（电力系统及其自动化专业论文）基于arm+linux的电力谐波检测算法实现.pdf

a bs t r a c t t h ei m p a c to fh a r m o n i c sh a sb e e nas e r i o u st h r e a tt os e c u r i t y ，e c o n o m i c ，a n d s t a b l eo p e r a t i o no fp o w e rs y s t e m t os o l v et h eh a r m o n i cp o l l u t i o nl i e si nt h ea c c u r a t e ， r e a l t i m et od e t e r m i n et h ec o m p o s i t i o n ，a m p l i t u d ea n dp h a s eo fh a r m o n i c s n o wt h e g e n e r a li n d u s t r i a lc o n t r o lc o m p u t e rh a sb e c o m ei n c r e a s i n g l yu n a b l et os a t i s f yt h e r e q u i r e m e n t so fh i g he f f e c t s ，h i g hr e a l - t i m e ，h i g hs t a b l ea n dh i g hr e l i a b i l i t yo f s y s t e m so p e r a t i o n ，a n db r i n g st ot h eh a r m o n i cm e a s u r e m e n te r r o r t h u st od e v e l o pa n e wg e n e r a t i o no fp o w e rh a r m o n i c sd e t e c t i o nd e v i c e sb a s e da r ma n de m b e d d e d l i n u x s y s t e mt om e e tt h e s er e q u i r e m e n t si sv e r yi m p o r t a n t a tt h es a m et i m e ，af r i e n d l yg r a p h i c a li n t e r f a c eb e c o m e sah o ti s s u e g r a p h i c a l u s e ri n p o w e rh a r m o n i c sd e t e c t i o nd e v i c e sh a ss u c hs p e c i a ld e m a n d sa sp r o c e s s i n d e p e n d e n c e ，n e t w o r kc o m m u n i c a t i o n s ，c r o s s - p l a t f o r m t h eq t e m b e d d e dh a s a d v a n t a g e so fc r o s s p l a t f o r m ，o b j e c t o r i e n t e d ，a n de t c ，s ot h es y s t e mw i l ls e l e c tt h e q t e m b e d d e da sas u p p o r t i n gp l a t f o r m ，a n ds o l v e di t sc r o s s p l a t f o r mm i g r a t i o na n d c h i n e s el o c a l i z a t i o n b e c a u s eo fs p e c t r a ll e a k a g ea n dp i c k e d f e n c ee f f e c t sa s s o c i a t e dw i t ht h es y s t e m f u n d a m e n t a lf r e q u e n c yv a r i a t i o n ，ad i r e c ta p p l i c a t i o no ft h ef f ta l g o r i t h mm a yl e a d t oi n a c c u r a t er e s u l t sf o rm e a s u r i n gh a r m o n i c sa n di n t e r h a r m o n i c s i no r d e rt oi m p r o v e t h em e a s u r e m e n ta c c u r a c y ，af r e q u e n c y - d o m a