（电路与系统专业论文）自适应滤波算法及应用研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 自适应滤波算法的研究是当今自适应信号处理中最为活跃的研究课题之一。 寻求收敛速度快，计算复杂度低，数值稳定性好的自适应滤波算法是研究人员不 断努力追求的目标。本文主要对自适应算法进行了研究，其内容概括如下： 1 本文在论述自适应滤波基本原理的基础上，介绍了几种典型的自适应滤波 算法及其应用。并对这些自适应滤波算法的性能特点进行比较，给出了算法性能 的综合评价。 2 对l m s 算法，归一化l m s 算法，最小二乘自适应滤波算法进行了比较深 入的理论分析和研究，并进行了仿真。 3 并针对归一化l m s 算法中步长选取影响收敛速度与稳态误差的这一对矛 盾，提出了一种改进的归一化变步长l m s 算法。仿真试验证实了新算法性能的 提高。 4 介绍了几种自适应滤波算法的应用，自适应滤波器，自适应预测器，自适 应均衡器和自适应噪声消除。 关键词：自适应滤波自适应滤波算法l m s 算法归一化l m s 算法 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fa d a p t i v ef i l t e r i n ga l g o r i t h m si so n eo ft h em o s ta c t i v et a s k si nt h e f i e l do fm o d e m s i g n a lp r o c e s s i n g t h eg o a lt h a tr e s e a r c h e r sa l ep u r s u i n gi st of i n da n a d a p t i v ef l t e r i n ga l g o r i t h mt h a tc o n v e r g e s i sf a s ta n dh a sl o wa r i t h m e t i cc o m p l e x i t y t h i sp a p e ra i m sa tt h ea d a p t i v ef i l t e r i n ga l g o r i t h m sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s t h em a i n w o r k sc a nb es n m m a d z e da sf o u o w s ： 1 b a s e do nt h ea d a p t i v ef i l t e r i n gp r i n c i p l e ，s e v e r a lt y p i c a la d a p t i v ea l g o r i t h m s a sw e l la st h e i ra p p l i c a t i o n sa r ei n t r o d u c e di n t h i sp a p e r , a n dac o m p a r i s o ni sm a d e a m o n gt h e s ea l g o r i t h m s c h a r a c t e r s 2 t h ep a p e rd e e p l y a n a l y z e st h ep e r f o r m a n c eo ft h ec o n v e n t i o n a ll m s a l g o f i t h m , n l m sa l g n r i t h m , r l sa l g o r i t h m ，a n d t h e n c o m p u t e r s i m u l a t e st h e a l g o r i t h m s 3 a n dd u et ot h ef a c tt h a tt h ec o n v e r g e n ts p e e da n ds t e a d y s t a t ee r r o ra l e a f f e c t e db yt h ef i x e ds t e p s i z ei nc l a s s i c a ll m s a l g o r i t h m ，a ni m p r o v e da l g o r i t h mi s p r e s e n t e dw i t hn o r m a l i z e dv a r i a b l es t e p s i z e c o m p u t e rs i m u l a t i o nv e r i f i e st h eb e t t e r p e r f o r m a n c eo ft h eu e wa l g o r i t h m 4 t h i sp a p e ri n t r o d u c es e v e r a lt y p i c a l a d a p t i v ea l g o r i t h m sa sw e l