（电路与系统专业论文）小波域统计模型图像去噪研究.pdf

摘要在各种图像处理中，去噪往往是种必要的预处理手段。虽然它是一个很古老的问题。但是在不同阶段采用的方法不同，且取得的效果也有很大的区别。近年来，小波理论的发展得到了广泛的应用小波去噪方面的应用研究得到了很好的发展。同时，统计理论对不可估计的噪声进行建模，描述噪声的统计特性，从而为去噪提供较好的依据。为此基于小波域统计模型的图像去噪研究有了良好的发展。本文首先对基于小波域的统计模型的一般方法进行了有效的分析讨论，并给出了一般过程。在详细介绍了小波理论中的多尺度分析后，讨论了统计模型的建立和估计。统计模型通常分为层间，层内和混合三种模型，本文除了概要介绍了三种模型的特点外，还分别对层间的隐马尔可夫模型，层内的邻域模型和贝叶斯混合模型进行了详细的讨论。理论分析和试验结果都说明基于小波域统计模型的图像去噪能获得很好的效果。同时还在小波域内简化的统计模型基础上对图像去噪的一般估计方法进行了研究。在分析贝叶斯风险估计基础上，将免疫算法引入其中，得到了比以往更精确的结果。在分析了阈值估计的基础上，对阙值函数进行一定的修正，提高了图像的信噪比，减少了图像的均方误差。试验结果证明了这一点。关键词：小波变换统计模型图像去噪a b s t r a c ti nm a n yk i n d so fs i g n a lp r o c e s s i n g , d e - n o i s i n gi sa l li n d i s p e n s a b l ep r e t r e a t m e n tp r o c e s s i n g a l t h o u g hi ti sav e r yo l dq u e s t i o n ，t h em e t h o d si ti n t r o d u c e sa r cd i f f e r e n ti nd i f f e r e n tc f l s e s ，a n dt h ee f f e c t si to b t a i n sa r em u c hd i f f e r e n t r e c e n t l y , t h ed e v e l o p m e n to ft h ew a v e l e tf r a m e sh e l p si tt ob ea p p l i e dw i d e l y s ot h es t u d i e so ft h ea p p l i c a t i o no ft h ew a v e l e td o m a i nd e - n o i s i n gg e tag o o dd e v e l o p m e n t a tt h es a m et i m e ，s t a t i s t i c a lt h e o r yc a l lh e l pu n - e s t i m a b l en o i s e sb e i n gm o d e l e ds ot h a ti t sg a t i g i c a ic h a r a c t e r i s t i cc a nb ed e s c r i b e d a n dd e - n o i s i n gc a ng e tap r e f e r a b l eb a s e s ot h ei m a g ed e - n o i s i n gs t u d i e sb a s e do nt h ew a v e l e td o m a i ns t a t i s t i c a lm o d e l sg e ta9 0 0 dd e v e l o p m e n t f i r s t l y , t h i st h e s i se f f e c t i v e l ya n a l y z e sa n dd i s c u s s e st h eu n i v e r s a lm e t h o d so ft h es t a t i s t i c a lm o d e l sb a s e do nt h ew a v e l e td o m a i na n dt h e i rc o m m o np r o c e s s a f t e rm r ao fw a v e l e tt h e o r yb e i n gp r e s e n t e d ，c o n s t r u c t i o na n de s t i m a t o ro fs t a t i s t i c a lm o d e l sa r ed i s c u s s e d c o m m o n l yt h e yi n c l u d et h ei n t e r - s c a l e , i n t m - s c a l ea n dh y b r i dm o d e l s c e r t a i n l y ，t h es p e c i a l t i e so f t h et h r e em o d e l sa g ea l s oa n a l y z e d a n dt h eh m m , c o n t e s tm o d e la n db a y e s i a nh y b r i dm o d e l