（电路与系统专业论文）射频无源匹配滤波器的优化设计[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 通信和电子系统一般由多种设备组成，在实际工作中常常会遇到阻抗不匹配 的问题，即前一个设备的输出阻抗不等于后一设备的输入阻抗。若把它们直接连 接在一起，不仅会使电路得不到良好的功率传输，而且还会引起其它各种复杂的 电路问题( 如信号的畸变、反射损耗等) ，发射机与天线阳j 的不匹配问题就属于这 种情况。若设想通过改变系统中天线或者发射机的参数来达到阻抗匹配的目的， 在实际当中却很困难。但若在这些不匹配阻抗中问加上一个无源匹配网络就能较 容易地解决由于阻抗不匹配丽引起的电路问题，从丽达到匹配要求。因而匹配网 络在通信和电子系统中起着非常重要的作用。 在实际的匹配过程当中常常伴有滤波的问题，基于这一点将匹配网络与滤 波器结合在起进行考虑，可以大大减少无源或者有源的元件数目，简化电路以 及网络的输入、输出特性关系。本文所设计的匹配滤波器就是将匹配网络和滤波 器结合在一起进行设计的，即直接设计匹配滤波器。 匹配滤波器传统的设计方法是网络综合方法但这种方法需要复杂的推导和 计算，同时还需给出终端特性的解析式，这在工程实际应用中有很大难度，而且 其技术指标或性能受到一定的限制。为了解决以上问题本文利用电路优化技术， 设计l c 无源网络，把实际负载阻抗转换成电源网络所需要的负载阻抗，从而达到 阻抗匹配，满足设计特性要求( 如幅频特性、回波损耗等) 的目的。其具体的设 计步骤如下：首先，根据滤波、匹配的要求，用传统的方法确定匹配滤波器电路 参数的初始值( 不太精确的数值) ，建立需要优化的目标函数，推导出目标函数对 元件参数的梯度并写出相应的分析程序；然后，根据目标函数的特点选择合适的 优化方法，编写相应的优化程序，利用电路优化技术的灵活性调整参数，求出匹 配滤波器的最佳设计值：最后，用实例证明了本方法的有效性。 关键词： 优化；匹配网络；匹配滤波器；幅频特性 a b s t r a c t c o m m u n i c a t i o na n de l e c t r o n i cs y s t e m sg e n e r a l l yc o n s i s to fv a r i o u se q u i p m e n t i n a c t u a lw o r k ，t h es y s t e m su s u a l l ym e e tt h eu n m a t c h e dp r o b l e mi ni m p e d a n c e ，n a m e l yt h e o u t p u ti m p e d a n c eo ft h ef r o n te q u i p m e n ti su n e q u a lt ot h ei n p u ti m p e d a n c eo ft h el a t t e r e q u i p m e n t i ft h e ya r ed i r e c t l yc o n n e c t e d ，t h ec i r c u i tw i l ln o tg e tt h eg o o dp o w e ra n d c a u s eo t h e rk i n d so fc o m p l i c a t e dc i r c m tp r o b l e m s ( s u c ha st h ea b e r r a n c eo ft h es i g n a l ， r e t i e c t i n gl o s se t c 。1 t h eu n m a t c h e db e t w e e n t h et r a n s m i t t e ra n dt h ea n t e n n ai so fs u c h m a t t e ri ti sm o r ed i f f i c u l tf o ra l ls y s t e m st or e a l i z et h em a t c h i n gb yc h a n g i n gt h e p a r a m e t e r so ft h ea n t e n n ao rt r a n s m i t t e ri na c t u a l w i t ht h eg e n e r a ln e t w o r ks y n t h e s i s m e t h o d ，t h i sp r o b l e mc a nh a r d l yb es o l v e d i fap a s s i v em a t c h i n gn e t w o r ki sa d d e di n t h eu n m a t c h e di m p e d a n c e ，t h ep r o b l e mw i l lb es o l v e d a sar e s u l t ，t h em a t c h i n g n e t w o r