l a st h e i r a p p l i c a t i o n s ，s u c ha sa d a p t i v ef i l t e r , a d a p t i v ep r e d i c t o r , a d a p t i v ee q u a l i z e ra n dn o i s e c a n c e l i e r k e yw o r d s ：a d a p t i v ef i l t e r i n g l m s a l g o r i t h m a d a p t i v ef i l t e r i n ga l g o r i t h m s n l m s a l g o r i t h m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 签名- 彝望 日期丝王：堡 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：聋肇导师签名：逊重 吼避丝 自适应滤波髯法及成用研究 第一章绪论 1 1 引言 自适应滤波是近3 0 年以来发展起来的一种最往滤波方法。它愚在维纳滤波， k a l m a n 滤波等线性滤波基础上发展起来的种最佳滤波方法。出予它具裔更强 的适应性和爨优的滤波性能。从而农工程实际中，尤其在信怠处理技术中得捌广 泛的应用。 自适应滤波的研究对象是具有不确定的系统或信息过稔。“不确定”是指所研 究豹处理蘩慰过程及其珏境瓣数学援型不是宠全确定我。其中包含些来知因数 和随机因数。 程舞一令实际熬僖惠过撵舔冥纛苓霜程发豹不麟定性，这些不确定性骞糖表 现在过程内部，有时表现在过程外部。从过程内部来讲，描述研究对象即信息动 态遗糕懿数学模整豹结棱鞍参数是我稻事先不螽遂戆。俸茺步 都嚣臻慰售塞过程 的影响，可以等效地用扰动来表示，这些扰幼通常怒不可测的，它们可能最确定 的，落可能爨随梳豹。l 逝矫一些溅羹噪音也楚戳不粥豹途径影响绩憨过程。这些 扰动和噪声的统计特性常常是未知的。面对这些客观存在的各种不确定性，如何 综合处理信恁过程，并使莱些指窥的性能指标这至最傀或近似最饶，这藏楚自 适应滤波所黉解决的问题。 l 。2 自适应滤波器的基本原理 掰谓豹囊适应滤波，就是利用翦时刻以获碍的滤波器参数的结果，自动豹 调节现时刻的滤波器参数，以适应倍号和噪声未知的或随时间变化的统计特性， 麸嚣实现最圣l 己滤波。爨逶应滤波器实质上就怒一种辘调节其是身传输特性以达到 最优的维纳滤波器。自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算鬣小， 特翱透矮子实辩整璎。 由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们怒随时间变化的，仅仅用f i r 秘i i r 嚣秘矮有霾定滤波系数懿滤液嚣无法实现最铙滤渡。在这耪揍况下，必须 设计自适应滤波器，以跟踪信号和噪声的变化。 黧獯垄鎏鎏墨垫鳇爨厦堡塞 童适应滤波器的特性变化怒由自适应算法通过调整滤波器系数来实现的。一 觳瓣善，鸯适疲滤波器盘两部分组成，一爱滤波器结秘，二是调整滤波器系数懿 自适应算法。自邋应滤波器的结构采用f i r 或i i r 结构均可，由于i i r 滤波器存 在稳定性问题，因此一般采用f i r 滤波器作为自适应滤波器的结构。焖1 1 示出 了蠡适应滤波器憨一般结 每。 】| ( 圈1 a 爨逶痤滤滚瓢遴鹜 圈中，x ( n ) 为输入信号，“r i ) 为输出信母，d ( n ) 为参考信号或期黧信号，e ( n ) 则魁d ( n ) 和y ( n ) 的误差信号。自适虚滤波器的滤波器系数受误差信号e ( n ) 控制， 摄撵e 静蓬窝爨逶瘟算法自溺调整。 自适应滤波器可以分为线性自适应滤波器和非线性融适应滤波器。非线性自 适成滤波器包括v o l t e r r a 滤波器和基于神经网络的自适应滤波器。非线性自适应 滤波器其有更强麴绩号楚理戆宠。毽是，交予线蛙自透森滤波器熬诗葵较复杂， 实际用得最多的仍然是线性自适应滤波器。 l 。3 爨适应滤波理论与算法 理论上讲，自适应滤波问题没有唯一的解。为了得到自适应滤波器及其应用 系绞，可以采焉务耱不嗣豹递攘算法，这些巍适应算法郝矮有各自的特点，适用 于不嗣场合。下蕊分剐进行讨论。 l 。3 1 基子维纳滤波理论的方法i 1 i w i e n e r 滤波器( w i e n e r f i l t e r ) 是一种早期所提出的滤波器，其中的输入u ( 0 ) ， 2 自适应滤渡算法及应用研究 u o ) ，u ( 2 ) 分别表示时间上的输入序列，而滤波器本身的特性则由脉冲响应， m ，峙来表示，在某个时间点n ，线性滤波器产生一个输出信号y ( n ) ，此输出 信号是为了用来估测某一个我们想要估测的信号d ( n ) ，因此所要估计的信号和滤 波器输出信号之差便称为估测误差e ( n ) 。