（基础数学专业论文）不确定lurie时滞系统的最优保性能控制.pdf

摘要 摘要 l u r i e 型时滞系统是时滞系统的一类重要分支，研究其绝对稳定性问 题是一个重要的研究课题另外，考虑到系统模型与实际对象之问的误 差，本文研究了不确定l u r i e 型时滞系统的鲁棒镇定问题和最优保性能控 制问题 本文的主要研究工作如下： 第一章提出了本文将要研究的问题，阐述了其研究意义，并简要介 绍了该问题的相关的国内外研究现状 第二章利用线性矩阵不等式( l m i ) 方法和l y a p u n o v 稳定性理论， 研究了l u r i e 时滞系统在给定的扇形区域内的绝对稳定性问题，导出了用 一个线形矩阵不等式系统的可行性问题表示的时滞依赖绝对稳定性判 据，进而通过求解线性矩阵不等式，给出了使得闭环系统在给定的扇形 区域内绝对稳定的状态反馈控制器设计方法，最后用仿真例子验证了文 中提出的结果 第三章针对带有不确定性的l u r i e 时滞系统，研究了使得闭环系统在 某一给定的扇形区域中绝对稳定的鲁棒控制器的设计问题，以及最优保 性能控制器的设计问题基于线形矩阵不等式处理方法和l y a p u n o v 稳 定性理论首先给出了一个用线形矩阵不等式系统的可行解表示的鲁棒控 制器的设计方法进一步地，给出了一个具有线性矩阵不等式约束的凸 优化算法，通过求解这一优化算法给出了使得闭环系统性能上界最小化 的最优保性能控制器的设计方法最后，用仿真例子验证了所提方法的 可行性和有效性 第四章对本文的研究内容做以总结并对后续工作进行了展望 关键词：l u r i e 时滞系统；时滞依赖；不确定性；鲁棒镇定；最优保性能 控制；l m l 方法 至些室坐坐堕堂至丝堕垄垡堡丝堕塑塑 a b s t r a c t l u r i e t i m e - d e l a ys y s t e m i sa n i m p o r t a n te m b r a n c h m e n t i n t i m e - d e l a y s y s t e m s ，s o i ti sas i g n i f i c a n ti s s u et os t u d yi t sa b s o l u t es t a b i l i t yp r o b l e m m o r e o v e r , c o n s i d e r i n gt h ee r r o r sb e t w e e ns y s t e mm o d e la n dp r a c t i c a lp l a n t ， r o b u s ts t a b i l i z a t i o ni s s u ea n do p t i m a lg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rl u r i e t i m e d e l a ys y s t e ma r ea l s os t u d i e di nt h et h e s i s t h em a i nr e s u l t si nt h i st h e s i sa r ea sf o f l o w s ： i n c h a p t e ro n e ，t h e i s s u e st h a t w i l lb es t u d i e da r ep r e s e n t e d ，t h e s i g n i f i c a n c eo ft h e s ei s s u e si sg i v e n ，a n dt h er e l a t e ds t u d ys t a t eb o t ha b r o a d a n da th o m ei si n t r o d u c e db r i e f l y i n c h a p t e rt w o ，b yu s i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c ha n d l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，a b s o l u t es t a b i l i t yi s s u ef o rl u r i et i m e d e l a ys y s t e m i nag i v e nf a nd o m a i ni s d i s c u s s e d d e l a y d e p e n d e n t a b s o l u t es t a b i l i t y c r i t