（机械电子工程专业论文）基于倒立摆系统的智能控制算法研究.pdf

摘要 倒立摆是一个典型的快速、多变量、非线性、强耦合的自然不稳定系统。 在控制过程中能反映控制理论中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁 棒性问题以及跟踪问题等。对倒立摆系统的研究在理论上和工程应用上具有着深 远的意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。 本论文围绕一级、二级倒立摆系统，对包括模糊控制、神经网络、遗传算法 在内的软引算以及它们之间的互相结合作了较为系统的讨论，研究了倒立摆系统 的各种智能控制算法。对于一级倒立摆，利用神经网络的学习能力训练模糊控制 器的隶属度函数，通过自适应神经模糊推理系统建立模糊控制器对倒立摆系统进 行控制：对于二级倒立摆，运用最优控制方法设计融合函数减少模糊控制器的输 入变量维数，成功解决了“规则爆炸”问题，利用专家知识设计m a m d a n i 型模糊 控制器的隶属度函数和模糊规则，并且利用遗传算法优化模糊控制器的参数，提 升了模糊控制器的性能。 最后通过编程实现了各种智能控制算法对倒立摆系统中的实物控制，均取得 了令人满意的控制效果。控制结果表明，对不同的智能控制算法进行结合集成， 能够综合吸取两种算法的优点，而将两者的缺点互相抵消。自适应神经模糊控制 器的学习能力强，适用于时变对象；遗传算法作为一种启发式搜索算法，尽管学 习时间比较长，但是遗传算法的全局搜索特性使其非常适用于模糊系统的设计与 优化。 关键词：倒立摆模糊控制神经网络融合函数遗传算法 a b s t r a c t i n v e n e dp e n d u l mi sat y p i c a lf a s t ， m u l t i v a r i a b l e ， n o n 一1 i n e a r i t y ，s t r o n g - c o u p l i n ga 1 1 dn a t u r a l l y u n s t a b l es y s t e m d u r i n gi t sc o m r o lp m c e s s ， i tc a nr e n e c t m a n vc m c i a lq u e s t i o n si nm ec o n t r o lt h e o r y ，s u c ha sc a l mq u e s t i o n ，n o n 1 i n e a r p r o b l e m ，r o b u s tq u e s t i o na sw e l la s 们c k i n gq u e s t i o na n ds oo n ，t h er e s e a r c ho n i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mh a st l l e p r o f o u n ds i g n m c a n c ei nt h e o r ya n dp r o j e c t a p p l i c a t i o n t h ec o r r e l a t i v es c i e n t i f i cr e s e a r c ha c h i e v e m e n th a sa l r e a d y a p p l i e dt o a s t r o n a u t i c ss c i e n c et e c h n o l o g ya n ds u b i e c to f r o b o ta n ds om a j l vd o m a i n s t h i st h e s i se n c i r c l e dt h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，d i s c u s s et 1 1 es o f tc o m d u t i n g ，h i c hi n c l u d i n g f u z z yc o n t r o l ，n e r v en e t w o r k ( n n ) ，g e n e t i ca l g o r i t h m s ( g a ) a sw e l l a st h e i rm u t u a lc o m b i n a t i o ns y s t e m a t i c a l l y ， s t u d yt h et h ei m e l l i g e n tc o n t r 0 1a l g o r i t h m o ft h ei n v e n e dp e n d u l u ms y s t e m t o w a r d st ot h es i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u m ， u s i n g t h el e a r n i n gc a p a b i l i t yo fn e r v en e 帆7 0 r kt ot r a i nm e m b e r s h i pf u n c t i o no ft h e 血z z v c o n t m l l e r ，e