（车辆工程专业论文）考虑基于制造误差的大变位齿轮传动动力学建模研究.pdf

摘要 齿轮动力学分析是利用振动力学理论，研究齿轮系统在传递动力 和运动过程中振动、冲击、噪声的基本规律，对齿轮传动的降噪、降 振非常重要。 本文首先给出了材料力学法、有限元法等时变刚度的计算方法， 比较了它们的优缺点，对材料力学法的计算公式进行了推导，得到了 更为准确的材料力学刚度计算公式。给出了更易于理解的传递误差的 定义模型，推导了基于传递误差的双齿啮合区载荷分配公式，阐明了 动态传递误差和齿轮动力学方程的关系，给出了动态啮合力计算的方 法和公式。讨论并比较了文献中几种具有代表性的摩擦系数的计算模 型，给出了不同情况下的选择建议。对齿轮的线外啮合进行了论述， 从确定线外啮合起点在啮合线上的等效点位置、线外啮合点到齿轮圆 心的半径、计算线外啮合点处两齿轮的载荷角等三个方面入手，给出 了线外啮合区域刚度计算方法，并讨论了线外啮合对刚度的影响。 在上述研究的基础上，我们将时变刚度、摩擦、阻尼、线外啮合 应用到传统的齿轮副扭转振动模型中，使之更接近实际情况，并通过 准线性迭代法进行了数值求解。讨论了转速、阻尼、变位系数等对动 载荷的影响，对大变位时的刚度、重合度、节点所处位置、动载系数 等进行了重点分析。 最后，我们通过实验结果和仿真结果的对比，验证了本文研究结 果的正确性。 关键词时变刚度，线外啮合，大变位，动力学模型 a b s t r a c t t h eg e a rd y n a m i c sa n a l y s i s i s ，a c c o r d i n gt o t h et h e o r yo fv i b r a t e d y n a m i c s ，t os t u d yt h eb a s i cm l eo fv i b r a t i o n ，s h o c ka n dn o i s ew h i c h c r e a t e db yg e a rs y s t e mw h i l et r a n s f e r r i n gp o w e ra n dm o t i o n i ti s v e r y i m p o r t a n t i nr e d u c i n gt h en o i s ea n dv i b r a t i o n i nt h i sp a p e r ，f i r s t l yt h em a t e r i a l sm e c h a n i c sm e t h o da n dt h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o da r ep r e s e n t e d ，w h i c hu s e di nc a l c u l a t i n gt h e t i m e - v a r y i n g s t i f f l l e s s t h e i rm e r i t sa n dd e m e r i t sa r e c o m p a r e d ，a 1 1 d t h em a t e r i a l s m e c h a n i c sa p p r o a c hf o ro b t a i n i n gam o r ea c c u r a t ee q u a t i o nt oc a l c u l a t e t h es t i 丘n e s si sd e d u c e d ，s e c o n d l vid e f i n eak i n do ft r a n s f e 盯i n ge o r m o d e lw i t c hi sm o r e e a s yt ob ec o m p r e h e n d e d ，d e d u c et h e1 0 a d d i v i d i n g e q u a t i o n i nt h e r e g i o no ft w om e s h i n gg e a r s ，i l l u m i n a t e t h er e l a t i o n b e t w e e nt h ed y n a m i ct r a n s f e r r i n ge r r o ra i l dt h eg e a rd y n a m i ce q u a t i o n ， a n de d u c et h em e i h o da n d e q u a t i o n o fc a l c u l a t i i l g d y n a m i ce n g a g i n g p o w e r ； a n dt h e nd i s c u s ss o m ek i n d so f r e p r e s e n t a t i v e m o d e li n d o c u m e n t a t i o n so f c a l c u l a t i n gt h e 矗i c t i o