（计算机科学与技术专业论文）参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接.pdf

摘要 参数曲线曲面凸性分析和曲面拼接问题都是计算机辅助几何设 计( c a g d ) 中的重要课题。本文对b 6 z i e r 、b 样条两类参数曲线曲 面在造型中的凸性问题做了进一步研究，主要是从几何上探讨控制顶 点与参数曲线曲面的凸性关系，得到一些充分条件。将这些条件应用 到曲面的拼接问题中，推导出参数曲面连续保凸拼接的几何条件，给 出了曲面的保凸拼接实例。 第一章介绍了近年来曲面造型中有关凸性问题的一些主要研究。 第二章首先提出了平面参数曲线全局凸的定义，证明了带有控制 ( 特征) 多边形的b 6 z i e r 曲线的全局凸性定理。其次，在局部凸的 情况下，我们得到曲线局部凸的定义，并证明了特征多边形为凸时 b 6 z i e r 曲线也为局部凸这一性质。对于b 样条曲线这些结论也是成 立的。 第三章主要是对给定控制网格的b s z i e r 曲面进行凸性的分析， 导出曲面为凸时控制顶点应满足的条件，我们的结论包含了华宣积的 b 6 z i e r 曲面的凸性定理。还建立了网格的几何形状与曲面凸性之间 的联系。对于均匀和准均匀b 样条曲面，也得到了类似的结论。 第四章将凸性条件应用到拼接问题上，对于给定的一被拼接曲 面，我们给出了能保持曲面原有凸性的一种算法。同时列举了b 6 z i e r 、 b 样条曲面保凸拼接的实例。 关键词：c a g d ，曲线曲面，控制网格顶点，凸性，保凸拼接 p a r a m e t r i cs u r f a c ec o n v e x i t ya n dt h ec o n t i n u i t yo fs u r f a c e p a t c h e sa r eb o t hi m p o r t a n tt o p i c si nt h ec a g d t h i sp a p e ri s af u r t h e rs t u d yo ft h ec o n v e x i t yi nt h em o d e li n go ft w ok i n d s o fp a r a m e t r i cc u r v e sa n ds u r f a c e s ，i e ，b 6 z i e r ，b s p l i n e i t m a i n l ye x p l o r e st h ec o n v e xr e l a t i o nb e t w e e nc o n t r o lv e r t e xa n d t h ep a r a m e t r i cc u r v ea n ds u r f a c ec o n v e x i t yi ng e o m e t r y ，f r o m w h i c hw eh a v eo b t a i n e ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s b a s e do n t h e s ec o n d i t i o n s ，w eh a v eg o tt h eg e o m e t r i c a lc o n t i n u i t y c o n d i t i o n sb e t w e e nt w oa d j a c e n tp a r a m e t r i cs u r f a c e sp a t c h e s t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e ss o m em a i nr e s e a r c hr e l a t e dt o t h ec o n v e x i t yo fs u r f a c e m o d e li n gi nr e c e n ty e a r s t h es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e st h ed e f i n i ti o no ft h eg l o b a l c o n v e x i t yf o rp l a n a rp a r a m e t r i cc u r v e s ，w i t hw h i c ht h eg l o b a l c o n v e x i t yt h e o r e mo f b 6 z i e rc u r v e sh a sb e e np r o v e d w h i1 e a p p l y i n gt ol o c a ls i t u a t i o n ，w eo b t a i nt h ed e f i n i t i o no fl o c a l c o n v e x i t y a n d p r o v et h a tb 6 z i e rc u r v ei s c o n v e xw h il e c h a r