（基础数学专业论文）非自治lotkavolterra系统的渐近行为.pdf

摘要 本文研究非自治l o t k a v o l t e r r a 系统的渐近行为，共分三章。 在第一章中，我们比较全面地讨论了非自治竞争l o t k a v o l t e r r a 系统的渐近行为。利用函数的上、下平均值，我们得到系统持久和 全局吸引的充分条件，从而，推广了a h m a d 和l a z e r 的有关结果。 关于系统的持久性和灭绝性，首先，我们改进了m o n t e sd eo c a 和 z e e m a n 的工作，得到系统中种群持久和灭绝的充分条件；其次，结 合我们关于持久性和全局吸引性的讨论，又进一步减弱了我们上述 关于种群持久和灭绝的充分条件，得到目前为止比较好的结果。对 于一类特殊系统的强持续性和灭绝性，我们把a h m a d 和l a z c r 的 结果推广到更加一般的系统，给出其判别条件。 在第二章中，我们研究了非自治捕食一被捕食l o t k a - v o l t e r r a 系统的渐近行为。对于周期情形，与y a n gp i n g h u a 和x ur u i 的工 作相比，我们放宽了对被捕食者种群内禀增长率的限制，改进了他 们关于全局吸引性的条件，在被捕食者种群总内禀增长率为正的情 况下，给出周期系统存在唯一全局吸引正周期解的充分条件。对于 一般非自治情形，借助于函数的上、下平均值，在进一步放宽了对 系数限制的情况下，我们得到l o g i s t i c 方程的一些新结果，给出了 系统持久和全局吸引的充分条件。从而把周期情形的有关工作推广 到一般非自治情形。 在第三章中，我们讨论了n 种群非线性捕食一竞争系统的渐 近行为。首先，我们给出了该系统持久和全局吸引的充分条件，把李 传荣和卢松坚关于周期系统的有关工作推广到一般非自治系统；其 次，改进了周期情形的有关结果。 a b s t r a c t t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fn o n a u t o n o m o u sl o t k a v o l t e r r as y s t e m si s s t u d i e di n t h i st h e s i sw h i c hc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fn o n a u t o n o m o u s c o m p e t i t i v el o t k a - v o l t e r r as y s t e m si sd i s c u s s e di n o r et h o r o u g h l y b yt h el o w e ra n du p p e r a v e r a g e so f af u n c t i o n ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o r p e r m a n e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i v i t y o ft i l e s y s t e m s a c c o r d i n g l y ，t h er e s u l t so fa h m a da n dl a z e ra r eg e n e r a l i z e dw i t h r e s p e c tt op e r m a n e n c ea n de x t i n c t i o ni nt h es y s t e m s lf i r s t l y ，w ei m p r o v et h er e s u l t so f m o n t e sd eo c aa n d z e e m a n ，a n dg e ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rp e r m a n e n c ea n de x t i n c t i o n o fs p e c i e si nt h es y s t e m s s e c o n d l y ，c o m b i n i n gw i t ho l l rp r e v i o u sd i s c u s s i o no np e r m a - n e n e ea n dg l o b a la t t r a c t i v i t y , w ew e a k e no u rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rp e r m a n e n c ea n d e x t i n c t i o no ft h es p e c i e sf u r t h e r ，a n dg e tb e t t e rr e s u l t sb yn o wf o rs t r o n