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基于小波理论的分形图像压缩算法研究 摘要 目前，在图像压缩编码领域中，分形编码和小波变换编码两个研究分支受到 广泛重视，有关分形和小波相结合的混合编码算法作为崭新的研究课题已经开展， 且备受青睐。 本文分别在分形编码，小波变换编码及分形与小波变换相结合编码应用于灰 度图像压缩等三个方面做了如下部分改进工作： 针对分形图像编码的固有缺点之一：在保持较好图像质量的情况下，为各值 域块寻找相应匹配的定义域块使得编码时间较长，编码速度较慢。本文利用在分 形图像编码过程中各值域块和与之匹配的定义域块之间的对应位置关系，可对较 小的值域块进行编码，而不用考虑其对压缩率的影响，从而提高了编码的效率。 在小波零树编码算法的基础上给出了一种采用变扫描的图像压缩算法。对一 幅图像数据首先应用小波零树图像编码算法生成以小波系数组成的多棵零树，然 后对这些零树，采用如果碰到零树根，则省略对这棵零树上的所有子代小波系数 的扫描，从而大大提高了扫描编码的效率，使得描述重要系数的位置信息大大减 少，提高了编码效率。 分形与小波相结合图像编码的一般方法是：首先对给定图像进行一次或多次 二维小波变换后，得到频率域中的多分辨率表示，然后对各相似的高频子带问利 用分形编码。该算法具有较高的压缩比，但缺点是编码速度较慢。本文给出了一 种新的编码方法。该方法大大提高了值域块和定义域块的匹配时间，降低了分形 的编码时间，从而整体上提高了图像的编码效率。 本文在最后讨论了算法在数字水印中的应用。数字水印技术是现在应用比较 广泛的一- 门信息安全技术，水印信息的产生和嵌入在很大程度上影响了信息的安 全性。本文给出了种基于分形和小波相结合的数字水印技术。实验结果表明它 能很好的实现水印信息的嵌入和提取。 关键词：图像压缩；分形编码；小波变换编码；数字水印 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t n o w a d a y s ，m u c ha t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot w or e s e a r c hb r a n c h e si nt h en e l do f i m a g ec o m p r e s s i o n ，t h a ti s ，f r a c t a lc o d i n ga n dw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nc o d i n g i n p a r t i c u l a r ，t h eh y b r i da l g o r i t h m so ff r a c t a la n dw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nc o d i n gh a v e a l r e a d yb e e nd e v e l o p e da n da r eb e c o m i n gp o p u l a r i nt h i sp a p e r ，w em a k es o m e i m p r o v e m e n t so nt h 。印p l i c a t i o nt oi m a g ec o m p r e s s i o no ft h et h r e er e s e a r c hb r a n c h e s i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ee n c o d i n gt i m et os e a r c hm a t c h i n gd o m a i nb l o c kf o r e v e r yr a n g eb l o c ki sd e f i n i t e l yl o n ga n de n c o d i n gs p e e di sa c c o r d i n g l yr a t h e rs l o w i n o r d e rt oo v e r c o m cs u c hap r o b l e m ，w ep r o p o s ea n di m p l e m e n tan e w a l g o “t h m i nt h e p r o c e s so fm a t c h i n gd o m a i nb l o c k sa n dr a n g eb l o c k s ，r a n g eb l o c km a ye n c o d ew ic ha