 2 。) 向，聊：) ：0 ( 2 1 6 ) 该式称为频率方程或特征方程。由方程( 2 1 6 ) 解得： 0 ：) ，：I b 2 + 他：) ；_ ：乏j 罗_ = = _ ：石三I 二乏= - 二j 云：乏：了了石i 习 2 = I 一0 。2 + 刀：z ) i _ 二：F ：I 五三：乏丽 2 c 2 - 7 ， L j 方程( 2 1 7 ) 有四个根，系统的稳定性取决于这4 个根的数值。现在取 1 1 1 = 肌2 = l ，墨l = 如= 2 ，砭l = 1 ，K 2 = l 一，则方程( 2 1 7 ) 可写作： 0 l ，2 ) 2 = 一2 订五 ( 2 1 8 ) 若l 一 0 ，系统为一般的振动系统，系统的两个模态频率各不相同： 当l 一趋近于零时，系统的两个模态频率趋于致； 1 6 第2 章盘式制动器制动噪声研究的理论基础 当l 一 o 时，则方程( 2 1 8 ) 有两个共轭复根，设为( p 2 l 。：= - h + i l ，再开 方得：P l , 2 , 3 , 4 = 厩。若取= 2 ，则有岛，2 ，。= 卜2 f 砖， 即： P 1 = - 0 3 4 3 6 1 4 5 5 3 1 p ，= 0 3 4 3 6 + 1 4 5 5 3 i ；_ ：- o 3 4 3 6 + 1 4 5 5 3 f 。( 2 1 9 P 。= 0 3 4 3 6 一1 4 5 5 3 此时，薯f ) 可写为： 删= 舻螂邮4 5 5 3 t ) + B 口。榔c 。s ( 1 4 5 5 3 t ) + C e 加撇s i n ( 1 4 5 5 3 t ) + ( 2 2 0 ) D e - o 3 4 3 研c o s f l 4 5 5 3 t 1 、 。 上式中系数A 、B 、C 、D 是与振动初始状态有关的待定常数。式中前两项 是自激振动项。由上式可见，随着时间增长，自激振动项将趋于无穷，即该系统 是非稳定的。这就是模态耦合自激振动。从式( 2 2 0 ) 同时可见，系统复特征值 的正实部越大，系统位移就越容易发散，即系统的不稳定性随复特征值正实部的 增大而增大。 该二自由度模型证明了，由于引入摩擦而引起的刚度矩阵不对称，有可能使 系统位移发散。对于类似该二自由度模型的简单算例，可以求得解析解。但对高 自由度的复杂模型，使用有限元方法进行数值求解是经常采取的一种手段。 2 3 盘式制动器制动噪声形成的动力学理论 2 3 1 五自由度制动盘一制动块模型 图2 5 所示为一个五自由度的制动盘制动块模型。制动块由制动块背板 ( M ，1 ) 与制动摩擦片( M P 2 ) 组成；M p l 有y ) r y 向的自由度M ，M P 2 有Y 方向的 自由度Y ：与x 方向的自由度z ：；制动盘( M d ) 有两个自由度，分别是y 方向的Y d 与X 方向的x 。P 表示作用在制动块背板的制动压力。为模拟制动盘圆周运动， 取M d 的水平速度为V 。 制动盘埔0 动块接触面之问的法向力为帮，摩擦力为厨，其中为摩擦系 数，见图2 6 。 1 7 第2 章盘式制动器制动噪声研究的理论基础 p V 图2 5 五自由度制动盘制动块系统示意图 P 图2 6 五自由度制动盘制动块系统法向接触关系示意图 从图2 5 、2 6 出发，得到该制动盘制动块系统的运动方程如下： P N 心 一N p J r ( 2 2 1 ) 在式( 2 2 1 ) 的右端，除了制动力P 以外，其它各项都是由系统响应决定的内力。 假定在初始时刻，系统处于稳定状态，制动盘以匀速运动，并且整个系统也没有 产生振动。由该稳定状态得到下式： 1 8 o o o o 艮 o o oo o oo ob。如。o。 + 1I_-I_-_lII_J-I-、rl_I_I-_II。M。耽一屯。儿。