gp e r s i s t e n c e a n de x t i n c t i o ni nas p e c i a ls y s t e m t h er e s u l t so fa h m a da n dl a z e ra r eg e n e r a l i z e d t om o r eg e n e r a ls y s t e m s ：a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rs t r o n gp e r s i s t e n c ea n d e x t i n c t i o no ft h es p e c i e s i nc h a p t e r 2 ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fn o n a u t o n o m o u sl o t k a - v o l t e r r as y s t e m s w i t h p r e d a t o r p r e yi ss t u d i e d f o rp e r i o d i cc a s e ，i nc o m p a r i s o nw i t ht h er e s u l t so f y a n g p i n g h u a a n dx u i i u i ，t h er e s t r i c t i o no ni n t r i n s i cg r o w t hr a t eo ft h ep r e yi sr e l a x e d ，a n d t h e i rc o n d i t i o n sf o rg l o b a la t t r a c t i v i t ya r ei m p r o v e d u n d e rt h ec o n d i t i o n st h a tt o t a l i n t r i n s i cg r o w t hr a t e sf o rt h ep r e ya x ep o s i t i v e ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o r e x i s t e n c eo fau n i q u ep o s i t i v ep e r i o d i ca n d g l o b a l l ya t t r a c t i v es o l u t i o no ft h ep e r i o d i c s y s t e m s f o rg e n e r a ln o n a u t o n o m o u sc a s e ，b ym e a n so ft h el o w e ra n du p p e ra v e r a g e s o faf u n c t i o n ，u n d e rt h ec o n d i t i o n st h a tt h er e s t r i c t i o no nc o e f f i c i e n t so ft h es y s t e m si s r e l a x e df u r t h e r ，s o i n en e wr e s u l t s0 nt h el o g i s t i ce q u a t i o na r eo b t a i n e d ，a n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rp e r m a n e n c ea n d g l o b a la t t r a c t i v i t yo ft h es y s t e m s t h e r e f o r e ， s o n l er e s u l t so nt h ep e r i o d i cc a s ea r eg e n e r a l i z e dt om o r e g e n e r a ln o n a u t o n o l n o u sc a s e a b s t r a c t i l l c h a p t e r3 t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f ? i s p e c i e sn o n l i n e a rp r e y c o m p e t i t i o n s y s t e m si sd i s m m s e df i r s t l y , s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e n b rp e r m a n e n c ea n dg l o b a l a t t r a c t i v i t yo ft h es y s t e m s ，a n ds o i i l er e s u l t so fl ic h u a n r o n g a n dl us o n g j i a no i lt h e p m i o d i cs y s t e m sa r eg e n e r a l i z e dt og e n e r a ln o n a u t o n o n l o u ss y s t e m s s e c o n d l es o m e ； r e s u l t so nt h ep e r i o d i cs y s t e m sa r ei n t p r o v e d 致谢 本文是在导师蒋继发教授的悉心指导下完成的。