（计算机科学与技术专业论文）切换控制的能量函数方法.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学 位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 作者签名：丛塑亟日期：丝翌年卫月日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位 论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段 保存学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学 位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 名：趔聊签名啦期：等咄_ l 日 摘要 切换控制系统是最为典型的类混杂系统，这类系统在工程实践中具有非常 重要的现实意义，越来越受到人们的关注。切换的思想可简单概括为：对于一个 含有多个子系统的系统，通过子系统间的相互切换获取所需的动态性能，其中最 重要的性能便是稳定性。本文的目的在于探索能量函数指导下的稳定切换律设计。 所做主要工作为： 揭示传统公共l y a p u n o v i 蚕! 数方法和多l y a p u n o v 函数方法的实质，并对它们进 行比较，以此作为后续研究的理论基础。 运用能量函数定义的负定空间概念，提出了子系统负定空间互补情况下的 “非此即彼 切换策略，该方法可以方便地处理含有不稳定子系统的情形。当这 种思想运用于稳定子系统时，可以用更简单的方式设计切换律，因为只需确定其 中一个子系统的负定空间。 通过在不同切换时段构造不同的能量函数，给出了稳定子系统间的简单等时 切换策略；在d w e l lt i m e 方法的基础上，考察具有不稳定非线性子系统的情形， 给出切换律设计。 从能量函数的角度重新审视文献中较棘手的镇定设计问题，包括一个静态输 出反馈问题及一个非完整系统的镇定问题，并给出相关设计。 关键词：切换控制，l y a p u n o v ，能量函数，稳定性，镇定 a b s t r a c t s w i t c h e dc o n t r o ls y s t e mi st h em o s tt y p i c a lc l a s so fh y b r i ds y s t e m s ，i ti sv e r y i m p o r t a n ti ne n g i n e e r i n gp r a c t i c e ，a n dh a sb e e np a i dm o r ea n dm o r e a t t e n t i o n t h e i d e ao fs w i t c h i n gc a nb es i m p l ys t a t e da sf o l l o w s ：f o ras y s t e mc o n t a i n i n gm u l t i p l e s u b s y s t e m s ，t h ed e s i r e dd y n a m i cp e r f o r m a n c ec a nb eo b t a i n e dt h r o u g ht h es w i t c h e s a m o n gt h es u b s y s t e m s a m o n gt h ep e r f o r m a n c e st h es t a b i l i t ym i g h t b em o s tc r u c i a l t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st op r e s e n ts w i t c h i n gl a w su n d e rt h eg u i d a n c eo fe n e r g y f u n c t i o n sa n dt h em a i nw o r ki sa sf o l l o w s ： r e v e a lt h ee s s e n t i a l so ft h et r a d i t i o n a lp u b l i cl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o da n d m u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，a