（电路与系统专业论文）小波及其在电路仿真中的应用.pdf

摘要 蜘要 y - z 6 5 27 f 随着集成电路技术的飞速发展，电路仿真邻域正面临着前所未有的挑战。传统的 晶体管级模拟器s p i c e 已无法满足集成电路设计工程师对电路仿真提出的各种要求。 正是在这样的客观条件推动下，工业界和学术界目前正不断致力于构造更为有效的电 路模拟算法和开发更为实用的电路仿真工具。、，7 厂 另一方面，小波分析理论在近二十年中得到了突破性的发展，并已被广泛应用于 数据压缩、信号处理、数值分析等各个领域。本文试图将小波分析的方法引入到集成 电路仿真的各个领域，包括行为级建模、时域瞬态模拟、时域稳态模拟和时钟树电路 模拟等并建立了相应的实用算法。理论分析和数值结果均表明，由于小波基函数的 紧支性，小波方法能克服传统方法的不足，具有其特殊的优越性。 关键词：小波分析，电路仿真，行为级建模，瞬态模拟，稳态模拟，时钟树电路 ，、) r 中图法分类号：( ! 堕哆“ 一垒! ! 塑! ! a b s t r a c t w i t ht h er e m a r k a b l ee v o l u t i o n o fv l s i t e c h n o l o g y , t h ec o m p l e x i t yo fe l e c t r o n i c s y s t e m sh a si n c r e a s e ds i g n i f i c a n t l yd u r i n gt h ep a s tt w e n t yy e a r sa sa n a l o ga n dd i g i t a li c s h a v er a p i d l ye v o l v e df r o mt h e r e l a t i v e l y l o wc o m p l e x i t yo ft h e e a r l yd a y st o t h e h i g h s o p h i s t i c a t i o n o ft o d a y , t h en e e df o rm o r ea d v a n c e dc i r c u i t m o d e l i n g a n ds i m u l a t i o n m e t h o d o l o g i e s h a sb e c o m e i n c r e a s i n g l yu r g e n t n o w a d a y s ，c o n v e n t i o n a lt r a n s i s t o r - l e v e l s i m u l a t o r s ，s u c ha ss p i c e ，h a v ea l r e a d yl o s tm u c he f f i c i e n c yi n s o l v i n gv a r i o u sc i r c u i t s i m u l a t i o np r o b l e m si t ，i nt u r n m o t i v a t e su st od e v e l o ps o m en o v e ls i m u l a t i o na l g o r i t h m s a n dt o o l s r e c e n t l y , t h e w a v e l e tt h e o r yh a sb e e nw e l l d e v e l o p e d a n d w i d e l yu s e d i n m a n y a p p l i c a t i o n s ，s u c ha sd a t ac o m p r e s s i o n , s i g n a lp r o c e s s i n g ，n u m e r i c a la n a l y s i s ，e t ch o w e v e r , t h ew a v e l e t b a s e dm e t h o df o rc i r c u i t s i m u l a t i o nh a sr a r e l y e x p l o r e d i n t h i s p a p e r , w e p r o p o s e ds e v e r a lw a v e l e tm e t h o d s t oa c c e s st h o s ec h a l l e