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基于图像几何特征提取的算法及应用研究 学科：计算机应用技术 研究生签名： 指导教师签名： 摘要 小波变换是目前国际上公认的一个最新的时一频域分析工具，由于其“自适应性” 和“数学显微镄眭质”而成为许多学科关注的焦点。构造小波的基本方法之一就是“基 数b 样条函数”的使用。基数b 样条函数或许对于软件和硬件实现都是最有效的具有 最小支撑的最简单函数。 本文重点研究了小波分析及应用b 样条函数构造小波不变矩在图像特征提取中的 应用。利用矩不变量进行形体特征识别一直是图像识别的研究重点。传统的不变矩， 如几何矩、h u 矩等，它们都是在整个图像空间中计算得到的图像的全局特征，易受到 噪声干扰。文中构造的b 样条小波矩具有平移、旋转和比例不变性，利用小波矩不仅 可以得到图像的全局特征，而且还可以得到图像的局部特征。此外还增加了小波对图 像结构精细特征把握能力强的优点，因而在识别相似物体方面具有更高的识别率。针 对小波矩不变量特征维数比较多的情况，本文采用组合离散度和顺序前进的特征选择 方法，对所提取的特征进行优化，将这些特征用于图像识别分类中，分别对三类图像 做了试验，试验表明，对于不同类别的图像，其小波矩幅值基本保持不变，在识别试 验中取得了较好的效果。 关键词：小波分析；b 样条；矩；特征提取 r e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o n o f i m a g e f e a t u r ee x t r a c t i o nb a s e g e o m e t r y d i s c i l ：l l i n e ：c o m p u t e ra p p l i c a t i o nt e c h n o l o g y s t u d e n ts i g n a t u r e ：a l l 芝1 s u p e r v i s o r s i g n a t u r e ：泐傍绷修翻八 l 。 a b s t r a c t w a v e l e tt r a n s f o r mi sa n i n t e r n a t i o n a l l yr e c o g n i z e du pt o d a t et o o l f o r a n a l y z i n g t i m e f r e q u e n c y i ti sc h i e f l yd u et ot h e a d a p t i v ef e a t u r e a n d m a t h e m a t i c a lm i c r o s c o p e f e a t u r e ”，w a v e l e tt r a n s f o r mi sb e c o m i n gaf o c u so f m a n ys c i e n c e o n eo f t h eb a s i ct e c h n i q u e s t oc o n s t r u c tw a v e l e t si st ou s e c a r d i n a lb s p l i n ef u n c t i o n s ”w h i c ha r em a y b et h es i m p l e s t a n dm o s te f f e c t i v ef u n c t i o n s h a “n g l e a s t c o m p a c t f o rs o f t w a r ea n dh a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n t h ep a p e r m a i n l yd i s c u s s e dt h ea p p h c a t i o no f m o m e n t i n v a r i a n t sc o n s t r u c t i o nb a s e do n b s p l i n ew a v e l e t i th a st h ef o c a lp o i n to fs t u d yp a t t e r nr e c o g n i t i o na l l t h et i m et ou t i l i z e m o m e n ti n v a r i a n t s t r a d i t i o n a lm o m e n t i n v a r i a n t s ，s u c