n dc o m p a r et h e m ，w h i c hw i l lb et a k e na st h e t h e o r e t i c a lb a s ef o rt h ef o l l o w i n gd e v e l o p m e n to ft h i st h e s i s b yu s i n gt h ee n e r g y - f u n c t i o n - b a s e dc o n c e p t ：n e g a t i v ed e f i n i t es p a c e ，a l l ”e i t h e r o no ro f t s w i t c h i n gs t r a t e g yi sp u tf o r w a r dw h e nt h en e g a t i v ed e f i n i t es p a c e so f s u b s y s t e m sa r em u t u a l l yc o m p l e m e n t a r y t h i sa p p r o a c hc a nb e u s e dt oc o n v e n i e n t l y d e a lw i t ht h ec i r c u m s t a n c et h a to n eo fs u b s y s t e m si su n s t a b l e b e s i d e s ，w h e nt h ei d e a i sa p p l i e dt os t a b l es u b s y s t e m s ，s w i t c h i n gl a w sc a nb es e ti nas i m p l ew a ys i n c eo n e o n l yn e e d st od e t e r m i n et h en e g a t i v e d e f i n i t es p a c eo fo n es u b s y s t e m t h r o u g hd e f i n i n gd i f f e r e n te n e r g yf u n c t i o n so n d i f f e r e n ts w i t c h i n gt i m ei n t e r v a l s ， a ni s o c h r o n i cs w i t c h i n ga p p r o a c ha m o n gs t a b l es u b s y s t e m si sp r o p o s e d ；b a s e do nt h c d w e l l t i m em e t h o d t h ec a s ei nw h i c hu n s t a b l en o n l i n e a rs u b s y s t e m sa r ei n c l u d e di s c o n s i d e r e da n dr e l a t e ds w i t c h i n gl a w sa r es u g g e s t e d f r o mt h ep e r s p e c t i v eo fe n e r g yf u n c t i o n ，t w ot i c k l i s hp r o b l e m s ，t h es t a t i co u t p u t f e e d b a c ko fal i n e a rs y s t e ma n dt h es t a b i l i z a t i o no fan o n - h o l o n o m i cs y s t e m ，a r e r e e x a m i n e da n dp r e s e n t e dw i t hr e l e v a n ts w i t c h i n gd e s i g n s k e yw o r d s ：s w i t c h i n gc o n t r o l ，l y a p u n o v ( e n e r g y ) f u n c t i o n ，s t a b i l i t y , s t a b i l i z a t i o n i i 目录 摘要i a b s t r a c t 一i i 第一章绪论1 1 1 切换系统的研究背景和例子1 1 