（机械设计及理论专业论文）多边形协调单元数值流形方法的研究.pdf

摘要 摘要 数值流形方法是一种广义高精度的数值计算方法，它采用由两套分开且相互独 立的数学网格和物理网格组成的有限覆盖系统进行数值计算。固定的数学网格能简 化网格划分和避免网格畸变。提高覆盖函数的阶次有利于提高数值解的精度。相比 有限元法，无网格法，在边界处理、数值解精度上有明显优点。最新的关于数值流 形方法的研究主要集中在数值流形方法的应用和位移函数改进方面。现有的流形单 元网格多采用有限覆盖的三角形网格，四边形网格，虽然单元构造简单，但缺点是 网格数量大、计算量大、单元存在剪切自锁等问题。对于几何复杂的问题，求解精 度不理想。本文考虑到传统流形单元的问题，提出一种协调的多边形流形单元，为 获得该流形单元权函数，建立该流形单元的网格生成，本文进行了以下研究： 1 对现有各种典型的多边形单元及其形函数性质进行了详细的对比分析，根据数 值流形方法权函数性质及选取的特点，确定权函数( 形函数) 形式以及多边形流形 单元的特点。 2 对选定权函数性质进行了更深入的分析与推导，首先从流形方法的基本概念与 模型出发，基于有限元插值模型对一般流形方法的收敛性、稳定性、协调性进行分 析。然后，对权函数的非负性、单位分解性、单元边界的线性特性作了相应说明。 最后，基于对流形方法收敛性与稳定性的研究，对权函数的插值误差作了深入的分 析与推导，得出了多边形单元流形误差至少具有与一般三角形单元、四边形单元相 同精度等级的结论。 3 对选定多边形单元边界的协调性进行了分析，给出了由三角单元、四边形单元 构成的多边形流形单元满足单元边界高阶协调性时的协调方程。 4 分析总结了流形单元一般物理覆盖生成的基本过程，给出了区域内生成 d e l a u n a y 三角网格的算法实现，以及由三角网格最终生成多边形网格的程序流程。 5 对几种典型的数值积分进行了对比分析，对流形方法积分方式进行了详细而全 面的分类，给出对于不同积分方式对应的积分方案 6 基于数值流形方法收敛性、稳定性的研究，分析推导出了影响局部覆盖函数选 取的因素，为局部覆盖函数的选取提供了依据，并给出了一种合理的局部覆盖基函 数形式。 广东工业大学硕士学位论文 本文对流形方法收敛性、稳定性、协调性、以及覆盖函数选取的研究，完善了 数值流形的理论。本文提出了一种多边形流形单元，理论上证明了该方法的有效性， 是一种新的采用流形方法解决复杂问题的思路与方法，本文对该流形方法的研究将 具有一定的理论和实际意义。 关键词：流形单元；数值流形方法；多边形单元；权函数；有限元法 i i a b s t r a c t ab s t r a c t n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o di sag e n e r a l i z e dn u m e r i c a lm e t h o dw i t hh i g h - o r d e r a c c u r a c y t h i sm e t h o dp e r f o r m sn u m e r i c a lc o m p u t a t i o nw i t hf i n i t ee l e m e n tc o v e rs y s t e m ， w h i c hi sc o m p o s e do ft w oi n d e p e n d e n tc o v e rg r i d s ：m a t h e m a t i cc o v e rg r i da n dp h y s i c a l c o v e rg r i d i nn m m t h ef i x e dm a t h e m a t i c a lg r i di nf i n i t ee l e m e n tc o v e rs y s t e mc a l l a v o i dm e s hd i s t o r t i o ni nl a r g ed e f o r m a t i o n ；e m p l o y i n gh i g ho r d e rf u n c t i o n so ra n a l y t i c f u n c t i o n sf o rp h y s i c a lc o v e rf u n c t i o n sc a ni m p r o v et h ef i e l df u n c t i o n sa p p r o x i m a t i o n n m mh a ss o m ed i s t i n c ta d v a n t a g e so v e rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n dm e s h - f r e em e t h o d s f o rp r o c e s s i n go fb o u n d a r yc o n d i t i o na n di m p r o v e m e n to fa c c u r a c yo fn u m e r i c a ls o l u t i o n r e c e n t l y , m o s ts t u d i e so fn m m a r ec o n c e n t r a t e do nt h ea p p l i c a t i o no fn m ma n dt h e e n h a n c e m e n to fl o c a lc o v e rf u n c