（基础数学专业论文）半离散正弦戈登方程的延拓结构.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 非线性偏微分方程的求解一直以来都是一个难题，而逆散射变换是求解一大类 非线性偏微分方程的有效方法之一。其基本思路就是利用非线性偏微分方程的l a x 对 和常微分方程的谱理论，把非线性问题转化为线性问题给以解决。延拓结构理论是 迄今为止较为成功的一种求方程l a x 对的系统方法，其基本思想就是从原始的非线 性演化方程出发，来求得方程的l a x 对，进而验证方程的可积性、用逆散射变换方法 对方程求解。 本论文就是建立、完善半离散的延拓结构理论，以及利用该理论求出半离散 的s i n e - g o r d o n 方程的l a x 对。 ， 在第一章中，我们介绍一下孤立子理论的由来和孤立子理论问题的研究。在 第二章中，我们介绍逆散射变换和l 觚方程。第三章中，我们建立并完善1 + 1 维半 离散的延拓结构理论。在第四章中，我们利用上一章中的理论讨论了1 + 1 维的半离 散s i n e g o r d o n 方程，并求得它的l a x 对。 关键词：延拓结构；逆散射变换；l a x 对 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e8 0 l v i n g0 fn o n l i n e a rp a r t i a lm 脑e n t i a le ( 1 u 8 t i o n sh 嬲a l w a l y sb e e nam 伍伽d t p r o b l e m ，龇l di n 肌嬲论8 c a t t e r i n gt r a l n s f 妇i 8o n eo ft h ee f f b c t i wm e t h o d 8 i ns 0 1 、，i n gab r o a d r 觚g e0 fn 0 玎d i n e 盯p a n i a ld i 脑e n t i a le q l l a l t i o 璐i t sb 勰i ci d e ai st oc o n v e r tt h e o n l i n e 盯 p r o b l e mi n t ot h eh n e a rp r o b l e mb yt b el a xp a i ro fn o i l l i n e a rp a 氘i a ld i 珏h e n t i a le q u a t i o 璐 a n dt h e 印e c t r 址t h e 0 巧o fo r 出m 巧d 近b r e n t i a le q u a t i o 瑚t h et h e 0 巧0 fp r o l o n g a t i o n 8 t n l c t 珈呛i 8ar e l a t i v e l y8 u c c e 鹋f u l 踟1 d8 y s t 锄a t i c 虹m e t h o di no b t a i l l i n gt h el a xp a i r e q u a t i o 璐u pt on o w i t 8b 撕ci d e ai st og e tt h el a d cp a i r 丑瑙t l y 丘o mt h e0 r i 百n m n o n h n e 缸e v 0 1 u t i o ne q u a t i o n ，c h e c kt h ei n t e g r a b i l i 够0 ft h ee q u a t i o n ，眦dg e tt h es o l u t i o n 0 ft h ee q u a t i o nb yt h em e t h o do fi n v e r 8 e8 c a t t e r i n gt r a 珊f b r m t h i sd i 鹃e r t a t i o ni sc 删t t e dt oe 8 t a b l i s ha n di m p r o v et h et k 哪0 f8 e m i - d i s c r e t e p r 0 1 0 n g a t i o ns t r u c t u r e ，a n du 8 et h i st h e 0 巧t oo b t a i nt h el a xp a i ro ft h es i n 伊g 0 r d o n e q u a 七i o n i nt h e 丑瑙tc h a p t e r ，w e 砒r o d u c et h e0 r i 西n0 f t h es 0 1 i t o nt h e o 巧a n dt h er e 盯c h0 f t h e8 0 l i t o nq u 豁t i o n i nt h e 鼬c o n dc h a p t e r ，w ei i l t r o d u c et h ei d 矾璐e8 c a t t e r i n gt r 锄碍f o r m a n dt h