（基础数学专业论文）部分信息下的以幂函数为效用函数的终值最大问题.pdf

本文班究在郝努售息胃获褥的环境孛，姿效曩遁数蠹x n f o a 1 ) 时，效矧疆 数的终值激大问题。首先，文章证嘲了一个关于一类反向随机微分方程解法的定理。 然后通过这个定理，文章获得了上蕊优化阐魈的一缎解，但是它不是摄式解。为了 获得数德解，在下溢的一节燕，乖j 蘑数值计算中的欧拉方法，对上面所褥翻的耨送行 估计在最后，利用计算机，得到在某种较简单情况下的精确解和对应的数值解。 关镳调：反向随机微分方程，效甩函数* e ，最忧解，数德解 m a ) ( i m i 茹i n gt h ee x p e c t e du t i h t yw i 七hp o w e ru t i l i t yf u n c t 沁n f r o mt e r m i n a lw b a l t hw i t hp a r t i 啦l n f o r m a t i o n z 毯q i 珏珏gl i ( a p p 醯m 或h e 糯赫i c s ) d i r e c t e db y p r o j i e x b n g 1 m i sp 8 p e r 矗t t b e k st h e 靴洫i z a 恚 能p r o b l e mf 。rt 蜘e x p e e t e du t m t y 硝谲ot e r m h dw 酬t h w i t hp 驸t i a ii n f o r m a t i o nw h e nt h eu t i u 姐m n n i o ni 8 并。( 0 n 1 ) ，f i r s t l y ，t h ep a p e r p r o v e at h e o r e m8 b o u ts o l v i n gac l 聃so fb s d 挑b yt kt h e o r 斟n ，咖i sp 印e ro b t 8 i n & s o l u t i o nt 0 椭e 罐 l m 畦8 耄r 酶基y 玟建i tl s 鞋o t8 bo 警l i c ts n l 斡t 量。n 。篁bo b t a 瓤t 轴b h b l e 彝翻矗s o k t 。珏。至nt bl 城睹 p 8 r t ，t h e x p l 耙托s 瞳u 畦o ni 8 嘶h n 啦e db y 硝i n ge u j e rm 删1 0 d f j n a l w 赫t h ec o m p u t e r ，w e o b t a j nt h ee x a c t8 0 l u t i o na n dn u m e r i c “8 0 l u t i o ni no e r t a j ne 删秤c o n d 址把i n k e y ，0 r d 8 ： b s d e ，t h eu t n 埘矗m c t i o nx “，o p t i m a l8 0 h l t i o n ，n u m e r i c a l8 0 h 玉t i o n 记号 五或x ( ) t e x e ( x l 口) l 2 ( ；) 或驴( ，；) g 0 ，列 2 0 0 x 全文通用记号 时刻的总财产 t 时刻的投资在股票的财产比例 x 的期望 x 在g 下的条件数学期望 2 次可积空间 区间 0 ，t 】上的全体连续函数组成的空间 以e 为底的x 的对数 第一章部分信息下的投资优化问题的简介 本章首先简单地介绍投资优化问题的提出及关于它的一些主要研 究成果然后介绍了在部分信息下的最优化问题，并给出数学模型最 后，给出了应用滤波对这个问题的一些相关结果 1 1 引言 一般的，投资者在投资的对象上有两个选择：有风险的和没有风险的。而一个投 资者经常要面对的投资问题是，如何选择一个合适的分配比例。