ha sg e o m e t r ym o m e n t ，h um o m e n t ， w h i c ha r ef e a t u r e sg e tf r o mt h ee n t i r ei m a g e t h eb s p l i n ew a v e l e tm o m e n tw h i c ht h ep a p e r d i s c u s s e dp o s s e s st h ei m a g eo b j e c t si n v a r i a n tt ot r a n s l a t i o n ，s c a l i n ga n d r o t a t i o n b yu s i n g b s p l i n ew a v e l e t m o m e n t i n v a r i a n t ，n o to n l y t h el o c a lf e a t u r eo f i m a g e o b j e c ti so b t a i n e d ，b u t a l s od e s c r i p t i o na b i l i t yf o rt h ef i n ef e a t u r e so f i m a g ec o n s t r u c ti si m p r o v e d t h e p a p e rr e g a r d a sb s p l i n ew a v e l e tm o m e n ta si m a g ef e a t u r ea n d o p t i m i z ei t t h ed a t af r o mt h et e s ts h o w i n g t h a tb s p l i n ew a v e l e tm o m e n t sa m p l i t u d e k e e pi n t a c tb a s i c a l 虹 k e y w o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ；b s p l i n e ；m o m e n ti n v a r i a n t s ；f e a t u r ea b s t r a c t i o n 1 绪论 1 1 小波研究现状 1 绪论 小波变换是一个新兴的数学工具，并且还在迅速的发展之中。它通过对一个在空间 具有局部性质的函数作伸缩、平移( 或加入转动) 来构成它的分析函数族。初始函数 称为母小波或基本小波。母小波的局部性质使得我们可以忽略远处的信息。这样就使 我们可以同时对信号在不同的空间位置和不同的观察尺度上进行分析，使之具有不同 于其它变换的特点。小波变换已被有效地应用于信号处理、图像编码、计算机视觉、 数值计算、量子物理等领域口i 。 1 9 1 0 年，h a r r 提出第一个紧支集函数完备正交系，这是小波理论平移和伸缩思想 应用研究的起点。 1 9 2 7 年，h e i s e n b e r g 发现并总结出自然界的普适规律一不确定准则，该准则界定了 任何函数在伸缩变化作用下时一频带宽积的下限，表明时一频分辨率具有互斥性。 1 9 3 6 年，l i t t l e w o o d 和p a l e y 对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，对频 率按2 1 进行划分，其傅立叶变换的相位变化并不影响函数的形状及大小，这是多尺度 分析思想的最早柬源。 1 9 4 6 年，g a b o r 在其著名的“t h e o r yo f c o m m u n i c a t i o n ”一文中阐述了将时一频相 位空间划分为基本“胞元”的思想，并用平移的高斯加权正弦函数作为信号展开的基 函数，这是具有无限支集的非正交小波基函数的雏形。 1 9 5 2 1 9 6 2 年，c a l d e r o n 、z y g m u n d 、s t e m 和w e i s s 等人将l - p 理论推广至高维， 并建立了奇异积分算子理论。 1 9 6 5 年，c a l d e r o n 给出了再生公式。 1 9 7 4 年，c o n f m a n 对一维r i p 空间和高维r i p 空间给出了其原子分解。 1 9 7 5 年，c a l d e m n 用他早年提出的再生公式给出了抛物型空间上的原子分解，这 一公式现在己成为许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小波展开，只是还无 法达到组成一正交系的结论。 