s t a b l i s h i n gaf u z z yc o n t r o l l e rt oc o n t r o lt h ei n v e r t e dp e n d u l u mm r o u g h 1 ea d a p t i v en e u r o f u z z yi n f e r e n c es y s t e m ( a n f i s ) t o w a r d st od o u b l ei n v e r t e d p e n d u l u m s ，i tr e d u c e st h ei n p u tv a r i a b l ed i m e n s i o no ft h ef u z z yc o n t r o l i e rb y d e s 噜n i n gaf u s i o nf u n c t i o nu s i n go p t i m i z a t i o nc o m r o l t h e o r y ， s o l v et h eq u e s t i o no f ”r u l e e x p l o s i o n ”s u c c e s s f u l l y ，a i l dd e s i g nt h em e m b e r s h i pf u n c t i o na 1 1 dt l l ef u z z y r u l eo fm a m d a l l if u z z yc o n t r o l l e ru s i n gt h ee x p e r tk n o w l e d g e ，a n do p t i m i z e st h e p a r a m e t e ro ff u z z yc o n t r o l l e ru s i n gt h eg e n e t i ca l g o r i t h r n s ，p r o m o t e dt h ep e r f o r m a n c e o ff u z z yc o n t r o l l e r f i n a l l yr e a l i z e dt h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m sp r a c t i c a l i t yc o n t r o lb ve a c hk i n d o fi n t e l l i g e n tc o n t r 0 1a l g o r i t h mt 1 1 r o u 曲 p r o g r a m m i n g ，a n do b t a i n e dt h es “s f y i n g c o n t r o le f f e c t t h ec o m r o lr e s u l ti n d i c a t e dt h a t t h ec o m b i n a t i o no ft w oo rm o r c d i f 托r e n ti n t e l l i g e n tc o n t r o la l g o r i m m ，c a na b s o r b st h e i rm e r i t s ，a n dc o u n t e r b a l a n c e s t h e i rd e f e c t sm u t u a l l y d u et oa d a p t i v en e r v e f u z z yc o n t r 0 1 l e rh a ss t r o n gl e a m i n 2 a b i l i t y ，i ti ss u i t a b l ef o rt i m e - v a r i a b l eo b e c t a sak i n do fh e u r i s t i cs e a r c ha l g o r i t h r n 、 t h o u 曲i t sl e a m i n gt i m ei sl o n g ，b u ti t so v e r a l ls e a r c hc h a r a c t e r i s t i ce n a b l e si tt o a p p l yi nt h ed e s i g na n do p t i m i z a t i o no ff u z z ys v s t e m i t k e y w o r d ：i n v e r t e dp e n d u l u m ，f u z 纠c o n t r o l ，n e r v en e t w o r k ，f u s i o ni u n c t i o n ， g e n e t i ca l g o r i t h m s 创新性声明 y8 5 8 9 7 8 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以注明和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：二邀蕉! 盎日期：湖ol 丛 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 数焘! 