nf a c t o r ，g i v em ys u g g e s t i o nh o w t os e l e c tt h e mi nd i 任e r e n t s i t l l a t i o n s ；i nt h ee n d ，is t u d yt h ec o n t a c t o u t s i d et h en o r m a lp a t ho fc o n t a c ti na p p r o a c ho rr e c e s s ，o fw i t c ho b t a i n s t i 劬e s s p r o c e s s i n gm e t h o d ，a n da n a l y s et h ei m p a c t t os t i f f n e s s a c c o r d i n g t ot h ea b o v e c o n c l u s i o n ， i a p p l y t h e t i m e v a r y i n g s t i f ! n e s s ，f i i c t i o n ，d a m p a n dt h ec o n t a c to u t s i d et h en o 珊a l p a t h o f c o n t a c ti na p p r o a c ho rr e c e s st ot r a d i t i o n a lg e a r p a i rd i s t o n i o n v i b r a t i o n a l m o d e l ，m a k e “a p p r o a c ht op r a c t i c a l s i t u a f i o n s t i l l ，a n de m p l o yt h e s u b l i n e a ri t e r a t i v et os o l v et h en u i n e r i cv a l u es o l u t i o n d i s c u s st h ee f i e c t o fr o t a t i o n a ls p e e d ，d a m p i n g ，a n dm o d i f i c a t i o nc o e f ! e i c i e n te t ct od y n a m i c l o a d ，a n dm a k e a n e m p h a t i ca n a l y s i st ot h e s t i t f n e s so f l a 玛ed i s p l a c e m e n t s h i f t ，c o n t a c tr a t i o ，t h el o c a t i o no fn o d ea n dt h ed v n a m i c1 0 a df a c t o re t c a ll a s c ，it e s ta n d v e r i f yt h ec o n c l u s i o no ft h i sp a p e rb yc o n t r a s t i n g e x p e r i m e n t a l r e s u l tw i t ha n a l y s i so fs i m u l a t i o nr e s u l t k e yw o r d s t i m e v a r y i n gs t i 椭e s s ，t h ec o n t a c to u t s i d et h en o n l l a l p a t ho f c o n t a c t ， l a 玛ed i s p l a c e m e n t s h i f t ， d y n a m i c m o d e l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名： 日期：年一月一日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：导师签名f = f 期：年一月一同 硕+ 学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 齿轮动力学发展简介 齿轮动力学是研究齿轮系统在传递运动和动力过程中动力学行为的一门科 学。它以齿轮系统为对象，以齿轮副啮合过程的动力学特性为核心，以提高和改 善齿轮系统的动力学行为为目的，在充分考虑系统各零部件动态特性的基础上， 利用振动力学理论和方法，研究齿轮系统在传递动力和运动中振动、冲击、噪声 的基本规律，为设计制造低振动、低噪声、高可靠性、高传动性能的齿轮系统提 供理论依据。齿轮系统是各种机器和机械装备中应用最广的动力和运动传递装 置，因此，齿轮系统动力学问题近百年来一直受到人们的广泛关注，对此进行了 大量深入地分析研究，取得了相当的发展，已经形成了一个较完整的理论体系， 如图1 1 所示呻1 图1 1 齿轮系统动力学的基本理论体系图 齿轮动力学的发展是从研究齿轮动载荷开始的。