（流体力学专业论文）薄膜沿加热平板下落的稳定性及其时空演化.pdf

摘要 沿乎板下落的薄膜流动是类典型的简单开式流动它不仅在_ 丁程上有者广泛的应用，在 理论i 也角着重大的研究价值。本文扶理论和数值上对恒温，均匀加热、线性加热以及局部加 热下落薄骥的线性稳定性和时空演化特性分黜进行7 深入研究。 本文首先从全r 度的n a v i e r - s t o k e s 力程和基本平行剪切流出发推导了恒温下落薄摸的线 性稳定性方程( o r r s o m m e r f e l d 隽程) 及相匝的自由面边界条件。对o f t - s o m m e r f d d 方程的特征 值问题采f f c h e b y s h e v 谱配置法可以计算得到精确的数值色散关系，当倾角很小时时间不稳 定分析显示流动存在表面波不稳定和剪切不稳定，丽当倾角较大时剪切不稳定不存在了同 时表面波不稳定的临界r e y n o l d s 数发生在无穷长波处并a 其s 倾角的大小有关而s w e b e r 数 无关。根据b r i g , s b e t s 碰撞准则来研究t 薄膜钓绝对s 对漉不稳定特性发现在很大的参数空 间里流动都是对流不稳定的；同时还发现在r e y n o l d s 数大j ：1 0 0 时在向t 游的某个惯性坐标 系下不稳定发生t 一个奇异的鞍点分叉。基予空间模式r 在对流不稳定的流动中才是有效的 本文还通过壹接数值计算和对时阅模式的g a s t e r 变换来研究由入口扰动引起的空闯放大波的特 性( 即信s 阚题) 汪实t g a s t e r 费g 换在时闻增长率和空间增长率都很小时的有效性。 采用类似s 瞧温t 落薄膜的方法，本文对均匀加热和线性加热下落薄骥进行t 垒r 度的线 性稳定性分析。均匀加热薄膜的时闻模式的中性曲线揭示t 流动豫t 存在表面波不稳定还南 两种类型的热毛细不稳定f s 模态和p 模态) 。绝对与对流不稳定分析进一步指出当m a r a n g o n i 数 大于某个l 缸界值时，这两个热不稳定模态都会发生流动的绝对不稳定，为此我们画出7 它们在参数空间内的绝对s 对流不稳定的边界曲线。对于线性拥热引起的热毛细不稳定， 当m a r a n g o n i j 段很小和很大时流动是对流不稳定，丽绝对不稳定只发生在m a r a n g o n i 数巾等 大小的区域， 本文还采用借鉴。毛滑理论的长波近似，分剐推导了恒温和线性t j 热下落溥骥的u e n n e y 非 线性演化方程，基于b e n n e y 方程的弱非线性分析表明。簿骥流动在临界雷诺数处发生7 4 i 稳 定的超临界秘蛀临界分叉。起演化方程的有限振幅数值i - k g g 涯实7 弱非线性理沦的结果。这样 我们就得到7 在弱非线性区域内的首次失稳后的二维饱和解，进一步以此二维非线性饱和解 为基本解应用f l o q u e t 定理本文研究t 线性加热t 落薄膜的三维_ 次同步不稳定和二- 敬谐波不稳 定。我们舶二次失稳分析揭示了，m a r a n g o n i 数肘加热薄膜的次失稳起着不稳定的作用。赊了 艮波近似方程我们还推导t 沿任意加热平扳t 落薄嗅的积分边界屠力程。我们得到的税分边 释爱方程形式i 类缎予带源项的浅水波方程。因此。对酸分边猝屠方程的数值计算可以采用已 有的处理带源项浅水波方程的力法。本文采用l e v e q u e 的高精鏖g o d u n o v 力泫通过使源项s 数值通量相平衡的力式米消除源项的影响，我们模拟t 薄膜流动三种局部平扳温度分布t 的? ? 维和三维时空演化过程。 最后本文还对二维加热t 落薄蠖采用a l e ：有限元方法进行t 直接数值模拟。通过在 入口处讣加币同频率的小扰动我们研究t 恒温薄膜的表面放大波的空间增氏特性，并将 计算结果s 全r 度的线性稳定分析计算结果比较得到t 直接数值模拟s 理论相一致的结 论，丽对于局部加热薄膜的数值模拟，可以观察到表面刹面为前凸后凹的驼峰状形态。并 且r e y h o l d s 数、b i o t 数和p r a n d t 激的减小以及m a r a n g o n 擞的增大都会使表面幅度增大。同时 我们还发现当表面幅度很大融裁凸漉动区域出现回流现象。这会使褥薄膜流动的k 波近似失 效，此外我们还观察到流向速度和温度沿横向均是自相似的抛物化分造i ， 本文的结果对深化复杂流场失稳和图象形成的认识等有重要的科学意义，对流动拉韵有重 要的随用价值， 本交i 作由国家自然科学基金赍助城矗( i o 四1 8 1 和中科院刨新i 程重要方向性硬h ( k j c x 2 - s w - l 2 ) 赞励 摘要 中英文关键字 贝纳德对流实验 布悉尼斯克近似 t s 波 范德华力 热交换系数 导热系数 表面波不稳定 热毛细不稳定 c h e b y s h e v 谱配置法 弱非线性分析 二次同步不稳定 二次谐波不稳定 积分边界层方程 任意拉格朗日一欧拉方法 自由边界条件 b 6 n a r dc o n v e c t i o ne x p e r i m e n t b o u s s i n e s qa p p r o x i m a t i o n t o l l m i e n s c h l i c h t i n gw a v e s v a nd e rf 怡a l sf o r c e h e a tt r a n s f e rc o e f 5 c i e n t 。 