盘 釜当习煞 日期：墨理：厶篮 日期：型竖：! ：! i 第一璋绪论 第一章绪论 本章简要介绍倒立摆系统的研究意义和目的及倒立摆系统国内外的研究状 况，同时介绍智能控制的发展及其在倒立摆系统中的应用。最后，简要介绍了本 论文所作的工作。 1 1 倒立摆研究意义 倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系 设计出单级倒立摆系统这个实验设备。后来在此基础上，人们又进行拓展，产生 了直线二级倒立摆、多级倒立摆，柔性连接直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立 摆和环形并联多级倒立摆的实验设备。从此，倒立摆系统成为控制领域中不可或 缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台。 倒立摆作为一个实验装置，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦 合系统，具有形象、直观、结构简单、构件组成参数和形状易于改变、成本 低廉等特点。对倒立摆的研究可归结为对非线性、多变量、绝对不稳定系统的研 究，它在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统 的鲁棒性闺题、随动问题、镇定闯题及跟踪闫题等。因此对倒置系统的研究在理 论上和方法论上具有深远的意义。近些年来，国内外不少专家学者对一级、二级、 三级等倒立揲进行了大量的研究，人们试图寻找不同趵控制方法实现对倒立摆的 控制，以便检验或说明该算法的严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。 研究倒立摆系统不仅有很强的理沦意义，劂时也具有深远的实践意义。铂：多抽 象的控制概念如稳定性、能控性、快速性和鲁棒性，都可以通过摆动角度、位移 和稳定时间直接度量，控制效果一目了然。同时其动态过程与人类的行走姿态类 似，其平衡与火箭的发射姿态调整类似，因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、 火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科 研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。 1 2 倒立摆传统控制方法 经典控制和现代控制理论的主要特征是基于模型的控制。经典控制理论主要 采用传递函数、频率特性、根轨迹为基础的频域分析方法，能够很好地解决单输 入单输出问题。现代控制理论采用状态空问法，把经典控制理论中的高阶常微分 方程转化为一阶微分方程组，用以描述系统的动态过程。这种方法可以解决多输 2 基于倒立摆系统的智能控制方法研究 入多输出问题，系统既可以是线性的、定常的，也可以是非线性的、时变的。 倒立摆系统的研究始于2 0 世纪5 0 年代，当时主要集中在直线倒立摆系统的线 性控制上面。a e b f y s o n 等【l 】，在1 9 7 0 年对一级倒立摆进行控制获得成功。 1 9 7 6 年m o r i 等人【2 】发表的研究论文，首先把倒立摆系统在平衡点附近线性 化，利用状态空间方法设计比例微分控制器。1 9 8 0 年，f 唧t a 等人【3 l 基于线性 化方法，实现了二级倒立摆的控制。1 9 8 4 年，f u r u t a 等人首次实现双电机三级倒 立摆实物控制1 4 】。 1 9 8 4 年，w 撕e s 研究了l q r ( “n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r ) 方法控制倒立摆【5 1 。 l q r 方法主要基于系统的线性化模型和二次性能指标： j = 【( 躺+ q “肛 ( 1 一1 ) 实际上是寻找一个最优的状态反馈向量：k = 一r 。b 7 p ，从而设计一个最优反馈控 制器“= 融。w a _ 呛s 验证了改变权重矩阵q 、r 可以得到不同的状态反馈向量，从而 产生不同的控制效果。 八十年代后期开始，倒立摆系统中的非线性特性得到较多的研究，并且提出 了一系列基于非线性分析的控制策略。 1 9 9 2 年，f u m t a 等人【6 】提出了倒立摆系统的变结构控制。1 9 9 5 年，f r a d k o v 等 人【7 1 提出的基于无源性的控制。另外w i k l u n d 等人圈应用基于李亚普诺夫的方法 控制了环形一级倒立摆，y a m a k 渤等人【9 】给出了环形二级倒立摆的实验结果。 1 3 智能控制在倒立摆控制中的应用 随着科学技术的发展，被控对象日趋复杂，对控制性能的要求不断提高，使 传统控制理论面临新的挑战。众所周知，被控对象愈复杂，数学模型愈难精确， 加上系统本身的非线性以及某些不确定性，使针对线性化模型进行控制系统设计 的各种理论对解决这些复杂系统无能为力。在这样复杂对象的控制问题面前，把 人工智能的方法引入控制系统，得到新的控制方法的突破。 智能控制是控制理论发展的高级阶段，主要解决那些传统方法难以解决的复 杂系统的控制问题，其中包括智能机器人系统，复杂的工业过程控制系统，航天 航空控制系统，社会经济管理系统，交通运输系统等。基于包含模糊逻辑、人工 神经网络和遗传算法在内的软计算( s o f tc o m p u t i n g ) 的智能控制是当前自动化科 学中最活跃的研究领域之_ 。