（电路与系统专业论文）扰动作用下递归神经网络稳定性研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 摘要 目前，递归神经网络稳定性理论是神经网络领域研究的热点之一。扰动在神经 网络实现过程中是不可避免的，扰动的引入使得递归神经网络具有更加复杂的动力 学特性，同时也对递归神经网络的应用产生一定的影响，情况严重时甚至会使网络 失稳，不能满足实际应用的要求，因此研究扰动作用下递归神经网络的稳定性具有 一定的理论和实际意义。本课题针对参数扰动和时滞作用下递归神经网络的稳定性 进行研究，以获得有效的稳定性判据，为递归神经网络的实际应用提供理论基础， 推动递归神经网络稳定性理论发展。 首先，采用l y a p u n o v 泛函法和常数变易法研究h o p f i e l d 神经网络中给出的电 阻、电容、电流之间的关系以及s i g m o i d 函数对网络稳定性的影响规律，得出仅由 物理模型参数构成的稳定性判据，从而弄清物理模型参数约束关系对h o p f i e l d 神经 网络稳定性所起的作用，在此基础上，构建了递归神经网络的扰动模型，并通过讨 论扰动模型解的存在性问题，给出递归神经网络扰动模型解的存在性定理。 进而，考虑时滞作为一种扰动，针对其对递归神经网络稳定性的影响，利用 l a s a l l e 不变原理和l y a p u n o v 泛函法，分别就与时滞相关和与时滞无关两种情况下 时滞递归神经网络的稳定性进行了研究，得出了两个稳定性判别的充分条件。这两 个条件含有多个可调整的参数，为时滞递归神经网络的实现提供更易实现的准则。 针对递归神经网络扰动模型中参数扰动对网络稳定性的影响，研究了参数扰动作用 下递归神经网络扰动模型的鲁棒稳定性问题，利用l y a p u n o v 泛函法得到参数扰动下 具有固定平衡点的递归神经网络鲁棒稳定性条件。并在不借助l y a p u n o v 泛函法的情 况下，利用矩阵量度理论研究参数扰动下具有摄动平衡点的递归神经网络鲁棒稳定 性问题，给出递归神经网络扰动模型的鲁棒稳定性判据，为递归神经网络鲁棒稳定 性的研究提供了一种新方法。 最后，考虑到物理实现的递归神经网络中一般同时具有参数扰动和时变时滞， 本文应用l y a p t m o v 泛函法和线性矩阵不等式理论，研究了网络在存在参数扰动和时 变时滞情况下的全局鲁棒稳定性问题，给出了递归神经网络扰动模型的鲁棒稳定性 判据，这些判据均是以线性矩阵不等式形式表示的，因而在实际中便于验证及计算。 另外，考虑参数扰动造成平衡点的摄动，对参数扰动和时滞作用下平衡点的偏移进 i 燕山大学下学博七学位论文 行了估计，以保证递归神经网络平衡点满足设计要求。 关键词递归神经网络；扰动；鲁棒稳定性；全局渐近稳定性；参数扰动；时滞； l y a p u n o v 泛函；矩阵量度 a b s t r a c t a b s t r a c t r e c e m l y , t h es t a b i l i t yt h e o r yo f r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k si so n eo f t h eh o tt o p i c si nt h e f i e l do fn e u r a ln e t w o r k s i nt h ei m p l e m e n to fn e u r a ln e t w o r k s ，p e r t u r b a t i o nc a l ln o tb e a v o i d e d w h e np e r t u r b a t i o ni si m p o r t e d ，r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sm a yh a v em o r e c o m p l i c a t e dd y m m i cc h a r a c t e r i s t i c i nt h em e a nw h i l e ，p e r t u r b a t i o nw i l la f f e c tt h e a p p l i c a t i o no fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sm a yn o tb es t a b l e u n d e rp e r t u r b a t i o ns ot h a tt h e yw i l ln o ts t a t i s f yt h en e e do fa p p l i c a t i o mt h u st h es t u d yo f s t a b i l i t yo f r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hp e r t u r b a t i o nh a