也就是说，分别给 有风险的( 如股票) 和无风险的( 如存款) 投入多少钱这个问题已经被许多作者 研究过( 如m e n o n 【1 】) 由于有风险资产的价格所满足的随机微分方程( s d e ) 中的布 朗运动和漂移系数，往往是不能直接被观察的，而且不能被准确地估计。这也就是 说一个投资者可以获得的信息流 矗) 一r 是不完整的一个合理的假设是t 投资者 可以获得由过去的有风险资产的价格组成的信息流( 部分信息的) ，我们把它表示为 慨l 。，。因此只有慨) o 。r 适应的过程是可以观察的很容易看出，部分信息的 模型更加合理，并且对它的分析要比通常的完整信息模型更加复杂。基于部分信息 模型，y 抽g 吼a 1 【2 | 、培和m a 【3 l 得到了对于最大化终身消费期望效用的最优策略和 最优投资策略，以及相应的信息价值的估计公式。y h g 和j i ex l o n g 4 】研究了对于最 终价值，期望效用的最大值及相关问题。在这篇文章里，我们主要研究当效用函数 为幂函数x a ，( o n 1 ) 时的问题 首先我们先证明了一个关于一类反向随机微分方程( 曰e ) 的解的定理。然后， 我们运用这个定理研究上面提到的问题，从而得到最优化投资策略问题的解，最后， 因为我们得到的解不是一个显式的解，所以我们在最后运用数值计算里的欧拉方法， 对结果进行数值估计，再用计算机计算给出了某种较简单情况下的精确解和数值解 并进行比较。 这篇文章是按照以下安排的t 在本章第二节，我们介绍部分信息下的投资模型 和应用非线性滤波技术对平均增长率进行估计。在第二章第一节中，我们证明一个 定理，运用它可以解在下一节出现的随机微分方程。在本章第二节中，我们获得了 当效用函数为幂函数时的结果。但是结果不是显式的。在最后一章中，我们运用欧 拉方法对上面得到的解进行估计。 2 引营 l 。2 投资横鳖秘滤波 我们现在考虑时间间隔 o 明上的投资优化问题。一个投资者所面对的缀济环境 往往不整确定静，会稳善嚣孛阉 i 嚣发生改变。为了蘩嚣这样一令随祝环境，我们穗一 个概率空间来达到这个目的。假设在市场上有两种资产可以获得，它们的价格设为 懈，是) 。( 鼠，鳓满足下边的随机微分方程： d b t = n b t 出，( 1 2 1 ) ld s e 篇m & 出+ d 濑西嗡，o 曼t 基t 其中n 表示讴行稍攀，挥发率魄是一个确定静过程，w ；是一个布朗运动，增长率 是一个随机过程，宦满足下邋的随机微分方程： 审= 掣露+ 琏鑫孵+ k 硅；露，o 寰t z ( 1 2 、2 ) 其中n ，6 ，b 都为常数，。是一个与t 相蕊独立的搿朗运动。 设曩一一( 稚，韩警：e 茎$ s ) 穰袅= a ( 墨：o s s ) 弱么交裁疑投资者纛0 霹刻 可以获得的信息。它必是个部分傣患， 假设投资者的初贻资产为舶。并且他将采取自筹资金投资策略，也就熟说，将 没有任 莓戆段惑分数竣蓑是遭魏骢授蜜c f 孰箍e 囊，p 瞒) 。辍援在t 羚，司辩裁，燕授 资到有风俄资产的钱占他总资产的比钢为其它的激产都投入剿无风险的资产中。 那么他的资产过程并= 托) o t ，满足，v 0 墨t t 绒= 警蛾+ 学礅 ( 1 2 = ( r t 十霄l ( m 九) ) 置出+ 拶t t 噩d 耐 霆隽我翳廷耱褥弱群分绩惠，黪淡遘程玩 。e 笋鑫缀疑舔 瞪g p 透应静。 综上所述，这个投资策略i 荀髓可以这样描述： 缸蠢慧。帮嘶) l ( 1 2 ，4 】 对于以下限制条件 舷 = 印癣+ a l d 孵+ 如d 辨，( 1 蛐) id 赫= ( r t + 机( m r t ) ) m + 口t 几戳d 咐，os # 羔掣 箕孛 鼠 婚s r 是可以蕊察鹣过程，鬻 p t o s 蜒r 是个不麓蕊褰的过程。嚣魏，f 1 2 越 年h ( 1 25 ) 是一个对于部分可观察的动态系统的最优化问题 令 m 崔目( m f 吼)m 篇嚣( ( 脚一m t ) 2 限)( 1 2 6 ) 下嚣戆结论基经纛辍孛坡诞骥。 定理1 2 1 妒设 脚，l o t t 是满足( 1 2 ，2 ) 和( 1 2 1 ) 的随机过糕。