kp l a y sa k e yr o l ei ne l e c t r o n i ca n dc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s m a t c h i n ga n df i l t e r i n gu s u a l l yc o e x i s t ，s oas y s t e mi sd e s i g n e dt oc o m b i n e t h et w o p r o b l e m st o g e t h e r t h en e t w o r km o d e li su s e di nt h i ss y s t e mi no r d e rt or e d u c et h e n u m b e ro f p a s s i v ec o m p o n e n t s0 7n a t i v ec o m p o n e n t s ，t os i m p l i f yt h ee l e c t r i cc i r c u i t ，t h e i n p u ta n do u t p u to f t h en e t w o r k i nt h i st h e s i s t h e ya r ec o m b i n e dt o g e t h e rt od e s i g nt h e m a t c h i n gf i l t e r i no t h e rw o r d s ，i ti sd e s i g n e dd i r e c t l y t h et r a d i t i o n a lm e t h o do fd e s i g n i n gf i l t e rn e e d st h ec o m p l e xd e d u c t i o na n d c o m p u t a t i o n t h ef o r m u l ao ft h et e r m i n a lc h a r a c t e r i s t i c i ti sm o r ed i 伍c u l tf o rt h e e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o nt or e a l i z e i nt h i st h e s i s ，c i r c u i to p t i m i z a t i o nt e c h n i q u ei su s e d t od e s i g nl cp a s s i v em a t c h i n gn e t w o r k ，a n dt oc h a n g et h ea c t u a ll o a di m p e d a n c ei n t o t h ei m p e d a n c et h a tn e e d e da n dt h u s o b t a i nt h er e q u e s t e dc h a r a c t e r i s t i c ( s u c ha s a m p l i t u d ef r e q u e n c y , s t a n d i n gw a v er a t i o ) t h ec o n c r e t es t e p sa r ea sf o l l o w s ：f i r s t ， a c c o r d i n gt ot h ed e m a n d so ft h ef i l t e ra n dt h em a t c h i n g , t h et r a d i t i o n a lm e t h o di su s e d t oo b t a i nt h eo r i g i n a lv a l u eo ft h ec i r c u i t ，f o r m u l a t et h eo b j e c t i v ef u n c t i o nf o r t h e o p t i m i z a t i o n ，a n dd e d u c et h eg r a d i e n to ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ；s e c o n d ，o p t i m i z a t i o n n l e a n si sc h o s e nt oa d j u s tt h ep a r a m e t e r st oo b t a i nt h eb e s tp a r a m e t e r so ft h em a t c h i n g f i l t e r f i n a l l y , a ne x a m p l ei su s e dt od e m o n s t r a t et h eo p t i m i z a t i o ne f f e c to f t h i sm e t h o d k e yw o r d s ：o p t i m i z a t i o n ；m a t c h i n gn e t w o r k s ；m a t c h i n gf i l t e r s ；a m p l i t u d e r e s p o n s ec h a r a c t e r i s t i c 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博士硕士学位论文 ：盟题玉遂匹壁洼这墨的选业遮进： 。