换句话说 e ( 1 1 ) = d ( n ) y ( n ) 而滤波器输出信号“n ) ，我们将其定义为滤波器脉冲响应及输入序列的线性 卷积( 1 i n e a r c o n v o l u t i o ns u m ) ： y ( n ) = 罗以u ( n 一七) ，n = 0 ，1 2 儡 其中为共轭复数符号。我们假设滤波器输出y ( n ) 和d ( n ) 为联合广义静止随 机程序( j o i n t l y w i d e - s e n s es t a t i o n a r ys t o c h a s t i cp r o c e s s e s ) ，并假设两者均值皆都为 零。因此，我们可以估测误差e ( n ) 变为一个随机变数的取样值。 在线性滤波理论中，维纳滤波器所要解决的最小均方误差准则下的线性滤波 问题。这种滤波方法是在已知信号与噪声的相关函数或功率谱的情况下，通过求 解维纳一霍夫( w i e n e r - - h o p f ) 方程，对平稳随机信号进行最优预测和滤波的。 利用抽头延迟线做成的横向滤波结构的自适应滤波器，通常称为自适应横向滤波 器，或自适应f i r 滤波器，其抽头加权系数集正好等于它的冲激响应，在输入平 稳随机信号时，所期望的响应信号与横向滤波器输出信号之间的差值的均方值是 滤波参数或权矢量的二次方函数，因此，自适应滤波器的均方误差与权矢量的关 系是一个凹型的超抛物体的曲面，它具有唯一的极小下点。可以用梯度方法沿着 该曲线面调节权矢量的各元素。得到这个均方误差的最小点，对应于此最小点的 权矢量称为最佳维纳解。 为了得到自适应横向滤波器权矢量的递推关系，我们先使用最优化理论中的 最陡下降法来修该正则方程，即由最佳维纳解定义的矩阵方程，应用均方误差的 梯度矢量等于零，就可以得到最佳权矢量，用来表示，即 w o = r - i p ( 1 3 1 ) 其中，r 为横向滤波器抽头输入信号的相关矩阵，p 为抽头输入信号与所期 望响应的互相关矢量。满足式( 1 3 1 ) 的称为最佳权矢量或最佳维纳权矢量。其次， 利用这些相关的瞬时值推导出梯度矢量的估计值，由此可得到最常用的一种算 法，即所谓的最小均方( l e a s tm e a ns q u a r e ) 算法，简称l m s 算法。这种算法 简单，且能达到满意的性能。它的主要缺点是收敛速度慢和对输入信号的相关矩 3 秘遗应滤渡算法殷舷用研究 阵特征值扩展度( 却特征值最大值与特征值蠼小值之t t ) 的变化较灵敏。 缆菲平稳豹猿况下，撵述谈差往麓豹麓撵物髂趋蠢褥缱着露溺连续缝交纯， 要求l m s 算法能连续地跟踪误差性能的多维抛物体曲面的底部，只肖当输入数 据变化比l m s 算法的学习速率较缓慢时，才能自适应跟踪，这就限制了l m s 雾法既应矮。 1 3 2 基于卡尔曼滤波理论的方法 为了使自适威滤波器能工作在平稳的或日# 平稳的环域下，可以借助于卡尔曼 滤波器来推导自邋应滤波算法。 专零曼滤滚麓线挂无臻最小方差递接滤波，它豹绩计经能是聂拢鹣，嚣递接 计弊形式又能适殿实时处理的滞要。对于一个线性动态系统的卡尔爨滤波问题， 可以用状态方程姆测量方程来描述，前者以状态矢量来刻划系统的动态，后者表 述系统孛戆测量误差。援据绩诗理论，可知簸小误差嫡镳计准裂与最小方差毽诗 准刚等价，而卡尔爱滤波是线憔无偏最小方麓估计，故膏不同的方法攘演卡尔曼 的递推公式。但豳于所学知识肖限，在这里不进行深入的研究于讨论。仅作为一 个知识点。在戴考感理论豹宠餐性两进行麓肇豹介绍。 辩于平稳情况，可使用霸定状态模穗，它的权矢量躐状态矢量等于一常数。 对于q e 平稳情况，可使用噪声化状态模型，能的权矢量溅状态矢量围绕着某均值 作隧机游程变化。据此，可利照卡尔曼滤波豹递摧求解法导出自适应滤波器更新 衩矢鲞的不同递推舞法。这整髯法院起l m s 算法有投祆的收敛速率：阕时，在 收敛过程具有好的坚韧性，因熊收敛速率对特征值扩展殿不灵敏。但怒，这些算 法的燕要限制是其暑十算复杂度，因要求懈卡尔曼滤波闽题的矩阵公式，计算量大。 1 3 3 基于最小二桊准则的方法 懿嚣骞维继滤波篓与专容爨滤波器颞导爨戆叁逶应滤波萋法黪理谂楚基予 统计概念的。而最小二乘估计算法是以最小误差平方和为优化目标，这墨误差就 是自适应滤波器的期望响应d ( n ) 与真实滤波输出y ( n ) 之激，故这类自适应滤波性 能绫绽豹灌翔是 4 掰避应滤渡算法鬣应用研究 m 趣薹和如) ) 2 = m 细荟g 嵇) 一y 律) ) 2 ( 1 3 2 ) 根据这类自邋应滤波器的实现结构，可以得到以下三种不同的最小= 乘自适 应滤波算法： ( 1 蠡适应递羟簸枣二黍算法 这种自适应滤波算法是指横向滤波器结构的递归最小二祭算法( 简称r l s 算法) ， 它的推导是依赖于线性代数中矩阵的反演引理，与卡尔娆滤波算法有密切的关 系。为了减少r l s 冀法熬诗葵攫，理已嚣掇毽获速p j s 舞法寒抉逮攘囱滤波器 ( f t f ) 算法等。 ( 2 ) 囱适应最小二乘格型算法 ( 驽q r 分簿最套舞法 1 3 4 基于神经网络理论的方法 入工箨经霹终是一舞模接生甥享孛羟攘蘩信号筵理戆力瓣诗算绣橡。葱维蠢记 忆愚人脑非常重鼹的功能，对脑的记忆机理，思维的知觉信息处理过程等基础理 论的开拓性研究怒发展神经网络理论并推动相关的认知科学发展的关键问题。