i ni n t e r p o l a t i o na p p r o a c hi sa d o p t e dt o d e t e r m i n et h e s y s t e m f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y , a n dt h ep o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n m e t h o di sa p p l i e dt or e c o n s t r u c tt h es a m p l e dt i m e - d o m a i ns i g n a l ，i ti sf o l l o w e db y u s i n g t h ef f tt oc a l c u l a t et h ea c t u a lh a r m o n i c c o m p o n e n t s t h e n ，t h e 行e q u e n c y - d o m a i ni n t e r p o l a t i o n i s a g a i na p p l i e d t of i n dt h ei n t e r h a r m o n i c c o m p o n e n t s t h es y s t e ms e l e c t e ds a m 7 4 3 0b a s e do nt h ea r mp r o c e s s o r ，o nt h i sp l a t f o r m ，t h e h a r m o n i cd e t e c t i o ns o f t w a r ei n c l u d i n gd a t aa c q u i s i t i o n ，f f ta n a l y s i sa n dg r a p h i c a l i n t e r f a c ei sd e v e l o p e d t h ei n i t i a lt e s t i n gp r o v e dt h a tt h es y s t e mc a nw o r kr e l i a b l ya n d h a sar e f e r e n c ea n dp r a c t i c a lv a l u e k e y w o r d s ：e m b e d d e dl i n u x ；q t e m b e d d e d ；i n t e r h a r m o n i c ；f r e q u e n c y - d o m a i n i n t e r p o l a t i o n i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其它个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律后果由本人承担。 储虢勘坪嗍：叩厂月讼日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 日期：护了年厂月面日 醐沙7 年j ，月沙日 第一章绪论 1 1 问题的提出 1 1 1 谐波及其产生原理 国际上公认的电力谐波含义是：“谐波是一个周期电气量的正弦波的分量，其 频率为基波频率的整数倍【1 1 。 在电网正常运行的情况下，电压u 随时间t 作周期性的变化，呈正弦规律， 它们的函数关系为： u ( f ) = 2 u s i n ( 国h 缈) ) = 2 冗f 式中u 一电压的有效值； 国一角频率； 厂一电网电压频率； 够一初相角。 u 、国、矽称为电压正弦波的三个基本要素，s i n c o t 称为基波。这种正弦的周 期函数进行加减微分和积分等数学运算时，其结果仍保持正弦周期函数的特点。 但由于非线性负荷的影响，使正弦波形发生畸变，其曲线形状可用一系列与 基波频率整数倍的不同频率的正弦波形叠加而形成。这些为基波频率整数倍的高 次频率波，统称为谐波或高次谐波。 非线性负荷和整流性负荷产生谐波的基本原理如下： 1 非线性负荷。交流电网中的谐波主要是由于非线性特性的负载引起的。正 常情况下，供电电压为纯正弦量，若供电给线性的纯阻性负载r ，则 u = a s i ng o t ，i = ( 么r ) s i n c o t ( 1 2 ) 式中彳r 一常量。 因此，u ，i 具有相同的正弦波形。 若纯正弦电压供给非线性的纯阻性负荷，即r = f ( t ) 这样电阻将随时间在变 化，则 i = ( 么r ) s i n 国，= 9 0 ) s i n c o t( 1 3 ) 由于函数g ( t ) 对s i n c o t 进行了调制，使得电流的波形发生了畸变。如果将非线 性负荷的电流波形进行傅里叶分解，可得到一系列的谐波与正弦基波。 2 整流性负荷。整流性负荷产生谐波的机理，主要基于进行电能交换的装置 是由半导体非线性元件组成的。