h e a tc o n d u c t i o nt o e 佑c i e n t s u r f a c ew a v ei n s t a b i l i t y t h e r m o c a p i l l a r yi n s t a b i l i t y c h e b y s h e vs p e t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d w e a kn o n l i n e a ra n a l y s i s s e c o n d a r ys y n c h r o n o u si n s t a b i l i t y s e c o n d a r ys u b h a r m o n i ci n s t a b i l i t y i n t e g r a l - b o u n d a r y l a y e re q u a t i o n a r b i t r a r yl a g r a n g e e u l e r i a n ( a l e ) m e t h o d s o m m e r f e l dr a d i a t i o no rf r e eb o u n d a r yc o n d i t i o n a b s t r a c t t h i nf i l mf l o w i n ga l o n ga ni n c l i n e dp l a t ei sat y p i e a , lm o d e l0 | s i m p l eo p e n f l o w s ，w h i c hh a sn o t o n l yw i d e s p r e a de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n si ni n d u s t r i a lp r o c e s s e s ，b u ta l s os i g n 币c a n tr e s e a r c h v a l u ei nt h e o r e t i c a la s p e c t s l i n e a ri n s t a b i l i t i e sa n ds p a t i a l - t e m p o r a le v o l u t i o n so ii s o t h e r m a l , u n 咖m z 岳h e a t e d , l i n e a r l yh e a t e da n dl o c a l l yh e a t e df a l l i n gf i l m sa w ee x p l o r e dt h e o r e t i c a l l ya n d n u m e r i c a l l y 伽t h i sd i s s e r t a t i o n l i n e a r s t a b i l i t ye q u a t i o n o r r - s o m m e r f e l de q u a t i o n ) c o u p l e dw i t ht h em e s u 咖e eb o u n d a r y c o n d i t i o n sf o ri s o t h e r m a l ，d l l i n g 问mi sf i r s td e r i v e dg e mt h ef u t ts c a l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s i t ht h eb a s i cs h e a r p a r a i l e jf i e w ，e x a c tn u m e r i c a ld i s p e r s i o nr e l a t i o n 妇o b t a i n e db yt h ev o m p u t a t i o no i t h e e i 9 e n v a l u ep r o b l e mo lo r r s o m m e r f e l de q u a t i o nw i t ht h ec h e b y s h e vs p e c t r a l c o l l o c a t i o nm e t h o dw h e nt h ei n c l i n ea n g l ei sv e r ys m a l l ，t h et e m p o r a ls t a b i l i t ya n a l y s i ss h o w s t h a tt h e r ee x i s t ss u r f a c ew a v ei n s t a b i l i t ya n ds h e a ri n s t a b i l i t y f o