t i o n m a n i f o l dm e t h o dg e n e r a l l ya d o p t st r a d i t i o n a l t r i a n g u l a re l e m e n t sa n dq u a d r i l a t e r a le l e m e n t sb a s e do nf i n i t ec o v e rs y s t e ma s i t s m a n i f o l de l e m e n t s t h e yc a nb ee a s i l yc o n s t r u c t e d ，b u tb o t ht h en u m b e ro fe l e m e n t s a n dt h ea m o u n to fc a l c u l a t i o na r eg r e a t t r a d i t i o n a le l e m e n t sc a ng e n e r a t es e l f - l o c k e d s h e a rp r o b l e m m m mb a s e do nt h e s ee l e m e n t sc a n n o tg i v er e l i a b l en u m e r i c a ls o l u t i o no f c o m p l i c a t e dg e o m e t r i cs h a p e s w i t hd u ec o n s i d e r a t i o no ft h e s es h o r t a g e so ft r a d i t i o n a l e l e m e n t s ，t h i sp a p e rp r o v i d ean e wc o n f o r m i n gp o l y g o n a lm a n i f o l de l e m e n t i no r d e rt o o b t a i n i n gt h ef o r mo fw e i g h tf u n c t i o no fp o l y g o n a lm a n i f o l de l e m e n ta n dg e n e r a t i n gt h e p o l y g o n a lg r i d s ，t h em a i ns t u d i e sa r em a d ea sf o l l o w s ： 1 d i f f e r e n tk i n d so ft y p i c a lp o l y g o n a le l e m e n t sa r ei n t r o d u c e d d e l i b e r a t ec o m p a r i s o n a n da n a l y s i so ft h e s ee l e m e n t sa r em a d ef o rt h es e l e c t i o no fw e i g h tf u n c t i o n t h ef a c t o r s o fs e l e c t i o no fw e i g h tf u n c t i o nf o rn m ma r ep r o p o s e d t h ef o r mo fw e i g h tf u n c t i o ni s a s c e r t a i n e da n dt h ec o r r e s p o n d i n gc h a r a c t e r i s t i c so fp o l y g o n a le l e m e n t sa r ed e d u c e d 2 d e e pa n a l y s i si sm a d ef o rt h ec h a r a c t e r i s t i c so fs e l e c t e dw e i g h tf u n c t i o ni nt h i s p a p e r f i r s t l y , c o n v e r g e n c e ，s t a b i l i t ya n dc o n t i n u i t yo fg e n e r a ln m m i sa n a l y z e db a s e d o nf i n i t ee l e m e n ti n t e r p o l a t i o ns c h e m e s e c o n d l y s o m er e l e v a n tc h a r a c t e r i s t i co fw e i g h t f u n c t i o ni n c l u d i n gn o n n e g a t i v i t y , t h eq u a l i t yo fp a r t i t i o no fu n i t ya n db o u n d a r yb e h a v i o r a r eg i v e n f i n a l l y ，b a s e do na n a l y s i so fc o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo fn m m ，i n t e r p o l a t i o n e r r o ri nn m mi sd e r i v e dt oc o n c l u d et