（基础数学专业论文）三类种群生态学模型的定性与稳定性分析.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 本文主要运用常微分方程定性与稳定性理论及分支的方法，研究了三类 种群生态学模型全文内容共分为四章 第一章是绪论，先综述了生态学发展的状况，随后介绍了问题的引入以及 本文的主要工作最后介绍了本文所用到的一些有关生态学和稳定性方面的 定理和引理 第二章讨论了一类具有密度制约和相互干扰的捕食食饵两种群功能反 应模型，得出了存在惟一及其全局稳定正平衡点和极限环不存在的条件最后 举例给出了结论的运用 第三章讨论了一类三次k o l m o g o r o v 系统在非常数收获下的特性，获得了 极限环惟一性、惟二性的条件，并给出了数值计算与模拟，得出了对两种群施与 收获有利于系统持续生存的结论 第四章研究了一类被开发的具有时滞和阶段结构的三种群模型，第一部 分先讨论了自治的情形，得到了系统永久持续生存与正平衡点全局渐近稳定 的充分条件，讨论了时滞对系统稳定性的影响，当时滞变化时，系统分支出了一 个小振幅的渐近稳定的周期解最后，在正平衡点全局稳定的情形下，给出了最 优收获策略第二部分考虑了该系统成年第一种群有扩散并且是非自治的情 形，得到了系统永久持续生存和存在惟一全局渐近稳定正周期解的充分条件 关键词：全局渐近稳定；h o p f 分支；阶段结构；时滞；正周期解 西北人学硕士学位论文 q u a l i t a t i v ea n ds t a b i l i t ya n a l y s i so ft h r e e p o p u l a t i o nm o d e l si ne c o l o g y a b s t r a c t i nt h i sp a p e r b yu s i n gt h eq u a l i t a t i v ea n ds t a b i l i t yt h e o r i e sa n db i f u r c a t i o n m e t h o do fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h r e ep o p u l a t i o nm o d e l si ne c o l o g ya r e s t u d i e d t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n ，t h ed e v e l o p i n go fe c o l o g ya n dt h em a i n w o r k so ft h et h e s i si si n t r o d u c e d ，t h e ns o m ef u n d a m e n t a lt h e o r i e sa n dl e m m a so f e c o l o g ya n ds t a b i l i t yt h a tc a nb eu s e di nt h i sp a p e r a r eg i v e n i nt h es e c o n dc h a p t e r , ac l a s so ff u n c t i o n a lr e s p o n s ep r e d a t o r - p r e yt w o s p e c i e sm o d e lw i t h m u t u a li n t e r f e r e n c ea n dd e n s i t yd e p e n d e n c ei ss t u d i e d u n i q u e n e s sa n dg l o b a ls t a b i l i t yo fp o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t ，n o n - e x i s t e n c eo f l i m i tc y c l ea l eo b t a i n e d l a s t ，b a s e do nt h e s ec o n c l u s i o n s ，a ne x a c te x