这些半导体非线性元件可控( 或不可控) 地轮回 导通和关断，尽管由于电感的存在使这一过程并未发生突变，但造成了交流电源 电流回路的波形强行发生了变化，使得正弦波形产生畸变。 1 1 2 谐波来源及其危害 在电能的生产、传输、转换和使用的各个环节中都会产生谐波。主要有如下 几三种类型【。 铁磁饱和型，主要指各种带铁心的电力设备，包括变压器、互感器、电动机、 发电机等。 电子开关型，主要指各种交直流换流设备，如整流器、逆变器、开关电源、 双向晶闸管及其他可控硅开关设备等。 电弧型，主要指电弧炉设备和气体电光源设备，电弧炉在熔炼金属过程中的 非线性影响将产生大量的谐波。气体电光源包括荧光灯、卤化灯、霓虹灯等。 电力系统中谐波的危害是多方面的，概括起来有以下几个方面： 1 对供配电线路的危害 影响线路的稳定运行；谐波污染增大了中性线电流，引起中性点漂移。在低 压配电网络中，零序电流和零序性谐波电流( 3 次、6 次、9 次) 不仅会引起 中性线电流大大增加，造成过负荷发热，使损耗增加，而且产生压降，引起零电 位漂移，降低了供电的电能质量。 影响电网的质量；电力系统中的谐波能使电网的电压与电流波形发生畸变， 且会引起电网电压的降低，电网容量的浪费。 2 对电力设备的危害 对电力电容器的危害；当电网存在谐波时，电容器损耗功率会增加。对于膜 纸复合介质电容器及全膜电容器会产生电容器过电流和过负荷的现象。另外，谐 波的存在往往对绝缘介质起到加速老化的作用。 对电力变压器的危害；谐波使变压器的铜耗及铁耗增大，使电压的波形变差， 引起局部过热，振动，噪声增大，绕组附加发热等。 对电力电缆的危害；由于电力电缆的分布电容对谐波电流有放大作用，在系 统负荷低谷时，系统电压上升，谐波电压也相应升高。电缆的额定电压等级越高， 谐波引起电缆介质不稳定的危险性越大，更容易发生故障。 对电动机的危害；谐波对异步电动机的影响，主要是增加电动机的附加损耗， 降低效率，严重时使电动机过热。 3 对电力系统其他运行设备的危害 对断路器的危害；谐波会使某些断路器的磁吹线圈不能正常工作，断路器的 遮断能力降低，不能遮断波形畸变率超过一定限值的故障电流，对中压断路器截 断电感电流时可能发生谐频涌波电压和重燃现象，导致断路器触头烧损。 2 对消弧线圈的影响；当电网谐波成份较大时，发生单相接地故障，消弧线圈 对谐波电流将可能不起作用，在接地点得不到补偿，从而引发系统的故障扩大。 对载波通信的影响；高谐波含量对电力载波通信的干扰主要表现在语音通信 过程中产生噪声，数据传输失真，降低e m s ，d a s 实时数据的真实可靠性，造成 集中抄表系统中数据出错等故障。 1 1 3 谐波的标准 为了保证电网和用电设备的安全经济运行，目前许多工业国、国际电工组织 或一些大电力公司都制定了相应的谐波标准。我国于19 9 3 年完成了国家标准 ( g b t1 4 5 4 9 9 3 ) 电能质量公用电网谐波的制定并由国家技术监督局发布，于 19 9 4 年3 月1 日起正式执行。 检验谐波对一个电力系统的影响，可以按许多种因素建立标准并规定适当的 限额。其中的指标参数有： n 次谐波电压含有率以h r 玑( h a r m o n i cr a t i o 玑) 表示： ，厂 舰= 导x 1 0 0 ( ) ( 1 4 ) u 1 式中以为第n 次谐波电压有效值( 方均根值) ，u 为基波电压有效值。 n 次谐波电流含有率以舰l 表示： ， h r i = 挚1 0 0 ( ) ( 1 5 ) l 式中厶为第n 次谐波电流有效值( 方均根值) ，为基波电流有效值。 谐波电压含量和谐波电流含量分别定义为 f - u h = 研 ( 1 6 ) yn = 2 一 如= 露 ( 1 7 ) yn = 2 电压谐波总畸变率t h d ( t o t a l h a r m o n i c d i s t o r t i o n ) 和电流谐波总畸变率 t h d , ( t o t a l h a r m o n i cd i s t o r t i o n ) 分别定义为： ，r t h d u = 导x 1 0 0 ( ) ( 1 8 ) u i r 强哆= 等1 0 0 ( ) ( 1 9 ) i 我国的国家谐波标准( 简称谐波国标) 是在总结执行原水电部电力系统谐波 暂行规定( s d l 2 6 8 4 ) 的经验，系统地研究了标准的有关问题，结合国情并吸取 国外谐波标准的最新研究成果的基础上提出的。制定谐波国家标准的目的是把公 用电网地谐波量控制在运行范围内，以保证供电电能质量，防止谐波对电网和用 户的各种电气设备造成危害，保证电网及用户安全经济运行。 该标准适用范围是交流5 0 h z 、l l0 k v 及以下的公用电网及其供电的电力用 户，l1 0 k v 及以下公用电网谐波标准规定见表1 1 。 表1 1 公用电网谐波电压( 相电压) 限制 电网标称电压压电压总谐波畸变率 各次谐波电压含有率( ) ( k v )( ) 奇次 偶次 0 3 8 5 0 4 02 0 64 o3 21 6 1 0 3 53 02 41 2 6 6 1 lo2 o1 60 8 必须指出，标准中谐波电压仍以相电压中含量为准。