（电路与系统专业论文）小波变换形态学边缘检测算法研究.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 在图像处理领域，边缘检测属于低层次图像处理，但是由于边缘描述了目标最基本的 形状特征，其对解决目标识别和图像理解等高层次图像处理问题有着非常重要的意义。同 时，边缘检测又是图像处理领域中经典的技术难题之一，原因是图像在成像过程中由噪声、 投影、混合等导致图像发生模糊和变形，使得边缘往往难于检测。近年来，随着对尺度空 间理论研究的深入，以及一些现代数学方法在图像处理领域的广泛应用，更符合人类视觉 特征的多尺度检测方法和数学形态学边缘检测方法，受到了边缘检测领域学者们的重视。 本文重点研究数学形态学与小波多尺度在边缘检测中的应用。 本文首先介绍了图像边缘检测的定义及传统的边缘检测算子，分析了各种算子的性能 和优缺点，并进行了实验验证。其次，详细介绍了数学形态学的基础理论、发展过程以及 目前的研究现状，给出了二值形态学和灰度形态学的基本算子：腐蚀、膨胀、开运算以及 闭运算，并对全方位形态学滤波器进行了改进，重点研究了基于全方位形态学滤波器和圆 形全方位形态学滤波器的边缘检测算法，并且进行了实验验证。然后，将小波变换与数学 形态学相结合，给出了一种小波变换形态学边缘检测算法，此算法先对图像进行小波软阈 值去噪，再利用多功能结构元模板对图像进行边缘检测，并对不同小波去噪结果进行了对 比实验，实验结果表明检测出的边缘清晰度较高。最后对全文进行了总结和展望。 关键词：边缘检测；数学形态学：小波变换；多功能结构元 第1 i 页 武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n 妇a g ep r o c e s s i l 唱，t l l ee d g ed e t e c t i o ni sal o w - l e v e lv i s u a lp r o c e s s i i l g b u td u et om ee d g e o fm es h a p ed e s 嘶p 廿o no f 也eb a u s i cc h a r a c t 萌s t i c so ft 1 1 et a r g 吒t l l ee d g ed e t e c t i o nh a l sav e 巧 i m p o 咖tp o s i t i o ni 1 1m g h - 1 e v e li i i l a g ep r o c e s s i n gp r o b l e m ，s u c ha st a 略e tr e c o g m t i o na 1 1 d 妇a g e u n d e r 幽m d i l l g 加1 dm ee d g ed e t e c t i o ni s t 1 1 ec l a s s i cp r o b l e mi i lh a g ep r o c e s s i l l gt e c l l i ：曲p e s ， b e c a u s emt l l ei i n a g i n gp r o c e s s ，也ei l o i s e ，p r o j e c t i o na i l dm i x m gm a k ei m a g eb l u ra n dd i s t o r t ， w 1 1 i c hm a k e st l ：l ee d g ed e t e c td i m c u l t l y i nr e c e n ty e a r s ，丽t l lm ed e v e l o p m e n to ft h es c a l es p a c e t 1 1 e o r y ，a n d l ee x t e n s i v e 印p l i c a d o no fs o m em o d e mm a m e m a t i c a lm e t h o d si i lc o n l p u t e rv i s i o n ， 廿1 em u l t i s c a l ed e t e c t i o nm 砒o d si 1 1l i l l e 、i 也c h a r a c t e r i s t i c so fh u m a nv i s u a la n dm a 血e m a t i c a l m o 印h 0 1 0 9 ye 电ed e t e c t i o na r ep a i da ：t t e n t i o nb ys c h o l a r si i le d g ed e t e c t i o n t i l i sp a p e r r e s e a r c h e sm e 印p l i c a t i o no fm 砒锄a t i c a lm o 印h o l o g ) ，a n dw a v e l e tm u l t i - s c a l em e 也o di i le d g e d e t e c t i o n f i r s t l y ，t h i sp 印e ri n 仃o d u c e st h ed e 丘1 1 i t i o no fi