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北京邮电大学硕士研究生论文 希尔伯特滤波器的| ir 实现 摘要 如何减小符号间干扰( i s i ) 是数字通信系统中的一个重要课题， 脉冲成形滤波器和信道的盲识别技术是其中的两个重要内容，近年来 受到越来越多的重视。而目前广泛应用的脉冲成形滤波器是用有限脉 冲响应( f i r ) 数字滤波器实现的，但它的阶数较高。提出采用通用 参数滤波器作为基本单元，结合脉冲成形滤波理论，设计出i i r 型脉 冲成形滤波器的。利用i i r 型脉冲成型滤波器的研究成果，进而构成 i i r 型希尔伯特变换滤波器设计的新方案。 本文分为为三章： 第一章抽样率转换和数字滤波器组的基本概念，介绍了多速率信 号处理的基本概念和理论，数字滤波器组的基本知识，是第二章的理 论基础。第二章阐述通用参数滤波器的理论和优化的方法。第三章 ii r 型希尔伯特滤波器，引入了具有能考虑相位特性的通用参数滤波 器作为构成单元，设计出希尔伯特滤波器。在导师刘泽民教授的指导 下，结合脉冲成形滤波器的设计，我们提出了i i r 型滤波器设计的新 方案。本章给出了设计步骤，并通过仿真证明了其可行性。 关键词：多率信号处理滤波器组脉冲成形滤波器 希尔伯特变换滤波器 北京邮电大学硕士研究生论文 rt y p eo fp u l s es h a p i n gf i i j r e ra n d b l 玳dc h a n n e li d e n t i f i c 气t i o n h o wt or e d u c et h ei n t e r s y m b o li n t e r f e r e n c e ( i s i ) i so n eo ft h es i g n i f i c a n t c o n t e n t si nd i g i t a lc o m m u n i c a t i o ns y s t e m p u l s es h a p i n gf i l t e ra n db l i n dc h a n n e l i d e n t i f i c a t i o na r et w oo ft h em o s ti m p o r t a n tp a r t si nt h i sf i e l da n dm a n yr e s e a r c h e r s h a v ep a i di o t so fa t t e n t i o nt ot h e m h o w e v e r , t h ef i n i t ei m p u l s er e s p o n s e ( f i r ) d i 酏a lf i l t e r , w h i c hu s e da sap u l s es h a p i n gf i l t e rp o p u l a r l ya tp r e s e n t ，h a st h e d i s a d v a n t a g e ss u c ha sh i g ho r d e r s s ow ep r e s e n tan e wa p p r o a c ht od e s i g nt h eh i l b e r t t r a n s f e rf i l t e r , w h o s eb a s i cu n i ti sg e n e r a lp a r a m e t e rf i l t e r n i sp a p e rh a sb e e nd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s p a r t1 t h eb a s i ct h e o r i e so fm u l t i r a t e d i 百t a ls i g n a lp r o c e s s i n ga n dd i 沓t a lf i l t e rb a n k sh a v e b e e nr e v i e w e d o nt h eb a s i so f p a r t1 , p a r t2 - g e n e r a lp a r a m e t e rf i l t e ri n t r o d u c e d p a r t3h f l b e r tt r a n s f e rf n t e rt h e o r yi s i n t r o d u c e d ，u s i n gt h ei i rg e n e r a lp a r a m e t e rf i l t e rw h i c hc a l lc o n s i d e rt h ep h a s e c h a r a c t e ra st h eu n i to fo r t h o g o n a lf i l t e rb a n k s w ep r e s e n tan e wm e t h o df o r d e s i g n