sa r es e p a r a t e l yd e s c r i b e d n 他t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dt h ee x p e r i m e n tr e s u l tc e r t j f yt h a tt h ei m a g ed e n o i s i n gs t u d i e sb a s e do nt h ew a v e l e td o m a i ns t a t i m i c a lm o d e l sc a no b m i ng o o de f f e c t s ，s e c o n d l y ，o nt h eb a s i so ft h es i m p l i f i e dw a v e l e td o m a i ns t a t i s t i c a lm o d e l s ，t h ec o m m o ne s t i m a t o r so ft h ei m a g ed e n o i s i n gm e t h o d sa r es t u d i e d o nt h eb a s i so ft h ea n a l y s i so ft h eb a y e s i a nr i s k , t h ei m m u n ea l g o r i t h mi si n t r o d u c e d b e t t e rr e s u l t s8 r eo b t a i n e d a n do nt h eb a s i so ft h ea n a l y s i so ft h r e s h o l de s t i m a t o r , t h et h r e s h o l df u n c t i o ni sm o d i f i e di ns o m ec a s e s b e t t e rm s ea n ds n ro fi m a g ec a nb eg i v e n ，a c c o r d i n gt ot h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s k 州o r d s ：t h e ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，t h es t a t i s t i c a lm o d e l s ，i m a g ed e - n o i s i n g ，5 8 3 7 2 9创新。| 生声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列中的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也1 i 包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。本人签名：角谆日期：沙口职关于论文使用授权的说明本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定)本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。本人签名：门涛本人签名：、l 厮导师签名：卺哆建牡日期：伽讧，、1日期：2 彬弘、第一章绪论第一章绪论在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，所有的图像均不同程度地被可见或不可见的嗓声“污染”。噪声源包括电子噪声、光子噪声、斑点噪声和量化噪声。如果信噪i ：p , ( s n r ) i i 氏于一定水平，噪声变成可见的颗粒形状，就会导致图像质量的下降。即使在高速视频图像，由于瞬间掩盖视觉的效果而使噪声可能不被察觉，但经常引起不可接受的“凝结帧”。除了视觉上质量下降，噪声图样可能掩盖了重要的图像细节，并且增加了图像的嫡，妨碍了有效的数据压缩。工业现场所采集的监视图像，除了噪声干扰外，由于照度低、户外风尘雨雾、机器振动引起固定在支架上的摄影机抖动、供电电源波动等冈素，使得t 业监视图像污染严重，对比度低，物体与背景的灰度差小。采取的对策，是对于图像污染及图像模糊，均认为是噪声所至，可以把噪声理解为与真实图像无关的图像细节。在不同的应用中，存在着不同类型的噪声影响，有短尾叠加自噪声、叠加自高斯噪声、长尾叠加白噪声、正向脉冲噪声等。滤波器设计是考虑如何滤除某种类型噪声。实际上滤波器性能完全取决于应用场合，常用的性能测量项目有对不同类型的滤波特性、边缘保护、细节信息保护、无偏性和计算复杂性。为了后续更高层次的处理，很有必要对图像进行去噪。图像去噪。而人们也根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，发展了各种各样的去噪方法，其中最为直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而图像频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波方式来进行去噪韵方法例如滑动平均窗滤波器还有w i e n e r 线性滤波器等，其他的去噪方法还有基于秩一阶滤波( 排序量) 的方法，基于马尔可夫场模型和基于偏微分方程( p d e ) 的方法和l 。