rg r e a t e ra n g l e s ，t h es h e a r i n s t a b i l i t yv a n i s h e sa n dt h ec r i t i c a lr e y n o l d sn u m b e r 如rt h es u r f a c ew a v ei n s t a b i l i t ya p p e a r sa t i n f i n i t el o n gw a v e l e n g t h ，w h i c hi sd e p e n d e n tw i t ht h ei n c “n ea n g l ew h i l ei n d e p e n d e n tw i t ht h e w e b e rn u m b e rt h ea b s o l u t ea n dc o n v e c t i v ei n s t a b i l i t ya n a l y s i sp e r f o r m e db yt h ee x a c tb r i g g s b e r sc o l l i s i o nc r i t e r i o ns h o w st h a tt h et h 讥f i l mf l o wi sc o n v e c t i v e l yu n s t a b l ei o ral a r g er e g i o n d ，t h ep a r a m e t e rs p a c e m e a n w h i l e ，w h e n 琥er e y n o l d sn u m b e ri sl a r g e rt h a n1 0 0 ，ac u r i o u s s a d d l e p o i n tb i f u r c a t i o nt a k e sp l a c eu n d e rad o w n s t r e a mi n e r t i a lc o o d i n a t es y s t e m s i n e et h e s p a t i a lm e d ei so n l yv a l i d o rt h ec o n v e c t i v ei n s t a b i t y ，t h es p a t i a l t ya m p l i f y i n gw a v e sp r o d u c e d b yt h ei n l e tp e r t u r b a t i o n 瞳es i g n a l l i n gp r o b l e m ) a r ea l s os t u d i e dc a r e f u l l yt h r o u g hb o t hd i r e c t n u m e r i c a lc o m p u t a t i o na n dg a s t e rt r a n s f o r m a t i o n 加mt h et e m p o r a lm o d e ，w h i c hi sv a l i dw h e n 6 0 t ht e m p e t 州a n ds p a t i a lg r o w t hr a t ea r es m a l l s i m i l a rt ot h ea p p r o a c h e so t h ei s o t h e r m a l 轴l l i n g 秘m t h ef u l ls c a l el i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i si sa p p l i e dt ot h eu n t | o r m l ya n dl i n e a r l yh e a t e df i l m t h en e u t r a lc n e s | o rt h et e m p o r a l s t a b i l i t yo iu n q o r m l yh e a t e df i l m sr e v e a lt h a tt h e r ee x i s tt w ot y p e so ft h e r m o c a p i l l a r yi n s t a b i l i t i e sc a l l e dsm o d ea n d 尸m o d er e s p e c t i v e l yn sw e l la ss u r f a c ew a v ei n s t a b i l i t y f u r t h e r m o r e ，t h e a b s o l u t ea n dc o n v e c t i v ei n s t a b i l i t ya n a l y s i sp o i n t so u tt h a tw h e nt h em a r a n g o n in u m b e re x c e e d s oc r i t i c a lv a l u e ，t h ea b s o l u t ei n s t a