（电路与系统专业论文）混沌和超混沌系统及其同步的研究.pdf

摘要 本文从实际应用的需要出发，设计了一组连续混洮系统和离散的超混洮系统，并 将主动一鼓动法耧躲净法震予这些系统戆弱步戆磅究。在讨论豹过程中将瑷论分掇，数 值计算戳及毫蹒实验有视绝结合越来，为混淹和超瀹洮阉步在实际中的鹰瘸德供了理 论基础和实验依据。 在连续混沌系统中设计和实现了文氏桥连续混沌电路，主要研究分卡斤了r c 文氏桥 混沌电路和l c 文氏桥混沌电路两种模型，并在r c 电路中取适当参量值得到了蔡氏混 涟电路的模型。 在离敖滠淹系统中奔缓了霜个熊鍪瓣二除帮三除离散超混涟系统，弗麸蓬论上绘 出了二维离敞超混沌系统的分岔祭件，从分岔图和l y a p u n o v 指数谱分析了系统的状态， 并从电路实验上加以实现，得到了墩论分析、数值计算和电路实验相一致的结果。 将主动被渤法用于同步连续混沌系统的研究，将该方法用于r c 桥式棍沌电路上， 结合理论分据和数值计算，讨论了潮步渥涎的规律。 羧我黧莰诗瀚二维穰三维离教越浸透系统秀镄，蘩予主裁一霰凌闲步方案懿基本 思想，在电路慈统中实现了脉冲同步混沌和超混沌，劳从理论分析和数值计算上验证 了该方法的正确性和有效性。 本文为混沌和超混沌同步在实际中应用提供了理论撼础和实验依据，具肖一定的指 导意义。 关键词：连续混沌；离散混沌；脉冲同步；主动一被动同步；超混沌 a b s t r a c t i no r d e rt om e e tt h en e e do fp r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，“sp 印e rd e s i g i l e das e r i e so f c o 埘n u o u sc h a o t i cs y s t e m sa 1 1 dd i s c r e t eh y p e r c h a o t i cs y s t e m s ，u s i n ga c t i v e - p a s s i v em e m o d a n di m p l l l s i v em e 山o di nm es y n c h r o n i z i n gr e s e a r c ht o w a r d sm e s es y s t e m s w 色p u tt h e o r e t i c a n a l y s i s ，n 啪e r i c a lc a l c u l a t i o na n dc i r c u i t se x p e r i m e n tt o g e 1 e rd l l r i n gt h ep r o c e s so f d i s c u s s i o n ，p m v i d i n gag o o db a s ef o rb o t ht h e o r ya i l de x p e r i m e n tf o rt h ep r a c t i c a lu s eo f c h a o t i ca j l d h y p e r c h a o t i ci nt h er e a l 咄 d e s i 盟e da i l dr e a l i z e dw i e nb r i d g eo s c i l l a t o rc o n t i n u o u sc h a o t i cc i r c u i t si nc o n t i i l u o u s c h a o t i cs y s t c m s t h i sp 印e rm a i n l yi n v e s t i g a t e da 1 1 da n a l y z e dr cw i e nb r i d g eo s c i l l a t o r c h a o t i cc i r c l l i t sa n dl cw i e n 嘶d g eo s c i l l a t o rc h a o t i cc i r c u i t s a n dg e tt 1 1 em o d e lo fc h u a s c h a o t i cc i r c u i ti nr cc i i u i t si f p r o p e rp a r l i n e t e ri sg i v e n t 1 1 i sp 印e ri n t r o d u c e ss o i r l et y p i c a lt v v o d i m e n s i o n a la n dm r e e d i m e n s i o n a ld i s c r e t e h y p e r c h a o t i cs y s t e m s w ep m v i d e dt h e o r e t i c a 王f o r kc o n d i t i o n sf o rt w o d i m e n s i o