具体来说，智能控制的研究对象具备 ；i 下特点： 1 不确定性的模型 传统的控制是基于模型的控制，这里的模型包括控制对象模型和干扰模型。 对于传统控制通常认为模型已知或者经过辨识可以得到。而智能控制的对象通常 第一章绪论 3 存在严重的不确定性：一是模型未知或知之甚少；二是模型的结构和参数可能在很 大范围内变化。无论哪种情况，传统方法都难以对它们进行控制，而这正是智能 控制所要研究解决的问题。 2 高度的非线性 在传统的控制理论中，线性系统理论比较成熟。对于具有高度非线性的控制 对象，虽然也有一些非线性控制方法，但总的来说，非线性控制理论还很不成熟， 而且方法比较复杂。采用智能控制的方法往往可以比较好地解决非线性控制问题。 3 复杂的任务要求 在传统的控制系统中，控制的任务或者是要求输出量为定值( 调节系统) ，或 者是要求输出量跟随期望的运动轨迹。因此控制任务的要求比较单一。对于智能 控制系统，任务的要求往往比较复杂。 近年来随着智能控制方法研究的不断发展，在倒立摆系统的控制研究上也起 到了很大的作用。 1 9 9 5 年，l i 【1 川利用两个并行的模糊滑模来分别控制小车和摆杆偏角。1 9 9 6 年张乃尧等1 1 采用模糊双闭环控制方案成功地稳定住了一级倒立摆。1 9 9 7 年， t h h u n g 等【1 2 】设计了类p i 模糊控制器应用于一级倒立摆控制，具有系统结构简 单对硬件依赖小的特点。在1 9 9 9 年i f a c 大会上会议论文中，李德义，沈程智等 人提出了一种新的模糊控制方法即将隶属度曲线改为使用隶属云【1 3 】。“云模型” 的提出实现了倒摆系统的很好控制，显示了大范围定性控制的优点。 d e r i s 【1 4 】乖j 用遗传算法来整定p i d 参数控制倒立摆。1 9 9 3 年，b o u s la j l i a 利 用一个简单的神经网络来学习模糊控制器的输入输出数据，设计了新型控制器。 1 9 8 3 年b a r t o 等人【16 】设计了两个单层神经网络，采用a h c 学习算法实现了状态未 离散化的倒立摆的平衡。1 9 8 9 年，a n d e r s o n 进一步用两个双层神经网络和a h v 方法实现了状态未离散化的倒立摆的平衡控制【l ”。 胡叔旖、孙增忻【1 8 】在其对二级倒立摆系统的研究中提出了基于知识的规则控 制方法，把控制规律的实际运行和各种启发式逻辑( 或称人的经验知识) 作用结合 起来，成功的实现了对二级倒立摆系统的稳定控制。 1 9 9 4 年，北京航空航天大学张明廉教授1 9 捌将人工智能与自动控制理论相结 合，提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电机控制三级倒立摆实物。李祖枢 【2 l ，2 2 】等人利用拟人智能控制理论研究了二级倒立摆的起摆和稳摆控制问题。 1 9 9 9 年，由s h o u l i n gh e ；q i o n g w h ；n a r i m a ns e p e h r i 【2 副首次提出神经逆模型 方法。这项研究是对有两个旋转自由度，基点可以在三维空间中任意移动的倒摆 系统的稳定控制。主要方法是排除基点移动的干扰，利用控制力矩使倒立摆稳定 在规定的位置上。 北京师范大学李洪兴【2 4 】教授采用变论域自适应模糊控制理论研究四级倒立 4 基于倒立摆系统的智能控制方法研究 摆控制问题，成功实现了四级倒立摆实物系统控制2 5 1 。 总而言之，倒立摆系统是检验各种控制算法、研究控制理论的有效实验设备。 目前应用在倒立摆上的算法有以下几类【2 6 ，2 7 】：经典控制( p i d ) ；现代控制( 极点 配置法，l q r 法) ；以控制；变结构控制：模糊控制；神经网络控制；拟人智能控 制等。 1 4 论文主要工作 本论文的主要工作是研究了直线倒立摆系统的智能模糊控制问题，本文后面提 到的倒立摆都指直线倒立摆。用m a u a b 和s i m l l l i i l k 对一级倒立摆、二级倒立摆系统 建模并设计智能模糊控制系统进行控制仿真，然后通过计算机进行算法编程实现 了倒立摆实物系统的控制。具体内容如下： 1 ) 详细论述了一级倒立摆和二级倒立摆的数学建模方法，推导出他们的非线性微 分方程，以及线性化后的状态方程，并且分析倒立摆系统的可控性、可观性及 相对可控性。 2 ) 讨论了倒立摆系统的智能控制方法。对于一级倒立摆，将模糊控制与神经网络 融和，利用神经网络的学习能力来训练模糊控制器的隶属度函数，提高了整个 系统的学习能力和表达能力；对于二级倒立摆，通过融合函数降低输入变量维 数，解决了“模糊规则爆炸”问题，利用专家知识设计m a i n d a n i 型模糊控制器 的隶属度函数和模糊规则，并且利用遗传算法优化模糊控制器的参数，提升了 模糊控制器的性能。 3 ) 介绍倒立摆实物系统，通过编程实现了各种智能控制算法对倒立摆系统中的实 物控制，均取得了令人满意的控制效果。给出了一级、二级倒立摆稳定时和受 干扰时系统各状态变量的响应曲线。 4 ) 对论文的工作进行总结和下一步工作的展望。 第二章倒立摆系统建模和定性分析 5 第二章倒立摆系统建模和定性分析 简要介绍了倒立摆系统特性。建立了一级、二级倒立摆系统的数学模型，对 倒立摆系统进行定性分析。