妇 o o o o o o oo 0 O t O 0 o o峨o o oo o o 0 O 0 0 O w 现取 = 隹 + 第2 章盘式制动器制动噪声研究的理论基础 ( 2 2 2 ) 并且帮( f ) = o + t ) ，可以进一步得到下式： + 。0 雌 ol x 2 o I I 匕 K 矗j k J ( 2 2 3 ) 假设制动盘与制动块在振动过程中并不分离，则有约束条件：匕= L ；另 外注意到： N = M p 2 兄一K K + K 砭 ( 2 2 4 ) 由此，可以将式( 2 2 3 ) 改写成： 0 M p 2 + Md ：彬p 2 泓略骥卜 K 印 一K 口3 ， 球眄 一塍 一K 盱 K + K 方 一衅科 磷哆 ( 2 2 5 ) 式( 2 2 5 ) 就是该制动盘埔4 动块系统的运动方程。可以发现，由于引入了摩 擦力的作用，该系统运动方程的质量矩阵项与刚度矩阵项都为非对称矩阵。因此 该系统的特征值可能为复数。可以通过模态分析得到该系统的特征值，特征值虚 部代表模态频率，实部代表模态失稳的倾向。 由该五自由度模型的讨论我们可以发现，在对系统进行模态分析之前，需要 进行非线性静力学分析，以便确定系统稳态滑动的状态( s t e a d ys l i d i n g ) ，以及 得到那些要被添加到质量、刚度矩阵的耦合项，正是这些耦合项导致矩阵非对称 现象。同时，制动压力P 对系统稳定性的影响也需要通过该非线性静力学分析步 骤体现出来。 1 9 尸“眺“碱 肠 o o o o k o o o o o oo o0 。 b。 o州州 o o o o o oo o0 。 o o o o 帆 o o o 虬o 0 O t O O o o峨o o o o o o o o o o o o o k o o o o oo o o o 第2 章盘式制动器制动噪声研究的理论基础 2 3 2 制动器动力学方程的一般表达 在上一节五自由度模型的基础上，进一步讨论制动器动力学方程的一般表达 形式。 首先对制动器系统做如下简化：在模态频率小于15 0 0 0 H z l 4 6 1 的情况下，惯性 力对制动盘制动块接触面间法向力的影响远小于弹性力的影响( 见式( 2 2 4 ) ) 。 因此可以在系统运动方程中排除非对称项对质量矩阵的影响。 盘式制动器的运动方程可表示为： 戤 + 【c k + 耿卜k ，惦 = 0 ( 2 2 6 ) 其中，】、p 】和k 】分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；扛 是位 移向量；矩阵1 1 , ，l 是接触面间的非对称接触摩擦耦合刚度矩阵，它耦合了接触面 之间的法向相对位移和切向摩擦力。 由于I K ，l 是非对称矩阵，这使得上式中的刚度项也是非对称矩阵。从物理意 义上讲，刚度矩阵的不对称达到定程度时，可能导致系统内部的能量馈入，从 而成为发散系统。从数学角度来看，刚度矩阵不对称意味着特征矩阵不对称，而 不对称矩阵的特征根和特征向量在一定条件下是复数。 设式( 2 2 6 ) 解的形式为：b _ 扣m 则有： 2 卜z 网+ k 卜陟脚 = o ( 2 2 7 ) 其中舾 为特征向量；五= 口+ f 国，为系统的特征值，其虚部缈反映了振动时的 固有频率，实部口反映了系统运动的稳定性。若口为正数，说明该阶模态振幅随 着时间的增加会越来越大，导致系统运动失稳，这样的模态就被称为不稳定模态， 可能导致制动噪声。 2 4 模态计算理论 2 4 1 计算方法的选择 如前所述，制动噪声研究的关键就是对制动系统进行复模态计算，并对复特 征值的分布进行研究。有多种方法可用来计算复模态，这里选用子空间投影的方 法求解复模态。因此在进行复模态计算前，需要首先求解对称系统模态以确定投 影空间。 