从论文的选题和数学思想、 方法，以及论文曲整理，都得到蒋继发教授的热情关怀和精心指导。三年的学习 和生活中，蒋继发教授的严谨治学态度、朴实的生活作风深深地影响了我，使我 受益匪浅。正是这种影响和指导，才使我j 顿利地完成了学业。在此，我谨向蒋继 发教授致以最衷心的感谢。同时，我也衷心地感谢蒋继发教授给我提供了一次继 续学习的机会，使得我能够有幸在中国科学技术大学攻读博士学位。 非常感谢美国m i a m i 大学的a c l a z e r 教授和t e x a s 大学的sa h m a d 教 授的热情帮助和精心指导。 非常感谢王毅博士、梁兴博士、程永宽博士以及邱志鹏博士在生活和学习上 给予我的热情帮助。 非常感谢数学系的各位老师以及其他给予我帮助的老师、同学和朋友。 非常感谢我敬爱的父母对我学业的支持和理解，非常感谢我的妻子付丽萍、 儿子赵呈远对我学业的支持和理解，正是他们给了我继续学习的动力。 序言 在生态学中，一项长期努力的工作是研究生态系统中不同生物种群个体数量 ( 或密度，或其它生物量) 的变化规律。对这种研究工作的产生和发展起重要作 用的科学家，首先就是v v o l t e r r a 。早在1 9 0 0 年v o l t e r r a 对数学在生物和社会中 的应用就发生了兴趣( 见 1 2 ) 。虽然在1 9 2 5 年以前他在这个领域中的研究工作 还没有多大进展，但是在研究了关于阿里阿海( t h ea d r i a t i c ，在意大利东边) 捕鱼数量波动的情况之后，对这个问题的研究工作就有了迅速的发展。v o l t e r r a 9 9 1 引入了如下系统 宅；= 吼( k + 耋。玎) ，奶。，i = ， ，n ，c 。t ， 来研究生物种群间的相互演化关系；与此同时， al o t k a 【5 6 】也独立地引出了 系统( 0 0 1 ) 来研究化学反应和生物。因此，后人称( 0 0 1 ) 为l o t k a - v o l t e r r a 系 统。另外一位对l o t k a - v o l t e r r a 系统做出突出贡献的科学家是gf g a u s e 。g a u s e 更加注重验证一些生态学的理论问题，如v o l f e r r a 的理论，此外，他对两种群相 互竞争，总有一方占上风理论( 即竞争排斥理论，也称g a u s e 理论) 的建立也作 出了突出的贡献。在g a u s e 的专著【2 9 出版以后，竞争排斥原理就成了生态学中 的一个基本原理。因此，有时也称l o t l u - v o l t e r r a 系统为g a u s e l o t k n - v o l t e r r a 系 统( 见 6 3 ) 。 随着科学的发展，l o t k a - v o l t e r r a 系统在自然科学和社会科学的很多学科中 的重要作用越来越突出，并频繁出现于各类重要问题的研究中。在物理学中，利 用l o t k a - v o l t e r r a 系统研究激光物理 5 1 和等离子物理 5 2 等的耦合波；在流体 力学中，利用l o t k a - v o l t e r r a 系统证明通向湍流新途经的存在【1 4 】- ( 1 7 】和气体的 浑沌 6 0 ；在中性网络中，l o t k a - v o l t e r r a 系统也有应用 6 6 ；在经济学和对策 论中，l o t k a - v o l t e r r a 系统具有广泛的应用 4 1 ，4 2 ，6 7 ，7 3 ，1 0 5 ，它与1 9 9 4 年诺贝 尔经济奖得主j c h a r s a n y i ，j f n a s h 和r s e l t e n 的非合作对策理论有密切关系 4 2 ；同时，l o t k a v o l t e r r a 系统是著名的k d v 方程的离散化 1 0 ，1 1 ，并且物理、 生物、生态、化学、经济等学科中大量的o d e 系统都可以变换成l o t k a - v o l t e r r a 亭言 系统【1 3 ：t l j 。k s i g m u n d 的研究小组对这方面的研究工作尤为突出，他在1 9 9 8 年的柏林国际数学家大会的一小时报告中围绕这一主题作了综述 7 3 。 k o l m o g o r o vf 4 8 研究了如下系统的动力学性质 此后，人们把系统( 0 0 2 ) 称为k o l m o g o r o v 系统。