（新课标）高考数学专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定值、定点及证明问题练习文新人教A版.docx

第3讲 圆锥曲线中的定值、定点及证明问题1(2019贵阳市第一学期监测)已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切，设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解：(1)由题意动圆P与直线l：y1相切，且与定圆M：x2(y2)21外切，所以动点P到圆M的圆心M(0，2)的距离与到直线y2的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以M(0，2)为焦点，直线y2为准线的抛物线故所求P的轨迹E的方程为x28y.(2)证明：设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b，又x1x2y1y2x1x28bb216，所以b4，所以直线AB恒过定点(0，4)2(2019江西七校第一次联考)已知椭圆C：1(ab0)经过点M，其离心率为，设直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l与圆x2y2相切，求证：OAOB(O为坐标原点)解：(1)因为e，a2b2c2，所以a22b2，所以椭圆C的方程为1.因为在椭圆上，所以1，b21，a22，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：因为直线l与圆x2y2相切，所以，即3m22k220，由，得(12k2)x24kmx2m220，16k2m24(12k2)(2m22)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，所以x1x2y1y20，所以OAOB.3(2019长沙市统一模拟考试)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2F1F2，且|AF2|.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：ykxm与l1，l2分别交于M，N两点，求证：MF1N为定值解：(1)由AF2F1F2，|AF2|，得.又e，a2b2c2，所以a29，b28，故椭圆C的标准方程为1.(2)证明：由题意可知，l1的方程为x3，l2的方程为x3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(3，3km)，N(3，3km)，所以(2，3km)，(4，3km)，所以8m29k2.联立，得(9k28)x218kmx9m2720.因为直线l与椭圆C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化简得m29k28.所以8m29k20，所以，故MF1N为定值.4(2019高考北京卷)已知椭圆C：1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点解：(1)由题意，得b21，c1，所以a2b2c22.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为yx1.令y0，得点M的横坐标xM.又y1kx1t，从而|OM|xM|.同理，|ON|.由得(12