i n gi i rp u l s es h a p i n gf i l t e r a f t e rt h i sw ed e s i g nt h eh i l b e r tt r a n s f e rf i l t e rw i t h t h eg u i d a n c eo ft h ep r o f e s s o rl i uz e m i n t op r o v et h i st h e o r y sf a c i l i t y , t h es i m u l a t i o n r e s u l t sa r eg i v e nn e x t k e yw o r d s ：m u l t i r a t es i g n a lp r o c e s s i n gf i l t e rb a n k s p u l s es h a p i n g f i l t e r h i l b e r tt r a n s f e rf i l t e r 2 北京邮电大学硕士研究生论文 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内 容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得北京邮电大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期： 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮 电大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或 部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位 论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。非 保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 日期： 导师签名：日期： 北京邮电人学硕士研究生论文 引言 第一章抽样率转换和数字滤波器组的基本概念 奈奎斯特抽样定律指出，当抽样频率大于信号最高频率的二倍时，信号可被 无失真恢复。如果抽样率过低，则会出现频谱混叠而使原始信号频谱无法恢复； 如果抽样率过高，则使数据量增大，不利于信号的存储、传输、处理。一个系统 中的抽样率并不是要求一成不变的，有时为了一定目的而在一个系统中出现了两 个或两个以上的抽样率，这种存在着抽样率变化的技术称为多( 抽样) 率信号处 理。滤波器组技术中各滤波器的通带小于原始信号频带，信号经滤波后会改变带 宽，为了在满足抽样定律下尽可能减少数据量一般都相应改变抽样率，因此也属 于多率处理。 本章阐述多率信号处理中关于抽样率转换的基本知识，介绍滤波器组的构 成和类型，分析说明存在的失真和完全重构条件，以及重构滤波器组目前常用的 设计理论。本章最后对后面两章用于构造滤波器组的通用参数滤波器作一简述。 1 1 抽样率转换 许多数字信号是由模拟信号经抽样得到的，或者可以等效为由模拟信号抽样 得到的。为了实现无失真恢复原始信号，奈奎斯特定理指出抽样率必须大于模拟 信号最高频率的2 倍。在数字信号的处理过程中，有时要根据技术需求改变抽样 率。抽样率变化分两种情况，使抽样率降低的抽样率转换称为抽取( d e c i m a t i o n ) ， 也称为抽样率压缩或下采样；使抽样率升高的的转换称为内插( i n t e r p o l a t i o n ) ， 也称为抽样率扩张或上采样，由于不知道原始模拟信号在插入点的值，所插入的 实际为0 值，所以又称为零值内插或简称为零插。 1 1 1 抽取 当信号的抽样率过大时，为减少数据量以便于处理和计算，把数据每隔m 一1 个取1 个，这样就可以使数据量减少为原来的1 m ，其中的m 称为抽取因子。 抽取操作用符号im 表示，向下的箭头表示抽样率降低，m 表示抽取因子，也 北京邮电大学硕士研究生论文 就是降低的倍数。 如果抽取前信号为工0 。互) ，抽取后信号为y ( n ：疋) ，其中五、互分别为抽样 率变换前后的采样周期，则乙与疋间有关系瓦m r , 。抽取前后信号的频谱关系 为 r ( e 加2 ) 一2 y ( n ：乙) e 一唧2 n 2 一 一2 , y ( n ：m t l ) e 一脚2 n 2 。一 。砉 措眠争1 卜1 一吉蓑删t 警) 1m 一1 - 吉罗x ( p 地w ) m 角、 7 2 z 其中w e - ：i - ，设q 为模拟信号频率。如果令z 2ap 胁，z l 。e 地，则上式成 为 y 一吉詈酢。呐 式中z 2 e l z - e j a r , 一p 徊叫一e ，州z 1 图1 - 1 所示为抽取操作使信号频谱发生的变化，其中的角频率是相对于各 自抽样频率的归一化值。