a c t e r i s t i cp o l y g o ni sc o n v e x t h e s ep r o p e r t i e sa r ea l s o t e n a b l ef o rb s p l i n ec u r v e s t h et h i r dc h a p t e rc h i e f l ya n a l y z e st h ec o n v e x i t yo fb 6 z i e r s u r f a c ew i t hag i v e nc o n t r o lm e s h ，d e d u c e st h ec o n d i t i o nw h i c h c o n t r o lv e r t e xs h o u l ds a t i s f yw h e ns u r f a c ei sc o n v e xa n di t s e x p r e s s i o n i ta l s oe x p l a i n st h ec o n v e x i t yt h e o r e mo fb 6 z i e r s u r f a c ep r o v e nb yh u ax u a n j ii sa ne s s e n t i a lc o n d i t i o no ft h i s c o n c l u s i o n w es t i l lh a v ee s t a b l i s h e dt h er e l a t i o nb e t w e e n m e s hs h a p ea n dc o n v e x i t yo fs u r f a c ei ng e o m e t r y a sf o rt h e u n i f o r ma n dq u a s i u n i f o r mb - s p l i n es u r f a c e ，t h es i m i l a r c o n c l u s i o nc a nb ed r a w n t h ef o u r t hc h a p t e rw i l la p p l yt h ec o n v e x i t yc o n d i t i o nt o s u r f a c ec o n n e c t i o n w eg i v eo u ta n c o n v e x i t yp r e s e r v i n g a l g o r i t h mf o rt h eg e o m e t r i c a lc o n n e c t i o nb e t w e e nt w oa d j a c e n t p a r a m e t r i cs u r f a c e sp a t c h e s s o m ee x a m p l e sa r eg i v e ni nt h ee n d o fp a p e r h 1 k e yw o r d s ：c a g d ，c l l t v e sa n ds u r f a c e s ，c o n t r o lv e r t e x ，c o n v e x i t y , c o n v e x p r o s e r v i n gc o n n e c t i o n 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 第一章绪论 1 1 计算机辅助几何设计概述 计算机辅助几何设计( c a g d ) 是- - f - j 新兴的边缘学科，是与应 用逼近论、微分几何、代数几何、线性代数、数值分析、拓扑学、微 分方程、分形小波等近代数学各个分支以及计算机图形学、几何造型、 数据结构、程序语言、机械加工、外型检测、三维医学图象学、人体 解剖学等学科的交叉和渗透。它主要研究在计算机图象系统的环境下 对曲面信息的表示、逼近、分析和综合。它肇源于飞机、船舶的外形 放样工艺，由c o o n s 、b d z i e r 等大师于2 0 世纪6 0 年代奠定理论基础。 典型的曲面表示，2 0 世纪6 0 年代是c o o n s 技术和b d z i c r 技术，2 0 世纪7 0 年代是b 样条技术，2 0 世纪8 0 年代是有理b 样条技术。现 在，曲面表示和造型已经形成了以非均匀有理b 样条参数化特征设计 和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值、拟合、逼近这三种 手段为骨架的几何理论体系。 浙江大学数学系c a g d & c gg r o u p 近十年来创造了计算机辅助 几何设计的许多新技术和新方法，包括b d z i e r b s p l i n c n u r b s 曲线 的包络生成技术，离散b 样条计算技术，有理圆锥曲线段b e m s t e i n 基表示技术，广义b a l l 曲线曲面表示和求值技术，复杂b 样条曲线 曲面插值技术，有理曲面任意阶几何连续拼接技术，参数曲线曲面求 交中离散层数的先验性技术和离散最佳终判技术，有理b d z i e r 曲线曲 面的求导求积技术，曲线曲面等距性中的复分析、重新参数化和代数 硕士毕业论文 几何技术，曲面变形中的活动球面坐标技术等等。 