正则化方法等。通常的空域方法只能确定在特定条件下的特定模型，去噪的效果不尽人意。怎样选取好的方法来去噪，建立怎样的模型才能完全获得图像的全部信息，是一直考虑的问题。近年来发展的统计模型( 随即模型) 是建立在概率的基础上的多输出模型，比通常的方法有较好的效果。1 1 引言近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频特性，因而实际应用也相当广泛，在去噪领域中，小波理论也同样受到了许多学者的重视，他们应用小波进行去噪，并获得了非常好的效果，具体来说，小波去噪方法的成功主要得益于小波变换具有如下特点：( 1 ) 低熵性，小波系数的稀疏分布，使得图像变换后的熵降低：( 2 ) 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非小波域统计模犁图像去噪研究常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等：( 3 ) 去相关性，冈为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有自化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。( 4 ) 选基灵活性，由于变换可以灵活选择变换基，从而对不同应用场合，对不同的研究对象，可以选用不同的小波基函数，以获得最佳的效果”1 。小波的多尺度结构可使局部信号放大多倍来分析信号的细节，或缩小信号来纵观信号。尽管这种多尺度的思想很早都提出来了，但在1 9 世纪8 0 年代后正式发展起来的，而且紧支基的小波结构进一步引起了科研通讯的注意，刺激了大量的科研活动，特别在信号和图像处理领域及统计模型领域。在上世纪八卜年代，对去噪的研究t 作主要放在线性估计上。线性估计的渐近性是很好的。如果原始数据足够的平滑，那么其均方误差以n 一收敛于零。但是对于原始数据集是有限的和采用什么类型滤波器时，线性估计遇到了难题。b r e i m a n & p e t e r s 设计了仿真试验，用于比较一些普遍采用的方法。正如所期望的，他们发现没有一种方法在各种情况下都能用。线性估计( 同定空间尺度估计) 总假定原始数据是在给定的数据集上的。这说明先验信息会影响滤波器的结构性能。大致上，数据集越大，代价越大。空域自适应估计问题考虑的是在才i 需要先验信息的情况下，怎样设计滤波器。在过去的几 年里，大量的非线性( 空域自适应)估计被提出了，如不同带宽核方法，c a r t 和其他方法。尽管这些方法优化了算法收敛率，但是有很大的复杂度。在九十年代，去噪主要在小波萎缩和小波阂值估计上。这些方法是原来的各种扩展。而且因为这些估计器很容易用快速算法实现，所以在实际问题中应用广泛。d o n o h o & j o h n s t o n e ( 1 9 9 4 1 和d o n o h o ，j o n o s t o n e ，k e r k y a c h a r i a n & p i e a r d ( 1 9 9 5 ) 提出了一种新的非线性小波阈值估计。如果小波系数绝对值估计足够大的，也就是说，小波系数超过了预定的闽值，那么相应的项被值或萎缩为零；否则保留原来的值。后来，各种交错的数据自适应小波阈值估计发展了起来。比如，d o n o h o & j o h n s t o n e( 1 9 9 5 ) 提出了基于s t e i n 无偏代价估计的s u r e s h r i n k 估计：w e y r i c h & w a r h o l a( 1 9 9 5 a ，1 9 9 5 b ) ，n a s o n ( 1 9 9 6 ) a n dj a n s e n ，m a l f a i t & b u l t h e e l ( 1 9 9 7 ) 把阈值看作是一多假设试验过程。h a l l ，p e n e v ，e r k y a c h a r i a n & p i c k a r d ( 1 9 9 7 ) ，h a l l ，k e r k y a e h a r i a n &p i c k a r d ( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ) ，c a i ( 1 9 9 9 ) ，e f r o m o v i c h ( 1 9 9 9 ，2 0 0 0 ) a n dc a i & s i l v e r m a n ( 2 0 0 1 )进一步提出了基本阈值的修改小波块闽值估计，这里的小波系数不是逐项的而是分块处理的。而且已证明分块小波阈值估计比逐项阈值估计在有限的采样数据集上能得到更好的均方误差性能。近来，也提出来了各种不同的用于非线性小波阈值和非线性小波萎缩估计的贝叶斯方法。在通常应用中，都提出了先验模型用于简化小波系数矩阵信息。用一合适的贝叶斯准则来估计小波系数的后验概率，达到上噪。选用彳i 同的贝叶斯准则，得到不同的非线性小波萎缩和小波阈值准则。而且已证明贝叶斯小波萎缩第一章绪论和阐值估计在有限采样区间上均方误差优于通常的小波逐项阈值估计。同时，许多学者提出了图像模型。通过模型，从噪声中提取图像。发展数学工具是建立图像模型的关键的。