m a g ee d g ed e t e c t i o n 蛆dt 1 1 e 仃a d i t i o 蹦e d g e d e t e c t i o no p e r a t o r s ，锄m y z e s 也e 础r a n t a g e s2 l r l d d i s a d v a n t a g e so fv 撕o u so p e r a t o r s ，a i l d v a h d a t e si tb ye x p e 血1 e n t n e x t ，也eb a s i ct h e o r y ，t h ed e v e l o p m e n tp r o c e s sa n dt 1 1 ec u r r e n t r e s e a r c hs t a _ t u so ft l l em a ：m e m a t i c a lm o r p h o l o g ya r ei n t r o d u c e d ，t l l eb i n a 巧m o 印h o l o g ya n d 昏a y b a u s i cm o 印h o l o g i c a jo p e r a t o r ：e r o s i 0 1 1 ，e x p 锄s i o n ，o p e no p e r a t i o l l sa n dc l o s e do p e r a t i o i l sa r e g i v e n ，趾d 也ea 1 1 - r o u i l dm o r p h o l o g yf i l t e ri si i n p r o v e d 1 1 1 ee d g ed e t e “o na l g o r i t h i i lb a s e do n a 1 1 - r o u n dm o 印1 1 0 1 0 9 yf i l t e ra 1 1 dc i r c u l a ra l l - r o u n dm o i p h 0 1 0 9 yf i h e ri sr e s e a r c h e d ，a 工l dv a l i d a t e d b ye x p e r i m e m f i n a l l y ，c 0 m b i n i l l gm ew a v e l e t 仃a n s f o m 丽也m a ：c 1 1 e m a t i c a lm o r p h o l o g y ，a m d 印h 0 1 0 9 i c a lw a v e l e te d g ed e t e c t i o na l g o r i n 】m i s g i v e n i n 也i sa l g o r i t l l m ，t h ei m a g ei s d e r l o i s e db yw a v e l e ts o f tt 1 1 r e s h o l dm e t h o d ，m e nt l l ee d g ei sd e t e c t e db ym u l t i 一觚c t i o n a l s t n l c t u r ee l e m e n t t e m p l a t e ，a n dt ：h ed i 任e r e n tw a v e l e td e - n o i s i i l ge x p e r i m e n tr e s u l t sa r ec o m p a r e d 1 1 1 ee x p e 池e 1 1 ：t a lr e s m t ss h o w 也a t 恤e d g e sd e t e c t e d h a v eg o o dd e 觚t i o n f i i l a l l y ，m ew h o l e d i s s e r t a t i o ni ss u l n m 撕z e d 趾de x p e c t e d k e y w o r d s ：e 趣e d e t e c t i o n ；m a m e m a t i c a l m o r p h o l o g y ； w a v e l e tt 眦s f o r i i l ； m u l t i 丘m c t i o n a ls t r u c 饥l r a le l e m e n t 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 引言 随着信息技术的飞速发展，出现了许多用于数字图像处理技术的新理论，数学形态学 是一种较新的非线性处理技术，它利用数学中的集合进行运算和分析，具有完备的理论体 系。数学形态学的理论虽然比较艰深和复杂，但其结论简单实用，因此应用较广泛。 数学形态学广泛的应用于图像处理的各个领域，成为图像处理理论的一个重要方面。 最基本的形态学代数算子包括腐蚀、膨胀、开运算、闭运算等，可以通过各种算子的组合 来完成特征提取、图像滤波、边缘检测态分析、图像压缩等各种处理【l 】。数学形态学能够 简化图像数据，使得形态学分析和处理算法并行，图像分析和处理的速度较快。 图像边缘是图像最基本的特征，边缘检测是图像处理中最基础的内容，在图像分析及 计算机视觉中起着重要的作用。