分别利用力学分析方法和l 印n g e 方程建立了倒立摆系 统的微分方程，并在平衡位置附近线性化，推导出倒立摆系统的线性状态方程。 应用自动控制相关理论分析了倒立摆系统的能控性、能观性及相对能控度，证明 倒立摆系统开环是不稳定的，但在平衡位置是能控的和能观的，同时二级倒立摆 的相对能控度比一级摆小很多，说明其控制难度更高。 2 1 倒立摆系统特性分析 倒立摆系统是典型的机械电子系统。无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下 特性： 1 ) 欠冗余性。一般的，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余机构，比 如说冗余机器人有较大的不同。之所以采用欠冗余的设计是要在不失系统可靠 性的前提下节约经济成本或者节约有效的空间。研究者常常是希望通过对倒立 摆控制系统的研究获得性能较为突出的新型控制器设计方法，并验证其有效性 及控制性能。 2 1 不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、测量噪声以及机械传动 过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。 3 1 耦合特性。倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是 强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制 系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。 4 ) 开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。竖直向 下的状态是系统稳定的平衡点，而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开 环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。 针对以上倒立摆系统的特性，在建模时，为了简单起见，一般忽略掉系统中 一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处 的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等 等。将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样可以通过 力学原理建立系统较为精确的数学模型。 为了方便研究倒立摆系统的控制方法，建立一个比较精确的倒立摆系统的模 型是必不可少的。目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法2 8 ，2 9 ，3 0 】：牛顿力 学分析方法，欧拉一拉格朗日原理( l a 舒a n g e 方程) 。 6 基于倒立摆系统的智能控制方法研究 应用欧拉一拉格朗日原理剐可得如下方程： 要f 要1 _ 昙+ 等：q f ，( g ，口) = r ( g ，毒) 一矿( g ，圣) ( 2 1 ) 衍l ，j 却j 篦“ 、7 其中，三为拉格朗日算子，吼为系统的广义坐标。可称为广义变量，q 是系统 沿该广义坐标方向上的广义外力。r 是系统的动能，y 是系统的势能，d 是系统的 耗散能。 通过建模我们发现，一级倒立摆系统有四个状态变量，而二级倒立摆系统有 六个状态变量。一般的，级倒立摆系统有2 ( + 1 ) 个状态变量。对于一级平面倒 立摆和一级柔性连接倒立摆系统都有六个状态变量。 2 2 一级倒立摆系统数学模型 一级倒立摆小车系统如图2 1 所示。系统由沿导轨运动的小车和通过转轴固定 在小车上的摆杆组成。 图2 1 一级倒立摆系统示意图 表2 1 一级倒立摆参数表 符号含义 取值( 单位) j 小车相对初始位置的位移 m 口摆杆与竖直向上方向的夹角r a d 中 摆杆与竖直向下方向的夹角 糟d f 作用在倒立摆系统上的控制量( 力) n m小车质量 0 5 k g 用 一级摆杆质量o 2 k g 三 一级摆杆长度 6 0 c m z 一级摆质心到转轴0 1 的距离 3 0 c l n l 一级摆杆转动惯量 0 0 0 6 k g m + m 6 小车的滑动摩擦系数 0 1 n 妇 图2 2 是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，n 和p 为小车与摆杆相互作 用力的水平和垂直方向的分量。因为在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负 篁三童型皇墨墨壅壅堡塑塞鳖坌堑三 方向已经完全确定，所以矢量方向定义如图所示。 图2 2 ( a ) 小车隔离受力图( b ) 摆杆隔离受力图 对系统作如下假设：1 ) 摆体为匀质刚体；2 ) 小车与导轨之间不存在摩擦力。 