1 1 切换系统的研究背景1 1 1 2 切换系统的例子2 1 2 切换系统的定义、特点和分类3 1 2 1 切换系统的定义及特点3 1 2 2 切换系统的分类4 1 3 切换系统的研究内容和现状5 1 3 1 切换系统的稳定性研究5 1 3 2 切换系统的优化设计6 1 4 本文的主要工作7 第二章切换系统的l y a p u n o v 稳定判据8 2 1l y a p u n o v 稳定性基本概念8 2 2 公共l y a p u n o v 函数与切换系统的稳定性1 l 2 3 多l y a p u n o v 函数与切换系统的稳定性1 2 2 4 本章小结1 4 第三章负定空间概念下的能量函数方法1 5 3 1 能量函数方法15 3 1 1 一般能量函数方法1 5 3 1 2 广义能量函数方法1 8 3 2 负定空间互补情况下的切换策略2 0 3 3 稳定子系统之间的切换策略一2 6 3 4 本章小结3 0 第四章基于能量衰减的等时切换方法31 4 1 凸组合判别法3 l 4 2 特殊能量函数及对应的等时切换3 5 4 3d w e l lt i m e 方法3 7 4 4 能量函数方法在非线性系统中的应用3 9 1 i i 4 5 本章小结4 1 第五章复杂系统切换控制方法的初步探讨4 2 5 1 一个线性系统的静态输出反馈镇定4 2 5 2 一个非完整系统的切换镇定4 4 5 3 本章小结4 8 第六章总结与展望4 9 6 1 本文的总结4 9 6 2 今后工作的展望5 0 参考文献5 1 致谢5 6 攻读硕士学位期间的研究成果5 7 i v 第一章绪论 1 1 切换系统的研究背景和例子 1 1 1 切换系统的研究背景 切换系统是一类特殊而典型的混杂系统，对于这类系统的研究主要是随着混 杂系统的研究而逐步展开的。混杂系统( h y b r i ds y s t e m s ) 源于计算机科学与控制理 论的交叉，它是由离散事件动态系统与连续时间( 或离散时间) 动态系统相互混 和、相互作用而形成的统一动态系统。h y b r i ds y s t e m s 是h y b r i dd y n a m i c a ls y s t e m s 的简称，在中文文献中，所提到的混杂系统、混杂动态系统、混合系统和混合动 态系统，表示的都是同一概念。 1 9 8 6 年，由美国国家基金会和i e e e 控制协会召集美国控制界知名学者，在 美国加州s a n t ac l a r a 大学举行了一次关于控制科学今后如何发展的专题研讨会， 第一次提出了混杂系统的概念【i 】，引起了世界上控制领域、计算机领域和应用数 学领域学者的浓厚兴趣。 混杂系统是同时包含着连续变量和离散变量的复杂系统，能够较为科学合理 地描述众多的实际问题，受到人们的普遍重视，近年来大量的研究人员从系统科 学、计算机和工程控制技术等不同角度对混杂系统的建模、分析与应用等问题进 行了研究，并建立了一套理论体系【2 训，控制界的国际著名杂志：i e e e 、a u t o m a t i c a 等都在近年来先后出版了混杂系统的专刊，一些国际会议也纷纷开设混杂系统专 题，不断有新的结果出现。 1 9 9 8 年，a n t s a k l i s 和n e r o d e 在混杂动态系统专刊中给出了混杂动态系统的三 种类型5 1 ，其中之一就是切换系统。切换系统由若干个子系统和一个切换控制律 构成，通过在各个子系统之间进行切换来实现预定的性能指标。切换可以由时间 或事件触发。因为这种切换的引入，整个系统常常表现出相当复杂的动态行为。 虽然每个子系统可能都非常简单，但是通过切换规则组成的整个系统与一般的系 统相比可能会具有十分复杂的动态特性。 切换控制的思想很早就在一些控制理论及工程实践中得到应用。削t h b a n g b a n g 控制、滑模变结构控制等方法均涉及控制器切换。但此时的“切换 只是 作为一种控制手段，目的是取得更好的控制效果，尚未专门提出切换系统的概念 并对其进行系统地研究。随着科学研究的不断深入，特别是由于以下几方面的原 因，促使人们对切换系统的研究产生了浓厚兴趣： ( 1 ) 描述复杂被控对象的需要。很多系统的工作过程中常常会表现出以“突变 为主要特征的非线性特性，如控制系统出现的结构故障或参数突变、电力系统中 发电机组或大型设备进出电网等等。此类系统均可建模为切换系统。 ( 2 ) 获得良好的动态性能。随着现代控制系统的复杂度以及不确定程度的增 加，单一控制器往往很难满足性能需求，而切换控制往往可以收到满意的控制效 果。