所谓边缘是指图像局部特性的不连续性，是图像灰度和结 构信息突变之处，包含很多有用的信息，在模式识别及图像分析中经常需要进行边缘的检 测。而实际处理的图像通常都包含有噪声，因此在提取边缘的过程中通常还需考虑其抗噪 声的性能。 对于如何精确、快速地提取图像边缘信息一直是边缘检测算法研究的热点，由于图像 本身的复杂程度，如光照强度及物体本身纹理特性不同，边缘和噪声同属高频信号，且它 们在图像中均为边缘，而每个使用者对于图像边缘信息的需求不同，所以对于边缘检测技 术的研究很有必要。 早期经典算法有边缘算子法、模板匹配法、曲面拟合法等，近年来随着智能算法的发 展，也出现了多种新的边缘检测方法，如基于小波变换的边缘检测、基于模糊理论的边缘 检测、基于神经网络的边缘检测，以及基于数学形态学的边缘检测等。 1 2 研究目的及意义 图像边缘检测作为低层次的视觉处理过程，有着较长的研究历史，传统的一些经典边 缘检测算法已经得到了很大的发展，也出现了很多改进新方法和新理论，从这能够看出这 一课题本身研究的重要性，但仍有很多问题需要进一步解决改进和发展，主要集中于边缘 检测精度与抗噪声性能的协调之间，由于图像边缘和噪声同属于图像高频成分，从这方面 也反映了这一研究方向的深度和难度。 边缘检测是图像处理的基础，其检测的结果会直接影响到后续研究效果，寻找能够高 精度、快速提取边缘的简单算法，一直是图像处理分析研究的热点问题。基于数学形态学 的边缘检测的基本思想，是运用一定的结构元素来对图像做形态运算再和原图像相减，结 构元素的选择十分重要，其结构、大小的选择是边缘提取的关键因素。当对二值图像或灰 度图像进行处理时，应分别选用二值形态学或灰度形态学进行运算【2 3 】。 随着数字图像处理技术，计算机视觉的飞速发展，边缘检测技术广泛应用于各个领域。 本文研究主要目的在于图像边缘的检测及应用，比较了传统算法并给出了这些算法的描 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 述，在图像基本的算法研究基础上针对具体图像的特点，提出了多尺度形态学边缘检测算 法，形态运算不像传统的微分算法对噪声过于敏感，且形态运算能够将大量复杂图像处理 运算转换为基本的运算，相对而言在对比下来后，我们能看出形态学的边缘检测方法较其 他空域边缘检测方法还是有很多优点的，本文就利用了这一方面的优越性，提出了基于形 态学的多尺度边缘检测方法的改进算法。 1 3 本文的研究内容及安排 本文以数学形态学的基本理论为基础，详细讨论了数学形态学的理论基础、运算规则、 基本运算单元以及运算性质，并讨论了形态学在图像处理边缘检测中的一些应用。本文重 点讨论了利用形态学对图像进行去噪和边缘提取，在已有的形态学滤波和边缘检测基础 上，提出了一种基于多尺度的滤波和边缘提取算法。通过实验，对本文所采用的方法进行 了分析比较。本文内容共分六章： 第1 章介绍了数学形态学的基本理论，对图像边缘检测技术的背景进行了介绍，然后 说明了当前边缘检测算法国内外的研究现状以及存在的问题，同时阐述本文的研究目的和 意义，最后介绍了本文的研究工作和内容安排。 第2 章阐述了传统的微分算子边缘检测方法和新兴的c a n n y 算子以及小波边缘检测方 法。 第3 章首先介绍了数学形态学及其发展概况，然后在集合、结构元素定义的基础之上 引入了二值和灰值形态学的膨胀和腐蚀这两个基本运算的定义及性质，介绍了其对图像操 作后的效果。 第4 章主要论述了形态学滤波的基本理论，并分析和研究了一般的形态学滤波器和全 方位形态学滤波器，引入5 木5 的全方位形态学滤波器和圆形形态学滤波器，分别对图像进 行边缘检测，并进行了比较实验。 第5 章论述了形态学边缘检测算法，提出了一种新的多尺度形态学边缘检测算法，并 进行了实验验证。该算法将小波变换与形态学滤波相结合，进行边缘检测，对于含噪图像 能抑制噪声的影响，并能有效地检测出图像的边缘。 第6 章是全文总结与展望。 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 第2 章图像边缘检测算法概述 图像的边缘表示图像中绝大部分的结构和形状信息，其本质就是图像中的突变点。边 缘检测就是使用某种方法把图像中的这些突变点尽可能的检测出来。本文系统地介绍了基 于微分的边缘检测算子，并进行了相应实验，分析了各种边缘检测算子的特点和性能。 2 1 传统边缘检测算法 传统的边缘检测算法大都是基于梯度或差分的，下面介绍几种经典的边缘检测算法， 并利用实验验证其边缘提取性能，分析各自的特点和优缺点。 2 1 1 差分边缘检测方法 差分边缘检测是最原始、最基本的边缘检测方法。基于差分的边缘提取算法是根据灰 度迅速变化处的一阶导数达到最大( 阶梯状边缘情况) 这一原理，通过求图像函数的一阶导 数，并用差分替代微分，分析图像在每个点的灰度强度变化，通过设定阈值来确定突变点， 以给出图像的边缘。差分检测法对差分的方向要求较高，不同的差分方向可以提取不同方 向的边缘。因此，在进行边缘提取时，需要从不同的方向对图像进行提取，最后再进行综 合，确定出最终的边缘【4 】。差分边缘检测通常从垂直方向、水平方向和对角线方向等进行 边缘检测。基于差分的边缘检测算法方向模板如图2 1 所示。 