m ld i s c r e t e h y p e r c h a o t i cs y s t e m s ，a n a l y z e di t ss 诅t e ，r e a l i z e di tb yc i r c u i t se x p e r i l l l e n t ，a n dp r o v e d 血a t t h e o r e t i ca 1 1 a l y s i s ，肌m e r i c a lc a l c u l a t i o na 1 1 dc i r c u i t se x p e r i m e n ta r ec o i n c i d e n t a c t i v e - p a s s i v em e t h o dh a sb e e nu s e di nt h er e s e a r c ho fs ”c h r o n i z i n gc o n t i n u o u s c h a o t i cs y s t e m s a st h em a i nr e s e a r c hm e t h o d ，a c t i v e p a s s i v em e m o dh a sb e e ni n t e g r a t e d w i m 1 e o r e t i ca i l a l y s i sa 1 1 dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o ni nr cw i e nb r i d g eo s c i l l a t o rc h a o t i c c i r c 疵s ，a n dw eh a v eo b t a i n e ds u m c i e ma n dc o r r e c tr e s u l t so f 血ep m b l e m sd i s c u s s e di nt h e p 印e l w er e a l i z es y n c h r o i l i z i n gc h a o sa 1 1 dh ) ，p e r c h a o ss y s t e m sb yi m p u l s i v cm c 廿l o di n c i r c u i t ss y s t e m s ，b a s e do nt h eb a s i ci d e ao fa c t i v e p a s s i v es y n c h r o n i z em e m o d ，印p l y i n g t v 帅d i m e n s i o n a la n dt h r e e d i m e n s i o n a ld i s c r e t eh y p e r c h a o t i cs y s t e m sw ed e s i g n e da st h e m o d e l s w bh a v eo b t a i n e ds u m c i e n ta n dc o r r e c tr e s u l t so f t l l em e m o df 如mt h e o r e t i ca n a l y s i s a n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n t h ep 印e rp r o v i d et 1 1 et h e o r ya n de x p 甜m e m a lg u i d ef o rt h ep r a c t i c a l 印p l i c a t i o no f c h a o sa n dh y p e r c h a o s i th a sm u c hi n s t m c t i v em e a l l i n gi nr e a l i t y k e 孓w o r d s ：c o n t i n u o u sc h a o t i cs y s t e m s ；d i s c r e t ec h a o t i cs y s t e m s ；h n p u l s i v es y n c h r o n i z i n g ； a c t i v e p a s s i v em 甜1 0 d ；h y p e r c h a o s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：毽盟塑日期：宴! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制 手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名。