在化工过程【6 1 、汽车引擎控制【7 1 、计算机磁盘驱动控制【8 】、机器人控制【9 】、制 造过程【1 0 , 1 1 】、交通控制【1 2 】、网络拥塞控制【1 3 1 等领域，切换控制技术都得到了广 泛应用，并被应用于研究网络控制系统【1 4 , 1 5 】、分布参数系统【1 6 】等。 ( 3 ) 提高系统的可靠性。实际系统运行过程中不可避免地会出现部件故障， 可以采取多控制器待机控制的方法加以解决，一旦系统出现故障，则切换到对应 的控制器以保证系统稳定。 ( 4 ) 复杂大系统的分布式控制。很多复杂大系统往往依据结构或功能的不同 划分为若干子模块或子系统，可以对子模块或子系统采用分布式控制策略，而在 上层采用监督切换控制。 在上述背景下，国内外学者对切换系统的复杂动态行为以及切换带来的种种 问题( 如稳定性、可控性等) ，展开了比较系统的分析和研究。经过十余年的不断 努力，切换系统理论已逐渐成为一个独立的控制理论分支。随着系统结构和功能 的日益复杂化，切换系统理论必将引起更多学者的关注和重视，成为一种重要的 系统分析手段。 1 1 2 切换系统的例子【1 7 1 例1 制冷空调温度控制 假定房间的温度在空调长时间未开启时稳定在3 8 摄氏度，而在空调长时间连 续运行时稳定在1 5 摄氏度，通过空调温度控制器开关来调节房间的温度，使其保 持在2 5 摄氏度左右。其中，房间温度是连续变化的，为连续变量；而温控器控制 空调的开启与关闭是离散事件，g e o f f , o n ) ，为离散变量。空调温控器的控制 方式：当房间温度高于2 7 摄氏度时，启动空调进行制冷；而当房间温度低于2 3 摄氏度时，关闭空调。系统的温度调节自动机模型和房间温度变化曲线分别如图 1 1 ( a ) 和图1 1 ( b ) 所示。 石2 7 工s2 3 ( a ) ( b ) 图1 1 空调温度调节自动机模型和温度变化曲线 2 例2 汽车驾驶自动换挡控制 汽车的有级变速系统，一般分为4 个档位，每档位分别对应不同的速度范 围。而汽车前进时的行驶速度不仅与档位有关，而且还与发动机的油门开度以及 汽车制动等因素有关。为了使发动机能够始终处于较高的工作效率区，通常在不 同的速度阶段，要进行换档，汽车的不同档位与速度y 的关系示意图如图1 2 所示， 其r i ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 表示汽车处于不同档位时随速度变化的发动机效率。汽车档位切 换关系如图1 3 所示，其中g 表示档位，s 表示油门开度，1 ，表示汽车当前速度， ( f ， l ，2 ，3 ，4 ) 是档位从f 切换到时的汽车速度阂值。在本例中，汽车的速度、 加速度、油门开度以及刹车制动力等均为连续变量，而汽车档位g l ，2 ，3 ，4 为 离散变量。 图1 2 汽车的不同档位与速度关系示意图 v v 2 l1 ， 0 ，使得由满足不等式 i ix o x el i 0 ，对应地存在实数丁( ，反t o ) 0 ，使得由满足不等式( 2 - 5 ) 的任 一初态出发的受扰运动都同时满足不等式 i i ( f ；确，t o ) 一l i ，v t t o + 丁( ，万，t o ) ( 2 7 ) 随着专0 ，有r 寸o 。，因此当原点平衡状态砟为渐近稳定时，必成立 l i m 西( t ；x o ，0 ) = o , v x 0 s ( 艿) ( 2 8 ) 进一步，如果在上述定义中，实数万和r 的大小都不依赖于初始时刻t o 。那么 称平衡状态艺是一致渐近稳定的。对于时变系统，一致渐近稳定比渐近稳定更 有意义。 从工程观点而言，渐近稳定比稳定更为重要。实际上，渐近稳定即为工程 意义下的稳定，而l y a p u n o v 意义下的稳定则是工程意义下的临界不稳定。此外， 为了确定地判断系统的稳定性，确定系统为渐近稳定时的最大区域s ( 万) 无疑是 必要的，通常称这个区域为平衡状态髟的吸引区。 ( 四) 全局渐近稳定 9 如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态而的受扰运动( f ；，t o ) 都 是有界的，且下式成立 脚矽( f ；，t o ) = 0 ( 2 - 9 ) 则称系统( 2 1 ) 的原点平衡状态x e = 0 是全局渐近稳定的。显然，系统为全局渐 近稳定的必要前提是除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平衡状态。对于线 性系统，由于其满足迭加原理，所以当它为渐近稳定时，就一定是全局渐近稳 定的。