el a xe q u a t i o n i nt b et 1 1 i r dc h a p t e r ，w ee s t a b l i s ha n di m p r 0 、，et h et h e o r yo f1 + 1 d i m e 瑚i o n 8 ls e m i d i s c r e t ep r o l o n g a t i o ns t r u c t l l r e 1 1 1t h ef o u r t hc h 8 p t e r ，u s i l l gt h et h e o 盯 o fp r e 们o u s 出印t e r ，w ed i s c u s st h e1 + 1d i m i e n s i 伽【a ls e m i m 8 c r e t es i n e - g 0 r d o ne q u a t i o n ， 觚dg e ti t sl a xp a i r k e y w o r b ：p r 0 1 0 n g a t i o n8 t r u c t l l i e ，i m ，e r s es a c t e r i n gt r 缸塔f o m ，l a xp a j r i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学住论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究百勺课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) o ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名：趣里塞暨 2 0d 矿年月日 学位论文指导教师签名：囱z & 丕坠 2 0o 孑年6 月9 曰 第一章引言 1 1 孤立子的由来 1 8 3 4 年英国科学家s c o t tr 脚s e u 偶尔发现了一种奇妙的水波。1 8 4 4 年，他在英 国科学促进协会第1 4 届会议报告上发表的波动论一文中，对此现象做了生动的 描述“我观察过一次船的运动，这条船被两匹马拉着沿狭窄的运河迅速前进着，突 然，船停了下来，而被穿推动的大堆水却不停止，它们积聚在穿透周围激烈的扰动 着，然后水浪突然呈现出一个滚圆而平滑轮廓分明的巨大孤立波峰，他以巨大的速 度向前滚动着，急速地离开船头。在前进中它的形状和速度并没有明显的改变，我 骑在马上紧跟着观察，它以每小时约八、九英里的速度滚滚前进，并保持长约3 0 英 尺、高约1 1 5 英尺的原始形状。渐渐地它的高度下降了。当我跟踪1 2 英里后，他终 于消失在逶迤的河道之中。【1 ”这就是r l l s s e l l 观察到的奇特现象，进而他认为这种孤 立的波是流体运动的一个稳定解，并称之为“孤立波” 2 ，3 。r l l s s e l l 当时未能成功地 证明并使物理学家们信服他的论断，从而埋怨数学家未能从一致的流体运动方程预 言出这一现象，之后有关孤立波的问题在当时许多物理学家中引起了广泛的争论。 直到6 0 年后的1 8 9 5 年，k o r t e w e g ，d ev n e s 研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅 的假定下，建立了单向运动的浅水波运动方程 害= 兰店未c 丢舢三q 叩+ 三仃勃 ， 这里，叼为波峰高度，2 为水深，夕为重力加速度，a ，盯均为常数。他们对孤立波现象作 了较为完整的分析，并从方程( 1 1 1 ) 求出了与r 脚s e l l 描述一致的，即具有形状不变 的脉冲状的孤立波解，从而在理论上证实了孤立波的存在。然而这种波是否稳定? 两个孤立波碰撞后能否变形? 这些问题一直没有得到解答，以致有些人怀疑，认为 方程( 1 1 1 ) 是非线性偏微分方程，解的叠加原理不满足，碰撞后两个孤立波的形 状很可能会破坏殆尽。这种观点致使有不少人认为这种波“不稳定”，在没有新的 发现之前，孤立波处于长期被埋没之中。 1 河南大学硕士学位论文 另外一个问题是，象r i 瑚e l l 讲的这种孤立波是否在流体力学之外的其他物理领 域内出现呢? 在二十世纪的初期这也是使人琢磨不定的的问题。一直到五十年代， 由于f e r m i ，p 嬲t a 和u l a m 的工作，才出现新的局面。他们将6 4 个质点用非线性弹簧 连接成一条非线性振动弦，初始时这些谐振子的所有能量都集中其一，其他6 3 个的 初始能量均为零。按照经典的理论认为：只要非线性效应存在，就会有能量均分， 各态历经等现象出现，即任何微弱的非线性效应相互作用，可导致系统由非平衡状 态过渡。但实际计算的结果却使他们大吃惊，即上述达到能量平衡的观念是错误 的。实际上，记过很长时间以后，几乎全部的能量又回到了原先的分布，这就是著 名的f p u 问题。当时由于只在频率空间来考虑，未能发现孤立波解，所以该问题未 得到正确的解释。