垂赢边缘水警边缘 对憩线力囱边缘财趋线方岛边缘 图2 1 基于差分的边缘检测算法方向模板 2 1 2r 曲e r t s 算子 r o b e r t s 边缘检测算子是基于对角线上两相邻元素之差分值来分析边缘的【5 】， 矿= 厂( f ，) 一( f + 1 ，+ 1 ) a ) 矿= 厂( f ，歹+ 1 ) 一厂( f + 1 ，) r ( f ，) = i ，厂l + l ) ，厂i r o b e r t s 算子在x 方向和y 方向上的卷积模板如图2 2 所示。 粗哪 哪 栩 娥 q 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 z fy f 图2 2r 岫e r t s 算子模板 在确定了卷积核，厂，。厂之后，计算r o b e r t s 的梯度值r ( f ，) 较简单。但该方法中阈 值的选择比较重要，为了提高检测效果必须较好地选择阈值。当阈值确定后，进行以下判 断：当r ( f ，歹) 鹏时，( f ，) 为图像边缘点；当r ( f ，歹) 掰时，仍保留原图像中的灰度值。 2 1 3s o b e l 算子 s o b e l 算子从不同的方向检测边缘，利用像素点上下、左右邻点的灰度加权算法，根据 在边缘点处达到极值进行边缘的检测【6 】。s o b e l 算子的基本思想是在一个像素点的邻域先求 加权平均值，对噪声进行平滑处理，然后再通过微分求梯度值。通过选取适当的阈值t 来 做取舍，如果取得的毋 r ，则认为点( f ，) 是边缘点，从而得到图像中的边缘。 其梯度幅值计算公式为： 毋= 川+ l 厂y i ( 2 3 ) 其中： 厂。，( f ，) = 厂( f 一1 ，j f + 1 ) + 2 厂( f ，j + 1 ) + 厂( f + l ，+ 1 ) 一 厂( f 一1 ，一1 ) + 2 厂( f ，一1 ) + 厂( f + 1 ，一1 ) 】 厂。( f ，) = ( f 一1 ，一1 ) + 2 厂( f 一1 ，j ) + 厂( f 一1 ，_ ，+ 1 ) 卜 厂( f + 1 ，一1 ) + 2 厂( f + 1 ，) + 厂( f + 1 ，+ 1 ) 】 表示，( f ，) 和厂，( f ，) 的卷积模板为： 图2 3s o b e l 算子模板 s o b e l 边缘检测算子不仅可以产生较好的边缘检测效果，而且对噪声具有平滑作用， 减小了算子对噪声的敏感性。但是，s o b e l 边缘检测算子同时也检测出了一些伪边缘，使 得边缘比较粗糙，降低了检测的定位精度。在对检测定位精度要求不是很高的情况下， s o b e l 算子是一种比较常用的边缘检测算子。 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 2 1 4p r e w i t t 算子 p r e w i t t 边缘检测算子也是利用像素点在上下左右的邻点的灰度差，在边缘处达到极 值来检测边缘 7 】o 其基本思想与s o b e l 算子是类似的，都是先求邻域平均值，对噪声进行平 滑处理，然后求梯度。 其梯度表达式与s o b e l 算子的相同，只是表示x 方向、y 方向的厂；( f ，) 和厂，( f ，) 有所 差别，计算式分别为： 厂，( f ，_ ，) = 厂( f 一1 ，+ 1 ) + 厂( f ，歹+ 1 ) + 厂( f + 1 ，_ ，+ 1 ) 一 厂( f 一1 ，一1 ) + 厂( f ，一1 ) + 厂( f + 1 ，歹一1 ) ( 2 4 ) y ( f ，) = 厂( f 一1 ，一1 ) + ( f 一1 ，) + ( f 一1 ，+ 1 ) 】一l 厂( ，+ l ，一1 ) + 厂( f + 1 ，) + ( f + 1 ，j f + 1 ) ( 2 5 ) 表示厂，( f ，) 和，( f ，_ ) 的卷积模板如图2 4 所示。 图2 4p r 蜊讯算子模板 与使用s o b e l 边缘检测算子的方法一样， 后取绝对值之和，或者取其最大值作为输出， 图像中每个像素都用这两个模板做卷积，然 所得运算结果就是一幅边缘图像。适当取门 限掰，如果尺( f ，_ ) 掰，则检测为阶跃边缘点。 2 1 5 l a p l a c j a n 算子 拉普拉斯( l a p i a c i a n ) 算子是一种对二维函数进行运算的二阶导数算子，它的计算与方 向无关，对取向不敏感，因而计算量较小【8 1 。拉普拉斯( l a p l a c i a n ) 算子是一种基于二阶微分 的边缘检测算子，该算子的表达式为： 卿川= 帮+ 帮 亿6 ， 近似的离散表达式为： 筹砒川) - 2 删m ( f ，) ( 2 7 ) 晕譬：( f + 1 ，) 一2 厂( f ，) + 厂( f 一1 ，) ( 2 8 ) 第6 页 武汉科技大学硕士学位论文 2 ( f ，) = 厂+ 1 ，) + 厂( f 一1 ，) + 厂( f ，+ 1 ) 一4 ( f ，) ( 2 9 ) l a p i a c i a n 算子对应的模板如图2 5 所示。 图2 5l a p i a c i a n 算子模板 拉普拉斯边缘检测算法，要求预先设置模版，然后基于模版通过卷积来实现边缘检测。 