n g i n g p r o b l e m so f c i r c u i ts i m u l a t i o n i n c l u d i n gb e h a v i o r a lm o d e l i n g ，t r a n s i e n ts i m u l a t i o n ，s t e a d y - s t a t es i m u l a t i o na n dc l o c kt r e e s i m u l a t i o nd u et ot h ec o m p a c ts u p p o ap r o p e a yo fw a v e l e tb a s e s t h e p r o p o s e dw a v e l e t m e t h o d sp r e s e n tag r e a tn u m b e ro fc o m p u t a t i o n a lm e r i t s ，w h i c ha r ed e m o n s t r a t e db yb o t h t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t si nt h i sp a p e f k e y w o r d s ： w a v e l e t a n a l y s i s ，c i r c u i t s i m u l a t i o n ，t r a n s i e n ts i m u l a t i o n ，s t e a d y s t a t e s i m u l a t i o n , c l o c kt r e es i m u l a t i o n 第一蕈 第一章绪论 1 1 现代集成电路技术的发展 二十世纪中叶晶体管的发明和集成电路的出现，为人类开拓了社会信息化的进 程，自六十年代初第一块集成电路诞生后，本世纪产业结构发生了巨大的变化。电子 4 言息成为全世界产业结构中最重要，发展最快的一个组成部分。近几十年来，现代通 信、计算机以及因特网的高速发展与以集成电路为核心的电子产业的发展相互影响、 相互促进。超大规模集成电路( v l s i ) 已成为当今信息产业的主要载体。集成电路密 霞的提高满足了计算机日益增长的对内存容量的需要，使其整个系统更加紧凑。同时， 工作速度的提高又改善了电路事务处理及网络传输的性能。这些都为并行计算机的出 现，网络数据( d a t a ) 、语音( s p e e c h ) 以及视频图象( v i d e o ) 的传输打下了良好的 基础。目前，随着人们对信息存储、传输、检索等要求的不断提高，集成电路技术( 包 括数字集成电路和模拟集成电路) 又有了新的发展。 1 1 i 数字集成电路技术的发展 近二十年来，数字集成电路技术的高速发展主耍表现在以下三个方面： ( 1 ) 电路规模日益增大。根据m o o r e 定律，数字集成电路的规模以每1 8 个月翻一番 的速度持续增长。六十年代初期，一片集成电路只能集成几个晶体管。而最近的 资料显示单片芯片上晶体管的数目已超过4 0 0 0 万只水i 。 1 2 ) 工作速度不断提高。根据有关报道，八十年代初期微处理器芯片的工作频率一般 l 勾l m h z 左右，而当今的微处理器芯片其时钟频率可离达几个g h 。例如，a m d 公司最近推出时钟主频l2 g 王z 的芯片，i n t e l 公司即将推出主频超过1 g h z 的产 品同时i n t e l 正在研究主频约为1 0 g h z 的新一代数字芯片。 i3 ) 涛征尺寸持续减小。近十年来，集成电路的最小特征尺寸经历了o8um 、o3 5u m 、018um 等一系列变化。目前，n e c 公司和t l 公司分别推出了01 3um 和0l “m 的工艺技术。 1 1 2 模拟集成电路技术的发展 八十年代以后随着数字集成电路技术的飞速发展，许多模拟信号处理问题逐渐 第童 绪论 转向由数字信号处理技术完成。然而，模拟集成电路领域仍然出现了突破性的发展。 首先，模数( a d ) 和数模( d a ) 转换电路作为数字信号处理内核与外界模拟信号 的接口是整个电路系统中不可缺少的一部分。而且，这一部分模拟电路性能的好坏 对整个馍数混合系统的性能指标起着决定性的作用。其次，由于一些特殊应用环境对 电路功耗和速度的耍求，模拟集成电路有着数字电路无法取代的优点。