对窄带信号抽取时，如图( a ) 为原始频谱，如果抽取因 子m 较小( 如图b ) ，由于抽样率不够低而使数据量较大；如果m 太大( 如图c ) ， 则会造成信号频谱混叠而使原始信号无法重构；适当的m ( 如图d ) 可以在不产 生混叠的情况下使抽样率最高，此种情况称为最大抽取( m a x i m a l l y d e c i m a t i n g ) 。 附l j | | j 。 ( a ) 原始频谱 6 陬叫 人j ? 刀。 ( b ) 抽取因子较小( m = 2 ) 北京邮电大学硕士研究生论文 陬刊 公 。嬉 。缈l 仝 ( c ) 抽取因子过大( m - - 4 ) 产生混叠( d )最大抽取( m - - 3 ) 1 1 2 零值内插 图1 - 1 不同抽取因子时的信号频谱 内插是在给定序列的相邻抽样点之间插入抽样值，使抽样率升高，如果每两 个抽样值之间插入l 一1 个值，则用符号t 表示，向上的箭头表示抽样率增高， 为内插因子，表示增高的倍数。由于相应于原始模拟信号需插入的抽样值并非 已知，所以实际插入的值都取为0 ，即进行零值内插。 零插前信号x ( n 。正) 与零插后信县yy ( n ：t 2 ) 的频谱关系为 y 。塾峨垆= 薹y o z 妒 t 工o - r o e 佃轨 - 一 一工o - 五弦。呐 n l 。一 - x 0 砌) 如果在复频域z 中表示，则上式为 y q ：) 一石( z 。) ( 1 - 2 ) 1 其中z 2 一午，即z 1mz 2 工。 图卜2 所示为零插操作使信号频谱发生的变化。零插使得在一个抽样频率周 期内原信号频谱多次重复，这种重复称为镜象。由于镜象的存在，在频域也可看 出经过零插后的频谱与原始信号经高抽样率的频谱是不同的，如果在零插后再经 7 北京邮电大学硕士研究生论文 具有图1 - 3 ( a ) 特性的低通滤波，就可得到原始模拟信号的高抽样率结果，如图 1 - 3 ( b ) 。 俐 n 。 勃0压 俐镜象 7 励| | 而1 0 知 ( a ) 原始频谱( b ) 零插后( l = 3 ) 频谱产生镜象 图1 - 2 零插操作对信号频谱的影响 州 门厂 r 。 ( a ) 低通滤波器 。俐 i | 。f 。 ( b )高抽样率信号频谱 图1 - 3 零插后再经低通滤波得高抽样率频谱 1 1 3 滤波器与抽取或零插级联的等效变换 图1 - 4 ( a ) 中的输入输出关系为 y q ：) = h ( z ：少( z ：) 一日( z ：万1m 磊- 1 z ( z ，) ( 卜3 ) 也i ) 卫坚恒乎咖黝 ( a ) 8 北京邮电人学硕士研究生论文 xc咒。瓦，三三至主三习兰!垒母夕c以：72) ( b ) 图1 - 4 滤波器与抽取级联的等效变换 图1 - 4 ( b ) 的输入输出关系为 矿( z 2 ) 。吉荟彤。) 。吉荟x ( z ) 日【( z l 矽) m 】 - 日q ，) 吉荟x ( z l w l ) 因为z ：一z f ，由式( 卜3 ) 和( 卜4 ) 可知图卜4 中的( a ) 与( b ) 是等效的。 地互) 瓦产碍y ( n ，)x o 互) _ 竺! 圣! h ! 兰_ 专，) ( a ) x 也互) 囝坚甘夕o ，乙) ( b ) 图1 - 5 滤波器与零插级联的等效变换 图1 - 5 ( a ) 中的输入输出关系为 l ，0 2 ) 一v ( z 。) = h ( z 。) x ( z 。) 图1 - 5 ( b ) 的输入输出关系为 矿( z ：) = h ( z ；) u ( z ：) = h ( z ；) x ( 乙) 这里z ；乙，所以由式( 卜5 ) 和( 卜6 ) 可知图卜5 中的( a ) 与( b ) 是等效的。 ( 1 - 4 ) ( 1 - 5 ) ( i - 6 ) 北京邮电大学硕士研究生论文 1 2 滤波器组基本概念 1 2 1 基本定义 具有一个共同输入信号或一个共同输出信号的一组滤波器都称为滤波器组。 根据共同信号是滤波器的输入信号还是输出信号，滤波器组可以分为分析滤波器 组与综合滤波器组。 图i - 6 ( a ) 所示是一个具有共同输入信号的滤波器组，输入信号进入k 个通 道，每个通道中有一个滤波器日。 徊) ，k 一0 , 1 , a ，k 一1 。设z o ) 为一宽带信号， 经过各通道中的带通滤波器后被分成k 个子频带信号y 上0 ) ，七= 0 , l a ，k 一1 。 这种将宽带信号分成多个窄带信号的滤波器组称为分析滤波器组( a n a l y s i s b a n k ) 。 图卜6 ( b ) 所示是一个共同输入信号的滤波器组，各通道输入信号y 。0 ) 经滤 波后成为不同频率的窄带信号吒o ) ，k 一0 , 1 , a ，k 一1 ，将这些窄带信号相加后 构成一宽带信号作为输出。这种将多路信号合成一路的滤波器组称为综合滤波器 组( s y n t h e s i sb a n k ) 。 滤波器组是信号处理过程中使用的一项技术，信号无论怎样变换最终还是要 恢复原始状态的，所以一般分析滤波器组与综合滤波器组总是成对地出现在一个 完整系统中的。 x ( n ) ( a )分析滤波器组 o ) m o ) y 。o ) ) ，。