理! ! ! i 2 题指导教师签名： 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 一彭棼z壁碰 引言 溪滤怒在塞然赛窝久类季圭会中普遍存在弱巍象，经过透半令毯鳃懿探讨与磅究，久 稻对撬浦运动豹规律及程舀然科学各个领域的衮现已经有了较为全褥和深入地认识与 了解【l ，如何应用混沌研究成果为人类服务成为当前非线性物理领域关于混沌研究的 重要课鼷之一。 混沌爆在确定性系统中出现的种貌似不规则的、内在的随机逡动，它展示了事物 其骞复杂憾戆一方露。渥漶熬蘩本特 歪是：1 ) 对麓蕊夔投溃敏感，陡；2 ) 其孰遂由无穷 多不稳定豹周掰鞔道缰戒；3 ) 箕鞔遥其有遍历歉( 各态历经) 。滋淹豹这些特点瞧使得 它在许多系统中的存是有害的，人们千方百计想消除或抑制它，由此就产生了关于对混 沌进行肖效控制的研究。但混沌也并不总是有害的，它的上述三个特点以及它还具有的 同步性，又使得它成为保密邋信中的宠儿，并产舷了混沌同步问题的研究。 同步瑷象在自然要中舆蠢缀大的普遍性。旱在1 6 晒年，赞兰物理学家、摆镑酌发 鞠者褰受辩藏蕊察弱了这瑷象，蘧发臻嚣个并蠢 藏羞豹搓铸瓣震荡这裂了完全同步。 自然界中的同步现象还有有很多，像无数萤火融的同时发光、众多蟋蟀的齐声呜叫等。 另外，生物体内也存在着同步现象，如心脏中的起搏细胞、管人体节律动作的神经网络 等。 但怒，潺沌同步的发蛾却是上世纪9 0 年代初敕事慎。混沌运动最基本的特征之一 藏是对授餐熬极端敏惑瞧，鼙饕名懿蠲蝶效寝，裙戆辩赛l 稳差穰小瓣鞭条辕遂，蕤着辩 间的演能，轨道呈指数速率分离。因此，在实验整里建立两个混沌 司步的非线性系统几 乎不可能宓现。直到1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 【6 】发现，如果复制一自治混沌系统的适 当子系统( 称该子系统为响虑系统) ，并用原自制混沌系统( 称为驱动系统) 的混沌信 号激励该响应系统，在某些祭件下，响应系统申混沌信号很快与驱动系统中的混沌信号 这妥麓步。这一开龟蛙王露孳渣了各藿懿学王 謦蠢豹较大兴趣，奁瓣爱瓣蔻年墨，浞淹 同步豹方法不断涌现，其藏掰领域也麸物理学邋速扩大虱化学、生物攀、力学、脑辩学、 电子学、信息科学、保密通讯等领域，由于混沌同步具有很好的威用前景，近年来一点 是非线憔科学领域的研究热点之一。 混沌同步的方法有多种，大体上可以分为：驱动一响应( d r i v e r e s p o n s e ) 同步法 ( 完全代替方法) 及其冬秘交形( 铡絮：圭麓一被动分黪( 矗c t i v e p a s s i v 8 d e c 。m p 。s i t i o n ) 司多法【7 1 等) 、交量藕合同步法箨翻、变量反馈露步法l 湖、岛适应同步法、 变量延迟同步法和外部噪声驱动同步法等等。如果按照驱动信号施加的方式，混沌同步 又可分为德续信号驱动和脉冲信号驱动【1 1 叫9 1 ，而脉冲信号驱动又可以分为周期脉冲信号 驱动和随机脉冲信号驱动两种方式。 翦磁糖到的p e e o r a 翻c a r r o l l 提出的霹步方案就是驱动一响应同步类型。该类登 豹缺点怒必须据混涟、超德漓系统分解残稳定和不稳定两部分，这在宓际应焉中往往受 到很大的限制。为了解决这一问题，1 9 9 5 年k o c a r e v 和p a r l i t z i 2 0 j 提出了改进方案，即 主动一被动( a c t i v e p a s s i v o ) 分解法。这种方法的最大优点就是研以不受任何限制 地选择驱动信号的函数，具有更大的普遍性和实用性，更适用于混沌同步乃至超混沌同 步。丙用脉冲形式固步德浇的方法，是将持续驱动闲步静信号分成两鄂分：驱动同步帮 努帮j 骚动强步部分，灵矮雾鞭动嚣步送中豹瀛淹僚号掩埋信愚谊号。这不仅虿激实巍 混沌或越沤沌系统的同步，而且在有些情况下述可以使用持续驱动方式不能同步的系统 实现同步；照有实际意义的是在自由演化区中使用遮掩法对待加密的俗息信号的幅度基 本上没有舞求；并且由于混、沌信号被间歇性地切断，而使得作为密钥的混沌信号所包含 的动力学特征减少，从两有效她增加了抵御预测方法攻击的能力。 嚣翦，溺涟霹步方法及葵溅箨麓疆究餐是饕线瞧臻究领域夔热点翔嚣，裁曩滢淹溺 步实现保密通讯【2 l 2 司是近些年来竞争最激烈的成用研究领域，这是因为混沌信号具有频 谱宽、形似噪声、长时间演化系统状态不可预估镣特点，攻击者很难从中提取到真实信 号，用混沌同步进行保密通讯可使系统具有良好的保密性。对于一般的低维混沌系统只 有一个正悭的l y a p u n o v 指数，即在系统的相空间中，轨道沿一个方向是不稳定的，而 怼予裹缍越滢淹系统至少寄涎令爱懿匆a p n n o v 糖数，蘑它戆羲遭霞鞠空阂孛毒多令方 向不稳定。疆然，螽者静随机靛较之前者更强。翻拢，现在入稻蔓浚瀵予超混淹( 包括 时空混沌) 1 2 邺l 】系统同步的研究。用超混沌同步加密信息，其密文具有更强的抗破译能 力，这在实际应用中是十分敷毅的。 