1 9 7 6 年，p e e t r e 在用l p 方法给出b e s o v 空间统一描述的同时，引入了b e s o v 空间 的一组基，其展开函数的大小刻画了b e s o v 空间本身。 1 9 8 1 年，s t r s m b e r g 通过对h a r t 系的改进，引入了s o b o l e v 空间的正交基，这些工 作为小波理论奠定了基础。 1 9 8 3 年，b u t t 和a d e l s o n 提出图像分析的“p y r a m i d ”数字滤波方法，这种分解是 人的视觉系统的一种较为有效的数学模型。金字塔方法是小波理论思想发展的重要一 步。 1 9 8 4 年，g o u p i u a r d 、g r o s s m a r m 和m o r l e t ，在进行地震信号分析时明确提出小波 变换的概念，随后m o r l e t 与g r o s s m a r l n 共同提出了连续小波变换( c w t ) 的几何体系， 其基础是仿射群( 平移和伸缩) 下的不变性。 两安工业学院硕士学位论文 1 9 8 5 年，m e y e r 与g m s s m a n n 和d a u b e c h i e s 共同研究，通过构成l 2 的一个准正 交完全集的方式选取连续小波空间的一个离散子集，称之为框架，并证明了一维小波 函数少的存在性。之后，m e y e r 的学生l e m a r i e 将这一结果推广至n 维情形，同时l e m a r i e 和b a t t l e 又分别给了具有指数衰减特性的小波函数。 1 9 8 6 年，j a f f a r d 、l e m a r i e 和m e y e r 与从事信号处理的m a l l a t 合作，提出了多尺度 分析的思想，s m i t h 和b a r n w e l l 构造了能够精确重构原始信号序列的共轭正交滤波器 ( c q f ) ，它相当于以2 为倍率的有限小波变换。 1 9 8 7 年，v e r e r u 和v a i d y a n t h a n 各自独立地发展了多采样率数字信号滤波器理论， 推广了i f 交镜像滤波器( q m f ) 和c q v 的概念，他们的工作指出了泛化以m 为倍率 的小波的方向。 1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 提出二进紧支集正交离散小波变换的理论，证明了具有有限 支集正交小波基的存在性，为小波理论的发展与应用起了关键作用，她的工作被认为 是本世纪后半叶最重要的数学贡献之一。 1 9 8 9 年，m a l l a t 给出了构造正交小波基的一般方法和正交离散小波变换的快速算法 - - m a l l a t 算法。从那时以来，人们已经发现了许多正交小波基，其中最著名的便是 d a u b e c h i e s 的紧支正则小波，它们是通过滤波器构成的，在图像压缩和稳定重构中有 重要应用。 1 9 9 0 年，m e y e r 发表了第一本小波理论专著( ( o n d e l e t t e s ) ) ，a w a r e 公司生产出第一 块小波变换专用芯片。 1 9 9 1 年，c o n i f m a n 、m e y e r 、q u a k e 和w i c k e r h a u s e r 将m a l l 砒算法进一步深化，提 出小波包( w a v e l e tp a c k e t ) 理论及算法，在小波理论的基础上引入了最优基选择的概 念，这是小波理论在信号处理应用中的又一个重大发展。 近几年来，关于小波理论及应用的研究继续向广度及深度发展，一方面是小波理论 的进一步推广，另一方面小波理论在信号与图像分析、计算机视觉、图像编码、语音 合成与分析、雷达及声纳信号处理等领域的应用取得突破性成果。虽然它对科学技术 发展的深远意义和影响还难以预料，但它的发展是肯定的，它与传统分析方法的有机 结合将为科学计算与信号处理、图像处理等开辟新的途径。 目前，国内各高等院校以及某些研究所都积极开展小波理论及其应用的研究工作， 并取得初步成果，但在总体上尚处于起步和简单应用阶段。 1 2 小波分析与f o u r i e r 分析 小波分析来源于对f 0 嘶e r 分析的改进，从理论上讲，适用f o u r i e r 分析的领域都可 以通过小波分析来实现，但有些用小波分析能解决的问题用f o u r i e r 分析却无法达到满 意的效果f 例如，对非平稳信号的处理f o u r i e r 分析很难得到理想的效果) 。