若p m o 兰。) 是以 蛳为期望以咖为方差坶菇新过程，避一多我们假设存在两个常数o c l 三现 o 。 使得对于所有曲t r 霸，我们都有c ls 巩纯，那么m t 和恤满足下萄曲方程羝j ：嚣繁攀媚r 。 铆如果，莠跨韫设吼= 一是一令蒂觳，群么我们可议获褥下羲毽氇姆燕武释二 穗一 g 尹”嚣酬孕纠。1 端：。 莫中 a 高。口2 一h l 盯 他出a 士、a 2 + 鹾口2 理农貔# 】通慧裁努形式来定义一令毅熬过程，如下； 碱= 去( 警呐疵) 2 8 ) 巩魂 卣菲线性滤波的溅论可知，谫= 戳) o s r 箍一个穰攀空间( n ，蠡，只晒) o t ! t ) 上的 布朗运动。因此( 1 2 3 ) 式可以变为以下的形式： d 托黜( n x + ( m t r 。) m 噩) 疵+ d t t 噩d 形t ( 1 刍，9 ) 袋爱圈襻浆方法，篷1 2 渤鼗( 1 。2 。强骞荔褥翔 d m t n m t 出+ 她型也d f 1 2 1 0 1 3 第二章幂函数为效用函数的最优策略 本章我们首先介绍一个定理，利用它可以获得一类反向随机微分 方程的解。接着，我们运用这个定理研究上面提到的以幂函数为效用 函数的最优策略问题，得到为使得最终期望的财富最大的投资方案。 2 1 解一类反向随机微分方程一个的定理 在这一节中，我们主要证明一个在下边一节中将被用到的定理。 考虑下边的反向随机微分方程； j d y ( 亡) = m o ) l ，( t ) + l 岛( t ) 而( t ) + ，( 。) ) 出+ z ( 。) d ( 。) 。【0 ，卅 ( 2 1 1 ) iy ( = 其中w = m ) o g t 是个概率空问( n ，吼，p ，倾) o t s t ) 上的布朗运动， ( ) b l ( ) 且m ( ) 为舻中的有界慨 唆! t - 适应过程，”) 碣，( o ，e 兄) 且l 3 ，( n ；舻) 。 下边的定理给了我们一个解上边这个反向随机微分方程方法 定理2 1 1 设a ( ) ，b l ( ) b 。( ) ，工嚣( o ，孔且。) 。那么，对于任意”) 工0 ，( o ，t ；舻) 和 珐，( n ：舻) ，b s d e ( 2 1 1 ) 有唯一的解澎( ) ，z ( ) ) e 氆 ，( q ；g 【0 ，卅，r “) 嘲r ，( o ，孔舻“) ，并且存在一个常数耳o ，使得 e 。潞h 善e 上川阳鲥珊邶上阳) ( 2 1 2 ) 证明我们首先考虑两个舻n 上的随机微分方程： j 锄( t ) = a ( t ) 西( t ) + 凳1 岛( ) 丑j ( t ) 巾( t ) ) 出+ 器l 马( 旬壬( t ) d h 厅( 。)( 21 3 ) 【士( o ) = j j d 屯( t ) = 一皿( t ) ( t 廊一凳1 皿( t ) b j ( 。) 椰谰 眦4 ) i 皿( o ) = j 因为( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 是通常的系数有界的线性隧机微分方程，它们分另4 有唯一的 五 。g s t 一适应的解圣( t ) 和平( t ) ，其中 五 o ( s t 是由( t ) 生成的过滤结构。运用伊 藤公式，我们有 4 部分信息r 的以幂函数为效用函数的终值最大问题5 d ( 皿( ) 币0 ) ) = 一皿( t ) a 0 ) 中( t ) 出一器1 霍( t ) 马0 ) 西( ) d w 7 ( ) + 田( t ) 阻 ) 西牡) + 凳，马( ) 岛( t ) 垂( t ) 】出+ 譬1m ( t ) 马( t ) 垂( ) d ( f ) 二1 皿( ) b j ( t ) 毋( t ) 中( t ) 出 = 0 ( 2 15 1 因此，注意到霍( o ) = 垂( o ) = ，我们一定有 m 一1 ( t ) = 币( t ) v 【o ，卅p 一s( 2 16 ) 下面，我们假设( y ( ) ，z ( - ) ) 是( 2 ，1 1 ) 的一组适应的解。