实际测量表明相电压谐 波含量往往大于线电压谐波含量，尤其当中性点绝缘的系统中，由于电压互感器 特性影响，两者相差很大。 国标中对2 2 0 k v 电网未提出谐波电压限值，其主要原因是：2 2 0 k v 电网 地谐波电压直接受3 3 0 k v 或5 0 0 k v 电网谐波的影响，国内外目前还缺乏这种经 验。2 2 0 k v 电网的输电线路充电无功功率较大，在某些情况下难以避免对低次 谐波的放大。目前许多2 2 0 k v 电网使用的电容式电压互感器测量谐波电压误差 很大。直接用2 2 0 k v 电压供电的用户数相对较少。 虽然对2 2 0 k v 电网未规定谐波电压限制，但为了保证及1 1 0 k v 以下电网的 谐波电压不致超标，对2 2 0 k v 供电的用户仍有谐波电流限制。 1 2 电力谐波检测技术的发展现状和趋势 到目前为止，电力谐波的检测已经具有很长的历史了，最初的谐波测量完全 以谐波波形的记录数据和手工计算为基础的，不仅测量的精度很低，而且耗时多 【2 】 o 随着电子元器件的升级以及集成电路和微处理器的飞速发展，先后又研制了 精度更高的模拟式频谱分析仪和以微处理器为核心的数字式谐波分析仪。模拟式 谐波分析仪由于费时、精度低，目前在我国基本上己不常见，以微处理器为核心 的数字式谐波分析仪正被大量使用。 目f i i 我国以微处理器为核心的数字式谐波仪一般使用的是8 位微处理器，其 中以5 l 系列最为普遍。以9 6 系列为代表的1 6 位单片机使用还不是很普遍，而且 4 这种系列也多以8 0 9 8 使用的较多，且一般直接利用其芯片内的a d 转换模块， 采用定时采样的方式，因片内a d 的局限性，并不能实现真正的自动跟踪与同步 采样，因此不可能避免频谱泄漏的产生。 目前，在国外应用较多的是t i 公司生产的另外一种微处理器d s p ，d s p 具 有很高的运算速度和很大存储空间的高速寻址功能，但是价格贵，与之配套的开 发系统价格也不低，因而在我国的谐波测量仪中使用的还不多。但其发展前景广 阔。 高效率、高精度、低功耗的数字式谐波分析仪永远是人们青睐的对象。随着 低成本、低功耗的a r m 芯片的诞生以及其嵌入式应用领域市场领导地位的确立， 基于a r m 的嵌入式系统在谐波检测方面将被广泛应用，尤其是在多参数、多通 道的测试中非常具有开发研究意义。 在谐波检测的理论算法方面，目前大多数电能质量仪表和数字继电器采用以 f f t 为基础的算法来检测电力系统谐波成份。由于越来越多地使用电力电子负载， 大量的谐波和间谐波注入到电力系统中。另外由于电力系统中供需失衡，电力系 统的基本频率发生波动。当间谐波存在和系统的基本频率波动时，由于频谱泄漏 和截断误差的影响，直接应用采用固定取样速率的f f t 算法和选择不当的采样时 间窗口的频谱分析都可能导致不准确的测量结果。 过去，提出了很多用来分析电能质量信号的测量技术【3 儿4 】【5 】【6 】【7 】；然而，当系 统基本频率变化和被测量波形中含有间谐波成份时，这些方法可能遇到低计算精 度和低计算效率的问题。文献【7 】提出的以d f t 为基础的方法和f f t 截断方法在 谐波间谐波测量中引人注目，但当采用固定采样率时，同样不能兼顾高精度和高 效率。 为了有效的消除频谱泄漏产生的影响，可以在时域上重建采样波形，而在波 形重建中采用插值法是有必要的【8 】，插值法是通过邻近点的已知信号的加权平均 对未知信号进行估算的一种方法。文献 8 】表明，在波形重建中，应用插值多项式 是一种有效而且容易执行的方法。 在文献 9 】中，作者提出了一个基于频域插值法的算法，这种算法能准确确定 系统基本频率和整数倍谐波成份，但对间谐波的测量精度不高。基于此，本文先 用频域插值方法测量实际的电力系统基本频率，然后采用插值多项式方法得出和 实际基频相关的时域采样波形，把f f t 运用到重组波形中可以找到所有整数倍谐 波成分。接下去除重建波形中的整数倍谐波成份，同时把频域插值法再次用于间 级谐波分析，直到确定所有间谐波成份为止。 1 3 课题研究的目的和意义 首先，近年来由于大功率电力电子技术的发展以及它们的广泛应用，使得非 线性负载大量增加，产生大量电力谐波，它们己经严重危及到用电设备、变电站 设备和电力系统载波通讯等设备和系统的运行可靠性。如何减小电力谐波带来的 危害，是目前电力系统应用的重要问题，而解决这一问题的关键在于精确实时的 确定谐波的成分、幅值和相位等因素。这也正是本课题的研究重点。 其次，由于现代工商业及居民用户的用电设备对供电质量要求的越来越高， 因此，为了最大限度的减少谐波影响，谐波抑制及补偿装置的研制已势在必行。 这些装置准确实用有效的运行，从而达到理想的抑制和补偿效果，显然都是以准 确及时的谐波检测的结果为前提的【1 0 】【1 1 1 。 再次，随着信息化、智能化、网络化的发展，嵌入式系统技术广泛应用于工 业控制、信息家电、交通管理、农业、商业、服务业等各行业，己成为现代电子 产品设计的一大领域和方向【1 2 】。