大约说来，图像模型可分为两类：确定模型和统计( 随机) 模型。确定模型在给定环境下只能预测一种输出。相反，统计模型将图像看作是一定概率模型的实现，而且用概率作为权值预测到一组可能输出。我们考虑的模型部应用在小波域里而不是图像存在的空间域上。一种重要的统计模型数学_ t 具是在1 9 世纪6 0 年代发展的隐马尔模型( h i d d e n t a r k o vm o d e l ) 。作为一种状态机，隐马尔科夫模型是一基本的马尔科夫链，以状态转换概率来刻画的。因图像的状态很多( 指的是像素的灰度级) ，所以像在语音处理中的方法就没法用。c r o u s e 最近提出了基于小波域隐马尔模型，特别是隐马尔科夫树( h m t ) 。原因在于小波变换通过减少其状态可降低图像数据之间的相关性，而使小波域隐马尔科夫模型变得有可操作性，成为有用的统计图像模型。1 2 章节安排小波域的图像去噪，在近几年得到了很大的莺视，各种方法得到应用。本文仅从统计模型的角度来分析小波图像去噪，并对闽值估计进行了研究和修正。具体的章节安排如下：第二章主要阐述了小波域统计模型去噪的整个框架。描述了小波域统计模型去噪的一般过程：对各种统计模型及估计方法进行了综述；给出了不同的小波系数估计方法。从整体上分析了小波域统计模型去噪的过程。第三章主要阐述了层内模型中的邻域模型。本章利用贝叶斯代价函数来得到求阈值公式，再利用小波域邻域模型来求闽值公式中的参数，最后利用软闺值函数对小波系数进行估计。第四章主要阐述了层间模型的隐马尔可夫模型。小波系数可看作是由两个高斯模型混合组成，而对每个系数设置对应两个状态，且每个状态对应着相应的高斯模型。在建立隐马尔可夫模型时，只考虑状态间的关系，而不考虑系数间的关系。最后利用概率来确定小波系数。第五章主要阐述了以重要小波系数的配置几何模型为基础，将小波系数分为重要和不重要两种，通过相应的先验模型和条件模型来得到讨论了层间的尺度比率和曾内的邻域平均相结合的方法，得到了混合模型。第六章在小波域内简化的统汁模型基础上对图像去噪的方法进行了研究并作了定的修正。本人引入免疫算法来优化模型的估计以及修正阈值函数来估计小波系数。第七章主要给出了小波域统计模型去噪的总结与展望。4小波域统计模型图像左噪研究第二章小波域统计模型去噪的综述小波域去噪已经引起了很多学者的注意，从通常简单非线性阀值去噪开始，就可看到小波域去噪的优越性。通过研究小波系数之间的关系，形成的小波系数统计模型刻画了小波系数之间的关系。利用这种关系来去噪，能获得更好的效果。本章就小波域去噪和统计模型做简要的阐述。2 1 小波域去噪系统的组成在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移版本所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。这个问题可以表述为：卢0 = a r g m i n ( 1 l f t ( f ) 一，肚厶= 玩，( ，) ( 印矸弋表最优解)f = f + ：，正为噪声，为原图像，= ， 伪实际图像 ，w = s p a n ( 矿：。伊，t = 卢l 卢为，斗的函数空间映射由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复”1 。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上由于传统的低通滤波器，由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图2 ，1 所示。图2 1 小波去曝的等效框图在早期，人们通过对边缘进行某些处理，以缓解低通滤波产生的边缘模糊。在这一点上，虽然他们同小波去噪很相似，但是小波变换之所以能够很好地保留边缘，是因为小波变换的多分辨率特性，小波变化后，由于对应图像特征( 边缘等)处的系数福值变大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护，相对早期的方法而言，小波噪声对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因而便于系统的理论分析。第章小波域统计模型去噪的综述小波去噪的过程大致相同的分为五个过程：小波变换、信号模型的建立、模型参数估计、小波系数估汁和小波反变换。其流程图如图2 2 所示。图2 2 小波统计模型去噪流程图2 2 小波变换理论2 2 1 小波理论在影像地震学中，m o r l c t 知道：在探测高频时，假如送到地下的可调脉冲波持续时间太长，便不能用来分辨密聚的地层结构。因此，m o r l e t 认为不能始终发射相同波长的波，在探测高频时应发送更短的波，这种由单个函数的伸缩得到的波叫小波。虽然g r o s s m a n n 是一个理论物理学家，但他知道m o r l e t 的方法与他在量子物理上的工作有相似性。g a b o r 之后将近4 0 年，m o r l e t 与g r o s s m a n n 重新鼓动了理论物理学与信号处理领域专家的合作，使得所谓的连续小波变换得以产生。然而，对从事调和分析的数学家以及致力于计算机视觉中多尺度图像处理的研究者而言，这些概念不是全新的。不同知识背景的科学家在一起交流，使各个不同领域的研究重新融合，从而发展了小波理论。小波舻是一个积分为零的函数：e：。