后来让人们把晶体看成具有质量的弹簧拉成的链条，并近似模拟 这种情况，t o d e 研究了这种模式的非线性振动，果然得到了孤立波解，使f p u 问题 得到正确的解答，从而进一步激起了人们对孤立波研究的兴趣。 随后，1 9 6 2 年p e r r i n g 和s k y t m e 将s i n e - g o r d o n 方程用于研究基本粒子时，数值计 算结果表明：这样的孤立波并不散开，即使两个孤立波碰撞后也仍保持原有的形状 和速度。1 9 6 5 年美国著名的科学家z a b u s k y 和k r u s 姒用数值模拟方法详细地考察了 等离子体中孤立子碰撞的非线性相互作用过程，得到了比较完整和丰富的结果，并 进一步证实了孤立子相互作用后不改变波形的论断。这些结果使人们感到惊喜。由 于得到的上述结果，以及在许多物理模型中相继发现都存在这种碰撞后具有不改变 波形的稳定的孤立波的事实，从而使许多物理学家和数学家对此产生了极大兴趣和 注意，开始掀起对孤立子问题研究的热潮，并逐步形成了较为完整的孤立子理论。 那么，究竟什么是“孤立子”呢? 通常我们把非线性发展方程的局部行波解，称 为“孤立波 4 1 。所谓“局部的，是指微分方程的解在空间的无穷远出趋于零或确 定常数的情况。我们把这些稳定的孤立波，既相互碰撞后的、不见消失而且波形和 速度也不会改变或者只是微弱的改变( 就像常见的两个粒子的碰撞一样) 的孤立波 称为“孤立子”。在物理上，也有把孤立子定义为经典场方程的一个稳定的有限能 2 河南大学硕士学位论文 量的不弥散的解，即如果以p ( z ，亡) 表示孤立子的能量密度，则有 ， o 2 了= p ( z ，t ) 6 p z + o 。， ， ( 其中m 为空间的维数) ， 跣m t 。瑚x p ，t ) 0 ， ( 对于某些x ) 这就是说，孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上稳 定的准粒子。这种准粒子具有一切粒子的所具有的特性，如能量、动量、质量、电荷 等等，它也遵循一般自然规律，如能量、动量、质量守恒定律。另一方面，它又具有 自身的特征一波动性。孤立子遵循经典运动规律，服从牛顿运动方程，所以孤立子 是一种新型的准粒子它是2 0 世纪物理学提出的一个重要的新概念。在数学上把具有 下列性质的非线性方程的解称为孤立子解： ( 1 ) 向单方向传播的行波； ( 2 ) 分布在空间的一个小区域中； ( 3 ) 波动性状不随时间演变而发生变化； ( 4 ) 孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。 现在已经知道一系列非线性偏微分方程存在孤立子解，其中最具有代表性的有 四类方程： ( 1 ) k d v 方程； ( 2 ) 正弦戈登( s i n e - g o r d o n ) 方程； ( 3 ) 户田( m t 0 d a ) 非线性晶格方程； ( 4 ) 非线性薛定谔方程( n l s e ) 。 对于一大批非线性波动方程和方程组，它们的孤立子一般有四种形状，即钟型 ( 或波包型) 、涡旋型( 反钟型) 、扭结型( 结状) 、反扭结型( 反结型) 详见【5 ，6 。 3 河南大学硕士学位论文 1 2 孤立子理论问题研究 由于孤立子问题在大量非线性物理中出现，并具有某些共同特征，因而已引起 许多物理学家的兴趣。他们希望利用孤立子理论来研究等离子体物理、基本粒子物 理和凝聚态物理中某些难以解决的问题，以及物质非线性作用下的运动规律等。从 数学方面来看，已经发现一大类非线性进化方程具有孤立子解，而且这些具有孤立 子解的非线性进化方程具有一系列重要而共同的特征。他们具有无穷个守恒律；有 化为线性方程求解的解析解法一一逆散射变换法；存在b 苞d d u n d 变换；完全可积分 等。对于这些重要特征的相互关系也做了一些研究。在数学方法上，也出现了许多独 特的分支。借助与常微分方程边值问题和rej ib 由ah 一mapi i ehko 积分 方程的求解建立起来的逆散射变换法，经l a x ，3 axapob ，a6at ，a k n s 等 以发展为一种求解一类相当广泛的非线性演化方程的有用方法；借助于某些函数变 换，b 五d d u n d 变换，h i r o t a 变换也找到了一大批孤子解；借助于外微分形式方法和李 群建立起来的延拓结构法为求解非线性进化方程和深入研究逆散射变换提供了一 个强有力的工具。目前孤立子理论问题的研究已经称为一门新兴应用数学学科，这 方面的研究必将大大地促进微分方程、泛函分析、群论、同伦理论和拓扑学等数学 分值的发展。目前的孤立子理论的研究工作已取得了重大的进展，特别是一维问题， 现在正向更加深入、更加本质方向发展 7 】。 4 第二章逆散射变换 随着孤立子理论的形成和发展，逆散射变换法已成为孤立子和相当广泛的一大 批非线性进化方程的精确求解的一种及其重要的方法，它孤立子理论中占有重要 的地位。这种方法的特点和优点是，对于这种相当复杂非线性方程可通过组合若干 个线性方程而精确地求解。