致罨器究领域看，诗算枫辘动尼傅设计怒研究魏蟊的表示、藩医求 交和曲蕊的拼接，扩展到基瑟变形、遮面羹建、曲恧简化、曲蘑转换 和曲面位差；从表示方法来肴，以网格细分为特征的离散造型与传统 的连续造型相比，大肖后来者居上的创新之势。而且，这种曲筒造型 方法在燕动逶真的特征动番耨雕塑鼗瑟豹设诗翻工中翔鱼得承，褥到 了赢度的运用。 当前国际研究的热点，如有理参数曲颇的多项式逼近，降阶逼近 和隐式逼近，网格曲面的细分逼近，曲面甄化和变形，曲面重建和简 纯，蓝瑟拼接和求交，益面德差计算和萄瑟区闻分析等。最新的研究 成果涵篆了基线遗殛的诗算褫表示、箍僮、拟会、遥远、攒接、离教、 转换、求交、求导、求积、变形、区间分析和等距变换等方面。 其中曲面的凸性是几何外形设计的堂要问题之一，近些筝曲面的凸性 黼题已怒国外学者研究的热点。中国科学技术大学的常庚哲、冯玉瑜 教授在三惫域上l 琵z i e r 夔瑟的凸性与歪矬的磅究中给出了许多深裁 的结果，对于三角域上函数曲面的凸性在王国瑾等人的计算机辅助 几何设计1 2 5 1 一书中得到了较为完美的结果。而关于参数b 6 z i e r 曲面 的凸性条件非常复杂，仅有文献i 9 a 1 , 1 2 筇1 给粥了一些初步的结果。参数 b 样条襄舞瑟兹瑟蛙霹 究仅g d 。k o r a sa n dp d k a k l i s e l l 得到了且个充分 条件。但有关控制网格与参数曲厦凸性之间关系的研究还很少。本文 旨在从控制网格的形状特征来分析曲面的凸性。 ! 导到了网格凸的充分 条件。并且对子均匀与准均匀b 样条曲面来说，当控制子网格为平行 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 四边形时，控制网格凸那么对应的参数曲面也是凸的。然后将该结论 应用于拼接中，解决了连续保凸的拼接问题，用图例说明了结论的正 确性和实用性。 1 2 预备知识 1 2 1 曲面的齐式表示 在微分几何中，为了研究曲面的方便，引入了曲面的几种基本齐 式。在研究曲面的凸性之前，我们来先介绍曲面的第一和第二基本齐 式。 1 曲面的第一基本齐式 给定曲面：，- r ( u ，r ) ，o ，v ) r ，其中和连续且一o 砚- 砂) 2 - ) 2 = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ( 1 1 ) 称为曲面的第一基本齐式。其中e - r u 2 , f - ，g - 2 称为的第一基本 量。 2 曲面的第二基本齐式 给定曲面三：r 。r ( u ，v ) ，0 ，v ) e r 。设即，v ) 为上一点，z 在点p 的法线 上的单位矢为石伤称为曲面的法矢) 石。；萼。1 垒! 耋 k x r , i 髓一f 2 由面的正向确定在点p 的切面石的正向，此时切面石为有向平 面。设p ，是上点p 附近的一点，从万到点n 的有向距离为6 ，在上 连接点p ，p l 的曲线为 f ：u 。“( s ) ，v - v o ) ，s 为弧长参数 即 f ：r - r u ( s ) ，v ( s ) 卜，o ) 硕士毕业论文 若点p 和p z 对残的弧长的值分别为s 和s + & ，利用泰勒公式可褥无穷 夸量辱的主部燕。蠢( 鼢严，令 妒- f 触2( 1 - 2 则( 1 - 2 ) 式又可写成 仍一l d u 2 + 2 m d u d v + n d v 2 ( 1 3 ) 其审秀，m 。痞+ o ，n 一蓐我稍称( 1 * 3 ) 式为蘸甏静第二基本 齐式，l ，鹾，n 称为魑瑟静第二基本量。 1 2 2 曲面上点的法曲率与嵩斯曲攀 有了曲面的第一基本量和第二基本量，曲面上一点p 的法曲率 t ，笠。 铭 。l 。d u 2 + 。2 。m 。d u d v 。+ ，。n d v 2 e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 丽高斯曲率的表达式为磁t 丽l n 甭- m 2 。由予我们研究的曲线曲面是正 则的，所以e d u2 + 2 f d u d v + g d v 。 o , e g f 2 o 1 3 本文的研究背景翻主要内容 1 j 1 本文的磺究背蓉 本课题研究的参数曲线曲面的髓性问题是c a g d 中形状分析的 内容之一。其几何设计理论是工业产品造型与设计，计算机辅助加工 和辅助分析等一系列臌用的基础。 对于蘧线的垫性，国内乡 缀多学者己褥赉一些结果。参数b 6 z i e r 曲线的凸性问题，刘鼎元、刘朝阳【4 捌等已基本髂决。两曲殛的凸性 研究一宣是人们感兴趣的，三角域上非参数b z i e r 曲面的凸性常庚哲 己得到令人满意的结采，而参数b z i e r 曲面的凸性要复杂得多。