s m a n e rp i e c e s ，w i t h o u tc o n s i d e “n gi t si m p a c to nc o m p r e s s i o nr a t e s ，t h u si n c r e a s i n g t h ec o d i n ge m c i e n c y w ep u tf o r 、v a r daz e r o l r e ew a v e l e ti m a g ec o m p r e s s i o na l g o r i t h mw i t h r i g i d p a c k a g el e n g t h w h i c hb a s e do n e z w ( e m b e d d e d z e r o t r e ew a v e l e t e n c o d i n g a l g o r i m m ) a t6 r s t ，t h ed a t u mo ft h ei m a g ea r et u r n e di n t om a n yz e r o t r e e sw h i c h c o n s i s to fw a v e l e tc o e f n c i e n t sb y u s i n gz e r o t r e ew a v e l e ti m a g ec o m p r e s s i o n a l g o r i t h m t h e n ，t h o s ez e r o t r e e sa r eu s e dt oc o e m c i e n ts c a n n i n g ，i fm e e tt h ez e r o t r e e ， a l li t s f i l i a lg e n e r a t i o na r eo m i t t e df r o mz e r o w h i c hd e s c r i b ei m p o r t a n tf a c t o r l o c a t i o ni n f o r m a t i o ng r e a t l yr e d u c e d ，t h u sg r e a t l yi m p r o v i n gt h ee m c i e n c yo ft h e s c a n n i n gc o d e ，e n h a n c e dc o d i n ge m c i e n c y a si sw e l lk n o w ，i nt h eg e n e r a lc o m b i n i n ga l g o r i t h mo ff r a c t a la n dw a v e l e t t r a n s f o r m a t i o na p p l y i n gt oi m a g ec o m p r e s s i o n ，o n ec o u l dp r o d u c tm a n ys u b b a i l d s i n c l u d i n go n el o wf e q u e n c ys u b b a n da n ds e v e r a lh i g hf t e q u e n c ys u b b a n d sa f t e r t r a n s f o r m i n gt h ei m a g eb yt w o d i m e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o no n eo rm o r et i m e s t h es i m i l a rh i g hf t e q u e n c ys u b b a n d sa r ea s s i g n e dt oe n c o d eb yf r a c t a lc o d i n g a l g o r i t h m t h i sa l g o r i t h mh a so n ea d v a n t a g ew i t hh i g hc o m p r e s s i o nr a t i o ，w h e r e a si t h a so n es h o r t c o m i n gw i t hr e l a t i v e l ys l o we n c o d i n gs p e e d i nt h i sp a p e r ，w ep r o p o s e t h en e wa l g o r i t h mo ff r a c t a la n dw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，w