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 凇= f n 由摆杆水平方向的受力进存分析可以得到下面等式：= 聊景o + ，s i n 庐) 即：= m z + 肌印s i n 妒一埘z 2s i n 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： f m + ，胛) 膏+ 历，5 i i c o s 一m z 乒2s i n 妒= f ( 2 - 2 ) 对摆杆垂直方向进行受力分析，可以得到下面方程：p 一巩9 2 m u c 0 8 庐) 即：p 一以g = 一小助s i n 妒一m z 2c o s 妒 力矩平衡方程如下：一用s i i l 一朋c o s = 彬 合并这两个方程，约去p 和，得到第二个运动方程： ( ，+ m ，2 ) + m s i n 痧= 一小膀c o s ( 2 - 3 ) 因为= 万+ 口( 口是摆杆与竖直向上方向的夹角) ，有：c o s 庐= 一c o s 曰， s i l l 西；一s i n 目，带入( 2 3 ) 式和( 2 _ 4 ) ，得： j + m ) 膏一? 挑础+ 聊f 8 2 s i n 口( 2 4 ) i( ，+ 耐2 ) 口一，彬s i n 口= 坍反c o s 口 我们把摆杆在竖直向上状态时称为系统平衡位置，即当口“l ，耐时，则可以进行 近似线性化处理：c o s 护= 1 、s i n 口= 口、扩= o ，用“来代表被控对象的输入力f ， 线性化后两个运动方程如下： 8 基于倒立摆系统的智能控制方法研究 0 器譬! 嚣：8 。 取状态变量x = l 戈曰扫 7 ，可得系统的线性状态方程： j x = 删+ 占“ i】，= c r 其中：4 = 0l0o 而。，m + m ) + 坳，2 o 0 o1 。考等嘉。f m + 肌l + 胁z p b = o 布箫嘉。面蒜丽丁 c ：渊 o o1o 把表2 1 中参数取值代入( 2 7 ) 式和( 2 ，8 ) 式得到： 爿= 0lo0 0o 2 6 7 2 70 0 0ol o o3 1 1 8 1 8o 日= ( o 1 8 1 8 2o 4 5 4 5 5 ) 7 2 3 二级倒立摆系统数学模型 2 3 1 二级倒立摆系统建模 ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) 二级倒立摆系统如图2 3 所示。二级倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转 轴固定在小车上的摆体组成。在轨道一端装有用来测量小车位移的光电编码器。 摆体与小车之间、摆体与摆体之间由转轴连接，并在连接处有2 个光电编码器分别 用来测量一级摆和二级摆的角度。一摆、二摆可以绕各自的转轴在水平导轨所在 的铅垂面内自由转动而小车则由交流伺服电机、皮带轮、传动带带动在水平导轨 上左右运动，从而使倒立摆稳定在竖直位置并且可以沿着导轨倒立行走。 第二章创立摆系统建模和定性分折9 图2 3 二级倒立摆运动分析示意图 本文采用分析力学中的三昭r 口馏口方程建立二级倒立摆系统的微分方程。在建 立系统的运动学及动力学方程时，为了简化二级倒立摆系统的数学模型，忽略空 气流动作用在摆杆上的力矩干扰，并做以下假设： 1 ) 小车、一级摆杆和二级摆杆都是网4 体。 2 ) 皮带轮与皮带问无相对滑动，皮带不能拉仲变长。 3 ) 小车与导轨之问的摩擦力与小车速度成j 下比。 4 ) 各级摆杆与转轴问的转动摩擦力矩与摆杆的角速度成币比。 表2 2 二级倒立摆系统符号参数表 符号含义 取值( 单位) 埘0 小车质量1 3 2 k g 聊， 级摆杆的质量o 2 1 5 k g 加? 二级摆杆的质量0 1 3 2 k j i 一级摆绕质心g l 的转动惯量 0 0 0 8 3 9 8k g + m 2 j 2二级摆绕质心g 2 的转动惯量 o ol8 2 5k 矿m 2 f ， 一级摆质心g i 到转轴( ) 1 的距离 o 1 3 m i2 二级摆质心g 2 到转轴0 2 的距离 o 2 2 m 三 一级摆杆的k 度 0 1 6 m 幻 二级摆杆的长度 o 4 0 m 石 小车与导轨间的滑动摩擦系数 2 36 7 8 2n + s m l 一级摆绕转轴o i 转动的摩擦阻力矩系数 0 0 0 3 4 2 5n + s m 2 二级摆绕转轴d 2 转动的摩擦阻力矩系数 0 0 0 3 4 2 5n 4 s ，m g 当地重力加速度 9 8 m s e c 2 “倒立摆系统的控制量( 力) n 1 0基于倒立摆系统的智能控制方法研究 系统中的符号含义及共取值如表2 2 所不，数字模型推导过程如p ： a ) 系统总动能：丁= 瓦+ z ：+ 正 小车的动能：磊= 去i 2 一级摆动能：石= 圭牟+ 圭，码 未c ，+ ts i n 岛， 2 + 鲁c t c 。s 6 ；， 2 ) = 圭一牟+ 三m ( ，+ c 。s 岛龟) 2 + ( s i n 岛日) 2 二级摆动能： 夏= 圭以窝+ 圭，吃 j ；c r + 厶s i n 鼋+ ts i n 岛， 2 + 芸c 厶c 。s 岛+ 如c 。s 岛， 2 = 圭也劈+ 丢鸭 ( i + l c o s 聃 f 2 c 。s 岛逸) 2 懈s i n6 ：龟十f 2 s i n 岛例 b ) 系统总势能：矿= + 巧+ k ， 小车势能： = o ， 一级摆势能：巧= _ 幽c o s q ， 二级摆势能：k = 鸭g ( 厶c o s 岛+ f 2c o s 岛) ； c ) 系统总耗散能：d = d o + 日+ d 2 ， 小车耗散能：岛= 三五i 2 ， 一级摆耗散能：q ：昙石牟， 二级摆耗散能：马= 昙五( 晓一龟) 2 ； 上咿臼愕p 函数：上= r 一矿， 上锣订俘方程：鲁( 嚣卜嚣+ 詈= q ： 其中：q 表示广义力；g j 表示广义坐标：在本文中为r ，q ，岛。 