b i l i t yw i l la r i s e 如rt h e s et w ou n s t a b l em o d e s t h e nw ep l o tt h e b o u n d a r ye u f u e so ft h ea b s o l u t ea n dc o n v e c t i v ei n s t a b i l i t yi n t h ep a r a m e t e rs p a c e b u tf o rt h e l i n e a r l yh e a t e df i l m ，w h e nt h em a r a n g o n in u m b e r i sv e r ys m a l lo rv e r yl a r g e ，t h ef i l mf l o w sa r e c o n v e e t i v e l yu n s t a b l ew h i l et h ea b s o l u t ei n s t a b i l i t yo n l ya p p e a r sf o rs o m em o d e r a t em a r a n g o n i n u m b e r a p p l y i n gt h el o n g - w a v ea p p r o x i m a t i o nw h i c hb o r r o w si d e a s 加m l u b r i c a t i o nt h e o r y ，an o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n 。，b e n n e y t y p ei sd e r i v e di o rt ei s o t h e r m a la n dl i n e a r l yh e a t e df a l l i n g f i l m s aw e a k l yn o n l i n e a ra n a l y s i sb a s e do nt h eb e n n e y t y p ee q u a t i o ne x h i b i t sab i f i a r e a t i o no f t h bs o l u t i o n9 i v i n 口r i s et os u p e r c r i t i c a lo rs u b c r i t i c a li n s t a b i l i t i e sn e a rt h ee r i t i lr e y n o l d ss u m b e rf i n i t ea m p l i t u d ec o m p u t a t i o no nt h ee v o l u t i o ne q u a t i o ne on ，所st h er e s u l t so ft h ew e a k l y n o n l i n e a rt h e o r y t h u sat w o d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rs a t u r a t i o ns o l u t i o no fp r i m a r yi n s t a b i l i t i so b r a i n e dw i t h i nt h ew e a kn o n l i n e a rd o m a i n 孤e n t h et h r e e - d i m e n s i o n a ls y n c h r o n o u sa n d s 6 o m 口n i c8 e c o n d a r yi n s t a b i l i t yo ft h et w o d i m e n s i o n a lw a v e i sd o n et h r o u g hf l o q u e tt h e o r e m o rt h eh e a t e dl a l l i n gf i l m o u rs e c o n d a r yi n s t a b i l i t ya n a l y s i ss h o w st h a tt h em a r a n g o n is u m b e rh sd e s t 8 b i l i z a t i 。