在设置模版时，规定模版中心位置对应的系数值为正，而其他位置的系数值为负，且整个 模板上所有系数值的和为0 。拉普拉斯算子对噪声比较敏感，噪声对拉普拉斯算子的边缘 提取结果影响较大。 2 2 新兴边缘检测方法 2 2 1 c a n n y 算子 c a n n y 边缘检测法是利用高斯函数的一阶导数进行检测，它能在噪声抑制和边缘检测 两者之间取得较好的平衡9 1 。 具体算法如下： ( 1 ) 用高斯滤波器对待处理图像进行平滑处理。即选取合适的g a u s s 滤波函数g ( x ，y ) ， 并设置邻域的大小，然后对给定图像厂( x ，y ) 进行卷积运算，这样就可以得到平滑后的图像 s ( x ，y ) = ( x ，y ) g ( x ，y ) 。 ( 2 ) 计算图像的梯度方向和幅度。 计算图像的两个方向的一阶偏导数，即卿易 巨业丛凹塑鼍盟盟幽 ( 2 1 0 ) e ，亚韭堕趔鼍业生幽 ( 2 1 1 ) 则图像厂( x ，y ) 在( f ，_ ，) 点处的梯度幅度彳( f ，) 及方向口( f ，) 为： 么( f ，) = e 2 ，( f ，歹) + e 2 ，( f ，_ ，) ( 2 1 2 ) 烈“) - l 黜l ( 2 1 3 ) ( 3 ) 利用极大值抑制的方法对结果进行处理，使得部分小的点去除，且将所有的幅度 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 变化较大的点进行保留。 ( 4 ) 利用双阈值的方法检测最终的边缘。采用两个阈值进行处理后，可得到两个结果： 高阈值边缘提取结果和低阈值边缘提取结果。然后首先在高阈值边缘中进行连接，连接完 后对于间断的地方，再到低阈值的边缘中去寻找补齐，直到所有的间断的地方都被连接起 来。 2 2 2 小波边缘检测方法 小波分析是近二十年来发展起来的信号分析理论，小波分析以多分辨分析为基础，可 以广泛应用于信号处理、图像处理的各个方面，小波分析同时具有良好的时间分辨率和频 率分辨率。小波可以在不同的尺度上检测图像的边缘，小尺度上可以检测出大量细致的边 缘；大尺度上可以有效地降低噪声的干扰。利用小波分析进行边缘提取也取得了许多好的 研究成果 1 0 12 1 。但小波变换的运算比较复杂，运算量较大，而且有多种不同的小波基，不 同的小波基会导致边缘检测的结果不相同，需合理选择小波基。 2 3 常用边缘检测算子实验结果与分析 下面对以上所介绍的常用边缘检测算子进行边缘检测实验，实验图像选用标准灰度图 像c a m e r a m a n 图像，实验中分别使用r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、l a p l a c i a n 算子和c a n n y 算子共5 种算子对该标准灰度图像进行边缘检测，实验结果如图2 6 所示。 ( a ) c a m e r a m a n 原图( b ) r o b e r t s 算子 ( c ) s o b e l 算子 ( e ) l a p l a c i a n 算子 ( f ) c a n n y 算子 图2 6 不同边缘检测算子对c a m e r a m a n 图像的边缘检测结果 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 然后分别使用r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、l a p l a c i a n 算子和c a n n y 算子 共5 种算子对c 锄e r a m a n 添加5 高斯噪声图像进行边缘检测，实验结果如图2 7 所示 ( a ) c a m e r a j d a n 加5 高斯噪声( b ) r o b e r t s 算子( c ) s o b e l 算子 ( d ) p r e w i t t 算子( e ) l a p l a c i a n 算子 ( f ) c a n n y 算子 图2 7 不同边缘检测算子对c a m e r a m a n 添加5 高斯噪声图像的边缘检测结果 由图2 6 、图2 7 可见，r o b e r t s 边缘检测算子所得到的图像边缘定位比较准，但不是 很平滑；s o b e l 和p r e w i t t 边缘检测算子检测出的边缘轮廓比较粗，边缘图像定位不够准确； l a p l a c i a n 边缘检测算子不能检测边缘的方向，边缘连续情况较差，存在着间断点；c a n n y 算子是这5 种算法中检测性能最好的。具体总结如下： 1 ) 由于r o b e r t s 算子是利用图像的两个对角线的相邻像素之差进行梯度幅值的检测， 所以求得的是在差分点处梯度幅值的近似值，并且检测水平和垂直方向边缘的性能好于斜 线方向的边缘，检测精度比较高，但容易丢失一部分边缘，同时由于没经过图像平滑计算， 因此不能抑制噪声，但该算子对具有陡峭的低噪声图像响应最好。 2 ) p r e w i t t 算子和s o b e l 算子都是对图像进行差分和滤波运算，仅在平滑部分的权值 选择上有些差异，因此两者均对噪声具有一定的抑制能力，但这种抗噪能力是通过像素平 均来实现的，所以图像产生了一定的模糊，而且还会检测出一些伪边缘，所以检钡0 精度比 较低，该算子比较适合用于图像边缘灰度值比较尖锐且图像噪声比较小的情况。 