h i c hi ss h o w e dt h a ti tc a n i m p r o v et h ee n c o d i n gs p e e db ye x p e r i m e n t a lr e s u l t s i nt h ee n do ft h i sp a p e r ，w ed i s c u s s e dt h ea l g o r i t h m si nt h ed i g i t a lw a t e r m a r k s a p p l i c a t i o n d i g i t a lw a t e r m a r kt e c h n o l o g yi s aw i d e r 印p l i c a t i o no fi n f o r m a t i o n t e c h n o l o g ys e c u r “y ，w a t e r m a r k sa n dt h ee m b e d d e di n f o r m a t i o nh a v eai m p a c to nt h e i n f o r m a t i o ns e c u r i t y t h i sp a p e rp r o v i d e sa na p p r o a c hb a s e do nac o m b i n a t i o no f f r a c t a la n dw a v e l e ta b o u tt h cd i g i t a lw a t e r m a r k st e c h n o l o g y e x p e r i m e n t a lr e s u l t s i i i 基于小波理论的分形图像压缩算法研究 s h o wt h a ti t sag o o da c h i e v e m e n tw a t e r m a r ki n f o r m a t i o ni nt h ee m b e d d i n ga n dt h e e x t r a c t i n g k e yw o r d s ：l m a g ec o n l p r e s s i o n ；f r a c t a lc o d i n g ；w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nc o d i n g ； d i g i t a lw a t e r m a r k 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：臂御h 期：加。6 年肆月e 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：莆象御日期：砷年辟月g 曰 导师签名：爵毛。运日期：加年午月，护 硕士学位论文 第一章绪论 每天都有大量的信息用数字进行存储、处理、传送。各个公司通过互联网向 合作伙伴、投资商和潜在的消费人群提供金融方面的数据信息、年报、存活目录 和产品信息。定单登记和跟踪是两种最基本的网上交易活动。这些每日往来的信 息给我们的家庭带来了便利和安逸。美国已经将整个美国国会图书馆的图书编制 了目录，使其成为世界上最大的电子图书馆，以此作为其进行数字化和建立电子 政府的第一步；同时，人们企盼的有线电视点播也即将成为现实。因为网上的许 多信息是以图像形式存储的，所以对于存储和通信的需求是无限的。而数据压缩 方法比起数据的存储和传输具有更为突出的使用价值和商业意义。 图像压缩所解决的问题是尽量减少表示数字图像时需要的数据量。减少数据 量的基本原理是除去其中多余的数据。以数学的观点来看，这一过程实际就是将 二维像素阵列变换为一个在统计上无关联的数据集合。这种变换在图像存储或传 输之前进行。在以后的某个时候，再对压缩图像进行解压缩来重构原图像或原图 像的近似图像。 人们对图像压缩开始感兴趣可以追溯到3 5 年前。最初在这一领域研究的焦点 集中在建立一种模拟的方法以便减少视频传输所需的带宽。这一过程称为带宽压 缩。数字式计算机的出现和后来先进的集成电路的发展，导致了这方面研究的重 点从模拟方式转移到数字压缩方法上来。随着最近几种关键性的国际图像压缩标 准的正式采用，这领域在理论研究的实际应用方面有了重大的发展，这是自2 0 世纪4 0 年代c e s h a n n o n 和其他人首先提出信息的概率论观点和信息的表达、传 输、和压缩以来又一重要的发展阶段i 1 1 j 。 当前，图像压缩被认为是一种“开放技术”。除了刚才提到的一些领域外，由 于现代图像传感器不断提高空间分辨率以及电视广播标准的不断发展，图像压缩 也成为一种基本技术。