实际上，系统( 0 0 1 ) 是系统 ( 0 02 ) 的特殊形式。系统( 0 0 2 ) 同样可以用来研究多个生物种群或生命物质之间 的相互作用和其数量随时间的演化规律。这时，嗣可以被看作第i 个种群的数 量( 或密度，或其它生物量) ； 可以被看作第i 个种群的增长率；o a o ；可 以被看作第j 个种群对第i 个种群的作用：a 五a q 0 表明第，个种群的增加 会促进第i 个种群的增加，而a ， a 。， 0 表明第j 个种群的增加会制约第i 个 种群的增加。如果对任意1 i ，n 且i j 都有o 如，20 ，则所有的种群之 间是相互合作的关系，我们把这种系统称为合作的；而如果对任意1 i ，j 茎n 且i j 都有o a o x ，0 ，则所有的种群之间是相互制约的关系，我们把这种 系统称为竞争的。当然，在一个系统中种群之间的合作和竞争关系可以同时出 现，这种情形比较复杂，我们仅列出一种情形，也是本文所要研究的。如果对任 意1 i ，j m 0 表 示抑制自身生长) ，o 玎( t ) 表示第i 个种群和第j 个种群的相互作用( a l j ( t ) 0 表示第j 个种群抑制第i 个种群的生长) 。 为了研究系统( 0 , 0 5 ) 的渐近行为，一般先考虑如下的l o g i s t i c 方程 鲁硇飞：( 她】 ( oo 6 ) 关于方程( 0 06 ) ，一个重要的结果是：若6 ，( t ) ，( z i i ( t ) ，te 腿，有正的上、下界， 则方程( 0 06 ) 在嗵上有唯一全局吸引的有界正解。这一结果可见a h m a d 3 和 bd c o l e m a n ( 2 0 。j m c u s h i n g 2 2 也对l o g i s t i c 方程进行了深入讨论。对于 畦上的函数9 ( t ) ，我们在本文中采用下面的记号 c i n k fg ( 。) 29 2 s u 嚣p g ( 。) 2 9 “t g o p a l s a m y 3 0 研究了2 维周期竞争系统( 0 0 5 ) ，给出该系统存在正周期解的条 件；g o p a l s a x n y ( 3 1 1 又把这种结果推广到n 维周期竞争系统( 0 0 ，5 ) ，得到结果： 如果 奶，塞；噶( 芝) ，n ， 中国科学技术大学博士论文 7 和 r 。知 n 等，卜1 ， ，n ，( oo 8 ) t = l ，z j 成立，那么该系统存在唯一全局吸引的正周期解。对于n 维几乎周期竞争系统 【0 05 ) 也有类似结果，见g o p m s a m y 3 2 。后来，t i n e o 和a l v a r e z 9 3 指出：条 件( o 08 ) 其实是多余的，只要条件( oo 7 ) 成立就可以得到同样结论；并且他们 还指出：条件( 0 0 7 ) 可以减弱为以下两个条件 n b ，( ) n 玎( 咖j o ( t ) ，i = 1 ，n ，t r ， ( o0 9 ) 和存在正常数o 一，a 。使得 唧刖 0 j 0 j 。( t ) ，i = 1 ， t 豫， ( o o - 1 0 ) j = l ，t 其中。，o ( ) 为周期方程( 0 0 6 ) 的唯一正周期解，在条件( 0 0 9 ) 和( 0 0 1 0 ) 下， g o p a l s a m y 【3 1 】的结论也成立。z h a o 【1 1 6 】又把条件( 0 0 9 ) 减弱为 z 氐。) d 。，。上叼。净扣。m 屯 0 “ 其中u 0 为瓯( t ) ，a i g ( t ) ( ，j = l ，n ) 的共同周期，得到结果：在条件( o 0 1 0 ) 和( 0 01 1 ) 下，周期竞争系统( 0 0 5 ) 存在唯一全局吸引的周期解。t i n e o 9 6 】也 有与z h a o 1 1 6 】相似的工作。 从以上关于周期竞争系统( 0 0 5 ) 的有关结果可以看出：虽然t i n e o 和a l v a r e z f 9 3 1 改进了以前的有关工作，但是他们的条件( 0 0 9 ) 是对于一个周期内的每一点 而言的。而z h a o 1 1 5 的条件( o0 1 1 ) 是对于一个周期内的总的要求，相对来说 比较弱。我们下面用这种总体的思想研究一般的非自治竞争系统( 0 0 5 ) 。下面我 们给出【c ，+ 。) 上函数上、下平均值的概念。设g 是定义于【c ，+ 。) 上的连续函 数且有上、下界，对于c t l o ， 一b 一，n ， ( 0 0 1 3 ) l j = l , j t i i j 和存在正常数叫，a 。和6 使得 q 町j ( t ) a 她j ( t ) + 6 ，j = 1 ，n ， ( o 0 1 4 ) 其中o ( ) 是方程( 0 0 6 ) 的任何正解，得到结果：在条件( 0 0 1 3 ) 和( 0 0 1 4 ) 下， 非自治竞争系统( 0 0 5 ) 是持久的和全局吸引的。易证条件( 0 0 1 2 ) 蕴含( 0 0 1 3 ) 和( 0 0 1 4 ) ，并且我们用例子说明反之不成立。