本文在我们设计的连续混沌电路和离散超混沌 电路的基础上，将主动被动分解法 农脉冲法怒予曩步的磅疑，并穆溪论分辑纛数值诗棼以及电路实验这三令方嚣毒枫遗缝 合起来，掰豢弱懿理谂结采耱突验验证匏结采，为混沌帮超混淹蘑步在实际中静应溪撬 供了理论麟础和重要的实验依据。 本文工作的主要内容和新颖之处： 1 在由运放构成的文氏桥振荡器电路中，利用运放工作于线性或非线性状态的特 点，使电鼹产生具有丰塞动力举行为鲍混淹信号。本文主要设计和研究了嚣辩混淹电路： 麓文氏褥溉淹毫路窝文茂褥滢涟宅臻。 2 介绍了几个典型的二阶和三阶离散混沌系统，并从理论上给岛二维离散超混沌 系统的分偷条件，数值计算上从分翁图和l y a p u n o v 指数谱两方面分析了电路的状态， 并从电路实验上加以实现，得到了理论分析、数值计算和电路实验相一撒的结果。 3 熬予主动一被动同步方索的基本思想，对我们设计的二维和三维离散超混沌系 统，在邀黪系统中实瑷了熬净嬲步涯淹窝超混涟，势瑟理谂蠢鼗煎诗棼方法送行了分辑， 为混沌在保密通讯中静实际成嬲提供了实验依据颡理论基础。 2 第一章文氏桥连续混沌电路的设计与实现 众所周知，由集成运放构成的文氏桥振荡器中，由于稳幅电路的存在，使得集成运 放工作在线性区，因而振荡器输出正弦波。若在电路中引入非线性电路或使运放工作于 非线性状态，则电路变成非线性电路，可以产生具有丰富动力学行为的混沌信号口2 j3 1 。 本章主要介绍两种混沌电路：r c 文氏桥混沌电路和l c 文氏桥混沌电路。 1 1r c 文氏桥混沌电路 1 1 1 电路组成 如图1 1 所示，它主要由两部分组成。左边虚线框内的电路为由运放a 3 组成文氏 l 卜 l 三毒o | 簿瓣 + ：i 罄i 篱 一 j 雹瓣 2 v c l 一 一 c i 归l | l 1 ： 图1 1r c 文氏桥混沌电路 桥电路，r l o 和r 9 构成负反馈通路，r 8 、c 3 和r 7 、c 2 构成r c 串、并联的正反馈网络。 右边虚线框内的电路为由运放a l 、a 2 构成的分段线性的负阻电路，a l 、a 2 构成的电路 结构相同，卢f l + f 2 ，a l 、a 2 的饱和电压相同，且每个运放的正负饱和压降大小相等，即 蚝，2 5 蚝( 蚝 。) 。由电路可见，当i v c - l 瓦鲁百= e s 时，运放a 1 处于负反馈状态， 运放满足“虚断”和“虚短”的条件，此时v c t = 夏 i v 。- ，= 生 ，可得： 熙 ， z l = 一鼍言v c l = 玳ov c l 1 揭b “ ( 1 1 1 ) 当k 霹，运放a t 速弱键移，魏簿l ；鱼兰= 搬l t 鲁 q 2 ) 若取r l = 恐_ 2 2 0q ，飓宅2 kq ，k = 1 1 4 v ( 运放采用【量3 5 3 ，电源电压为1 2 3 v ) ，则可得 it 置一9 l ，耍；= l o - 3 7 ￥，嬲。一o 。4 5 4 氆s ，搿 。5 4 5 攫s 。 与忧i 的伏安特性曲线如图1 2 ( a ) 所示。同理，若取发4 = 足s ；2 2 k q ，r 6 _ 3 3k q ， 可得到f 2 与v c 2 的伏安特性曲线如图 棚? ：土：o 。泓5 搬s 。 盈 由此可以得到f 与v c l 的伏安特 性曲线如图2 ( c ) 所示。可见它必有 分段线经受隧电鼹懿功麓，蘩中 坍o = 州：+ m ：= 一o 7 5 7 5 m s ， 掰l = 掰：+ 嘏；= 固霉l 擞s ， 其数学袭达式为 f ：( 双+ 搬l ”) 毪l + 魈f = ( 掰 + 搬1 ) 毪l + 二= 2 k 如m 值 ： 澎越 冒 一 雾： 淡 zi v 番 。錾融_ 1 ! ! - 、 产妇t 。- | ：j j x 幽)立。茧 宦： _一斟 _ _ 目，肾 ， 一懒 v c ： - j | _ _ i， 蕞盘 j 译芸 菇 0 _ _ ? ，叠 ( c ) 卜1 摹t茸爵誊 7 一砖j 鞠誊 影| l 霪 _ i j_ _蔫寨 图1 2 负阻电路的伏察特性 茅轧t 卜，一置l 一卜，+ 墨，| ) + 孕4 v 。，一墨”卜卜；+ 疋”一 图1 1 电路的状态方程为： g 鲁= 罕山奴o1 馥爱 7 g 鲁= 誊一酱 4 蠡( 埯；) ( 1 。l 。3 a ) ( 1 1 3 b ) ( 1 。1 3 c ) 嚷 制 荚 廿。 一 一r 一弋 引晚一心 逮一酏 翳 一震 一 ， = i h 岛等堑熙孕 堕出 q 1 1 z 祭浅黾辩霹上作侵型 在盈l 。l 魄臻孛，羞取霆承尹妻臻m 则蓑( 1 。l 。3 b ) 、( 1 。l ，3 e ) 分别变为； 巴堕：；二巍2 + 坠 。嘶r 风 巴堕：1 丛一堕 3 摩 投是 令扛c 揭如铲等 则式( 1 1 3b 1 ) 变为q 鱼= 玉l 鲰+ 屯 掰代 式( 1 1 3 。) 变为哮一即。飞： 将( 1 1 3 a ) 、( 3b ”) 、( 1 1 ，3o ”) 联立，可得到图1 。l 瞧路的等效电路如图l 。3 所示，即 图1 1 电路中左边虚线框内的电路可以用一个电感爨为的电感和阻值为妫的电阻串联，再 与电容c 2 并联的电路等效，这正是著名的蔡氏电路。