(21)_qj(t)dt0对函数伸缩及平移后可得：蛾，( f ) = ! 妒( 三兰) 。( 2 2 )函数f 在尺度s 、位置u 的小波变换定义为如下内积：r v f ( u ，s ) ：r 邝) 矿( 型) a t 。( 2 3 )一q 8s其逆变换为：们) 。吉i 如( m 半) 咖凼。4 )小波变换的时频窗口特性与短时傅立叶的时频窗口不一样。其窗口形状为两个矩形陋+ s t - s a p ，“+ s t + 占p 】【( - ，- a i ) i s ，( w ，+ i ) ，s j ，其中w + 和i 为窗函数的中心硬半径，时窗和频窗宽分别为2 s a ，和2 a i s 。而u 仅影响窗口在相平面时6-一小波域统计模型圈像去噪研究间轴上的位置，而s 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的，即在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高：在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这便是它优于经典的傅立叶变换与短时傅立叶变换的地方。从总体上来说小波变换比短时傅立叶变换具有更好的时频窗口特性【3 】。2 2 2 多分辨率分析由于在各个不同的尺度或分辨率中信号常常包含有物理相关特性，因此对于图像信号的应用来说，要正确理解图像信号，多分辨率分析方法就至关重要。多分辨率分析，又称多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗糙到精细地观察目标。这就是多尺度的思想。下面引出多分辨分析的定义，多分辨分析是指满足下述性质的一系列闭子空间一，z ：空间l 2 ( r ) 中的一系列闭子空间 。称为r ( 固的一个多分辨分析( m r a ) ，如果下列条件满足：( 1 ) 单调性：巧亡l + w z ，即c k c 巧c c t j c 圮2 c ：( 2 ) 逼近性：u 二一o = 2 ( 尺) ，u ：i 一= o ) ；( 3 ) 伸缩性：f ( x ) 营，( 2 曲l i ，j z ：( 4 ) 平移不变性：，o ) 矿fo f ( x 一2 k ) 一，k z ；( 5 ) 正交基存在性：j 妒，使得 庐( f 一2 _ 女) ) 。是的正交基，即对任何厂e l ，存在唯一序列 q ) ，2 ( 平方可和列) 使得，( j ) = ：廿a 。g ( x - k ) 。由以上分析可知，多分辨分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下扩张的，也即一个多分辨分析 巧) 拈z 对应个尺度函数。但 ) m 对应空间相互包含，不具有正交性，为了寻找一组三2 ( r ) 空间的正交基，定义尺度空间 ) m的补空间如下：设为屹在圪一。中的补空间，即圪一：= o 睨，上暇。当疗和m ，h z 必有r ( r ) = o ：。氍。因此， ) 构成了r ( r ) 的一系列正交子空间并且得出：= 一及= 一一。一_ ，j z( 9 - 5 )再由多分辨分析的定义有：= k o w = k o o 嵋= 屹。匕o o 哦一( 2 - 6 )这样，对于任意函数f ( t ) ，可以将它分解为细节部分彬和大尺度逼近部分k ，然后将大尺度逼近部分“进一步分解。如果晕复就可以得到任意尺度上的逼第二章小波域统计模型去噪的综述近部分和细节部分。用二尺度方程来描述两个相邻尺度空间一和l 一。或相邻的尺度空间一一和小波空闻彬的基函数之间的联系a 由多分辨分析概念可知，矿( f ) 和伊( r )分别为尺度空间k 和小波空间的一个标准正交基函数。又由于c i i _ 和w o c t ，所以o ) 和妒( f ) 也必然属于f 空间，即( f ) 和矿( f ) 可由t 。空间的正交基正。( f ) ，线性展开：( f ) = 氏( n ) 正。( r ) = ( 而、厂j ( 2 f n )( 2 7 )妒( ，) = ( n ) 正( f ) = ( ) 动( 2 卜 ) 。( 2 8 )其中展开系数( 哪= ( ，正。) 和 ( 一) = ( 妒，让。) 。由于以上两式描述的是相邻二尺度空间基函数之间的关系，所以，称这两个式子为二尺度方程。需要说明的是，二尺度关系存在于任意相邻尺度j 和就j - 1 之间：( f ) = ( n ) “。( f )( 2 9 )竹。( f ) = ( h ) “。( f )并且展开系数( 帕和扛伽) 不随尺度j 的变化而变化。这样，对任意的厂( ，) 一在一一。空间的展开式为：( 2 一l o )，( f ) = c ，一，2 。+ 7 2 ( 2 一+ t - k )( 2 一l1 )将f ( t ) 分解一次( 即分别投影到一，形空间) ，则有，( f ) = o ，2 ( 2 一。f t ) + 。t ，。2 叫2 伊( 2 一t - k )( 2 1 2 )此时，q t 和t ，。为j 尺度上的展开系数，并且q t = ( ，( ，) ，以，。( r ) ) = l ，( f ) 2 叫2 庐( 2 叫2r 一七) 础= 。( 小一2 k ) c s _ l ，( 2 - 1 3 )d = ( 邝) ，妒( f ) ) = 【邝) 2 1 2 妒( 2 一f k ) d t = 。