si m p o r t a n tm e a n i n gi nt h e o r y a n dp r a c t i c e t h es t a b i l i t yo fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hp a r a m e t e rp e r t u r b a t i o na n d t i m ed e l a yw i l lb es t u d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o ni no r d e rt oo b t a i ne f f e c t i v es t a b i l i t yc r i t e r i a t h i sd i s s e r t a t i o nw i l lp r o v i d eat h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h ea p p l i c a t i o no fr e c u r r e n tn e u r a l n e t w o r k sa n dp r o m o t et h ed e v e l o p m e n to ft h es t a b i l i t yt h e o r yo fr e c u r r e n tn e u r a l n e t w o r k s f i r s t ，t h el y a p u n o vf i m c t i o n a la n dv a r i a t i o no f c o n s t a n t sm e t h o da r ea d o p t e dt os t u d y t h ee f f e c tt h a ts i g m o i df u n c t i o na n dt h er e l a t i o no f r e s i s t a n c e ，c a p a c i t a n c ea n dc u r r e n ti n h o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sh a v eo nt h es t a b i l i t yo fn e t w o r k s t h es t a b i l i t yc r i t e r i o n c o n s t r u c t e db yp h y s i c sp a r a m e t e r si so b t a i n e d t h u sh o wt h ec o n s t r a i n e dr e l a t i o no f p h y s i c sp a r a m e t e r sa f f e c t st h es t a b i l i t yo f h o p f i e l f n e u r a ln e t w o r k si sc l e a r b a s e do nt h e s t u d ya b o v e ，t h ep e r t u r b a t i o nm o d e lo f r e c u r r e mn e u r a ln e t w o r k si sc o n s t r u c t e d a n dt h e t h e o r e m s o f t h ee x i s t e n c e o f s o l u t i o n o f p e r t u r b a t i o n m o d e l a r e p r e s e n t e d f u r t h e r m o r e t i m ed e l a yc a nh es e e na sap e r t u r b a t i o n t h ee f f e c tt h a tt i m ed e l a yh a s o nt h es t a b i l i t yo fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k si se o m i d e r e d u s i n gl a s a l l ei n v a r i a n c e p r i n c i p l ea n dl y a p u n o vf u n c t i o n a l , t h es t a b i l i t yo fd e l a y e dr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k si s s t u d e d a n dt h ed e l a y - i n d e p e n d e m s t a b i l i t y c r i t e r i o na n dd