对电( t ) y ( t ) 应用伊藤公式，我 们有 d 印( t ) y ( t ) 】= 一皿( t ) a ( t ) y ( ) 出一罡1 皿( t ) 马0 ) y ( t ) d w ( t ) + ( t ) a ( t ) y ( d + 器l 马( t ) 蜀( t ) + ，( t ) 】d t + 譬1m ( t ) 历( t ) d ( ) 一銎l ( t ) 马n ) 乃( t ) 出 = 毋0 ) ，( ) d t + 嚣l 皿( ) 【历( t ) 一马( 芒) y ( t ) 】d i 矿( t ) ( 217 ) 因此 皿( 。) y ( 。) = 田( t ! 一fm ( 8 ) ，( 8 ) 如一暑1f ( 8 ) 旧( 3 ) 一岛( 8 ) y ( 圳4 咿( 8 )( 21 8 ) = 口+ 露皿( 。) ，( s ) 如一墨1j ； f 。霍( s ) f 而( s ) 一马( s ) y ( s ) 】d ( s ) 忙( t ) f j ( 7 帅) ，( 8 ) 如 ( 2 - 1 9 ) 在式( 2 1 8 ) 的两边取条件数学期望e ( j 吼) ，我们有 叩) 坤) = j ( ( 啪如+ 即t 【o ，列 ( 2 1 1 。) 由( 2 1 1 0 ) ，我们可以定义其中一个解为( 注意( 2 1 6 ) ) t 坤) = 吣) j ( 吣) ，( 枷s + 踯) ，挺咿】 ( 2 1 1 1 ) 其中中( 句和m ( 分别是方程( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 的解，目巳由式( 2 1 g ) 定义给出。 我们现在证明( 2 ，1 1 1 ) 所定义的y ( ) 和某个z ( ) 一起可以组成( 2 1 1 ) 的一组适应解。 首先由( 2 1 1 1 ) 和( 2 1 9 ) ，我们有： ，r l ，( t ) = 垂( t ) 7田扣) ，0 ) 如+ 口) = 中( t ) 母( t k = 车( 2 1 1 2 ) j 0 6 幂函数为效用函数的最优策略 接着，因为蟊( 8 蕊) 楚一个平方可禚静鞅，应慝嘲中静? 8 矗l ，我弼髓技捌个唯一 q = ( f 7 1 ) l ，( o ，t ；m 。) 使得 删瑙+ 善工拍) 删( s ) 啪嘲卜m ( 2 1 聃) 闲魏，鑫f 誊1 1 1 ) 程2 1 1 3 霹得 y ( t ) = 巾 j ； 皿( s ) ，( 8 ) 幽+ e 器1 矗珊( s ) d i 砌( s ) + 点田， f 2 。1 1 越 r - 尊( t ) r f )，v 亡融霸产一8 矗 戍用伊浆公式，我们有： d y 嚣 ( t ) 蚤( 涉( t ) + 鍪l 岛( ) 秘( 辞每f t ) r ( 妨盘+ 器i 马蛋( e ) r ( t ) 蠢话皤f t ) + 西( ) 螗( t ) ，( t ) 出+ 暑1 前( t ) 啦( t ) d ( t ) + 釜1 岛( 由( t ) 协( ) 疵 = 点( ) y ( ) 黧l 逸器l 岛( y f l ) 蝰f t ) 珞器) 十， ) 斑 + 翟1 峨( t ) y ( t ) + 币( t ) 协( t ) l d ，( t ) ( 2 1 - 1 5 ) 嬲虼，定义z f 一( z i ( ) - ) ) 热下 忍( t ) ：燃岛( t ) y ( t ) + 垂( t ) 协( t ) t 扣，卅 p 一盘点， l 曼js m 笄置应餍疆1 1 2 ) 秘( 2 1 i 5 ) ，我e j 可知( y ) ，茹( t ) 五妒e 。叠舻) 三蠢镊豇舻) 满 足( 2 1 1 ) 。接着我们证明( y ( ) ，z ( ) ) 工，( n ；g 队t 】，舻) 该( o ，誊舻。”) 