除论文中已 经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发 表或未公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：幸匆卅窟 d 6 年3 月3 1 臼 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、 版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于：保密口 不保密口( 请在以上方框内打“”) 论文作者签名：幸易刊嘘导师签名：三六寿 日期： d6 年d 3 月3 d 日 第一章绪论 1 1 前言 网络匹配问题是通信、雷达和其它电子系统中经常遇到的一个基本问题。它 要解决的问题是，设计一个二端口网络，加在信号源与负载之间，使信号源阻抗 与负载阻抗匹配，同时在给定的频率范围内达到传输特性的要求。 早在七十年代，就有不少的电路理论工作者对匹配网络进行了较深入的研究， 其中包括美国伊利诺大学著名电路理论家陈惠开教授，他利用网络综合的方法对 许多特定的负载导出了匹配网络元件的计算显式( 包括低通型和带通型匹配网 络) 。而用网络综合法要给出设计的步骤，每一次的设计往往都需要一步步的推导 和计算，实际应用起来比较复杂，有时甚至需要极专业人员才能完成工作。而且， 由于滤波器的复杂性，其网络逼近技术难度较大，而网络综合法又要求精确的推 导，限制条件往往比较多，网络的可实现性也是不确定的。网络综合法存在的这 些问题使它的普遍适用性受到很大的限制”。 随着计算机的广泛应用，匹配滤波器设计的数值方法也于六十年代中期开始 发展起来。与解析理论相比，这种方法更切合实际应用，它不仅能直接应用于匹 配滤波器的计算机辅助设计，而且能锯决解析方法中所遇到的许多困难闯题。 本文从数值方法出发，采用电路优化技术，在信号源与负载之间设计一个匹 配滤波器，使得滤波器在通带内信号源的阻抗与负载阻抗达到匹配，从而满足设 计的特性要求( 如幅频特性、回波损耗的要求) 。这种方法的优点是避免了网络综 合方法中的复杂的推导和计算，同时也无需知道相关电路元件值的直接计算公式， 利用电路优化技术在计算机的辅助下优化出匹配滤波器的最佳元件值。此方法与 网络综合方法相比更加灵活，在计算机的辅助下计算的速度快、精度高。 1 _ 2 双口网络的基本概念 现代电子设备中，广泛的应用着各种形式的滤波器。滤波器的种类很多，若 按频段划分，可分为低频、高频、甚高频和微波等滤波器；若按网络中是否含有 能源划分，可分为有源或无源滤波器；若按使用元件的特征来划分，可分为l e 滤 波器、晶体滤波器、机械晶体滤波器、机械滤波器、陶瓷滤波器、螺旋滤波器和 声表面波滤波器等。 我们可以把滤波器的一般应用情况用图1 1 表示出来，从图上可以看出，滤 波器有四个端子，其中两个端子接电源( 或信号源) ，构成一个输入口，另两个端 子接负载，构成一个输出口。这种具有两个端口的电路称两端口网络或双口网络。 在科学技术的发展过程中，人们通过实践总结出了一套双口网络理论。这种理论 不仅对于分析和设计滤波器有指导作用，而且对其它双口网络，诸如时延网络、 相移网络、衰减网络以及晶体管电路等等的分析和设计都具有指导作用。 电 负 源 双口 或 网络 信 载 号 源 图1 1 双口网络 f i g 1 1t w o p o r tn e t w o r k 双口网络是具有两对弓l 出端的电路系统，这种网络是用来传输电能或信号。 各种双口网络的内部结构不同，采用的元件也各有异，但是我们通常所关心的不 是它的内部情况，而只是它的输入和输出的电压和电流等同网络本身特性之间联 系的规律。因此，对双口网络，不论内部电路如何复杂，都可画成如图1 1 所示 的形式。 1 2 1 双口网络的网络参数 为了便于理解，现在先来看一下图1 2 所示的t 形电路，其中u 。，厶，u ：，2 的 参考方向如图1 2 所示。 十u 1 t 可 z 1iz 3 图1 2t 形电路 f i g 1 2 t c i r c u i t + 由基尔霍夫第二定律，可写出两个方程 、 1 1z j “? 。些2 鼍 ( 1 1 ) ，2z 3 + ( ，l + ，2 ) z 2 = u 2j 由上式略加整理可得 、 ? 皤- ：_ 互) i - + z z l 2 ( 12 ) l u 2 = z 2 i l + ( z 2 + z ，) ，2j 象上式那样，以，。