a m p l ei s g i v e n i nt h et h i r d c h a p t e r , t h ef e a t u r e o fac u b i ck o l m o g o r o vs y s t e mw i t h n o n c o n s t a n th a r v e s ti ss t u d i e d u n i q u e n e s so fl i m i tc y c l ea n de x i s t e n c eo fa tm o s t t w ol i m i tc y c l e sa r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h en u m e r i c a le x a m p l ea n ds i m u l a t i v e r e s u l ta r eg i v e n ，w h i c h s h o w st h a th a r v e s to ft h et w og r o u p si sp r o p i t i o u st o p e r m a n e n c eo fs y s t e m i nt h ef o u r t hc h a p t e la n e x p l o i t e dd e l a y e dt h r e es p e c i e s m o d e lw i t h s t a g e - s t r u c t u r ei sp r o p o s e d i nt h ef i r s tp a r t ，a u t o n o m o u sc a s eo ft h i ss y s t e mi s s t u d i e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ep e r m a n e n c ea n dg l o b a l a s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo fp o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r eg e t a tt h es a m et i m e ，t h ee f f e c t o fd e l a y so nt h es t a b i l i t yo ft h es y s t e mi sd i s c u s s e d ，a sd e l a y sc h a n g e ，as m a l l a m p l i t u d ea s y m p t o t i cs t a b l ep e r i o d i cs o l u t i o ni sb i f u r c a t e d f i n a l l y , t h eo p t i m a l h a r v e s t i n gi sg i v e n i nt h es e c o n dp a r t ，t h en o n a u t o n o m o u sd i f f u s i v es y s t e mi s c o n s i d e r e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ep e r m a n e n c ea n d u n i q u e n e s so fg l o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h es y s t e m i i 西北大学硕士学位论文 a r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：g l o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ；h o p fb i f u r c a t i o n ；s t a g es t r u c t u r e ； t i m ed e l a y ；p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n i i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：蕴逝指导教师签名： 翼置窒三 7 胡年月留e t耀年了月。? 