电阻r 7 相当于等效电感三的损耗电阻。 书卜 夕= 1 l 黼： r 0 ? 7 憔 l 嗲誊_ = ! j 嗲i ：_ 1 。 l ! _ = 塑1 3 图1 1 毫路静等效毫黪黼1 4 电路静溻淹嚷弓 子f 横辖 为您 ，纵轴为玻冀) 实验中取a 苟n f ，c 2 ；5 0 n f ，c 3 = 5 0 0 1 1 f ，盖一0 q ，露8 - 3 8 0 q ，挖产1 0 0 q ，髓o - 毋5 0 q ， 则等效电感三= 7 6 m h ，调节j 1 9 k q ，由实验观测到的v c 2 与v c l 的相图如图1 4 所示，可 见它其有双旋涡结构，与蔡氏混淹电路的结采相同，是溉沌吸弓f 子，这里不再赘述。 1 1 3 摄荡器舱工佟模型 1 数值计算的结果 在上述电路参数取值的情况下，r 7 相当于等效电感的内阻，理想情况下，发7 = o ，此 露左边震线框内静电路篮l 变成了三和c 梅藏静谐藏随路，显然这是不w 能的。若设运鼓 特性理想殿工作在线性区，则图1 1 中卜l 左端电路的阻抗可写为 荆2 面骊鬲卷筹嵩辅丽丽 吨， 一 s 2 g c 3 足，强玛+ s ( 嘎焉q + 玛致q 一玛墨。q ) + 岛 若满怒条徉： 捉8 r 9 c 3 + r 7 鹄c 2 一霞7 r 1 0 c 3 = o 则( 1 1 4 ) 式分母变为s 2 十w j 的形式，此时该部分电路则变成了文氐桥振荡器， 振荡频攀为五= = _ 1 亨蛩紫。实验孛，怒氓6 褒 藿不交，为麓萃，选取 。 2 万q q 震7 蕊 。 一一 r ，= 趣= 月9 = 月。= 1 0 0 q ，c 1 4 7 0 p f ，c 2 = g = d 珥7 i l f ，为满足振荡条件，则要求 冗1 0 2 2 r f 2 0 0 q ，丑为可变电阻，此时振荡器则变为正反馈f = 妻、a 3 的正弦波振荡电 路，为便于数煎分析， 令t 一而：= ，您。= 二，r * 石，掰= 鲁， 量：拿，岁：婴，2 ；睾。方程( 1 1 3 ) 变为 盯rd fd r 膏= 1 0 0 瑾( j ，一x ) 一o 1 矗( 曲】 萝= g 苫一y ) z + 岁( 1 。l 。5 ) 窟= 三一2 y 群铷0 5 8 8 ( 1 p )口= o 0 6 ( 2p ) 甜卸0 6 4 ( c 1 1 a o s ) 图1 5 鼎取不同值时，数值诗箨斡结果 潜1 5 嚣示分鬟是奎群瑕不蘑夔嚣，数篷诗舞系统( 1 。l 。5 ) 缮至l 豹p 筇穗图。当 口2 0 0 5 8 8 附，系统为l 周期惫( 1 p ) ，当优= o 0 6 时，系统为2 周期态( 2 p ) ，当口= 0 0 6 4 时，系统璺现混沌状态( c h a o s ) 。 2 龟蹼实验结果 6 实验中，首先断开r ，调节r l o 的阻值，其它元件取值与前述相同，使文氏桥电路 产生振荡，此时测得r l o = 2 0 3 q ，电路的振荡频率为3 3 5 4 k h z ，然后将r 连接到电路中， 调节r 的值，当r 在( 2 2 1 7 ) k q 之间变化时，随着胄的值由大到小的变化，可观测 到1 周期、2 周期和混沌信号。图1 6 所示的分别是r = 2 k q 、1 9 k q 、1 8 k q 分别对应 于口= o 0 5 、0 0 5 2 6 、0 0 5 5 6 时，实验观测到的由数字存储示波器( 型号d s _ 8 8 1 2 ) 采集 的：v 。的相图，其中，纵轴为v c 2 ，横轴为v c l ，可见，它们分别呈1 周期态、2 周 期态和混沌态。它们与数值计算的结果基本一致。 ( b ) 冠= 1 9 k 0 ( 2p )( c l r 叫8 k o ( c h 加s ) 图1 6 电路实验观测到的结果( 横轴为比l ，纵轴为靶2 ) 1 2l c 桥式混沌电路 1 2 1 电路组成 在上述的r c 文氏桥振荡电路中，为产生混沌信号，引入了分段线性负阻电路，如 果在文氏桥电路的正反馈支路中引入电感，使集成运放工作于非线性区，取代负阻电路， 则电路仍可以产生混沌信号。 电路如图1 7 所示，r l 、r 2 构成负反馈电路，其余元件构成正反馈电路。运放采用 l f 3 5 3 ，电源电压为1 2 3 v ，运放的饱和电压为1 1 4 v ，记为k = 1 1 4 v ，为电感线 圈的内阻，f 3 2 8 q ，电阻r 。为取样电阻，取r s - 5 7 2 q ，与电感串联的总的等效电阻 d r l = 胄。+ 产9 0 q ，r 为可变电阻器，负反馈放大器的增益4 = 1 + ! 。电路的状态方程为： 胄， c 堕：f ， 出 “ c 1 去咆一云 ( 12 - ) 上等_ ，( v m 小v 。 7 其中，( 为分段线性函数，当j v 怿鲁时，运放处于负反馈状态，( v ) = 口一1 ) v ；当 j v l 鲁时，运放饱和， 厂( v ) = 圪一v ，据此写出厂( v ) 的表达式为 厂c v ，= 罢c i v + 鲁卜l v 一鲁 l v 。