需要求解的特征值问题如下： p 泓卜A 【C 】+ k ) = o ( 2 2 8 ) 第2 章盘式制动器制动噪声研究的理论基础 其中I 衍】为质量矩阵，该矩阵对称且正定；【C 】为阻尼矩阵，可以包括摩擦 阻尼或者材料阻尼：k 】为非对称( 受摩擦影响) 的刚度矩阵：A 为特征值：p 是特征向量。由于在提取特征值之前会进行非线性静态分析，所以刚度矩阵K j 会 受到初始应力和载荷刚度的影响。鉴于刚度矩阵I K I 的非对称性，特征值可能为 复数。为了获得复模态计算所需的投影子空间，需要把特征值问题对称化。因此 可以暂不考虑阻尼矩阵【C 】及刚度矩阵医】中非对称部分的影响。在这种情形下， 特征值A 为纯虚数，设A = i c o ，可将式( 2 2 8 ) 改写为： 【_ 彩2 M 】+ k ，】坳) = 0 ( 2 2 9 ) 其中，I K 。l 为刚度矩阵l K I 的对称部分。 使用L 锄c z o s 法求解实模态。下面对L a n c z o s 法的特点及求解过程进行介绍。 2 4 2L a n c z o s 法 1 9 5 0 年，L 锄c z o s 提出了一种解特征问题的迭代方法。这种方法对刀胛阶矩 阵进行n 次迭代，就可使该刀刀阶矩阵三对角化，而后再用S t u r m 定理和二分 法求特征值，相应的特征向量可用向量反迭代法求得。遗憾的是，用这种L 锄c z o s 方法计算时，由于舍入误差随迭代次数增加，很容易丧失正交性，因此在数值上 是不稳定的。上世纪7 0 年代有人提出，如果将这种方法和R a y l e i g h R i t z 法结合， 用于求部分特征值，将会是种非常成功的方法。这就是本章进行实模态求解所 采用的L 锄c z o s 法( 简称L 法) 。 L 锄c z o s 法本质上是向量反迭代法和R a y l e i g h 一斑t z 法结合的一种方法。 L 锄c z o s 方法的基本原理，是把原来的特征值问题转化到R i t z 向量空间里，变成 简单的三对角矩阵特征值问题。这个R i t z 向量空间在L 锄c z o s 方法里称为L a n c z O s 向量空间。 L 锄c 趵s 法的基本步骤是选择初始向量，通过多次反迭代、正交化和模规范 化处理，形成m 个L 锄c z o s 向量，而正交和规范化系数形成一个三对角矩阵， 这个三对角矩阵的特征解与原广义特征问题的前若干阶特征解有一定的关系，利 用此关系，就求得了原广义特征问题的前若干阶特征解。 设n 阶广义特征值问题： 医 移) = 五M 坳) ( 2 3 0 ) 其中，矩阵I K I 是正定的，则此式可改写为： p 】移 = 移 ( 2 3 1 ) 式中，I s - _ K l - 1 】；“= 万1 。 2 1 第2 章盘式制动器制动噪声研究的理论基础 式( 2 31 ) 两边同时左乘M 】后可得： 医协 = 泓坳 ( 2 3 2 ) 式中医】= 帕k 】_ 陋】。 式( 2 3 0 ) 、( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 都是等价的特征问题。下面介绍，用L a n c z o s 法求式 ( 2 3 0 ) 的前m 阶近似特征解的基本公式。 设白， 是第一个迭代向量( 或称为第一个L a n c z o s 向量) ，它的模已用广义 内积规范化，即：白。 r l M = 1 。 现在对k = 1 , 2 ，m 进行如下迭代： ( 1 ) 进行向量反迭代： 瓴+ 。) = 陋K g 七 ( 2 3 3 ) ( 2 ) 使向量瘩州) 与前两个L a n c z o s 向量正交： 国州) = 磊+ 。) _ 口七 g 。 一展白) ( 2 3 4 ) 式中和屏是正交化系数，可由下式确定： = 瓴+ 。T 盼七) ( 2 3 5 ) 展= 瓴+ 。