同时在计算机领域里面，微型化和专业化成为了 发展的新趋势，同样也需要嵌入式系统的支持。在谐波检测技术走向数字化的过 程中，对于微处理器的要求和系统软件以及应用软件的要求，随着实际应用的需 求也越来越大。 特别是近年来，基于a r m 的嵌入式系统在检测方面广泛应用，在3 2 位a r m 处理器上构建以嵌入式实时操作系统l i n u x 为平台的开发应用近年来颇多，但在 电力谐波检测装置方面的应用还不多见，这些研究显得十分必要，并将对今后电 力谐波检测装置的研究具有一定的参考价值。 1 4 本文所做的工作 根据电力谐波检测技术的发展现状和趋势，研究和设计了三相谐波滤波装置 模型。通过选用高性能的3 2 位a r m 芯片，运用嵌入式l i n u x 操作系统和快速傅 立叶变换，实现了高精度实时的电力谐波检测与分析。本课题的主要工作如下： 第一章，对电力系统中谐波产生的基本原理、危害、谐波研究的现状及本课 题所做的主要工作等做了介绍。 第二章，详细介绍电力谐波分析算法的基本理论，简单介绍了离散傅立叶变 换及快速傅立叶变换，并从理论上对频谱分析中的信号混叠、频谱泄漏和栅栏效 应的成因做了分析。在此基础之上，对传统的快速傅里叶算法做了改进，引入频 域插值法来获取系统的基本频率，然后运用3 阶牛顿多项式插值算法对采样信号 在时域上进行重构。最后给出基于a r m 的f f t 算法设计，以及牛顿插值算法参 考程序代码。 第三章，对嵌入式l i n u x 操作系统进行了介绍，研究了l i n u x 在a r m 上的 移植以及基于l i n u x 下的应用层的软件设计开发。 第四章，以目前在技术上领先的q t e m b e d d e d 3 3 5 系统作为电力谐波检测 仪的图形用户系统的支撑平台，并对q t e m b e d d e d 3 3 5 的分层结构、图形引擎 6 实现方式与特点、窗口管理系统模型以及其非常独特的信号与槽机制作了研究。 解决了q t e m b e d d e d 3 3 5 跨平台移植和中文化等问题。最后设计开发了该系统 针对谐波检测项目的主程序及人机界面程序。 第五章，总结了本文所完成的工作，课题创新及后续工作展望。 7 第二章谐波检测算法分析与实现 谐波检测伴随着交流电力系统发展的全过程，诞生了频域理论和时域理论， 形成了多种谐波检测方法，如模拟滤波、傅里叶变换、小波变换、瞬时无功功率 理论、广义d q 旋转坐标变换、神经网络等等。本章在简单介绍离散傅立叶变换 及快速傅立叶变换基本原理后，从理论上对频谱分析中的信号混叠、频谱泄漏和 栅栏效应的成因做了分析，并在此基础之上运用频域插值法和3 阶牛顿多项式插 值算法对传统的快速傅罩叶算法进行改进，最后给出了仿真结果及相关算法实现。 2 1 傅里叶变换 2 1 1 连续傅里叶变换 设厂( ，) 为一连续非周期时间信号1 3 1 ，若厂( ，) 满足狄里赫利条件及 f ( t ) l d t ( 2 1 ) 那么，( f ) 的傅立叶变换存在，并定义为 f ( c o ) = 厂( 缈) = if ( t ) e j 甜d t ( 2 2 ) 7 、，+ 其反变换为 厂o ) ：i ( 缈) ：毒1 【- c f ( 国弦脚衍 ( 2 3 ) 厂o ) = f ( 缈) 2 芴 ( 国弦删衍 ( 2 3 ) ，( 缈) 是国的连续函数，称为信号( r ) 的频谱密度函数，或称为频谱，它又可 进一步分成实部和虚部、幅度谱和相位谱，即 f ( 国) = r e 【f ( 彩) 】+ jl m f ( o ) 】( 2 4 ) i r ( 6 0 ) l = i r e 【f ( 缈) 】1 2 + i m f ( c o ) 1 2 ( 2 5 ) 跏= t g - 面i m f 丽( c 0 ) ) c 2 聊 式中f ( 功) 称为幅度谱，秒( 缈) 称为相位谱。从中可知，傅立叶变换的结果是连 续谱。 2 1 2 离散傅里叶变换( d f t ) 离散傅立叶变换( d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ，简称d f t ) 是数字信号处理中最 基本也是最常用的运算之一，它涉及到信号与系统的分析和综合这一广泛的信号 处理领域。取厂( f ) 在r ( 实数域) 上的离散点的值来计算傅立叶变换。实际当中实 现信号的频谱分析及其他方面的处理工作，对信号的要求是：在时域和频域应是 离散的，且都是有限长的。我们由此给出离散傅立叶变换( d f t ) 的定义。给定实 的或复的离散时间序列x o ，h _ l ，设该序列绝对可和，即满足 h o o ，则 x ( 尼) ：f h ( 玎) 】：n - i x ( 疗) p 一，等” ( 七：o ，1 ，一1 )( 2 7 ) 被称为 x ( 门) 的离散傅立叶变换( d f t ) 。而 x ( 刀) = 专篓x ( 七) p ，等”( n = o , 1 , - - - 一1 ) ( 2 8 ) 被称为 x ( 七) 的逆离散傅立叶变换( i d f t ) 。 