和，：为自变量，u 和u ：为因变量的方程式，称为双口网络z 参数方程，式中1 1 和1 2 的系数称为双口网络的z 参数，并分别用z 、z ：、z 2 1 和 z ，表示，即 z 1 1 = z l + z 2 ，z 1 2 = z 2 ， z 2 1 = z 2 ，z 2 2 = z 2 + z 3 成 如厶 鸦 m 乙 0 i i = 舣 队 于 这个结果虽是由具体的t 形网络导出的，实际上它具有普遍性。其它的双口网络， - 其内部结构可能比较复杂，写出来的电路方程式不止两个，但总可以解出u 。和讥 来，并且化成式( 1 3 ) 的形式。 z 参数方程的系数z 。、z 1 2 、z ：。和z ：又称为双口网络的开路阻抗参数，不难 由式( 1 3 ) 看出，即 z 。 毛2 弛 2 弛 2 乳 由于网络内部一般包含电抗元件，所以在一般情况下这些网络参数都是频率 的函数。一个线性的双口网络，只知道了这四个参数，它们的特性就完全确定了。 若把式( 1 3 ) 中的【，。和做自变量，l 和，2 做因变量，则可得双口网络的 y 参数y 、y 1 2 、y 2 i 和y 2 2 ，即 ，1 叫“鼍叫n 匕 ( 1 4 ) 、一7 1 2 = y 2 i u i + y 2 2 u 2j 2 扎。 妇2 批。孔。 若把式( 1 3 ) 中的z 和玩作为自变量，西。和丘为因变量，可得 4 ( 1 ，5 ) i 一 i i y 、t，j 2 2 uu 2 2吃如 + 氟 舷 | | i | ut 其中各系数 。、h 。：、h 2 ，、h 。称为双口网络的h 参数。各参数的量纲不全相同 因此这组参数有时也称为混合参数。它们的意义如下： a ，t 2 2 等i i ：。 曩z 2 = 爰i i ：。 k 5 批 若以u ：、i ：为自变量，u 。、，为因变量，由式( 1 - 3 ) 可得 、 u 1 = a u 2 - b l z ( 1 6 ) ，1 = c u 2 一d j 2j 其中a 、b 、c 、d 称为a b c d 参数或链接参数，简称a 参数。和其它参数相似， a 参数也可以表示如下“3 ： 肚批 c ：牟| d ，i i i m b ：旦1 一k o 肚热，。 1 2 2 双口网络的输入阻抗和输出阻抗 z 。 z s 图1 3 f i g 1 3 o ； u 如一 一一 2 矗 其中各系数 ”h 。2 、h 2 1 、h 2 2 称为双口网络的h 参数。各参数的量纲4 i 全相同 冈此这组参数有时也称为混合参数。它们的意义如下； 忙孙 若以d ：、丘为自变量，西，、i 为因变量，由式( 1 3 ) 可得 u 1 = a u 2 一b ，2i ，。= c u ：一d l j ( 1 6 ) 其中a 、b 、c 、d 称为a b c i ) 参数或链接参数，简称a 参数。和其它参数相似 a 参数也可以表示如下“3 ： 肚孔 c 一批 曰：旦1 一? l 玩= o 肚拙。 1 2 2 双口网络的输入阻抗和输出阻抗 1 2 2 双口网络的输入阻抗和输出阻抗 围1 3 f i g 1 3 珏 生 = a = u 一l 一一 矗 产 设图1 3 中所示双口网络输出端接有负载乞，则由输入口看去的阻抗z ，：晕 ， 就是网络的输入阻抗，不难看出输入阻抗与网络参数有较大的联系。如a 参数， 由式( 1 6 ) 就可较简捷地表示输入阻抗。 z ，：阜：i a u 2 - b 1 2 1 1c u 2 一d 1 2 考虑到d ，：一t z ，所以上式变为 z：墨兰墨皇生：生兰曼1 c z ji ，+ d i c z l 七d 这就是用a 参数表示的输入阻抗。 当输入口接以阻抗z 。时( 如图1 3 ) ，输出口电压u ：和电流，：之比称为网络 的输出阻抗，用z ：表示，则有 d 擘+ b z ，：堕：里竺! 壁! 二生! ：一互：d z , + b 厶，一一；一一 2 c u ，+ 爿( 一i i ) c 立u + 爿凹，+ 一 ，2 】+ 爿( 一i ) r1 。“，+ “ 一i 由上面可知，任何双口网络的四组参数之间都存在着固有的关系，知道某一组参 数后就可以求得另几组参数，从而也可很容易的求出输入阻抗和输出阻抗“1 。 1 3 匹配网络 1 3 1 匹配网络理论 自从在电子工程专业领域中引入网络模型以来，在重组和简化复杂电路以及 深入研究有源、无源器件的特性方面，网络模型已成为科学研究工程应用中不可 缺少的一种工具，特别是在射频电路中，所以网络模型有很大的应用价值。 网络模型有很多的优点：1 、可以大量减少无源、有源器件的数目：2 、避开电 路的复杂性和非线性效应；3 、简化网络输入、输出特性的关系：4 、最重要的是不 必了解系统内部的结构，就可以通过实验确定网络输入、输出参数。 在研究匹配问题中，利用网络模型，可以更简洁、更快速地设计出具体的匹 配网络( 即匹配电路) 。网络匹配问题就是在信号源和负载之间设计一个无源匹配 网络，能使其在一个给定的频段内从信号源到负载的转换功率增益为最大，不管 是有源电路还是无源电路都必须考虑到阻抗匹配问题，匹配网络的功能不仅能实 现最大功率传输，而且能减小噪声干扰、提高功率容量和提高频率响应的线性度。 