e r i o ni sp r e s e n t e di nt h et e r m so fl m i ss y s t e m f u r t h e r m o r e ，t h ed e s i g n m e t h o do fs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r , w h i c hc a nm a k et h ec l o s e d l o o ps y s t e m a b s o l u t es t a b i l i t yi nag i v e nf a nd o m a i n ，i sg i v e nb yr e s o l v i n gt h el m i s t h e n s o m es i m u l a t i o ne x a m p l e sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h es u g g e s t e dr e s u l t s i nc h a p t e rt h r e e ，f o rl u r i et i m e d e l a ys y s t e mw i t hu n c e r t a i n t i e s ，w es t u d i e d t h er o b u s tc o n t r o l l e ra n do p t i m a lg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rd e s i g ni s s u e st o g u a r a n t e ec l o s e d l o o ps y s t e ma b s o l u t es t a b i l i t yi nag i v e nf a nd o m a i n f i r s t l y , b a s e do nl m ia p p r o a c ha n dl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , r o b u s tc o n t r o l l e r d e s i g n m e t h o di s g i v e n i nt h et e r m s o ff e a s i b l es o l u t i o no fl m i s f u r t h e n n o r c ，a no p t i m a la l g o r i t h mc o n t a i n e dl m ir e s t r i c t i o ni sg i v e n b y s o l v i n gt h i so p t i m a la l g o r i t h m ，a no p t i m a lg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rd e s i g n m e t h o di s g i v e n ，w h i c hc a nm i n i m i z et h ec l o s e d l o o ps y s t e m c o s tu p p e r b o u n d f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t y a n de f f e c t i v e n e s so ft h es u g g e s t e dm e t h o d i nc h a p t e rf o u r ，w ec o n c lu d et h er e s e a r c hw o r ko ft h i st h e s i s ，a n dt h e f u t u r ew o r ki sp r o s p e c t e d i i 摘要 k e y l v o r d s ：l u r i et i m e d e l a ys y s t e m ；d e l a y d e p e n d e n t ；u n c e r t a i n t y ；r o b u s t s t a b i l i z a t i o n ；o p t i m a lg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) 第章引言 第一章引言 1 1国内外研究现状及问题提出 控制科学与技术在2 0 世纪的人类科技进步中起到了举足轻重的作用，为了解决 