2 0 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 世纪8 0 年代后，华宣积、邝志全、刘晓春【1 6 2 3 】等对其作了一些研究， g d k o r a sa n de d k a l d i s 对参数张量积b 样条曲面的局部凸问题也得 到几个充分条件。但是参数曲面与其控制网格凸性间的关系，并未得 到满意的回答，曲面的凸性问题仍有待进一步探讨。 1 3 2 本文的主要内容 7 本文主要研究计算机辅助几何设计中给定控制顶点的参数曲线 曲面的凸性及其保凸拼接问题。从曲线全局凸和局部凸的定义出发， 讨论了给定控制顶点的曲线的凸性，用几何的方法证明了无论是全局 凸还是局部凸的情况，这两类曲线与其控制多边形( 特征多边形) 的 凸性保持一致性。即当控制多边形为全局凸( 局部凸) 时，对应的 b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线也为全局凸( 局部凸) 。 将凸性分析拓展到参数曲面，首先从微分几何的角度分析曲面凸 性与法曲率，g u a s s 曲率的关系，当法曲率k , - 0 时，曲面是局部凸的， 但是该结论对于g u a s s 曲率k 不成立，文中举反例说明了该问题， k 之。是曲面局部凸的必要条件。通过曲率，将问题转化到曲面的凸 性与第二基本量、控制顶点的关系上来。得到了使曲面具有局部凸性 质的控制顶点应满足的条件，该条件是本文的重要结论，对控制顶点 满足的表达式进一步分析得到网格凸的充分条件，将控制网格的凸性 与曲面的凸性之间建立联系，并且说明华宣积的b 6 z i e r 曲面的凸性定 理是该结论的一个必要条件。由于均匀和准均匀b 样条曲面相同数目 的节点间的间距相等，也得到了类似的结论。 把凸性分析的结论应用到拼接中，就得到了保凸拼接的条件，联 颂士毕业论文 系连续性问题讨论两函m 一次b z i e r 曲面的连续保凸拼接，考虑到实 际鹣应耀，文章碜 究憋滔题韪给定一凸静被拼接楚瑟，魏谤构造其捞 接曲嚣使之拼按压得到的曲蕊保持原有的凸性，达到了g 2 保热圭 接 的理想效果。e l j 于b 样条曲面本身是组合曲面，构造一七f 次拼接曲 面只需增加一排k 个或1 个控制点，且拼接曲面能保持比次数低一阶 豹导数连续。撤据b 祥条蕴飚的局部性度，可良尧成 王意多张赫面片 的保凸拼接，将一张小的曲蘸片扩张成较大的熬嚣。最矮文中耀大量 的图例验证了上述结论的正确性，达到了较为理想的效果。 对予b 6 z i e r 曲面同时考虑曲面拼接时的连续性，得到了f f t x t 次 b 6 z i e r 游面的g 、g 2 连续保凸拼接的凡个缩论。遥过计算实例，分别 褥到了撵淘纛v 囱的g 。保凸拼接图形。b 梯条麴嚣本身怒组合麴蘑， 其拼接中的连续问题不用令作考虑。增加张曲麟片只需增加排控 制点，因此我们只要求构造的这一排顶点满足网格凸且予网格为平行 豳边形邸可。并且由予b 样条瑟面的局部饿质，可以完成多张曲面片 的连续傺凸拼接，将小麴瑟羚扩张成较大懿篷匠。 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 r 第二章参数曲线的凸性研究 2 1给定特征多边形的z i e r 曲线 定义2 1 一条平面参数曲线是欧氏平面r 2 上的一个有序集，由 方向由t o 到f ；1 。若曲线方向是逆时针方向，则作变换1 。1 - t 变为顺 时针方向。 本文只考虑正则曲线，即，( f ) ，0 。 因为参数曲线的切向量的正向与参数t 的正向是一致的，所以我 们定义切向量的方向为切线的方向。对平面曲线来说，切线将平面曲 线所在的平面分成两个半平面，沿切线方向在切线右边的半平面称右 半平面( 右侧) ，而在左边的平面称左半平面( 左侧) 。 定义2 2 平面上一条n 次参数曲线段 r ( f ) 2 荟鼠一( f ) p t ， o 1 ( 2 。1 ) 称为平面n 次b 6 z i e r 曲线。式中向量族妒。 的终点组成多边形 ( p 。p 。- p 。) ，是事先给定的，叫做b 6 z i e r 特征多边形。( 1 ) 式中的 i e ，o ) - 印( 1 - t ) “ 卜志m 呱川p 2 ) 是b e r n s t e i n 基函数族。 2 2b 6 z i e r 曲线的全局凸性定理的证明 为了证明定理的需要，我们首先给出几条关于凸曲线的定义。从 全局凸的角度，w i l h e l mk l i n g e n b e r g 饰1 是这样定义凸曲线的： 硕士毕业论文 定义2 3 设有一条c2 正则平面参数曲线r ：，一， 口撼f s 6 ，对于 f 釜，刍】，舞果这条夔线完整地处在赢p 一广) 戆切线的一铡，剡称r 在p 点是全局曲的。如果r 与点p 处的切线只在切点p 枢交，则称r 在p 点处是严格全局凸的。 定义2 4 设有一条c 2 正则平面参数曲线r ；，一协口鲥曲，如果r 上任意一赢都楚( 严格) 全局凸的，剃称r 是( 严格) 全局凸魏线。 引理2 1 嘲由特征多边形 决定的r 1 次b 6 z i e r 基线，o ， 对于任意t o ( 叫) r ( f o ) 将曲线分成两段f i 次b 6 z i e r 曲线 ，l ( f ) 。