因此，我们进一步减弱了 7 】的条 件，在较弱的条件下得到同样结论 关于非自治竞争系统( 0 05 ) 的持久性和灭绝性问题，m o n t e sd eo c a 和z e e i i l a l l 6 5 】给出该系统的一个种群持久而其余n 一1 个种群灭绝的充分条件；他们 在 6 4 中又改进了 6 5 的工作，得到结果：在下面两个条件( 0 0 1 5 ) 和( 0 01 6 ) 下 非自治竞争系统( 0 05 ) 有r 个种群持久而其余“一r 个种群灭绝， 一小j 塞：略( 苦j ) ， c o 叫s ， j = l j 于t 、j ， v k r , 3 i k r , 3 i a 0 ，得到周期系统( 0 02 3 ) 存在唯一全局吸引正周期解的充分 条件，并且改进了他们关于全局吸引性的条件。对于这种周期系统，从生物学意 义上，总内禀增长率为正表示该种群总体上是增加的。我们的结果说明：虽然有 时被捕食者的数量是减少的，但如果其总体数量是增加的，那么在一定条件下捕 食者与被捕食者可以长期共存。对于周期竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统也有相似的结 果，见z h a o 1 1 6 。 我们上述结果以及f 1 1 6 】是从总体上讨论种群的渐近行为，放宽了对每一时 刻被捕食者内禀增长率的限制。因此，对于一般非自治系统( 0 0 2 3 ) ，我们利用 这一思想，借助于函数的上、下平均值，讨论其渐近行为。这里，我们进一步放 宽了对非自治系统( 0 0 2 3 ) 系数的限制，其中- y j ( t ) 0 ，a i k ( t ) 20 ( i k ) ， c i f ( t ) 0 ，d j k ( t ) 20 ，e j l ( t ) 00 f ) ，( i ，k l ，- ，n ；j ，f = 1 ，一，m ) ；并 且m b 。 0 ，m a 0 ，m e j j 0 ，( i ，j = 1 ，n ) 。同样地，我们可以认 为：m b ； 0 即被捕食者种群的内禀增长率的上平均值为正，这从一定程度上 说明了该种群是增加的，捕食者才有食物来源，从而这一系统才有可能持久。关 于l o g i s t i c 方程，以前的结果如 3 ，2 0 都要求b i ( t ) 和a i i ( t ) 有正的上、下界。我们 这里减弱了这种限制，得到结果：如果m b i 0 和r $ a i i 0 ，那么方程( 0 0 6 ) 是持久的和全局吸引的。这一结果可以进一步减弱非自治系统( 0 , 0 2 3 ) 的持久性 和全局吸引性的条件。对于非自治系统( 0 0 2 3 ) ，在m p a 0 ，r e a 1 1 0 和 m 【e 。0 ( i ，j = 1 ，n ) 的假设下，我们给出其持久和全局吸引的充分条件。这 一章的内容见我们的文章【1 1 0 ，1 1 4 】 中国科学技术大学博士论文 l l 在第三章中，我们定性分析了n 一种群非线性捕食一竞争系统 降d x i 执卜 1 d z i 。卜， 其中耽( 1 i m ) 表示捕食者种群的密度( 或其它生物量) ，z 。( m + l i n ) 表示被捕食者的密度( 或其它生物量) ，n ：j 0 ( z ，j = 1 ，一，n ) ，b i ( t ) 和。”( t ) ( i ，= l ，n ) 是 c ，+ 。) 上的连续函数且a i j 之0 ( i j ) 。前面两章讨论的系 统实际上是系统( 0 03 ) 当 是a ：1 ，z 。的线性函数时的情形，而系统( 0 0 2 4 ) 是系统( 0 0 3 ) 当 是乩，z 。的非线性函数时的情形。如果在( 0 0 2 4 ) 中令 = 1 ，那么系统( 0 0 2 4 ) 实际上是系统( 0 02 3 ) 。李传荣和卢松坚研究了周期 系统( 0 0 2 4 ) ，给出其存在唯一全局吸引的正周期解的充分条件。我们首先讨论 一般非自治系统( o 0 2 4 ) ，改进了 1 1 8 中全局吸引性的条件，得到该系统持久和 全局吸引的充分条件。这里要求系数b i ( t ) 和。面( t ) ( i ，j = 1 ，n ) 有正的上、下 界。记 水、吒1 p i = ( l ，m + 15i n ， 啦= + j 塞? r ， 觑= b ：一。等矿一。料” m = b 一。嚣谚”， 1s i m l i 兰m ， 我们得到结果：如果觑 0 ( m + l i n ) ，坼 0 ( 1 墨ism ) ，那么系统 ( o 0 2 4 ) 是持久的；此外，如果还满足下面两个条件 ( 1 ) j a u ， i ，j = 1 ，一，n ， ( 2 ) 存在正常数d 。( i = i ，一，n ) 和”使得 n t t a j j d j a j j ( t ) p “u 如叼( t ) + “j = 1 ，n ， t t o t _ 1 ，o j 纵 m 一 一 1lj n 才 旺 p 一 叼。 。一 m + u 巧 n ， 口， k 净 j ， 啦 喧 。岸。坤 序言 其中“是正常数且小于系统( 0 02 4 ) 任何正解( 在 t o ，+ 。) 上) 的下界，那么系 统( 0 02 4 ) 是持久的和全局吸引的。