。为了这个目 黪，我 】黠每令n 定义一个灏 。惫p 箨对t - 鞋器o ：譬l 茗( s ) 2 凼n z 。簸然 递增熊于t 一0 s ) 当n 一对( t ) l 。应用伊藤公式，我们有 嚣| y o ) 护+ 昱9 1 饕ll 玛f s p 3 一窖y 口 ) | 2 2 e 譬“ y ( 。) ，a ( s ) y ( s ) + l 朵，马( 。) 与( s ) + ，( $ ) ) d s 墨e | y 四a ) 1 2 + 群嚣 | y ( 印1 2 l ，8 ) 产 妇+ ；茸譬“凳l 黾8 ) 1 2 拈 因此， 。 一 。 ，n 、 暑嚣上 l 彩f 幽篓碧 星l y 蹿 p + 譬五 溅蚓2 泰 设n o 。应用f 龇o u 引理，我们有 m t 萎e j ( 荆洲删枷j ( 阻1 6 ) 这表瞬嚣( ) & 溉叠融) - 部分馆息下的以幂函数为效用函数的终值簸大问题7 我们现在证嘲y ( ) 占醵( o ；烈( o ，q i m ) ) 。由( 2 1 1 5 ) 帮( 2 1 1 2 ) ，对于某个k ； 厶k ( o ，丁；舻) 我们荫 一f y = 一f ( $ ) 幽一f 嚣d ( 8 ) t 飘司 j tj t 瓣托，由持o 。b 不等式，我嬲骞 ( 曰f s u p 蝇【o ，邛f y ( t ) 2 ) ) 墨( 层惦 2 ) + ( 霹 譬臻( s ) d 8 ) 2 ) i + 嚣f 譬牙( s ) 鼎矿( 8 ) | 2 ) + ( e s t i 乳辩，室ll 菇z 轴 $ i 矿扫) 尹) ( 蚓e l 。) + v 臀旧j 手l h ( a ) | 2 幽) + 5 忸口l 岩( $ ) p d s ) j o 。f 2 1 ，1 7 ) 遣表明y ( ) + ( n ；c ( 【0 1 砒舻) ) 而且因此( y ( ) ，z ( ) ) 是( 2 1 1 ) 的一组适应解。再由 ( 2 ，l ，1 8 ；秘( 2 l ，1 7 ) 我j 缛爨馈诗射f 2 。l ；2 。虽然鹭等号戒立时，唯一性可褥。 2 。2幂函数x “( o a 1 ) 为效用匿数的蕞优策略 我们现在考虑时闻间隔1 0 ，硼 在速一节，我# l 骚究瓷簸霆螽数是幂蘸数舻樽a l i 辩懿最捷繁臻阕磁，势 且得到弱和- t 的公式。 缓竣a 滚是下速鹣疆枧微分方程： j 妣一w 舭口i 1 ( m t1 ) p t 佩( 2 忠1 ) l 趣= l 那么应用伊藤公斌有： d 溆藏) ；毋孙旋积+ 1 汹一如) 菠p i ) 溅 因此，m 戴是一个当鞅，因此 现在，我# 】考虑鞫题 限利条 牛为 e 嘛魁) = e ( p o 赫 = 掣嚣砰( o k 。设 u 6 ，南6 ) 宰( 0 1 ) d ，女6 ) 一( ( j 1 ) 占，岛d ) r ( o 1 ) 6 m p ( 0 一1 ) 正岛d ) b ( o 一1 ) j ) 矿0 一事矿( 0 1 ) 6 ) ) 令 n “( k d ) = 等：( p 。( t ，6 ) ) 矗 现在，我们要对饥和风进行近似。 设d n = 町1 d 1 0 9 鼠。因为巩吼，所以，r c 吼。由g r 8 8 n o v 公式，地与相互独立， 且n 是一个概率测度芦下的布朗运动，其中神= 蜥舻且 b s 眦= 厶，一h 一：r ( 加一抄矿a s ( 3 ”) 1 2 数值解 令 鼢，i 露f ，( 脚m 幺)w 魏( 帮) 其审砚是一个最娩滤予。 由k 赫l l 口p u r s h 沁b e l 公式，我们能表示“为 w = 黜 其巾，对于，魏( 置。) 壤，奔= g ( ，铷 矗黢) 楚j # 标准亿滤波。这里巍怒指概率测度乒下酶数学期望。 设“ ，p 与m 独立同分布，另令露= 筘当 t o 鑫( 3 ，l ，8 ) 绘妊 。 部么下边的定理已经在剐被证疆。 定硼3 1 2 连续条件( 3 1 8 ) 满足。