正是在这些需 求的推动下，近几年来不断有新的模拟电路结构出现，包括增量一总和模数转换器 ( s i g m ad e l t aa dc o n v e r t e r s ) ”1 【7 1 ，开关电流电路( s w i t c h e d c u r r e n tc i r c u i t s ) 8 l 【9 l ， 对数域滤波器( l o g d o m a i nf i l t e r s ) i ”1 【”1 以及射频电路( r fc i r c u i t s ) u z i 1 3 l 等等。 1 2 现代集成电路系统的计算机模拟 集成电路技术的飞速发展必然对电路的计算机模拟与仿真提出一系列新的要求。 作为实现电路正确设计的重要辅助工具，计算机仿真技术在近十年中发生了吕新月异 的变化。 1 2 1 电路模型的提取 电路模型作为高层模拟算法的直接作用对象，对整个系统仿真过程的效率起着决 定性的作用。随着电子技术的迅速发展，单个电路乃至整个系统的规模越来越大。为 丁提高工作效率，自上而下的设计和自下而上的验证方法已经被广泛采用。在设汁前 期，将电路系统分割为若干个功能块，确定每个模块的基本功能( 即输入输出的关系) ， 并芷此基础上进行行为级模拟以确定系统设计的可行性。这一过程中，由于只关心各 模块的端口特性，因此对不直接影响端口的内部特性可以简化甚至省略，从而提簖模 拟效率，缩短设计周期。最近，许多文献报道了建立行为级电路模型的各种方法i t 4 - ”l ， 而d l a m s 语言m 1 的标准化更是为数模混合信号系统行为级仿真提供了有效的 手段然而如何设计简单合理的行为级模型并正确反映电路的实际行为一直是行为 级建模的关键问题。 涂此以外随着集成电路工作速度不断提高，特征尺寸不断减小构造高速集成 电路中苓导体互连线模型己成为一类特殊的电路建模问题。在集成电路发展的初级阶 段，互连线仅仅起着简单的电连通作用。然而，当今微处理器芯片的信号上升时间已 骄到p s 量级，单片芯片上晶体管数目己超过4 0 0 0 万只。对于如此高速度、高集成度 苎! 一一一 竺堕 的晶体管进行布线连接，互连问题正面临着前所未有的困难和挑战。研究表明，高速 脉冲信号由这些互连线传输时具有电磁波传输的特眭，其自身将受到一定程度的退化 和变质严重时会影响高速集成电路系统的正常工作。目前，互连线效应己经成为进 一步提高集成电路系统工作速度的主要障碍。如何精确的建立互连线模型，进而有效 的对其进行仿真，己成为模拟高速集成电路系统的重要问题之- - 1 19 1 1 2 0 1 。 1 2 2 模拟算法的构造 传统的电路计算机仿真包括时域瞬态模拟和时域稳态模拟两个方面。 时域瞬态模拟能直观的给出电路瞬态响应波形，是一种直接、且十分有效的电路 分析手段。目前，许多电路模拟器( 例如s p i c e 、s a b e r 等) 一般均采用时域数值 积分的方法实现瞬态模拟。然而，这类方法的计算误差在整个模拟过程中会不断积累。 夏为严重的是，数值积分算法很难处理奇异性较强的电路，当电路状态变量发生突变 时，需要很小的迭代步长才能保证算法的收敛性【2 i 。 时域稳态模拟用于直接求解非线性动态电路的稳态响应。对于许多欠阻尼非线性 动态电路，包括稳压电源、高q 值放大器、特别是最近得以迅速发展的射频调制解调 与振荡电路等，这类方法是一种有效的仿真手段。目前，稳态模拟算法可以分为三类： 冲击法( s h o o t i n gm e t h o d ) 、谐波平衡法( h a r m o n i cb a l a n c em e t h o d ) 以及采样平衡法 ( s a m p l eb a l a n c em e t h o d ) ”h 2 ”。其中，冲击法的基本思想是求取电路的一个特殊的 初始状态x ( o ) ，从该仞始状态出发电路直接进入稳态响应时期。该方法需耍计算数值 职分，因此复杂度很高。谐波平衡法将电路状态变量j ( ，) 近似表示为直流信号、基颁 信号和高次谐波信号的线性组合。通常，高频谐波次数必须取得足够大，以保证高 于。v 次的谐波成份对于模拟结果的影响可以忽略不计。并且，谐波平衡法在模拟过程 中需耍反复计算d f t 和f d f t ，导致算法复杂度较高。第三类方法采样平衡法将电路 、状态变量x ( ，) 在时域中分解为基函数叠加的形式，并且以基函数系数作为未知变量求 样。但是，该算法中对基函数的选择非常关键，不合适的基函数会导致逼近效率很低。 而且对于给定的精度往往很难预先或自动确定需要的基函数数目。 可见，在提取电路模型与构造模拟算法两个方面，目前尚有许多问题有待进一步 解决。