ne f f e c to nt h es e c o n d a r yi n s t a b i l i t y 张ei n t e g r a l - b o u n d a r y l a y e r ( i b l ) e q u a t i o n sf o r dt h i nf i l mf l o w i n gd o w ndh e a t e dp l a t ea r ea l s od e r i v e d ，a n dt h e d i s t r i b u t i o n 1 1 1 英文摘要 o it h et e m p e r a t u r ea l o n gt h ep l a t e i s o r b i t r a r y 强e1 0 mo o u r1 b le q u a t i o n sa f ts i m i l a r t ot h a to ft h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n sw i t hs o u r c et e r m s s ot h ei b le q u a t i o n sc a nb es i m u i a t e dw i t ht h es i m i l a rm e t h o d sf o rt h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n sw i t hs o n r c et e r m s j0 u rm e t h o d a d o p t s w a v e - p r o p a g a t i o na t g o r i 绕mw i t ht h eb a l a n c eb e t w e e nt h es o u r c et e r m sa n dt h e 月z g r a d i e n t s ，a n daf r a c t i o ns t e pi sj o i n e dw h e nt h eu n s t e a d ys t a t ei si a ra w a y 口mt h es t e a d y s t a t e t w o d i m e n s i o n a la n dt h r e e - d i m e n s i o n a ls p a t i a l t e m p o r a le v o l u t i o np r o c e s s e so | 扭l i i n g f i l m sw i t ht h r e ed i f f e r e n tt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o no fl o c a l l yh e a t e dp l a t ea r es i m u l a t e d 如rt h e 佃le q u a t i o n s f i n a l l y ，t w o d i m e n s i o n a ld i r e c ts i m u l a t i o n so ft h eh e a t e d 扣l l i n gf i l m s a r ep e r f o rm e db y u s i n g a na r b i t r a r yl a g r a n g e e u l e r i a n ( a l e lf i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h i st h e s i s t h r o u g h i m p o s i n gas m a l lp e r t u r b a t i o nw i t hd i f f e r e n tf r e q u e n c i e sa tt h ei n l e to l a ni s o t h e rm a l 如l l i n 9 f i l m ， w es t u d yt h ec h a r a c t e r i s t i c so ls p a t i a l l ya m p l i f y i n gw a v e s ，w h o s es p a t i a lg r o w t hr a t ea n dp h a s e v e l o c i t ya r ew e l la g r e e m e n tw i t ht h er e s u l t so ft h el i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i s f o rt h es i m u l a t i o n o fl o c a l l yh e a t e df i l m s ，ah u m p 伽f r o n to lt h eh e a t e ra n dad e p r e s s i o nb e h i n di t a r eo b s e r v e d w i t hg a u s s i a nt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o no nt h eh e a t e dp l a t ew a l l t h e 地面mo yt h eh u m pa n d d e p r e s s i o ni sa ni n c r e a s i n gf u n c t i o no f t h em a r a n g o n in u m b e r , ad e c r e a s i n g 丘n c t i o no it “b l o t n u m b e r ，r e y n o l d sn u m b e ra n dp r o n d t ln u m b e r w h e nt h eh u m pi s l a r g ee n o u g h ，a ni n v e r s e p o wa p p e a r s 机t h eh u m p w h i c hm a k e sl o n g - w a v ea p p r a z i m a t i o n 丘i l s 。