薹p 。o 。) e 一( u ) , l l - - t f 。，o s f 式f 。 ，2 ( f ) 8 姜见一“谶一o ) 距_ o - t o ) ( 1 - t o ) , f 。蠕 它们分别以( p o 。p o l p 妇) 和 为其特征多边形( 图 2 1 ) ， p o , o b p o靠o 图2 - 1 这些多边形顶点是按照b 6 z i e r 曲线的d ec a s t e l j a u 算法几何作圈以f 。 为分眈递推得到的，其中 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 。荟( f 0 ) n ； - 4 。荟耳一一( f o 堍“( f lo h 再) ( 2 - 3 ) 如上式递推邝次之后，我们有 p 吩p ) 。善o 溉i ，( f ) 7(2-4) 即p 。( f ) 就是b 6 z i e r 曲线( 2 1 ) 上的点，( f ) 。由性质： 口0 ( f ) 一面协。抽。o ) 一e ，。( f ) ot o 工，九) 得到 ，缸) 。p o ( f ) 。善既。慨 - 元毫慨”b i 加) 扣； - 再侈，( f i p 。，。o ) ( 2 5 ) 一_ i i 瓦石= 所以j ；瓦：j 云是曲线r ( f ) 在t 点的切向量。 定义2 5 若闭多边形( p 。p 。一- p 。 为凸，则称特征多边形( p 。p ， p 。 是全局凸的。 设r 所在平面上指向平面下方的单位方向矢量为七，r 在r 。竹) 的单位切矢量为r ( f ) ，亍- r 回是r 上任意一点，当 r ，( f ) x 历】七七o bo )(2-6) 时，r 位于p 点切线的同侧。 定理2 1 若b 6 z i e r 特征多边形伊。p 。尸 为全局凸，则对应的n 次b 6 z i e r 曲线也是全局凸的。 证明：若b 6 z i e r 特征多边形( r p 。p 。) 为凸，经分割后仍保持 硕士毕业论文 原有的凸性，由b 6 z i e r 曲线的凸包性质可知，整条曲线使于多边形任 意逮鲶阕一侧。在鼗线给定一点p ，对予任意豹赢，窍量蒂始终 在分割艨所得特 芷多边形任一边的阉侧。 ( a ) 全局凸多边形舱情形( b ) 非全局凸多逑形的馈形鬻 图2 2 带有特征多边形的b 6 z i e r 曲线 假定曲线方向为顺时针方向，在b 6 z i e r 曲线的两端点，有 【r 锄面卜。， 【，( 1 ) x 雨】k 墓0 ，( f ) 在起点与终点切线的右侧。 对于曲线r o ) 上的点p - r ( t ) ，t 。，下面我们证明，( f ) 在p 点切线 静右鼹。痰弓| 瑾2 。1 及 一r o o ) = 土，( f 。) 缸+ 委，一z ) a t z 其中l i r a e - 0 因为向爨，( f 。) 和葡都在平面仃上，所以它们的线性组合 0 乙一 紊匣轩) a t - r ( t o ) 十s 溺点瀣基线p 露，a t - - - 0 ，在屯的销域瘛，) 不交，毽s o 赦 悒) i 素匿碘。) a t ! 些时有，“) ，”瓴) 嘻- p ) 舌 两芊r 纯邋】 t 2 寿) x 冠卜 = 擀) x 磁k o 其中弹。矿2 ，激予p 纛的任意性，在秘线，p ) 上经意一点憝恒有 r ( t ) x r 8 8 s 氇 当曲线在始点切向量的左侧时，在曲线，( f ) 上任意一点处恒有 r ( t ) x r ”o ) 0 根据引理2 2 可知，特征多边形为局部凸时b 6 z i e r 曲线也是局部凸的。 2 4 带控裁j 瑟点酶嚣样条逮线鳇凸性阏题 为了保留b a z i e r 方法的优点，仍采用控制顶点定义曲线。又为 了能描述更复杂形状和使曲线具有局部性质，我们改用b 样条基函 数。子怒就得到了b 样条曲线 1 2 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 p o ) i , 荟d i n i , k ) ( 2 9 ) 其中，d i o o 工， ) 为控制顶点，又称d eb o o r 点。顺序连成的折线 ( d 。d 。d ) 称为b 样条控制多边形，简称控制多边形。 n ，。 一咄， ) 称为七次规范b 样条基函数。 与b a z i e r 曲线比较，b 样条曲线同样具有规范性、非负性、凸包 性等性质。不同的是对于b 6 z i e r 曲线，基函数的次数等于控制顶点数 减1 ；而b 样条曲线的基函数的次数k 与控制顶点数无关。b a z i e r 曲 线的基函数是多项式函数，因此对应的曲线是参数多项式曲线；b 样 条基函数是多项式样条，对应的是参数样条曲线。最重要的区别在于 b 样条曲线具有局部性质，而b 6 z i e r 曲线没有。基于b 样条曲线的 这些性质，接下来我们就来研究它的凸性。 由b 样条曲线的局部性质，我们知道，定义在非零节点区间 球陋；，“；。】上的一j i 次b 样条曲线段，由t + 1 个控制顶点d 。，d ，。+ l 一，d ， 及相应的b 样条基函数决定，与其他顶点无关。