o ) 以o ) k 4 0 ) ( b )综合滤波器组 图1 - 6 滤波器组的两种情况 工o ) 北京邮电大学硕七研究生论文 由于分析滤波器组使信号带宽发生变化，为减少数据量，在窄带滤波后一般 都进行抽取操作，抽取因子的选择应是在不产生混叠的前提下尽可能大，即图 1 - 1 所示的最大抽取。相应的，在综合滤波器前一般都进行零插操作，零插后各 通道滤波器在自己的频谱中选择不同频带镜象组成一个信号。 1 2 2 滤波器组应用的分类 滤波器组在应用时大体可分为子带变换与传送复用两种情况。子带变换系统 ( s u b b a n ds y s t e m ) 是先由分析滤波器组把一个信号按频带分为多个子带( 这一 过程包括带通滤波与抽取) ，然后各子带分别处理，最后再经过零插、滤波与相 加，重新构成原来的信号，如图1 - 7 所示。需要说明，图1 - 7 所示为m 带均匀 最大抽取滤波器组系统，均匀是指各子带有相同的带宽，各子带的抽取因子相同， 且等于子带数。滤波器组的子带也可以是不均匀的，由于带宽不同，各子带的抽 取因子也会不同。 传送复用系统( t r a n s m u l t i p l e x e rs y s t e m ) 是在发送端由综合滤波器组将 多路信号组合成一路，从而可以用一个信道传输或处理，到达接收端时再分解为 各路信号，如图卜8 所示，其过程与子带变换相反。这里的复用是频分复用( f d m ) ， 每一路信号经零插后在高抽样率的归一化频率一个周期内都包含m 个相对变窄 了的原信号频谱及其镜象，由各滤波器对各路信号取出不同频段镜象频谱，通过 相加即可组成一路信号。 传送复用系统与子带变换系统互为对偶，理论基本相通。本文对滤波器组的 讨论以子带变换系统为对象。 北京邮电人学硕士研究生论文 工o ) 工o o ) 工l o ) 1 3 完全重构 x ( z 1 ) 子带处理 i 面m 磊 图1 - 7 子带变换系统 图1 - 8 传送复用系统 舅o ) j 。o ) 毫o ) 如一。o ) 图1 - 9m 通道均匀滤波器组及各点信号的符号 x ( z 1 ) 为分析最大抽取均匀滤波器组的输入输出关系，将子带变换系统重画于图 卜9 。在研究滤波器组的设计理论时，不考虑子带处理本身引起的信号变化，因 此在图中综合滤波器的输入就是分析滤波器的输出。 取其中的k 号通道，各点信号间有如下关系： 等一 恭赫 北京邮电大学硕士研究生论文 x 。( z 。) = u 。0 。) e ( z 。) u 。( z 。) = k ( z ：) k 。z ) 2 万m 盏- l m 形，) ， 其中缈ie 吖百 抽 圪( z 。) 一x ( z 。) 日i ( z 。) 综合式( 卜1 卜1 0 ) ，可得 ( 1 - 7 ) ( 1 - 8 ) ( 1 - 9 ) ( 1 - 1 0 ) j 。( z 。) - 万1m 丢- 1 x ( z 。形。) 日。( z ，7 ) 疋( z ，) ( 卜1 1 ) 系统的输出2 ( z 。) 为各通道输出j 。( z 。) 之和，即 j q ) 。荟x t g - ) 一万1m 刍- 1 酢。呐瓴呐眦。) 2 荟x ( z - 矽1 m q - = x ( z 地( z - ) + 善x ( z w 1 ) a l ( z ) 其中 爿，( z 1 ) = 面1m 岛- 1 h 。( z 。形。) r ( z 。) ( 1 - 1 2 ) ( 1 - 1 3 ) 信号的完全重构( p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ，p r ，也译为准确重建) 是指输 出信号戈伽) 与输入x q ) 除了有一定延时以外频率特性完全相同，即有如下关系： 或写为 戈( 丹) - c x ( 力- k ) 雪( z ) = 亿x ( z ) ( 1 - 1 4 ) ( 1 - 1 5 ) 式中c ，k 都为固定的常数。在设计滤波器组时，我们总是希望系统是完全重构的， 即式( 卜1 2 ) 应该成为式( 1 - 1 5 ) 的形式。 13 北京邮电大学硕士研究生论文 j x ( z 1 ) 一 、 ， o【、，f ：= 图卜1 0 x ( z l w 。) 的频谱( m - 3 ) 式( 卜1 2 ) q 丁x ( z 。) ( ，一o ) 是x ( z 。) 在频率轴上移位z 幸堡m 后的结果，是抽 样率转换产生的频谱分量，如图1 - 1 0 所示。为了使输出与输入相同，即不发生 失真，或者说实现完全重构，j ( z 。) 中不应包含x ( z , w ) ( f 乒0 ) ，即要求 4 ( z ，) ( 1 0 ) 为0 。如果4 ( z 。) ( f 一0 ) 不为零，则称系统中存在混迭失真 ( a l i a s i n gd i s t o r t i o n ，a l d ) 。我们称4 ( z 1 ) ( 1 乒0 ) 为混叠系数。 当混叠为0 或不考虑混叠时，系统传输函数为 啪。) = 器啡- ) 一百im 磊- i h 。( z 。) e ( z 。) ( 1 1 6 ) 根据式( 卜1 5 ) 的完全重构条件，传输函数瓯( z 。) = 彳。( z 。) 