正是基于这一出发点，本文将小波理论应用到集成电路的计算机仿真中，利用 1 、j 皮选近特有的优越眭来电服传统方法的缺陷和不足。 第童 绪论 1 3 小波分析简介 小波分析方法的提出，可以追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的小波规范正交基。1 9 8 1 年 s t r o m b e r g 对h a a r 系正交基函数进行了改进，证明了小波函数的存在性。1 9 8 4 年法国 地球物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部性质时，发现传统的f o u 6 e r 变换难以达到 要求，因此他将小波的概念引入到信号分析中，并实现了信号的小波分解。随后，理 论物理学家g r o s s m a n 对m o r l e t 的这种信号按一个确定函数进行伸缩、平移展开的可 行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。真正的小波热开始于1 9 8 6 年， 当时m e y e r 创造性的构造出了具有一定衰减性的光滑函数甲0 ) ，其二进制伸缩与平移 构成2 豫) 的规范正交基。继m e y e r 提出小波变换之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立 的给出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年m a u a t 巧妙的将计算机视觉领域内的多 尺度分析思想引入到小波分析中，提出了小波函数的构造及信号按小波变换的分解和 重构。这研究成果成功的统一了在此之前s t r o m b e r g 、m e y e r 、l e m a f i e 和b a t t l e 提 出的具体小波函数的构造。后来m a l l a t 又继续研究了小波变换的离散化情形，并将 饵应的算法( 现今称之为m a l l a t 算法) 有效的应用于图象分解与重构。与此同时， d a u b e c h i e s 构造了具有有限支集的正交，j 、波基。这样，小波分析的系统理论初步得到 建立，从本质上讲，小波是构成数据集合的基本块。它的基本特性容许我们更有效的 表示数据和更快速地计算数据。简单的说，小波的有效性体现在用少量的小波系数就 能菝取数据集合中的一些本质特征，因为大多数的数据集在时间( 空间) 上和频率上 具育很强的相关性，而小波具有时间一频率局部化特性。目前，小波分析在信号处理、 语音识别、地震勘测、计算机视觉等方面都得到了广泛的应用 2 4 1 1 2 5 1 。 1 3 1小波变换 ，、波分析是将信号投影到一组代表不同尺度和平移的匝交基上，正交基的形式 为： 甲，。= 2 ，。甲( 2 ，一 ，k = ，一1 0 1 1 ： l f ，( r ) 满足下列条件： 峨：j = 掣协 1 而i ) 。 f = 1 ，2 ，肼) 在压 扩域由对输入一输出函数k 一( ，) 进行逼近。压扩域中，量一1 ( f ) 的导函数为 筹= 差立d l = 堑d x ，壶d l = 剥g 可 b ， d f出( 工) i 。、 上式表明非线性压扩以后，( x ) 的导数在压扩域中改坐了了去倍所以原输入一输 gi 工j 出函放的奇异性在压扩域中发生了蹙化。例如，对于图( 2 6 ) 的非线性压扩函数 k g ( ) ，假设厂“) 为图( 2 9 ) 所示的正弦函数，则压扩后的输入一输出函数 付( ，) 】姗( 2 所示。可以看到，由于导函数别一。 剖。 剖。 1 f ，川0 l 1 f ，一，0 ) 妒。一：( r ) 其中，r - y 号s e a , , ；， ) 表示由函数z ， 张成的线性子空间，一，= 2 。 苎三兰 尘堇垄皇竺苎壁查堡篓! 箜生旦 玎1 ( f ) 、r ：0 ) 、9 o ) 和甲“( r ) 均为基函数，它们的具体定义可参见第一章 赘述。s o b o m v 空间2 ( ，) 可以表示为子空间矽。，形，的直和，即 h 2 ( ，) = 矽。o 甄。暇o o 形o 这里不再 ( 3 3 ) 其中符号。表示直和。根据式( 3 2 ) 、( 3 3 ) 可以看到，空间h 2 “) 能够分解为多个 子空间妒，= - 1 0 - j 的直和，因此h2 ( ，) 中的任何一个元素，即函数，o ) ，可以表 示为子空间帆，+ j = 一1 , 0 ， 的基函数仉o ) 、，：o ) 、吼，t ) 和甲。( r ) 的线性组合。