小波分析是 一种全新的时一频分析方法，是信号的时间一尺度( 时间，频率) 分析方法，具有多分辨 分析的特点，在时一频两域都具有表征信号局部特征的能力。它能够在低频部分得到 较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分则正好相反，得到的是较高的时 间率和较低的频率分辨率。也就是说，小波分析方法，是一种窗口大小( 即窗口面积) 2 西安工业学院硕士学位论文 固定，但其形状可以改变( 即时间、频率窗都可以改变) 的时一频局部分析方法图1 1 所示，这使得小波变换具有对信号的自适应性，小波分析的这些特征都是f o u r i e r 分析 所不具备的，从某种意义讲小波分析弥补了f o u r i e r 分析的不足。小波分析与f o u r i e r 分析的另一不同点是：在小波变换中可利用的小波函数具有不唯一性，对不同的问题 需要具体分析，慎重选择小波函数。 对于刁响j 弭的警t 璐； 小帆小 五 兵 圆囫圈 图l 一1 时一频分析 1 3 小波变换在图象处理中的应用 小波分析是一种频域分析工具，和f o u r i e r 分析一样，主要用于信号处理。当把图 像看成二维信号时，小波分析即可用于图像处理。小波分析在图像处理中的应用从纯 图像处理的角度分，主要包括以下几个方面：( 1 ) 图像预处理，( 2 ) 图像编码与压缩， ( 3 ) 边缘检测与图像分割，( 4 ) 特征抽取与图像分类。下面做一一介绍。 1 3 1 图像预处理 由小波的分解与重构算法知，小波分解后包括两部分：低频部分和高频部分。低频 部分可以看成对原图像的平滑，而高频部分刻画了原图像在大尺度下的边缘信息。因 此，小波变换可用于图像的平滑、去噪以及图像增强等预处理。 阿安工业学院硕士学位论文 1 3 2 图像编码与压缩 以二进小波为例，一次小波变换将一幅图像分解为四幅子图像。四幅子图像的数据 量总和与原图像相同，此时的小波变换不会对原始图像有任何信息的损失。除了低频 图像具有和原图像相同的编码率外，其余三幅高频子图像的信息熵明显下降，因而有 利于提高图像的压缩比。因此基于小波变换的编码方法也称为变换域编码或频率域编 码，静态图像压缩标准j p e g 2 0 0 0 就使用了基于小波的图像编码方法，基于频域的数据 压缩原理如图1 2 所示： 圈亘匿国事 图1 - 2 基于频域的数据压缩原理 对于经过量化的小波变换系数的分布研究表明，其概率分布特别适合于h u t f i n a n 编码。由于高频子图像中包含很多连0 ，因此，可以将0 长度游程与h u f f m a n 编码 结合起来作为编码方案。对水平方向细节信息采用纵向编码，对垂直方向细节信息采 用横向编码，对角方向细节信息沿反对角方向编码。可获得较高的编码率。具有代表 性的小波变换域编码方法是小波零树编码( e z w ) 。 经过小波变换可以获得基于小波的多尺度特征，而利用小波分析的局部化特性，可 以获得不同尺度下的邻域特征。根据这些小波特征可进行模式分类图像分割的目的。 另一方面，利用小波分解后的高频信息，可以获得图像在不同尺度下的边缘特征，从 而为多尺度边缘检测提供了新的思路。 目前，基于小波分析的图像分割与边缘检测方法可以分为两大类：一类是基于滤波 器尺度的多尺度图像分割方法。这一类方法又可以分成两种：一种是直接构造边缘算 子作用于原图像函数以检测边缘，另一种首先通过小波变换获得图像的多尺度特征， 然后对像素进行分类，根据分类结果再进行分割。另一类是构造基于像素点处的尺寸 及灰度级差的多尺度函数，并以此函数构造边缘映射。这种方法集成了边界和区域处 的特征信息，具有潜在的研究价值。基于小波分析的图像分割与边缘检测涉及以下几 个方面：尺度的选择，阈值的选择和小波基的选择。 1 3 4 特征抽取与图像分类 对识别或图像分类来说关键不在于完整地描述模式，而是提取模式中有效的分类特 征。所谓有效分类特征就是不同模式类差别较大的特征，但这些特征在原始特征域通 常不易被观察或检测。特征提取就是通过变换( 通常是线性变换) 的方法，使这些重要的 特征在变换域显示出来，去掉对分类无意义的信息，这样把原始的高维空间变为低维的 特征空间。 4 西安工业学院硕士学位论文 传统的傅里叶变换( d f d 是一种纯频率变换，具有最优的频率分辨率，而最差的时 间分辨率，不能提供任何局部时间段上的频率信息，所以用于提取时变信号的特征通 常效果不佳。短时傅里叶变换( s t f t ) 具有时一频分析能力，但时一频单元( 窗) 是【置i 定的， 海森堡测不准原理说明时频窗的面积不小于1 4 石，这样很难找到一个“好的“窗适用 于提取包含不同尺度信号的特征。