h a tt h es e l e c t e dp o l y g o n a le l e m e n th a v et h es a m e i i i 广东工业大学硕士学位论文 o r d e ra c c u r a c yw i t ht r a d i t i o n a lt r i a n g u l a ro rq u a d r i l a t e r a le l e m e n t s 3 i no r d e rt oa c h i e v eh i g h - o r d e rc o n t i n u i t ya tt h eb o u n d a r yo fm a n i f o l de l e m e n t s w h i c hi s c o m p o s e do ft r i a n g u l a re l e m e n t sa n dq u a d r i l a t e r a le l e m e n t s ，f u r t h e ra n a l y s i si s c o n d u c t e dt od e r i v ec o m p a t i b l ee q u a t i o na n dt h e np r o c e s st h ee q u a t i o n 4 t h eo v e r a l lp r o c e s so fg e n e r a t i o no fp h y s i c a lc o v e rg r i di sg i v e n a l g o r i t h m a c h i e v e m e n to fd e l a u n a yt r i a n g u l a t i o nc o u p l e dw i t hp r o c e s sf l o wo fg e n e r a t i o no f p o l y g o n a le l e m e n t si sa l s op r o p o s e di nt h i sp a p e r 5 i nv i e wo fd i s t i n c t i o n so fs e v e r a lt y p i c a ln u m e r i c a li n t e g r a t i o nm e t h o d s ， c o m p a r i s o no ft h e s em e t h o d si s m a d ea n di n t e g r a t i o nt y p e so fn m ma r ee n u m e r a t e d e s p e c i a l l y , t h ec o n c r e t es e l e c t i o no fn u m e r i c a li n t e g r a t i o nm e t h o d sf o rd i f f e r e n tt y p e so f i n t e g r a t i o ni nn m m i sc l a s s i f i e d 6 o nt h eb a s i so fa n a l y s i so fc o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t ya b o u tn m m ，f u r t h e rd e r i v a t i o n i sm a d et od e t e r m i n a t es o m er e l e v a n tf a c t o r sa ss i g n i f i c a n tc r i t e r i at os e l e c to p t i m a ll o c a l c o v e rf u n c t i o n a ni m p r o v e db a s i sf u n c t i o no fl o c a lc o v e rf u n c t i o ni sp r o v i d e di nt h i s p a p e r t h ea n a l y s i so fc o n v e r g e n c e ，s t a b i l i t ya n dc o n t i n u i t ya b o u tn m mc o n s u m m a t e st h e f u n d a m e n t a lt h e o r yo fn m m t h ee f f i c i e n c yo fp o l y g o n a lm a n i f o l de l e m e n tp r o v i d e di n t h i sp a p e rh a sb e e np r o v e dt ob er e l i a b l e t h i sd i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e san e wc o n c e p t i o n a n dm e t h o dt os o l v ec o m p l i c a t e dp r o b l e m sa n di sb o u n dt ob eo fg r e a ts i g n i f i c a n c ei n t h e o r ya n da p p l i c a t i o n k e y w o r d ： n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ；m a n i f o l de l e m e n t ；p o l y g o n a le l e m e n t ； w e i g h tf u n c t i o n ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d i v c o n t e n t s a b s t r a c t ( c h i n e s e ) l a b s t r a c t 。