y 】幻 ( 其中层= 0 ) ( 2 3 6 ) ( 3 ) 对鼠+ 。) 进行模规范化处理，形成新的L a n c z o s 向量白 ： g 川 = 艟M 圪“ ( 2 3 7 ) 1 其中， 以+ 。= 妇M y 泓】话炉 ( 2 3 8 ) 应注意，上述正交化和模规范化都采用基于广义内积的计算。完成上述迭代，就 形成了1 1 1 个L a n c z o s 向量 g ， O = 1 , 2 ，m ) 。 综合式( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 以及( 2 3 7 ) 后可得： p 】白。 = 儿+ ， g 州) + 口。矗。) + 展 g ) k = 1 , 2 ，m ( 2 3 9 ) 把这m 个等式合并成一个矩阵方程： p k 】= 陵n 】+ g 。+ 。洚。y ( 2 4 0 ) 其中 己) 是单位向量，它的最后一个元素是1 。陵】是L a n c z o s 向量矩阵： Q m 】= 【 g 。) ，白： ， g 。) 】 ( 2 4 1 ) 可以证明，只要式( 2 3 4 ) 成立，则留M ) 就可保证在理论上与以前所有的L a n c z o s 向量正交。因此陵】满足正交条件： 陵r k 】_ 【，】 ( 2 4 2 ) 第2 章盘式制动器制动噪声研究的理论基础 式( 2 4 0 ) 中的k 】是三对角矩阵： k 】= 。风 口m 可以证明p 二】是对称阵。将式( 2 4 0 ) + 左乘陵I r I n 】，并考虑到式( 2 4 2 ) 后可 得： I T 1 = 陵r 泓I s k 】- 隗r K 】- 1 泓埘】 ( 2 4 3 ) 当区】和M 】对称时，显然阮】也是对称的。因此一定存在乃= 层( = 2 ，所) ，。 则k 】可写成： k 】= 口l 屉 尾口2 9 p 3 o c 3p 4 屈 。 9 。 p m 口” ( 2 4 4 ) 进一步可以证明：矩阵阮】是矩阵医】在R i t z 基向量( 即L a n c z o s 向量) 所张子 空间的投影矩阵。因为： 院r 医k 】- 院】r M k 】 1 盼k 】_ 眈】 再考虑到式( 2 4 2 ) ，可以得出：如以陵】作为R i t z 基向量，对广义特征问题( 2 3 2 ) 采用R a y l e i g h R i t z 法后，可得到如下的m 阶特征值问题： k 怡， = 肛亿 ( f = 1 ，2 ，m ) ( 2 4 5 ) 这个特征值问题最适合采用Q R 法求解。如已求得它的特征值肛， 拓， ( f = l ，2 ，聊) ，可以得到原广义特征问题( 2 3 0 ) 的前m 阶特征值的近似值： 钫, ) 允：j - 妇 O 。i - 怡1 I ，) 一、 钫) = 妇。怡，订 ( 2 4 6 ) 纵上所述，虽然L a n c z o s 法也是由向量反迭代法和R a y l e i g h R i t z 法组成，但 它具有如下特点： ( 1 ) L a n c z o s 法本质上不是迭代法，因为它的迭代次数一般是确定的。 ( 2 ) 它的m 个L a n c z o s 向量是由单个初始向量通过向量反迭代化和正交化 第2 章盘式制动器制动噪声研究的理论基础 后，集合所有迭代向量形成的。而不像子空间迭代法，用多个向量同时 反迭代，仅用迭代后产生的向量作为R i t z 基向量，而完全舍去迭代前的 向量。 ( 3 ) 它仅用一次l h y l c i g h - R i t z 法，而不像子空间迭代法，每次同时反迭代后 都要用一次R a y l e i g h R i t z 法。 ( 4 ) 它的降阶特征问题仅是一个三对角矩阵的标准特征问题。 2 4 。