当今社会的许多挑战性问题产生了积极的影响，提供了科学的思想方法论：为许多 产业领域实现自动化奠定了理论基础，提供了先进的生产技术和先进的控制仪器及 装备特别是数字计算机的广泛使用，为控制科学与技术开辟了更广泛的应用领域 时滞现象普遍发生在许多实际系统，往往是系统不确定和系统性能变坏或衰减 的主要根源之一o l b r o t ( 1 9 8 4 ) 考虑了一个线性模型，发现这样的现象：“当反馈回 路出现较大时滞，系统的任意衰减率的指数稳定性都将被破坏”由于时滞现象在实 际工程系统的普遍性，过去十几年的研究( d u g a r de ta 1 ( 1 9 9 7 ) ，g u e t a 1 ( 2 0 0 3 ) ， m a h m o u de ta 1 ( 2 0 0 5 ) ) 表明，时滞系统控制的研究一般分为两类：一类是时滞独立稳 定性和时滞独立稳定控制( t r i n he ta 1 ( 1 9 9 7 ) ，c a oe ta l ( 2 0 0 0 ) ) ，另一类是时滞相关稳定 性和时滞相关稳定控制( c a oe ta l ( 2 0 0 0 ) ，m o o n ( 2 0 0 1 ) ，m a h m o u de ta 1 ( 2 0 0 5 ) ) 一般地， 时滞独立稳定控制提供一个控制器，它可以稳定控制系统同时与系统的时滞大小无 关时滞相关稳定控制关，t l , 的是时滞的大小，通常提供时滞的一个上界，使得闭环 系统对于任意小于这个上界的时滞都是稳定的在时滞独立稳定控制理论被广泛研 究的同时，时滞相关稳定控制理论的研究却比较少一般地认为，当系统的时滞较 小时，系统的时滞相关稳定控制比时滞独立稳定控制具有更小的保守性 事实上，任何闭环控制系统都存在滞后效应，因此从理论上研究具有时滞的控 制系统的稳定性问题显得更加重要l u r i e 型控制系统是一类非常重要的控制系统， 关于其稳定性研究已有不少有价值的结果【9 。文献 9 中，作者利用r a z u m i k h i n 定 理给出了l u r i e 控制系统的时滞相关绝对稳定性条件在文献 1 0 中，徐炳吉等基于 r a z u m i k h i n 定理与向量不等式的方法，得到了时变时滞的l u r i e 控制系统的时滞相关 绝对稳定性判据，改进了文献 9 的结论在本文中，我们首先要考虑的一个问题就 是利用线性矩阵不等式方法给出l u r i e 型时滞系统的稳定性分析这是因为l m i 方 法在应用方面有很多的优点，详见下节1 2 一般地，系统的数学模型与实际系统存在着参数或者结构等方面的差异，而我 们i 5 2 计的控制器大多都是基于系统的数学模型，为了保汪实际系统对外界二f 扰、系 统的不确定性等尽可能小的敏感性，促进了研究系统鲁棒控制问题 不确定l u r i e 时滞系统的最忧保性能控制 系统的不确定性是导致系统不稳定和系统性能指标恶化的主要根源之一，因此 寻找控制器使得闭环系统同时具有鲁棒稳定性和鲁棒性能，在理论和应用上都有十 分重要的价值和意义目前较为有效的方法之一是保性能控制，它的思想是在保证 闭环系统鲁棒稳定的同时，又使得由于系统不确定性而恶化的性能指标仍小于某一 个确定的性能上界大量学者针对各种系统作了广泛的研究 二次型指标的最优控制是控制系统综合的一种重要方法由于系统参数或外界 摄动的不确定性，导致系统的二次性能无法准确刻画，从而引发了对系统性能的确 定上界的理论研究，即不确定系统的保性能研究它最初是由c h a n ga n dp e n g ( 1 9 7 2 ) 提出的此后，针对线性不确定系统的保性能控制问题，发表了不少相关的研究工 作( 参考文献【9 ，1 1 - 1 3 ) 本文的第二个主要工作是考虑带有不确定性的l u r i e 时滞系统的鲁棒控制器设 计问题，即设计鲁棒控制器使得带有不确定性的l u r i e 时滞系统在某给定的扇形区 域内绝对稳定另外，在此基础上，考虑带有不确定性的l u r i e 时滞系统的保性能控 制问题， 1 2 研究工作及结构 由近年来鲁棒控制的发展情况可以看出，线性矩阵不等式( l m i ) 方法在计算方 面有着非常明显的计算优势，因而经常被用来描述不确定系统的鲁棒控制问题有解 的判据以及设计系统鲁棒控制器的重要计算工具 下面，我们简要地列举线性矩阵不等式( l m i ) 方法在应用方面的一些优点： ( 1 ) l m i 是一类线性凸问题，可用内点法( 见文献 1 4 】) 求解； ( 2 ) 被设计的控制器在一定范围内可以任意选择，有比较大的灵活性； ( 3 ) 对闭环系统的许多性能要求，都可以转化为l m i 的形式； ( 4 ) 在系统性能优化要求下，可以通过带有l m i 约束的线性凸优化方法予以 