应满足 a o ( z 1 ) 一c z l 吐 ( 卜1 7 ) 既4 q 。) 的幅频特性为不随频率变化的恒定数值，相频特性为有恒定斜率的直 线，也就是要求为线性相位。如果a ( z ，) 的幅度特性不是恒定数值，则会引起 2 ( z 1 ) 与x ( z 1 ) 的幅度特性的不同，称为幅度失真( a m p l i t u d ed i s t o r t i o n ，a m d ) 。 如果a o ( z 。) 的相位特性不是恒定斜率，则会引起j ( z 。) 与x ( z 。) 的相位特性的不 同，称为相位失真( p h a s ed i s t o r t i o n ，p h d ) 。由于相位表示的多值性，用群延 时( 即相位关于频率的导数) 描述线性相位要求更方便。可以将线性相位要求表 述为延时特性为恒定数值，即不随频率变化的水平直线。 l4 北京邮电大学硕士研究生论文 由上述分析可知，如果一个系统没有混叠失真、幅度失真和相位失真，就可 实现完全重构。 1 4 本章小结 本章介绍了多抽样信号处理的基本理论和分析一综合滤波器组的概念。 15 北京邮电大学硕士研究生论文 引言 第二章通用参数滤波器及其优化理论 文献 3 ，4 提出的具有线性相位特性的通用参数滤波器，是一种依靠自身实 现相位补偿的i i r 滤波器，不需要附加单元。四点组的引入，不影响滤波器的通 带幅度特性为等波动( 即c h e b y s h e v 型) 或最大平坦( 即b u t t e r w o r t h 型) ，而 通过对四点组位置的优化，可使通带延时特性也逼近为一条直线。这种通用参数 滤波器还具有如下优点： 如：带通滤波器的通带范围是算术对称；低通与带通统一处理，低通作为带 的一个特例。可以将延时特性和幅度特性同时都予以优化等。 本部分将研究用通用参数滤波器作为i i r 型希尔伯特滤波器的构成单元。 2 1 通用参数滤波器基本内容 通用参数滤波器是在模拟域提出的一种滤波器。原始的通用参数滤波器其传 输零点都在模拟域复平面s ( o r + j q ) 的频率轴( j q ) 上，q 一0 、0 0 以及阻带范 围任意指定的传输零点用以满足衰减特性要求，而通带范围幅度特性为等偏离波 动，传输函数的极点由零点根据一定的约束关系产生。文献 3 引入复数传输零 点优化通带相位特性，使得通用参数滤波器可实现近似线性相位。文献 4 利用 同样的思想提出了通带幅度为最大平坦型的近似线性相位通用参数滤波器。 2 1 1 通用参数滤波器 在不同于模拟域复平面s 的一个复平面，( - x + 痧) 上构造沿虚轴等起伏函 数 酬。崆型 亿1 ， 兀( ，f 2 一，2 ) 式中为，- 平面上的任意点，e v 为取偶部运算。沿整个j y 轴，g u y ) 为正的实数， 且在0 与+ 1 之间作，1 次等起伏变化。若令 16 北京邮电大学硕士研究生论文 z ( ，) 2l = i ( ) = e ( ，) + 州 式中e ( r ) 是，的偶多项式，可( ，) 是r 的奇多项式，则 珥( 2 一r 2 ) 2 珥( r 一) 珥( 一，一，f ) 一z ( ，) 。z ( - r ) - k ( ，) + 彳( r ) 】 e ( r ) 一r f ( r ) 一e 2 ( ，) 一厂2 厂2 ( r ) 故式( 2 一1 ) 可以写为 g ( r ) = 蔬f e 2 巧( r ) 丽 为得到低通或带通滤波器，g ( 厂) 经如下关系变换到s 平面： r 2 ；善芸，0 一a 1 1 。- 一，冬 ：f；1a、+|、r 。r 、 图2 1 带通情况变量s 与变量，的变换关系 17 北京邮电大学硕十研究生论文 将g ( s ) 作为滤波器特征函数的模平方，即可得到传输函数的模平方为 ) 1 2 - 丽1 五 ( 2 6 ) s 平面上的零点墨按式( 2 - 4 ) 映射为，平面上的零点，取的实部小于等于 0 。如果零点是q 轴上的点q ，映射到r 平面为 。，r e 吒0 ( 2 7 ) 滤波器截止频率q 一1 上的衰减彳p ( 即通带波动，d b ) 与式( 2 - 5 ) 中的6 2 的关 系为瞰1 ： 或 a p = 1 0 l g ( 1 + b 2 ) 6 2 1 0 n m 一1 由式( 2 - 3 ) ，( 2 - 5 ) ，( 2 4 5 ) ，( 2 - 9 ) 可得 p ( s ) 1 2 一雨1 丽一 2 1 2 线性相位通用参数滤波器 e 2 ( ，) 一，2 厂2 ( r ) 1 0 n m e 2 ( ，) 一，2 ，2 ( ，) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 传统的通用参数滤波器只在模拟域复平面s 的虚轴_ q 上选择零点，设计时 只考虑滤波器的幅度特性，不考虑相位特性。文献 3 提出了对通用参数滤波器 的改进，除了在j q 轴上具有零点外，还在轴外具有象限对称复数零点( 即复数 衰减极点，通常称为四点组) 。阻带的衰减主要由_ q 轴上的零点设定，而四点组 主要用于优化补偿相位，使通带相位特性也近似为直线。其传输函数为： 郧，塑。煎尘! 