近几十年来，这种方法已和随之发展起来的求孤立子解 的其他方法，如b 戋d d u n d 变换、h i r o t a 方法、延拓结构法等相互促进，并逐步完善。 这种方法最早由g g k m 在k d v 方程中发现，后经l a x ，3axapob ，a6a t ，a k n s 等人把它推广到一大批更广泛的非线性进化方程( 其中包括方程组和高 维情况) 中，比如，非线性薛定谔方程 8 ，9 】，正弦戈登方程【1 0 ，1 1 】，使它们称为现行 精确求解的一种比较普遍的方法。最近，又把它和微分方程的定性理论联系起来， 开展了很好的工作，为微分方程理论的研究开辟了一个新途径。 2 1 逆散射变换 本节将具体说明如何用逆散射变换法去求下列k d v 方程的初值问题。 甓地爱+ 券= o ( 一o 。 z 慨洲) ， ( 2 - 1 1 ) 【u i t - o = 蜘 ) ( 一o o z + ) 其中咖( z ) 为已知函数，且任何时刻u 都满足1 i m 一士u = o 具体求解问题分三步。 1 以呦( z ) 为势能，解下列s 眈r 6 成叼e r 方程的本征值问题，求出与u o ( z ) 相应的入( 记 为入o ) 和妒( 记为) ，即求解 铋m 咱) 咖_ 0 ( 一锄 o ，n = 1 ，2 ，) ，( 2 1 3 ) 5 河南大学硕士学位论文 相应的本征函数有下列渐进式： “0 ) e k 叫一堋) ( 2 “) i 怕一( o ) e k z0 一+ o o ) 其中( o ) 为常数。且要求咖满足正交归一条件： 镌如= 1 ， ( 2 1 5 ) 而对非束缚态有 入o = 后2 ， ( 2 1 6 ) 这时的本征函数与波的传输方式有关。通常，设t 时刻有一振幅为1 的定常平面波e i h 从z = + 进入，遇到势能后，一部分以a ( k ，o ) e 一妇进入x = 一o 。，另一部分以b ( k ，o ) e 溉被 反射回x = + o 。口( 七，o ) 和6 ( 尼，o ) 分别称为透明系数和反射系数，满足 l 口1 2 + 1 6 1 2 = 1 ，( 2 1 7 ) 这时本征函数的渐进式为 “毛0 ) e h 一， ( 2 1 8 ) i 咖一e 一妇+ 6 ( 后，o ) h _ + 。) 在上面诸式中知、( o ) 、a ( k ，o ) 、b ( k ，o ) 统一称为初始时刻的散射量。实际上对任 意时刻t ，( 2 1 2 ) 式到( 2 1 8 ) 式均成立，只是波函数咖改为矽，相应的散射量由知、( o ) 、 a ( k ，o ) 、b ( k ，o ) 分别改为九、c ，l ( k ，亡) 、a ( k ，t ) 、b ( k ，t ) 2 以g g k m 变换乱= 吾辔+ 入( 亡) 代入k d v 方程，确定散射变量的演变规律。这些 规律是 嬖：o ， 出 1 ( k ，t ) = c ，l ( 0 ) e 4 礤， 6 ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) 河南大学硕士学位论文 口( 七，t ) = 口( 七，0 ) ， 6 ( 七，亡) = 6 ( 七，0 ) e 8 砘 而坡函数砂的演变规律为 q 三喾+ 雾一3 ( 入+ 仳) 筹= o ， ( 离散谱) q 三喾+ 髻一3 ( a + 乱) 筹= 4 i 七3 妒 ( 连续谱) 下面我们依次说明。 以妒2 去乘k d v 方程( 2 1 1 ) 的第一式得 妒2 甓w 杀( 掰+ 象) _ 0 ， 但由s 眈，6 战乱口e r 方程 口j 以得星u 妒。害：矽。警+ 丕c 妒蛊一筹豢， 妒。未( 一3 u 。+ 象) = 未( 妒筹一s 譬) 其中 s 三嘉一6 入鬈一丢甏雾= 辔叫u 删筹 ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) 辔“h 砷坠。丝如 ， 一 蟠“业如m 警黼 ， + + 俨 凯矿玩伊挑弘 妒嬉。妒 = l l 叫 l i 一 河南大学硕士学位论文 这样，( 2 1 1 5 ) 式化为 妒2 象+ 未( 妒髻一q 甏) = o ， ( 2 工2 0 ) 其中 q 兰警+ s = 喾+ 雾一3 ( 缸+ 入) 差 = 喾+ 4 等一6 u 筹一3 妒赛 = 一十i - - = 一n t z 一一d 1 ，一 8 tj 8 皆一8 茁 1 8 z = 喾一2 。+ 2 入) 尝+ 妒赛 = 一一z 1 e 十z j 一十u 一 况一、一一如7a 2 ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 2 ) ( 2 1 2 3 ) 将方程( 2 1 2 0 ) 两边对z 从一o 。到+ 积分，注意矽和器在z 一土o 。时都趋于零， 而麝妒2 如有限，则得到( 2 1 1 9 ) 式。( 2 1 1 9 ) 式表明入不随时间变化，相应k 和k 也 不随时间变化。 ( 2 1 1 9 ) 式表代入方程( 2 1 2 0 ) ，得到 未 警一q 鬈) _ o ， ( 2 抛4 ) 但利用s 眈r 石出哪e r 方程 杀( 妒筹一q 篙) = 妒等一q 嚣= 妒器+ 叫妒 ( 2 1 2 5 ) 因而 雾蜊a 刊_ o ( 2 1 2 6 ) 即q 也满足s 眈r 6 出凹e 7 方程。 方程( 2 1 2 2 ) 两边对z 积分得到 妒2 未( 罢) = 嘲 ( 2 1 2 7 ) 其中d ( t ) 为t 的任意函数。( 2 1 2 5 ) 式除以妒2 ，再，【对积分得到 q - d ( 咖z 。嘉如删舢， ( 2 1 2 8 ) 河南大学硕士学位论文 其中e ( t ) 也是t 任意函数 对于离散谱，由( 2 1 4 ) 式知，在z _ 士。时，妒是有界的，q 也是有界的，但劈击如确 实无界的，因而只有d ( t ) = o ( 2 1 2 6 ) 化为 q = e ( t ) 妒， ( 2 1 2 9 ) 方程( 2 1 2 7 ) 两边乘以妒，注意( 2 1 2 1 ) 式和u = 丢猫+ a ，则得 一邵妒：学+ 知辔_ 2 ( 甏) 2 _ 3 矾 ( 2 怕。) 上式两边对x 从一o o 到+ 。o 积分，必然有e ( t ) = o ，则( 2 1 2 9 ) 式化为q = o ，即得 到( 2 1 1 3 ) 式 根据( 2 1 1 3 ) 式，因z _ + o 。时，乱_ o ，妒一( ，t ) e 一七一，则得到 鲁= 4 砖c t i ， ( 2 1 3 1 ) 这个微分方程的解就是( 2 1 1 0 ) 式。 对连续谱，因z _ 一。时，钍一o ，妒一n ( 庇，亡) e 一龇因而 妒z $ 嘉如一三e 一妇re 2 妇出，q c 裳+ 如后3 。，e 一枷， 使得( 2 1 2 8 ) 式化为 裳水n 酬口= 掣池如， ( 2 坞2 ) 上式左端只与t 和k 有关，而右端含有一个与x 有关的项后e 2 池如，因而( 2 3 2 ) 式成立 也只有d ( 亡) = o ，这样，( 2 1 3 2 ) 式化为 窑+ 【4 i 七3 一e ( t ) 】n = o ( 2 1 3 3 ) 同样，对于连续谱，在z _ + 。时，让一o ，妒一e 一h + 6 ( 七，t ) e 讹，因而，q 一 ( 甓一4 i 七3 6 ) e 妇+ 4 z 七3 e 一溉，使得方程( 2 1 i 2 8 ) ( 注意d ( t ) = o ) 化为 甓州七3 6 一e ( t ) 6 i e 溉+ 阻七3 一e ( 亡) 妇= o ， ( 2 1 3 4 ) 河南大学硕士学位论文 由此得到 e ( t ) = 如尼3 ， ( 2 1 3 5 ) 裳刊挑 ( 2 1 3 6 ) d ( 亡) = o 和e ( t ) = 4 t 七3 使得( 3 1 2 8 ) 式化为( 2 1 1 4 ) 式。而方程( 2 1 3 6 ) 的解就是( 2 1 1 2 ) 式。 ( 2 1 3 5 ) 式代入方程( 2 1 3 3 ) ，得到 尝：o ， ( 2 1 3 7 ) o o 一j 优 v 、。7 它的解就是( 2 1 1 1 ) 式。 3 利用入( t ) 和妒求解s c 危7 6 磁硼e r 方程的下列逆散射变换问题： 辔”叫) _ 0 ( 一锄 z ) ， ( 2 1 。4 0 ) j z 的解。而积分方程的核为 脚) = 罐。吼) e _ 胁+ 去e m ( 2 1 4 1 ) 它含离散谱和连续谱的共同贡献。( 2 1 4 1 ) 式、( 2 1 4 0 ) 式和( 2 1 3 9 ) 式的证明略， 详见f 1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 1 。 1 0 河南大学硕士学位论文 2 2l 础疗程 从k d v 方程的逆散射变换法知，对于k d v 方程 赛砘赛+ 象_ o ， 的求解实际上化成了关于妒和u 的方程组 ( 2 2 1 ) 窘+ ) _ 0 。， ( 2 2 2 ) 【甏+ 蓑筹一3 ( t + 入) 甏一e ( 亡) 妒= o ， 、7 的求解。其中a 满足喾= o ，e ( t ) = o ( 离散谱) 或e ( 亡) = 4 t 七3 ( 连续谱) l a x 把k d v 方程的逆散射变换法加以推广，他认为求解非线性演化方程 鲁圳u ，赛，昙， 首先需要找到一个合适的本证值问题 厶妒= 一入妒， ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ，其中l 是与u 有关的线性算子。例如，( 2 2 2 ) 的第一个方程，即s 眈r 捌叼e r 方程，l 为 其次，本征值入要与t 无关，即 三三丢飞 烈 ，、 面2 u ， 最后，需要找到一个合适的线性算子m ，使得 甏= 蝴 m 也与u 有关。例如，( 2 2 2 ) 的第二个方程，m 为 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) m 三一昙+ 3 ( 让+ a ) 未+ 础) = 一4 昙+ 6 缸刍+ 3 赛+ 即) ， ( 2 2 8 ) 1 1 河南大学硕士学位论文 根据上述想法，l a x 得到了逆散射变换法的一般规律。 