近年来小波变换( w t ) 在信号处理和特征提取中得到 了广泛应用，w t 是一种多尺度分解的时一频局域变换，可分析包含不同尺度的信号， 但用于特征提取，固定的时一频分解形式并不是最优的。如在某些情况下高频端频率 分辨率低就是一个缺点。而小波包变换f w p t ) 对信号具有任意的多尺度分解形式，小波 包库包含了丰富的小波包基( 其中包含了小波基和类似予s t f t 的子带基) ，不同的小波 包基具有不同的性质，反映不同的信号特性，能提供其他变换所不能提供的信号的重 要特征。因此根据类别可分性准则，选择一个最优的小波包基，提取有效的分类特征 是可能的。 这里所说的特征抽取主要指在小波变换后，对获耿的原图像上的频域信息提取的二 次小波特征。再将二次小波特征用于图像分类。 基于小波的特征主要有基于小波的纹理特征 3 】m 】嘲和基于小波的统计特征嘲【7 】。另外 还有基于小波的分形特征仁i s 等。 1 3 论文的主要内容简介 1 3 1 本文的研究目的 本人的硕士研究生课题是“基于图像几何特征提取的算法及应用研究”。针对该课 题，本文的研究目的主要是用b 样条小波来处理图像，用此方法来提取目标图像的几 何特征，以提高图像识别的质量。 1 3 2 本文的研究工作 本人主要做了以下几方面的工作： 在阅读大量文献的基础上，研究了小波分析理论在图像方面应用的基本原理及方 法： 将b 样条和小波理论联系起来构造b 样条小波，并以b 样条小波矩对图像进行特 征提取； 用m i c r o s o f t v i s u a lc + + 完成软件的编写工作。 1 3 3 本文的主要内容 本文共为五章。第一章综述了本文的主要内容及课题研究的重要意义。第二章介绍 t 4 , 波变换的基本理论及一些在课题中需要注意的问题。第三章详细的从理论上阐述 西安工业学院硕士学位论文 了b 样条小波矩的构造过程。第四章给出用b 样条小波矩进行提取的实现方法及试验 结果。第五章给出本文的研究结论及展望。 2 小波变换基本理论 2 小波变换基本理论 2 1 小波变换的定义嘲“小”1 从以上分析知，小波分析是对f o u r i e r 分析的重要补充和改善。医此，小波变换的 定义应满足这样的条件：小波基尽可能由少数的几个函数生成；理想的小波基应是紧 支的。类似于f o u r i e r 分析，小波分析主要由两个变换构成，即连续小波变换和离散小 波变换。 连续的小波变换的形式化定义最早由m o r l e t 和g m s s a m a n 提出。设y g ) 为变换的 核函数，函数厂( 工) l z ( r ) 的连续的小波变换定义为 ( ，) ( 咖) = ：少( 功矿( 孚胁 ( 2 ，1 ) 其中，核函数y g ) 要满足下面的容许条件。 定义：设函数p g ) l 2 ( r ) 满足 q ：舡伽 q 2 舻伽 ( 2 2 ) 则称y g ) 为基小波。( 2 2 ) 式称为容许条件。 当y g ) 为基小波时，下面的逆变换成立： 弛，= 专黟m 瑚州y c 等) 等 旺s ， 由小波基的定义立即可得出咿( x ) i 出 1 ，b o 0 。 2 2 小波变换的性质 当基函数y ( z ) 满足容许条件时，离散的小波变换将r ( r ) 映射到，2 ( r ) 。即，若令 ( 黟) 。= y 。，p = 0 一ij f ( x ) v m , n ( x ) d x 则 船) 。 1 2 ( 只) 通常t的逆不存在。如果存在常数0 a ，b m ，使得 4 2 阮，刊2 b i i ： 1 1 2 ( 2 们 则函数族砂，。：m ，”z 称为一个框架。这时可以建立从小波系数重建原函数的数学方 法。特别地， m ) 2 忐 y 一( 工) + r 其中，r 为余项，吲蔓d 一1 ) 州i 。 一般而言，小波函数族是相关的。如果函数族妒。：t i t , z 是线性独立的，则称 眵。：聊，一z 为正交小波基。若 则称为规范正交基。 ( 1 c l m , n , y l 啪) = g ，, t g 啦 ( 2 8 ) 西安工业学院硕士学位论文 由小波变换的定义知，小波函数矿( x ) 满足 i _ ；c ，0 ) = 0 r 一般地，若对于所有0 k m ，( m 为非负整数) ，均有 f x k y ( x ) 出= 0 ( 2 9 ) 三 而 f x m + l p ( x ) 出0 ( 2 1 0 ) i 则称y g ) 的消失矩为m 。 小波函数均有非负的消失矩。消失矩越大，则基于这样的小波所对应的函数分解对信 号压缩越有利。因为一般函数都可以由多项式函数逼近y l o r 定理) ，消失矩性质表明了， 次数不大于m 的多项式在小波分解后，对应的分支都归于零。 2 2 2 正交性质 设y ( x ) 为小波函数，舻。