1 8 6 8 年，h w a l k e r 首先提 出了动载系数的定义。到2 0 世纪3 0 年代，e b u c k i n 曲a m f 3 】公布了a s m e 一个研 究小组的研究结果，提出了齿轮动载荷的计算公式，考虑了有效质量、有效误差 和速度的影响。其中一些公式经修正还沿用至今。5 0 年代以前，主要以啮合冲 硕 ：学位沧文第一章绪论 击作为描述和解释齿轮动态激励、动态响应的基础，将齿轮简化为单自由度系统。 以冲击下的单自由度系统的动态响应来表达齿轮系统的动力学行为。5 0 年代以 后，将齿轮系统作为弹性的机械振动系统，以振动理论为基础，分析在啮合刚度、 传递误差和啮合冲击作用下，系统的动力学行为。这一发展奠定了现代齿轮系统 动力学的基础。 齿轮系统动力学在振动理论的框架内，经历了由线性振动理论向非线性振动 理论的发展( 时变刚度、齿侧间隙、啮合误差等) 。在线性振动理论范畴内，人 们以平均啮合刚度代替时变啮合刚度，并由此计算齿轮副的固有频率和振型，利 用数值积分方法计算系统的动态响应，不考虑因时变啮合刚度引起的动态稳定问 题，且避免研究由齿侧间隙引起的非线性及多对齿轮副、齿轮副与支撑轴承、轴 承间隙等时变刚度间的相互关系、相互作用对系统动态特性的影响。齿轮系统的 非线性振动理论，在考虑了啮合刚度的时变性、齿侧间隙、齿轮啮合误差等非线 性因素的情况下，将齿轮系统作为一种非线性的参数振动系统研究其基本理论、 基本方法和基本性质。从而由振动理论的基本概念出发，将啮合轮齿抽象为时变 的弹性元件，统一描述和研究齿轮啮合中刚度的时变激励、误差的周期性激励和 啮入啮出期间的冲击瞬态性激励，并将这种弹性元件作为整个齿轮系统的一个组 成部分，可以在一个完整的弹性机械系统中来考察激励、系统、响应问的作用和 相互影响，从激励和系统的统一性出发研究系统参数与结构的优化选择与配置。 齿轮系统动力学的研究对象也经历了由一对齿轮组成的简单系统向同时包含齿 轮、传动轴、轴承和箱体结构的复杂系统的过渡。将整个齿轮系统作为分析对象， 可以全面研究齿轮系统的动态性能，轮啮合过程及系统其它零件对啮合过程动态 激励的影响，还可以研究动态激励在系统中的传递特性和传递路线，同时可以研 究齿轮动态啮合力、轴承支撑反力、齿轮、传动轴和箱体的振动特性以及系统振 动噪声的产生、传播与辐射。 齿轮动力学的基本问题是求激励、系统特性和响应三者之间的关系。齿轮系 统的激励分为内部激励和外部激励，外部激励是系统外部对其的作用，主要指原 动机的主动力矩和负载的阻力矩。内部激励是由齿轮副的轮齿啮合过程产生的， 内部激励问题是齿轮系统动力学研究的重点之一，包括刚度激励、误差激励和啮 合冲击激励。刚度激励是因啮合轮齿对数的变化导致啮合综合刚度随时间周期变 化而引起齿轮轮齿啮合力周期变化。刚度激励是一种参数激励。其力学效应使齿 轮系统处于参数振动状态。这样，即使在外载荷为零或常量的情况下，系统也会 因| ；9 f j 度激励而产生振动。在某种意义上，正是齿轮系统的刚度激励，确定了其系 统动力学的基本性质和基本特征，决定了进行分析研究所必须采用的理论和方 法。刚度激励主要与齿轮副的设计参数( 模数、重合度和齿廓修形参数等) 有关。 硕士学位论文第一章绪论 因此，研究刚度激励以及与齿轮系统动态特性的关系，将有助于齿轮传动的参数 设计。由齿轮、轮齿的加工和安装误差引起的齿廓表面相对于理想齿廓位置的偏 移是齿轮系统的误差激励。误差激励是啮合轮齿间的一种周期性位移激励，研究 误差激励对系统的影响，可以了解各种轮齿加工误差与系统动态特性的关系，为 齿轮设计中精度等级确定和加工方法选择提供指导。此外，由于轮齿的受载变形 和加工误差，轮齿在进入和退出啮合时，啮入啮出点的位置偏离理论啮合点，产 生线外啮合，使啮合齿面问产生冲击，引起齿轮啮合过程中的周期性载荷激励一 啮合冲击激励。 要有效地对齿轮系统进行动力分析和动态设计，就必须要建立合适的数学模 型，这也是齿轮系统动力学的中心任务。因此，齿轮系统的数学模型是与齿轮系 统动力学的发展同步的。在齿轮动力学的早期，研究者们主要使用单自由度的简 单动载系数模型，主要用来确定齿轮啮合的动载系数。随着齿轮动力学的发展， 出现了将齿轮的刚度视为系统储能元件，而不考虑其它因素的齿轮副扭转振动模 型：齿轮传动系统模型，它包含了齿轮副、传动轴、支撑轴等；齿轮系统模型， 它同时以齿轮系统中的传动系统和结构系统为建模对象，全面确定齿轮系统的动 态特性。随着有限元技术的发展，在齿轮动力学研究中，也出现了有限元模型， 主要用来确定轮齿的变形、应力、刚度等。 随着人们对传动性能要求的不断提高，齿轮动力学越来越广泛地受到学者的 重视。从目前在齿轮啮合方面的文献资料看来，齿轮动力学研究的主要方向是： 系统的动态响应、动力稳定性【4 q 引。在动态激励作用下齿轮系统的动态响应 是齿轮系统动力学研究的重要内容，主要包括轮齿动态啮合力，轮齿激励在系统 中的传递，传动系统中各零件的动态响应以及箱体结构的动态响应。