将( 2 2 4 ) 式的两边对时间t 微商，规定筹= 一甓，并利用( 2 2 6 ) 式，得到 筹妒+ l 喾= 一入喾， ( 2 2 9 ) ( 2 2 7 ) 式代入( 2 2 9 ) 式得到 誊= 眦剀， ( 2 2 1 0 ) 它称为l a x 方程，其中 【m ，l 】= m l 一三m ， ( 2 2 1 1 ) 称为p o i s s o n 括号或换位算子，由此可见，l 和m 是自伴的线性算子，称为算子偶。方 程( 2 4 5 ) 和( 2 4 8 ) 称为l a x 对( l a xp a i r ) 这样，求解非线性方程( 2 2 3 ) 的初值问题 j 甓_ ( 乱，爱，瓤) ( 2 2 1 2 ) i 乱i t ：o = 咖( z ) 可以分三步； 第一步是正问题，根据钍o ( z ) ，求解本征值问题( 2 2 4 ) ，并求初始的散射量。 第二步是确定散射变量的时间演变。它根据方程( 2 2 7 ) 和_ + o 。时m 的渐进 式去计算。 第三步是反问题。根据散射量的时间演变由方程( 2 2 4 ) 去求乱( z ，亡) 。 虽然，l a x 在 17 中给出了用逆散射变换法求解非线性演化方程的一般规律，但 是l 和m 是很难找到的，困难之处在于以下几点： 我们必须先猜到一个恰当的l ，然后在找出一个m ，使得他们满足方程( 2 2 4 ) 和( 2 2 7 ) 。 另一个困难在于微分算子一般处理起来是很不方便的。 于是作为上述方法的一种替代，a b o l 而t z 、k a u p 、n e w e u 、s e g u u r 【1 8 提出了一个 更一般的方法，现在我们简单介绍一下。 1 2 河南大学硕士学位论文 现在考虑两个线性方程 也= m 妒， ( 2 2 1 3 ) 仇= 妒( 2 2 1 4 ) 其中砂是一个n 维列向量，m 和n 是两个礼礼矩阵。现将方程( 2 2 1 3 ) 关于变量t 求 偏导数，方程( 2 2 1 4 ) 关于变量z 求偏导数，则有条件 如t = 妒红， 可得方程 舰一虬+ 【m ，纠= o ，( 2 2 1 5 ) 实际上，给定一个算子m ，有一个简便的过程去找另一个算子n 使得方程( 2 2 1 5 ) 包含一个非线性演化方程【1 9 ，2 0 】。 对于半离散的情形，l a x 方程有如下形式： 饥+ 1 = 嘭，( 2 2 1 6 ) 移k ，t = 啊。事h ( 2 2 1 7 ) 或者等价地写为： = m k ，( 2 2 1 8 ) ，t = ( 2 2 1 9 ) 其中是前差分算子，= 嘭一j ，i 是单位矩阵。方程( 2 2 1 8 ，2 2 1 9 ) 的相容 性条件是 侥一+ 朋k - 一( e k ) 朋k = 0 ( 2 2 2 0 ) 其中e f ( n ) = f ( n + 1 ) 是前移位算子。 1 3 河南大学硕士学位论文 现在考虑全离散是的情形，此时l a d c 方程有如下形式： + 1 ，n = 峨竹，n ， ，州= 心n ，n 或者等价地写为： 1 弓“n ，n = 朋f n ，n “n ，n ， 2 ，n = m ，n 其中 1 ，n ：= + 1 ，竹一，n ，竹= 碥，竹一， 2 ，：= ，舛1 一扎，扎= 吒，n 一， 方程( 2 2 2 3 ，2 2 2 4 ) 的相容性条件是 1 2 掣仇，n = 2 1 m ，竹， ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) 即 2 a ，n 一1 m n ，t l + 尬n ，n + 1 m n ，竹一件1 ，n 尬n ，n = o ( 2 2 2 5 ) 在以后的讨论中，我们将使用l a x 方程( 2 2 1 3 ，2 2 1 4 ) 、( 2 2 1 8 ，2 2 1 9 ) 、( 2 2 2 3 ， 2 2 2 4 ) 以及其相容性条件( 2 2 1 5 ) 、( 2 2 2 0 ) 、( 2 2 2 5 ) 从一个给定的线性问题出发去生成一类线性方程已被a b l 0 w i t z 17 】详尽的研究 了。但另一方面，最大的困难在于对一个给定的非线性问题，是否有一套系统的 方法来决定它是否有一个l a x 表示，如果有，怎样来确定l a 耐l 和m 。这一问题在 相当长的时间内都没有得到解决 2 0 】。直到1 9 7 5 年，w 如l q l l i s t 和e s t a b r 0 0 k 2 1 ，2 2 】才给 出了一种系统的方法来寻找一个给定的非线性演化方程的l a x 对延拓结构法。随 后，c o r o n e s 【2 3 】、h a r r i s o n 【2 4 以及脚c h 0 w 血u 巧【2 4 等将延拓结构进行了扩充和变 形，并应用到其它类型的方程中去。而在w 灿q u i s t 和e s t a b r o o k 的延拓结构理论中， 微分几何和李代数方法就已经显示出了在非线性可积系统中的重要应用了。 