在计算b 样条曲线 上的点时，我们通常用以下d eb o o r 算法的递推公式： p ) 。j 篆d j n j , k ) 主；雎一，。) 一_ d & ，口u i ，z i * 1 c 印t ，一“】 d ；一融衫蚶叫粥，：- 小0 蚶一七山，川；f - 坛，七 口，t i i = = ：t - = u j 石i ，规定罟l 。递推过程如图： 硕十毕北论文 图2 3 该算法表明，每求一个中问顶点都是前一级有关两个顶点的线性 凌捶。岛b 垂z i e r 馥线麴d ec a s t e l j a u 算法一样，燕很稳定豹。因既， 慧群条曲线上的每一焱都是杰上述算法递摧褥到。那么，若控制多边 形为全局凸，通过计算得到的由中间顶点构成的多边形仍然是全局凸 的。因为b 样条曲线同样具有凸包性，所以在此情况下可以得到b 样条蓝线也是金局凸的。当控制多边形为局部凸时，稚据弓l 理2 2 及 定理2 。2 的证噢方法霹以褥到相同的结论。鞠当撩割多边形恣髑部凸 时，对成的b 样条曲线也是局部凸曲线。因此，对于b 6 z i e r 、b 样条 这两类曲线来说，控制多边形局部( 全局) 凸是相应曲线局部( 全局) 凸的充分条件。 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 第三章参数曲面的凸性分析 3 1 凸曲面的定义 文章前面介绍了参数曲面的表示方法，接下来我们要研究它的凸 性，首先要了解什么样的曲面才是凸曲面呢? 定义3 1 设有正则的曲面：r ( u ，v ) e c 2 ( d ) ，d e r 2 ，p ，v ) 是曲面 上的任意一点，如果对于过p 点的任一条法截线，都存在p 点的某个 邻域，在该邻域内，法截线对应的曲线段完整地处在点p 点切平面的 闭上半空间( 闭下半空间) ，则称是局部凸曲面。 定义3 2 若将定义3 1 中的邻域改为整个区域d ，则为全局凸曲面 的定义。 从上面的定义不难看出，全局凸曲面一定是局部凸曲面，反之不一定 成立。 3 2 曲面的曲率与凸性的关系 苏步青曾在计算几何阎一书中提到高斯曲率大于零的曲面为 凸曲面，那么曲面的曲率与其凸性间存在怎样的关系。我们从曲面的 法曲率出发。 曲面上一点p 的法曲率 。识l d u 。+ 2 m d u d v + n d v 。c a4 e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 因为曲面为正则曲面，所以恒有e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ，0 因此t 与仍同号。且曲面上与点p 邻近的点p l 到p 点切平面的有向距 颈十毕业论文 离6 的主要部分等于要妒2 ，因而饮与6 同号。故有 二 ( 1 当芬，8 时，毵 o ，法戴线赣切面熬正铡弯熬； ( 2 ) 当毋t o 时，红o ，法截线朝切葱的反侧弯髓； ( 3 )淌6 ；0 时，有，；0 ，即己。肼* - 0 ，则该点是曲颟上的平点， 处于p 点的切平面上。 予是我们褥到了下嚣的定理。 是理3 1弗露r ( u ，螃局部凸的充要条馋悬对手镪意一点p e z 对予 任意方向上的切矢，都有法曲率以麓睢o ) 诚明：充分性。若曲面为局部曲，则过任意点p 的任一条法截线，都存 在垂点盼菜个邻域，在该邻域内，法截线对应豹馥线段完整地处在p 点 切平嚣的闭上豢空闻( 阂下半空阀) ，放任意方惫鲍法截线一定处在切 平面的阎侧，那么讫o ( 5o ) 即k2 0 ( 嚣o ) 必要性，对于任意的点p e z 在任意方向的法曲率气惫啦o ) 则有 在任意煮p e e 所有法截线都裙切面的同铡弯酋，所以在该点邻域内 经一条过该点的法截线对应戆夔线段完整地韪在该点切平瑟豹浸上 半空间( 闭下半空间) 。融p 点的任意性，故说明曲面是局部凸的。 在讨论凸曲面的判别条件之前，先介绍半正定矩阵的概念。 定义3 3 设f ( x 。，屯，) 一x a x ，其中a 是n 阶实对称矩阵，对于 任意一缌不全羚零的实数岛，如，气，如果都有f ；，e ：，气 2 8 ，那么 ，瓴，茗：，) 称为半正定的，褥其对应的矩阵a 称为半正定矩阵；如 果都有，“，c ：，c ) a o ，那么，“，j ：，) 称为半负定的，而其对应的 筑阵a 称为半负定矩阵。 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 引理3 1 【删实对称矩阵a 是半正定的等价于a 的所有主子式皆大于 或等于零( 主子式指行指标和列指标相同的子式) 。 引理3 2 嗍实对称矩阵a 是半负定的等价于a 的奇数阶主子式小于 或等于零，而偶数阶主子式大于或等于零。 引理3 3 1 3 9 j 曲面r “v ) 局部凸的充要条件是矩阵( 三：) 半正定( 半 负定) 的。 推论3 1 曲面局部凸的充要条件是工o ，苫o l 一m 2 o 或l s o ，n 墨o l n m 2 苫0 推论3 2 曲面局部凸的必要条件是高斯曲率2 0 因此高斯曲率岛= o 仅是曲面局部凸的必要条件，而非充分条件。可 以举出直纹面的例子来说明这一点，其磁一。