研究轮齿的 动态力，可以了解系统动态激励产生的机理、大小和性质，确定轮齿的动载荷和 动载系数，对齿轮强度和可靠性设计具有重要意义；研究动态激励的传递与零件 的动态响应，目的在于通过研究系统设计与响应间的关系，进行结构修改减小 动态激励的传递，降低系统中各零件的振动，减小支承的受载，提高系统的工作 寿命，并降低箱体结构的振动和噪声。齿轮系统是一种参数激励系统，与一般振 动系统的重要区别在它具有动力稳定问题。通过齿轮系统的参数激励动力稳定性 的分析，确定影响稳定性的因素和稳定区、非稳定区，为齿轮系统的设计提供指 导。振动和噪声的控制m 啪5 1 。齿轮降噪是传动动力学的重要研究课题。齿 轮传动产生振动和噪声的原因除了轮齿的时变啮合刚度外，另一个主要的原因是 齿轮的啮入冲击、啮出冲击和节圆冲击。啮入、啮出冲击是由于齿轮存在基节偏 差或是齿轮受载变形产生线外啮合而引起的冲击。节圆冲击是齿轮在啮合过程 中，由于经过节点前后摩擦力的方向发生改变而引起的冲击。通过动力学分析不 第一章绪论 难发现，受载齿轮在啮合过程中，轮齿的变形会增大被动齿轮的齿距，减小主动 齿轮的齿距，这样就使得啮入冲击加剧，而啮出冲击减小。由于这个原因，啮入 冲击更受到重视。姚文席、魏任之【2 6 】、王玉芳1 1 6 】等利用近似公式计算过啮合冲 击速度、啮合冲击力。而节圆冲击始终没有受到学者的重视，会田俊夫【2 7 j 、s m i t h f 2 8 】 等都认为节圆冲击很小。状态监控和故障诊断i ”越】。齿轮系统作为机器设备 的动力和运动传递系统，其工作状态如何对整个机器设备的良好运行具有重要影 响，齿轮系统故障的发生可能对机器设备的正常工作起决定性作用。因此，齿轮 系统的状态监测和故障诊断是很重要的。在齿轮系统的状态监测和故障诊断技术 中，利用系统的振动和噪声信号是一种主要的手段。因此，通过对齿轮系统动力 学理论的研究，对系统振动、噪声产生机理的研究，有助于采用更可取的理论基 础来指导状态监测和故障诊断。 1 2 大变位齿轮传动简介 所谓大变位齿轮就是变位系数特别大( x ，1 ) 的变位齿轮，变位系数取值这 样大后，带来一些新的特点，为与一般渐开线变位齿轮相区别，故称之为“大变 位齿轮”。 采用变位的方法能够调整啮入点的位置，从而减小啮入冲击、降低噪声，同 时，大于1 的变位还能避免节圆冲击。所以，变位齿轮在实际应用中用得越来越 广泛了。从文献知，对变位齿轮的研究，主要是考虑各种静态因素，如根切、干 涉、齿顶厚度、重合度等。很少看到在选择变位系数时考虑其对齿轮动力学性能 的影响。有关一些变位对动载荷与噪声的影响，仙波正庄在变位齿轮1 7 0 1 中进 行了综述，但是他并没有就各学者的研究进行深入和延伸，书中有些学者的结论 不尽相同，有的甚至相去甚远，对于直齿轮变位，g n i e m a n n h e 和m u t e r b e r 驿r 得出这样的结论：变位后使得节点位于双齿啮合区内，可以降低噪声。这是因为 此时：肖圆冲击比节点位于单齿啮合区内是要小的缘故。库德略采夫也得到同样的 结论。舒列依科则研究发现变位系数为o 8 ，分度圆压力角为2 8 。，节点位于 双齿啮合区内的直齿轮，与标准齿轮相比，噪声显著减小，接近于斜齿轮的噪声。 j h k u a n 2 和j y u 【5 0 j 在一篇变位齿轮动力学模型的文章中，讨论了小变位对 动载荷的影响，并罗列了一些仿真结果，但是没有给出有价值的结论。m a s a l l i r a r i k a n 【7 1 j 对变位的研究是从重台度的角度出发的，主要研究如何利用变位来提高 重合度，从而降低噪声的问题。对小齿轮采用正变位，大齿轮采用等移距的负变 位，可以减小或避免根切，提高重合度，从而降低动载荷。江旭昌在2 0 0 1 年出 版了大变位齿轮【3 3 j 一书，该书从变位齿轮的基本原理出发，从收集大量大 型开式或半开式齿轮失效的实例分析入手，找出了这些齿轮使用寿命过程与闭式 4 硕十学位论文第一章绪论 齿轮不同的基本规律，阐明了大变位齿轮的特点和优点，论述了各种结构对使用 寿命的影响等。 大变位齿轮在实际生产中已有应用，水泥工业最多，其它工业部门也在逐渐 扩大和增多，而且它的优越性在应用中得到了肯定1 3 ”。如：河南省灵宝县水泥厂 中2 2 2 0 4 0 m 的小型回转窑上使用的大变位齿轮，运转了1 4 年，使用条件比 较恶劣，但从未产生过任何问题。1 9 8 1 年在小屯水泥厂改造中4 4 2 m 立波尔回 转窑大齿圈与筒体连接结构的同时，将大小齿轮也改成了近于大变位的设计，取 得令人满意的效果。机械行业在曲柄压力机上的开式齿轮传动也采用了近于大变 位的设计。在水泥工业中，当前有许多水泥厂应用大变位齿轮来改造旧有的磨机 上的大小齿轮。如青岛水泥厂将巾1 8 3 6 1 m 管磨机的旧有大小齿轮改换成大 变位齿轮后，运转比以前明显平稳，噪音显著减小，使用寿命大为提高。锦西水 泥厂将中2 4 1 2 m 水泥磨上的大小齿轮改为大变位齿轮后，取得上述同样效果。 大变位齿轮用来修复废旧的磨机大齿圈具有显著的经济效益【3 3 】。