1 1 3 2 阻抗匹配 在实际工作中常常会遇到负载电阻和信号源内阻不相等的情况，若把它们直 接连接在一起，不仅会使电路得不到良好的功率传输，而且还会引起其它各种复 杂的电路问题。因此需要设计一个网络介入在实际负载和电源网络之间，把实际 负载阻抗转换成电源网络所需要的负载阻抗，从而获得阻抗匹配。这种变换网络 常称为阻抗匹配网络【l 】。 如图1 4 所示，在信号源和负载之间设计一个无耗匹配网络，即网络的输出 阻抗等于负载阻抗z 。时，可以达到最大功率传输要求，从而避免了由于不匹配问 题而引起的各种复杂的电路问题( 如信号的畸变、反射损耗等) 。 v z s z l 图1 4 匹配网络 f i g 1 4 m a t c h i n g n e l w o r k s i 3 3 匹配滤波器 匹配网络在应用中经常与滤波器联系在起，基于这一点，利用网络模型， 将匹配网络与滤波器结合在一起进行考虑，这样可以大大减少无源或者有源的元 件数目，简化电路，简化网络输入、输出特性关系，所以本设计将匹配网络和滤 7 波器结合在一起进行设计，即直接设计匹配滤波器。 1 4 无源滤波器的主要技术参数 下面从通带特性和阻带特性入手简单介绍无源滤波器的主要技术参数。 1 4 1 通带特性 1 4 1 1 中心频率 a 2 2r i b 5 d b 2 翘 ，| 。 nf 1f 。kf 图1 5带通滤波器的响应曲线 f i g 1 5 t h er e s p o n s ec u r v e o f t h e b r a n d p a s s f i l t e r 以图1 5 带通滤波器的响应曲线为例，中心频率一般指通带频段的代数中心 处，用 表示。 1 4 1 2 插入损耗 我们定义。当未接滤波器时负载所吸收的功率，与接入滤波器之后负载所吸 收的功率之比为插入衰减函数。 滤波器 图1 6 滤波器工作图 f i g 1 6t h es c h e m a t i co f t h ef i l t e r s l v 。 根据幽1 6 ，未按滤波器而把负载电阻r 。直接接在信号源e 。上时，负载所吸 收的功率为： 气= ( 彘脚c ( 1 7 ) 插入滤波器后，负载所吸收的功率为： b ：单 ( 18 ) 胄， 、 故插入衰减函数为： 鲁= c 志川鲁 2 。， 插入衰减函数也常用分贝来表示，即， p 彳。= 1 0 l 。9 1 0 ( ( 分贝) ( 1 1 0 ) 通常称a 为插入衰减。 插入损耗是频率的函数，工程中的插入损耗又叫插入衰减。例如带通滤波器 中心频率处的插入衰减值称为带中心插入损耗，有时简称为插入损耗。此外，还 分别称通带内的最小插入衰减值和最大插入衰减值为最小插入损耗和最大插入损 耗。 这里需要指出的是，当两终端电阻不相等时，有可能得到负的插入损耗。这 9 意味着屹 r 。) ，就不采用插入损耗，而采用电压比。 1 4 1 33 d b 带宽 3 d b 带宽指的是与带中心插入损耗相差3 d b 处的频率带宽。以图1 6 为例，在 f o 点处衰减2 拈，在衰减5 如处的频率分别为、 ，卿j 3 d w 带宽为： n b = l 一 l 同理，2 0 d b 带宽指的是与带中心插入损耗相差2 0 d b 处的频率带宽。即： 瓠。= 厶一 1 4 1 4 带内波动 带内波动通常指的是通带内波动幅度最大的波峰和波谷之间的衰减值之差。 图1 7 的带内波动a ，= l d b 。 ： j 运别 图1 7 带通滤波器的带内波动 f i g 1 7 t h ew a v eo f t h eb r a n d - p a s sf i l t e r 1 0 1 4 ，1 ，5 驻波比 如图1 6 所示，当滤波器与终端负载匹配时，终端无反射，只有入射波电压 存在。当滤波器与终端负载不匹配时，电路失配，则终端产生反射。为了衡量电 路失配的程度，我们定义 r = 黠制 l z 州 或 r 2 可i z o l 靴m 。i 时 式中r 一电压驻波比。 1 4 1 6 反射系数一口 o ：蹄 爿一通带内的带内波动。 在切比雪夫和椭圆函数滤波器的整个通带中，电压驻波比的最大量与通带波 动幅度之间有以下关系： ，：刿 1 一i p l 工程中也常用反射系数p 来表示通带内的最大失配情况“1 。 1 4 1 7 群时延 电子设备中所传输的信号，一般都具有一定的带宽，即它包含有许多频率分 量。若要不失真的传输这类信号，除了要求滤波器具有一定的带宽，使信号中各 频率分量的幅度能保持有比例传输( 即不产生频率失真传输) 外，同时还必须使 每个频率分量的传输速度相同( 即不产生相位失真) ，则输出端才能恢复原来的信 号。 我们知道，相位延迟、相位和角频率间有以下关系： f ：里( 1 1 1 1 1 ) o 2 言 f 。一相位延迟 口一相位 脚一角频率 欲不产生相位失真，则要求相位特性是线性的，如图1 8 ( a ) 所示。此外，还常 用到群延迟的概念。我们用表示群延迟，则 f ；塑 ( 1 1 2 ) 如5 孟 。纠 p ( 相位) f 。