3 ) l a p l a c i a n 算子首先通过高斯函数对图像进行平滑处理，因此对噪声的抑制作用比 较明显，但同时也可能将原有的边缘也平滑了，造成某些边缘无法检测到，比外高斯分布 因子盯的选择对图像边缘检测效果有较大的影响，仃越大，检测到的图像细节越丰富，但 抗噪能力下降，从而出现伪边缘，反之则抗噪能力提高，但边缘精度下降，易丢失许多真 边缘，因此，对于不同图像应选择不同参数。 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 4 ) c a n n y 算子也采用高斯函数对图像进行平滑处理，因此具有较强的去噪能力，但同 样存在容易平滑掉一些边缘信息，其后所采用的一阶微分算子的方向性较l a p l a c i a n 算子 要好，因此边缘定位精度较高。该算子与其它边缘检测算子的不同之处在于，它使用2 种 不同的阈值分别检测强边缘和弱边缘，并且仅当弱边缘相连时才将弱边缘包含在输出图像 中，因此这种方法较其它方法而言不容易被噪声“填充 更容易检测出真正的弱边缘。通 过对c 锄e r a m a n 图的仿真实验结果可以看出，该算子在上述几种边缘检测算子当中效果最 好。边缘定位准确，连续性较好，虚假边缘少且边缘均具有单像素宽度。 2 4 本章小结 本章介绍了传统的微分边缘检测算子包括r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、 l a p l a c i a n 算子，以及c a i l n y 算子，较详细地分析了这些边缘检测算法的理论基础、实现方 法，及特点；还简要介绍了小波边缘检测的理论和方法。用所介绍的5 种典型的边缘检测 算子分别对不含噪声的图像以及含噪图像进行了实验分析验证，并根据实验结果对各边缘 检测算子的性能作了进一步的分析。 第1 0 页 武汉科技大学硕士学位论文 第3 章数学形态学基本理论 数学形态学是一种前沿的图像处理方法，该方法的主要运算是在集合论的基础上定义 的形态学的二个基本算子：腐蚀和膨胀。在这两个基本算子的基础上可以发展出很多有用 的图像处理方法，目前该方法已经在多个方面获得了较广泛的应用。本章介绍了形态学的 基础知识，并介绍了形态学两个基本运算的性质，以及在图像处理中的某些应用。本章内 容是本文理论推导的基础。 3 1 二值图像数学形态学 二值图像像素的取值有两个：0 或l ，其中取值为1 的点对应着景物中的物体，取值为0 的点构成背景。该图像的集合是直接表示的，所有l 对应的点的集合( 即物体) 用彳表示， 则彳与图像是一一对应的。最初数学形态学用于二值图像中，形成了二值形态学【13 1 。 3 1 1 基本概念 下面给出二值形态学中用到的基本概念【1 4 1 。 平移：若彳是一个二值图像，6 为一个点，则么被6 平移后的结果定义为： 彳 6 】= 口+ 6 i 口么) ( 3 1 ) 即将彳中每个点的坐标与6 的坐标相加，得到的新的坐标集合缸+ 6 即为彳被6 平移 的结果，记为么6 1 。 映像：若彳是一个二值图像，则定义彳关于坐标原点的映像4 为： 彳= 一口i 口彳 ( 3 2 ) 即将彳中每个点的坐标值进行取反，得到的新的坐标集合即为4 的映像，记为么。 在比较和分析图像各部分的关系时，需要预先设置一个结构元，利用该结构元作为探 针来探测相关的信息。将结构元在图像中不停的移动，通过结构元的情况就可以分析图像 各部分间的信息。结构元具有特定的形状，是形态学中最重要的部分，结构元的选择直接 影响到形态处理结果的好坏。根据需要，应该选择不同类型的结构元，从而充分反映图像 中的相关信息，因此结构元直接反映了图像处理的目的。结构元的选取方式很多，通常， 结构元的尺寸应该远小于待处理的图像的尺寸，目前有一些比较经典形状的结构元可供选 择，比如矩形、菱形、十字形、圆形和蝶形等，结构元形状和尺寸的选择是形态学中的难 点，也是最关键的地方。 3 1 2 图像腐蚀( e m s i 蚰) 腐蚀就是定义结构元之后，让结构元在图像内部滚动，寻找图像内可以放得下结构元 武汉科技大学硕士学位论文第l l 页 的所有区域 1 5 1 。待处理图像被形态结构元b 腐蚀，表示为x ，用集合的方式进行表示， 可写为： x 四= 驯s 瞳 z ) ( 3 3 ) 上式表明，腐蚀就是当b 在待处理图像中平移时，寻找图像内部所有可放入b 的点的 集合，所有这些点的集合就构成了腐蚀的结果。通常，图像经结构元腐蚀后，会发生收缩， 所以腐蚀运算具有收缩图像的作用，腐蚀的过程如图3 1 所示。 b 图3 1 腐蚀运算不慈图 从几何学角度来说，将圆盘b 在x 的内部移动，当圆盘不超过x 的边界时，标出圆盘 的圆心所在的所有位置，便可得到了腐蚀后的图像。腐蚀运算作用于物体时，可以起到消 除物体边界点的作用，而且如果物体的外部或边界处有小于结构元的部分存在时，可以消 除这部分结构，使得物体的边界变得光滑。如果两个物体间有连接存在，但连接尺寸小于 所选的结构元，那么对两个物体进行腐蚀运算后，物体间的连接将被腐蚀掉，使得两个物 体分开，这个功能是图像处理中应用非常广泛的一个功能。 