变位系数变化对 齿轮啮合质量各因素的影响见表1 1 1 3 3 】 表1 1 变位系数变化对各种啮合1 生能的影响 泌数 x 1 iffiii 备注 已陛能 x 2 ffi i fi d 噶氆坷剪 iif f 1 i 1 5龃触徽觚 办秽脚愀 q 2 3 蜘强舶叽f 嘞 “f f f 1 i ：q 埘 ( 2 3 ) 硕十学位论文 第二章时变啮合刚度的研究 上式中，h 是j 点左面直到m 点的微元体的总数，q 鲫是由嘶作用而产生的微元 f 的变形，它包括三部分：( 参见图2 4 等效简化受力图) f x 作用下的压缩变形d ，； f y 和m 作用下的弯曲变形d ：；f y 作用下的剪切变形6 。 yl i lf 。 、 j “ 、 r ：二； 0 ，7 i 。i 厂 ，rx 7，m，- j l i j ， 一- - ，一 x 图2 4 等效简化受力图( 将w ，作用点等效至i 微元左端) 图中x 轴方向的分力f x = w j s i n b j y 轴方向的分力f y = w j c o s b j ， 等效弯距m = w j ( s c o s b j - y j s i n b j ) 。 压缩变抛= 苦扣筹s i n 卢， e 作用下扰郎蓦= 等c o s 卢， e 作用下转觚= 羞一筹c o s 岛 删下物：= 舞= 箸峨c o s 旷删峨) 腓用下转知2 _ 等= 等慨c o s 盱删峨) 弯曲变形6 2 = 甜1 + 目l s + 2 + 口2 s f 剪切变抛：警；掣c o s 卢， 。 翩5 e 。爿， 。 轮齿部分变形q m = 6 1s i n b j + 6 2c o s b j + 6 3c o s b j 将6 、 、 竹八r c 得 硕士学位论文第二章时变啮合刚度的研究 。s n 。( 等) c 。s2卢，!：!：!兰!；i二：盟一c。s卢，sin卢，!学 即，【警卜叫钏 b 。， 从推导的过程可以看出，公式中没有考虑f y 、m 作用下的转角与】j 所带来 的影响，这样算出来的变形如图2 5 ( a ) 所示，根据材料力学中知识知道，弯曲变 形时，真正的变形状态应该如图2 5 ( b ) 所示。但是我们同时注意到这种变形是围 绕截面的中点进行的，因此它不会影响作用线上的位移，可以不予考虑。 ji 、1 、l 图2 5 ( a ) 受力变形图 j 1 6 ； 图2 5 ( b ) 受力变形图 轮齿部分变形变为 a a 2 ( 鲁) c 。s2 卢， 兰! ：! ：! 墨i ；i ! 盟 一c 。sp ，s i n 卢，【兰警】 碱【警卜i 叫钏 b s ， 硕士学位论文第二章时变啮合刚度的研究 ( 2 5 ) 式中，k 是点处轮齿半个齿厚值，v 是泊松比，反是有效弹性模量，它依 赖于轮齿是宽齿( 平面应变) ，还是窄齿( 平面应力) 。宽齿条件是： r ；导，5 ( 2 6 ) h 。 。 7 这早b 是齿宽、风是节点处齿厚， 对r 5 的宽齿， e e2 寿( 2 。7 ) 对r 5 的窄齿， 丘= e( 2 8 ) 2 2 2 基体变形计算公式的确定 根据c o r n e l l l 3 8 l ，设鼢是基体变形量，则勘计算公式为： 对于窄齿2 毒 5 ) ， 月p 驴警”呐臣s 瞎n z c 等，钞 0 4 1 6 7 t a n 2 霹： 1 5 3 4 ( 1 + 二上) 1 根据有效长度l ，可求出工，和毋为： 0 竭- 斯巧t a n f 卢，j( 2 1 1 ) 崎= 2 ( 2 1 2 ) 关于砌和y ，的计算，t a v a k o l i 【4 2 】定义计算基点m 在根圆上，m 点是过渡 曲线和根圆交点与渐开线延长后和根圆交点之间的中点；l i n f 4 5 l 对m 点未作说明； c o m e l l 【3 8 】定义m 点在过渡曲线上，该点的切线与轮齿对称轴的夹角为5 5 ”6 0 。 颜海燕1 4 q 取最大变形条件来决定基点位置，定义，点一二动，m 点在过渡曲线上 变动，点受力作用下的最大的变形位罱即为m 点实际位置。我们通过数值实验 和有限元结果比较得出颜海燕的算法更为精确，但是这种算法与t a v a k o l i 【4 2 1 定义 的基点结果比较误差在1 以内，而计算量却增加了几十倍，所以在本章中我们 硕士学位论文第二章时变啮合刚度的研究 采取t a v a k o l i 【4 2 定义的基点。 2 2 3 局部接触变形计算公式的确定 使用l j n 【4 5 1 文章中的公式，啮合点处局部接触变形计算公式是 驴伍焉 ( 2 _ 1 3 ) q - 2 云i ! i 嗣 ( 2 _ 1 3 ) 上式中w 为法向载荷，e 1 2 。为： 铪篆 ( 2 1 4 ) e 疡。由( 2 7 ) 、( 2 8 ) 两式定义。 公式( 2 1 3 ) 实际上是以h e r t z 接触公式为基础，针对齿轮传动这种特殊接触 形式由l u n d b e r g 和p a l m 孕e n l 4 7 l 提出，后经众多齿轮研究工作者从理论和实测分 析角度予以验证，广为使用【4 2 4 5 1 。公式( 2 1 3 ) 是一对齿轮的接触变形量。因此， 一对啮合轮齿在，点总的变形为： 目1 2 ；( q 目+ g 口) 1 + g 口+ ( + q 女) 2 ( 2 1 5 ) ( 2 1 5 ) 式中的角标1 或2 表示主动轮和从动轮。