( 群延迟 国( 角频率) ( a ) 无相位失真的相位特性 珊( 角频率) ( b ) 无相位失真的群延迟特性 圈1 8相位曲线与群延迟曲线的关系 f i g 1 8 t h ep h a s ea n dg r o u pd e l a yc h a r a c t e r i s t i c 显然，对群延迟乃而言，无相位失真条件为 f d = 常数 如图1 8 ( b ) 所示。 在传输单一频率信号的电子设备中 ( 1 1 3 ) 多采用相位延迟的概念。而在传输具有 一定带宽信号的电子设备中，则多采用群延迟的概念。通常将群延迟特性简称为 时延特性。 1 4 2 阻带特性 1 4 21 矩形系数 矩形系数来描绘选频系统的选择性的好坏，由图1 5 ， 定瓣= 等，或x 瓣= 等 矩形系数没有明确的规定是多少d b 带宽比多少d b 带宽，完全是根据用户的 要求而定。 理想的矩形系数为l ，但这样的选频系统是没有的。k 愈接近1 ，选择性越好a 1 4 2 ，2 对称 传统的网络综合设计法设计出的带通滤波器的响应曲线对中心频率是几何对 称的，也就是说在对数频率轴上的响应曲线是以五为对称中心，其 以上部分的 响应和以下部分的响应互为镜像。换言之，如果在矾处衰减口分贝，则在业处 的衰减也为口分贝。而客户要求为代数对称，即在频率轴上的响应曲线是以，0 为 对称中心的。1 。 a 【衰减)a ( 衰减) l o g ，( 频率对数)f ( 频率) ( a ) 几何对称的响应曲线( b ) 对应的频率轴上的响应曲线 图1 9几何对称与代数对称的关系 f i g 1 9g e o m e t r ya n da l g e b r as y m m e t r y 第二章匹配滤波器的设计 2 1前言 滤波器理论的起源，得感谢瓦格纳( w a g n e r ) 和坎贝尔( c a m p b e l l ) ，在1 9 1 5 年他们就提出了无源滤波器的概念。从那时起，滤波器设计的理论和实践，随着 “滤波器”术语的推广而有相当的进展。现在，近乎把滤波器定义为：对已知激 励需要具有规定响应的网络。响应要求可以在时间域或者频率域中给定，后一情 况通常意味着选择性。 无源集总滤波器的理论，就是通常所说的经典滤波器理论，近五十年来已受到 最大注意。最初的、非常成功的影象参数理论，已经逐步被考乌尔( c a u e r ) 、达林 顿( d a r l i n g t o n ) 和皮洛蒂( p i l o t y ) 的、更有效的插入衰减理论所代替。这个过程 被高速数字计算机的日益普及而加速了，计算机的利用己使其有可能经济地实现 基于后一种更复杂理论的滤波器设计技术。在许多应用中，需要衰减特性具有尖 锐选择性的滤波器，这时必须得用晶体和陶瓷元件，由于这些器件的模型复杂， 为了设计方便，已经发展了一套专门的理论【3 5 1 。 在滤波器的设计中，有传统的比较成熟的网络综合法，但随着计算机的日益发 展，数值方法也于六十年代中期开始发展起来。下面介绍具体的设计方法，即网 络综合设计法和优化设计法。 2 2 匹配滤波器的综合设计 基于滤波器的综合设计法是一种传统的设计法，它的设计过程已比较成熟， 所以在此只简单地介绍综合设计法的大致设计过程。 综合设计法的设计框图如图2 1 所示 1 4 图2 。l 滤波器设计示意图 f i g 2 it h es k e t c hm a po ft h ef i l t e rd e s i g n 框i 包括滤波器必须满足的工作特性指标。它将叙述所需要的衰减和相位( 或 延迟) 特性以及任何其它需要的特征，例如系统工程师认为重要的：端对的阻抗 特性、驻波比、反射系数等。 框2 所示，涉及到选择最易于制成符合指标的滤波器类型。选择时将受到下列 因素的影响：如工作频率范围、选择性程度、阻抗水平、大小和成本。在滤波器 的设计当中选择具体的滤波器类型时有多种多样的滤波器不供选择，并且为了能 在具体工作中作出高明的选择，需要有丰富的经验。 一旦把滤波器类型决定了，详细的设计工作便开始。其中第一阶段的内容示于 框3 。对于不同种类的滤波器，势必按不同的方法加以探讨，但在所有情况下，都 要作一些逼近处理，以便构成或至少规定适合的转移函数。后者必须同时符合框1 中所规定的指标和适合于框2 中所选择的滤波器种类。实现这种逼近处理通常用 下面三种有理函数方法，即巴特沃思函数、切比雪夫函数和椭圆函数。但实践已 表明这三个函数并非是最佳的选择，尤其是对某特定的问题，难以保证所选择 的函数类型是最优的。 从已知的转移函数，到求出元件值这一步骤示于框4 。这一步常常需要大量冗 长的数值计算工作、多项式的因式分解、作连分式展开以及类似的运算。 在滤波器的元件值已确定后，框5 所示的下步是分析计算滤波器的性能。 首先是按标称元件值，以便证实框3 和框4 中所实现的整个步骤的正确性：然后再 按元件中含有误差，以便检查当滤波器用实际元件制成时，还能不能满足原来的 指标。 在框6 这个阶段，应将计算出的性能与原定指标相比较。如果不能满足指标的 话，设计者就必须重选各种参数，按第一次失败设计的过程来重复第2 步直到第5 步。最后，除非指标不能由任何真实网络满足，设计者总会找到一个其计算响应 能满足要求的网络。