神 经瓣络是由大羹憝襻经露褶互联接恧戒豹耀终系统，实获上宅是一个麓覆雾线毪 的动力学网络系统，这个系统舆有很强的自适应、自学习、自组织能力，以及巨 量的并行性、容错性和坚韧性，因而，它可以做许多传统的信号和信息处理技术 顼不糍敛兹事。 1 4 m a t语宫介绍 m a t l a b 燕一种面向科举与工程计算的商级语言，该语言最初怒程1 9 8 0 年 由美国的c l e v em o l e r 博士提出，其主要目的是解决矩阵运算和作图用高级语言 ( f o r t r a n , c 镰) 实现比较繁琐的闯题，毅范又称作“矩蓐实验室”( m at r i x i a b o r a t o r y ) 在m a t i _ a b 没蠢闯世以蘸，对于简单的照簿运算良及僚豳都要编 出复杂的程序来宓现，大大限制了计算机在工程计算方酾的应用。而m a t l a b 的嫩现彻底解决了这种尴尬的鼹蠢，该语富熊成了计算，埘视翻二以及数学表达式 箱钕的编程环境，犬大方便了掰户鲍使用，井广泛应弱于计算，算法磷究，模羧 仿真，数据分析和料学工程作糊等。目前在阑外的高等院校里，m a 州a b 以成 5 白适戍滤波算法及臆用研究 为大学生，研究生甚至博j 缴必须掌握的技能，在设计单位和工业部门，m a t l a b 己成为研究和解决各种问遂的一种标准软件。 m a t l a b 系统主要包括以下五个部分： ( 1 ) m a t i a b 语亩m a t i a b 语爵是一种包括控制流语句，函数，数据结构， 输如、输入_ 襁砸向对象编 壁特性的赢级语言，它以簸阵作为基本的数据单元，既 可以快速宦q 建小程序完成简单运算，也可以为了复杂应用，编写完熬的大威用程 序。 ( 2 ) m a t l a b 工作环境m a t l a b 工作环境主要戗括一系列完成如管理工作空 超的变量，数据输撼、输入，m 文传( m a t l a b 豹应赐程痔) 豹黛残，递试， 解释的工具。 ( 3 ) 塑影匈糯图形钧旗是m a t l a b 戆图形处理系统，箕孛壤包摇二维，三维数 据的可视化图形表示，图像处理的旋观显示的高级命令，也包括定制图形驻示， 铹建痘震程垮完整瓣銎形霜产雾瑟( g u i ) 戆低缀鑫令。 ( 4 ) m a t l a b 数学函数库该库收集了巨量的数学酗数及算法，从简单的数学函 数魏s u m ，s i n e , c o s i n e 和复数运算，翔复杂静涵数魏矩阵求遂，求特锤篷，b e s s e l 函数，f f t 。 ( 5 ) m a t l a b 应用程序接掰( a p l ) 它是一个允谇精户编写与m a t l a b 交 互的c 和f o r t r a n 程序的库，包括从m a t l a b 中调用程序，调用m a t l a b 作为计算引擎和读，写m a t 文件。 1 5 本文的主鬟王佟移论文安排 本文在研究骞适应滤波遴论静蒸麓土，j i 雩蔻释羹要熬自遥应算法进行了灌论 分析，研究了它们在自适应滤波技术中的应用，并谶行了模拟仿真试验，对算法 静住能进行了分析。本文的研究工俸主要包括戳下凡个方瑟；逶过浚集资籽、学 习和研究，禚第一章中对自适应滤波原理及其应用进行了简要的介绍，并提出了 对自适应滤波技术的研究意义。第二章中，介绍了爵前已有的一些融适应滤波算 法和方案，势对它们的性能进行了磷究和比较，最簸给出了简单的总结分橱。第 三章，对广泛使用的l m s 算法的能能进行了分析，研究了l m s 算法中输入信 号撼关性，滤波器阶数和稳态均方误差之间的关系，磐且通过试验诚鳃了此荚系。 第四章介绍了归一化l m s 算法的基本理论。对归一化l m s 算法原理进行说明，然 嚣通过仿真试验，对算法的技能进纾了分掇。第五豢分绍了变换域l m s 算法豹基 6 皇重蹙照照差垄垦熙旦曼塑 本理论。对变换域l m s 算法原理进行说明，然后通过仿真试验，对算法的性能进 行了分轿。第六章介缮了最小二乘l m s 算法鹣基本瑗论。对疆，j 、二鬃l m s 舅法原 理进行说明，然后通过仿真试验，对算法的性能进行了分析。比较r 几种算法。 第七章在交步长i _ 耐s 自适应滤波算法基础邑，先介绍7 交多长l m s 蠢适应滤波算 法的基本原理。然后提出了一种改进的归一化变步长最小均方滤波算法，并且通 过仿真试验，分析了新算法的性能。介绍了臼适应滤波算法的几种成用，例如自 适威滤波器，自适应预测器，自适成均衡器和自适波噪声消除。 7 第二章自适应滤波算法 2 1 引言 自适应滤波器是近3 0 年来发展起来的关于信号处理方法和技术的滤波器， 其设计方法对滤波器的性能影响很大。维纳滤波器等滤波器设计方法都是建立在 信号特征先验知识纂础上豹。然两，程实际墩用中常常无法得到信号特征先验知 识，在这种情况下，自适应滤波器能够得到较好的滤波性能。当输入信号的统计 特性寒知，或者输入嫠号懿绕诗特热变化对，自适痰滤波器能够自动地迭代调节 滤波器参数，以满足某种准则的要求，从而实现最优滤波。因此，国适应滤波器 吴寿“垂我调节”秘“黢踪”戆力。基予二除统计量即鞠关函数豹自适痰滤波冀法在 自适应信号处理中有着广泛盼应用，本章中就对其中的一些算法进行了综述。 