式( 2 8 ) 中，n 相当于对时间域的离散化，k 相当于频率域的离散化，且他们都 是以n 点为周期的。而离散傅立叶序列 ( 七) 是以2 兀为周期的，且具有共轭对 称性。式( 2 7 ) ) 和式( 2 8 ) 又可表示为 x ( 七) = x ( 刀) 嘭 砌) = 专纂硼盯 2 厅 其中砜= p 叫可，称为碟形因子。因此对于离散傅立叶序列 x ( 七) ) ，我们可以 用矩阵的形式表述 ( 2 1 0 ) 由公式( 2 9 ) 可知，求出点x ( k ) 需要2 次复数乘法，n ( n 一1 ) 次复数加法。 实现1 次复数乘法需要4 次实数相乘及2 次实数相加，实现1 次复数加法需要2 次实数相加。当很大时，其计算量是相当大的，如n = 1 0 2 4 ，则需要1 0 4 8 5 7 6 次复数相乘，即需要4 19 4 3 0 4 次实数相乘。所需时间过长，难以“实时”计算。 因计算量太大而未得到广泛应用。 2 1 3 快速傅立叶变换( f f t 、) 快速傅立叶变换算法( f f t ) 最早由j w c o o l e y 和j w t u k e y 于1 9 6 5 年提出， 9 92 d d 一 肛 州 一 l l 仉 仉 = = 聆 七 ( 而；矗； 址 。 川 妒 l ；0 ；p 。肌；队 七 x p ，胪；帆 ，鬈：旷；旷 d d 一 m ；归 从抓；烈； 他们巧妙地利用w 因子的周期性和对称性，导出了高效的快速算法，即快速傅 立叶变换算法( f f t ) 。f f t 使点d f t 的乘法计算量由n z 次降为l 。g ：次。 以n = 1 0 2 4 为例，计算量降为5 1 2 0 次，仅为原来的4 8 8 。因此人们公认，f f t 的 问世是数字信号处理发展史上的一个转折点，也可以是一个里程碑【1 3 】。 自j w c o o l e y 和j w t u k e y 的快速傅立叶变换算法提出之后，围绕这一方法 的新算法不断涌现。迄今为止，快速傅立叶变换的发展方向主要是两个：一是针 对n 等于2 的整数次幂的算法，如基2 算法、基4 算法、实因子算法和分裂基算法 等；另一个是n 不等于2 的整数次幂的算法，它是以w i n o g r a d 为代表的一类算法， 如素因子算法和w i n o g r a d 算法等。下面主要介绍经典的c o o l e y t u r k e y 时间抽 取( d i t ) 基2 f f t 算法。 对于式( 2 8 ) ，令n = 2 m ，m 为正整数。我们可将x ( n ) 按奇、偶分成两组，即 令疗= 2 r 及胛= 2 r + l ( r = o ，1 ，噘一1 ) ，于是 n 2 in 2 i x ( 七) = x ( 2 ，) 暇睹+ x ( 2 r + 1 ) w n 2 h 1 ( 2 1 1 ) 由于式中孵：p 一等“：p 一最：，2 ，故上式又可以表示 n 2 一i n 2 一l x ( 七) = x ( 2 r ) w f v 2 删x ( 2 r + 1 ) w 荔2 ( 2 1 2 ) 令 砸) 2 委x ( 2 r ) w 荔2 ( 拈o , 1 , - - - , n 2 - 1 ) b ( 七) = 萋x ( 2 ，+ 1 ) ( 七= 0 ，1 ，一，一1 ) 那么 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) x ( 七) = 彳( 七) + 嘭b ( 七) ( 七= 0 ，l ，1 一，一1 ) ( 2 15 ) 彳( 后) 和b ( k ) 都是n 2 点的d f t ，x ( k ) 是n 点的d f t ，因此单用式( 2 15 ) 表 示x ( 七) 并不完全。利用碟形因子的对称性( 噼= 一蜕+ 7 2 ) 和周期性( 咙= 孵+ ) 容易 知道： x ( k + n 2 ) = a ( k ) 一孵b ( 后) ( 七= o ，l ，1 一，一1 ) ( 2 1 6 ) 这样一来，用a ( k ) 和b ( k ) 就可以完整地表示x ( k ) ( 前2 点用式( 2 15 ) 表示， 后n i2 点用( 2 1 6 ) 表示) 。n = 8 时，a ( k ) 、b ( k ) 及x ( k ) 的关系如图2 1 所示。 1 0 图2 1 n = 8 时，彳( 七) 、b ( 后) 及x ( k ) 的关系 由上分析可见，只要求出( 0 ，2 一1 ) 区间内各个整数k 值所对应的a ( k ) 和 b ( k ) 值，即可求出( 0 ，n 1 ) 区间内的全部工( 尼) 值，这一点恰恰是f f t 节省大量 计算的关键所在。由此，一个点的d f t 分解为两个2 点的d f t 后，计算 全部x ( k ) 共需( + 1 ) 2 n 2 2 次复数乘法和2 2 次复数加法，而直接计算 点x ( k ) 的d f t 需要2 次复数乘法和n ( n 一1 ) 次复数加法，由此可见，仅仅作了 一次分解，即可使计算量几乎节省一半。 