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：缎慨酞 硒年月8 日 西北大学硕士学位论文 综述 第一章绪论 在生物科学的研究中，人们往往从两个角度去考察问题一是考察生物体的 微观性态，二是对生物体做宏观的研究，不仅研究它本身，而且研究它的生存与周 围环境的关系，这就是生念学在种群生态学中，我们的目的是想办法去建立能够 比较准确地描述这个生态系统的数学模型，然后通过数学计算和数学理论分析去 解释，去了解一些生态现象，以达到人类对某些生态现象的控制把微分方程模型 引入生态学领域从而使生态学发展到了一个黄金时代在这一领域，出现了 l o t k a 、v o l t e r r a 、k o l m o g o r o v 等大师及以他们名字命名的模型和系统近来生物 数学各个领域中科研成果大批涌现，其中数学生态学的发展极为迅速，己经成为 生物数学各领域中目前发展得最为完整、最为系统的一个重要分支它所建立的 模型和方法，不仅直接推动着生态学的发展，而且对生物数学的其它领域，也产生 着重要的影响 本文所研究的三类生态模型都是模型方面的热点与前沿，具有一般性，在研 究时难度较大，但这些模型比较符合实际，所得结果不仅具有理论意义，而且还有 很大的实用性和经济价值根据生态学的实际意义，我们总在区域 否一 g ，y ) lx 乏o ，y 0 ) 上进行讨论，r i n g = 缸，y ) lx o ，y 0 ) 1 1 问题的提出与本文的主要工作 一、两种群相互作用的功能性反应模型，其一般形式为： p = 厂& ) 一b ，y ) 1 夕= 一e y + 七妒b ，y ) 其中，b ) 为食饵种群的增长率，驴b ，) ，) 为捕食者的功能反应函数 功能反应函数是指单位时间内捕食者捕获食饵的个数，即捕食者的捕食率， 它反映了捕食者捕获食饵的能力 以下考虑驴为仅与x 有关的函数b ) 1 9 6 5 年，h o l l i n g 基于实验的基础上： 在文献【1 】中对不同类型的物种提出了三种不同的功能性反应函数驴g ) ： 西北大学硕士学位论文 第1 类功能性反应函数为g ) 。 饯zs z 。它适用于藻类、细胞等低等生物： 【u o 石) 工。 第1 i 类功能性反应函数为驴b ) 。导它适用于无脊椎动物： 上+ d r , 第1 l i 类功能性反应函数为g ) ：与它适用于有脊椎动物： l + b x 。 后来生态学家根据具体的生态现象提出许多更符合实际的功能反应模型， 如s o k o l h e 和h o w e l l 在文献【2 】中提出了h o l l i n gi v 类功能性反应函数 g ) 2 瓦a x 萨 k a z a r i n o v 租v a n d e nd r i e s s c h e 在文献【3 】中引进了一般功能性反应函数 g ) ：二_ 其中s 苫1 ，c 为正常数 c + x 。 b e d d i n g t o n 在文献【4 】中和d e a n g e l i s 在文献【5 】中提出b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能 性反应函数 妒g ) ：壬 在1 9 7 1 年h a s s e l l 研究发现寄生物本身在搜寻寄主时相互间有干扰，这干扰 随寄生物密度的增加而增加，撇_ - - r 察在文献【6 】中提出了一个既考虑到密度 制约又考虑到相互干扰的捕食食饵功能反应系统其模型如下： 信翌_ + y 哕m y ( - d 壤h n ， 1 夕；+ 哕”1 驴b ) 一目( y ) ) u j j ， 其中g ( x ) 为食饵种群的增长率，b ) 为捕食种群的功能反应函数，d + 口( y ) 为捕食 种群的死亡率，m ( 0 2 的情形得出了系统解的有界性 及存在极限坏的条件，未讨论极限环的惟一性2 0 0 4 年徐鹏春、代万基等在文献【1 4 】 中研究了食饵种群具有常数存放率的如下系统： p = 戈乒。