再有，数据压缩在许多重要且性质不同的应用领域中扮演 着主要的角色，比如，电视会议、遥感、记录文献、和医疗成像、传真( f a x ) 、 军事上的远程遥控车辆驾驶及危险废弃物管理等方面。简而言之，不断扩大的应 用领域依赖于对一值图像、灰度图像和彩色图像进行有效的处理、存储和传输。 1 1 图像压缩处理概述及压缩系统的组成 “数据压缩”指减少表示给定信息量所需要的数据量。数据和信息之间必须 给予明确的区分。数据是信息传送的手段。对相同数量的信息可以以不同数量的 数据表示。包含了与所描述的内容无关联的或是重述已经知道了的信息，就叫做 基于小波理论的分形图像压缩算法研究 包含了数据冗余。 数据冗余是数字图像压缩的主要问题。它不是一个抽象的概念，而是一个在 数学上可以进行量化的实体。如果 j 和h 2 代表两个表示相同信息的数据集合中 所携载信息单元的数量，则第个数据集合的相对数据冗余r 。可以定义为： _ 1 一毒 ( 1 1 ) 这里白通常称为压缩率，定义为： c 。= 旦( 1 2 ) 阳2 对于”严脚的情况，q = 1 ，五d = o ，表示( 相对于第二个数据集合) 信息的第 一种表达方式不包含冗余数据。当h l “”2 的情况，q c 。，r d 一1 ，意味着显著 的压缩和大量的冗余数据。最后，当n 2 = j 忙一| i ) ( 2 ，2 2 ) 其中中。，。( f ) 是中似t ) = 2 一j 中( 2 7 f t ) 在j = o 时的蜕化形式，也就是m ( 卜妨。又根据 规范惟交性，有 陋2 0 = l ( 2 2 3 ) 因此中任意函数必可表示为中。o ) ，t z 的线性组合。也就是髓，设一渺 代表刷在上的投影，则必有 一。o ) = c 。 中呲【f ) ( 2 2 4 ) 其中“。是线性组合权重，其值可按下式求得： c 呲= ( 以巾l m 。，。o ) ) = ( ，纯o 。o ) ) ( 2 2 5 ) a 0 ，( f ) 称为以0 在中的平滑逼近，也就是在分辨率，= o 下的概貌。岛。称为 例在分辨率j = 0 下的离散逼近。 子空间n ：如果西( t ) ，则根据二尺度伸缩性，必有西( “2 ) n 。而且 如果 是k 中的规范正交基，则 必是n 中的规范正交 基。因此n 中的任意函数，例如代表苁0 在n 上的投影a 以f ) 必可表示为 的线性组合，即 彳，巾) = c 。d o ) ( 2 2 6 ) 女 其中权重 q ，。= ( 4 凡x q ，。( f ) ) = ( ， 中坫o ) ) ( 2 - 2 7 ) 称为火0 在中的平滑逼近，也就是在分辨率，= 1 下的概貌。q 。称为厦f ) 在分辨 率，= 1f 的离散逼近。 子空间啊：如果在子空间中能找到一个带通函数吼t ) ，其整数位移的集合 妒o 一) 构成了中的规范正交基，则根据二尺度伸缩性，可以证明妖t 2 ) 硕士学位论文 形l 吲，且 必构成中的一组规范正交基，即 ( 妒。o ) ，。，。( f ) ) = 占0 一后)( 2 2 8 ) 又因为毅t ) 是带通函数，所以p o 协= o 因此中的任意函数，例如代表( o 在暇上的投影d l ，( f ) 必可表示为 的线性组合，即 d 1 厂( r ) = 丸耻o )( 2 2 9 ) 其中权重 ( f 。= ( d 1 ， ，。o ) ) = ( 巾l ，。o ) ) ( 2 3 0 ) 因为= k 0 联，所以又 4 ，o ) = 4 ，0 ) + d ，o ) 或d 1 厂o ) = 厶i 厂o ) 一4 ，0 ) ( 2 3 1 ) 即d l ，o ) 是两级相邻平滑逼近之差，反映这两级逼近之问的细节差异。因此称 d i ，o ) 为分辨率j = l 下的细节函数，码。为分辨率，= 1 下的离散细节。值得注意 的是，由式( 2 3 0 ) 可见，西实际就是，= l 时离散小波变换既，( f ，是) ，妖f ) 就是具 有带通特性的小波函数。这样就把多分辨率分析和小波变换联系起来了。 【3 】上述讨论可以推广到巧1 和巧，之间，即 一，、 中肿d ) = 22 函( 2 1 ，一七j ，l ( z 必是巧中的规范正交基。 y o ) ：2 一；y ( 2 一，卜七l 七z 必是中的规范正交基。 4 ，。，o ) = c t 西川，；( f l 。= ( ，n 巾川，。o ) ) 4 ，( f ) = 巳- 中肚( f c 甜= ( 厂 。m ( ，) ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) b ，( f ) = 以，。” 办，。= ( - 厂吩，。o ) ) ( 2 ，3 4 ) 爿- l ，o ) = 4 ，l ，e ) + d ，o ) ( 2 3 5 ) 彳，( f ) 是厂( ) 在一中的投影，也就是在分辨率j 下的平滑逼近，c 似足其离教 逼近。