e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t y c r i t e r i o na r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l y t h e s ec r i t e r i ah a v er o u t i - p a r a m e t e r sw h i c hc a nh e a d j u s t e d t h u st h e s ec r i t e r i aa r ee a s yt ob eu s e df o rt h ei m p l e m e n to fr e c u r r e n tn e u r a l n e t w o r k s c o n s i d e r i n gt h ee f f e c tt h a tp a r a m e t e rp e r t u r b a t i o nh a so nt h es t a b i l i t yo f r e c u r r e n tn e u r a ln c t w o r k s ，t h er o b u s t s t a b i l i t yo fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t h p a r a m e t e rp e r t u r b a t i o ni ss t u d i e d l y a p u n o vf u n c t i o n a la r eu s e dt oo b t a i nt h er o b u s t 1 1 1 燕山大学t 学博七学像论文 s t a b i l i t y c o n d i t i o n o f r e c u r r e n t n e u r a l n e t w o r k s w i t h i m m o v a b l e e q u i l i b r i u m p o 缸u s i n g m a t r i xm e a s u r e ，t h er o b u s t s t a b i l i t y o fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hm o v a b l e e q u i l i b r i u mp o i n ti ss t u d i e d c o r r e s p o n d i n gr o b u s ts t a b i l 酊c r i t e r i aa r eo b t a i n e dw i t h o u t t h eu s eo fl y a p u n o vf u n c t i o n a lt h u san e wa p p r o a c hi sp r o v i d e df o rt h el e o b u s ts t a b i l i t y s t u d yo f r e c u r r e n tl l e u l a n e t w o r k s f i n a l l y , c o n s i d e r i n gt h ee x i s t e n c eo fb o t hp a r a m e t e rp e r t u r b a t i o na n dt i m ev a r y i n g d e i a yi nt h ei m p l e m e n to fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s ，t h eg l o b a l l yr o b u s ts t a b i l i t yo f r e c u l t e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m ev a r y m gd e l a ya n dp a r a m e t e rp e r t u r b a t i o ni ss t u d i e d , u s 魄l y a p u n o vf u n c t i o n a la n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y as e r i e so fr o b u s ts t a b i l i t y c r i t e r i aa o b t a i n e d n l e c r i t e r i aa r ei nf o r mo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y t h u si ti s c o n v e n i e n t 壶ov a l i d a t et h er o b u s ts t a b i l i