3 1 3 图像膨胀( d n a t i o n ) 腐蚀可以看作是将图像x 中的每一个与结构元素b 全等的子集s x 收缩为点x 。相 反，如果将x 中的每一个点扩展为集合s b ，则该运算就称为膨胀，在形态学中记为 x o b ，其数学定义定义为16 】： x o b = z i s 【x 】n x 叼或x0b = x 。o ( 一s ) 】。 ( 3 4 ) 式中的x 。表示x 的补集。为了用s 膨胀x ，可先将s 相对原点旋转1 8 0 。得到一j ， 再利用一s 对x 。进行腐蚀，对腐蚀结果求其补集，便得到所要求的结果，如图3 2 所示： 第1 2 页 武汉科技大学硕士学位论文 图3 2 膨胀运算示意图 腐蚀相当于对图像内部做滤波处理，而膨胀的本质相当于对图像的外部进行相应的平 滑处理。在膨胀运算中，如果有两个物体间的距离小于所选的结构元尺寸，那么经过膨胀 处理后，这两个物体会被连接起来，变成一个物体。而膨胀的本质目的就是希望把图像中 的某些背景信息合并到有用的结构中去。 3 1 4 开运算( o p e n ) 和闭运算( c l o s e ) 形态学中定义了腐蚀和膨胀这两个基本运算后，对其进行组合可得到另外两个非常重 要的运算，即开运算和闭运算1 7 。2 0 1 。开运算相当于对图像先腐蚀再膨胀，而闭运算相当于 对图像先膨胀再腐蚀，是腐蚀和膨胀的基本组合。 开运算：如果利用形态结构元b 对图像x 进行开运算，则表示为x ob ，其定义公式 为： x ob = ( x ) 0 曰 ( 3 5 ) 如果用集合来表示，则开运算的等价定义为： x 。b = u s r + x ：s + xcx ) ( 3 6 ) 通过上式可以看出，开运算相当于求所有所有能填入集合内部的结构元在平移时的点 的集合，当把所有的能填入的点的集合进行并集运算时，就可以得到形态学中开运算的最 后结果。 闭运算：如果利用形态结构元曰对图像x 进行闭运算，则表示为z b ，其定义公 式为： x b = ( xob ) o 曰 ( 3 7 ) 闭运算可以看做是开运算的对偶运算，因此有： x b = ( x 。b ) 。 ( 3 8 ) 利用闭运算对图像进行处理时，图像内部的凹的部分可能会被平滑掉，如果某些结构 的尺寸小于结构元的尺寸，则在进行闭运算时，这些部分将会被磨光。因此闭运算后，图 像内部的一些较小的尖角将变得光滑。在对噪声图像进行处理时，可以采用开、闭运算对 图像交替进行处理，这样就可以去除图像中的部分噪声，相当于对图像进行滤波复原。 3 2 灰度图像数学形态学 与二值图像相比，灰值图像其灰度值在一定的范围内取值口m 4 】。一般可以用在连续空 间的一个函数表达式来表示它。本文使用的是灰度值为2 5 6 的灰度图像，厂( x ，y ) 表示输入 图像，6 ( x ，y ) 代表结构元素，且有：( x ，y ) z z ，厂( x ，y ) z ，6 ( x ，y ) z 武汉科技大学硕士学位论文 第1 3 页 3 2 1 预备数学知识 首先先介绍一下灰度图像的有关平移、子集、交集和并集的概念。在下文中我们用信 号来代表图像。信号可以按两种方式平移：水平平移和垂直平移。 水平平移即就是将信号按水平方向进行移动，若信号厂向右移动z ，则得到的信号为 厂= 厂 一z ) 。 垂直平移就是将信号按竖直方向进行移动，若信号厂向上移动z ，则得到的信号为 厂= 厂( x ) + z 。 将信号在水平和垂直方向同时进行移动时，就是我们所谓的形态学平移，若将信号厂 向右移动z 。且还向上移动z ：，则得到的信号为厂= 厂0 一z 。) + z ：。 假设g 和厂分别表示两个信号，若g 的定义域是厂定义域的子集，对于g 中的任意一 个点，都有g ( x ) 厂( x ) ，则称g 在厂的下方，记为g 厂。 g 厂实际上表示的是函数g 和厂之间的次序关系。即g 的定义域为厂定义域的子集。 子集：在g 的定义域内有g 厂。但若g 的定义域不是厂定义域的子集，则将超出g 的 定义域( 或图像边框) 的图像视为负无穷大。 对应于二值形态学中的交运算和并运算，灰值形态学中用极大和极小来表示。 信号厂和g 的极小的定义为：如果x 在其定义域的交集d ( 厂) 厂、d ( g ) 中，那么 ( 厂 g ) ( x ) = n 曲 厂( x ) ，g ( x ) 。 否则，x 便不在厂八g 的定义域中，则厂人g 无定义。 极小运算的定义方式规定要符合与当信号超出定义域时取负无穷大的假设，由于其负 无穷大的值小于其它的所有值，故在每一个点x 上，若厂( x ) 和g ( x ) 中有一个能取负无穷的 值，则厂人g 极小运算的值也应当为负无穷。 若信号厂和g 的极大运算定义为：( 厂vg ) ( x ) = m a ) 【 厂( x ) ，g ) 。其中x 在d ( ) ud ( g ) 内。 若x 在厂规定的定义区域之内，但却在g 规定的定义区域之外，那么定义 ( 厂vg ) ( x ) = 厂( x ) 。 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 若x 在g 规定的定义区域之内，但却在厂规定的定义区域之外，那么定义 ( 厂vg ) ( x ) = g ( x ) 。 如果x 既不在规定的定义区域之内，也不在g 规定的定义区域之内，则vg 无定义。 