啊( m 一2 k ) 吼，( 2 - 1 4 )如果将空间剩余的尺度系数c 进一步分解下去，可分别得到一+ 。，+ ，空间剩余的系数0 “。和小波系数d h 。同样将尺度空间一继续分解下玉，可以达到任意尺度空间，这就是著名的i d a l l a t 算法。其分解过程如图2 ，3 所示：小波域统计模型图像去噪研究一- + c ，+ l _ + 一+ l _ 一+ 矿j i j 、图2 3小波分解示意图同样，也有重构算法，其合成过程如图2 4 所示d 飞“一+ 兰- f ”也- 一+ 2 p 图2 4 小波合成示意图2 3 小波系数的模型在小波去噪中，小波系数模型非常荤要，只有在成功的系数小波模型上，才可能提出成功的小波去噪方案，小波系数模型是直接决定小波去噪方法的结构和最终的去噪效果。根据小波系数之间的关系，主要分为层间模型、层内模型和混合模型。其中，层间模型主要是考虑跨尺度系数之间关系的模型；层内模型主要考虑内系数的统计分布，以及相邻系数之间的关系，而混合模型是综合考虑了层间和层内小波系数关系的模型。目前最常使用的层内系数模型是广义高斯分布模型，这是对自然图像在层内的小波系数分布进行统计得到的规律，l a p l a c e 分布和高斯分布是它的两个特侧。h a n s e n 等人利用与自然信号对应的小波系数近似地服从l a p l a c e 分布的特点，在小波系数是独立同分布的假设下，假定小波系数模型为y f = 属+ ，其中屈是信号的小波系数，近似服从l a p l a c e 分布2 2 e x p ( - 卫，e 是噪声信号，服从独立的高斯分布( o l 。设声和中分别表示标准分布( o ，i ) 的概率密度函数和累积函数则得至0 0 ( j ，；五) = 一+ b ，其中a = e x p ( y 丑) 2 q ) ( y 一五) 和b = e x p ( y + 五) 2 m ( 一y 一句以及t ( y ；= 爿- b 。y 的边缘概率密度为m a y ) = 2 口( ”( 只五) 2 ，假定，表示二进制数，则信号系数的概率密度f ( f l , 7 , ，五) 在7 1 = 1 时为l a p ( 2 ) ；在 = 0 时为瓯，其中瓯是一个很小的数。小波系数概率密度( 只l ，丑) 在 = 1 时为m a ( y , ) ：在一= 0 时为庐( m ) 。利用m d l 准则可得到参数五和阈值了1 ，最后得到估计p 在i y i t 时为只一舡( m ；丑) r + ( 只；五) 。并用于七噪，受到了非常好的效果。这中模型仅考虑工单个系数，较为简单，相对来说汁算量较小”i 。稍微复杂些的模型，则将信号小波系数看成是独立的，但非同分布的。事实上由于小波系数去相关性，相邻小波系数之间并无明显的关系，但是小波系数的绝对值或平方值却是符合马尔科夫场的分布。m i h e a k 等人由此提出小波系数的层内模型。在给定先验模型的基础上，小波系数可看作是条件不相关高斯随机变量。第：章小波域统计模型去噪的综述其方羞局部高度相关，但在给定方差时，相互独立且均值为零的高斯分布。如果z ( t ) 表示真实图像的小波系数，y ( k ) = x ( k ) + n ( k ) 表示破噪声n ( k ) 污染的图像，那么在知道了噪声呱女) 的方差d2 时根据 , i s e 估计得到z ( 女) 的估计值为j ( ) = 矿( k ) c p 2 ( ) + 矿) j ，( 女) 。其中( ) 可根据最大后验概率( m a p ) 来计算。对数据点r ( ) 。估计卢2 ( 七) 建立在以y ( 女) 为中心的方形窗口( 七) 的基础上。假定邻近小波系数变量之间的相关性很强，那么对于，e ( 1 ) 有卢2 ( ，) a 卢2 ( j ) 。于是可以近似得到卢2 ( 七) 的最大后验概率估计为声2 ( 女) = a 唱m a x p 0 ( j ) 2 ) 厶( 2 ) ，其中珂) 是零均值方差为2 + 口2 的高斯白噪声，厶( 矿) 是先验概率模型e x p ( a 2 ) 。这种方法引入了邻域的概念，但是怎样去选择不同形状的邻域仍然是很难的 6 1 。而c h a n g 等人则打破空间位置的限制，从小波系数值邻域来考察方差的相关性，从而得到了具有很强局部适应性的阅值萎缩方法。小波系数由不相关的零均值的广义高斯分布随机变量组成，参数目和o 。在空间上是可变的。因为阂值l = 口：a 。主要依赖它，且b 在取得合适闽值的范周内的。对每个系数参数a ，都需要估计，以便使闽值t 。在空间上自适应。也就是说给定系数的统汁模型在一定条件下是它邻域的函数。条件基于相关邻域内量化系数幅度的加权平均值，而每一类是由聚类系数形成的，它的相关加权平均属于特定范围的。对于去噪问题上，没必要为了保存位数而将像素明确她聚到定数量类型里。用在此处的估计方法是为了估计广义高斯分布参数。假定一子段有m2 个系数 y “” i 。j ) 。为简化符号，上标( s ，o ) 被去掉而仅在需要时给出。每一系数y i ，j 以随机变量为模型，方差的估计在下面加以介绍。考虑y i ，j 的邻域，而p 个像素的绝对值被放在p x l 矢量u u 。一种可能的选择是在同样子段采用y i j 的八邻域，再加上它的父系数y “一 i 2 ，j 2 。为了刻画当前像素的活动级，我们计算邻域用邻值绝对值的加权平均。z 【i , j 】= w t u # ，权值w 用最小均方估计得到。随机变量y i j 】的方差可从包围z i j 的邻域其他系数中得到估计。