在工程问题中，通常总是希望具有全局渐近稳定的特性。 ( 五) 指数稳定 考虑系统( 2 1 ) ，如果存在实数口 0 ，允 0 ，使得对于任意的t t o ，都有 愀f ，x o ) l l - 0 ，使得函数矿( 曲= x r p x 是真 l y a p u n o v i 函数且有 矿( 加掣小悱。叫妒o ( 2 - 1 1 ) 成立，其中占 0 。则该系统是二次稳定的。二次稳定的系统必定指数稳定。 注：下面是关于l y a p u n o v i 函数的一些定义，在定义中假定只有原点是系统的 平衡点。 y ( x ) 是准l y a p u n o v 函数( c a n d i d a t el y a p u n o vf u n c t i o n ) 5 0 1 ，当v ( x ) 是i e 定的也即 y c x ，= 三三：二三三 成立，以及型o t 在时间域内处处存在，x 彤，矿( x ) 矿，f r 。 矿( z ) 是l y a p u l l o v 函数【5 l 】，当矿( x ) 是准l y 印u n o v 函数且对于x r “，有 ? q x ) = 百o r ( x ) _ 掣 t 石d x 。 成立。 矿( x ) 是真l y a p u n o v i 噩i 数( s t r i c tl y a p u n o vf u n c t i o n ) ，当v ( x ) 是1 y a p u n o v 函数且塑掣 o ，对任意两切换时刻 岛，t j ，i 0 ，v z 0 且x r ”； ( 2 )矿( 力 0 ，但矿( 功 0 不一定成 立。只要同一个子系统被激活时，其能量函数形( 石) 的终点值小于上一次被激活 时( x ) 的终点值。这样，整个系统的能量将呈现出下降的趋势，从而切换系统 渐近稳定。图2 2 ( a ) 是多l y a p u n o v 函数原理图，图2 2 ( b ) 是公共l y a p u n o v 函数原理 图。不难看出，多l y a p u n o v 函数是公共l y a p u n o v 函数的推广。 f 。f lt 2t 3 t 4 t 5 t 6 t 图2 2 ( a ) 多l y a p u n o v 函数原理图 f of 1f 2t 3 t 4 t 5 t 6t 图2 2 ( b ) 公共l y a p u n o v 函数原理图 2 4 本章小结 稳定性是系统分析与系统设计的前提条件，也是实际系统正常工作的基本保 障。本章回顾 f l y a p u n o v 稳定性的一些基本概念和稳定原理，简单介绍了公共 l y a p u n o v i 丞l 数方法和多l y a p u n o v 函数方法在切换系统稳定性方面的相关判据，最 后从能量的层面对两种方法进行了分析对比。 从理论上讲，基于l y a p u n o v 函数的方法可以用来检测某个已有的切换序列 是否稳定，但这些方法只是充分性的结论。同时，从判别是否存在l y a p u n o v 函 数这一角度来看，l y a p u n o v 函数方法的实践可应用性是很差的。对于某个具体 的切换系统而言，如果能有比较简单的方法来定性地衡量该系统对切换序列的 要求，或者大致地给出一些指导性结论，自然会使稳定性判别工作的困难有所 减小。本文后续章节的目的就在于此。 1 4 第三章负定空间概念下的能量函数方法 文献【5 6 】在公共l y a p u n o v i 垂i 数方法的基础上，引入了能量函数、广义能量函 数等概念，提出了一种基于切换系统负定空间的能量函数方法。其实质是假定存 在一个公共l y a p u n o v 函数，然后分别求取每一个子系统的负定空间，一旦验证所 有子系统负定空间的并集覆盖整个状态空间，则所假定的函数为真正的公共 l y a p u n o v i g l 数。 但是，该方法要进行复杂的分区步骤，即细致地计算每个子系统的负定空间。 一般来说，过分细致地计算负定空间，不仅计算过程本身是冗繁的工作，也为系 统实际切换时带来一定的麻烦。本章在文献 5 6 】的基础上，提出基于能最函数层 面上确定系统负定空间的方法，避免了负定空间复杂的分区步骤。同时，还针对 子系统负定空间存在互补关系的情形，给出一种简单易实现的稳定切换律设计方 法。大致地说，考察的两个子系统具有如下特点：一个子系统的负定空间的补集 包含在另一个子系统的负定空间中。此种情况下，可以进行简单的“非此即彼” 的切换。 对于两个不稳定的系统，切换后能使它们稳定地运行，这一般是很难且很有 意义的工作。