i i i c o n t e n t s ( c h i n e s e ) v c o n t e n t s v i i i c h a p t e r ip r e f a c e 。：1 1 1i n t r o d u c t i o n 1 1 2r e a l a t i o no fn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o da n do t h e rn u m e r i c a lm e t h o d s 1 1 2 1r e l a t i o no fn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o da n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d 2 1 2 2r e l a t i o no f n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o da n dp a r t i t i o no fu n i t y 一3 1 2 3r e l a t i o no fn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o da n dm e s h f r e em e t h o d 4 1 3a d v a n t a g e so fn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d 5 1 4c u r r e n tr e s e a r c hs t a t ea n dd e v e l o p m e n to nn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d 6 1 4 1t h e o r e t i c a lr e s e a r c ho nn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d 6 1 4 2a p p l i c a t i o no fn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d 8 1 5t h er e s e a r c ht o p i c so ft h i sp a p e r 9 c h a p t e ri i b a s i ct h e o r yo fn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d 11 2 1b a s i cp r i n c i p l e s 11 2 1 1f u n d a m e n t a lc o n c e p to fn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d 一11 2 1 2m a t h e m a t i c a lc o v e ra n dp h y s i c a lc o v e ro fm a n i f o l dm e t h o d 11 2 1 3c o v e rf u n c t i o na n dw e i g h tf u n c t i o nb a s e do nf i n i t ec o v e rs y s t e m 13 2 1 4n u m e r i c a lm a n i f o l de l e m e n t 一14 2 1 5c o v e rf u n c t i o nm o d eo ff i n i t ec o v e rs y s t e m ：15 2 2f r e q u e n t l y - u s e dm a t r i c e sa n di n t e g r a t i o no fa s s e m b l e ds t i f f n e s sm a t r i x 18 2 2 1b a l a n c ee q u a t i o no ff i n i t ec o v e rs y s t e m 18 2 2 2e l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i xo fn u m e r i c a lm a n i f o l de l e m e n t 18 2 2 3l o a df o r c em a t r i c e so fn u m e r i c a lm a n i f o l de l e m e n t 一2 0 2 2 4b e n d i n g t o r s i o nl o a dm a t r i c eo fn u m e r i c a lm a n i f o l de l e m e n