图3 3 是对两个信号厂和g 分别进行极大和极小处理后的示意图。 图3 3 下面再讨论另外一个很重要的运算： 得到的。 极大和极小运算 反射运算，它是集合内部的点以原点为中心旋转 反射运算定义：若乃为定义域d ( 办) 内的一个信号，则将办对原点的反射定义为 办( x ) = - 忍( - x ) 。 3 2 2 灰度腐蚀 灰度腐蚀定义：若图像厂( “，y ) 被图像6 ( x ，y ) 腐蚀，则将其定义为归6 ，其表达式为【2 5 】： ( _ 7 6 ) ( ”，y ) = n 血l 厂( 甜+ x ，y + 夕) - 6 ( x ，y ) i ( “+ x ，y + y ) g ，)( x ，y ) g 6 ( 3 9 ) 其中，g ，g 分别代表函数厂( “，y ) 和6 ( z ，y ) 的定义域。 为了计算集合在x 点处被结构元6 ( x ，y ) 腐蚀后的结果，移动结构元6 ( x ，y ) ，使原点与x 点吻合，然后将结构元向上移动，使其在信号下面的位置达到最大值，该极值就是| ) c 点处 腐蚀的结果。如果选择结构元为半圆，则对集合进行腐蚀后的示意图如下： 武汉科技大学硕士学位论文 第1 5 页 图3 4 利用半圆形结构元进行腐蚀的结果 从运算结果可以看出，灰度腐蚀不改变集合的外凸角，但图像的内凹角全部被磨光了。 其实灰度腐蚀和图像的卷积运算比较类似，只是卷积运算中用的是累加求和，而灰度腐蚀 中用的是非线性的取最小。 3 2 3 灰度膨胀 若图像厂( “，v ) 被图像6 ( x ，y ) 膨胀，其定义为厂0 6 ，记为【2 6 】： ( 厂0 6 ) ( 甜，v ) = m a x 厂( ”一x ，v y ) + 6 ( x ，y ) ( “一x ，v y ) g ，；( x ，y ) g ： ( 3 1 0 ) 其中，g ，g 分别表示函数厂( 甜，v ) 和6 ( x ，y ) 的定义域。 利用半圆形结构元的膨胀示意图如图3 5 所示。 图3 5 利用半圆形结构元素的膨胀 从图3 5 可以看出，其灰度的膨胀和二值的膨胀类似，都是磨光了图像的外尖角，而 不改变其内尖角。 灰度膨胀可按下面所示的步骤完成：对于结构元素6 的定义域d ( 6 ) 中，将每一个点平 移x ，然后再将平移的值加上6 ( x ) ，这样结构元素的定义域中的每一点都能够得到一个信 冬 令 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论文 号，取得信号中的最大值，便可得到膨胀结果。 灰度膨胀定义和二值的膨胀定义类似，函数厂的位移参数 一x ) 和( v 一少) 都必须包含 在厂的定义域内。灰度的膨胀和二维的卷积也非常类似，只是膨胀中使用“最大”，而卷 积中是求和，膨胀中使用“加法”，而卷积中是相乘。 由于灰度的膨胀操作是在结构元素定义的邻域中选择厂+ 6 的最大值，因而对其灰度图 像进行膨胀处理可以得到两种结果：其一、若所有结构元素的值都为正，那么输出图像的 显示结果将比输入图像亮；其二、细节的减少和去除将取决于在膨胀的操作中所用结构元 素的值和形状。灰度腐蚀和膨胀也具有对偶性，其公式如下： ( 厂0 6 ) ( x ，y ) = ( 厂。0 6 ) 。( x ，y ) ( 3 1 1 ) ( 厂0 6 ) ( x ，y ) = ( 厂。0 6 ) 。( x ，) ，) ( 3 1 2 ) 3 3 本章小结 本章中，首先介绍了数学形态学的理论基础和发展现状，然后在数学定义的基础上介 绍了形态学中的二值运算以及两个形态学算子：腐蚀和膨胀，并在此基础上介绍了这两个 运算的性质，以及在图像处理中的某些应用，且推广至灰度形态学，该章是本文的理论基 础。 武汉科技大学硕士学位论文第1 7 页 第4 章形态滤波研究 形态学中最基本、最重要的两种运算是腐蚀和膨胀，当然还有两种扩展运算也非常重 要，这两种运算就是开运算和闭运算。开运算、闭运算都具有一定的滤波能力，其中开运 算可以滤除亮的噪声点，而闭运算可以滤除暗的噪声点陟3 2 1 。本章主要讨论形态学的滤波 能力，并在已有算法的基础上，进行了一定的改进。 4 1二值形态学的开启、闭合运算及其性质 设彳是输入的待处理图像，b 是所选择的形态结构元，则彳被b 作开运算记为么ob ， 么被b 作闭合运算表示为彳b ，开和闭运算的公式分别为： 么。b = ( 么 b ) 0 b ( 4 1 ) 彳b = ( 4 0 b ) o b ( 4 2 ) 从上面的公式可以看出，开运算本质上是被结构元先腐蚀再膨胀，而闭运算本质上是 被结构元先膨胀再腐蚀。图4 1 和图4 2 分别显示了结构元b 为圆盘时对4 进行开运算和 闭运算的运行结果。 _ i j b 1 卜 图4 1 开启运算 从图4 1 可以看出，用圆盘形结构元进行开运算时，相当于将b 在矩形彳内进行连续 的滚动，在滚动过程中将各个可以填入圆盘的位置进行合并，就得到了最后的结果。显然 开运算具有以下两个特点： ( 1 ) 可以对集合内边缘进行磨光，去除集合内的尖角部分； ( 2 ) 在开运算的过程中实际上相当于是对图像进行低通滤波的过程。 第1 8 页武汉科技大学硕士学位论文 图4 2 闭合运算 从图4 2 可以看出，用圆盘进行闭运算时，相当于圆盘沿着图像的外边缘进行滚动， 然