d ，缸) 是，o ) 在，中的投影，反映a h 厂o ) 、4 ，o ) 两级平滑逼近之间的细 节差异。而其离散值d 肚就是离散小波变换，o ，量) 。 从上面的讨论不难发现，多分辨率分析的核心是、眠空间的规范正交基 o ( ，一曲、y ( f t ) ，z 。只要它们已知，分析就可以逐级进行。 基于小波理论的分形图像压缩算法研究 2 3 离散小波变换的快速算法 由前面讨论的多分辨率分析可知，任意信号( f ) 巧1 在巧一- 空间中的展开式 为 巾) = 巳_ 1 。2 一咿2 巾( 2 1 f t ) ( 2 3 6 ) 将火力分解一次( 即分别投影到巧，空间) ，则有 厂( f ) = c 舭2 一，7 2 审( 2 一，卜一t 卜d 肚2 “2 ( 2 一，f t ) ( 2 3 7 ) t 其中勺，是以f ) 在巧空间的离散逼近，称为尺度系数。面， 是以，) 在巧空间的离散 值，称为小波系数，也就是我们要求的小波变换，o ，后) 。 q 广( 厂 o ”o ) ) = e ，( ) 2 叫2 砸瓦功 ( 2 3 8 ) d 舭= ( ，o l y ”( r ) ) = e ，( f ) 2 1 ”石。f 一班 ( 2 3 9 ) 多分辨率分析理论下的尺度函数o ( t ) 和小波函数戢c ) 具有以下重要性质：设 m ( t ) 和妖t ) 分别为尺度空间i ，o 和小波空间的规范正交基函数，由于 亡t 。，c 旷。，所以西( t ) 和妖t ) 也必然属于空间n 1 ，也即西( t ) 和坝t ) 可用雎1 空间的正交基垂- l 。( t ) 线性展开： 巾e ) = 0 知吐。o ) = j 0 净亿一n ) ( 2 4 0 ) b ) = g ( n 如 。o ) = i g ( ”净( 2 f n ) ( 2 4 1 ) 其中展开系数h ( n ) ，g ( n ) 分别为： 矗0 ) = ( o ( f x m 。o ) ，g ( f ) = ( 妒e l 吐。o ) ( 2 4 2 ) 式( 2 4 0 ) 和式( 2 4 1 ) 描述的是相邻二尺度空间基函数之间的关系，被称为二尺 度细分方程【”。将二尺度细分式( 2 4 0 ) 、( 2 4 1 ) ，对时间进行伸缩和平移，得 由( 2 ，r t ) = o 伽( 2 一川f 一2 i 一n ) ( 2 4 3 ) 妒( 2 - ，卜一_ j ) = g o 腼( 2 一川f 一2 七一”) ( 2 4 4 ) 令m = 2 抖n 则式( 2 4 3 ) 和式( 2 4 4 ) 两式分别变为： 巾( 2 - f 一七) = ( 坍一2 i ) 孙( 2 一川，一聊) ( 2 4 5 ) 硕士学位论文 p ( 2 一f 一尼)g 一2 七脑( 2 1r m ) ( 2 4 6 ) 将式( 2 4 5 ) 和式( 2 4 6 ) 分别代入式( 2 3 8 ) 和式( 2 3 9 ) ，得 气。= 锄) e 厂姑州”砸丽五硇 d ”= g 妇硪) e ，姑刊”砸丽i 硇 由于二e 厂o ) 2 一州7 2 面留i 珥= ；硇= c 川。所以式( 2 4 7 ) 和式( 2 4 8 ) 分别变为： c 卅= 一2 女b ，。 ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) d 灿= g 一2 i h 。 ( 2 5 0 ) 式( 2 4 9 ) 和式( 2 5 0 ) 说明，巧的尺度系数和巧空间的小波系数可由巧一l 空间的 尺度系数经滤波器系数 ( h ) ，甙n ) 进行加权求和得到。 将巧空间的尺度系数。m 进一步分解下去，可分别得到巧十l ，+ 1 空间的尺 度系数c 州女和小波系数西+ l 。女。式( 2 4 9 ) 和式( 2 5 0 ) 给出的就是著名的m a l l a t 塔式 分解算法 1 1 】，也就是离散小波的快速算法。 图2 2 给出了对一维信号进行小波分解与重构的示意图【1 ”。采用可分离滤波 器的形式，很容易将上述结论推广到高维情况，图2 3 给出了二维小波分解与重 构示意图。 c i l 弓 图2 2 一维小波分解与重建结构示意图 图2 3 二维小波分解与重建结构示意图 c j l ， t c 驴“ 小 一“ 基于小波理论的分形图像压缩算法研究 2 4 小波变换编码 自2 0 世纪8 0 年代以来，小波变换因其特有的多分辨率分析及方向选择能力 而被广泛应用于图像编码领域，取得了很好的效果。一般而言小波变换编解码具 有如图2 4 的框架结构3 1 。 