t yo f r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k su s i n gt h e s ec r i t e r i a + i na d d i t i o n , c o n s i d e r i n gt h en l o v eo fe q u i l i b r i u mp o i n tc a u s e db yp a r a m e t e rp e r t u r b a f i o n a n dt i m ed e l a y , t h eo f f s e to fe q u i l i b r i u mp o i n ti se s t i m a t e di no r d e rt og u a r a n t e et h a tt h e e q u i l i b r i u m 筘酶s a t i s f i e st h en e e do f d e s i g n k e y w o r d sr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s ；p e r t u r b a t i o n ；r o b u s ts t a b i l i t y ；g l o b a l l y a s y m p t o t i cs t a b i l 娃y ；p a r a m e t e rp e r t u r b a t i o n ；t i m ed e l a y ；l y a p u n o v f u n c t i o h a l ；m a t r i xm e a s u r e w 燕山大学博士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的博士学位论文扰动作用下递归神经网络稳定 性研究，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读博士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果。据本人所知，论文中除己注明部分外不包含他人已发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签字：高鲁宪日期：2 一i 年1 1 月弘日 燕山大学博士学位论文使用授权书 扰动作用下递归神经网络稳定性研究系本人在燕山大学攻读博士学位 期间在导师指导下完成的博士学位论文。本论文的研究成果归燕山大学所有，本 人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。本人完全了解燕山大学 关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件 和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权燕山大学，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密晒。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 高i 自宾 日期：一2 年1 1 月3 0 b 导师签名：日期：现始年，鼻k 日 第 章绪论 1 1 课题背景及意义 第1 章绪论 随着信息科技高速发展，信息的获取、处理、存储和传输问题将成为影响人类 社会发展的关键因素滂i 于储息分布存储、高速并行处理( p d p ) 的人工神经网络( a n n ) 是由大爨麓攀戆处理单：琵缀成戆劳 亍互联嬲终，怒高度菲线性、自邂疲、宣组织、 鑫学习鹣系统，襞够模摈黛貔神经系统对奏实擞赛物薅瑟终密静交赢反应，吴有撮 高的智能性。与冯诺依曼计算机相比，神经网络更加接近人脑的信息处理模式，主 要表现农以下几个方面【1 】：能够直接处理连续的模拟信号，例如连续变换的图像信 号；能够处理不精确的，不宪全的模糊信息； 翳诺依曼计算机给出的是精确解，神 经燕终绘爨豹是次最燕戆溪懑鳄；秘经霹络势磐分毒王薅，各令缀威部分露薅参与 运算，肇个神经元的响应遴发不侠，但是网络总体的处理速度极抉 神经网络具有 较强的容错性，在只有部分输入条件，甚至包含了错误输入条件的情况下，网络也 能给出藏确解；神经网络在处理自然语言理解，图像识别，智能机器人控制等方面 具有独到的优势。可以看出，神经网络突破了以传统的线性处理为熬磴的数字电子 诗算爨豹弱陵，标恚若久秘开始考虑嚣嚣毂虢象存熬 线往篷赛，搽索帮磷究诸 如人脑等复杂的巨系统。 人工神经网络从其出现伊始，即赢得了学术界及各级政府、企北的广泛关注， 美国国防部d a r p a 甚至搬神经网络看作是“解决机器智能问题的唯一希望，曾经 投资4 纭荧元送行一项专孛经诗奠梳诗刘；日本怒予章枣经网络硬究豹投资甚至达到了 美国静4 倍；欧共同傣静嚣s p t 计划瘸予磷究“神经网络在欧灏工觳中豹应用”豹 项目中，缴产神经网络专用芯片的投资也达到了2 2 0 0 万美元。