解决： ( 5 ) 现有的通用商业软件m a t l a b 工具箱可以方便地实现l m i 的求解问题和带 有l m i 约束的线- 陛凸优化计算问题 由于线性矩阵不等式的计算优越性，许多关于系统稳定性分析和控制器设计问 题都尽可能转化为线性矩阵不等式的可行解存在性问题或者转化为带有线性矩阵不 等式约束的线性凸优化问题凶此，在本文中，我们所给出的结论都是基于线性矩 阵不等式框架下的判掘和设计方法 第一章引言 在第二章，我们利用l m i 方法和l y a p u n o v 稳定性理论，研究时滞系统绝对稳 定性问题，导出用一个线形矩阵不等式系统的可行性表示的时滞依赖绝对稳定性判 据，进而通过求解线性矩阵不等式，给出使得闭环系统绝对稳定的状态反馈控制器 设计方法，最后用仿真例子验证了文中提出的结果 在第三章，针对带有不确定性的l u r i e 时滞系统，研究使得闭环系统在某一给定 的扇形区域中绝对稳定的鲁棒控制器的设计问题，以及最优保性能控制器的设计问 题基于线形矩阵不等式处理方法和l y a p u n o v 稳定性理论首先给出一个用线形矩阵 不等式系统的可行解表示的鲁棒控制器的设计方法进一步地，给出一个具有线性 矩阵不等式约束的凸优化算法，通过求解这一优化算法给出使得闭环系统性能上界 最小化的最优保性能控制器的设计方法最后，用仿真例子验证文中提出方法的可 行性和有效性 在第四章，对本文的研究工作进行了总结，对未来的研究工作进行了展望，并 针对同样的问题提出了一些新的研究课题 13 符号说明 对于给定的对称矩阵x 和y ，x 0 ( 或】，一x 0 ) ， 即y 一为正定矩阵( 或半正定矩阵) a 7 表示矩阵a 的转置，表示适当维数的实 单位矩阵d i a g x i ，x ：，一) 表示对角块矩阵r “表示1 7 维欧j l 里德空间，r ”1 表 示”m 维实数矩阵的全体对称矩阵中+ 表示其对称位置上元素的转置 不确定l u r i e 时滞系统的最优保性能控制 2 1 引言 第二章l u r i e 时滞系统的稳定性 在各类系统中，时滞现象普遍存在，如长管道进料，网络控制等问题对许多 大时间常数的系统，常用适当的小时问常数加纯滞后环节来近似，这都可以归结为 时滞系统系统中原料或信息的传输往往导致时滞现象的产生，时滞的存在使得系 统地分析和综合变得更加复杂，从而使得系统不稳定，以及系统性能变差因而时 滞系统的分析和综合是控制理论和控制工程领域中研究的一个热点问题 关于带有时滞的l u r i e 控制系统的绝对稳定性的讨论已有不少有价值的结果 8 , i o l ，其绝对稳定性条件有时滞无关条件和时滞相关条件两种时滞无关条件缺少了 时滞的信息，一般说来，时滞无关条件比时滞相关条件具有保守性本文对l u r i e 时滞系统的稳定性进行了分析，并用线性矩阵不等式方法给出具有时滞性的l u r i e 系统的绝剥稳定条件及绝对稳定化状态反馈控制器的设计方法，以期得到比以往方 法更好的结论， 2 2 问题描述 考虑由以下状态空间模型描述的时滞系统： i ( ，) = a x ( t ) + a a x ( t d ) + d w ( ，)( 2 1 ) z ( t ) = c x ( t ) 其中，x ( t ) 月”是状态向量，w ( t ) r ”是输入信号 系统的滞后时间，系统的反馈关联具有形式 w ( f ) = 一伊( ，z ( 呦 ( 2 2 ) z ( t ) r ”是输出信号，d 0 是 f 23 1 非线性函数妒( ，z ) ： o ，o 。) r 斗r 属于扇形区域 “，】，即 北z ) 一k z 。 姒z ) 一z 】o ， v t 0 ，比r “ ( 2 、4 ) k 和屹是已知的实矩阵，且v = 一是一个对称正定矩阵( 21 ) 一( 2 3 ) 实际上 是用一个线性系统和一个非线性环节的反馈关联表示了一类非线性系统 为分析系统( 2 1 ) 的稳定性，有如下定义： 定义1 如果对所有属于扇形区域 h ，圪 的非线性函数妒( ，z ) ，系统( 2 1 ) 是 4 筇二章l u r i e 时滞系统的稳定性 全局渐进稳定的，则系统( 2 1 ) 称为是在扇形区域 “，k 】内绝对稳定的 2 3 时滞系统的稳定性分析 引理2 1 对任意适当维数的向量c 、b 和矩阵n 、y 、z ，其中x 和z 是 对称的j 若瞄净删 勘慨圳i n f q r 扎o l ，_ ，y 批 证明由定理条件，可得 一2 a in b i j i 0 - 砌n a ( 2 5 ) 删0 拙 + 牝z y 瑚b 稍l _ ，y 批 ， 由此即可得到( 2 5 ) 式引理得证 若在( 2 5 ) 式中取= y = ，z = 爿，则可得一2 a r b 0 p d c 7 v 7d a 7 z 0 d a d t z - 2 1d d 。