塑登r 石磊1 r 1 厅赢丌兰挈输出 叫小波变换卜_ 叫量化卜_ 叫熵编码卜 ( a ) 编码部分 恢复图像厂 厂 r 比特流输入 _ 一小波逆变换i 一 反量化卜卜- 一应熵编码h 卜_ 一 ( b ) 解码部分 图2 4 小波编解码框图 熵编码主要有霍夫曼编码、游程编码以及算术编码等，而量化为小波变换的 核心，其目的是为了更好的进行小波图像系数的组织。 采用上节介绍的二维小波变换快速算法，以原始图像为初始值，不断地将上 一级图像分解为四个子带。每级分解得到的四个子带图像，分别对应频率平面上 不同的区域，它们分别含有上一级图像中的低频信息和垂直、水平及对角线方向 的信息。从多分辨率分析出发，一般每次只对上一级的低频子图像进行再分解， 如图2 5 所示，其中l l 为低频子带，h l ，l h ，h h 为高频子带。图2 6 中给出了 对l e n a 图像进行小波分解的实例，图2 6 ( a ) ，为原始图像，图2 6 ( b ) 、( c ) 、( d ) 是对 图2 6 ( a ) 进行1 3 级分解得到的小波图像。为方便期间，将经过小波变换后的图 像数据简称为小波图像。 ( a ) l ln 溯 i ij 溪蘸 鬃震 图2 5 小波变换 捌 一i ；i 羹鍪囊 祭女# 叛一琏 鬻黍瓣 ( c )( d ) 硕士学位论文 ( a ) 原始图像( b ) 1 级小波分解 ( c ) 2 级小波分解( d ) 3 级小波分解 图2 6l e n a 图像的1 3 小波分解 图像小波变换后，并没有实现压缩，只是对整幅图像的能量进行了重新分配。 事实上，变换后的图像数据具有更宽的范围，但是宽范围的大数据被集中再一个 较小的区域内，而在很大的区域中数据的动态范围很小，即经小波变换后，图像 信号可以获得稀疏的表示式。小波变换编码就是利用小波变换的这些特性，采用 适当的方法组织变换后的小波系数，从而实现图像的高效编码。小波变换编码具 有以下特点【4 ”j ： 1 】由于小波变化编码可以充分利用小波分析的良好时一频特性，分解后的 各系数相对平稳，且具有天然塔式数据结构的特点，很容易获得高效率的压缩。 【2 】小波变换编码中图像是作为个整体被处理传送的，而不是像基于分块图 像编码方法那样，把图像分成像素块来传送，因此不会出现方块效应。在高压缩 比条件下，小波变换编码的性能明显优于d c t 变换编码。 【3 】小波编解码的计算复杂度都相对较低且具有对称性，可以用软件实时地实 现。实用性较强，从而克服了模型编码和分形编码等方法计算复杂度高的缺点。 2 4 1 小波图像的特点 1 ，j 、波系数的分布特点 一幅图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，如图2 6 ( b ) 、 ( c ) 、( d ) 所示。不同分辨率的予图像对应的频率是不相同的，高分辨率子图像对应 图像中高频分量。一般来说。一幅图像主要由齐次区域和纹理区域以及相当少的 基于小波理论的分形图像压缩算法研究 视觉敏感边界构成。小波变换将图像绝大部分能量压缩到低频子带中，只有少数 能量分布在高频子带中。对l e n a 图进行小波四级分解，并对其小波系数进行统计 分析，结果见表2 1 表2 1l e l l a 图小波系数统计分析 子图号最小值昂大值均值方差能量 层能量合计 l h ，1 0 2 2 79 4 3 5o 0 56 7 9 4o 0 9 1 h l ，1 0 9 2 54 3 0 40 2 6 8 0 2o 0 6 5 0 1 7 3 h h 2 9 5 53 3 0 80 0 03 4 1 7o 0 1 6 5 l h 2 2 3 9 0 71 6 8 s 8o 0 21 9 5 6 2o 2 3 0 h l 2 2 1 9 0 71 3 9 0 9 一1 1 2 2 5 5 4 30 1 3 5 0 4 1 0 h h 2 1 1 6 6 81 2 5 9 0o 0 01 1 2 90 0 4 5 l h 3 4 7 1 8 83 9 9 3 3 1 2 l 5 4 5 3 9 0 4 1 4 h l 3 5 5 2 6 92 8 7 7 6- 5 2 26 8 7 0 70 2 6 2 o 7 6 9 h h32 6 9 3 8 2 5 9 5 90 5 93 2 4 8 10 0 9 3 l h a9 0 4 6 21 0 7 2 6 81 6 71 4 5 7 2 6o 8 8 1 h l t ，9 2 9 0 56 8 5 8 62 0 4 3 12 0 0 8 1o 4 6 81 4 8 1 h h a3 6 0 3 1 4 5 4 4 51 3 87 7 1 6 5o 1 3 2 l h 6 2 6 8 23 6 4 2 5 21 9 7 8 6 46 9 3 6 6 19 7 1 6 79 7 1 6 7 2 小波图像特点 从前面的讨论可知，小波图像具有如下几个明显的特点： 小波图像的频谱划分和方向选择性 小波变换将信号频谱按倍频程分割，其结果是将原始信号划分为多个高频带 数据和一个低频带数据。