鲤二：尘三坐三尘二三! ：! 协 e ( s )e ( s ) 式中e ( s ) 为复变量s 的h u r w i t z 多项式( 最高幂次系数设为1 ) ；a 为按通带特性 l8 北京邮电大学硕士研究生论文 要求而确定的常数；q ，表示s 平面轴上的有限值衰减极点，“z ，为有限值衰 减极点共轭对数：c 七。、c k 2 表示s 平面四点组，“j 为四点组组数；z 表示在s 一0 处衰减极点的个数；在st 处衰减极点的个数朋，取决于e ( s ) l 匕p ( s ) 高的阶数。 邵，；器f ( s 监掣篙尝型浯 ) 声0 2 + q ；) 式中q ，为通带内最大平坦点频率，m 为滤波器的阶数；芦为一常数：q ；表示s 平面_ 轴上的有限值衰减极点，“l 为有限值极点共轭对数；c 。、c k 2 表示了平 2 1 3 双线性变换 有很多种变换方法可以将模拟传输函数见0 ) 变换成数字传输函数g ( z ) ，从 而使z 域的数字传输函数保留s 域的模拟传输函数的基本性质。在这些变换中， 更多的使用双线性变换法来设计基于模拟原型滤波器变换的i i r 数字滤波器。 从s 平面到z 平面的双线性变换由下式给出 s = 歹2 【再1 - z - 1 ) ( 2 一1 3 ) 北京邮电大学硕士研究生论文 上述变换是一一对映的，即s 平面的一点唯一映射到z 平面内的一点，反之亦然。 于是数字传输函数v ( z ) 和模拟传输函数也o ) 之间的关系为： g 蜘删k ) ( 2 - 1 4 ) 双线性变换是通过应用梯形数字积分方法来从也o ) 的积分方程得到g ( z ) 的差分方程的一种变换。参数t 表示数值积分的步长。数字滤波器的设计过程包 括两个步骤：首先，利用逆双线性变换由数字滤波器的指标得到模拟滤波器原型 的指标：然后，利用双线性变换，运用式( 2 - 1 3 ) ，将满足模拟滤波器指标的模 拟传输函数见( s ) 变换成要求的数字传输函数c ( z ) 。因此，参数t 的取值对g ( z ) 的表达式没有影响，为方便起见，可选择t t2 来简化设计过程。 当t - 2 时，相应的逆变换为 z 。生( 2 一1 5 ) z 一一 k 么一l a j 1 一s 分析以上变换发现，对于sm i r _ q 。有 z 堡盟( 2 1 6 ) 1 一j e o 它具有单位幅度。这表明，s 平面虚轴上的一个点被映射到z 平面的单位圆上。 通常对于s a o4 - q o 有 z 。! ! 鱼! 望q ! 。( 1 + a o ) + j q o( 2 1 7 ) z 一一i 一 、厶一if ， 1 一( 仃o + _ q o ) ( 1 一a o ) 一q o 因此， 2 = 躺 ( 2 - 1 8 ) 因此，s 平面的_ q 。轴上的一个点( = 0 ) 映射到了z 平面上lzi = 1 的单位圆 上的某一点，s 左半平面上的一个点( 1 。s 平面内任何一点将被映射为z 平面内的唯一一个点，反之亦然。利 20 北京邮电大学硕士研究生论文 用双线性变换法，从s 平面到z 平面的映射具有所需的全部属性。同时，由于双 线性变换法是一种单值映射，因此消除了频率混叠现象。 s 平面的虚轴s j q 与z 平面单位圆( z 1 1e 加) 之间这种准确映射的关 系很有意义。由式( 2 - 1 3 ) ，若r 一2 ，可得 j q i 1 1 + _ e e 一- f ，, - = j t a n ( 2 ) 或 q ，t a n e ) ( 2 1 9 ) 由此我们可看出，s 平面的正( 负) 虚轴映射成z 平面单位圆周上( 下) 半 部分。很显然，由于s 平面的整个负虚轴从q = 一到q 一0 映射到单位圆周从 一呵( 即z 一一1 ) 到一0 ( 即z 。+ 1 ) 的下半部分，而s 平面的整个正半虚 轴从q 一0 到q 一+ 映射到单位圆周从一0 ( 即z 一+ 1 ) 到一切( 即z 一一1 ) 的上半部分，这种映射的非线性程度很高。这就到这频率轴的失真，称为频率崎 变。因此，为了设计满足特定幅度响应的数字滤波器，必须首先利用式( 2 - 1 9 ) ， 将i 临界频带( p 和q ) 预先加以崎变，从而找到他们的等效模拟频率( q p 和q ，) ， 再利用预崎后的临界模拟频率设计模拟原型滤波器见( s ) ，然后，对见o ) 进行 双线性变换得到所虚的数字滤波器传输函数g ( z ) 。 需要注意的是，只有当滤波器幅度响应指标为分段常数时，经双线性变换后， 仍能得到与模拟滤波器具有相同分段常数幅频特性的滤波器。而变换之后，模拟 滤波器的相位响应将无法保持。因此该变换只能用于设计幅度响应为分段常数的 数字滤波器。 2 1 4 基本公式 式( 2 11 ) 是模拟域通用参数滤波器传输函数表达式，经双线性变换可得数字 域系统函数 21 北京邮电大学硕士研究生论文 h ( z ) 知7 驴+ q j 2 砸k 心1 ) 2 吒i ( n ) 2 m 2 ： e ( s ) ( 2 - 1 5 ) 式中l 为非0 有限值传输零点对数，c 。、c k 2 表示s 平面四点组，j 为四点组组 数，表示在0 频率零点的个数。