然后转到框7 的实验阶段”1 。 由上面的滤波器的设计过程，基于本设计是无源匹配滤波器的设计，所以在设 计的电路中不可能是单端终接电阻的网络，而只可能是双端终接电阻的l c 无源网 络，而且双端终接电阻的电路性能对元件变化的灵敏度低。所以下面介绍双端终 接电阻的滤波器的设计。 为了讨论这种设计方法，先定义如下几个概念： 1 电压传输函数h ( s 1 ： 日佃) ：u o ( s ) u ，( j ) 1 6 ( 2 1 ) 式中u 。和u ，分别表示输出电压和信号源电压的有效复值。 2 网络的输入阻抗z 。，z 。可以是复数，也可以为实数。 3 网络功率传输函数1 f ( ，) 1 2 信号源能够供给负载的最大功率为，即 p ：坠堕丛 1 “ 4 r r 。实际所得功率为： ( 2 2 ) p r ：阻剑： ( 2 3 ) 一 r o 定义功率传输函数k ( ，国) 1 2 为： 帅) 1 2 兰乏= 丽i u o ( j 币c o ) l ：两r l = ) 1 2 百4 r , ( 2a ) 由此可以看出。f t ( j c o ) 1 2 正比于旧( ，珊) 1 2 ，且比例系数为实常数，所以i f ( ，珊) 1 2 与 l ( 出) 2 具有同样性质。在无源情况下，功率传输函数总等于或小于1 。 4 网络反射系数l p ( ，) i 。 可以这样来想象网络的功率传输性能，信号源发出的是最大功率，但负载 吸收了咒，网络n 是无耗的。那么，p 眦一只= 只是功率中被反射的部分。 定义功率反射系数为： 胁) 1 2 = 乏 利用= p + 最的关系，可得 ( 2 5 ) p ( j c o ) 2 = l i t ( j c o ) 1 2 ( 2 6 ) p ( ，) 1 2 如同p ( ) 1 2 、l f ( ，珊) 1 2 一样，也是实系数有理函数，因而有： j p ( j 埘) 42 = p ( j a o 尸( o ) 由于l c 网络是无耗的，所以 如巾舢刮2 = 掣 式札( 俐= 糌，蚴埘表示式代入上式： 如7 辫学 由此可推出： l h ( j ( - o ) 1 2 = 由( 2 4 ) 和( 2 8 ) 解得： k 州。茹 利用( 2 6 ) 可得 咖扩= l 矧2 由式( 2 9 ) 可解得 z 小) = r , 1 - 堋p ( s 五) 瓤端 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 理论分析表明，若f ( ，国) 1 2 1 则z f ( 国) 是可以实现的无源网络策动点函数。 无源匹配滤波器的综合法的过程大致如下： 1 由匹配滤波器要求确定近似函数，近似函数一般常用的三种有理函数，即巴 特沃思函数、切比雪夫函数和椭圆函数。 2 由确定的近似函数、r ，和r 。由( 2 4 ) 式确定i f ( 翻) l z a 3 由( 2 6 ) 式及i f ( ，珊) i 。的值求出p ( s ) ，由p ( j ) 及式( 2 1 0 ) 算出z 。( s ) 。 4 按策动点函数的综合办法求出实现瓦( s ) 的电路，该电路的传输函数应满足 滤波器的要求。 2 3 匹配滤波器的优化设计 前面讨论了利用综合设计法设计滤波器问题，尽管该方法具有一些优点，比如， 理论性强，对于不太复杂的负载能得出闭式解，便于理论研究等，但在实际应用 方面仍具有一些不足之处： 1 利用该综合方法设计出的匹配滤波器的各元件值，不一定是最佳的。 2 利用该综合设计方法综合设计出的匹配滤波器的网络结构不一定是最佳的。 3 该综合方法要求源和负载的特性要用解析表达式的形式给出，这在实际工程 应用中很难办到，尤其是随着现代通信技术的发展，终端负载往往是通过测量的 手段得到的，不能得出解析表达式。 4 在综合出的匹配滤波器中，往往含有理想变压器，这在实际制作中，较难实 现。 5 综合设计的过程也很繁杂，对负载函数的每一个传输零点都在作劳伦特展 开，并要对反射系数作最小相位分解等。 随着计算机的发展，计算机辅助设计技术迅速应用于设计通信系统的匹配网 络中，使得上面的问题得到了充分解决。利用计算机优化技术设计匹配滤波器， 既方便又省时，同时又考虑实际制作中的各种因素，一起进行优化。优化的结果 以及匹配滤波器的性能，又可以用计算机模拟输出，使在没有实际制作匹配滤波 器之前便能了解其性能是否满足要求。基于这些特点，所以本设计采用了优化设 计法设计匹配滤波器。 在匹配滤波器的优化设计过程中首先面临的问题是如何确定需优化的目标函 数，由滤波器的特性参数可以看出，驻波比( 或者回波损耗) 是衡量电路失配程 度的，当驻波比等于1 ：1 时，阻抗匹配，而回波损耗要取对数，在对目标函数求梯 度时其非线性程度要高些，所以本设计选择优化驻波比，调整权函数使驻波比的 值逼近l ，从而达到匹配。 用数值方法求解最优问题的关键在于确定步长，即一维搜索，一维搜索有很 多著名的算法，针对本课题的特点，函数的一阶导数很容易求得，利用两个点处 的函数值和导数值这四个条件来构造三次四项式逼近被极小化的函数，即二点三 1 9 次插值法，而且二点三次插值法往往比抛物线法有更好的收敛效果，收剑速度更 快。