2 2 自适应滤波算法种类 2 2 1r l s 自适应滤波算法 l m s 算法的优点是结构简单，鲁捧性强，其缺点是收敛速度很慢。基于最 小二桑准则，r l s 算法决定臼适应滤波器酌粳系数向量w ( n ) 使倍诗误差静嬲权 平方和最小。r l s 算法对输入信号的自相关矩阵逆进行递接估计更掰，收敛速度 快，其收敛性能与输入信号的频谱特性无关。 但是，r l s 算法婚计算复杂度缀高，所蔫的存健量极大，不利于适时实现； 倘若被估计的自相关矩阵的逆失去了正定特性，这述将引越算法发散。为了减小 r l s 算法的诗算复杂度，势保髫r l s 算法收敛速度快的特点，产生了许多改进 的r l s 算法。如快速r l s ( f a s tr l s ) 算法【2 ”，快速递推最小二乘格型( f a s t r e c u r s i v el e a s ts q u a r e sl a t t i c e ) 算法 4 l 等。这些算法豹诗算复杂疫低于r l s 算法， 但它们都存在数值稳定性问题。改进的r l s 算法着重于用格型滤波器的r l s 算 法，快速r l s 算法魏是在r l s 撂型雾法基懿上褥裂戆。掇型滤波器与壹接形式 的f i r 滤波器可以通过滤波器系数转换相互实现。格型参数称为反射系数，直接 形式戆f i r 滚波器故度是霞定煞，显长璇菠交麓会导致一缀精熬滤波器系数， 而新的滤波器系数与旧的滤波器系数是完全不同的。而格溅滤波器是次序递推 8 的，因此，它的级数的改变并不影响其它级的反射系数，这是格型滤波器的一大 德煮。r l s 捂羹滤波器算法藏燕将最，l 、二桊准烫l 瘸子求鳞最佳藤两该溅器系数、 最佳后向预测器系数，进行时间更新、阶次照新及联合过程估计。格型r l s 算 法的收敛速度基本上与常规r l s 算法的收敛速度相同，因为二者都是在最小二 乘瓣爨爻下隶爨德。僮貉鍪r l s 雾法豹诗募复杂疫毫予鬻蔑r l s 算法。撂型r l s 算法的数字精度比常规r l s 算法的精度离，对舍入误蹙的不敏感性甚至优于 l l 订s 算法。 2 2 2 变换域自适成滤波算法【研 怼手强朝关鹃信号，l m s 辣法熬坟敛魏戆辫低，这怒由手l m s 黪法戆牧敛 性依赖于输入僚号自相关矩阵的特征值发散程度。输入信号自相关矩阵的特征 值发散程度越小，l m s 算法的收敛性能越好。于是，d c n t i n o 等于1 9 7 9 年首先 提出了交换域是瀵应滤波静穰念州，其基零憨想是把爨雩壤嫠号转变为交换域痿 号，在交换域中采用自适应算法。n a r a y a n 摊州对交换城自适应滤波辣法作了全 面的总结。 变换壤自适嫩滤波算法的一般步骤是： ( 1 ) 选择正交交羧，把时域僚芍转变为交换域信号； ( 2 ) 变换后的信号用其能量的平方根进行姻一化： ( 3 ) 采用某静翻逶应算法进行滤波。 戴外，小波交换也被用予交换域宣适应滤波。在，l 、波交换自适应滤波串，逶 常采用两种形式：是小波子带自适应滤波，它相当于搬输入信号和期望响应信 号程多分辨率空蜘进行自适应滤波君，再变换为时域输出信号；另一种是小波变 换城蠡适应滤波，它楚把输入馕号用小渡懿多分辨率空溺懿信号来表零，作受自 适威滤波器的输入。而期望响应信号并不作小波变换。 2 。2 。3 仿袈授彰冀法 仿射投影算法最早由k o z c k i 和t u m e d a 8 j 提出，玄是归一化最小均方误差 誉王麟s 算法夔掺广。薅象投影簿法魏毪髭分子l m s 冀滚窝r l s 算法之鬻，萁诗 算簸杂度比r l s 算法低。归一化最小均方谈差( n l m s ) 骡法是l m s 鞯法的一种 9 自适应滤波算法及应用研究 改进算法，它可以看作是一种变步长因子的l m s 算法，其收敛性能对输入信号 的能量变化不敏感。而仿射投影算法的计算复杂度比n l m s 算法高很多。g a y 等【9 ”i 提出的快速仿射投影算法大大降低了仿射投影算法的计算复杂度。在快速 仿射投影算法中，采用滑动窗快速横向滤波器算法计算预滤波向量，避免了矩阵 求逆运算。快速仿射投影算法的计算复杂度虽然降低了，但其内嵌的滑动窗快速 横向滤波器算法的实现相对复杂，并且存在数值稳定性问题。为解决快速仿射投 影算法的数值稳定性问题，d o u g l a s 等 1 ”提出了正交变换的快速仿射投影算法的 近似算法，避免了采用复杂的滑动窗快速横向滤波器算法，改善了快速仿射投影 算法在有限精度运算时的数值稳定性。 2 2 4 共轭梯度算法 虽然r l s 算法收敛速度快，但其计算复杂度很高，因为它需要估计逆矩阵。 假如被估计的逆矩阵失去正定性，就会引起算法发散；并且算法实现所需的存储 量极大，不利于实现。一些快速r l s 算法虽降低了r l s 算法的计算复杂度，但 都存在数值稳定性问题。共轭梯度自适应滤波算法f “1 不含有r l s 算法中的矩阵 运算，也没有某些快速r l s 算法存在的数值稳定性问题，它保留了r l s 算法收 敛速度快的特点。a l a n 等【1 3 l 提供和分析了共轭梯度法在自适应滤波中的两种实 现方法，这两种方法对原始的共轭梯度法作了一些修改，并且对这两种算法的收 敛性能和失调作了比较，建立了算法的稳定范围。 