实用 中，一股我们只考虑函数( f ) 在有限个子空间直和虻，o o o 盯中的展开 ( ，) ， 即函数厶o ) 为原函数厂( f ) 在空间k 。国o 国中的投影。显然，如果，取得越 大，即用商阶小波逼近0 ) ，则 0 ) 越接近，o ) ；反之，如果，取得越小，即用低阶 小波逼近r ( t ) ，则 ( f ) 与，o ) 的偏差越大。许多场合下，由于f w c m 算法有很高的 收敛速度，等于o ( 一) ，因此只要用较小的j 就可以达到很好的逼近效果。 3 2 2 系统离散化 根据上一小节的讨论，非线性电路的每一个状态变量z ，o ) 均可以在空间 z _ ；0 o o 盯中展开，近似的表示成该空间基函数的线性组合。简单起见，将式 ( 3 2 ) 中的标记方法改写为 吸。o o o o = s p a n 留，( t l s ：( f 卜b 。0 ) ) ( 3 4 ) 其中m ；2 “l + 3 ，留；o ) ，l = 1 , 2 ，一，m 与式( 3 2 ) 中的基函数r h ( f ) 、订：o ) 、 ( ，) 和、f ，。o ) 相对应a 则一个阶动态电路的n 维状态变量( f ) 可以表示为 x o ) = x 。( f ) ：o ) ： - 。r 。o ) r c t lc 1 2 lg = i： ： i 。 t c i c 2 其中，p 。0 l f = 1 2 ，? ，= l ，2 凹 为基函数系数。 态疗陧，有 c 掣：f ( c a ( t l f ) d t c b ( 0 ) ；。 甄( f ) 1 口：o ) ； b 。( f ) 将式 = c b o ) ( 3 5 ) ( 3 5 ) 代入式( 31 ) 的状 ( 3 6 ) r，。、l 第三童 小波在电路瞬态模拟中的应用 式( 3 6 ) 中的基函数b ( f ) 已知，因此这是一个关于系数c 的非线性方程。对于子空间 矽的基函数取采样点。2 7 。2 8 1 f = o ，去 2 一，l 一1 ，一 ，上b ，：一l r 喜，竽等，字，专川。 妈7 其中n ，= 2 i la 这样子空间的每一个基函数垦( f ) 都会有一个采样点f 。与之对应 使得b ；0 ) 在f = 处达到最大值。将状态方程( 3 6 ) 在采样点t ，处离散化，有 ，d b ( t ) ) d b ( t 2 ) d b ) 。l 出一f 丁i = 【厂( c 留“) f ，) f ( c g ( t ：) 岛) ：( c s q 。l f 。) 】 ( 3 8 ) c b 嘞= xa 茛中量，t ：，t 。) 是空间缈j f = 一l ，0 ，) 的所有采样点f i 的集合，m = 2 “1 + 3 。 3 2 3 定义代价函数 式( 3 8 ) 给出了电路状态方程的离散化形式，对该非线性方程求孵即可得到系数 矩阵c 。求解方程( 3 8 ) 是一个非线性迭代的过程，文献【2 8 给出了几种迭代算法， 坦它们的收敛特性均不是很好，本文在求解方程( 3 8 ) 时采用经典的l e v e n b c r g m a r q u a r d t 算法f 3 4 1 。 进行非线性迭代时，首先要定义一个代价函数o ( c ) ，其中c 为式( 3 5 ) 中的系 数矩阵。非线性迭代的目的即是最小化这个代价函数o ( c 1 。定义代价函数 驰) = c e ( 氓c 掣一f ( c b ( t 加1 ) 一c 掣一f ( c b ( t 珈。卜，) 其中，| | f | 表示求取f 一范数。可以看到，当代价函数q ( c ) 达到最小值0 时，方程式( 3 8 ) 成寺， 3 3时域非线性压缩一扩张算法 3 3 1 非线性压缩一扩张算法 文献【2 7 】【2 8 】指出，f w c m 方法的逼近误差为o ( h 4 ) ，与采样步长有关。因此，只 要改蹙时域t 中的采样步长( 即改变采样点的分布) 就可以改变模拟误差。但是，在 3 6 第兰章 小渡在电路瞬态模拟中的应用 时域7 中直接进行f w c m 模拟时，采样点的位置是一些固定的离散点( 由式( 3 7 ) 定义) ，无法根据用户的需要任意的连续改变。 因此，为了能够自由改变f w c m 的采样步长，进而改变整个模拟过程的误差分 布，我们提出不直接在7 域中对电路用f w c m 模拟，而是将模拟域从时域r 中的 0 ，7 】经非线性变换f = g ( t ) 映射到l 域中的 0 ，上 ，并在l 域中应用f w c m 算法求解 电路状态方程，最后将l 域中的解反变换到r 域。