z d z dd z o ( 2 7 ) ( 28 ) 其中，m = 削+ 爿7 p + y + y 7 + 趟+ q ，则系统( 2 1 ) 是在扇形区域 o ，v 】内绝对稳定 的 证明假定存在对称正定矩阵p ，对称矩阵q 、x 、z 和矩阵y ，使得矩阵不 等式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 成立，由于x ( ，) 一x ( 卜d ) = 。，量) d o ，则系统( 2 1 ) 可被重 新写成 枷= ( 爿+ a , i ) x ( ，) 一a 。a d i ) d a + d w ( t ) ( 2 9 ) 选取一个l y a p u n o v 泛函v = v i + v 2 + u ，其中 v i = x 7 ( ，) a ( ，) ，v z = ef + 。，( o o z e ( 口) d a d f l ，u = ：- d x t ( 。) 出( 。) d 球( 21 0 ) 则沿系统( 2 1 ) 的任意状态轨线，v i 关于时间的导数为 寸。= 2 x r ( t ) p ( a + a a ) x ( ，) 一l d 2 x r o ) j 口_ 4 d 5 c ( c e ) d o t + 2 x r ( t ) p d w ( t ) ( 2 1 1 ) 取n = 矾，a = x ( t ) ，b = 膏) 应用不等式( 2 5 ) 可得： 也飞煳哪斟卜x 。刚y - p a u x ( t ) ， 将以一| j 不等式带入到( 2 1 1 ) 式，经整理可得 q x t ( o ( p a + a 7 p + d x + y + y 7 ) x ( r ) + f - 。，j 7 ( 口) 压( 血) d a 一2 x 7 ( f ) ( 1 ，一，卅d ) x ( f j ) + 2 x 7 ( f ) j 1 ) d w ( r ) 同理，v 2 和v a 关于时间t 的导数分别是 也= 威7 ( f ) 及( ) f _ af c 7 ( 乜) 五( 口) d 口 中，= x 7 ( f ) o x ( t ) 一x 。( r d ) q x ( t d ) 篙。吼 笙三量坐坐塑塑堕堡塞竺 v is f 7 ( ，) ( p 爿+ 爿7 j d + 口w + j ，+ j ，7 + q ) 工( f ) 一2 x r ( r ) ( j ，一p 如) z o d ) + 威7 ( ) 反( ，) - - x t ( 卜d ) q x ( ，一c ) + 2 x r ( f ) p d w ( 沪2 w 7 ( f ) 【w ( ，) + v z ( 州 审卜妻兰 ) 1 7 f 等；m ：瑟p a 吾a - y p d 三- c ，矿 + d 降j z c 爿4 。j f 。主： ) 其中矩阵肘如定理中给出应用矩阵的s c l r 补性质，如果矩阵不等式( 2 7 ) 成立， 则可得寸 o(212)tj 、“ 注意到，问题( 2 1 2 ) 不满足求解器g e v p 的前提条件，需要经过适当的处理， 爿。能应用求解器g e v p 来求解事实上，根据矩阵的s c h u r 补性质，矩阵不等式( 2 7 ) r 21 3 、 ( 2 1 4 ) 显然，优化问题( 2 1 4 ) 具有线性矩阵不等式系统中的广义特征值问题形式 故可以应用l m i 工具箱中的求解器g c v p 来求得该问题的全局最优解 c o ” 肋 肾詈嚣 题似比 的f以 f 价 筇 等 川 2 p o k qp 题 晴 谰 盯 “ 院 不确定l u r i e 时滞系统的最优保性能控制 若问题( 2 1 4 ) 有最优值p + ，则所求的最大允许滞后时问d = ( p ) 对非线性函数在一般扇形区域【k ，k 】中的情形，通过应用反馈环的变换( 如图 2 1 所示) ，可得系统( 2 1 ) 在扇形区域 k ，k 】内的绝对稳定性等价于系统 i “) = ( a d v l c ) x ( t ) + a a x ( t j ) 十d r ( ，) z ( ，) = c x ( t ) w ( ，) = 一伊( f ，三( f ) ) 在扇形区域 o ，屹- v , 】内的绝刑稳定性 图2 1 反馈环的变换 因此，根据定理2 1 可得：在扇形区域 o ，k h 】内的绝对稳定性 ( 2 1 5 ) 定理2 2 如果存在对称正定矩阵p ，对称矩阵q 、x 、z 和矩阵r ，使得矩阵 不等式( 2 8 ) 和 m 爿：p 一】，7 d 7 p 一( k k ) c d z ( a d b c ) p a 。