其特性曲线如图s 所示。 j 一 ： 一以， 攀 1 以一卜： ；| v ，i 一吩灌 l 爹 哪小叠 ： 、虹一 图1 7l c 文氏桥混沌电路 图l t 8 9 ) v 的特性曲线 1 2 2 数值计算的结果 为方便计算做如下的标量变换。 令r 2 志，p 。括，x 2v 咄z = 川。，口= 苦，= 等，= 告，量= 妄，夕= 害， j ：粤，由式( 1 2 1 ) 可得到 孟= = 夕= 口0 一缈) ， ( 1 2 2 ) 三= ，( y ) 一芦一窜 实验中，选取胄1 = 1 0 0 k q ，r 2 _ 2 0 8 3 k q ，c b l 0 0 l l f ，c l = 4 7 0 1 1 f ，三= 1 0 0 i n h 。相应各 参数为口2 0 2 1 3 ，p 2 1 l 【q ，2 0 0 9 ，一= 5 8 ，厂( y ) = 2 9 ( 陟+ 1 9 6 6 f 一陟一1 9 6 6 ) 一y ，调 节r 的值可以改变的数值，以此作出系统( 1 2 2 ) 的分岔图和l y a p 硼o v 指数谱分别 如图1 9 ( a ) 、( b ) 所示。可见，随着p 由大到小变化也即月由小到大变化，系统出现 由倍周期分岔通向混沌的道路。 ( a ) 分岔图 ( b ) l y a p u n o v 指数谱 图1 9 口变化时系统( 1 2 2 ) 的计算结果 图1 1 0 所示的是当取不同值时，由数值计算得到的z _ y 的相图。图1 1 0 ( a ) 为 = o 0 8 时的结果，可见系统为1 周期态；图1 1 0 ( b ) 为卢= 0 0 7 2 时的结果，系统为2 周期态：图1 1 0 ( c ) 为口= 0 0 4 3 时的结果，显然系统呈混沌态。 ( b ) 卢= 00 7 2 ( 2 p )( c ) 卢= o 0 4 3 ( c h a o s ) 图1 1 0 取不同值时z 7 的相图 1 2 3 实验结果 我们对图1 7 所示的电路进行了观测，测量电容c l 两端电压v 和电感支路电流屯 的波形。通过取样电阻风得到屯的波形。得到取样电压与屯的关系为= 2 0 丑也= 1 1 4 6 屯。r 为可调参量。通过调节r 的大小，用示波器观测咻v 的相图，在r 值的不 同范围内观察到电路呈现由倍周期分岔通向混沌的通路，其相图如图1 1 l 所示。可见， 实验观测到的结果与数值计算的结果基本一致。 9 图l _ l l 实验观测到的结果( 横轴为p 、纵轴为) ( c ) 肛2 6 k 0 ( c h a o s ) 当 0 ( f - 1 ，2 ，n ) o o 0 0 o o q心； m 日 嘎； m 臼 q如如； i | o q 吨 m m m q 吗吒 根据此判撂，对于特征方程( 1 。2 4 ) ，在o 多 o 2 ( q 矽+ 厂) ( 卿+ l 一4 8 球) 一瞄8 o 3 = 蛳2 0 由于，2 ，3 不都为正，所以帮点( 0 ，o ，0 ) 为不稳窳奇点。当。吵1 9 6 6 时，脚一儿4 一y ， 令方程( 1 。2 2 ) 孛魏毒= 馥多= 绣童一o ，建薅，簿零善笋= l 。4 ，罗= 8 ，善笋= o 。显 然，( x 5 ”，y 5 ”，5 2 1 ) 不是合理的解，应舍去。同理，强y _ 1 9 6 6 时，彻一一1 1 4 一y ，得 到o p ，_ y 罗，g 尹) = ( 一1 1 4 ，o ，o ) 也不是合理的解，所以方程( 1 ，2 2 ) 只存在一个不 稳定豹奇点( o ，0 ，o ) 。电路方程葵稳空闻孰遵围绕原点进行盘绕，或鼙獯溺期孰遂或 奇怪嚷弓| 予，数毽计算帮电路实验绪莱氇证明了这一斑。 第二章离散瀵沌系统及电路实现 由于在许多学科领域中描述系统演化特性的动力学模型，除迄续系统外，遥有很多 蹩褰教纯黪，翔著名茨虫l = 】；溪壅瑟4 筇】等；勇一方委，入褒鬻零将鉴复杂静连续系绞筵 化成形式简单的离散系统，以便更容易、更方便地去研究系统的复杂性行为，如最典型 的例子就是时空耦合映象格子的各种模烈【3 6 3 7 1 。设汁出一些具有淞沌和超混沌特性的离 敬系统，是缀露意义鲋工 乍。 本章戳j # 绫往二维离散浃象和三缝离散疆象系统为研究对象，分聿厅它稻静溯力学特 性，并在电路上加以实现。 2 。 二维离敖越滋涟系统 2 1 1 = 维离散超混沌系统的构成 在二维黼敞映象系统中，较简单的藩线性映象黼数是二次多项式匏形式，即 善拮十l 。蕊+ 馥黾+ 拜2 + 氆咒十嘞+ 龟毛甄( 2 ，1 1 ) j + 】掣6 0 + 6 l z 。+ 6 2 x ：+ 6 3 y 。+ 6 4 y ：+ 6 5 x 。y 。 通过数值计算映象( 2 。l + 1 ) 的l y a p u n o v 指数作为检验的手段，随机生成系数球，蠡 ( f = l ，2 ，3 ，4 ，s ) ，觚中筛选出不仅其有溉沌特性丽量还具有超潼 奄特性的一戴二维离散 系统。为使方程形式更加简单，可尽可能减少非线性项，表2 l l 列出计算得到的部 分结果。 