t 2 2 2 2 5m a t r i c e sg e n e r a t e db yd i s p l a c e m e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n 2 3 v i i i c o n t e n t s 2 2 6i n i t i a ls t r e s ss t i f f n e s sm a t r i x 2 5 2 3i n t e g r a t i o no fe l e m e n tm a t r i c e s 2 5 2 4a p p l i c a t i o n 2 6 2 5s u m m a r yo f c h p a t e r i i 2 8 c h a p t e rl i l c o n s t r u c t i o no fw e i g h tf u n c t i o no fp o l y g o n a le l m e n t 2 9 3 1i n t r o d u c t i o n 2 9 3 2c o m p a r i s o na n da n a l y s i so f t y p i c a lp o l y g n o a le l e m e n t s 2 9 3 2 1h y b r i dp o l y g o n a le l e m e n t 3 0 3 2 2p o l y g o n a le l e m e n tb a s e do nd i s p l a c e m e n tm e t h o d 3 0 3 2 3p o l y g o n a le l e m e n tb a s e do nb a r y c e n t r i cc o o r d i n a t e 3 3 3 3s e l e c t i o no f w e i g h tf u n c t i o no f p o l y g o n a le l e m e n t 3 6 3 3 1f a c t o r sf o rs e l e c t i o no f w e i g h tf u n c t i o n 3 6 3 3 2 c o m p a r i s o na n da n a l y s i so fd i f f e r e n tw e i g h tf u n c t i o n so fp o l y g o n a l e l e m e n t 3 6 3 4p r o p e r t yo f w e i g h tf u n c t i o no f p o l y g o n a lm a n i f o l de l e m e n t 3 7 3 4 1 a n a l y s i so fc o n v e r g e n c e ，s t a b i l i t ya n dc o n t i n u i t yo nn u m e r i c a lm a n i f o l d m e t h o d 3 8 3 4 2b a s i cp r o p e r t i e so fw a c h s p r e s sw e i g h tf u n c t i o n 4 6 3 4 3a n a l y s i so fc o n t i n u i t yo fw a c h s p r e s sw e i g h tf u n c t i o n 4 7 3 5e r r o ra n a l y s i so fw a c h s p r e s si n t e r p o l a t i o no nn u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d 5 2 3 6s u m m a r yo fc h a p t e r1 1 i 5 5 c h a p t e ri v g e n e r a t i o no fm a n i f o l de l e m e n t s m e s ha n ds e l e c t i o no fn u m e r i c a l i n t e g r a t i o n 5 6 4 1i n t r o d u c t i o n 5 6 4 2t y p i c a lm e t h o df o rg e n e r a t i o no ff i n i t ee l e m e n tm e s h 5 6 4 3m e s hg e n e r a t i o nt e c h n o l o g yo fm a n i f o l dp h y s i c a lc o v e r 5 6 4 3 1f u n d a m e n t a lc o n c e p to f m a n i f o l dp h y s i c a lc o v e r 5 6 4 3 2f u n d a m e n t a lp r o c e s so fs u b d i v i s i o no fp h y s i c a lc o v e r 5 6 4 4c o n s t r u c t i o no fd e l a u n a yt r i a n g u l a rm e s h 5 7 4 4 1p r o p e r t yo fd e l a u n a yt r i a n g u l a rm e s h 5 7 i x 4 4 2c o n s