另外，本章用能量函数来监督切换过程，而不是通过细致的分区来 进行切换，这在一定程度上简化了切换逻辑的设计。 受负定空间概念的启发，本章讨论两个子系统都稳定的情形，主要考虑两种 类型的切换：其一，将确定负定空间的工作简化为只需关注一个予系统的负定空 间；其二，按照能量值最小的原则来设计切换律。 3 1 能量函数方法 3 1 1 一般能量函数方法 定义3 1 ( 线性系统的能量变化矩阵) 考虑时变线性系统 j = a ( t ) x( 3 一1 ) 它的能量变化矩阵定义为 e a ( f ) = 么( f ) + a h ( f ) 其中4 ( f ) c “”，a h 是彳的共轭转置矩阵，x c 是系统状态向量。 如果令 厂【x ( r ) 】- 一( f ) x ( f ) 为系统( 3 1 ) 的准l y a p u n o v i g t 数，则有 蔷厂) 】= x r l ( f ) 么( f ) 十a h ( f ) x ( f ) - - _ x h ( ) e ( f ) x ( f ) 成立，如果毋( f ) o ( t ( f ) 负定) ，则川x ( f ) 】是系统( 3 - 1 ) 的l y a p l l l l o v 函数，该系 统渐近稳定。反之，如e ( f ) 0 ( e ( f ) 半正定) ，根据l y 印u n o v 定理，该系统不 是渐近稳定的。 因为【z ( f ) 】= x t t ( f ) 石( f ) 表征系统的能量，所以幺( f ) 的物理含义应该是用来表 征线性系统的能量随时间的变化趋势。当e ( f ) ( ) 0 表示矩阵a 正定( 半正定) ，反之表示负定( 半负定) 。 定义3 2 ( 矩阵的负定空间) 对于矩阵彳c 舢，称空间圬cc ”为矩阵彳的 负定空间，当且仅当下列条件全满足： ( 1 ) x = 0 巧； ( 2 ) 对于巧空间中的任意非零元素x ，必有一邑( f 虹 o 成立； ( 3 ) 如果有x 盛呀，则必有，色( f h 0 。 定义3 4 ( 矩阵的非负定空间) 对于矩阵a c 脚，称空间吩occ “为矩阵彳 的非负定空间，当且仅当下列条件全满足： 0 ) x = 0 圬o ； ( 2 ) 对于呼。空间中的任意非零元素x ，必有一只( f h o 成立； ( 3 ) 如果有x 诺呀o ，则必有e ( f h 0 。 定义3 5 线性系统( 3 1 ) 的负定空间定义为矩阵彳( f ) 的，) ； 线性系统( 3 1 ) d j l e 定空间定义为矩阵爿( f ) 的 线性系统3 1 ) 的非负定空间定义为矩阵彳( f ) 的喘) 。 线性系统的轨迹在其负定空间中是收敛的，而在其负定空间之外不收敛。如 果线性系统的负定空间是整个系统空间，则系统必然是二次稳定的。反之，如线 性系统的负定空间只是坐标原点，则系统不是渐近稳定的。 1 6 定义3 6 线性切换系统( 4 ( f ) ，4 ( f ) ) 的负定空间定义为 峰：= u 一 i = 1 2 线性切换系统( 4 ( f ) ，4 ( f ) ) 的正定空间定义为 噬：= u 。 = 1 2 线性切换系统( 4 ( f ) ，4 ( f ) ) 的非负定空间定义为 噶= u 噶， 一 i = i 2 上面定义线性切换系统( 4 ( f ) ，4 ( f ) ) 的各个空间的目的是用来判别系统的稳 定与宙，在后文中将会用剑。 引理3 1 5 q 考虑线性切换系统( 4 ( f ) ，4 ( f ) ) ，如果该系统的所有子系统的能 量变化矩阵负定，则该系统对于任意切换序列都是二次稳定的。 证明：系统( 4 ( f ) ，4 ( f ) ) 的所有子系统的能量变化矩阵都负定，即有e f ( f ) o 1熙“x ( f ) 】专悃 成立。系统轨迹随着时间发散，该系统对于任何切换序列都不稳定。 1 7 引理3 3 哪! 考虑线性切换系统( 4 ( f ) ，4 ( f ) ) ，如果该系统的负定空间廷2 是整 个系统空间，则至少可以找到个切换序列使得系统在该切换序列下二次稳定。 证明：对于任意子系统f ，存在一个区域蹲c r 2 使得对于任意的非零向量 工( f ) 蹲，都有一( f ) 毛，( f ) x ( f ) o 成立。