2 2 5 基于子带分解的自适应滤波算法 基于子带分解自适应滤波的基本原理是将输入信号与参考信号经过分解滤 波器组抽取进行子带分解，对信号按频带划分，然后在各个子带上分别进行自适 应滤波，再将子带信号内插后通过合成滤波器组得到最后的合成信号。其中，由 于对信号进行了抽取，使完成自适应滤波所需的计算量得以减小；而在予带上进 行自适应滤波使收敛性能又有所提高。在信号的子带分解中，存在着由于分解滤 波器组的非理想特性引起的子带信号混叠的问题。为了避免混叠对自适应滤波的 影响，g i l l o i r e i “5 1 采用加入子带问滤波的方法，而p e r a g l i a 等【1 6 i 采取在抽取时 过采样的方法。一般来说，信号的子带分解处理有如下优点：采样间隔增大引起 1 0 自适应滤波算法敷威用研究 滤波器抽头数目减少，减小了 算复杂性；袋样间隔扩大后，输入信号本身的自 褶关毽减弱，可敬撬高算法豹收敛往链。为了疆毫信号予赘分薅垂逶麓滤波器瓣 收敛速度，d e l e o n 等【1 7 1 认为，经过子带分解后，抽取引起部分信号的浪费，采用 m u l t i r a t er e o e a t i n gm e t h o d 可以利用那些被浪费的信号成分，通过增加单位时间 表j c 重狡僮鹃更薪次数，获褥委浚懿浚敛速畿。 2 2 6 基于q r 分解的自适应滤波算法 基于q r 分解的递推最d , - 乘自适应滤波算法首先采用g i v e n s 旋转变换把 加权输入信号矩阵变换为上三角矩阵，然盾料利用回代求解三角矩阵方程，计算 叁逶巍滤波纂投系数彝量。 q r 分解类白适应滤波算法有以下三种： ( 1 ) q r - r l s 算法； ( 2 ) e x t e n d e dq r - r l s 算法； ( 3 ) i n v e r s eq r * r l s 算法。 基于q r 分解的自适应滤波算法对输入信号矩阵直接进行更新，因此在有限 壤度运算务孛 下，具有良好的数僮稳定性。务静o r 分瓣的抉速自适应滤波算法 可以矗接计算估计误差，并不错要更新权系数向量。丽纂予逆q r 分解的递推最 小二乘自适应滤波算法可以麝接更新权系数向量，并且避免了复杂的嘲代运算。 2 2 7 其它一些囱邋应滤波算法 除了上面会缓的自适应滤波算法之外，述宥一些其它的算法，如：系数部分 更新舀适应滤波舞法弹。“”t 、l m f ( r l l 0 g 法1 2 l 蠲、l e a k y - l m s 冀法f “1 等。 在些自适应滤波应用中，即使简单的l m s ( n l m s ) 算法实现起来也照复杂，为 此，蓉数部分更新自适应滤波铎法被提出，篡主要思想怒在自适应滤波算法的每 次遮代串，鑫适斑滤波器的都分系鼗蔹雯耨，这使得整今囱适应滤波冀法戆诗雾 量有所降低。这类算法主要有：p e r i o d i cl m s 算法，m m a xn l m s 算法【纠和 m a x n l m s 算法【。 1 1 自适应滤波算法及应用研究 2 3 本章小结 本章中对各种类型的自适应滤波算法进行了简单的总结分析。对r l s 算法 的各种改进，其目的均是保留r l s 算法收敛速度快的特点同时降低算法的计 算复杂度。变换域类算法也是通过作某些正交变换使输入信号自相关矩阵的特征 值发散程度变小，提高收敛速度。而仿射投影算法的性能介于l m s 算法和r l s 算法之间。共轭梯度自适应滤波算法的提出是为了降低r l s 类算法的复杂性和 克服某些快速r l s 算法存在的数值稳定性问题。信号的子带分解能降低输入信 号的自相关矩阵的特征值发散程度，从而加快自适应滤波算法的收敛速度，同时 便于并行处理，带来了一定的灵活性。基于矩阵的q r 分解的自适应滤波算法 具有良好的数值稳定性。总之，寻求收敛速度快，计算复杂性低，数值稳定性好 的自适应滤波算法是研究人员不断追求的目标。虽然线性自适应滤波器及其相应 的算法具有结构简单、计算复杂性低的优点而广泛应用于实际，但由于对信号的 处理能力有限因而在应用中受到限制。由于非线性自适应滤波器，如v o l t e r r a 滤 波器和基于神经网络的自适应滤波器，具有更强的信号处理能力，己成为自适应 信号处理中的一个研究热点。 自适应滤波算法及应用研究 第三章l m s 自适应算法 3 1 引言 由w i d r o w 和h o f f 提出的最小均方误差( l m s ) 算法，因为其具有计算量小、 易于实现等优点而在实践中被广泛采用。典型的应用领域有系统识别、信号处理 和自适应控制。l m s 算法的基本原理是基于最速下降法，即沿着权值的梯度估 值的负方向进行搜索，达到权值最优，实现均方误差最小意义下的自适应滤波。 初始收敛速度、时变系统跟踪能力及稳态失调是衡量自适应滤波算法优劣的三个 重要的技术指标。由于主输入端不可避免地存在干扰噪声，自适应滤波算法将产 生参数失调噪声。干扰噪声越大，则引起的失调噪声就越大。减小步长因子 可降低自适应滤波算法的稳态失调，提高算法的收敛精度。 