】4 第三章1 + 1 维半离散的延拓结构理论 3 11 个离散变量以及1 个连续变量的外微分学 本章的基空间是m = z r ，m 中的任意一点为( n ，t ) a 为m 上所有的光滑函数所 构成的代数空间，即： a = 肚为m 上的光滑函数) 定义3 1 1 对于任意的光滑函数，a ，我们现在定义它关于唯一的离散变 量n 的前差分为： 其中的e 为前移位算子， ，( 扎，亡) ：= e ，( 礼，亡) 一，( 礼，亡) ， e ，( 仃，亡) = ，+ 1 ，t ) ， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 定义3 1 2 设( 他，t ) 是空间m = z r 中的任意一点，为以上定义的前差分算 子，岛为关于连续自变量t 求偏导的算子，则定义m 上向量空间v 为由和侥所生成 的空间，即： y ：= 跏。佗 ，侥) ，( 3 1 3 ) 定义3 1 3 设( 凡，亡) 是空间m = z r 中的任意一点，侥如上所定义。现在定 义饼为m 上由 x ，出) 所生成的外代数空间。其中的_ x ，砒) 满足下列关系式： 1 5 河南大学硕士学位论文 = 1 ， = 0 ， = 0 ， = 1 ， x x = 0 ， ( 3 1 4 ) 疵 出= 0 x d t = 一出八x ，一 瓠 = a t ， x ( e ，) = ，x ， 我们注意到以上所定义的x 和m 上的光滑函数是非交换的，它们必须满足一定 的非交换关系。则作为一个r 上的向量空间，q 有基： 1 ，x ，疵，x 出 由关系式( 3 1 4 ) 可得，q 4 作为a 的左模和右模空间是不同的。为了方便起见，我们在 本文中仅仅考虑右模空间的情形。由此可得m 上的c 。微分形式是： q + ( m ) = q o ，：，为m 上的光滑函数) ， 中的元素。 在约定q o ( m ) = a = ，：，为m 上的光滑函数) 后，我们可以得到m 上的外代数 空间q + ( m ) 为分次代数空间： 驴 q + ( m ) = 6 带( m ) ( 3 1 5 ) 七= 0 定义3 1 4 设q ( m ) 为以上所定义的m 外代数空间，现在定义其上的外微分算 子d d ：q 七( m ) _ q 蠡+ 1 ( m ) ， ( 3 1 6 ) 1 - 对于任意的，( 佗，t ) q o ( m ) ，有： 形( 佗，t ) ：= d d ，+ 如，( 3 1 7 ) 1 6 河南大学硕士学位论文 其中的d d 和如分别定义为： d d l = x l ，( 3 1 8 ) d c ，= 疵侥，( 3 1 9 ) 2 若u = x ，( 几，t ) + d 幻( n ，亡) q 1 ( m ) ，贝l | 幽= ：一x 彤( n ，亡) 一d 面( n ，t ) ( 3 1 1 0 ) 则此时由定义3 1 4 可得；对于任意的u = x ，( 佗，亡) + d 幻( 死，亡) q 1 ( m ) ，我们有： 幽= 一x 够( n ，亡) 一班 匆( n ，t ) ， = 一x 出侥，( 他，t ) 一出 x 夕m ，亡) ， 以及 d x = 0 ，d ( 疵) = o 由以上所定义的外微分算子d ，我们可以得到它所满足的一些基本性质 定理3 1 5 设d 是以上所定义的外微分算子，则d 具有性质： ( 1 ) ( 彤) ( u ) = 锄( ，) ，w q o ( m ) ，u v ( 2 )d ( u 丁) = ( 幽) 7 - + ( 一1 ) d e g u u ( 打) ， ( 3 ) 护= 0 ， ( 4 ) ，= o ， ( 5 ) 昭，= o ， ( 6 ) d d 幻，= 一d c d d f 我们现在考虑复合函数的情形。设f = f ( 秒1 ，矿) 是空间m = z r 上的复合函 数，即矿( 6 = 1 ，a ) 是空间m = z r 上的函数。 定义3 1 6 对于任意的光滑复合函数f = f ( 秒1 ，矿) ，我们现在定义它的前 差分为： f ( 1 ，矿) ：= f ( e 暑，1 ，e 秒a ) 一f ( 可1 ，暑，a ) ， ( 3 1 1 1 ) 】7 河南大学硕士学位论文 其中的e 为前移位算子爷我们约定当矿( 6 = l ，a ) 不依赖于离散变量时，则有：缈： 旷，即移位算子对连续函数不起作用，而当矿( 死) 依赖离散变量n 时，则有：五矿： 矿( 佗+ 1 ) 定义3 1 7 设f = f ( 秒1 ，矿) 同上，我们现在定义f 关于第6 个变量矿的前差 分为： 矿f = f 国1 ，助6 ，3 ，1 ，箩a ) 一f ( 3 ，1 ，矿，s ，1 ，y a ) ( 3 1 1 2 ) 定义3 1 8 设f = f ( 耖1 ，矿) 同上，我们现在定义f 关于第b 个变量矿( 礼) 的 形变前差分为： 矿fi e = f ( 可1 ，e 矿，e 扩1 ，e a ) 一f ( 矽1 ，矿，e 剪1 ，e 严) ( 3 1 1 3 ) 现在我们定义： 胙笔羟， ( 3 4 ) m ：= 坐铲， ( 3 1 1 5 ) 则由此我们可以得到以下定理。 