我们在滤波器组中取通用参数滤波器为单调衰 减，不设置有限传输零点，即l = o ，则滤波器的系统函数可以写为( 包括通带幅 度等波动型和最大平坦型) ： 日( z ) -知7 必托1 ) 2 峨k 吒1 ) 2 坛2 ： e ( s ) ( 2 - 1 6 ) 在根据设计步骤得到通用参数滤波器的传输函数后，我们通过零极点来计算 滤波器的频率特性，这时需将滤波器日。q ) 表示成如下零极点形式： 也( z ) = c t ! n - l , 瓦z - r o 万“e i 舅 协 式中k 是零点，妒刀是极点，n 。是滤波器的阶数，c k 是常系数。当 z e j 。时，滤波器的幅度、相位和延时特性为 幅度：( 2 - 1 8 ) 相位：0 。以a r c t g 皇些尘玉芷嗑一爹口r c 留皇竺尘土王堕 ( 2 1 9 ) 同w s ，一，佣叫s 篇 s 埘一叫s 妒朋 延时： 吒。一等二垒! 堕丝i 二业+ 等二二垒竽丝= 兰芝) _ ( 2 - 2 0 ) 篇l 一2 c o s ( t o 一) + 篇l 一c o s ( o 口一驴朋) + 在滤波器优化设计过程中，四点组位置的变化将使滤波器传输函数发生相应 变化，其频率特性也需要根据式( 2 1 8 ) ( 2 2 0 ) 重新计算。 22 北京邮电大学硕士研究生论文 2 2 优化逼近算法 滤波器组幅度与延时特性逼近理想值需要通过一定算法实现。函数逼近问题 可以表述为：对函数类a 中给定的函数f ( x ) ，要求在另一类特定要求或便于计 算的函数类曰中，求函数p ) bca ，使p o ) 与f ( x ) 之差在某种度量意义下 最小。函数类a 通常是区间【口，6 】上的连续函数，记作c a ，b 】；函数类口通常是 代数多项式，分式有理函数或三角多项式。度量标准最常用的有两种，一种是 0 ，o ) 一p o ) l l 。= 罂譬i ，0 ) 一p o ) i ( 2 2 1 ) 在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近；另一种度量标准是 0 厂o ) 一m ) 0 ：= e ，o ) 一m ) 】2 出 ( 2 2 2 ) 用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平方逼近( 若为离散逼近，则将式( 2 2 2 ) 中的积分改为求和) 。本文采用的优化算法有一致逼近准则下的里米兹( r e m e z ) 算法和平方逼近准则下的麦夸脱( m a r q u a r d t ) 算法。 2 2 1 里米兹( r e m e z ) 算法 r e m e z 算法是用多项式逼近连续函数的最佳一致逼近算法。设f ( x ) e c a ，b 】 是目标函数，其有限阶最佳逼近多项式耳o ) 2 荟口：x i 拘n + 1 个系数口： ( k = 0 , 1 , a ，n ) ，最小偏差e 。，以及忍+ 2 个偏差极值点口z ： 工； z ：+ 2 b ，这总共孙+ 4 个未知数应满足方程 【厂o ：) 一群 ) 】2 = e ： ， o ：一口) o ：- b ) f 0 ：) 一耳o ：) 】；0 ( 2 2 3 ) ( 七= 1 , 2 ，a ，_ ，l + 2 ) r e m e z 算法是通过迭代求解上述方程组的方法，算法步骤为： 北京邮电大学硕士研究生论文 1 ) 选初值吒o ( k 一1 ，2 ，a ，n + 2 ) ，满足 口- x ? 工2 0 a 石 0 + 2 ；b 2 ) 根据已得，解n + 2 个未知数口o ，口。，人，a 。和e 的线性方程组 口o + 口l + a + 口 ：) “一( 一1 ) e 。- ， ：) ( 2 - 2 4 ) ( k 一1 , 2 ，a ，疗+ 2 ) 从而得到初始逼近多项式只o ) ；罗口。石及e 。 岗 3 ) 求出函数只g ) 一f ( x ) 的极值点( 或近似极值点) ，假设正好有刀+ 2 个点， 即 a x l i + 1 x i + 1 a x i + + 1 22 b 4 ) 重复步骤2 ) 和3 ) ，直到前后两组a 。在精度要求内相等为止 r e m e z 算法要求逼近函数为多项式，无论是单个滤波器的幅度与延时特性， 还是滤波器组复合幅度与延时特性，都不是多项式，因此需要将这些特性函数变 换形式。为便于说明，将这些幅度与延时特性函数统一记a ( o s ) ，它以四点组 c k l ，c 1 2 ( k = 1 ，2 ，人，j ) 为参变量。 为了应用r e m e z 算法，将彳 ) 围绕四点组的当前值c 一p 0 ，c 盟， k 一1 , 2 ，a ，用泰勒级数展开( 对各变量只取1 阶) ，即有 即m ( 训c 舟耋a a 嵋( t o 。) 瑚) + 耋掣一k j ) 、2 ( 2 - 2 5 ) 这样一来彳 ) 是各参变量的线性组合，就可以用r e m e z 算法逼近目标函数 ， ) ，要求逼近开始时爿 ) 在f ( w ) 的上下波动，并有一定数量的极值点。