3 复模态求解方法 在用L 锄c 趵s 法完成求解对称系统特征问题后，将原始矩阵泓】、F 】及医】投 影到由N 个特征向量组成的子空间里去： 瞰】- 【办，九】r 】【办，九】 ( 2 4 7 ) 【c 】= 【破，九九c 】协，九】 ( 2 4 8 ) 【K 】= 【办，九】r 【K 】【办，九】 ( 2 4 9 ) 由此得到式( 2 5 0 ) ： ( 名订】+ 名【c 。】+ 【K 】) 扣；= 0 ( 2 5 0 ) 使用Q z 算法求解上述广义非对称特征问题，得到特征向量如。 。最后，原 始系统的特征向量还原如下： 和广= 慨，九如芦 ( 2 5 1 ) 其中，细r 是对原始系统第k 阶特征向量的近似。 2 5 本章小结 本章从振动与噪声的关系出发，讨论了由摩擦引起的振动与噪声的若干特 点，介绍了摩擦噪声的几个常见机理。随后推导了盘式制动器制动噪声形成的动 力学方程，并提出了建立制动盘旆0 动块接触面间摩擦耦合的方法。 研究发现，由于引入摩擦作用，系统刚度矩阵会变得不对称，这会使系统特 征值及特征向量出现复数。其中，模态特征值的虚部表示该阶模态的振动频率， 特征值实部则表示该阶模态的稳定性。 当某阶模态的特征值实部大于零时，该阶模态被认为是不稳定模态，并可能 导致系统失稳。所以可以通过模态分析来研究制动器制动噪声现象。 最后，本章还介绍了本课题所采用的模态算法。 第3 章盘式制动器制动噪声有限元模型及计算 ， 第3 章盘式制动器制动噪声研究的有限元模型及计算 本章的主要工作是建立盘式制动器制动噪声研究的有限元模型，并对此模型 进行分析计算。以H y p e r m e s h 及A B A Q U S S t a n d a r d 求解器分别作为有限元前处 理工具及求解器。 为完成有限元计算工作，首先建立盘式制动器几何模型：然后把盘式制动器 几何模型导入H y p e r m e s h ，在H y p e r m e s h 环境中完成网格划分、赋予材料常数、 设定边界条件与载荷等工作：随后编写A B A Q U S 输入文件，在A B A Q U S S t a n d a r d 求解器中完成计算工作。 3 1H y p e r m e s h 与A B A Q u S s t a n d a r d 求解器简介 3 1 1H y p e r m e s h 简介 H y p e r m e s h 是一种高效的有限元前后处理器，能够建立各种复杂模型的有限 元模型，与多种主流C A D 和C A E 软件有良好接口并具有强大的网格划分功能。 1 ) H y p e r m e s h 的几何接口 H y p e r m e s h 可以读取各种当前业内普遍使用的主要C A D 软件的数据格式， 包括C A I T A 、U C 沁、P R O E 、S T E P 、I G E S 、P D G S 、D X F 、S T L 等格式。 H y p e r m e s h 可以对输入的几何实体进行清理或修补。具体包括：缝隙缝合、 复杂曲面修补、去除相贯倒角、去除孔洞、薄壳实体中面抽取功能等。 2 ) H y p e r m e s h 的求解器接口 H y p e r m e s h 支持多种求解器输入输出格式，与主流求解器无缝集成，可支持 L S - D Y N A 、A B A Q U S 、O p t i S t r u c t 、R a d i o s sB L O C K 、A N S Y S 、P a m C r a s h 、N a s t r a n 、 M a r c 等主流求解器，并为各个求解器都定制了专业界面。 以A B A Q U S 求解器为例，H y p e r m e s h 提供的专业界面可以很好的支持 A B A Q U S 中的不同单元类型以及关键字：帮助用户使用图形化界