对于图像数据来说这些高频数据就是hl 、l h 、 h h ，( 户l ，2 ，奶三个频带系列，低频带则是最后的l l “d 级分解时) 。此外，从图像小 波变换的实现过程可知，图像数据的每一级小波分解总是将上级低频数据划分为 更精细的频带。其中，l h ，频带是先将上级低频带图像数据l 埠1 在水平方向低通 滤波后( 行方向) ，再经垂直方向高通滤波( 列方向) 而得到的，因此，l 马频带中包 含了更多垂直方向的高频信息。相应地，在h l ，频带中则主要足原图像水平方向 的高频成分，而hh j 频带是图像中对角线方向高频信息的体现。 对一幄图像来说，其高频信息主要集中在边缘、轮廓、和某些纹理的法线方 向上，代表了图像的细节变化。在这个意义上，可以认为小波图像的各个高频带 是图像中边缘、轮廓、和纹理等细节信息的体现，并且不同子带所表示的边缘、 轮廓、等信息的方向是不同的。小波图像的这特点表明，小波变换具有良好的 空间方向选择性，可以根据不同方向的信息来分别设计量化器，从而得到很好的 编码效果。 硕士学位论文 【2 】小波图像具有多分辨率分析的特点 小波变换更为重要的优越性体现在其多分辨率分析的能力上。小波图像的各 个频带分别对应了原图像在不同分辨率下的细节以及一个由小波分解级数决定的 最小分辨率下对原始图像的最佳逼近。从多分辨率分析的角度考虑小波图像的各 个频带时，这些频带之间并不是完全无关的。特别是对与各个高频带，由于它们 是图像同一边缘、轮廓和纹理信息在不同方向、不同分辨率下由细到粗的描述， 它们之间必然存在着一定的关系。很显然，这些频带中所对应的边缘、轮廓的相 对位置都是相同的。此外低频小波子带边缘与同尺度下高频子带中所包含的边缘 之间也有对应关系。 【3 】小波图像具有天然的塔式数据结构特点 图像经多级小波分艉后，各系数问存在着天然的塔式数据结构特点。除最高 分辨率下的三个高频子带外，每个高频子带中的每个像素点在空间位置上都对应 于其相邻分辨率下高频子带的四个像素点。而低频子带中的每个像素点在空间位 置上也与最低分辨率下三个高频子带中的一个像素点存在着对应关系。 2 4 2 用于图像压缩的小波变换研究 用小波变换实现图像编码时，需着重考虑以下四方面的问题4 ，”l ，即小波 基的选取、小波变换的层数、图像边界的扩展以及小波系数的组织与编码。 1 小波基的选取 在小波图像压缩中，选择一个好的滤波器是影响小波图像质量的一个关键的 因素，如果在压缩过程中的第一步，选择的小波滤波器的性能不好，即使是用足 够好的量化和编码方法也往往不能得到令人满意的图像压缩质量。如何选用滤波 器呢? 人们已经从滤波器的正交性、对称性、支承集、正则性和消逝矩阶数等性 质进行讨论，然而在实际选择时还需要考虑到图像纹理、压缩比、应用场台等综 合因素。在小波基诸多性质中一般较为着重以下几个方面： 1 】正交性。用正交小波基，由多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互 正交的子空间中，使各子带数据的相关性减少。除了h a a r 小波系外，能准确重建 的相应的正交滤波器组不存在。 【2 】支撑集。一般要求小波基是紧支集，在数字信号离散小波分解过程中提 供系数有限的f i r 滤波器。非紧支集小波在实际运算时需根据实际情况进行截断。 d a u b e c h i e d 小波是目前最常用的紧支集正交小波之一。 3 】对称性。为了获得高质量的重构图像，避免图像处理过程中可能的失真， 一般要求滤波器具有线性相位或广义线性相位，这就是说滤波器的冲激响应具有 某种形式的对称性。 4 正则性。正则性刻画了小波的光滑度，正则性越高，滤波器带通特性越 好；反之，则越能刻画图像边缘及突变位置。正则性与支撑集大小有关，支撑越 基于小波理论的分形图像压缩算法研究 大，正则性越好。 5 消失矩阶数。消失矩表明了小波变换后能量的集中程度，消失矩阶数很 火时，精细尺度下的许多小的高频数值可以忽略( 奇异点除外) 。因此，用消失矩 越大的函数来进行图像分解后，图像的能量就越集中，压缩的空间就越大。消失 矩决定正则性，小波函数的消失矩越大表明小波的正则性越好。 其中，正交性、对称性和紧支撑性是选择小波基时最基本的参考要素。但这 三个特点并不能同时具备。d a u b e c h i e s 已经证明：正交小波基，除h a a r 小波外， 不存在对称或反对称小波。所以，h a a r 小波是唯一存在的紧支撑对称的正交小波。 除这三个基本条件以外，希望分解后的小波系数尽量集中，这就要求分解小波基 具有尽可能高的消失矩；重构时，希望量化误差造成的影响尽可能平滑，这就要 求重构小波具有尽可能高的正则性。 综上所述小波变换本质上是原始图像与小波基函数以及尺度函数进行内积运 算，d a u b