而许多著名的国际公 司，如i b m 、i n t e l 、s i e m e n s 、t r w 、h n c 、a 1 戡t 等，也积极地加入了对人工神经 网络产懿的开发和研究。作为“联结主义”革命馁的代表，神经网络网慧于符号主义 熬久王絮蕤专家系统帮墓芎：滋纯论静天王生余萼警共嚣季垂残寒寒餐繇壤论磅突懿主要 领域嘲。 递i 罔神经网络的研究始于1 9 8 2 年h o p f i e l d 神经网络的提出【3 1 ，时至今日已经形 成了具肖艇杂动力学行为的h o p f i e l d 神经网络、细胞神经网络、c o h e n - g r o s s b e r g 神 燕山大学t 学博十学位论文 经网络等。经过多年的研究发展，递归神经网络的理论与应用的研究取得了突破性 进展。递归神经网络理论体系正在逐渐建立，并且不断的完善。产品化的神经芯片、 神经计算机及神经算法已经成功地应用于复杂控n t 4 j 、通讯5 1 、导航【6 1 、模式信息处 理【刀和模式识别【8 l 、信息的智能化处理【叼、系统分析和预测等各个领域，直接或间 接创造了巨大的社会经济效益。 从动力系统来看，递归神经网络是一个由大量的非线性元件通过广泛作用所构 成的多级系统，正是由于各级层次上系统的非线性，使其上一层次具有下一层次系 统所没有的一些“涌现性质”( e m e r g e n tp r o p e r t y ) ，从而使递归神经网络的功能表现出 极大的复杂性。也正因为如此，在递归神经网络的各个层次上都有着大量的非线性 动力学问题。递归人工神经网络是采用物理可实现的系统来模仿生物神经细胞的结 构和功能的系统，如果这种模仿做得好，它必然接近于生物神经网络系统所具有的 动力学性质。递归人工神经网络模型对于神经生物学性质模仿的越好，就越能体现 出复杂的动力学性质，一般地说，递归神经网络的动力学研究经常是紧跟着生物神 经网络的动力学研究而进行的。因此，无论是生物神经网络还是人工神经网络，当 对于它们的动力学模型以及其中的非线性动力学问题研究获得新的进展时，这些神 经网络系统的性质，功能及应用也就有了强有力的理论支撑，也就能被广泛引用及 采用。因此，对递归神经网络动力学性质的研究将有力地推动神经网络理论的发展。 递归神经网络动力学行为的研究是从美国加州技术学院的物理学家h o p f i e l d 提 出采用能量函数解决h o p f i e l d 神经网络稳定性问题开始的，他通过采用广义能量及 l a s a l l e 不变性原理给出了十分重要的动力学分析的结果，其核心思想是递归神经网 络动力学模型中的流随着时间的增加最终收敛于一个平衡点集。这就为联想记忆及 优化的性能与功效提供了强有力的理论基础，又为实际的应用提供了可靠的依据， 从而使递归神经网络的理论研究进入了一个新的高潮时期，形成近代科学发展的一 个热点。递归神经网络的应用是与其动态性能紧密相连的，例如：h o p f i e l d 网络用 于优化时 1 h ，要求网络只具有唯一的一个平衡点，该平衡点对应于待求解的目标， 而且随着时间的增长，要求网络的所有状态都趋近于这个平衡点，从数学上看，就 是要求网络必须是全局稳定( 渐近稳定或指数稳定) 的；细胞神经网络用于图像处理 时1 1 2 】，希望网络的平衡点尽可能的多，这样可以将处理后的结果存储于这些平衡点 上，而且网络的状态在长时间后也要趋近于某个平衡点，这对应于系统是完全稳定 的；细胞神经网络用于保密通讯时i ”】，要求网络是混沌的，这样可以利用混沌的高 2 第 章绪论 度复杂的伪随机性进行加密。所以，自1 9 8 2 年掇出了h o p f i e l d 模型以来，神经网 络的动态行为( 主要是指稳定性、极限环以及混沌) 的研究一直在神缀网络理论研究 中占有鬟要静缝位，许多国际性的权威杂志，如；n e u r a lc o m p u t a t i o n ，n e u r a l n e t w o r k s ，l e e et r a n s a c t i o n so nn e u r a ln e t w o r k s ，i e e et r a n s a c t i o n so nc i r c u i t sa n d s y s t e m s 等每年都有大量的宥笑递归神经网络动态特性的论文出现。 递归神经网络稳定性理论及其应用研究飞速发展，并与其它许多学科领域相互 渗透。数学中许多分支己被用于递归神经网络稳定性的研究，如矩眸论、群论、泛 函分携、缝合数学、嚣算数学、据羚学、概率论以及数理统诗、微分a 舞乃至蓬畴 理论釉符鼍构造等【瑚。 在神经网络实现过程中，扰动是不可避免的，特别是参数扰动芹时滞，其存在 将会对网络的稳定性产生影响。本课题针对扰动作用下递归神经网络稳定性理论进 行研究，邋过对递归神经网络扰动作用下模型的建立，给出根据譬遍意义的递归神 经网络援黧，势在筵羹疆上缮潦参数魏动帮舞渗铭惩下递羟襻经瓣终豹稳定缝判蠢， 不仅有助予理解递归神经网络理论的依据与背聚，而且提供应用的蒸本思想及可能 的途径。