p a r a b o l i cs e 驴。s i m i l a r d i s t r i b u t i o n so fs t r e a m w i s ev e l o c i t ya n dt e m p e r a t u r ea r ea l s oo b s e r v e da c r o s st h eh e a t e dt h i n f i l m t h er e s u l t si nt h i st h e s i sa r ei m p o r t a n t 如r st ou n d e r s t a n dt h ei n s t a b i l i t y , p a t t e r nf o n 一 t i o na n dn o n l i n e a rp r o c e s so ft h ec o m p l e xf l o w s ，a n dh e l p f u li o rt h e 月o c o n t r o la n dp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s 摘要 中英文关键字 贝纳德对流实验 布悉尼斯克近似 t s 波 范德华力 热交换系数 导热系数 表面波不稳定 热毛细不稳定 c h e b y s h e v 谱配置法 弱非线性分析 二次同步不稳定 二次谐波不稳定 积分边界层方程 任意拉格朗日一欧拉方法 自由边界条件 b 6 n a r dc o n v e c t i o ne x p e r i m e n t b o u s s i n e s qa p p r o x i m a t i o n t o l l m i e n s c h l i c h t i n gw a v e s v a nd e rf 怡a l sf o r c e h e a tt r a n s f e rc o e f 5 c i e n t 。 h e a tc o n d u c t i o nt o e 佑c i e n t s u r f a c ew a v ei n s t a b i l i t y t h e r m o c a p i l l a r yi n s t a b i l i t y c h e b y s h e vs p e t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d w e a kn o n l i n e a ra n a l y s i s s e c o n d a r ys y n c h r o n o u si n s t a b i l i t y s e c o n d a r ys u b h a r m o n i ci n s t a b i l i t y i n t e g r a l - b o u n d a r y l a y e re q u a t i o n a r b i t r a r yl a g r a n g e e u l e r i a n ( a l e ) m e t h o d s o m m e r f e l dr a d i a t i o no rf r e eb o u n d a r yc o n d i t i o n 第一章绪论弟一早三百下匕 51 1 薄膜流动研究的科学意义 顾名思义，薄膜流动就是一层厚度很小的流体在固体衬底上的流动，它是一种典型的交界面 流动。薄膜流动广泛地存在于自然界中，比如油漆被涂抹在材料表面、雨水滴落在窗户玻璃上以 及溪流轻轻地漫过鹅卵石时的流体流动都属于薄膜流动。同时，薄膜流动在工程热物理( 如薄膜传 热和蒸发制冷) 、材料制备( 如用化学汽相沉积制备薄膜) 和化学工程( 如泡沫和乳胶) 等工业领域也 有着非常广泛的应用；例如在营养液的低压浓缩器、精馏器和海水淡化器中，都存在薄膜流动。 可见对薄膜流动的研究有着重大的现实意义。 薄膜流动是一种非常简单的低速开式流动，它蕴涵着极其丰富的动力学行为，其中的交界面 不稳定性、自由表面波、三维时空图象等非线性现象一直是流体力学学者所研究的热点。同时从 薄膜流动的实验中可以观察到从层流到湍流的过渡现象，因而对薄膜流动的理论研究有助于我们 对湍流形成机理的认识。可见对薄膜流动的研究有着重大的理论意义。 1 2 薄膜流动的研究进展 对薄膜流动的研究最早可以追溯到经典的贝纳德对流实验f 1 1 ，在该实验中水平薄膜被 底鄱加热，当加热温度超过某个临界温度时，静止的薄膜将发生旭状对流。瑞利爵士( l o r d r a y l e i g h ) 2 将对流彤成的原因归咎于浮力，并通过布悉尼斯克近似和线性稳定性分析，得到 了一个临界温度。