蚂弋+ a 2 x 2 - a 3 y - a 4 x y ) + ( 1 1 5 ) 协y 缸2 一d ) u j j 3 西北大学硕士学位论文 讨论了其中所有系数均为正常数的情形得出了系统存在惟一极限环的条件 2 0 0 5 年，米黑龙、杜超雄在文献【1 5 】中也对不考虑收获率的系统作了研究2 0 0 6 年 芦雪娟、李冬梅在文献【1 6 】中讨论了两种群同时具有常数收获率的如下模型： p 。z 【口o a l x 、- “2 吧y - a 4 y 2 ) 一，l ( 1 1 6 ) 1 夕一y ( b , x 一) 一厂2 “一 讨论了其中口。，a ：，a 3 , a 。，b o ，b l 均为正常数，a ，不定号的情形得出了闭轨不存在及 极限环存在的条件，未讨论极限环的惟一性对于两种群都有收获率的 k o l m o g o r o v 系统其极限环的存在性与惟一性，至今没有相关文献而研究如何对 两种群施与合理的收获，使之在不灭绝的情况下能不断为人类提供资源，将有重要 的理论意义与应用价值k o l m o g o r o v 系统的极限环分支问题，它与著名的h i l b e r t 十六问题有着一定的联系，并且利用焦点量构造小扰动极限环又是目前国际上所 关注的问题 在此基础上本文讨论了如下一类具有非常数收获的三次k o l m o g o r o v 系统： p 硝【口。枷- x - a 、2 口，y + a 4 x y ) 一恤 ( 1 1 7 ) 1 夕：y ( - b o + 岛z 2 ) 一h ：e y 、1 上7 其中口o ，a 2 ，b o ，b l 均为正常数，且a o h i e ，a ir a 3 ，a 。不定号，e 为两种群的捕捞强 度，h 。，h ：分别表示两种群的收获系数，且均大于零 运用定性及分支理论对此类系统进行分析，得到了系统的有界性，极限环的不 存在性、惟一性，通过分析所求焦点量的扰动，得出系统又分支出一个极限环，进而 得到极限环的惟二性，最后给出了数值计算与模拟通过对比有收获和没有收获的 情形，得出了对两种群施与收获有利于系统的持续生存所得结果比较完整，有重 要的理论意义与应用价值 本部分的主要内容己在延安大学学报自然科学版2 0 0 7 年第3 期发表， 分布在论文的第三章中 三、自然界中许多种群的个体要经历不同的生命阶段最终演变成成年个体， 而且在其成长的每一个阶段都会表现出不同的特征，如幼年种群没有生育能力、 捕食能力，生存能力和与其他种群竞争有限资源的能力都比较弱，容易死亡，难以 作大区域性的迁移等而成年种群则不仅有生育能力、捕食能力，而且生存能力比 4 两北大学硕士学位论文 较强，常常有能力与其他种群竞争有限的资源物种在其各个生命阶段的生理机能 差别比较显著除此之外，成年种群和幼年种群之间还有相互作用，这些都在不同 程度上影响着生物种群的持续生存与绝灭因此考虑具有阶段结构的种群更有实 际意义文献【9 】中陈兰荪等建立了如下基本的具有阶段结构的种群动力学模型： 础瓮蹴d 嚣矾 舶， 1 戈：o ) = p o 矽o ) 一：o ) j 7 其中x i ( f ) ga1 ，2 ) 分别表示在时刻f 时幼虫、成虫的密度，口o ) 表示在时刻f 时幼虫 的出生数目，q o ) ( f = 1 2 ) 分别表示在时刻f 时幼虫、成虫的死亡数目，( f ) 表示在 时刻f 时由幼虫转化为成虫的数目，尸o ) 表示在时刻f 时从幼虫转化为成虫转化成 功的概率 具有阶段结构的种群模型己经被许多人做了研究( 见文献 1 7 2 2 】) ，其中大 部分的文章中，阶段结构是通过增加时滞来刻化的，时滞的增加，导致了系统由 常微分方程变成时滞微分方程 对系统( 1 1 8 ) 若死亡率按m a l t h u s 规律，即记q ( f ) 一o k 。o ) ，d ：( f ) 一6 0 k ：o ) 并按时滞转化。则成为： 枷b 一b 州1 一鲁) ) 圳) ；b o f ) ( 1 一鲁) 一6 蝴) 其中p o ) 表示在时刻f f o ) 时出生的幼虫活到年龄f 时的概率，因为幼虫的死亡 率为o ) ，即毫掣：一o h 。o ) ，所以p ( f ) 。