恒成立，但不一定是凸 曲面。 3 3 给定控制网格的b 6 z i e r 曲面的凸性 了解了曲面的凸性与曲率间的关系后，下面我们就来探讨具体到 参数b 6 z i e r 曲面，其凸性与曲率及控制顶点间是否也存在着某种联 系。以下所说的凸性都是指局部凸。 m 厅次b 6 五e r 曲面的参数表示为： 脚，v ) 。荟磊岛，或 澎o ) ； 3 1 其一阶偏导矢和二阶偏导矢分别为： i 州荟荟1 飞o 删d ) ； 硕士毕业论文 e 甩善磊。慨，域 蜮p ) ； 吃i 珊伽一1 ) 萎磊2 氇。，磁一：。) 彤p ) ； 岛i 一枷一1 ) 善薹a “确，域。l 醴。和) ； 臻- 艄薹荟1 囔，琏t q 姆厶p ； 其中熟，为网格控制点，矗为趣蔻差分。那我们就宥 l 。! 氅丝：丝! e g f 1 一孑；挈苦( 莩李a 1 飞，或_ 删( v ) 摹荤a 0 。以。或以城_ ) 苇享a 2 龟。一：“埘( 呦 m 产 n ( m - 1 1 ) 碱。m 域p 域 删。扣域，。o 域( r ) ( a 1 ，a o j 瓯，a 飞，) , j e g f 。l + j ；五 。 - 篙警。，菱，t v 1 , 0 。，0 1 ” 。! 辱：垒：丝2 4 e g f 2 一弓；等( ；m - ! 军ma 飞恳。扣域( 吐摹摹a 飞。砭m 删扣) 喜霉a a 一o 蛾： 一弓i 差荸u 磊，如。剜。域。厩一。扣群：( v ) ( 1 气，a 。魄一。龟力+ 一弓；等。盖，彰4 蛾：似彭, o b 。，a o ；矿毪，) m 。! 墨：璺：丝! 一e g f z _ 志t 摹如似莩弘蝌蜮m 荤弘一删 - 五i b 盂2 r 2 歹。毳，一。白群和斌秘) 。和) 耋：+ 。秘琏似分麓a 、，。) 一蕊m z z , ：t薹，甄秘域一；似矗麓，矗飞，) 1 8 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 其中- 。 删( v 域 域，p ) i t ”，m - l ；i - 0 ，以；七一o ，脚； ，0 ，厅一1 于是得到 定理3 2 参数m n 次b 6 z i e r 曲面( 3 1 ) 局部凸的充要条件是 磁：0 , ) e ( v x a u b , j a 魄，a 2 龟，) 己o ( s o ) ； 占知磁 l 酸：0 , x a l ，j ，o 慨，a 0 毪乒) 0 ( 墨0 ) ； ( 乏戚一：o 域p x l a 。j b t ，a 飞，) ) ( 3 - 2 ) ( 蟛o ) s l ：( v x a l ，0 6 j ， o 慨j ，a “) ) t ，i 躬? b 一；荔置雕域一。减一( v x a l 慨0 4 吃，a k ) ) 2 z o 考虑到上式的实用性，我们将条件加强，得到b 6 z i e r 曲面凸的一个 充分条件。 推论3 3 参数m x n 次b 6 z i c r 曲面为局部凸的一个充分条件是 f ( a ，j ，o 1 6 i ，a 2 h ，) 七o ( s o ； ( 1 a 。也j ，a “，) 乏o g o ) ； ( 3 3 ) i ( l 飞a “h ，1 乜，# ) - 0 i ，y 一0 a ，m - 1 ；j , tn 0 ，1 ，n ；k ，a i ) ，1 ，m ； f 亭一0 ，1 ，疗- l ；s - 0 ，1 ，m 一2 ；f l - 0 ，1 oo 9 开一2 证明：因为b e m s t e i n 基函数的非负性，当上式的第一、二式成立时， 说明( 3 - 2 ) 的前两式成立，( a 1 a 。慨，1 也，) - o 加上前两个条件显 然( 3 2 ) 的第三式也成立。故定理得证。 此时，需要说明的一点是上式( 3 3 ) 只是b 6 z i e r 曲面凸的一个充分 条件，并非必要条件。特殊地，若b 6 z i e r 曲面的控制网是平行四边形 子网格，此时b 6 z i e r 曲面就是平移曲面，那么有 a j b f ，- ( 岛“，“- b , “j ) 一 ，“一红j ) - 0 ， 1 9 颂士毕业论文 域 a 飞，t 俄+ u + l 一岛。，) 一 + k - t r , ，) - o 因甓褥劐 推论3 4 当参数b 辛z i e f 鳆蘧的控制子孵格为平行题边形拜寸，若 ( a 1 嗨a ”瓯，a 。慨，) o ( o ) ；( 1 愧a 飞，“龟，) 毒0 ( 兰o ) ，或者曲面的第 二基本爨三七。仁o ) ；0 ( 量o ) ，则该b 6 z i e r 曲面为聃曲面。 注意：这里戆大子等予0 ( 或夺于等予o ) 必须麓两者鬻时大予等于 0 ，或者同时小于等于0 。 那么b 6 z i e r 曲面的凸性与网格的凸性之间到底有什么关系，首先来看 肴b 6 z i e r 阿格凸的定义。 窳义3 4 茬：b 6 z i e r 潮格顶点满足 坠+ 疆呐，j 一琏，；) o ( s 蛰，其中 i ， ，j 啦。岛，) 麓o ( 0 ) i j - a 1 飞，+ 1 2 x 确+ ，j i - o , l , ，m ；j - 0 , 1 , ，撵；毛- 1 , 2 ，m - i ；k z - 1 , 2 , ，露一j 那么我销说b 6 z i e r 溺掺是下趣( 或上凸 鹃。 