因而本设计选用二点三次插值法。 在设计过程中根据选用的优化方法编写对电路优化设计的程序，直接用程序 实现匹配滤波器的优化设计，在下面章节中将详细介绍匹配滤波器的优化设计法a 2 0 第三章匹配滤波器的优化方法 如果目标函数或约束条件不能用显函数形式表达出来，则需要用数值方法求 解最优化问题，电路的优化设计就具有这一特点。数值法的基本思想是经过一系 列迭代，产生点的序列p ) ，使之逐步接近最优点。 迭代步骤如下； ( 1 ) 从初始猜测点p o 开始： ( 2 ) 寻找一个合适的方向s ( 七= o ，l ，) ，s 为第k + 1 次迭代的搜索方向： ( 3 ) 沿s 方向向前进一步的步长设为丑，求合适的步长 ： ( 4 ) 由p “1 = p + 以s 得到新的点p “1 ，它应当比原来的点p + 更接近最优 点： ( 5 ) 检验p “1 是否最优，若最优则停止迭代；否则七= k + 1 ，转( 2 ) 步骤继续迭 代。 由上述可知，用数值方法求解最优问题的关键在于确定搜索方向s 和步长 以，目前有很多优化算法，在解决如何确定搜索方向占的问题时本设计采用的是 共轭梯度法。共轭梯度法是一种高效率，存储量小的算法，它具有二次收敛性， 对于一般函数，共轭梯度法在一定条件下都是收敛的，特别适合求解变量多的大 规模问题。基于这些特点所以本设计采用了共轭梯度法。而求最优步长以的问题 是一个单变量函数最优化问题即一维搜索方法，基于本设计的特点即导数很容易 求得，而二点三次插值法是利用两个点处的函数值和导数值来构造三次四项式逼 近被极小化的函数，且收敛速度较快，所以本设计采用了二点三次插值法作为一 维搜索的方法，下面针对这两种方法分别进行介绍。 3 1 共轭梯度法 假设，( x ) ：dcr 。斗r 为开凸集d 上的连续可微函数。共轭梯度法也是一种 2 1 基于目标函数，( x ) 的二次近似的方法，但在使用这种方法时也只用到，( x ) 的一阶 导数，而无需计算，( x ) 的二阶导数矩阵。 3 1 1 共轭方向 先引入共轭方向的概念。 定义：设4 是一n 阶对称正定矩阵，s ( i = 1 , 2 ，州) 是m ( 2 s m 玉n ) 个非零向量。 若对任何一对不相同的上标i 与( i ) ，都有 ( s ) 7 a s ，= 0 ， 就称这组向量为a 一共轭的。在无需特别强调矩阵一时，就简称向量组为共轭的。 共轭方向的概念是各种共轭方向方法的基础。本节讨论的共轭梯度法则是一种 根据f ( x ) 的梯度构造共轭方向的方法。 定理1 共轭向量组中的向量一定线性无关。 证明：因为假定矩阵a 对称正定，所以由c h o l e s k y 分解，一定存在非异下三 角阵l 使a = r 厶于是( s i ) 7 a s = 0 等价于 ( 厶) 7 ( l s 7 ) = 0 ， 也即非零向量s 与s 7 的a 一共轭性等价于l 7 s 7 与厶的正交性。因为两两正交的非 零向量组一定线性无关，所以一一共轭的向量组也一定线性无关。 由定理l 即得：a 一共轭向量组中最多包含n 个向量，n 是向量的维数。倒过 来，确实存在包含n 个向量的a 一共轭向量组。事实上，由定理1 的证明可见，如 果t 1 ，t “是n 维空间中l , t 个两两正交的非零向量，则l - r t l ，l - r t ”是”个两两a 共轭的向量组。 现在考虑二次凸函数 = j 1 x t 血+ b 7 x + ， ( 3 1 ) 这里a 为一n 阶对称正定矩阵，b r ”，y r 1 。通过配平方，易见 q ( z ) = j 1 ( x + 爿。1 6 ) 7 彳( 工+ a 。1 6 ) + y 一圭6 r a - i b y - 1 2 b r a 1 b 所以q ( x ) 有最小点 j = 一a 一1 b 今设s ，s ”为一组1 1 个两两彳一共轭的向量，算1 为空间中的任何一点。对于 k 1 ，用工“1 表示g ( 曲在直线z + ( 口 o o ) 上的最小点，则z ”1 一定就是 g ( x ) 在全空间的最小点x + 。换句话说，将共轭方向法应用于二次凸函数( 3 1 ) 1 i 了从哪一点出发，最多”次精确线性搜索都将达到q ( x ) 的最小点。这个结论包含 在下面的定理中。 定理2 设4 为一竹阶对称正定矩阵，j ( f = 1 ，n ) 为一组”个两两4 一共轭的 向量。对于由( 3 1 ) 定义的二次凸函数q ( x ) ，由任何x 1 出发，一次沿着直线 x + ( k = 1 , 2 ，”) 作精确线性搜索，则必 ( v q ( x “1 ) ) 7 j 。= 0 ( ，= 1 ，| | )( 3 2 ) 并且x “1 是q ( x ) 在 f1 抄猷“一甜1 + 善一j 3 ) 上的最小点，特别地，工”1 是q ( x ) 在全空间r 4 中的最小点x 。 3 12 共轭梯度法 上面介绍了共轭方向法的一些重要性质，下面将要讨论如何根据g ( z ) 的梯度 来构造共轭方向，这就是共轭梯度法。为简便起见，记g = v q ( x 1 ，取 s 1 = 一9 1(