：m z 构成一组规范正交基。并设 若同时还有重构关系 = d ( 2 i i ) 厂( z ) = d 。，。y 。g ) ( 2 1 2 ) m 则妒( z ) 称为正交小波。若厂( z ) d 。妒。( 曲，但存在函数妒( z ) ，使得对于任意的 m n 厂( x ) l z ( 尺) ，若 则 = d 。 = d m ，一 厂( x ) = d 。多( x ) = d ：，妒。，。( 砷 ( 2 1 3 ) ，m ，” 则称缈。：m ，n z ) 为 妒。：聊，h z 的对偶基，原小波基 y 。：m ，h z ) 称 为双j 下交小波基( 或半正交小波基) 。正交小波在信号分解时，具有独立性，对于提取信 号的特征以便进行模式识别很有用。 9 西安上业学院硕士学位论文 设y ( x ) 为小波函数，如果它的支集s u p p ( g t ) 有限，则称_ ；c ，( ) 为紧支撑小波。紧支撑 小波变换可以刻画信号的局部特性，这对于分析和描述突变信号很有用。 2 2 4 对称性 如果小波函数为对称的或反对称的，则对应的小波基称为对称小波基。对称小波基用 于小波变换，可以保持重要纹理位置不变。这对于多尺度边缘检测、或运用多尺度方法 进行目标跟踪有利。 常用的小波有m e x i c a nh a t 小波，m e y e r 小波，m o r l e t 小波，三次b 一样条小波， d a u b e c h i e s 小波和s i m o n c e l l i 小波”4 l b lu 6 1 等。这些小波都为正交小波，且具有紧支集。 不同小波在刻画信号或图像的属性时存在差异，如m o r l e t 小波用于纹理图像的分割较好； 而m e x i c a nh a t 小波更适合于直边物体的分割【1 7 】 1 8 】。小波分析具有的方向性对纹理分类不 利，但对于图象分割却是优点。d a u b e c h i e s 构造出的系列小波 d n l 中，d of f l a a r ) 可用于 刻画不连续性，d 4 可用于检测一阶导数的不连续性，d 8 可用于检测二阶导数的不连续 性，等等。 遗感的是，除h a a r 小波外，同时具有紧支集和正交性的小波肯定不具有对称性。在 有些应用中，希望小波基在具有紧支集的前提下，仍然具有正交性和对称性。这时，可 以用双f 交小波。 2 3 小波多分辩分析 在数字信号或数字图像处理领域，一般将离散小波的步长取为2 。即若p ( x ) 是小波 函数，令 y 。，( j ) = 2 2 y ( 2 一一n ) ( 2 1 4 ) 如果它满足稳定性条件 a p ( 2 。1 s b ii ( 2 1 5 ) 则称y ( 工) 是一个二进小波。此时不论小波是否为正交，对任何厂( x ) l 2 ( m ，均存在级 数表示 ，( x ) = d j , k ( x ) 西安工业学院硕士学位论文 对于每个，令 ，ic 枷n 一) 移似：后z ( 2 1 7 ) 即是由杪肚：k e z 线性张成的闭子空间。( 2 1 6 ) 式表明，空间上2 ( r ) 能够分解为子 空间的直接和。即 l 2 ( r ) = = + 形。+ 矿o + 矿1 + j “ ( 2 1 8 ) 在此意义下，对每个，( x ) 三2 ( m ，都有一个分解 ，( x ) = - + g l ( 石) + g 。( 石) + g l ( 工) + t ( 2 1 9 ) 其中，g ( 。) ，对所有，z 成立。 定义：l 2 俾) 中的闭子空间序列慨 一称为形成一个( 二进) 多分辩分析，若舨 。 满足： ( 1 ) 戤 。是一个嵌套序列，即 c 1 i _ l c z oc _ 亡 ( 2 ) 所有的以并在r ( r ) 中是稠密的，即 c l o s l 2 ( 埘( 芝) = l 2 ( r ) ( 3 ) 所有圪的交是零空间，即q k 。o ( 4 ) 厂( z ) 吒f ( 2 x ) k t z ( 5 ) ，( z ) k ，o + 古) k ，t z 。并且，存在r ( r ) 的一个函数妒( 川，使得 概，。( x ) = q ，( x - n ) ：n z 是的一个m e s z 基，即 = c l o s r 。m 扫 一一) ”z 且存在常数o 一b c 。，使对所有无限平方和序列 c 。 ，有 阿安工业学院硕士学位论文 骶扎：2 酵如叫黔啦删， 爿f 1 c 。i ，：2 l l c 。p ( x n ) l b 雌c 。，：2 此时称妒( 功为对应用于基小波y ( x ) 的尺度函数。 设妒( j ) 为基小波，令 = c o s f 。杪卅：ke z j k = + 一：+ ( 2 2 1 ) 则有+ - 2 + ，后z 。