、定理3 1 9 对于任意复合函数f = f ( 可1 ，矿) ，我们可以得到下列恒等式： 扩f = 矿厶矿f ( 夕1 ，矽a ) ， ( 3 1 1 6 ) 掣a f i e = 矿厶矿f 白1 ，暑a ) l e ，( 3 1 1 7 ) a f ：矿f 1 ，可a ) l e ( 3 1 1 8 ) 6 = 1 定理3 1 1 0 设f = f ( 1 ，矿) 是空间m = z r 上的复合函数，即： 矿( 6 = 1 ，4 ) 是空间膨= z r 上的函数，则有下列等式成立： d f = d d f + k f ， 1 8 ( 3 ，1 1 9 ) 河南大学硕士学位论文 其中的 如f ：委纠磬 如f = 如矿杀 b = 1 。 ( 3 1 2 0 ) ( 3 1 2 1 ) 证明因为f = f ( 1 ，矿) ，而每一个矿= 矿( 竹，t ) ，所以按照定义3 1 4 ，我们有 d f = x f + 出筹 = x 量( 矿厶矿f + 出量喾磬 = x ( 矿- 厶矿fi e ) + 出并嚣 6 = 1b = 1 。 = 喜d d 矿厶矿fl e + 壹如矿磬6 = 16 = 1 9 = d d fj 广d c f 这就证明了定理3 1 1 0 3 2 半离散的延拓结构理论 在介绍该理论时，我们以下列形式的半离散非线性演化方程为例 如咖嚣= f a ，佗，妒乞+ n i ：一1 ) ， ( 3 2 1 ) 即我们要讨论的是a 个半离散的非线性演化方程，它们关于连续变量t 是二阶的，关 于离散变量也是二阶的。 对于方程组( 3 2 1 ) ，我们首先设新变量 簖= 侥硝， 织= 以一以一， 则此时将所设的新变量织，簖代入方程组( 3 2 1 ) 后，我们可以得到一组新的方程 组 侥簖一g a ( t ，礼，以，以，以+ 1 ) = o ( 3 2 2 ) 1 9 e f 矿 yd d a 汹 = f如 河南大学硕士学位论文 则我们知道原方程组( 3 2 1 ) 与新方程组 i 侥妒嚣一g a ，n ，妒乞，以，以+ 1 ) = o ， 镌+ 1 = 珐+ 1 一以， ( 3 2 3 ) i 磁= 侥簖 是等价的。 此时，我们从方程组( 3 2 3 ) 出发，定义出延拓空间m = ( 礼，亡，妒嚣，以，以，识+ 1 ) ) 然后，我们在空间m 上定义出一个由外微分2 - 形式0 f 5 n ) 所构成的集合i = q 5 哪) ，并 且i 满足下列条件：当i 限制到子集合= ( 佗，t ，硝( 亡) ，以( t ) ，识( 亡) ，记+ 1 ( t ) ) ) cm = ( 佗，t ，妒嚣，以，镌，嗾+ 1 ) ) 上，并且令q ：n i = o 后，可得方程组( 3 2 3 ) 然后，我们通过引入新的变量城而将空间m = ( 礼，t ，妒鲁，镌，怯，以+ 1 ) ) 延拓 为m y = ( n ，t ，妒0 ，织，织，娠+ ，城) ) 对于依赖于延拓空间m y 中的任意一点( 妒嚣，以，识，兹) 的函数f = f ( 簖，织，以， 姥) ，调整变量，将函数f 写作f ( 城，妒嚣，以，识) ，注：这是很必要的。 则现在按照定理3 1 1 0 ，有： d f ( 城，妒嚣，以，识) = 如f + 如f = 幻城厶谵f i e + d d 妒嚣厶妒嚣f i e + 幻以厶镌f i e 。 + d d 镌厶镌fi e + 如城e 谵+ 如妒嚣f ，簖 + 如以f 鸱+ 幻怯e 以 在延拓空间m 】，上，我们已知道有下列等式成立： x 如破= x 幻簖= x 如以= x 而镌= x 如织+ 1 = o 我们再进一步要求下列条件成立： 出 曲如= 疵 幻妒嚣= 班 d c 以= 出八如以= 砒 如镌+ 1 = o 河南大学硕士学位论文 我们定义新的外微分二形式： 谗) 七= 班 如砖= o ， 1 ，) a = d t d c 妒鲁= o ， 毋”= 出 如以= o ， 沓) 2 = 疵 如以= o ， 毋) 。= 出 d g 织+ 1 = o 使得外微分形式的集合，= a 5 t 1 ) 七，谗冲，谬冲，0 叫：歹= 3 4 5 ) 本身构成一个半离散 的微分闭理想。 现在我们再在延拓空间m y = ( n ，t ，妒嚣，以，以，以+ 。，如) ) 上引入新的外微 分1 形式 以= 蹴+ x 一( 城，妒0 ，以，以) + 砒g 七( 如；妒0 ，以，以) ( 3 2 4 ) 由此，我们可以定义出一个新的外微分形式所构成的集合，= ，砖) ，其中的尼是 延拓变量幺或者外微分1 一形式以的个数。 然后，我们要求扩充后的外微分形式集合j = ，砖) 仍然构成一个半离散的 微分闭理想。则由于本身已经是一个半离散的微分闭理想了，所以条件 d u l 、ci fc i m 自然成立，我们现在只需要条件 d 壤c i h 成立，或者等价地，条件： 嗽三o ( m o 叫川，7 p ，谬m ，谬v ，落”，谬v ，以) ， ( 3 2 5 ) 成立即可了。 在条件( 3 2 5 ) 下，我们可以得到域中系数函数一，g 知