通过b 6 z i e r 网格凸的定义，我们便得到b 垂z i e r 嬲格的凸性定理。 定理3 3 若m x n 次b 6 z i e r 网的控制顶点满足条件 j 篡 擘矗，榔鼢( 3 - 4 ) l ( a ，a 0 镶) 毒昭o ) ； 其中江当? ，m _ 1 ；，, t - 0 , 1 , ，n 篓，：。黔，m ；那么b 垂z i e r 网是凸的。 l - 姨鼻，n - 1 ；s - 0 3 , ，m 一2 ；筘- o l ，露- 2 。一。 。 证明：如果b 6 z i e r 网的控制顶点满足条件( 3 - 4 ) ，那么可以推出下式 成立瓞麓麓塞芝墓p - o , l , m - i - 2 ；q - , 0 , 1 , - , n - j - 2 f ( 1 飞阳瓯j ，a 1 氇一a 1 氇，) 兰o ( so ) 1 岱1 飞矗譬，妒魄种+ ；一矗部绞栩) 9 ( 墨筋 7 0 参数曲线曲面的凸性分析及保凸拼接 ( io ，。慨，耄薹( a 1 飞+ m ，一1 , o 魏。，) ) 七0 ( 。) ；与。1 2 ，肌- i ； ( j ，lo 如，耋扩吃, 1 , q + 1 - - a o 恻蛾咖坛加工 ，j ( l 飞 ，( b u t i i - b t ，) ) 芑哔o ) ； i ( a l o b 叫，a o 1 b k ， 响一6 f ，) ) o ( so ) ； 即得到j 竺 吨，一岛，) 乏0 ( s0 ) ， h j 。 j 啦一以，) 乏0 ( 0 ) ，- a 1 氇，jx a o 慨，i ao ，m - 1 ；j - 0 , 1 , - - - , n ；七- 0 , ，m ；l - 0 , ，n - 1 于是定理得证。 结合定理3 3 ，我们可以看出推论3 4 包含了华宣积的b 6 z i c r 曲 面的凸性定型3 1 ，满足推论3 4 的条件，那么就一定存在b 6 z i e r 曲面 的凸性定理。 关于b 6 z i e r 网凸的条件，朱功勤、殷明在给出了b a z i e r 网的定 义后得到了下面的引理。 定义3 5 1 习对于b 6 z i e r 曲面，以岛岛“，岛，j + ，岛w 。( f - 0 , ，小一1 ，j - o ， 蚪一1 ) 为顶点作双一次b 6 z i e r 曲面( 双曲抛物面) ，所有这些m x n 分 片双曲抛物面叫做曲面的m x 厅阶b 6 z i e r 网，其中 - ( 1 - u x l - v ) b o + ( 1 一“) “+ “( 1 一v ) 包+ l + l f v 岛+ 1 + l 0 譬h ，v l i - o ，玎- l j 一0 l 一，一- 1 引理3 4 t 坍b 6 z i e r 曲面所对应的b 6 z i e r 网为凸的充要条件如下： r ( a 飞，o j ，2 也，) 乏o ( o ) ； ( a ，o 慨，“2 吃，) o ( 0 ) ； l ( 1 j ，a o j ，a 1 1 吃，) - 0 ， 由定理3 3 其充分性显然成立。我们来看看必要性的证明。b 6 z i e r 网 凸一每片双曲抛物面为凸，由推论3 1 ，此时盂p 柚一二p w 一0 所以 硬士毕业论文 材- 二- o i p ( a 1 强a 。毪，a 1 逸，) 一o 从而翻点魂红“，岛j ，岛圳。组成 平行匿边形，托薅b 垂z i e r 鹾为凸多蕊俸韵一部分，医藏蓊秀式成立。 对于该弓l 理必要性的证明说明以下两点： 1 b 6 z i e r 网凸并不一定有( a a 0 3 j ，a 1 魄，) - o 该条件只是对每片双 曲抛物黼( 即f - i - 文，一f - t 时) 成立，而对于由双曲抛物面组成的整 个b 垂f i e r 瓣( i , k ，s 不垒等，j , t ，t 不全等时) 不一定成立。 2 。( a 1 ，矗 ，l ) 一& 该条件成立时可能孬上氏，劳不意味着一定有 a t 乜，t 执故不能说明岛6 f + 妒兢m ，。四点组成平行四边形。 下面举出一反例( 1 6 j ( 华宣积) ，翔控制网的子网是平丽梯形时有 ( 矗扩魄，a 。，) 0 0o ) l ( 矗飞，a o , b k ，矗羁毪，) 2 联s 谚，但是第三个条 髂心强矗叩，逸，) 一。不一定恒成立。 3 。4b 样条曲面的凸性 b 样条曲面是张量积曲面，与b 样条曲线一样具有局部性质，我 们是这样来定义的。 给悫糖+ l 秘+ 1 ) 今控制顶点，箨一懿，m ；y - o l , ，摆) 媳阵列，椽 成一张羧制网格。又分别给定参数梯与p 的次数k 妈l ，和两个节点矢 擞【，- u 。，h ，搿。+ 。】与v - i v o ，h ，屹】。就定义一张k x l 次张量积b 样条曲褥。其方程为 s ，磅。荔磊每，蚝翻觋鼢毪洲即v t ( 3 5 ) 箕孛，b 样条基辑。趣一o ，1 ，m ) - - 与n ，( v x j - 眠，露) 分剃壶节点矢量 u 与y 按d e