刊：丢( 詈 一詈十詈= “ p 呐 第二章倒立摧系统建模和定性分析 ”q 时：昙( 嚣 _ 嚣十詈= 。 铲州：鲁 薏卜差+ 嚣- o 将l = r 一矿和d 代入式( 2 9 ) 、式( 2 1o ) 、式( 2 1 1 ) ，并进行化简得到： ( + 铂+ 2 ) ，+ ( 朋l + 川2 厶) 反c o s q + 埘2 毛唛c o s 岛 一( m l ，i + 2 厶) 馥2s i n 岛一2 2 幺2s i n 岛一五i = “ ( 卅1 f 。+ m ：厶) c o s q i + ( + 朋，2 + 脚：2 茸) 岛+ m ：f 厶c o s ( 岛一日) 岛 + ( i + ) 吐一( + 厶之s i n ( 岛一日) m ：岛) 幺一( 啊十上，) gs i n q = o m ：f ：i c o s 岛+ 肌：厶，2c o s 反( 岛一日) + ( 如+ 埘：，2 2 ) 绣 + ( m ：厶t 磅s i n ( 岛一q ) + ) 酋+ 五幺一肌：f 2 9s i n 岛= o 令： q ( q ，护2 ) = h ：( 鼠，岛，q ，岛) + m l + 2 ( 脚i + 埘2 厶) c o s q 卅2 f 2c o s 岛 ( m 。+ m ：厶) c o s 鼠 + 珊 2 + 2 2 研：f 2 厶c o s ( 岛一日) ( m l f l + m 2 厶) qs i n q o z 一五 。 一，”：三日s i n ( 岛一q ) + j m 2 7 2c o s b m ：乞厶c o s ( 岛一q ) j ! 七m 0 ； ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 毗乏给篙m 陋：，2 l 。岛s i n ( 睦一岛) + l ( 2 1 7 ) 一正 j h ，( q ，岛) = ( o ( m ，f ，十m ：) g s i n q m ，f ：gs i n 岛) 7 向。= ( 1 o o y 则根据微分方程式( 2 1 2 ) 、式( 2 1 3 ) 、式( 2 1 4 ) 可写成 喝c 胡，岛，差 = 马c q ，岛，日，晓， 差 ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) + 马( q ，岛) + “ ( 2 2 0 ) 2 3 2 状态方程的线性化处理 令z = ( ，q 岛) 7 ，在系统平衡位置z = j = o 处，对式( 2 2 0 ) 线性化，有 2 = 谚= o ，s i n 鼠“口，c o s b “1 由式( 2 1 9 ) 得至0 膨= m + & + 甜( 2 2 1 ) 1 2 基于倒立摆系统的智能控制方法研究 其中 i 疗+ + 聊2 m l + 川2 厶m 2 ，2 m = q ( o ，o ) = i + m ：厶 十m 。2 + m ：厶2m ：乞厶( 2 - 2 2 ) l 2 ，2 m 2 如厶 厶+ 聊2 如2 j 一五 o o = 凰( o ，o ，o ，o ) = i o 一矗一厶 g = 。c 朋。t + m ：上i ，g ， ：乞g 令= p 岛岛i 岛晓】7 ，则式( 2 2 0 ) 可以写成状态方程： f i i 茹砌 爿- ( 0 g 叠卜 流 ， c = | ； 这里d 3 为3 阶零矩阵，3 为3 阶单位阵，。3 。= ( o o o ) 1 。 oo o100 oooolo ooooo1 o o9 6 0 3一o 1 1 6 l1 5 7 6 4 20 0 1 2 3o 0 0 5 4 o3 5 9 6 6 0一3 _ 3 4 4 l4 7 2 8 2 00 5 5 2 6o 2 9 6 4 o一5 6 5 0 71 23 1 8 19 6 6 3 7o 2 2 8 70 1 8 8 5 b = ( o ooo 6 6 5 8 一1 9 9 6 9 o 4 0 8 1 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 第二章倒立摆系统建模和定性分析 1 3 2 4 倒立摆系统的定性分析 2 4 1 相关定理简介 在得到系统的数学模型之后，为了迸一步的了解系统性质，需要对系统的特 性进行分析，最主要的是系统的稳定性、能控性以及能观性。 系统的稳定性分析一般可以应用l a s a i l e st 1 1 e o r e m 或者李亚普诺夫稳定性理 论，最常用的是后者。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据前面得到的系统 线性模型分析。一般摆杆竖直向上位置是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器 来镇定系统，因而可以采用平衡点附近位置近似的线性模型来分析。 在进行倒立摆的定性分析之前，先介绍线性控制理论中几个关于能控性、能 观性的判定定理阮3 3 ，34 1 。 定理1 ( 能控性判据) n 阶线性定常连续系统岩= 删+ b ”状态完全能控，当且 仅当系统的能控性矩阵： s = 1b 爿b彳2 b 4 胪。