若存在r 俾) 中的一个函数妒( “，使得族 协吣( x ) = q ，( x - n ) ：n z 是的一个硒e s z 基，则舨 满足上述定义的所有条件。于是， 由小波函数可生成一个多分辩分析。 尺度函数庐( x ) 与小波函数y ( x ) 存在两尺度关系： 及分解关系 其中 妒( x ) = p 。庐( 2 工一女) ( 2 2 2 ) y ( 工) = q 。( 2 x 一七) ( 2 2 3 ) 0 ( 2 x 一，) = k 。( p k ) + b t 。妒( 石一k ) l t z ( 2 2 4 ) 1 口t = i p t 驴扛 用( 工) 表示妒( 工) ，y 。( x ) 表示y ( z ) ，两尺度关系可以重写为 y 。( 工) = p 。y 。( 2 x 一| | ) 在此基础上，定义 ( 工) = 吼妒。( 2 x - k ) y ：，( j ) = z p 。y ，( 2 x 一i ) 1 2 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 西安上业学院硕士学位论文 y 肛) = q 。y 肥x t ) ( 2 2 8 ) i 则函数族渺。( x ) ：”= 2 1 ，o r 2 1 + 1 ，= o ，1 2 称为关于尺度函数庐( z ) 的小波包。 本文不在此陈述函数y ( x ) 生成一个多分辨分析的条件。这里着重指出，多分辨分析 的定义，以及小波函数矿( x ) 所满足的上述条件，为构造小波函数提供了一种思路，同时 也为小波变换的算法实施提供了一种思路。即小波函数可以通过尺度函数构造，小波变 换可以通过多分辨分析的方法逐层进行。 2 4 小波分析的算法 小波分析的算法主要包括两个方面：生成小波基的算法和基于小波基的函数分解和重 构算法。由上面的分析知，小波基由小波母函数经平移和伸缩构成。而母函数由可以由 尺度向量构成。因此生成一组小波基的关键是找到一个尺度向量以及由尺度向量生成小 波向量的算法。 2 4 1 由尺度函数生成小波函数 由多分辨分析可以导出基于二进小波的尺度函数和小波函数之间的关系。设伽。) 为尺 度向量，k 。) 为对应的小波向量。由基于两尺度关系的多分辨分析可导出如下关系 g 。= ( 一1 ) ”h 一。+ l 或 g 。= ( 一1 ) 。h 。： 其中，2 n 为尺度向量的支撑区间的长度。 许多小波函数由样条函数构造出来的。由样条函数构造出的二进小波函数可以表示成 尺度函数的导数。这在多尺度边缘检测中很有用。 由二进小波的定义，二进小波在对信号分解时，将原信号分解为波长相等的两个分支。 设分解后的高频部分和低频部分分别为g ( x ) 和h ( x ) ，他们所代表的频带宽度各占一半。 下一次的分解总是对低频部分h ( x ) 再进行频带的二分之一分解。有时希望对信号进行小 波变换后得到的分支所代表的频带宽度不是原来的二分之一，而是三分之一或五分之一。 这是的小波变换称为多进小波。设由尺度函数妒( 曲生成的小波函数为 ) ，y 。( x ) ， 妒( x ) ，对应的小波变换称为多进小波变换。 多进小波和尺度函数的关系稍微复杂一些。设讨论的是多进小波，即由尺度函数生成 m 一1 个小波函数，则由该尺度函数和小波函数同样可以生成多分辨分析。且通过m 带滤 波器的参数化，可以得到下列关系： 西安工业学院硕士学位论文 ( v i ) n 8 i n ( 辞，f ) c o s ( o i ，) ，f o r j = 0 , 1 2 m 一2 ：9 ”i ( 2 2 9 ) 兀s i n ( 岛，f ) ，柳= m 一1 其中，o i , jh o u s e h o l d e r 参数。对于给定的一组参数只j ，确定了唯一的一个尺度函数以 及m - - 1 个小波函数，小波函数由矩阵f 1 ， 的其余m - - 1 行决定，共有l m 一种选择法。 无论二进小波还是多进小波，他们的第二次分解总是只对低频的部分进行。有时希望 在小波变换的进一步分解时同时对己分解出的低频部分和高频部分同时进行。既要对低 频部分进一步局部化，同时又对高频部分进一步局部化。这时就要用到小波包。小波包 的构造参看上一节。 目前，使用最多的是基于二进小波的s m a l l a t 的快速算法，算法过程可以用图2 1 表示【9 。 山z 。( 工)j ，z ，( 互) f o ( x ) 寸j ， o ( 工) 、la o ( x ) 正。( z ) 个 z 。( z ) 个寸f o ( x ) 圈2 一l 其中，z 扎- ( x ) = = 工。o ) 妒 + f 坤 f i + 1 , 0 ( 并) = = 正，。