一，p d c7 ( k k ) 7d ( a d r , c ) 7 z q 0 d a ： z 02 1d d 7 z d z a a d z dd z 0( 2 1 7 ) i ( 8 ) ，( 1 6 ) 类似于优化问题( 2 1 2 ) 到问题( 2 1 4 ) 的等价变换过程，上面的优化问题( 2 1 7 ) 等价于 f 爿一爹c 厂 zc 爿一。k c 爿。，+ 喜ii 1 一d p ( a d v i c ) + ( a d v c ) 。j d + y + ，7 + qp a j yp d c 7 ( k 一“) 7 钙p y 7一q 0 d 7 p 一( 坞一k ) c，0 2 1 对问题( 2 1 8 ) ，可以应用求解器g e v p 来求解若该问题有最优值p ，则所求 的最大允许滞后时间d = f p ) 例2 1 考虑时滞系统( 2 1 ) ，其中： 爿= i l 二 ，4 ： 二：；三二 ，。= ? ，c = ，一。s ， 非线性函数妒( ，z ) 所在的扇形区域为 0 5 ，2 通过应用l m i 工具箱中的求解器 g e v p 可以得到相应的优化问题( 2 18 ) 有可行解，根据定理2 ，保持该系统绝对稳定 的最大允许滞后时间是d + = 07 5 0 6 不等式( 2 5 ) 和不等式 勘。i n f 叫i 俐f a 7x 州川簿恤叫删 不1 l | 定l u r i e 时滞系统的最优保性能控制 相比，不仅降低了放大过程中的保守性，而且不等式( 2 5 ) 有利于处理控制器的设 计和模型中的不确定性例如，在不等式 sw7 a d 一一j 一q v a d av a j 坞 2 ( w 7 + p ) 0 “7 a s v 疋鹄v 一矿 0 d ( w + p 、 o 0 一y 0 是系统的滞后时问，被控对象的反馈关联w ( t ) = 一妒( ，z ( ，) ) ，其中 妒是属于扇形区域【k ，吒 的非线性函数 我们的目的是设计线性状态反馈控制器u ( t ) = x x ( t ) ，使得闭环系统 i o ) = ( a + b k ) x ( t ) 十a j j ( ，一d ) + d ，( f ) ( 2 2 0 ) 是绝对稳定的具有这样性质的控制器称为系统( 2 1 9 ) 的绝对稳定化控制器 以下定理给出了系统( 2 1 9 ) 存在绝对稳定化状态反馈控制器的条件及绝对稳 定化状态反馈控制器的设计方法 定理2 3 对系统( 2 1 9 ) 和给定的扇形区域【k ，1 ，如果存在对称正定矩阵f ， 对称矩阵亘、耍、乞和矩阵旷、矿，使得矩阵不等式 第二章l u r i e 时滞系统的稳定性 a d p y 一q 十 d p c 7 ( k ) o - 2 i 嗲剖。 d r , c ) 7 + 旷7 8 7 d p a j d d 7 一d z 0 ( 2 2 1 ) 成立，其中庸= ( 爿一d k c ) 户+ b 旷+ p _ 一d v , c ) 7 + 旷7 8 7 + p + 尸+ 面+ 亘，+ 处是 由矩阵的对称性得到的矩阵块，则，( ，) = 形卢一1 x ( 0 是系统( 2 1 9 ) 的一个绝对稳定化 控制器 证明根据定理2 , 2 ，如果存在对称正定矩阵p ，对称矩阵q 、 7 、z 和矩阵y ， 使得矩阵不等式 m ， 爿j ，一y 7 d 7 p 一( 一k ) c d z ( a + b k d v , c ) p a 。i y p d d 0 d z a d c 7 ( k k ) 7 o - 2 1 d z d d ( a + b k d v i c ) 7z d z d d 7 z d z 0 是系统的滞后 至塑塞土竺三堕塑! ! ! 塑堡垡堡丝堂堡型 时问，( r ) 是已知的连续向量值初始函数，系统的反馈关联具有形式 w ( t ) = 一妒( ，z ( f ) ) 非线性函数p ( ，z ) ： 【o ，o 。) r ”。月”属于扇形区域 巧，k 】，即 【p ( r ，力一k z 】7 妒p ，z ) 一k z l 0 ， v t 20 ，v = 矗m 爿( ，) ，以( f ) 是出现在系统矩阵中的时变摄动，并假定其具有以下形式： 删0 ) 蚴( ，) 】= 口( ，) g lg 2 】 ( 3 2 ) 其中：e ，q ，g 2 是已知的适当维数的实常数矩阵，它们反映了参数摄动的结构，7 ( 0 是满足 f ( t ) f 。