那么对于每个阐定的f ，存在m o ，使得对所有n 有： 宫( p 研) s 甍 英中p 定义在捌，点秘距离，掰f 第) 上的拓嚣舞耪收藏拓势。曼产鼹蟹麓，设 躲 c 瑶f ) 是岛霄) 酶秘密子案。 我# 定义 、一a ) i 施“嘲2 轰锗 k = l。l i 一 其中 。= 嚣俐+ 。器。遮毒掣 部分信息f 的以幂函数为效用函数的终值最大问题 1 3 因此，易见 e i m 一m e l 一0m 一。) 其中 衅黜 ( y 1 ) 下面我们如下定义婶和雎分别用来近似乩和m 蜷= o f l ( m ? 一n ) ，吐疗= 一r t p n 出一6 7 醪d - 矿t 使得 e 。兰罂) - 1 扩( 譬) ”( 譬) 一万1 饥蚓2 一。 ( 3l 国 且 e 。糌扩( 紫) - l 听甲一。 ( 3 1 l 。) 那么，我们可以定义 嚣；州譬) _ l ( 叭譬妒( 警) + 州譬) ) 定理3 1 3 当n o o ，我们有 e i 邵一j i o 证明由式( 2 2 8 ) ，( 3 1 6 ) ，( 3 1 9 ) 和( 3 ，1 ，1 0 ) ，易得 3 2某种简单情况下的数值对照 本节我们给出在一种较简单情况下，应用上面讨论的方法，分别给出准确值和 近似值进行对比。 设n = o o l ，巩= 1 ，弱= 1 0 0 0 0 ，m = l o o ，n = 6 l = 6 2 = o ，m = p o ( o ，1 ) 1 4 数值解 t i m e x t 叉 n = 1 0 0n = l 0 0 0n = 1 0 0 0 0 t=11 0 1 0 3 1 0 41 0 2 0 0 1 0 41 0 2 0 0 1 0 41 0 2 0 0 1 0 4 t=21 0 2 0 6 1 0 410 2 1 7 1 0 41 0 2 1 7 1 0 41 0 2 1 7 1 0 4 t=31 0 3 1 1 1 0 t10 3 6 4 1 0 41 0 3 6 4 1 0 41 0 3 6 4 1 0 4 t=41 0 4 1 6 1 0 41 0 6 1 8 1 0 41 0 6 1 8 1 0 4l ，0 6 1 8 1 0 4 t=51 0 5 2 3 1 0 1 1 2 0 4 1 0 1 1 2 0 3 1 0 41 ，1 2 0 3 1 0 4 r=61 0 6 3 1 1 0 4 1 2 7 8 1 1 0 41 2 7 7 6 1 0 41 2 7 7 5 1 0 4 t=71 0 7 4 0 1 0 41 7 2 5 3 1 0 41 7 2 2 9 1 0 d1 7 2 2 7 1 0 4 t=81 0 8 5 0 1 0 42 9 9 9 0 1 0 429 8 9 6 1 0 42 ，9 8 8 7 1 0 4 通过上面的表格，我们可以看到：当时间t 较小时，x r 和) 嚣相差不是很大另 外，当”变大时，x r 和焉的整距变小 参考文献 【1 】m e r t o n ，r c ( 1 9 9 0 ) g o n t i n u o u 舢t i 地f 抽a c e a b 勘b n d 辞：b 1 8 c l 删蚺1 嘲y 如g 棼0 ，l i ，z z 8 n dz h 挑，j 、z ，( 2 0 0 1 ) + e x p l i c i 毫y8 0 l u t i 硼) rt h e 婶娃m 甜蛳瓣8 盯 b rt h e i n v e s t m e 蚍c o n 8 u i n p t | o nw i mp 龇埘i n f 0 皿a t i o n a p p l 醣dp r o b 柏m 钾曲ds t a t i 日t i c 81 6 ，3 9 m 3 9 8 黼冁啦昏z 。3 ，柚莲m # ，g 龟撺糙i ) ，o 坤i 糖畦蛔撼i 勰鲁砉嘶e 帮稍疆p 哦镒h f o r m 8 t i o n ：癌e 瓣坤l i f 醴 觚d 粤种m i di n m e 】8 i i