啮合变形由( 2 1 5 ) 式求出后，啮合 点j 处啮合刚度玛为： k ：旦 4 q 1 2 ， 2 2 4 过渡圆角曲线的精确计算 ( 2 1 6 ) 为了正确计算与实际工作状况一致的轮齿变形，从公式( 2 5 ) 、( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 知，必须要正确确定过渡衄线方程。“n f 矧、c o m e l i f 圳、t a v a k o i i p 8 j 等人在计算 轮齿变形和进行动力学分析时均取过渡圆角方程为圆弧。应该说这是一种简化的 方法，可减少计算分析工作量，但会带来与实际工况的差距。下面给出用于变形 计算中的过渡圆角方程( 下面的过渡圆角曲线计算公式主要来自参考文献 4 6 ，6 4 ，6 5 ) 。 无凸角，压力角为2 0 。的标准滚刀剖面齿形见图2 6 。图2 6 中各符号的意 义如下：r c 为滚刀顶部圆角半径，为滚刀齿顶平台半宽，它的计算公式为， ：里一：一) l a n a 一上( 2 1 7 ) 4 。 c o s a 其中，k 为滚刀齿顶高，m 为模数，n 为压力角， 。为实际加工时，节线 硕士学位论文 第二章时变啮台刚度的研究 至滚刀圆角中心的距离。 。= ：一删一 、 。 一 | ，么i v x ， c 疑二二 上 、： y 彳。 ( 2 1 8 ) ，、 。 一一 ： 图2 6 求轮齿过渡曲线方程示意图图2 7 坐标变换 图2 6 为用共轭齿廊运动学法求轮齿过渡曲线方程示意图。x o y 、x p o 、p y p 为静坐标系，x 1 0 1 y 1 、x 2 0 2 y 2 为动坐标系，滚刀滚动相当于齿轮平动，滚刀圆角 与被加工齿轮共轭出来的曲线即为过渡曲线方程。初始位置取刀具齿廓与齿轮齿 槽对称相嵌位置，过渡曲线方程为： 艮( r ：瓮嚣二：嬲0 黜盂 仁聊 l _ ) 2 = ( ，一 。) c o s 妒一t c o s o + 妒) + ( ，妒+ ) s i n 妒 、。7 式中：一今s 妒s 元耋斋一拿，若令日；妒+ 舍则o s 口s i 耋嘉 r ，t a n 2 0 。r 。 ，r t a n 2 0 0 r 是被加工齿轮分度圆半径，方程( 2 1 9 ) 求出的是图2 7 中x 2 0 2 y 2 坐标系下的过 渡曲线f l f 2 的方程，欲与图2 3 对应过渡曲线，则需变换到图2 6 所示的x o y 坐 标系中，通过变换与化简得到过渡曲线方程： 州 柚卿) _ r 州删一矗每咖埘s 1 ( 2 ：o ) y r - ( r 一吃阚p 旧硼i n 够+ + 话斋胁n 够+ 啦。邪+ 堋 p 满足口。口口。这里 1 4 硕士学位论文第二章时变啮合刚度的研究 卜争争 口m 。o 卜；志 ( 2 2 1 ) 过渡曲线相切于根圆，e 取e 。时，过渡睦线与渐开线 2 3 有限元法计算刚度的拟合公式确定 前面推导了材料力学法计算轮齿变形的公式，接下来我们给出有限元法的计 算公式。本章中采用的有限元计算方法并不是直接采用有限元软件进行计算，而 是采用j ，h 。k u a n g 和y 。t 。y a n d 4 7 1 应用一个二次平面应变的等参有限元模型计算单 齿的刚度，对结果进行回归拟合得到单齿刚度的计算公式，这个公式在限定的范 围内计算单齿刚度具有足够的精度。计算公式如下所示： 墨( r i ) 一轵。+ 4 置) + ：+ 4 疋) i 妄 州彬一 式中，尼，肜部 分别为节圆半径，变位系数和齿数 a 0 = 3 8 6 7 “6 1 2 n i o 0 2 9 1 6 n i 2 + o o o o l 5 5 3 n 1 3 a l = 1 7 0 6 0 + o 7 2 8 9 n i 一0 0 1 7 2 8 n i 2 + 0 0 0 0 0 9 9 9 3 n i 3 a 2 = 2 6 3 7 1 2 2 2 n 。+ o 0 2 2 1 7 n i 2 o o 0 0 1 1 7 9 n i 3 a 3 - - 6 3 3 0 1 0 3 3n i + 0 0 2 0 6 8n i 2 _ 0 0 0 0 1 1 3 0 n i 3 上式适用于一o 6 x i o 6 ，1 2 n i 1 0 0 的钢制齿轮。 对于非钢制齿轮，k = k q 。l + ； e = e e s t e e l 。 2 4 数值计算结果的对比分析 上面我们给出了比较常用的两种刚度计算方法，本节将对这两种方法的计算 结果进行对比分析。 硕士学位论文 第二章时变啮合刚度的研究 24 1 材料力学法的数值计算步骤 首先建立坐标系( 按图2 3 建立) ，对过渡曲线进行离散，根掘t a v a l ( o l i 【4 2 】 对m 点的定义，计算m 的坐标，然后对啮合线进行离散，并对离散点以内的渐 开线部分齿廓离散，将离散后的渐开线部分和过渡曲线部分合并，再根据上面我 们推到的公式计算变形，求出啮合刚度。我们对这个过程进行了程序化，其流程 如图所示： 刚度计算流程图 2 。