本课题的研究将推动计算机科学，人工锗能与模式识别领域的发展，对涉 及复杂的锷能计算与检索，图像识别，智能检测和控制的工业生产，国防，医学等 领域其鸯定鲍应孀徐僵。戮救，本谋题的研究爨蠢一定斡理论及现实意义。 1 2 递归神经网络稳定性研究现状 递归神经网络稳定性理论是目前人工智能领域研究的热点之一，h o p f i e l d 神经 网络、c o h c n - g r o s s b c r g 神经阕终积细胞耱经瞬终怒递魍型裤经网络豹典墅代表。这 些弼络豹疲瘸与其动力学特瞧紧密联系，困托零麓对上述模型述孝予筒挚奔绍，著详 细阐述目前扰动作用下递归神经网络的研究现状。 1 2 1 典型递归神经网络模型 递麴享枣经瘸终是获1 9 8 2 冬美嚣麓蛹戆理学豢h o p f i e l d 撵密了h o p f i e l d 孛争经爨 络模型、能量函数及网络稳定性等概念之后才真正发展起来的。下两我们分别对 h o p f i e l d 神经网络，细胞神经网络和c o h e n - c j r o s s b e r g 神经网络的动力学模型进行简 单介绍。 3 燕山大学t 学博士学位论文 1 2 1 1 h o p f i e l d 神经网络h o p f i e l d 神经网络是递归网络中最简单且应用最 广泛的模型。在反馈网络中，输入信号决定反馈系统的初始状态，然后系统经过一 系列状态转移后，逐渐收敛于平衡状态。这样的平衡状态就是反馈网络经计算后的 输出结果。由于其具有极为丰富的动力学行为和整体计算能力而倍受关注，目前已 经广泛地应用于解决诸如模式识别、联想记忆和优化等问题1 1 5 1 。 连续型h o p 丘e l d 神经元模型如图1 一l 所示。图中电阻如和电容c 并联，模拟生 物神经元的延时特性。电阻置，( = 1 , 2 ，n ) 模拟突触特性。运算放大器，是一个非 线性放大器，模拟生物神经元的非线性饱和特性( s i g m o i d 形激活函数) 。连续型 h o p f i e l d 神经网络的v l s i 实现电路如图1 2 所示。 工 蟛 u 蛭 图1 - 1h o p f i e l d 动态神经元模型 f i g 1 1m o d e lo f d y n a m i ch o p f i e l dn e u x o n 图1 - 2 连续型h o p f i e l d 神经网络的v l s i 实现电路 f i g 1 - 2v l s ic i r c u i to f c o n t i n u o u sh o p f i e l d n n 4 第1 苹绪论 神经元激活函数为 一2 f ( u ，) 2 斋。( 1 - 1 ) 选s i g m o i d 形函数为激活函数也是为了克服放大器的饱和特性，设放大器为理 想放大器，其输入端无电流流入，利用基尔霍夫电流定律可得第i 个放大器的输入 方程应为 c 。d 卉u , ：一f u i + 窆毛( 巧一u ，) + ( 1 - 2 ) 办 民智” “ 式中，毛2 百1 。 设瓦：2 匆，i 万1 = 乃。当e = 1 时，上式可改写为 鲁= _ 6 f 蛳+ 喜硼吩f = 1 ，2 ，以 ( 1 3 ) 1 2 1 2 细胞神经网络细胞神经网络简称c n n ( c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k ) ，是由美 国加州伯克莱大学的l o c h u a 和l y a n g 提出的【1 6 1 ，是一个具有实时信号处理能力 的大规模非线性模拟电路，像细胞自动机一样，它由大量的神经元组成，并且只允 许最邻近的细胞之间进行直接通信，非近邻神经元之间不直接相连。细胞神经网络 最显著的特征是它的连续时间特征允许在数字域内实现实时信号处理以及它的局域 连接特征特别适合于神经网络模型的v l s i 实现。 对于图1 - 3 所示的电路，利用基尔霍夫电流和电压定律，可得到每个人工细胞 单元满足下列的状态方程： c ! 学= 一击( ，) + 州荟筹_ 列) ，( f ) + 砌，荟器。彬) ，+ ，( ) 式中，l f ，行；l ，栉。 输出方程为 输入方程为 c 0 ：r x 0 。 ，= i ( i v m ( t ) + 4 一l ( 。一l i k 口= 毛，1 ，s 删；1 ， 5 ( 1 5 ) ( 1 - 6 ) 燕山大学工学博士学位论文 约束条件为 | p 0 ( o ) l 1 ，1 i m ；1 茎j 栉 ( 1 - 7 ) i 吒f l 1 ，1 f m ；1 j 栉 ( 1 - 8 ) 系统的对称条件为 a ( i ，j ；k ，) = a ( k ，l ；i ，_ ，) ( 1 9 ) l i ll l ，南c = 一卜 d + 9 0 ) ， “0 ( 2 5 ) e r 下面针对如式( 2 - 3 ) 所示h o p f i e l d 原文中有明确物理意义的约束条件，以及 s i g m o i d 函数、电容、电流对网络稳定性所起作用展开研究。 