o ) 妒o + t ) d t 可以将厶- ，。和 扎t 分别理解为低频信息和高频信息。 二维情形的小波变换较为复杂，原因是二维小波基的形式要复杂一些。一种简化的形 式是用可分离的小波基。设妒( 工) 和妒( 工) 分别为尺度函数和小波函数，二维可分离的尺度 函数定义为妒( j ，y ) 2q g ( x ) t p ( y ) ，二维小波基有三部分组成： ￥l ( x ，y ) = 妒( 曲妒( y ) ，g t 2 ( x ，y ) = 伊( x ) 妒( y ) ，矿3 0 ，y ) = 伊( z ) 伊( y )( 2 3 0 ) 从物理的意义上说，妒l g ，_ y ) 是沿水平方向平滑，而沿垂直方向高通滤波的滤波器； g t 2 ( x ，y ) 是沿水平方向高通滤波，而沿垂直方向平滑的滤波器；妒1 g ，y ) 是沿水平方向和 乖亩方向均为高通滤波的滤波器。小波变换后的图像见。图2 - - 2 所示。 1 4 两安工业学院硕士学位论文 2 4 3 小波变换的边界延拓方法 小波变换是以卷积的形式出现。对于有限长度的信号或有限大小的图像，在边界处的 卷积实际上是不严格的。设信号x ( ) 的长度为n ，初始信号为x ( o ) ，滤波器长度( 或小 波的支集) 为l ( 假设为偶数) 。则基于二进离散小波的变换公式可以表示为 x h ( n ) = 痧( 2 + i l 一七) ；( )”= o ，l ，2 ，詈一l ( 2 3 1 ) (n)：”笠1。jjf，(2n+ilxg t ) ( ) n ：o l ，2 要l y l ( 2 3 2 ) ( n ) = j j f ， + i t ) x ( )n = o ，l ，2 ，了一l ( 2 3 2 ) 上面求和公式中，x ( 一1 ) ，工( 一l 2 ) 年l l x ( n ) ，x ( n + l 2 1 ) 没有定义。因此，为 了使上面的公式完善，必须对原信号进行边界延拓。常用的延拓方法有四种： ( 1 ) 零延拓 札信嬲 ( 2 ) 边界重复延拓 f x ( n ) ，0 1 l n x ( ”) = x ( o ) ，n 0( 2 3 4 ) l x ( n 一1 ) ，n n ( 3 ) 周期延扩( 即缠绕) ( 4 ) 对称延拓 x ( - ) = x ( n 一) ，七= 1 , 2 ，l 2 x ( n + 七) = x ( 七) ，k = 0 12 ，l 2 1( 2 3 5 ) x ( - k ) = x ( | 】 ) ，k = 1 , 2 ，l 2 x ( n + 七) = x ( n 一七) ，k = 1 , 2 ，l 2( 2 3 6 ) 西安工业学院硕十学位论文 2 5 小结 ( a ) 一层小波变换 图2 - 2 ：小波变换图例 ( b ) 二层小波变换 本章讨论了小波变换的定义和性质。从小波的多分辨分析导出了尺度函数与小波函数 的两尺度关系，该关系的建立为小波的分解与重构算法的建立奠定了基础。 西安工业学院硕士学位论文 3 1 引言 3b 样条小波矩 现在，己经有很多种小波基供研究者选择。但是，最“优”小波基的选择显然依赖 于所研究的问题。样条函数理论对小波变换理论产生过重大影响，最早的h a r t 小波就是 1 阶样条函数。样条小波理论已经成为小波理论的一个重要分支。 m 阶b 样条函数是由单位区间【o ，1 的特征函数( ( 1 阶b 样条) 经过m 一1 次卷积而得到 的。它满足多分辨分析条件，多分辨分析理论【2 0 j 告诉我们，若分析函数是m 阶正则的， 则由它构成尺度函数和小波函数妒也是m 阶正则的。所谓一个函数g 具有m 阶i f 则性， 是指g c “，且g 与g 抽( o a ) 在o 。是速降的。一般来说，矿是速降的，y 的值也 集中在原点附近。因此，小波展开在时域和频域同时是局部化了的，只要小波函数具有 足够高的正则性，小波展开便可以逐项求导。显然，由b 样条函数构造的小波除一阶( 实 际上就是h a r t 小波) 和二阶外皆具有m 一2 阶正则性。用b 样条函数可以构造出具有任意 阶正则性的小波函数。b 样条函数除具有任意阶正则性优良性质外，它还具有全正性、 紧支撑性、可递推性，并满足光滑函数条件。此外，与其它样条相比，b 样条是同阶样 条函数空间中一组具有最小支撑的基底。 小波变换是利用小波函数与信号函数的作用( 相关或卷积) 来检测分析信号函数的性 质的。小波变换不仅与信号的特征有关，也与小波函数的特征有关。从小波变换的解析 表达式上看，不仅可以通过小波变换反映信号的时频特性，还可以通过选择具有适当数 学性质的的小波函数与信号作用，从而反映信号的一些数学性质。例如【2 1 i ，如果选取平 滑