4 2 数值计算结果的对比分析 用m a t i ，a b 软件编制程序，进行数值计算。耿z 1 = z 2 = 2 8 、m = 3 1 7 5 m m 、齿宽 b 1 = b 2 = 6 3 5m m 、t = 7 1 7n m 的一对齿轮计算其弹性变形，结果如图2 8 所示。 图2 8 图2 9 中的最上面的曲线是一对啮合齿的变形曲线，图2 8 与o s w a l d 的 n a s a 报告( 图2 9 ) 比较，结果较吻合。 取z 1 = z 2 = 3 6 、m = 3 1 7 5 m m 、齿宽b = 2 5 4 m m 、变位系数x 1 _ x 2 = 0 ，w 。= 5 0 0 n m 的一对齿轮，分别用本章公式与j 。h k u a n g 及y t 。y a n ”的有限元回归拟合公式 所得的结果比较( 图2 1 0 ) 。本章结果相对有限元法结果略大，但比i s o d i s 6 3 3 6 1 略小，也就是介于两个之间，因此本章提出的方法计算啮合网0 度合适。 硕士学位论文 第二章时变啮合刚度的研究 图2 8用本文方法计算得到的结果 砸n s i o n l e s 8s 1 = = cd u e o n i b s tc a s e1 一g e 翘n o i s et e s tg e m x 一 i $6 o，o t oooj ，口 r o l i - a n g l e e 矿e e 0 图2 9 0s w a l d 的计算结果1 r c l 胛c r c mr “m c l + r d ( a ) 用本文方法计算得到的结果( b ) 有限元法计算的结果 图2 10 用本文方法计算得到的结果与有限元法计算结果对比 ( a ) n 1 = n 2 = 36 图2 1 1 变位系数对刚度的影响曲线 图中横坐标图r 。1 、2 分别为齿廓接触点处的曲率半径，r 。1 + 2 就是两个齿 轮基圆公切线的长度。2 1 1 给出的是不同变位系数对刚度的影响。从图中我们得 知：图2 1 1 中x 轴方向的位置变化反映出变位系数对轮齿进入啮合时的位置的 影响，变位系数越大，则进入啮合的时间越晚。图2 1 1 一a 是z 1 _ z 2 = 3 6 时的情况， 硕+ 学位论文第二章时变啮合刚度的研究 x 1 _ x 2 ：0 时，啮合刚度最大，随着变位系数的增加，刚度逐渐减小，因为两个轮 齿的刚度在x = o 时是相等的，当改变变位系数时，主动轮齿刚度变大，从动轮齿 刚度减小，总的刚度减小。图2 1 l - b 是z 1 = 2 8 ，z 2 = 5 6 时的情况，此时刚度并不随 变位系数增加而减小，而是先变大后减小，因为x = 0 时主动轮齿的刚度小于从动 轮齿的刚度，当改变变位系数时，主动轮齿刚度增大，从动轮齿刚度减小，总的 刚度是增加的，当变位系数改变较大时，刚度达到最大后减小。变位系数的增 加会减小啮合区域的宽度，即减小重合度，但是有一种情况除外，即在有根切发 生时，适当的变位会增加重合度( 详见第六章分析) 。刚度随变位系数的变化是 有规律的，而没有出现变位系数达到一定值后刚度发生突变或异常变化的情况。 2 5 本章小结 本章对材料力学计算刚度公式进行了推导，对于危险点m 的确定并没有采用 计算量大，但精度改进不明显的最大变形标准。 本章的有新意的工作是；详细推导与解释了轮齿弹性变形计算数值方法中的 计算公式，为掌握与理解这种方法作了基础性的工作。主要有新意的结论是： 现有的齿轮传动动力学分析中的刚度计算大都使用有限元方法，本章的数值计算 结果对比表明，完全可以用较简单的方法替代有限元法，这样可减少工作量，降 低计算时间。用有限元法计算变形很难与有误差的齿轮动力学问题有机联系起 来，而轮齿弹性变形计算数值方法计算变形时，可与有误差的齿轮动力学问题较 好结合。 硕十学位论文第三章综合传递误差与摩擦系数的研究 第三章综合传动误差与摩擦系数的研究 传递误差和摩擦都是研究齿轮动力学所必须研究的问题，本章将提出一种 新的更便于理解的传递误差概念模型，推导传递误差与双齿啮合条件、载荷的分 配、误差、变形等物理量的关系。得出静传递误差的计算公式及动态传递误差和 动态啮合力的计算方法。用计算机进行仿真，讨论传递误差的变化对齿轮动载 的影响。讨论并比较几种具有代表性的直齿轮轮齿间的摩擦系数的计算模型，确 定出用于传动动力学方程的摩擦系数计算模型。 3 1 传递误差的概念模型 为深刻而又直观的理解传递误差，了解其内理，提出了如图3 1 所示的传递 误差概念模型。a 、a 1 为理想齿轮，b 、b 1 为实际齿轮，a 与b 基本参数( 包括 齿数、模数等) 完全相同，a 1 与b 1 基本参数完全相同。a 、b 两齿轮固定在同 一转轴上，且固定的相位角相同。a 、b 分别带动a 1 、b l 。给轴一个转动， 则a 、b 以相同的速度转动，因为a 、a 1 为理想齿轮，b 、b 1 为实际齿轮，b 、 b ，齿轮误差的存在使的b 。与a 1 的转角并不完全相同。如果将时钟指针与齿轮 a 】与b 1 的一个齿固联，则a 1 可以认为是标准时钟，b 1 为有误差的时钟。 