这样，我们把周期情形的有关结果推广到一 般情形。然后，在放宽了对周期系统( 0 0 2 4 ) 系数要求的情况下，我们讨论其周 期解的存在性、唯一性和全局吸引性，改进了 1 1 8 】关于周期情形的有关结果。 这一章的内容见我们的文章 1 1 1 。 第一章非自治竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统的渐近行为 1 1 引言 在这一章中，我们讨论非自治竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统 觑。，= 毛“， 魄。，一篁j = ：tn 可。，z ，c 旬 ，i = l , - - - , n , n 兰z ， c z ，z ， 其中玩( t ) 和n ”( t ) ( i ，j = 1 ，n ) 都是连续函数且。玎( t ) 0 ( i j ) ，t k 啦r ，面( t ) = d x i ( t ) 。一般地，讨论区间砖取碾或 c ，十。) ，c 为某常数 系统( 1 1 1 ) 相应的l o g i s t i c 方程是 记皿n 中闭( 开) 正锥为爬革( i n t 啤) 。若y 畔( i n t 畔) ，则y 是正( 严格正) 向量。我们知道关于系统( 1 1 1 ) 有一个显然的结果：设x ( t ) = c o l ( x t ( t ) ，z 。( t ) ) 为( 1 1 1 ) 的满足初值z ( t o ) 碾罩( i n t n 军) 的解，t o k ，则x ( t ) 哗( i n t n 华) ， t t 。对于方程( 1 1 2 ) 也有同样结果。因此，我们讨论( 1 11 ) 的正解只需讨论 其初值为正的解。在这一章中，我们总是讨论( 1 1 1 ) 的正解的性质。 在第2 节中，利用函数的上、下平均值，我们在 c ，+ 。) 上讨论系统( 1 1 1 ) ， 给出其持久和全局吸引的充分条件，并且通过一个例子说明我们的条件是a b r o a d 和l a z e r 7 1 的推广。在第3 节中，我们在豫上讨论系统( 1 1 1 ) 的持久性和灭绝 性，改进了a h m a d ，m o m e sd eo c a 和z e e m a a a 等人的工作，并且用两个例子 加以说明。在第4 节中，我们在【c ，+ o 。) 上研究了一类特殊的非自治竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统，给出其前n 一1 个种群强持续而第n 个种群将灭绝的充分条件， 推广了a h m a d 和l a z e r 5 的有关结果。 这一章的内容取自我们的文章 1 0 9 ，1 1 2 ，1 1 3 ，1 1 5 】。 1 3 1 4 第一章非自治竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统的渐近行为 1 2 非自治竞争l o t k a v o l t e r r a 系统的持久性和全局吸引性 1 2 1 定义和引理 在这一节中，我们在吒= c ，+ 。) 上讨论系统( 111 ) 。首先，给出几个定义和 基本引理。设函数g 在 c ，+ o 。) 上连续且有上、下界，根据a h m a d 和l a z e r 7 ， 我们定义函数g 的上、下平均值，对于c o l t 2 ，记 4 g , t t , t 2 j = 击r 2 小肌 定义1 2 1 函数g 的上平均值和下平均值，分别记为m g 和m 9 ，定义为 m m = 。与罕k 8 u p a 曲，1 ，。2 】j 。2 一t l2 s ) 知 m c g = 。1 i m + 。i n f a g ，t l ，t 2 | t 2 一t l s ) 由于当s 增大时集合 a b ，t l ，t 2 lt 2 一t l s ) 变小，所以上面的两个极限存在， 这种定义是可行的。又因为 g 。a 9 ，t l ，t 2 1 g “， 所以 9 2 m ( 9 m g g “( 1 2 1 ) 定义1 ，2 2 如果存在正常数 ，k 和t 使得对于( 11 1 ) 的任何正解z ( t ) = c o l ( z l ( t ) ，z 。( ) ) 当t t 时有 a 杌( t ) sk ，i = l ，n ， 那么，系统( 1 1 1 ) 称为持久的；若对某i 上式成立，则称第i 个种群是持久的。 定义1 2 3 如果存在( 1 ，l ，1 ) 的一个正解y ( t ) = c o l ( l ( ) ，( f ) ) 使得 t + l i + r a 。( x | l ( t ) 一玑( 2 ) ) = 0 ， i2 l ，一，n ， 其中z ( t ) = c o l ( z 1 ( t ) ，一，z 。( t ) ) 为( 1 1 1 ) 的任意正解，那么，系统( 11 1 ) 称为全 局吸引的。 