因为所有子系统的负定空间的并集是整 个系统空间，则可以设计出以下切换信号： c r ( t + ) = c r ( t 一) i f x h ( 广) ( ，( 门x ( 广) 0 ，称 空间k ；棚c “为该系统在矩阵p ( f ) ( 作用) 下的负定空间，当且仅当下列条件全满 足时： ( 1 ) x = 0 k j 川； ( 2 ) 对于k ；空间中的任意非零元素x ，必有z h 巨蹦产 0 ，称 空间c ”为该系统在矩阵p ( f ) ( 作用) 下的正定空间，当且仅当下列条件全满 足时： o ) x = 0 v j , ) ； ( 2 ) 对于k ；川空间中的任意非零元素x ，必有z h 巨劓) x o 成立； ( 3 ) 如果有工萑z j , 棚，则必有x h 臣劓) 戈o 。 定义3 1 1 ( 非负定空间) 考虑线性系统( 3 1 ) 以及一个正定的对称矩阵p ( t ) 0 ， 称空间k 器，c ”为该系统在矩阵尸( f ) ( 作用) 下的非负定空间，当且仅当下列条件 全满足时： ( 1 ) x = 0 k 琵) ； ( 2 ) 对于k 器) 空间中的任意非零元素x ，必有巨蹦，工o 成立； 1 9 ( 3 ) 如果有x 圣k 芭) ，则必有一e t e , , o x i x ：l u x , = x z = o , x e r 2 q 2 = 工= 【j c l ，吃】ti x , i z ，因此当第一个子系统到达允许的边界后， 第二个子系统显然将获得相当多的运行时间。对于上面所举的两个子系统，它们 运行时的边界为彳= ，由于相互之间没有冗余时间，两个子系统之间可能会来 回反复切换，所以不利于系统能量衰减。 前面的几个例子，因为系数矩阵非常简单，很容易就确定出两个子系统的负 定空间。但有时候并非这样简单，而是需要通过一定的l y 印u 1 1 0 v 函数才可以确定 两个子系统负定空间的互补特性。 例3 3 考虑系统( 4 ) ：，两个子系统分别为 4 = 捌4 = 两个子系统都是不稳定的。4 和4 的能量变化矩阵分别为 蜀。= ；三乓：= 瞄三8 4 的负定空间不能直接算出，文献 5 6 】的处理方式是，首先设置变换 p = 一3 而 l 而 1 而 3 而 从向产生 驴心p = 瞄兰i 然后计算y t 易。y = 0 的解，随后通过反变换可以得到石t 日。x = 0 的解为 嘲，卧 _ 1 ，- l r 玎x , 1 。 同理求得工t 毋：x = o 的解为i j c l i = 3 i 恐i 。最后，得到每个子系统的负定空间分别为 q ：丁工= 【西，恐】t l 1 。n x , 2 x 2n 恐 一_ ) l 【u 西 o n x , 2 恐f 1 吻 一赡 u 五2 恐2 0 j j q 2 = 工= 【而，吃】t l l 而i 3 i 恐l u 而= 恐= o ) 这样的分区的确很明了，但实现起来显然有一定难度。比如，当想用仿真实 现这样的切换律，就不难想象其复杂性。而按照定理3 1 ，则可以避免复杂的分区 工作。下面通过一个例子来说明。 例3 4 考虑系统( 4 ) ：，两个子系统分别为 r - 23 铲l o 2 j 4 ：2 2 l o 两个子系统都是不稳定的。如果按照文献 5 6 的方法，一般很难细致地确定出两 个子系统的负定空间。但如果确定负定空间只停留在能量函数的层面，则可以简 单地确定切换律。 4 和4 的能量变化矩阵分别为 驴 捌 4 的负定空间可以用下式来刻画 r4 目：= l ， l j - 4 # + 6 x l x 2 + 4 0 4 的负定空间则由下式来刻画 4 彳- 6 x l x 2 - 1 6 x g o i l ：4 运行； 否则，运行4 。 当初始条件为( - 4 5 ，一1 8 ，一1 2 ) 时，仿真结果如图3 6 所示，系统在上述切换序列 下的状态轨迹是收敛的，系统渐近稳定。 图3 6 三维切换系统状态响应曲线 关于第二种切换方式：以最小能量函数值原则来确定切换控制律 下面仍然考察例3 5 的两个子系统 4 = ：三4 = ：三 子系统4 的稳定l y a p u n o v 函数为k ( x ) = ，取= x t 10 瑟：3 6 7 2 5 5 l 工，相应的耗 散不等式为 k ( x ) - - x 1 x ：= x 1 q x 2 9 子系统4 的稳定l y a p u n o v 函数为嘲= ，驴，l 三淼苫箸卜相 应的耗散不等式为 吃( 曲- x r q x 据此设置切规则： 当k ( 对 0 ，让4 运行； 否则，运行4 。 当初始条件为( 2 5 ，1 2 ) 时，仿真结果如图3 7 ( 1 ) 和( 2 ) 所示。仿真表明，以能量 函数最小作为稳定子系统之间切换的标准，不失为一种简单易行的方法。 魄 图3 7 ( 1 ) 切换系统状态响应曲线 i t 图3 7 ( 2 ) 切换系统状态轨迹 3 4 本章小结 本章受负定空间概念的启发，就如何设置