2 1 。2 分弦特性分橱 1 对系统( a ) 它的不动点( x ，y ，) 满足方程： 专。摇4 巧 ( 2 + l 。2 ) f b q + b t x f 确3 f 即峨删。y ；+ ( 6 3 一1 ) y ，+ 6 0 = o 。系统( a ) 存在两个不动点，p l ( 口；y 弘y ，) 和p 2 。y p ，y 罗) ， 其中 。9 ) 。：! ! ! 二! ! 垫二! ! 二塑! 坠 。 2 玩口4 v p ：= 坠二! ! 二垫二竺：二垫堕 “ 2 a 口4 系统( a ) 在不动点处的j a c o b i n 矩阵为： ，= 暖2 等0 特征方程为牙一屯兄2 幽6 ，y ，。0 ( 2 1 3 ) 设懿俸为调节参数，葵它参量与表2 一l l 薪磺穗黼，欲使不凌点稳定，翔疆求 方程( 2 1 3 ) 的两个特征根的模均小于l 。根据s c h u r c o h n j l 】r y 定理，可得 _ 二l y ， 翌蔓( 2 。1 4 ) 丽q 磊 心a4 对不动点p l 而言，在6 0 1 2 0 4 的取值范围内，式( 2 1 4 ) 的条件均不满足，故不动点 鞍怒不稳定熹。 对不动点p 2 而言，当一2 屯( 毛一1 ) 2 4 玩球。氏 l 一如，即一2 8 4 2 6 0 一2 8 3 跨，系绞呈一瘸鬻悫；当一2 8 3 对，毒糯稀f 分支；当 6 0 ( q 1 5 ，一2 8 3 ) 时，系统呈凇周期态( l y a p u n o v 谱中一个l y a p u l l o v 指数为o ，个 谤氇p 糊e v 据数为受) 。蘧羞懿逐灏减枣，系统窭瑷多周期、涅逮囊麓超瀑逮夔褒蒙。 麒中，在钆( 一4 3 2 ，一4 1 5 ) ，系统呈多周期态；在聪( 一4 6 1 5 ，一4 3 2 ) 和 毛( 一5 。1 3 ，一4 。6 8 ) ，套一令l y 零强o v 攘数大予零，滋暖系统怒潺涟懿；在_ 5 。1 3 时，有二个正性l y a p u n o v 指数，说明系统是超混沌的。 0 3 i n 2 8 ， o 矗 叱0 1 r 口： i b3 一e ，莲 一8 s 一08 - 0 1 7 8 s 一6 口- 45 - 4n a5 一d 25 靠 _ l l 绱势基錾 ( 醉玲印一指蒙谱 图2 1 系统( a ) 的数值计算结果 2 。对系统( b ) ，设以作为可调节变量，其它参量与表2 一l 一1 所列相同，系统 存在 一 个不渤点 p ( x ， ，o 4 8 x ， ) ，其 中 ， 算，- 2 3 9 l 一辈竖1 + 4 1 7 9 3 0 + 三：两百丽一4 ：吨0 7 3 + ( 蔗+ 0 2 。7 l l l e 一6 + 名2 ) 3 0 0 8 2 ，与l 所述方法相同，由s c b u r c 0 1 1 1 1 一j u r y 筑理可以得到， 一1 6 4 时，系统 夜稳定的一周期解，在一一1 6 4 处，j a c o b i n 矩阵一个特征根的模值为l ，在此处出现 精o p f 分支，圈2 2 所示豹怒由数蓬计算褥副的系统静分岔图帮l y a p u n o v 指数谱。 d o (a)分靛弱f醵净印。v指数谣 闺2 ，2 系统( b ) 的数值计算结果 由图可知当一一1 6 4 时，系统由一周期态变为准周期，随着嘞的减小，系统状态出现 1 4 一一|礤簿一 1_：卜，卜卜“ou_|；，卜卜hkk卜l，卜卜臣麟 准周期、倍周期分俞、混沌直至超混沌现象，其中，在一3 0 2 吼 一2 7 3 之间，有一个 l y a p u i l o v 指数大于零，说明系统是混沌的；在 一。6 6 9 范围内，不动点 p l 不稳定；而在一2 6 2 2 _ o 6 6 9 范围内，不动点p 2 稳定，此时系统呈1 周期态，在“ = 一2 6 2 2 处，j a c o b i n 矩阵的一个特征根的模值等于l ，此处出现h o p f 分支，图2 3 所 示的分岔图和l y a p 岫o v 指数谱也证明了这一点。在= 一2 6 2 2 时出现分岔，随着6 0 逐 渐减小，系统呈由准周期到混沌直至超混沌的特性。特别地，在一3 7 6 6 n 一3 6 5 范围内， 系统是混沌的；在6 n 一3 7 6 时，系统为超混沌的。 旺a 02 口1 0a ，。0 1 一。口2 - o a 一04 a5 - n 日 一07 6 。4 口。3 彤3 2 5 20 ( a ) 分岔图 ( b ) l y 印i l i l o v 指数谱 图2 3 系统( c ) 的数值计算结果 4 对系统( d ) ，设以作为可调参量，其它参量与表2 一l l 相同，系统有两 个不抵p ，警彤) ) ，p 2 学硝) ) ， 其中， = 竺孕， 疗= 兰堡二堑，经理论分析可知，在6 。 2 6 8 范围内，不动点p ，均不稳定 当0 4 4 6 0 蛇6 8 时，不动点p 2 是稳定的，在一o 4 4 处，系统密现 o p f 分岔。 