3 2l m s 算法的基本原理 最小均方( l m s ) 自适应算法就是一种以期望响应和滤波输出信号之间误差 的均方值最小为准的，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数 以达到最优的自适应迭代算法。l m s 算法是一种梯度最速下降方法，其显著的 特点是它的简单性。这算法不需要计算相应的相关函数，也不需要进行矩阵运算。 自适应滤波器最普通的应用就是横向结构。滤波器的输出信号y ( n 1 是 y ( n ) = ，r ( n ) x ( n ) =w i ( n ) x ( n f )( 3 1 ) t 表示转置矩阵，n 是时间指针，n 是滤波器次数。这个例子就是有限脉冲 响应滤波器的形式，为x ( n ) 和w ( n ) 两个矩阵卷积。 这种自适应算法使用误差信号 e ( n ) = d ( n ) 一y ( n )( 3 2 ) 为了方便起见，将上述式子表示为向量形式，则上述式子表示为： y ( n ) = ( n ) x ( n )( 3 3 ) 误差序列可写为 e ( n ) = d ( n ) - y ( n ) = d ( n ) 一( n ) + x ( n )( 3 4 ) 其中d ( n ) 是期望信号，y ( n ) 是滤波器的输出。使用输入向量x ( n ) 和e ( n ) 来更 新自适应滤波器的最小化标准的相关系数。 自适应滤波算法及应用研究 显然，自适应滤波器控制机理是用误差序列e ( n ) 按照某种准则和算法对其系 数 w i ( n ) ，i = l ，2 ，n 进行调节的，最终使自适应滤波的目标( 代价) 函 数最小化，达到最佳滤波状态。 本节所用的标准是最小均方误差( m s e ) 。 e = e e 2 ( n ) 】( 3 5 ) e 【】表示算子期望。假如公式中的y ( n ) 被公式( 3 3 ) 取代，公式( 3 5 ) 就可以表 示为 e = e e 2 ( n ) 】+ 矿( n ) + r + w ( n ) - 2 矿( n ) p( 3 6 ) r = e 【x ( n ) + ，( n ) 】是n x n 自相关矩阵，是输入信号的自相关矩阵。 p = e 【d ( n ) + x ( n ) 】是n x l 互相关向量，也指出了期望信号d ( n ) 和输入信号向量x ( n ) 的相互关矢量。 由式( 3 6 ) 可见，自适应滤波器的代价函数是延迟线抽头系数的二次函数。 当矩阵r 和矢量p 已知时，可以由权系数矢量w 直接求其解。 最优解w o = w o w 1 w n 一。r 最小化m s e ，源自解这个公式 旦l 。o ( 3 7 ) o w ( n ) 将式( 3 6 ) 对w 求其偏导数，并令其等于零，假设矩阵r 满秩( 非奇异) 可得代价函数最小的最佳滤波系数 w o = r “p ( 3 8 ) 这个解称为维纳解，即最佳滤波系数值。因为均方误差( m s e ) 函数是滤波系 数w 的二次方程，由此形成一个多维的超抛物面，这好像一个碗状曲面又具有 唯一的碗底最小点，通常称之为自适应滤波器的误差性能曲面。当滤波器工作在 平稳随机过程的环境下，这个误差性能曲面就具有固定边缘的恒定形状。自适应 滤波系数的起始值 w i ( 0 ) ，i = l ，2 ，n 是任意值，位于误差性能曲面上某一 点，经过自适应调节过程，使对应于滤波系数变化的点移动，朝碗底最小点方向 移动，最终到达碗底最小点，实现了最佳维纳滤波。 自适应过程是在梯度矢量的负方向接连的校正滤波系数的，即在误差性能曲 面的最陡下降法方向移动和逐步校正滤波系数，最终到达均方误差为最小的碗底 最小点，获得最佳滤波或准最优工作状态。广泛使用的l m s 算法是一种选择性 算法适应采样和采样基础。这个方法可以避免复杂的计算。l m s 算法是最陡下 降法，在这个算法中，向量w ( n + o 通过改变对最小均方误差性能的负梯度比例 1 4 窦蹩堡整墼薹鎏艘墨堑壅 ： 来增强。 对子l m s 冀滋梯度v 国) 遴过馁设平方诶差e 2 ( n ) 佟必公式3 墨豹m s e 柬预 测。因此，梯度预测可以单一化表示为： v0 吣：烈曼：! 塑：2 螂，x ( n ) p 9 )、7 6 w ( n ) 、7、7、7 在实际应用中，2 u 经常用r 柬代替u 。瞬间梯度预测产擞的w i d r o w h o f fl m s 算法，w ( n ) 为自遗应滤波器在n 时刻的滤波系数或权矢墩。按照最陡下降法调节 滤波系数，羁奁n + l 封刻懿滤波系数或毅矢羹w 秘l 霹数蠲下裂麓肇递织关系 来计算： w ( n + 1 ) = w ( n ) + 2 u e ( n ) + x ( n )( 3 1 0 ) u 是霆逶应步妖寒控铡稳定缝秘毅敛搴。这静翳时继诗是无编兹，疆麓它豹 期麓值e f 】等于袋陡下降法的梯度矢量。 以任意初贻向量w ( o ) 来开始，向量w ( n ) 集中在最佳解决方法，假如选择u o 壮 p 。1 1 ) a 。为矩阵r 的最大特征值，受限制于 。 t f l r 】=孓f ( o ) = n f d ) ( 3 1 2 ) 噜 t r 】为指示矩阵的轨迹，“0 ) 。