( f ) 兰1 的时变摄动矩阵，其中，表示适当维数的单位矩阵 定义系统的性能指标 ，2 i x 7 ( f ) a ( ，) 十“( t ) r u ( t ) l d t ，7 1 ，月 0 f 3 3 、 其中：丁和r 是给定的对称正定加权矩阵 假定系统的状态时可以测量的，本章考虑的问题是设计个线性状态反馈控制器 z 印) = x x ( t ) ，使得不确定闭环时滞系统 荆= “爿+ 州) + 脒) x ( ，) + ( 坞+ 地) x ( 卜d ) + n v ( f )刚1 在扇形区域 u ，吒】是绝对稳定的，同时使得闭环系统性能指标： ，2l i x ) a ( f ) + x 7 ( ，) r k x ( t ) d t ，r ，月 0 f 3 5 1 最小具有这样性质的控制器z m ) = 触( ，) 称为不确定时滞系统( 3 1 ) 的最优保性能 鲁棒控制器 在以后定理的征| ! j j | 过程中，：悔会用到以下引理 引理3 1 给定适当维数的矩阵y ，d 和e ，其中y 是对称的，则 y + d f ( t ) e + e 7 ，1 7 “1 d 7s 0 对所有满足f 0 ) f ( f ) ，的矩阵，( ，) 成立，当且仅当存在个常数 o ，使得 矩阵不等式： o - t d d 7 + s e r e 0 第三章l u ri e 时滞系统的鲁棒稳定性以及最优保性能控制 成立 3 3 鲁棒控制器的设计 本节中，我们主要考虑这样的一个问题： 设计一个线性状态反馈控制器“( f ) = k x ( t ) ，使得不确定闭环时滞系统( 3 4 ) 在 扇形区域【k ， 是鲁棒绝对稳定的 定理3 1对系统( 31 ) 和给定的扇形区域【k ，心 ，如果存在对称正定矩阵p 对称矩阵耍、牙、三和矩阵矿、，标量 0 ， 雾_ d 2 ，- 小 伢+ f e e 7 a a 卢一p d 一户c 7 ( 一k ) d p ( a o - 2 1 十 使得以下的矩阵不等式 ( 3 6 ) d v , c ) t + 妒7 矿十s e e 7 j i ；g 。7 d p d d i 一挖十c d 2 e e 7 乒g ：7 0 0 一e i 0 ( 37 ) 成立，其中庙= ( 爿一d 巧c ) j i ；+ 口旷+ 卢( 爿一d r , c ) 7 + 旷7 8 7 十p + 尹+ 西+ 亘， 处是由 矩阵的对称性得到的矩阵块，则z 以) = 形卢。1 x ( t ) 是不确定时滞系统( 3 1 ) 的一个绝对 稳定化鲁棒镇定控制器 证明从定理2 3 可知，若矩阵不等式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 成立，f , r j 可设计一个 状态反馈控制器“( f ) = 卿“x ( f ) 使得不含不确定性的时滞系统( 2 2 0 ) 在扇形区域 k ，屹】中是绝对稳定化，即，可设计个状态反馈控制器z f ( ，) = 形卢一1 x ( r ) 绝对稳定化 爿( ，) = 0 ，虬( ，) = 0 时的不确定时滞系统( 3 1 ) ( 22 2 ) 式中不含有a ，a a 项，所以直接可得( 3 6 ) ， 将( 22 1 ) 式中的a ，4 ，分别用彳+ 鲋0 ) ，以+ 以( ，) 代替，得 不确定l u r i e 时滞系统的最优保性能控制 厨( 爿。+ 纠。( f ) ) 卢一pd 一声c 7 ( k k ) + 一亘0 十 42， $ d p ( a + a a ( t ) 一d r , c ) 7 + b 7 d f ( a d + 以( ，) ) 7 d d 7 一挖 o 其中，厨= ( a + a a ( t ) - d v t c ) p + b i 矿+ p ( a + a a ( t ) 一d v i c ) 7 + 矿7 8 7 + 矿+ p 7 + 西+ 垂 即 又因为不确定项具有式( 3 2 ) 的结构形式，所以 + 力4 p pd p c 7 ( k u ) + o - 2 1 e f ( t ) g , p + p ( e f ( t ) g , ) 7 o o d p ( a d y j c ) 7 + 旷7 8 7 d p a i 7 t d i l d 2 e f ( t ) g 2 p o 0 0 d p ( e f ( t ) g , ) 7 0 d f i ( e f ( t ) g 2 ) 7 0 0 0o 府爿。卢一尹d p c 7 ( 屹一h ) d p ( a d v ，c ) + f i e b t 一0d p a r a 一2，dd7 一越 e 0 0 d e f ( ，) g l pg 2 户0o + 根据引理3 1 ，上式成立等价于 m a i p y + 一( ) + 5 即： 户g 7 p g ： 0 0 d j d c 7 ( o - 2 1 p g ? ；g 2 7 0 0 o f r ( ，) e 7 0 0 d e 7 0 ，使得下