但是该临界温度和对应的波长与贝纳德实验得到的结果不符。直至上世纪 中期，b l o c k f 3 1 和p e a r s o n 4 发现l 临界温度还取决于表匪张力，也就是表面张力的变化依赖于 温度的变化，从而引起界面的切向应力的产生，该现象通常称为热毛细效应或m a r a n g o n i 效 应。p e a r s o n 通过忽略自由表面的变形和浮力，通过线性稳定性分析得到了与贝纳德实验相符的 临界温度，这主要是由于贝纳德实验中的流体层厚度很小，以至于表面张力起主导作用。 上世纪中期，k a p i t z a 父子瓯6 进行了液体薄膜沿倾斜斜面下落的开创性实验。该实验初步 观察到了不稳定的表面波，同时还观测到孤立波现象。至此以后的半个多世纪，对薄膜沿倾斜斜 面下落的动力学性能的研究吸引了许多的科研工作者，归其原因主要是：它是一个简单的开式流 动系统，但却可以观察到非常复杂丰富的动力学时空图象。其后大量的实验研究 9 一1 6 】表明，下 落薄膜的流场演化与边界层流动中观察到的现象有许多相似之处，c h a n g 7 ，8 】将其大致分为四个 阶段：( 1 ) 初始时刻在入口处的无穷小扰动在向下游传播过程中指数放大，形成频率，的单色波， 这说明流动是对流不稳定的：( 2 ) 由于弱非线性效应，单色波的增长被抑制而趋于一个饱和值。 同时非线性也导致基频和亚谐频之间的相互作用，使波形变陡，此时流场中的波动仍然是均匀 的；f 3 ) 亚谐波不稳定使得相邻的波相互合并，均匀流场中出现间歇的缺陷，变得非常不规则。在 扰动频率，非常低时，还可以观察到所谓“孤立包”( s o l i t a r yh u m p ) 的形成：( 4 ) 横向扰动的发展 1 第一章绪论 竺= = = = = = = = = ! = = = 竺= = = ! = = 烹= = = = = = ! = = ! = = = ! = 竺竺= = = = = 暑。：! ：= ! 。 ：= = = = = ! ! = ! = 皇 导致流场二次失稳，出现三维性。关于倾斜平面上薄膜流动的三维不稳定波的一个著名的实验是 i l i u 、s c h n e i d e r 和g o l l u b 完成的 1 4 ，i 6 。他们发现对应不同频率的横向扰动，流动可以发生三 维同步不稳定( s y n c h r o n o u si n s t a b i l i t y ) 和三维亚谐波不稳定( s u b h a r m o i ci n s t a b i l i t y ) ，它们都是 对流不稳定的( 如图1 1 ) 。后者还对应流场中的鱼骨状图案( h e r r i n 曲o n ep a t t e r n ) ，在自然界中可 以经常看到这种典型的图象【1 7 】o 他们继续跟踪扰动的发展直到流动变为空间混沌的结构。 ( a ) 三维同步不稳定( s y n c h r o n o u si n s t a b i l i t y )( b ) 三维亚谐波不稳定( s u b h a r m o n i ci n s t a b i l i t y ) 图1 - 1 恒温薄膜( 3 1 甘油水溶液) 沿倾斜平板下落的三维流动图象，用荧光摄影法拍摄。( a ) 倾角 为6 4 。t 雷诺数为7 2 ，入口小扰动频率为1 0 h z ：( b ) 倾角为4 0 。雷诺数为5 05 ，入口小扰动频率 为1 4 h z 。 b e n j a 1 i n 1 8 和y i h f l 9 】晟早对沿平板下落的恒温薄膜进行了线性稳定性分析，证实了重力 引起的表面波的波长远远大于薄膜厚度，同时得到了长波近似条件下的临界雷诺数( r e 。= 5 4c o t 卢、p 为平板与水平面的倾角) ；这说明了对于垂直下落薄膜，流动总是长波不稳定的。对 于倾角芦很小( o 5 6 ) 时，d e b r u i n 2 0 、f l o r y a n 2 1 和w o o d s & l i n 2 2 的稳定性分析揭示薄膜 流动存在较短波长的剪切不稳定，并且该不稳定的增长率与表面波增长率的量级相当。该剪切模 态对应的i 临界雷诺数与倾角和表面张力不成单调关系，其最小值发生在特定的倾角和表面张力参 数上。不稳定的表面波的相速度近似为自由表面速度的两倍，而剪切不稳定对应的t - s 波的相速 度则比自由表面速度小。由线性稳定性分析得到的表愿波不稳定的临界雷诺数、空间增长率和相 速度与l i u 等人 1 3 ，1 6 1 的实验结果非常吻合。 对于表面波不稳定，当取较小的雷诺数( r e r e 。) 和较大w e b e r 数时( 也就是要求薄膜厚度 很小而表面张力较大) ，由线性稳定分析易知不稳定区间集中在波数非常小的长波区间。基于 这样的考虑，b e n n e y 2 3 、l i n 2 4 ，2 5 】、g j e v i k 2 6 和n a k a y a 2 7 推导了小雷诺数下的各种阶数长 波近似方程，并对它们进行了弱非线性分析。g j e v i k 的基：手- b e n n e y 方程的弱非线性分析表明： 薄膜流动在临界雷诺数处发生了超临界和亚临界分叉( 如图l 一2 ) 。当k k k 。