根据图3 1 传递误差概念模型，对传递误差的描述( 定义) 为：某一时刻 起，a 、b 转过相同的角度e1 ( 本模型可以满足任何时刻a 、b 转过的角度相同) ， b 1 转过的角度o2 与a 1 转过的角度e2 之差就是b 、b 1 齿轮对的传递误差( 转角 表示形式) 。 mn 图3 1 传递误差概念模型 本传递误差模型相对于已有的传递误差模型可以更能清楚的表达传递误差 的概念。如果用图3 1 传递误差概念模型来描述就是：假设某一时刻t o ，时钟 硕士学位论文 第三章综台传递误差与摩擦系数的研究 a 1 指在3 ：o o 的位置，时钟b 1 指在3 ：0 1 的位置，经过t 时间后，时钟a 1 指在 4 ：o o 的位置，时钟b 1 指在4 ：0 2 的位置，按照原模型的描述，在这t 时间内， b t 转过的角度ob 是1 5 2 5 。，a 1 转过的角度oa 是1 5 。，那么ob o a = o 2 5 。， 即传递误差为o 2 5 。 3 2 传递误差计算的力学模型 前面我们给出了传递误差的概念模型，它的提出可以更能清楚的表达传递误 差的概念，在明确了传递误差的定义后，我们将在本节建立力学模型，进行传递 误差的具体计算。 图3 2 传递误差力学模型 齿轮传动通过轮齿的接触来传递运动和力，在接触点沿作用力方向的弹性 变形有：1 ) 轮齿弹性弯曲变形，用符号d b 表示；2 ) 轮齿接触变形，用符号d h 表示。此外，我们还考虑实际齿轮传动的齿形误差e f ( 含修形量) 、齿距误差e s 。 根掘齿距误差的定义，当实际齿距大于公称齿距时e s 取正，反之取负。而齿形 误差e f 的定义是：轮齿的两条设计齿形间的法向距离。那么我们在考虑齿形误 差e f 时，根据它对齿距的影响定义其正负，即：实际齿形大于理想齿形时耿正， 反之取负。 图3 2 为一对啮合轮齿的力学模型。每一轮齿可模拟为刚体渐开线齿通过两 个弹簧与接触块和轮体相连；齿体是刚性体，上面可分布许多渐开线齿。图3 2 中，l 、2 为刚体渐丌线齿；a 与a 代表无质量刚体块；b 1 、b 2 代表与弯曲弹性变 形相关的两弹簧，其刚度系数分别是，、i ( b 2 ，柔度系数分别为c b ，、q ：； h 1 、h 2 表示与接触变形有关的两弹簧，其刚度系数为k h l 、k h 2 ，柔度系数分 硕：b 学位论文第三章综合传递误差与摩擦系数的研究 别为c h l 、c h 2 p 、g 指的是主从动轮轮体；虚线表示理想无误差齿形，实线代 表实际齿形。 3 3 传递误差计算公式的推导 建立了前面的传递误差力学模型后，接下来我们进行传递误差公式的推导。 从主动轮到从动轮传递载荷和运动的过程，由图3 2 的力学模型表示为：载荷和 运动由主动轮轮体p ，经过b l ，渐开线齿1 、2 、h 1 、h 2 等中间元件最后由从 动轮轮体g 传出去。若主动轮轮体p 在t 时间间隔内转过o1 角，在啮合线上 的位移则为“le 1 ，由图3 2 知，从动轮轮体g 在啮合线上的位移是： 2 曰2 = 1 口l 一脚1 一册1 + 巨 + 互如+ e 洛舳一d 曰2 一d h 2( 3 1 ) 公式( 3 1 ) 的物理意义是，r b lo1 要克服弹性变形及误差引起的间隙量，然后 才能推动从动轮转动。由传递误差的定义知： z e 荨点 ，1 + 点，2 + e s 加一( 伽1 + d 曰2 + d h l + d h 2 )( 3 2 ) ( 3 2 ) 式中d b l 、d b 2 代表在啮合点两轮齿沿啮合线的弯曲变形量，d h l 、d h 2 代表在啮合点两轮齿沿啮合线方向的接触变形量，设图3 2 模拟的是图3 1 中的 啮合点a ，两齿之间的载荷为f a ，则在a 由f a 产生的总变形为： 。d b l + d 占2 + d h l + j 懈2i f _ ( c 6 1 + c 0 2 + c h l + c h 2 ) 等死6 ( 3 3 ) 式中的6 。是啮合齿对在啮合点a 的综合变形柔度系数，即单位载荷 作用下沿啮合线方向的变形量。 e f l 、e f 2 分别是主从动轮在啮合点处的齿形偏差( 包含修形量) ，负 偏差取负值，正偏差取正值。e s a b 是当前啮合齿对与前一啮合齿对之间 的综合齿距偏差，负偏差取负值、正偏差取正值，b 代表沿啮合线方向领 先于a 点的另一啮合点。用e 。表示轮齿综合偏差( 包括齿形和齿距偏差) 。 公式( 3 3 ) 可写成： z e = e 。一只d 。 若为双齿啮合，a 为其中任意啮合点( 3 4 ) 公式基于静态条件得出，称之为静态传递误差。 有了传递误差计算的两个模型和相应的计算公式，可以较容易地解决许多 问题，如可根据齿形偏差，材料性质，几何参数等，计算出低速静态条件下双齿 啮合区的载荷分配及高速动态条件下啮合齿对问的动态啮合力。 硕十学位论文第三章综合传递误差与摩擦系数的研究 3 4 传递误差计算结果的对比分析 有了传递误差的计算公式后，我们将在本节对传递误差进行数值计算，并与 已有的实验结果进行对比以验证公式的正确性。 rgm u n m 、lm o i s ha n