p t r “，乩协 1 9 9 0 年a i e l l o 和f r e e d m a n 在文献【1 8 】中提出了如下著名的单种群具时滞的 阶段结构模型： ，t ) = o 茗：( f ) 一万，o ) 一a 蟹一r r 妒( f f ) 靴纛鐾一2堆-17e2-飞rrxx2t 7 xo 一f 。， 戈。) = o 茗：o ) 一，oo r ) 。7 j ：o ) = t t e r r x ：o f ) 一肛：2 ( f ) t f 5 西北大学硕士学位论文 这里假定种群初始阶段一zs tso 情况已知，驴( f ) 为z ，( f ) 在一百s ts0 时刻的状态 假定幼虫的出生率和死亡率都符合m a l t h u s 规律，在时刻f 时幼虫的出生数目为 b ( t ) = 饵：o ) ，死亡率为) ，成熟期为正常数z o 可算得在时刻f f 时出生的幼虫 活到年龄f 时的概率为p g ) = e 1 一t 胁= e - ，r ，因此粥一r r x ：g f ) 表示在f f 时刻出 生的幼虫( 即饿：g r ) ) 到f 时刻还存活下来的种群数量，也就是说伽一p z ：o f ) 表示幼虫到成虫的转化在实际中常常认为成虫衰老死亡比较快，假定死亡率为 一肛：u ) 其后十余年至今，在文献【1 8 】的吸引下，许多人沿着他们的足迹加入研究阶段 结构系统的行列，取得了许多进展如2 0 0 2 年肖燕妮和陈兰荪在文献【2 3 】中研究了 有阶段结构的竞争系统中自食的稳定性作用；2 0 0 3 年陆志奇、魏萍、裴利军在文 献 2 4 1 中对有时滞的阶段结构模型作了研究，得到了系统永久持续生存和绝灭的 充分条件这些文献考虑的种群数都没有超过两个，而在现实生活中许多种群的生 长可以划分为多个阶段，比如人口增长模型，可以划分成幼年、成年、老年三个阶 段，2 0 0 5 年在文献【2 5 】中梁志清、陈兰荪讨论了如下三阶段的单种群模型： 戈。g ) = a ( t ) x ，o f ) 一b 。( f k ，o ) 一c o b 。o ) 戈z 9 7 = c ( f p ，9 2 一d ：，g k j ( f ) 一p ( f b ：o ) 一p ( f k ：2 0 ) ( 1 1 1 1 ) 戈，o ) = p ( f b ：o ) 一厂o h ，( f ) 。 x l ( o ) o , x ：( o ) o , x ，( o ) o ，f 【吖，o 】 得出了正周期解的存在性2 0 0 6 年，徐瑞等在文献1 2 6 q b ，蔡礼明、方琴华、宋新宇 在文献1 2 7 1 q b 都对有时滞的阶段结构模型作了研究同一年伍代勇、陈斯养在文献 【2 8 】中根据陈兰荪在文献【2 9 】中提出的一类捕食者种群捕食食饵后，提高了捕食者 种群生育能力的阶段结构模型，讨论了以下模型： 戈。( f ) = ( 口。+ b y ：o ) b ：( f ) 一) ，z 。o ) 一e r r ，仁。+ o l y ：t 一_ ) k ：t 一) 戈z ，? 2e n 1 妊+ o - y 2 ，( t 、一f ) x ( t - - 7 7 ：) 一屈? ：2 ( f ) ( 1 1 1 2 ) 夕。( f ) = a ：y ：o ) 一y 2 y 。o ) 一a ：p n “y ：o f ：) 。 夕：o ) = a 2 e - y z r 2 y ：o 一1 7 2 ) 一卢：y ：2 ( f ) 一0 ：x ：o 涉：( f ) 其中工，x ：分别表示捕食者种群幼年和成年的密度，y l , y ：分别表示食饵种群幼年 和成年的密度，岛y ：o k ：o ) 为由于捕食食饵，捕食种群在单位时间内生育能力的增 6 西北人学硕士学位论文 长翠 以上这些模型都没考虑被开发的情形为了制定收获策略和保持生态系统的 持续发展，人们希望生态系统是持久的因此可更新资源的开发管理一直是一个非 常重要的研究课题，受到许多学者的关注( 见文献【3 0 ，3 1 】) 但是对具有阶段结构 开发模型的研究还很少见到，并且对于阶段结构模型，大多数文章都只是讨论单 种群模型，很少有文章涉及多种群模型大量学者的研究表明，一个比较符合实际 的生态系统基本都要考虑到时滞的作用 在此基础上本文考虑基于以下假设建立的模型： ( h 。) 