x ( 0 ) x ( 4 ) x ( 2 ) x ( 6 ) x ( 1 ) x ( 5 ) x ( 3 ) 2 2 傅立叶变换误差分析 2 2 1 混叠现象 由离散傅里叶变换式( 2 9 ) 系数蝶的共轭对称性，即暇= 陈腑，可以看出 、，、，、，、，、，、，、，、， 0 q 0 “佑0 x x x x x x x x 、，、，、，、，、，、，、，、， q q q q a a a a b b b b 、，、，、，、，、，、，、， q 但 h $ x x x x x x x l x ( ) i = i x ( 七) i ，即幅频特性是与纵坐标轴对称的。由w n k 的周期性，即孵似+ = 嘭 及蝶”= 陈础= 略，可以看出i x ( + 七) i = i x ( n - k ) i = l x ( 七) i ，即幅频特性为周期 性的偶函数( 见图2 3 ) 。当采样点数为时，由式( 2 9 ) 仅给出2 个频谱分量的数 值。例如选取每周期1 2 8 个采样点时，只能得到6 4 个及以下的谐波幅值。 由此可以对采样定理作这样的解释：采样频率，：至少是原信号最高频率疋的 2 倍以上，即f 2 疋，采样才能正确地表述原信号的信息。通常将最高频率的2 倍频率2 疋称为奈魁斯特频率。由图2 4 可见，当采样频率低于奈魁斯特频率时， 原信号中高于疋2 的频谱分量将会在低于疋2 的频率中再现，即会出现频谱的混 叠，会使频谱分析出现误差。 图2 3离散频谱特性 图2 4频谱混叠现象 为了防止出现频谱的混叠，可先使原信号通过带宽低于，2 的低通滤波器， 滤去高于f 2 的分量。对这样的信号采样并作傅星叶变换，所得频谱不发生混叠。 这样原信号低于疋2 的频率分量能够得到准确的表述，但是在滤波的过程中将会 失掉高于f 2 的频率分量。因本系统中的原始信号频率相对稳定，工作在5 0 h z 左右，a d 的采样频率也远高于信号基频的2 倍，所以就无需设计前置的低通滤 波器。 2 2 2 频谱泄漏 在谐波测量中，所要处理的信号均是经过采样和a d 转换得到的数字信号。 设待测信号为x ( ，) ，采样间隔为不秒，采样频率z = 1 i 满足采样定理，即z 大于 信号最高频率分量的两倍，则采样信号为x ( 刀) = x ( n t , ) ，并且采样信号是有限长度 的，即n = o ，l ，一l 。也就是说，所分析的信号的持续时间为t = n t , ，这相当于 对无限长的信号做了截断一相当于给无限长的信号加了一个矩形窗，因而造成离 1 2 散傅立叶变换的泄漏现象【1 4 1 。 如果采样是同步的，泄漏频谱在整数次谐波点上的幅值为零。如果采样是非 同步时，泄漏频谱在非整数次谐波点上的幅值不为零，这时泄漏频谱将会引起频 谱分析误差。 考虑如下点频余弦信号 x ( t ) = e o s ( 2 x f t ) ( 2 17 ) 并将式( 2 1 7 ) 信号作截短，取区间( - y 4 i , ，彳) 。截短后信号的表达式为 砸) ：p 2 坼) 一娜 【0( 2 18 ) - c o s ( 2 x 石，) 兀( 孚) 对上式做傅里叶变换可以得到截短余弦信号的频谱为 州) = 硕5s i n c 等 + 砑5s i n c 等】 ( 2 1 9 ) 式( 2 1 9 ) 表示的频谱图如图2 5 所示。 们篓淤 _ w m 鲜 一旷q 。jl a 。 v = _ 上歹 v 芹7 v 一频妄 v ( f ) 图2 5截短余弦信号的频谱图 容易知道，未做截短的余弦信号频谱集中在厂= 斤和f = - 万处。而从图2 5 中可以看出，对余弦信号做截短后，它的频谱出现在整个频域上。这种频谱扩展 现象就称为频谱泄漏现象，也叫长范围泄露【1 2 】。f = 石和f = 一石周围主瓣的宽度 定义为频谱分辨率。当截短信号区间的宽度增加时，频谱分辨率变窄。 2 2 3 栅栏效应 从前面的分析可以看出，对信号作离散傅罩叶变换时，计算得到的频谱限制 为基频的整数倍，而信号频谱往往是全空问连续的，这就相当于通过一个“栅栏” 型的滤波器观看信号的频谱空间，只能在滤波器的通带处看到频谱真实的景象。 如果在两个通带之间有频谱分量存在，如不能作特殊的处理，将无法检测。在这 种情况下如图2 6 所示，离散傅立叶变换( d f t ) 无法测出信号的准确值，只能以临 近频率分辨值来代替，因此产生了栅栏效应，亦称短范围泄漏【1 4 儿1 2 】【16 1 。 x 。( 彩) 亨 ， ，印彳 ： 乍厂、飞一 妙影，。 ：扩v 缈 、 图2 6栅栏效应 栅栏效应对本系统有比较大的影响，因为我们想知道谐波分量的存在，而因 为栅栏效应的影响，我们必须精确的知道基频的大小，这样才能准确的计算得出 各次谐波的幅值。而实际上我们通过测量的办法得到的信号的频率与信号真实频 率之间总是存在误差的，加上电力信号本身的频率就存在着漂移，这样如果通过 对频率的测量确定采样周期，其取样长度也不再正好是信号周期的整数倍，这将 会对我们的分析带来误差。 插值算法可以消除栅栏效应引起的误差，而谐波间的泄漏引起的误差则需用 加窗的方法来消除。