曰l ( 2 2 6 ) 满秩，即r a n k ( s ) = 肝。 定理2 ( 能观性判据) n 阶线性定常连续系统 ( 文：a x b u o 为学习率。 模糊神经网络虽然也是局部逼近网络，但是它是按照模糊系统模型系统建 立的，网络中的各个结点及所有参数均有明显的物理意义，因此这些参数的初值 可以根据系统的模糊或定性知识来加以确定，然后利用【：述的学习算法| j 以很快 i 投敛到要求的输入输出关系，这是模糊神经网络比单纯的神经网络的优点所在。 同时由于它具有神经网络的结构，因而参数的学习和调整比较容易，这是它比单 纯的模糊猡辑系统的优点所在。 4 3 一级倒立摆控制仿真 本文使用一种基于最优控制和自适应神经网络模糊控制器的设计方法。为了 运用线性系统理论和t 钛a 醇s u g e n o 拟模糊系统进行控制器的分析和设计，可以 考虑将先将非线性系统在不同的状态进行局部线性化，使之成为若干予系统，对 于1 酞a g i s u g e n o 模型控制器的每一条模糊规则，可以看作一个对应线性控制器， 而整体的控制器由多条模糊推理规则处理，经过模糊综合、清晰化等过程后，逼 近一个非线性的控制器。该方法的本质在于将个整体非线性的控制器模型用多 个局部线性模型进行模糊逼近。 3 0 基于倒立摆系统的智自b 控制方法研究 4 3 1 样本数据 自适应神经网络模糊系统最大的特点就是基于数据的建模方法，该系统中的 模糊隶属度函数及模糊规则是通过大量的已知数据的学习得到的。因此，首先要 获得足够的合理数据样本。根据实际控制要求，可以大致确定倒立摆状态变量和 控制变量的范围如下：工【一0 5 ，0 5 ；量 一3 ，3 ；口 一o 3 ，o 3 ；口 一l ，1 ；控 制力f 一l o ，l o 】。根据上述的范围分析，可以划分出状态空间。这里将b ，i ，口，毋】 在每一个方向上均匀取出若干点 1 、”2 、”3 、”4 ，然后互相组合成状态空间为 f 。，竞：，包，最。i 的点，用这些离散的点来划分状态空间。总点数( 即子空间数) 是 1 4 月2 3 4 ，其中肝l 、打2 、h 3 、行4 分别为工、量、护、目方向上的采样点数目。 剥- _ 倒立摆的系统的上面每个离散状态空间x ，e 进行线性化，并且 选择合适的l q r 控制参数q 、r ，设计出线性最优控制器k ，如，世，因为 i 。q r 参数选择对闭环系统动态性能影响很大，对位置跟随速度和角度变化范围有 较大影响，并且q 、r 各个参数以及跟随速度、角度大小的关系是互相耦合的， 应当综合考虑后再选取。一般情况下，r 增加，控制力减小，角度变化变小，跟 随速度变慢。矩阵q 中某元素相对增加，其对应的状态变量的响应速度增加， 其他状念变量的响应速度相对减慢。例如q 对应于。的元素增加，使得。的变 化幅度减小，而x 响应速度变慢；q 对应于x 的元素增加，使得x 的跟踪速 度变快，而。变化幅度增大。这里根据不同的状态选择不同的动态性能和稳定性 能要求，例如在e 大的时候应主要考虑稳定性，而在。小的时候主要考虑动态跟 随速度。在本文中分别取啊= m ，= r = n 。= 5 ，令： q = 威昭( 旧口2 9 3 9 4 1 ) ，r = 1 其中g ：= g 。= 1 ，g 。，吼分别根据x ，目的大小按下式取不问的值： f 2 0 0 x = o 5 0 f 3 0 0 ， 臼= o 3 0 9 1 = 1 5 0 x = o 2 5 9 3 = 2 5 0 ， 臼= o ，1 5 ( 4 1 9 ) 【1 0 0 工= o o o 【2 0 0 ， 扫= o o o 在m a t l a b 中直接使用函数 k ，s ，e = 1 q r ( a ，b ，q ，r ) 来针对每个空间输入点 来没计最优控制器 4 4 ，4 5 1 的反馈矩阵k ，这里的a ，b 是每个空间输入点x 经过线 性化所得到的状态方程。而对于此状态的控制力： f = k + 爿，= 岛，也岛屯 + x ，i ，臼，卅7 ( 4 2 0 ) 当获得了足够的数据，就可以用自适应神经网络模糊系统来模糊这些离散状态并 且模糊综合那些线性控制器k ，心，巧，即训练产生模糊规则和隶属度函数。 第四章一级倒立摆系统控制仿真 3 l 4 3 2 自适应模糊神经网络控制器 m a t l a b 的模糊工具箱提供了辅助自适应神经网络模糊推理工具的主要函 数a n f i s 【4 科”，其实质是借用神经网络中比较成熟的学习算法一反向传播算法， 对一组给定的输入输出数据集进行学习来调整模糊推理系统中变量的隶属度函数 的形状参数，使得设计出来的模糊推理系统能够很好地模拟希望的输入输出。本 文使用a n f i s 函数及相关函数以上述的离散状态空间点及其相应每个控制器的输 出f ，e ，e 为样本数据来训练产生模糊神经网络。模糊规则数目的选取可以 依据选择的采样点的数目和系统偏离线性的程度来选取，这里对于每个状态方向 选取两个模糊函数，初始隶属度函数如图4 6 所示，可以产生1 6 条模糊规则。 图4 6 训l 练前各输入变量的隶属函数：( a ) 位移( b ) 速度( c ) 角度( d ) 角速度 经过训练得到的各输入变量的隶属函数如图4 7 所示，把训练后的输出结果 与样本输出数据曲线进行比较，测试结果如图4 8 所示( 由于样本数据比较多， 所以只随机选择了其中的一部分) ，由图