与 多项式还有一点区别是，a ( o j ) 没有常数项参变量，由于对幅度和延时特性的逼 近是期望平坦，给出的理想特性可能跟实际特性有整体差异，如图2 2 中所示的 s 。，因此除了2 个四点组参变量和偏差。外，另外设一个不随频率变化的常数 24 北京邮电大学硕士研究生论文 项参变量s 。，用作逼近函数与目标函数的平均差。这样式( 2 2 5 ) 就成为 荆一荆b ，+ 耋掣瑚) + 耋型o c k 2 。1 0 ) 峨( 2 - 2 6 ) q aa ( 9 7 + i ( 0 2 5 + 2 图2 2 彳( ) 的r e m e z 逼近 逼近时，首先在逼近区域 口，6 】设定初始极值点 a 一? 2 0 人 易+ 2 = 6 并由式( 2 1 6 ) 建立与式( 2 - 1 4 ) 相应的方程组： 他儿o + 耋掣+ 砉掣+ 掣帆删 一p 1 , 2 ，a ，2 j 222 7 ) = ， +( 这里掣= 1 。解方程组( 2 - 2 7 ) ，可得四点组的修正量c c 。：，以及瓯的修 正量a s 。，由修正后的彳 ) 求出新的极值点 a 一：“ 甜1 a ”i + 1 + 2 ；b 通过多次解方程组( 2 2 7 ) 和寻找极值点，可使彳) 对恒定值的逼近最大误差越来 越小，最后成为等幅波动。对滤波器组的幅度特性在逼近时可以不计入s 。，但 延时特性只有计入s 。才能取得较好的逼近结果。 25 北京邮电大学硕士研究生论文 2 2 2 麦夸脱( m a r q u a r d t ) 算法 高斯牛顿算法是一种最小平方误差准则下的离散逼近。 设逼近目标为万对离散值( 而，y f ) ( 1 = 1 ，2 ，人，n ) ，逼近函数y = p ) 包含胁 个待定参数b = ( b l , b 2 ，a ，k ) ，因此也可写为y p ( x ，b ) 一p ( x ，b l ，b 2 ，a ，b m ) 。b k 的第i 次迭代后值噬与最佳值k 之差为七 睇= 6 + i ，k - 1 , 2 ，a ，m ( 2 - 2 8 ) 经对p ，b ) 在噬附近用泰勒级数展开，并略去a 。的二次及二次以上的项，令误 差平方和对各钆的偏导数为0 ，则可得如下方程组： 其中 a r i a l + a 1 2 a 2 + a + 口h m a l y 口2 1 l + 口2 2 2 + a + 口2 _ 朋f f ia 2y(2-29) a a a m l a l + 口m 2 a 2 + a + 口m m - a j 砂 矿羹堕o b ；监o b j ( i ，m 2 a ，m ) 旷砉鲁 蹦 1 ，2 , a , m ， 毋。一p ( x ，6 i ，6 i ，人，b ) 喝o o b i j 而 6 i 叫 6 i - b ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 解式( 2 2 9 ) 方程组，即可得到对各吮的更新值。，使钆更接近最佳值k 。 为保证迭代收敛，m a r q u a r d t 对式( 2 2 9 ) 作了修正，增加了阻尼系数d ，式( 2 - 2 9 ) 变为 26 北京邮电大学硕士研究生论文 ( 口l l + d ) 1 + 口1 2 2 + a + 口拥朋。a l y a 2 1 a 1 + ( a 2 2 + d ) 会2 a + 口2 m m - a 2 y ( 2 - 3 2 ) a 人 a m l a l + 口。2 a 2 + a + ( 口。+ d ) 。一a 州 当d 一0 时麦夸脱法退化为商斯一牛屯贞法；只要d 足够大，则能保证f 次迭代后的 误差比迭代前小，除非当前的噬已是最佳值。 m a r q u a r d t 算法步骤： 1 ) 设定b k 的初值醒，并计算初始逼近误差q o ： q o - 砉l v l - p “，b o ，6 2 0 ，a ，醒) 】2 2 ) 根据式( 2 3 0 ) 和( 2 3 1 ) 计算口盯和口妒，并给d 赋初值。 3 ) 求解式( 2 3 2 ) 方程组，并修改以为 反1 6 f 1 + 。 4 ) 计算当前逼近误差q ： ：窆b，一p“，bl，b2qi r , 2 ，a ，甜 = 善b ，一p “，a ，蠢) j z 5 ) 比较修改钆前的误差q i 以与当前误差q 的大小，如果q i q - l 则将d 增大一定倍数，并重复步骤3 ) 一5 ) 6 ) 重复步骤2 ) 一5 ) ，直到| 。l 小于允许误差。 在对滤波器组幅度特性与延时特性优化时，首先应用m a r q u a r d t 算法实 现最小平方误差逼近理想特性，为进一步用r e m e z 算法使最大误差最小化创造 误差波动条件。如果m a r q u a r d t 算法逼近结果已经符合要求或者阶数太高无法形 成r e m e z 算法的初始条件，则即用m a r q u a r d t 算法优化作为结果。 2 3 本章小结 本章介绍了通用参数滤波器的基本理论和优化设计的方法。 27 北京邮电大学硕士研究生论文 引言 第三章ii r 型希尔伯特变换滤波器 如果数字传输系统是线性的，而且在所有频率上均无失真，则系统带宽在理 论上应是无限的。但是，在实际情况中，每个数字传输系统的带