在z i j 小的区间，聪合系数y i j 分布很小：相反，在z i ，j 大值的区问系数y i j 分布很大( 在获得相同数量的点时区间的长度是不同的) 。这表明邻域提供了局部变化的暗示。因此对给定的系数y i 。，j 。 ，区间是以z i 。j o 为中心的，而y i 。，j 。， 的方差可从落在这个窗口里邻域z i j 的y i ，j 中得到估计。特别地，l 取z i 。砌之上最少的点数，之下也是最少的，所以总共有2 l + 1 个点。选取l = m a x ( 5 0 0 0 2 m 2 ) ，以保证有足够的点用于估计方差，但是没有太多的点来破坏窗口的局部性。尽管l 的值太小( l 1 0 ) 或太大( l 接近m 2 2 ) 对性能有很大的影响，但是不同的l 值得到相同的结果。设b ，。表示 y i ，j 的点集，它的邻域落在移动窗口内。方差子；【j 0 ， 】的估小波域统计模型图像去噪研究计可表示为号；【乇， 】m a x ( 写了三y 女，】2 一一，o ) 。于是，在位置e i 。，j l 的阈值”1 f l ，l e & ”一2是【， 】= i 告，位置 i ，j 的阈值t b i ，j 是空间自适应的。在运行中，先d j l 勺 oj将 z i j ) 排序，再用移动的窗口滑动，所以集e ，和方差估计 朋可变得更有效“。层间模型描述的是跨尺度小波系数之间的关系，较早但相对粗糙的模型是由s h a p i r o 提出，以这种模型为基础的零数编码方法已经在图像编码中得到了广泛的应用。这种模型的主要特点是认定，低尺度中较小的小波系数，其子孙很有可能也较小；而b a r a n i u k 等人则通过隐式马氏链的转移矩阵将这种关系量化起来”1 。在小波去噪中，这个特征可以用来区分图像边缘和由噪声引起的伪边缘9 。混合模型主要综合了上述两种模型，它既考虑了层问系数值之间的关系，有顾及了层内系数之问的关系，由于小波系数层实际上对应一个尺度，所以这种模型也被称为空间一尺度混合模型。l i u 等人通过规定一个阈值t 并将大于t 的系数成为重要的，由此根据其父亲是否重要将小波系数分成g 。和g 。两类，并假定g 。指数分布，g i n s 。则服从方差局部高度相关的高斯分布”1 ，最后得到新的混合模型。其与隐式马氏树( h m t ) 模型相比，新模型考虑了层内系数之间的关系；而与层内模型相比，则能更好揭示图像特征在跨尺度下的行为。另外，b a r a n i u k 等人将小波系数分成几种状态( 如小和大) ，并通过考察小波系数状态再层内和层问的变化，提出了独立状态( i m ，i n d e p c n d e n t m o d e l ) 、隐马氏链模型( h m c h i d d e nm a r k o vc h a i n ) 和隐式马氏树模型( m 胛) 三种模型，并统称为小波马尔可夫模型”1 。前两者实际上属于层内模型，而后一种属于层间模犁。2 4 模型参数的估计在模型建立起来后，就需要一定量的数据来估计参数模型从而得到完整的模型用于对后续的小波系数估计。模型参数估计方法是与相应的模型相一致的。在小波系数分布服从高斯分布的假设下，c h a n g 等人根据贝叶斯代价取最小得出了阂值，而在小波系数分布l a p l a c e 分布时m o u l i n 等人基于m a p 方法给出了参数t 的值。同时还有极极小化极大方法，s u r e ，g c v 和m d l 等。贝叶斯估计唑贝叶斯原理假定，信号f 是随机向量f 的实现，f 的概率分布己知。称这个概率分布为先验分布。因而带噪声的数据被改写为x f n 】= f f n 】+ w n 】。假定，对任何0 k ，n t ) 而软闽值函数为j ( w ) = ( w s g n ( w ) ，) ，( f 叫 t ) ，其中，i 为示性函数。b r u c e 和g a o 在高斯噪声条件下，得出了软阈值和硬阈值萎缩方法的偏差、方差以及l 。风险公式通过对这些公式的分析，得出了如下结论：在小波域统计模型图像去噪研究给定闽值t 软阈值总比硬阈值方法造成的方差小；当系数充分大时，软阅值比硬阈值方法造成的偏差大；当系数真值在t 附近时，硬阈值方法有最大的方差、偏差以及l ：风险，而软闽值方法则在系数真值较大时才有较大的方差、偏差及l ：风险。梁中方法在系数真值较小时，l ：风险都很小。总的来说，硬阈值方法可以很好保留图像边缘等局部特征，但图像会出现振铃、伪吉布斯效应等视角失真，而软阈值方法处理结果则相对平滑得多，但是软阈值函数方法可能造成边缘等失真现象。针对这一失真现象，b r u c e 和g a o t 在软阈值方法基础上提出了一种半软阈值函数：t 一1 一t 、万( 们= s g n ( w ) 兰半l 岩，( 正 i 叫 疋) 。该方法通过选择合适的阈值2 1 lt 。和t 。，可以在软阈值方法和硬阙值方法之间达到很好的折中。另外，本人通过对软阈值方法和硬阈值方法的研究提出了一种折中与两者之间的阈值函数：j ( w ) = w t h ( w t ) t 或6 ( w ) = w a m t a n ( w t ) 2 t z ，它具有更高的平滑性。相对阈值萎缩方法来说。比例萎缩有更大的灵活性，从某种意义上说，可以认为阈值萎缩是比例萎缩的一种特例( 比例为0 和1 ) 。比例萎缩的特点主要在于它具有对图像的某一局部的适应能力。