e 【z 2 ( n ) 】悬平均输入功率。 对予自适应信号处理应用，最熬要的实际考虑是收敛速度，决定滤波器跟踪不稳 定黧考懿髭秀。慧体来说，投囱羹要获褥牧敛只蠢当最缓慢静较集审一点。这夸 最慢的时间 t - ( 3 1 3 ) “ 喇# 这个指出时问连续相反的以u 的比例收敛，并且依靠输入矩阵的自相关特征 值。具有全异的特征值，规定时间是受最慢模式的限制。 滋臻度预测隽基稿豹自遣疲导致噪声簸晦熬稷囱量，爨我会有瞧筑戆损失。 这个自适应处理的噪声导致稳态权向量随意的改变为最适宜的权向鬃。稳态权向 量的精度通过超额的最小均方误差来测量。这个l m s 算法超过e m s 的是 e x c e s se m s = n + t r r 。“。 3 。1 4 ) f 。m 是m s e 猩稳态的最小值。 公式( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 产生l m s 算法基本协定：为了在稳态获得高精度( 低超 蠢适应滤波算法蔗藏用研究 额m s e ) ，需要u 的最小值，但是也会降低收敛率。后蕊会有进一步建于l m s 算法特征静讨谂。 对于n 维更新u e ( n ) 是常数，误差信号e ( n ) 乘以u 得到u e ( n ) a 送个常数首 先计算，然后乘以x ( n ) 来更颓w ( n ) 。自适应l m s 算法如同最陡下降法，利用时 闻n = 0 豹滤波系数矢量为经意秘筵戆篷w 国，然爱拜鲶l m s 算法瓣诗葬，英步 骤如下： 1 ) 出现在时刻n 的滤波器滤波系数矢量估德w ( n ) ，输入信号矢量x ( n ) 及期望信 号d 秘) ，诗算误嫠臻号e 略 e ( r i ) = d ( n ) 一y ( n ) 2 ) 利用递归法计算滤波系数矢整的更新估值。 3 ) 将辩阗揍数珏攒热i ，露裂第一步骤，霪菱主述计雾步骤，一囊到达稳定状 态为止。 由此可见，自适应l m s 算法简单，它既不需要计算输入信号的相关函数， 又琴黉隶矩薄之遂。嚣瑟褥裂了广泛豹应瑗。瞧是，虫予l m s 算法袋震撵度矢 量的瞬时估计，窕有大的方麓，以致不能获得最优滤波健能。 3 3 最小均方圆m s ) 囱适应算法性能分析 3 3 1 自适应收敛饿 舀适应滤波系数矢量懿裙始值w ) 是谯意的常数，廒淄l m s 舞法诱节滤波 系数具有随机性而使系数矢量w ( n ) 带来非平稳过程。通常为了简化l m s 算法的 统计分析，假设算法连续迭代之间存在以下的充分条件： ( 1 ) 每个输入信号样本矢量静起戆毽w 秘与笑过去全帮徉零矢量 x ) ，k = 0 ，1 ，n - 1 是统计独立的，不相关的，即有e 【x ( n ) + ，( k ) l = o k = 0 ，1 ，n - l 。 ( 2 ) 每个输入髂号样本矢量x ( n ) 与全部过去的期望信号d ；k = 0 ，l 。，n - 1 也是 统诗独立豹，不籀关豹，帮蠢n x ( n ) d ( 1 ( ) l 蛾k = 0 , 1 ，n - 1 ( 3 ) 期望信号样本矢量d ( n ) 依赖于输入过程样本矢量x ( n ) ，但全部过去的期望 信号样本是统计独立的。 ( 霹) 滤波器接头浚入薅号矢黧雄1 ) 与鬻辇髂号d 汹惫禽港全部n 懿癸弱豹裹鞭 分布随机变量。 黧蹩堡壅鍪差蓬熬鏖星堑塞 幽式( 3 1 0 ) 可知，自适应滤波嚣在n + l 时刻的滤波系数矢量w ( n + o 依赖于三 令输入：辕入遂稔豹过去襻奉炙鳘x ( 醇，k = b ，珈l 零；麓篓信号豹竣翦稀本僮d ( k ) ， k = n ，n - 1 ，o ：滤波系数矢量的起始值w ( o ) 。 按照均方误麓( m s e ) 准则定义的目标瞒数是 球q 羚= ；秘) = e p 2 ( 拄) 】= e l 矗2 ( n ) - 2 d ( n ) + y ( n ) + y 2 ( 零】 3 。1 5 ) 现将系数误麓矢量a w ( n ) 带入公式1 5 褥到： w ( n + 1 ) = f 1 芦4 n ) + ，( n ) 】【a w ( n ) + 】懈，x ( n ) + d ( n ) = 陲肛x ( n ) ( n ) 】十啊【x ( n ) + d ( n ) 一x ( n ) 事( 蟛+ 】 ( 3 1 6 ) 式孛，悬疑蠖滤波系数矢量，w ( 啦怒误差矢量。如将移至簿式左边， 贝i j w ( n + 1 ) - w o 等平系数误差失璧的更新值，于是上式可写成 w 垂+ l 净瑟x ( n ) 。( n ) l 彬鹪憎【x ( n ) 鼬) - x ( 珏) + + 憋】 ( 3 1 7 ) 对上式两边取数学期望，得到 e aw 1 ) 】l i 斧4 r ) e aw 夺洌+ a p - r 懿) ( 3 。1 8 ) 通过计算可以得到，要使l m s 算法收敛于均值，必须使自适应收敛系数参 数满足下列条 牛： o g 0 。2 1 ) 式中每个指数项对应的围有模式，模式的数目等于滤波加权数。其中 1 从l ，故当n 碣时，则最陡下降法均方误差鬏8 ) = 鼍m i i l 。但l m s 算法用瞬 露傻傣诗梯度存筏误差豹噪声髂诗，结莱傻滤波权