以下研究可以视式( 2 - 1 ) 不含时滞的h o p f i e l d 神经网络为式( 2 2 ) 含有时滞的 1 6 h o p 氏l d 神经网络的一个特例，即f 。= o ，故主要对式( 2 - 2 ) 描述的时滞h o p 丘e l d 神经网 络模型进行研究。 2 2 1 1 举衡位置站= o 的稳定性在外加电流上，= 0 ，v i ，则狂。o 是平餐位置， 餐魂邀藤约索等式0 - 3 ) 霹叛褥蔽( 2 一棼改写为 掣= 一矗触骞击，) ) = 一击隆击+ 舟( f ) + 言寺 h 胁 叫q o + 芝屯g ，0 ，e - - l r v 式中，q 。击喀击+ 去 ，w ； 。索一如 下筒针对h o p f i e l d 神经网络模型在平衡位置“= 0 的全局指数稳怒性、全局渐进 稳定性和不稳定性进行研究。 ( 1 ) 瓣o p 磊e l 鑫毒孛经网终黪全髑爨数稳定往下甏绦出只舍有 h o p f i e l d 神经瓣络众局指数稳定经定疆2 。1 ，芽对定理2 ，l 麓以证萌。 定理2 1 ：若下列条件完一成立 奎一。j ，- 1 v i ； 茚1 砉b 一剖，v ； 则式( 2 6 ) 农平衡位置“= o 全局指数稳定。 证明：由常数变易法公式，可知时滞h o p f i e l d 神经网络的通解为 从而 辑) m e - a o - t o ) g l o ，+ 肛善n 毛彰0 ，h 胁贮。 帆f o ，l 妒h 忆i e 劬川砉鹕p ，h 松 ( 2 - 8 ) 燕山大学1 = 学博士学位论文 令 则有 只) 妒卅p 舡j 酗n 酏g _ 】出t _ t o , v i ( 2 9 ) 岸如删+ 挚色，h ) ) v ，( 2 1 0 ) 【z 。( f ，甜。) = 川t t o ， 由定理2 1 中条件可知，存在0 窆型v f ( 2 - 1 2 ) c ，p ，篇c , r 。 a l g 卢 r l f2 e a z f 2 - 1 3 ) f 2 1 4 ) 哗如。嘞，+ 骞鹕叩( f 1 ) v ，( 2 - 1 5 ) 7 , “) = e a o m 由文献【8 4 】可知，式( 2 - 1 5 ) 的零解渐近稳定的充要条件是： 【( 一口，+ ) 占，+ 屯卢，】。( 2 - 1 6 ) 是一个h u r w i t z 矩阵，其中 铲 ：曷“乩川 一 气 疋 l ￥ ， 。一 卜j训淋 v i 学籼 d e t i t 0 8 ，+ q ，一s 弘j 一_ ；b ，f m 。j o ，v t o r ( 2 1 7 ) 当定理2 1 的条件成立时，利用矩阵的行对角占优条件式( 2 1 3 ) 及著名的 c , r o s h g o r i n 圆盘定理可知式( 2 一1 6 ) 成立。又因为 如+ q s 卜竞阮岛e 咖| 2 t r e ( i 。o + 岛一嚣l 一主b 髯e 咄嘞| = j = l，- l k s 卜卢， 0 ，v f ( 2 - 1 8 ) j # l 仍然剿瘸如式( 2 - 1 3 ) 掰零黥矩阵幸亍对角占优条彳警及g r o s h g o r i n 隧焱定理，可知式 g - 1 7 ) 毽成立。藏式( 2 _ 1 5 ) 楚零织全局指数稳定鹣。 由比较原理有 k ( f ，t o ，】咒( f ，t o ，) ，f 。，l u 。= v f ( 2 1 9 ) e 1 嘞k 毒，t o ，# 岛k | ； 式( 2 一1 9 ) 说明式( 2 6 ) 是零解众局指数稳定的。 当定理2 1 的条件成煦时，利用矩阵的列对角占优条件及c r r o s h g o r i n $ l 盘定理， 可知式( 2 - 1 6 1 显然成立。又戮必 舾+ q s f - 乏k 岛e “。| l 轴托一e l 一萎n 阶e 叫( 2 - 2 0 ) 臣- s l - 反 o 故式( 2 - 1 7 ) 成立，类似于式( 2 1 9 ) 的推导过程可知结论为真。定理2 1 得证。 根搬定理2 1 的结论，可谶一步给出推论2 1 如下。 攫谂2 m 当蔓，) = 织曛，) ，￥i 或蔓囊，一再：一j 1 ，v i ，袋稼固鹣| f = o 墓 是全局指数稳定的，因为此时，前者蕴涵声，= l ，v i ，衰减的l y a p u n o v 指数可取为 m 。i 。n - p l ，1 q ，后者蕴涵鼠= j 1 ，v f ，衰减的l y a p u n o v 指数为翟觋石1 百+ 三。当 1 9 一 燕山大学r = 学博七学位论文 g ，u ，) ；g 以) ，v i ，定理2 1 条件中卢，= 卢，v i ，更易验证。 由定理2 l 中的的条件和可知，两个条件互不包含，条件与电容c j 无关， 条件与电容e 有关。 ( 2 ) h 叩丘e l d 神经网络的全局渐近稳定性 下面研究物理参数对h 0 p f i e l d 神经网 络全局渐进稳定性的影响，给出h o p f i e l d 神经网络在平衡位置“；o 的全局渐近稳定 性定理2 2 如下所示。 