幼年种群的出生率、死亡率符合m a l t h u s 规律，即与其密度成正比 ：) 成年第一、第二种群及第三种群的增长都是密度s u # j 的 旧，) 第三种群捕食成年第二种群，成年第二种群捕食成年第一种群，且都可以依 靠此系统之外的食物为生 ( h 。) 捕食者种群捕获食饵后其生育能力的增加与其捕获量成正比 ( ，) 第一、第二种群都有时滞效应 。) 分别对前两个种群的成年阶段和第三种群施与了收获 在上述假设f ，建立了如f 具有时滞和彤i 段结构三种群模型： 童。t ) = 口。z ：o ) 一y l x 。g ) 一口。e n 而工：o 。f 。) 戈：( f ) ；口。e - ，而z ：( f 一_ ) 一卢，x 2 2 0 ) 一b x ：( f l y ：o ) 一h 。e x ：o ) 夕。o ) = ( 口：+ 七，岛x ：0 ) ) y ：o ) 一y 2 y ，o ) 一e r ，：( 口：+ 七，1 9 1 工：o 一- t 2 ) ) y ：o f ：) ( 1 1 1 3 ) 夕：t ) ；p n 功( 口：+ 七，岛x ：( f l 2 ) ) y ：( f f ：) 一f 1 2 y 2o ) 一0 ：y ：o k ( f ) 一h ：e y ：t ) 2 0 ) 一( 口，+ 七：0 2 y ：g ) b ( f ) 一岛z2 0 ) 一h ，& o ) 其中x io ly io = 1 , 2 ) ，z o ) 为种群x ，y 幼年、成年及种群z 在时刻t 的密度， 口，g l 2 ，3 ) 表示出生率，y i ( f ；1 ，2 ) 表示幼年种群的死亡率，肛g = l 2 ，3 ) 表示密度 制约系数，佛o = 1 ，2 ) 表示捕食者对食饵的捕杀率，t ( f = 1 , 2 ) ( 0 n 时，补充定义a ，= 0 定理1 2 3 t 3 2 1 ( d u l a c 判别法) 若在单连通域g 内存在函数b g ，y ) e c l ( g ) 使 了a ( b e ) + 丛掣乏。仁o ) ，g ，y ) g 且不在g 的任一子区域内恒为零，则系统不存在 蚁d v 全位于g 内的闭轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线 定理1 2 4 1 3 2 i ( 比较原理) 设有c a u c h y 问题 西北大学硕士学位论文 伍，雌矶川( ：雌玎幻) i y k ) = y oi y g 。) 一y o 其中数量值函数f 与f 均在域g r x r 内连续且对y 满足局部l i p s c h i t z 条件， b o ，y o ) e o 并设伍。) 与伍：) 的解均在区间a ，6 ) 内存在，分别记为 y = y g ) 与y = y g ) 若厂g ，y ) f g ，y ) ，v g ，y ) e g ，则 y g ) y b ) ，x o x y ( x ) ，a 0 时，系统在点( 0 ，o ) 附近至少有一个稳定( 不稳定) 的极限环 定理1 2 6 阻1 ( b r o u w e r 不动点定理) 设t 连续地映射8 4 中的有界闭凸集q 到 q ，则t 在q 内必有不动点 引理1 2 1 3 5 1 ( b a r b a l a t 引理) 若，为定义在【0 ，+ ) 上的非负函数，且，在 【o ，+ ) 上可积、一致连续，则l i m 厂( f ) 一0 弓i 理1 2 2 t 3 6 1 给出方程戈o ) 一b z o f ) 一日，x ( f ) 一口：z 2 0 ) 其中 b 。，口：，f o ，石g ) o ( s - v ，o d 贝i j 1 ) 当口。s0 - 3 j ：b , 口。 o 时，l i m 工( f ) ：塑； 2 ) 当口，2 6 ，时 萑j l i m 工o ) 一0 1 0 西北大学硕士学位论文 第二章一类具有密度制约和相互干扰的捕食一食饵 两种群功能反应模型的定性分析 2 1模型及平衡点性态分析 如前所述，本章研究如下具有密度制约和相互干扰的捕食食饵两种群功能反 应模型 # 二裂：张h ) 汜) 其中g g ) 为食饵种群的增长率，妒b ) 为捕食者的功能反应函数，d + g ( y ) 为捕食种 群的死亡率，所( o o ，g x ) so ，存在七 0 使得g 亿) 一0 其中k 为环境对食饵种群的容纳量 ( 6 )驴( o ) = o ，g ) 0 ( c ) g ( o ) 一o , q ( y ) 0 食饵种群的等倾线，。