时，薄膜流动 的不稳定表现为超临界有限振幅波；当k k 时薄膜流动为亚临界不稳定，不存在有限振幅 波( 波的振幅随时间无限增大) 。同时注意到，在靠近的超临界区附近，弱非线性分析是不能 自恰的，这是因为已经存在较强的非线性作用，可见以k 。曲线区分超临界和亚临界不稳定的 边界是不准确的。实际上在小于k 。的亚i 临界区有孤立波的存在，这进一步说明了该区域是强 2 非线性起主导作用；正是因为如此，该区域也是目前理论上最不甚了解的区域。在靠近中性曲 线k 的超临界区附近，由弱非线性理论可以得到近似的二维周期波，并可以在此基础上对展向 流动进行二次失稳的研究。j 0 0 和d a v i s 【2 8 j 首先利用f l o q u e t 理论进行了二次失稳的理论分析， 证实了恒温滓膜流动存在三维同步不稳定。p u m i r 、m a n n e v i l l e 和p o m e a u 2 9 1 对b e n n e y 长波近似 图1 - 2 超临界和亚临界分叉草图。 方程进行了数值计算，通过假设方程的解是个关于给定波数j 的周期解，设定薄膜厚度的小扰 动初值为h = 1 + ds i n 船，计算最终薄膜演化的波形和波速，进一步证实了弱非线性理论：同 时也在远小于临界波数k 。处发现了孤立波的存在，而波数进一步减小时得不到饱和的演化周 期解。b e n n e y 长波近似方程和弱非线性理论成功地解释了薄膜演化的许多问题。通过一定的假 设，b e n n e y 方程甚至可以简化为k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程，该模型方程是理论物理中最常见 的。通过对k s 方程的研究【8 】揭示了薄膜流动演化时拓扑结构的变化( 如时空周期、准周期和混 沌1 。 如果将长波近似方程推广到中等雷诺数的情况，k 1 i a k h a n d l e r l 3 0 目出由此得到的最大 增长率比l i u 和g o l l u b f l 5 1 实验( r e = 2 9 ，w e = 3 5 ，卢= 4 6 。) 测出的最大增长率大4 5 倍。为 此。s h l c a d o v f 3 1 1 等人最先提出了适用于中等雷诺数的积分边界层方法。后来，许多的学者 3 2 3 9 1 利用这一思想推导了各种不同的积分边界层方程，并通过它来研究二维薄膜流动中的非线性 现象。c h a n g 、d e m e k h i n 和k 山i d i n 【3 6 1 通过积分边界层方程研究了孤立波的相互作用，计算得 到的自由面剖面以及孤立波的合并( c o “e s c e n c e ) 与实验观察到的结果【1 3 ，1 5 】非常相似。传统的积 分边界层方法是简单假定流向速度是自相似的抛物化速度场，y u 等人 3 s l 提出了一种更加般的 速度型来推导积分边界层方程：而l e e 和m e i f 3 9 】则通过保留更多控制方程和边界条件中的高阶项 来构造积分边界层方程，他们对得到的方程进行非线性研究，发现了各种非线性分岔现象，例 如极限环、异宿轨迹( h e t e r o c l i n i co r b i t s ) 、混沌吸引子( c h a o t i ca t t r a c t o r s ) 和同宿轨迹( h o m o c l i n i c o r b i t s ) 。 b e i m e y 4 氏波近似方程和s l 此d o v 积分边界层方程虽然成功地解释了薄膜演化过程中的许 3 第一章绪论 ! ! = 2 = ! = = ! = = ! ! ! = = = = = = = = ! = ! = = = = ! ! = ! ；! = = = = = = = 毒；= ：= ：= = 多非线性现象，t 旦k l i a k h a n d l e r 3 0 在将它们的色散关系与全尺度的数值色散关系进行比较 时，发现它们在长波以外的波数区域内与真实的色散关系有很大的不同。进一步地，j o o d a v i s 2 8 $ 口l i n 2 5 】对长波方程进行了绝对对漉不稳定性分析，参数在很大的范围内是对漉不稳 定的，但是他们又发现在某些参数区间流动是绝对不稳定的。同样，对积分边界层方程进行绝对 对流不稳定性分析时，也总是存在某些参数范围流动是绝对不稳定的，这些理论结果与实验观 察到的薄膜流动是对流不稳定的现象不相符合。可见，b e n n e y i 毛波近似方程 t l s h k a l o v 积分边界 层方程只是在特定的参数区域是有效准确的。为此，b r e v d o 4 0 等人从原始的n a v i e r s t o c k s 方程 出发，进行了全尺度的绝对对流不稳定性分析，得出在整个参数空间内流动是对流不稳定的。 对于沿均匀加热平板下落的薄膜流动，l i n 4 1 矛l ： s r e e n i v a s a n 4 2 较翠地对其进行了线性稳定 性分析。他们发现均匀加热下落薄膜的稳定性不仅存在表面波不稳定，还存在由m a r a n g o n i 效应 引起的热毛细不稳定。后来，k e l l y 等人 4 3 ，4 4 又考察了均匀加热下落薄膜在小倾角下的稳定性 特性，g o u