s h a k r 等人针对小波阈值萎缩中，统一闽值倾向于“过扼杀”，而s u r e 闽值倾向于“过保留”小波系数的特点，给出了一个隶属度函数，然后将两个阈值之问的系数，按照隶属度进行萎缩，并得到了非常好的效果；m a l f a i t 等人则通过将图像一般不存在孤立边缘点的先验知识与小波图像h o i l d e r 数结合，利用b a y e s 估计理论给出了小波系数“主信”的概率，并一侧来进行比例萎缩，从而大大消除了由噪声引起的伪边缘。在运用比例萎缩方法的文献中，有许多都是基于m m s e 估计( 在噪声为高斯分布时，萎缩比例为图像系数方差同系数方差之比) ，例如，m i h c a k 等人受到e q ( e x p e c t a t i o nq u a n t i z a t i o n ) 编码方法的启示，将无噪声图像经过变换所得到的小波系数视为方差与周围小波系数高度相关的、独立的零均值高斯分布，并结合小波系数方差的先验模型，从中得到了图像小波系数方差的估计，然后由小波系数方差和噪声方差再根据m m s e 准则得到小波系数的比例。投影方法的原理就在于将带噪声的图像以一种迭代的方式，投影到逐步缩小的空间，由于最后的空间能更好地体现原图像的特点，所以投影法也能够有效地区分噪声和图像。投影方法有m a t c h i n gp u r s u i t s 法和m c d ( m u l t i p l ec o m p a c td o m a i n )或p o c s ( p r o j e c t i o no n t oc o n v e xs e t ) 法两类。其中，m a t c h i n gp u r s u i t s 法是通过指定一族小波或波函数，并将带噪声图像向此函数簇进行投影，接着又对残差投影并循环反复，直到残差最后达到一定的条件：m a t c h i n gp u r s u i t s 法是m a l l a t 等人首次提出的，他们用g a b o r 函数库张成投影空间，并用以去噪，值得注意的是，m a t c h i n gp u r s u i t s 出了小波函数库可以选择外还可以使用局部余弦等多种函数库。而m c d和p o c s 法同m a t c h i n gp u r s u i t s 法很相似，也是基于投影原理，只不过图像的投影空第二：章小波域统计模型去噪的综述问有所4 i 同( 一般为b e s o v 空间的凸集) 。d e m o m e n t 指出，p o c s 法可以用来解决函数空间伪凸集的逆问题而p r a k a s h 和m o u l i n 以带噪信号的硬阈值萎缩版本为迭代起点，并利用p o c s 法来求解有信号的两个小波变换版本所规定凸集的交集，最后完成去噪，类似的研究还有c h o i 等人的研究“f 。相关方法主要是基于信号在各层相应位置上的小波系数之间往往具有很强的相关性，而噪声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点来进行去噪的。如x u 等人提出了一种s s n f 方法，该方法是利用相邻尺度小波系数的相关程度来进行去噪，即通过将相邻尺度同一位置系数的相关量来构成相关量图像，在作适当的灰度伸缩后，再同原来的小波图像进行比较，其中较大的相关量被视为对应于边缘等的图像特征，而被抽取出来，并作为原信号小波变换的估计，然后经反变换就得到去噪版本，因为s s n f 是一个迭代方法，迭代的终止规则是看剩余系数的能量是否接近于噪声的能量，所以噪声方差的估计在这方面显得非常重要。p a nq u a n 等人作了一些改进。此外，j o h n 等人则将矢量编码和b a y e s 估计结合起来。利用全局非空间适麻b a y e s 估训得到带噪声粗糙去噪版本，然后利用矢量编码来获得更精细的信号估计。小波域统计模型图像去噪研究第三章小波域邻域模型3 i 引言近年来在信号处理和统计领域里，小波阐值去噪因其有效且简单而得到了大量的研究。这种技术去噪在大部分基本形式上主要放在互不相关的小波领域，每一系数与阈值相比较来取值：如果系数比阈值小，被值为零，否则保持或调整1 。更直接的是，因为小波变换倾向于能量缩减，所以较小的小波系数更接近于噪声而较大的小波系数被看作重要的信息特征( 比如边缘) 。大量的文章因此将注意力放在了发展阈值选择方法上，所得到的阐值要么在统一的或是最多每个子段一个阀值。很少有文章放在能对不同空间特征起自适应性的阈值。其他的工作显示了为获得阅值框架而怎样选择小波基或其伸缩。很有趣的是通过调整不相关的小波伸缩，在移位不变伸缩中阈值消除了一些人为因素。本章根据信号模型提出了空间自适应阈值。为引出空间自适应阈值，先考虑一个例子。一个方形脉冲函数受到额外的噪声污染，而目的是恢复原始函数。剩下来的问题是怎样区分对信号贡献大的小波系数和对噪声贡献大的小波系数。而且阈值怎样调整昵? 下面主要解决这些问题。由于许多自然图像大部分由平滑和渐变转换的区域组成，所以它们有突变特性。突变特性区域在小波领域更是不同，正如图3 i 中看到的l e n n a 图的小波分解。可以看到高能量和低能量的区域( 或大和小的系数幅度) ，分别用自和黑像素表示。高能量区域对应于信号突变区( 比如边缘和纹理等) ：低能量的区域对应于平滑区。当加入噪声时，倾向于在均值上增加了小波系数的幅度。特别在平滑区域，小波系数中噪声占主导地