：醒g ) 一y ”妒g ) 一0 捕食种群的等倾线，：y o 及一d + c y ”1 妒g ) 一留( y ) ；0 分析两等倾线方程 ( 1 ) 先考虑，1 的方程舢”= 裂，它在z _ 。的极限为 y ”l i m y m f f i g ( 。) l i m 州, x - 矣刊。) 嘞南= 瑞胁一( 瑞) i 毛加 当删咖得一 对x 求髋_ 出d y ；丢( 错) ( 2 ) 考虑，：的方程可得，x = 0 时，q ( y ) = 一d ，结合假设可知，：过点 x ；o y = ) ，n o 当m , j l 时，得驴g ) = 之掣它在y _ 。+ 的极限为 妒g ) = 磐乇掣 。，结合假设可知此时石 。 ，：对x 求导，且当y 。时，可得去= 瓦兀万i c f y - 石顶( x 了) 碉 。 照方凰对x 的导数立d x 叽即丢( 错) 0 故正平衡点g 。，y 。) 为稳定奇点 由此得下面引理： 稠2 工2 当丢( 错) 。时，正平筝点盹执) 为稳定奇点 2 2 极限环的不存在性 4 定配2 螬丢( 搿) 姐则系鳓膨一象限没有极限环 证明取d u l a c 函数曰g ，y ) 。妒, ( x ) - 1 y - m , 则 优v 艘h m l 日错p 硼圳- q ( y x l 圳叫伽 当丢( 搿) o 过 m ( k ，o ) 做直线l 。：x 。k a ，x 。i m 。一y “驴伍) 0 再做直线，：c x + y b 一0 其中 口f 6 = 政+ 孚测i i , 1 2 交于p 卜竽) 鲁= c 妄+ 立d t = 咄g ) 一咖一目( y ) y 叼g ) 一方 _ a c + 1 ，故孕 o 因此轨线的穿入方向如图2 2 又x 轴，y 轴都是系统 口tit 的轨线故汶四条线构成一环域其所闱区域为d 而d 内有唯一正平衡点 1 3 西北火学硕十学位论文 g ，y 。) ，故过d 内某一点的轨线最终将进入有界区域d o 而 k x 图2 2 环域的构造 定理2 3 2 当l 出i ( x 驴g g ( x ) ) ) 。时，正平衡点g 。，y 。) 在第一象限是全局渐近稳 定的 证明由弓| 理2 1 2 知，丢( 裂) 0 时，正平衡点盹执) 为稳定毓再 根据定理2 2 1 ，定理2 3 1 知此结论成立 2 4 生态学意义 当食饵种群的增长昭g ) 与捕食者的功能反应函数g ) 满足丢( 菁酱) 。，彳- 2 了菰亍a 面1 ，42 鲁 q 4 丽a 3 ，4 。蕊雨i a 4 面 易得系统( 3 1 2 ) 在否上有三个平衡点。( o ，。) ，m ，b ，。) ，( l 詈) 其中 z 。= a , + 4 a ? + 4 a ：a o ， 小一彳2 一彳，一彳。，咒- 彳3 + h 4 且肌，刀同号2 1 a 1”3 。 引理3 1 1 ( i ) o ( o ，o ) 为鞍点( i i ) 当z ， 1 时，m 。g 。，o ) 为鞍点；当o x 。 。时，( 1 ，詈) 为鞍点；当加 。，以 。， 。以一瓜哪忙) 聪定焦躺m 0 , n 0 , n 瓜 m 时， ( l 詈) 为不稳定焦点；当m 0 , n 0 , a - - 0 时，( l 詈) 为中心 1 6 西北人学硕士学位论文 y 2 隘引a “p 彳乏“4 砂微2 ) 徊p g ，y ) - 1 一a o a i x + ( a ：一1 k 2 一a 3 y a 4 x y ， 1 哥q g ，y ) ；0 。+ 彳，z 一彳：工z + 彳，y + 彳4 叫b ：一1 ) + 2 x y ( a ，z + 彳4 x 2 ) 所以p ( l 詈) 2 一言，口卜詈) 2 一锄，p 2 一幻2 箸+ 跏 其中a ，么，0 。一2 + i ：) 一彳。0 。+ a 2 ) 毗当一。 0 ) 为鞍艄小 0 , p 2 - 幻 。可知( l 詈) 为稳定焦点；当朋 。，刀 。， 刀瓜 0 , p 2 - 幻 0 - i 知n ) 为不稳定焦 点当m o , n 。可知( l 詈) 为中心 为研究极限环的存在性，以下均设( h ，) m o , n 0 成立 f r l 夕一x - 4 - 【 一箩妒x一2+2ma：4由一譬4：-2,na n n a r ， 2 。 ，2 。 彳2， 一一2 m 2 2 0 2 m 2 瓦r r + 石拶+ z y 由文献【3 8 】计算一阶焦点量的公式 d 1 = 言 3 ( 氏+ g ) + 最2 4 g 2 1 + ! i f l - ( + ) 一g - ，( g 2 0 + g 0 2 ) + 2 ( g 吆一g 加母 其中，g 分别表示系统( 3 1 4 ) 中第一个和第二个方程右边x y 项的系数，表 示系统( 3 1 4 ) 中第一个和第二个方程右边x ，y 线性项的系数的绝对值，经计算得： 1 7 西北大学硕士学位论文 。；- a 1 3 互二- 了2 三m 当呜 。所以当a - - 0 , a 3 0 时， ( 1 詈) 为一阶不稳定的细焦点当a 1 0 ，a 3 。所以( 1 ，詈) 为二阶不稳定的细焦点由于聊 0 时，( 1 ，詈) 为一阶不稳定的细焦点( 2 ) 当 a = 0 , a 3 1 ，此时直线i ，与x 轴交与点m & 。0 1 1 8 孚y y 一嚏一 x 一2 1 2和呼 卜 一 件 一 一 2 一蕾一弓兰 2 一 一一一2 等鲁 西北人学硕士学位论文 则譬i l ：o ，x l y ( a ，+ 彳。z 。) o 因此系统( 3 1 2 ) 的轨线与直线z 。相交时均从右向 口f 左穿过此直缘再做蝴：x + a - a 4 y - 0 , 与x m x 1 交于爿卜警p 鲁i ，：。= 地+ 4 x - a 2 x 24 - 4 y + a 4 y x o 。+ 4 x - a 2 x 2 ) + 地+ 4 b 其中第一项在闭区间【o ，z 。】是有界的，第二项等于，掣。刀丛等型，而刀 o 所以当 月 口充分大时，圳量 a j 伺 i d l 2l l z - 0 0 因此系统( 3 1 2 ) 的轨线与直线，：相交时均从上向 口f 下穿过此直线( 如图3 1 ) 又x 轴，y 轴都是系统的轨线，故这四条线构成一环域，其 所围区域记为。而。内有惟一正平衡点( 1 ，詈) ，故过。内某一点的轨线最终将 进入有界区域d o 图3 1 环域的构造 定理3 2 2 当4 0 , a 。 0 时，系统在g 内不存在极限环 证明取d u l a c 函数b b ，y ) - z - 1 y d i v ( b p ，b q ) ；x 一1 y 一1 0 ，工一2 , 4 ：工2 + 彳。砂) ，在g 内当彳。 o ，彳。 o 时， d i v ( b p ，8 q ) o 由d u l a c 判别法知，结论成立 定理3 2 3 当：) 成立且a 。时，( l 詈) 邻域内至少存在一个稳定的极限 西北人学硕士学位论文 补，且位丁u x 而 证明由弓i 理3 1 1 知尚瓜 圳时，( l 詈) 为不稳定焦点故由 b e n d i x s o n 环域定理知，只需构造外境界线，构造如定理3 2 1 证明中的环域( 如图 3 1 ) 由环域定理得证 定理3 2 4 当旧：) 成立，a o ，a 0 成立时，n 外围存在惟一稳定 极限环，且位于o z 茗。内其中 口= i 笔a 2 + ( 鲋+ 彳，n + 纠2 a 3 n , b = 鲋a + 拟3 a , c = 知a , a = b 2 - 锄c 证明略方法与文献【1 1 】类似用文献【3 9 】中的张芷芬惟一性定理 由引理3 1 2 知，当a = , a 3 = 0 , a 2 1 时，( 1 詈) 为二阶不稳定的细焦点- 当 a ；0 , a 3 0 时，( 1 詈) 为一阶稳定的细焦点所以当参数彳，变化且i 4i 1 时， ( 1 ，詈) 由原来二阶不稳定的细焦点变成了一阶稳定的细焦点由文献【3 3 】中 h 。p f 分支定理知，此时在( 1 詈) 外围跳出一个极限环，并且是不稳定的再结合引 理3 1 1 知，当a 。时，( 1 ，詈) 是不稳定焦点所以当参数a 变化且l ai “1 时，( 1 詈) 由一阶稳定的细焦点变成了不稳定焦点此时在( 1 ，詈) 外围又跳出 一个极限环，并且是稳定的所以对系统( 3 1 2 ) 进行微扰，在( 1 詈) 周围就产生 了两个极限环又( 1 ，詈) 不可能成为三阶细焦点，所以系统至多只有两个极限环 由此得以下结论： 定坪3 2