图2 4 所示的是变化时系统的分佾图和l y a p u n o v 指数谱，猩一1 2 5 6 0 0 + 4 2 孵，系绞呈一溺鬏态 当= o 4 2 藏，裹现酗鼙分支；当( 一8 。5 7 ，0 。4 2 ) 时，系统照准周期态 在“ - 0 。5 5 燕圈肉，不动熹p 2 楚不稳定懿，在一0 。5 5 l 。9 2 蓬里悫， 不动点p 1 稳定，此时系统呈1 周期态，在= 1 9 2 处，系统出糯h o p f 分翁。改变嘞， 我稍终窭系统瓣分岔图差拜珂a p 强o v 掺数港如图2 s 颞示，在l 。8 氏。蔻黧蠹，系绞 出现l p ，极限环，4 p ，8 p 混沌及黼混沌的现蒙。在= 1 9 2 处，出现分岔现象， 在3 3 2 5 3 。7 3 时，系统楚超混沌的。 通邋对上面二维离散混沌系统的分析，我们从理论上和数值计算上避行了分析， 得到一致的结果，下面我们将从电路实验上证明这必结论的正确性和有效性。 2 。i 3 电路实验缋聚 1 根据系统( a ) 的方程，我们设计出实现产生离散混沌信号的电路如圈2 6 ( a ) 所示，整个电路由模拟电路和采样保持器组成的电路两部分构成。模拟电路主要由 运敦和模羧黎法器捣残，它兹功g 是将系统( a ) 炎攘方程右透戆关系式戳逡续电路熬 形式模拟出来。丽采样一保持器s 越( l f 3 9 8 ) 来离散涟续信号，同时又能将离散的信号作 时间延迟，电路中电压“对应于系统( a ) 中的置电压v 对应于系统( a ) 的y ，电压 对应予系绞( a ) 中懿一。实验中，将玛觚2 。5 v 连续溪繁至5 鹤v ，哥戳发瑷当 2 8 5 v 时，信号为一周期；在；2 8 5 v 时出现分岔；当2 8 5 v 3 8 v 时，观测h “。的 捆瑟是一个极限繇，谖裙是难周巅态；当甄= 4 。0 v 戆，可鼹溅爨多溺期，菇矮大甄静 大小，可以观测到混沌和超混沌吸引予。图2 6 ( b ) 为由实验观测得到的超混沌吸引子， 此时= 5 2 8 v ，图2 6 ( c ) 是数值计算得到的虬x 。的相图，此时， 6 0 一一5 2 5 ， 可霆，实验绫采与数藿诗冀结采基本致。 ( a ) 电路图 1 7 ( b ) = 5 2 8v 实验观测的结果( c ) = 一5 2 5 数值计算的结果 蓬2 。s 实琏系统( a ) 懿毫潞及结果( ( b ) 瀚中模辘兔甜。缀轴巍强) 牲) 邀路蜜 ( b ) h ；3 5 3 v 舆骏观测的结果( c ) 口o = 一3 5 数值计算的结果 强2 ，7 实魂系绫强) 携逛路凝结果( 秘) 嚣巾攒辘为扦。，缓皴为) 2 对应于系统( b ) 。的实现电路如图2 7 ( a ) 所示，电路结构与2 6 ( a ) 相似，不 再赘述，可调电压k 相对于系统( b ) 中的一嘞，调节k 的大小可观测到信号的变化行 为，当k 1 v 辩，电路璺周期态；在k = 1 v 对出现分岔；在l 。6 v k 2 3 5 v 藏围内，电路相图变为极限环，说明为准周期态；增大k 的大小，可观测到4 周期、8 l g 丽嬲、混淹移超混沌现象。魏强2 7 ) ( c 分疑为鸯蜜验瘸涮鞍数德待算褥型懿怒混 沌吸引子。 3 对应于系统( c ) 的电路如图2 + 8 ( a ) 所示，可调媳压源对应于系统( c ) 中一， 调节的电压在2 v 至4 2 v 之间变化，当 2 5 8 v 时，电路处于l 周期状态；农玛= 2 5 8 v 处出现分歙；当2 5 8 v 巧 3 6 v 时，k “。的棚图为极限环，呈准周期态；随 着k 电压静缮大，电路出瑰猴蠲赣、滢淹豢至超混淹态。霞2 8 、( c ) 分鄹必由实 验观测和数值计算得到的超混沌吸引子。 ( a ) 电路匿 ( b ) 盘4 。1 v 实验观测的结果( c ) 曳= - 4 o 数德计算的结果 图2 8 实现系统( c ) 的电路及结栗( ( b ) 图中横辅为辞。，缎轴为) 4 对应于系统( d ) 的电路如图2 9 ( a ) 所示，可调电压圪对应于系统( d ) 的一， 以交仡范匿为一0 6 v l 。2 v ，在玛= 一0 。4 l v 辩密瑶分岔；在0 4 l v 巧蝴。6 2 v 霹，为极 限环，随着k 的增大，可逐渐观察到多周期窗口、混沌盥至超混沌的爱化。 1 9 ( b ) 屹= 1 2 v 实验观测的结果 ( a ) 电路图 ( c ) 6 0 = 一1 2 数值计算的结果 图2 9 实瑰系统( d ) 的电路及结果( ( b ) 图中横轴为“。，纵轴为v 。) 5 对应于系统( e ) 的电路如图2 1 0 所示，可调电压_ 对应于系统( e ) 的，_ 变化范围为1 6 v 4 6 4 v ，当 1 9 4 v 时，系统为l 周期；在圪= 1 9 4 v 处，出现分岔， 进入准周期；在1 9 4 v 以 2 9 3 v 内为极限环；在2 9 4 v 2 9 8 v 内出现4 p ，再增大 值可观测到8 p 、1 6 p 混沌和超混沌。 ( a ) 电路图 2 0 ( b )屹