为了减小这两种泄露误差，获取系统实际频率及提高对各谐 波成份的测量精度，本文对快速傅里叶变换进行改进，下面详细阐述。 2 3 改进后的快速傅里叶变换算法 2 3 1 加窗插值f f t 法 到目前为止，已有多种函数窗被设计出来，如h a n n i n g 窗、b h 窗【1 7 儿1 8 1 及 卷积窗【19 1 。研究表明 2 0 1 2 1 】【2 2 】f 2 3 1 使用余弦窗最为适宜。经过比较各种窗函数的特 点，本文选择汉宁窗。汉宁窗也称升余弦窗或余弦平方窗，其单边表示为： w ( n ) = 抖c o s ( 和l删，1 ，2 ，一n 1 ( 2 2 0 ) 根据欧拉公式可得： w ( 刀) = 三一圭( 丢p j 百2 n 4 + 1 2p 等2 。2 2 。、 ：三一三p ，等万一! p 一，等” 在离散傅罩叶变换中，直接实现对输入序列x ( 玎) 的汉宁窗加权时，可不在时 域进行x ( 刀) 与w ( n ) 相乘，而在输出的频谱序列x ( k ) 上进行线性组合来实现1 8 】。已 1 4 知汉宁加权后的离散傅里叶变换l ( 七) 为： 扎( 七) = 2 x ， ( ，z ) e - i n 切 口一，一：1 i ；n ；- g i x ( 玎) p 一，警c 一1 ，”一弓 篓x ( ”) p 一，鲁c i + l ，2 2 2 由上式可知，汉宁窗加权的离散傅里叶变换输出x w ( 尼) 是序列x ( n ) 的离散傅 里叶变换x ( k 1 的线性组合，即 x 。( 七) = 圭x ( 七) 一丢x ( 七一1 ) 一丢彳( 七+ 1 ) ( 2 2 3 ) 凸 k 1 7 厂 、 i x ( k + 1 ) | i x ( k 一叫 t | j 一仆ik 一一 图2 7采样信号频谱 假定一信号经采样并加窗截断的序列为 x ( 门) = 4s i n ( 2 万f o 玎c + 死) w ( 刀) ( 2 2 4 ) n = 0 ，l ，2 ，n 一1 其中4 为振幅，兀为基频频率，唬为相角，乃为采样时间间隔，w 为窗i = 1 函 数【2 4 1 。 对上述信号做n 点f f t 变换，将频率变量fm 频率间隔，= 1 n r , 归一化【2 1 1 ， 并定义兄= f f r ，凡= f o z ，则得到信号频谱为( 如图2 7 所示) k ( 炉隽沙( 五一九)( 2 2 5 ) 五= 0 ，1 ，2 ，n 一1 在非整周期采样时，石不是，的整数倍，设 气= 彩= 七+ ( 2 2 6 ) 式( 2 2 6 ) 中，k 代表最大谱线振幅值对应的下标，k 与采样周期有关，是用 f f t 运算所得最大谱线振幅值与实际最大谱线振幅值( 图2 7 中虚线表示) 的偏移 p 力 0 “ 拳脚岽 距离。利用式( 2 2 5 ) 可求得l x 。( 七) i 和i k ( 七1 ) l 。 l e ( 七一1 ) 1 = 每l ( 1 + ) i l 以( 七) i = 要l ( ) l ( 2 2 7 ) i x ( k + 1 ) 1 = 每i ( 1 一) l 由文献【2 1 】可知，i 形( ) l 可以写成如下形式： 阶) j _ 端 ( 2 2 8 ) 令 一l 墨剑! 墨堡二剑= i 形( a ) i + i w ( i + a ) i 吖一i 以( 七) | + i k ( 后+ 1 ) i 2 l ( ) | + l ( 1 一) l ( 2 2 9 ) 刁兰2 + a i l ( 尼) i 和| 凡( 七1 ) i 的值可由式( 2 2 3 ) r 确定，实际运算当中可由实际的采样值确 a 兰2 1 - r ( 2 3 0 ) 1 + ，7 这样实际的系统频率以及幅值和相位便可分别由式( 2 3 1 ) 、( 2 3 2 ) 、( 2 3 3 ) 确定 了，详细推导可以参考文献【7 】。 f o = ，( 七+ a ) ( 2 3 1 ) = 面n a 业半鱼帆酬+ 2 m ) l - i - m 1 ) l 】 ( 2 3 2 ) 九= a r g ( x w ( | j ) ) 4 - 万2 - n a ( n 一1 ) ( 2 3 3 ) 2 3 2 多项式插值法用于重构波形 当得到系统的实际频率后，采样频率也要做相应的调整，这样采样波形需要 在时域中重建7 】【2 5 】【2 6 1 。 采样波形重建时，根据不同的点给定的值，插值多项式近似法适合在指定的 时间点寻找一个函数( 或信号) ，一般而言，鉴于分可等距或不等。考虑采取抽样 的特色后，等距抽样被发现更适合谐波和间级谐波测量。 1 6 图2 8 采样波形重建中插值多项式的应用 如图2 8 ，在连续的时间区域中，设置n + 1 个测量采样点，x o ，x l ，x 2 ， x n ，采样点之间的距离等值，采样频率z 预先设定，每个样本的值由虚线指明。 同时，实线指示的是实际采样频率下的样本值。然后每个时间区域上的函数采 样值，x - x o + s h ，取决于实际采样频率，而他是由下列插值多项式近似求得 厂