定理2 2 ：若下列两条件之一成立 矿1 骞 南一寿 ，； 一p f j - 1 ，v ，。 则式( 2 6 ) 所描述的时滞h o 硼e l d 神经网络在平衡位置砧：o 是全局渐近稳定的。 证明：若定理2 2 中条件成立，构造网络模型的正定径向无界的l y 印u n o v 泛函 如下式所示。 矽2 烈+ 毫c 封g ，o ，咖 卿， 利用s 垃i n o i d 函数g ，u ，) 的性质，可知，当虬毋o ，有 融0 ，】 卢 ( 2 - 2 2 ) 故当u = 0 ，有 。+ 矿o r ) i ( 2 - 4 ) 0 ( 2 - 2 7 ) ( 2 2 8 ) ， 卜啊；啊 ，。l = 肝 日 燕山大学工学博士学何论文 h s = 啊，一h , j 0 ( 2 2 9 ) j = l ，f 故 如上面所证，j ， 0 ，i = 1 , 2 ，疗，使得 即 从而 即 ，h u - ，h v = 0 ( 2 - 3 0 ) ( 2 3 1 ) jh 。一 ，8 厂 ，= 0 ( 2 - 3 2 ) t = l j ，v ，- x ，h v 0 r 2 3 3 ) 文古咭寿一旦r s s c s 垮专景 弘s 。， 总之，定理2 2 中条件成立，蕴涵着存在正数g ，( f = 1 ，一) ，使得式( 2 2 8 ) 成立。 现对式( 2 6 ) 作满秩线性交换，得 则式( 2 6 ) 变为 二= 纰一) “ ( 2 3 5 ) 掣= 一壶葚+ 喜杀佶( 玑1 ) p s s ， 显然，式( 2 6 ) 与式( 2 3 6 ) 在平衡位置；：“：o 的稳定性是等价的。 构造式( 2 3 6 ) 的正定径向无界l y a p u n o v 泛函如下 。p厶一川 = s一 = 。 第2 章扰动对递归神经网络稳定性影响的研究 方( 二，r ) = 乳。幢乳矗毋o ，g 脑 p s 乃 当“o ) 0 时，有 撕( 砧：庐一喜去川+ 喜言封g 枷 一言抖( r 幢j = l 窆j = l 烈，d i fi 矶| - 喜( _ 去一萎去+ 善嘉帆郴。 故定理2 2 结论成立。 从定理2 1 和定理2 2 很容易得到，h o p f i e l d 神经网络不稳定的必要条件是s i g m o i d 函数在甜= o 处有最大斜率满足卢，1 。 ( 3 ) h o p f i e l d ；冲经网络的不稳定性下面研究物理参数在满足何种条件时 h o p f i e l d 神经网络在平衡位置“= 0 是不稳定的。 定理2 3 ：若下面两条件之一成立： 吉p 嘻 r 鲁r 川，篇f7 7 去 盟r i , ，mb 篇 7 瓦1 喜 告一去卜 则式( 2 1 ) 所描述i 拘h o p f i e l d 神经网络在平衡位置u = 0 不稳定。 证明：若定理2 3 中的条件成立，将式( 2 - 1 ) 在原点u = o 处线性化，其线性化 模型可表示为下式 鲁= 一击陲专+ 外+ 喜爵， 函s ， 现证式c 2 羽，的系数矩阵4 g ，) = 一击陲击+ 去一鲁 占，+ ( 1 一毛喙l 至少有 一个特征值具有正实部，先证至少有一个特征值，有r e a 0 。 用反证法证明上面结论，设对所有特征值有州4 ) o ，i = 1 ，2 ，一。使得 吉( 喜击+ 瓦i rp 一鲁r 一 善若cr 妒， c 2 4 。， ei 匀， r 厂匀，。“ 令缸2 吣 。，故有 上c k 陲去r + 去一惫弘t 萎爵， c z 4 - ， 三b p kr ) 1 墨c k r b 击( 跨去一矧 蓑鱼缸旦c , r o 喜j 。k 去 c 2 喜古+ 去 骞鲁 g 4 s ， 与假设。击 0 ，根据一次近似 2 4 理论可知戏( 2 - 1 ) 的“= o 解是不稳定的。 若定理2 3 中的条件成瓶，即 鬲1 0 ，先证r e a - 0 。 反证法证明：设所有r e a 砉褂， 仍令甑= r a 。i 。n ，仿照定理2 3 中条件所得结论诞明，可推出 去嚆壶一丧 蹇 即 1 熊 。 ，t l ，。l l ，、p ， n ” ，4 l 儿， 故至少有一个九具有正实部，由一次近似理论知式( 2 - 1 ) 所描述的h o p f i e l d 神经网络在 “= o 不稳定。 若定理2 4 中条件成立，爿k ，l 。为h u 州i t z 矩阵的必要条件是 a c t 去一鲁+ 姜廿+ ( 1 _ 岛咯 。p s ， 今此条件不满足，说明4 的特征值不全在复平面左半开平面。至少有一个特征值 r e a 0 ，根据行列式的值对行列式元素的连续依赖性可知，存在0 s 5 稳定。从而，定理2 4 得证。 2 2 2 2 一般平衡位置“= l ，的稳定性 下面我们接着讨论一般平衡位置u = “的 稳定性。l y a p u n o v 研究的是对已知的平衡态是否有稳定性的问题，j 而h o p f i e l d 原意 是用电子电路去寻找未知微分方程的平衡位置，利用平衡位置的动力吸引性，赋予 计算新意。至于平衡态的存在性，很容易用b r o u w e r 不动