从下一节的讨论可以看到，应用了 模拟域变换方法以后，等价于改变了r 域中的采样步长。使得最终的模拟误差分布与 用户预先设定的非线性映射f = g ( r ) 有关，从而实现误差分布的可控性。实际上，本文 的非线性压缩一扩张( n o n l i n e a rc o m p a n d i n g ) 思想早在对数域滤波器中就已得以应 用0 ”1 1 ，有所区别的是在对数域滤波器中被压缩一扩张的量是电路中的电压或电流， 丽本文中被压缩一扩张的量是时域中的模拟区间l o ，t l 。 图3 2 时域非线性压缩一扩张的算法流程 图( 3 2 ) 给出了整个模拟过程的框图。可以看到，r 域中的电路状态方程 d x d t = ，r ( ，f ) 经过非线性映射f - g ( f ) 变换为l 域中的状态方程a x d f = 兀，f ) ，该 方程经f w c m 求解得到e 域中的模拟结果( ，) ，最后( f ) 经反叟换t = g “( f ) 求得t 域中的结果o ) 。其中，k g ( t ) 、f 【o t 】、l e 0 ，l 】为预先定义的非线性函数， f = g “( f ) 为f = g ( f ) 的反函数，并且g ( ) 和g “( ) 满足： ( 1 ) g ( o ) = 0 ，g “( 0 ) = 0 a ( 2 ) 占( 7 ) = l ，g “( ) = t 。 ( 3 ) g ( ) 和g - i ( ) 均单调上升。 条件( i ) ( 3 ) 保证函数f _ g ( f ) 为7 域 o 7 1 到l 域 0 】的个一映射，并且对 于任意f ，( 0 7 】、f ：苣( o 7 】、f 。 f ：有g “) ( o ，c 】、g ( t ：) o 】、g o ，) g q ：) a 经过非线性映射l = 9 0 ) ，式( 3 1 ) 可改写为 鲁石d l = 出g “u ) j ( 3 1 0 ) 百磊2 - ，b 。 ( 3 ( o ) = x o ! 至翌巴一一尘茎垄皇堕壁查蔓型生塑生旦 筹= 啬时( f ) ( 3 x ( o ) = 瓦 由此，7 域状态方程( 3 1 ) 转化为了l 域状态方程( 3 1 0 ) 、( 3 i i ) 。将上式中的状态 变量( f ) 用( 3 4 ) 式定义的基函数伽，( f l b ：( f l ，b 。( f h 展开，通过与( 3 5 ) 、( 3 6 ) 类似的推导，有 c 掣丽d ts c s ( a g - ( o ( 3 1 2 ) ( 0 ) = 。 将上式的域状态方程在式( 3 7 ) 定义的采样点处离散化，有 cf 幽幽 l d ld f幽1：f业、scbct。(?f)】dld l ll ”1 掣厂妇( f 2 ) | g 飞：) 】掣s c s ( t 。l g - ( 。) 】 c 8 ( o ) = x 。 与式( 3 9 ) 类似，通过最小化代价函数 q ( c ) = c b ( o ) 一以c 掣一百d k 4 ) 咖防咆) 】 c 掣一划d l 懈小。玎 1 4 洲。i 3 3 2 误差分布分析 由于f w c m 的收敛速度等于o ( 4 ) 儿圳， 为采样步长，即两相邻采样点之间的 距离，因此以定阶数的小波逼近某一个函数善0 ) 时，可以认为逼近误差正比于采样 步长的四次方，即有 e 0 ) * 4 ( f ) ( 3 1 6 ) 其中e ( f 1 表示f w c m 的逼近误差。 另一方面，逼近误差o ) 与被逼近函数工( f ) 的奇异程度( 即x ( t ) 中高频成份的含 墨三兰一：坠堕垄皇壁壁查堡垫生塑生旦 量) 有关。若以符号s ( f ) 来度量被逼近函数x ( f ) 的奇异程度：s o ) 越大，工( f ) 的奇异程 度越大，高频分量越多：s ( o 越4 、x ( f ) 的奇异程度越小，高频分量越少；则逼近误 差e ( f ) 应还与s “) 成正比，即有 e 0 ) * j o )( 3 1 7 ) 综合( 3 1 6 ) 、( 3 1 7 ) 可以得到 鼬) o cs e ) h 4 ( f ) ( 3 1 8 ) 一般，被逼近函数x ( f ) 给定后，其奇异度分布s ( f ) 是固定的，而采样步长 在模拟过 程中是可变的，所以可以通过控制采样步长 o ) 的大小来调节误差e ( f ) 的分布。在此， 我们假设状态变量工o ) 的奇异程度在整个模拟区间 o ，r 】上相差不大，近似均匀分布， 因此本文以下的讨论都将t 域中电路状态变量x ，o ) 的奇异程度昌0 ) 作为一个常爨s 来