t r u c t i o nm e t h o do fd e l a u n a yt r i a n g u l a rm e s h 5 8 4 5g e n e r a t i o no fp o l y g o n a lm a n i f o l de l e m e n t 5 9 4 5 1s t r u c t u r eo fp o l y g o n a lm e s hb a s e do nd e l a u n a yt r i a n g u l a rm e s h 5 9 4 5 2g e n e r a t i o no fp o l y g o n a lm e s h 一6 0 4 6l o c a lc o v e rf u n c t i o nm o d eo fp o l y g o n a lm a n i f o l de l e m e n t 6 1 4 7s e l e c t i o no fn u m e r i c a li n t e g r a t i o ns c h e m e 6 2 4 7 1s e v e r a lt y p i c a ln u m e r i c a li n t e g r a t i o nm e t h o d 6 2 4 7 2s e l e c t i o no fn u m e r i c a li n t e g r a t i o nf o rp o l y g o n a lm a n i f o l de l e m e n t 6 5 4 8a p p l i c a t i o n 6 6 4 9s u m m a r yo fc h a p t e r1 v 6 7 c o n c l u s i o na n dp r o s p e c t 7 0 r e f e r e n c e s 7 2 p u b l i s h e dp a p e r s 7 6 s t a t e m e n to fo r i g i n a l i t y 7 7 a u t h o r i z a t i o ns t a t e m e n to fd i s s e r t a t i o n sc o p y r i g h t 7 7 a c k n o w l e d g e m e n t ：7 8 x 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 数值流形方法( n n m ：n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ) 由石根华先生于上世纪9 0 年 代初创建的。作为一种高精度计算的数值方法，该方法采用有限元类似的插值函数 构造模型，并吸收非连续性变形分析( d d a ) 中块体运动学的特点，将连续问题与 非连续性问题统一起来。数值流形方法的整体函数转化为权函数与局部函数构成的 统一形式。与传统有限元方法( f e m ) 插值函数相比，具有不同的数学和物理意义。 数值流形方法的数学基础是拓扑流形和微分流形。不同于一般数学流形在整个流形 构造区域需满足总体函数的连续可微；数值流形方法基于局部函数的统一形式，总 体函数与局部函数的定义有关，即与局部覆盖相关，整个区域的总体函数是分片构 造的。从物理意义上讲，数值流形方法的总体函数通过对应局部覆盖区域的局部函 数叠加获得。特别地，当采用有限覆盖的方式来构造总体函数时，需采用两种独立 的网格进行分析。规定数学覆盖网格与局部函数的作用域相对应。物理覆盖网格与 具体求解区域的物理结构特性相对应，显然地，数值流形方法适用非连续变形分析， 不同介质的变形以及物体的大位移运动。当采用的数学覆盖和物理覆盖重合，且局 部覆盖函数采用常数形式时，数值流形方法就转化为有限元方法，由此可见有限元 方法是数值流形方法的特例；此时的局部覆盖函数覆盖区域仅对应于相应的包含总 体函数插值的有限单元内。数值流形方法的特点表明，该方法是一种广义的数值计 算方法，具有独特的物理意义及其数学本质。 1 2 数值流形方法与其他数值方法的关系 数值流形方法对于给定的求解区域需采用两种不同的覆盖形式，即数学覆盖( 网 格) 和物理覆盖( 网格) 。两种覆盖是相互独立的，意义不同，在离散求解的过程中 需要将这两种覆盖统一起来。数学覆盖，为局部函数的作用区域，即局部覆盖区间。 所有的局部覆盖区间必须完整的覆盖整个求解区域，这样整个求解区域才可离散求 解。物理覆盖，反映物体的物理特性；这些物理特性包括几何构造，几何边界、裂 缝、块体结构、以及不同材料特性的分界面等。物理覆盖的选择不是任意的，取决 广东工业大学硕士学位论文 于求解区域的物理性质。当数学覆盖和物理覆盖重合时，可直接以物理覆盖网格作 为计算的离散单元。流形单元作为数值流形方法计算的离散单元，不仅应该符合局 部函数的定义，同时应当反映物体的物理特性。因此必须将数值流形的数学覆盖和 物理覆盖统一起来。物理覆盖在求解域的连续区域采用与数学覆盖相同的网格形式， 在非连续性区域以几何边界、裂缝等几何特性为基准生成物理覆盖，并将其叠加到 数学覆盖上以实现对数学覆盖的再剖分，再次剖分生成的数学网格即为流形方法计 算的网格。当整个流形系统采用有限覆盖的方式生成时，各个局部覆盖的公共区域 定义为流形单元，整个求解域可由若干分片的流形单元构成。各个流形单元对应不 同的局部覆盖区域及局部覆盖函数，总体覆盖函数在不同流形单元对应不同形式。 此时的总体覆盖函数通过局部覆盖函数在其对应的流形单元内以加权的形式求和计 算，这样在整个求解域的总体覆盖函数能给出统一的定义。由于数值流形方法采用 有限覆盖的基本模型，统一了非连续性分析，能基于不同求解域的不同物理特性进 行离散，因而可以实现对于各种物理问题的求解。流形方法中总体位移的局部覆盖 为函数形式，可采用多自由度的级数形式，对于偏微分方程及其他复杂问题的数值 求解是一种更高的数值计算方法。 作为一种更广义的数值计算方法，它与其他数值计算方法，如无网格法、有限 元法、单位分解法存在联系与区别。 1 2 1 与有限元法的关系 有限元方法是一种传统、典型的数值计算方法。从上世纪中期到现在得到不断 发展和完善，并且已将其应用于多个领域。传统的有限元方法对于处理结构相对简 单的物理问题有明显优势，但是对于物理结构复杂，位移变形大的问题存在明显不 足，计算结果往往不理想。在此基础上发展了扩展有限元法。该方法在提高插值精 度以及对于复杂物理结构及变形问题有明显优点。例如，为提高求解域上总体函数的 插值精度，可通过在单元内部增加的节点对位移函数插值，而不改变整个求解域内 的单元数目，这样不仅计算量不会增大，还提高了计算精度【2 】。当物体结构位移变 形较大时会导致原有的有限元网格发生畸变，此时由于位移函数依赖于网格的节点 坐标，因此插值精度急剧下降，原有的有限元方法将变得不可行，在此基础上，建 立了网格变化或运动的有限元法【3 ，4 】。传统有限元方法对于解决非连续变形问题及裂 纹生长中的应力集中问题、复杂界面问题存在不足1 5 ，6 j ，扩展有限元法、混合有限元 方法对于解决这些问题有明显优势。相比有限元法，发展的扩展有限元法对于物理 2 第一章绪论 结构复杂的问题适用性更强，并且在插值精度、形函数构造以及网格生成上都有了 改进，但对于该方法的数值问题等方面的问题还需要进一步的研究【7 j 。 有限元法与数值流形方法的区别和联系主要体现在以下几个方面： 1 网格生成。有限元方法采用单一物理网格，网格随物体变形发生变化，并且以 该物理网格作为有限单元网格对整个求解域进行离散计算。数值流形方法采用两套 网格，数学网格选择满足至少覆盖整个求解域，在物体变形过程中不发生变化，限 定局部函数的作用区间，物理覆盖随物体变形发生变化。 2 未知变量。有限元方法以节点变量作为求解的未知变量，局部覆盖函数以常 量形式存在。数值流形方法以局部覆盖函数级数形式作为求解的未知量，局部覆盖 函数一般采用未知多项式形式或其他级数形式，具有多个未知量。 3 总体函数的近似。有限元总体位移函数由节点变量与形函数加权求和得到。插 值精度由单元形状以及形函数的插值精度决定。流形方法总体函数由局部覆盖函数， 权函数加权求和得到。局部覆盖数学形式及作用区域将影响总体函数的插值精度。 4 节点函数及覆盖域。有限元节点变量为单一未知变量，覆盖域为包含该节点的 所有有限单元内。流形方法节点函数可为多未知变量的多项式或级数形式，作用的 覆盖域可白行定义，相比有限元方法，覆盖域更广。 1 2 2 与单元分解法的关系 单位分解法于上世纪末由d u a r t e 8 j 等提出，其基本原理是将任意求解域内的总 体函数单位分解为一组局部覆盖函数形式；它是一种广义的单位分解法，事实上， 从总体覆盖函数出发直接分解出局部覆盖函数的加权形式一般来说是很困难的。目 前许多的数值计算方法都属于单位分解法，如有限元法、无网格法、有限元与无网 格耦合的方法、数值流形方法等。这些方法采用单位分解的基本模型，适用于不同 物理问题求解，具有不同优点。局部覆盖函数、单位分解系数具有确定的意义和形 式。 有限元方法采用单一节点变量为单位分解法的局部覆盖形式，与节点插值有关 的形函数作为单位分解系数( 为函数形式) 。有限元方法是基于单元节点插值的单位 分解法。由于局部覆盖仅作用于节点包含的有限单元，单位分解在任意有限单元， 仅由包含于该单元的节点覆盖函数进行单位分解构造。无网格方法采用求解域内一 组离散节点进行构造，每个节点对应确定的影响域( 或覆盖域) ，区域内任意位置的 总体函数都可由包含在影响域内的所有节点构造。构造的总体函数可单位分解为由 3 广东_ t - 业大学硕士学位论文 这组节点覆盖函数( 单一节点变量) 的加权形式。无网格法的总体函数由求解域内离 散节点构造，不依赖于网格生成。与广义单位分解法相比，数值流形也采用局部覆 盖函数对总体函数进行分解；所不同的是，流形方法局部覆盖函数有确定的覆盖区 域，网格生成的意义不同。 1 2 3 与无网格法的关系 无网格法( m f r e e ) 可定义为：在建立整个求解域系统方程时，不需要依赖网 格信息进行离散求解的数值计算方法。无网格法总体函数的构造，首先通过散布在 求解域内和边界上的一系列场节点来描述物理问题域及其边界。这些节点不构成特 定网格，且无需事先定义的节点连接信息，然后通过求解域内的节点来构造近似的 总体函数。对于理想的无网格方法要求在求解偏微分方程及处理边界条件时，均无 需采用网格。由于基于局部节点来构造总体函数，节点形函数是局部存在的。对于 不同节点，需定义节点的影响域或局部支持域( 覆盖域) 。对于求解域内不同计算点 的总体函数，通过局部支持域来确定对于任意计算点而言所包含的场节点数，以这 些节点来构造计算点的形函数以及最终总体函数。由此可见，特殊计算点的形函数 可随该点位置变化而变化。无网格强式法相对于弱式法而言，稳定性差。目前，大 部分研究都集中在弱式法，根据公式的不同导出方法，可将其为3 类：( 1 ) 基于弱式 的无网格法。( 2 ) 基于配点技术的无网格法。( 3 ) 基于弱式和配点技术相结合的无 网格法。 无网格法与数值流形方法的区别与联系主要体现在以下几方面： 1 节点信息。无网格法节点散布于整个求解域，用于表示整