中国科学技术大学博士论文1 5 关于系统( 1 1 1 ) ，在这节中，我们有基本假设 n z j ( t ) 0 ，n 嚣 0 i = l ， m ( 1 23 ) 从a h m a d m 引理3 ，我们得到下面关于l o g i s t i c 方程的一个引理。 引理1 2 4 若6 。( t ) 和n 。( t ) 满足( 1 2 2 ) 和( 1 23 ) ，则对任意的t o c ，+ 。) 方程 ( 1 12 ) 的任何正解在 t o ，+ 。) 上有定义和有正的上、下界，并且是全局吸引的。 若方程( 11 2 ) 是周期的，即巩( t ) 和a i i ( t ) 是周期连续函数且有共同的周期 “ 0 ，则有下面的引理1 2 5 。 引理1 2 5 如果在周期方程( 11 2 ) 中b ：( t ) 和a i i ( t ) 满足( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) ，那么 周期方程( 1 1 2 ) 有唯一严格正的u - 周期解，并且该解是全局吸引的。 引理1 25 是我们熟知的一个结果( 见 2 2 ) 。这里，我们给出一个直接的简 单证明。 证明设周期方程( 11 2 ) 的唯一严格正的u 一周期解为z ：( t ) ，则易解出 旧c 圳- - i = e x p ( 一( 。知) 。文s ，唧( ( 。如冲) d s - c * ， 其中 拈h 肛删t ) 一， 。r 州扣p ( 蝴) 如 显然在 f 0 + o 。) 上。；( ) 0 。对于( 1 1 2 ) 的任何其它正解翰( t ) ， b c 纠= e x 。( 一。如灿) 。d 小x n ( 石。如，打) d s + c i o ， 有 蚓驯邛以) _ 1 l = l c * - - c i o i 唧( 一r6 ( s ) d s ) 因为醴 0 ，所以 h l i m 。i 。t ( 圳卟删。i = f 一酬；三e x p ( 一f6 i ( s ) d s ) 扎 从而z ；( t ) 是全局吸引的。证毕。 口 1 6第一章非自治竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统的渐近行为 引理1 2 6 设z ( t ) = c o l ( z 1 ( t ) ，z 。( t ) ) 是( 1 1 1 ) 的满足初值z ( t o ) i n t 哗的 任何解，t o c + 。) ，z 南( t ) 是( 1 1 2 ) 的解且满足z 知( 如) 锄( 如) ，那么 口南( ) z z ( t ) ，i = 1 ，一，n ，t t o 。 t i n 和a l v a r e z 9 3 ，命题2 1 证明了周期情形时引理1 2 6 成立。但是，他们 的证明思想方法对一般的非自治系统也是可行的，所以按照他们的方法同样可以 证明引理1 2 6 。 1 2 2 持久性和全局吸引性 设z ；o ( t ) 为方程( 1 1 2 ) 的任何正解，由引理1 2 4 和定义l _ 21 知在 t o ，+ o 。) 上m k 。1 和m 陋。 存在。现在，我们给出这一节的主要结果。 定理1 2 7 设( 1 1 1 ) 的系数满足( 1 2 2 ) 和( l 2 3 ) ，t o c ，+ o 。) ，如果在 t o ，+ ”) k壹aijxj01m 小，。， 。a ， 卜一 o ，i = 1 ，n ， ( 1 24 ) l j = l ，j 扣 j 那么，对于( 111 ) 的解，下面两个结论成立： ( i ) 若z ( t ) ：c o l ( x l ( t ) ，一，。( t ) ) 是( 1 1 1 ) 的满足初值z ( 幻) i n t 晔的任何 解，则存在正数a ，k 和t 使得当t2 t 时 玩( ) ，i = 1 ，一，n ， 即系统( 1 1 i ) 是持久的； ( i i ) 设t ( t ) 和( t ) = c o l ( v l ( f ) ，鲰( t ) ) 分别是( 1 11 ) 的满足初值z ( t o ) i 。t 峨和g ( t 。) i n t r 罩的任何两个解，若存在正常数a 。( 1s i sn ) 和6 使得对 于t t o 有 。 q ，( t ) ) 啦o ”( ) + 6 ， j = 1 ，n ， ( 1 - 2 - 5 ) i = 1 ，z j 则 t + l i + r a 。( 筑( t ) 一坼( t ) ) 2 o ，i 2 l ，一，“， 即系统( 1 1 1 ) 是全局吸引的。 证明( i ) 令z ( t ) ，t o 和z 知如引理1 2 6 中所设。显然，如果z ( o ) i n t 略_ ， z 毛( t 。) 0 ，那么，当t t 。时，z ( t ) 和g 南( t ) 分别是( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 的正解- 中国科学技术大学博士论文 1 7 由引理1 2 6 知，当z d t o ) s ：吃( t ) ) 时，有 磁( t ) 碥( t ) ，i = l ， ，n ，t 兰t o 利用引理1 2 4 ，对于充分小的e 0 和( 1 12 ) 的任何正解x i o ( ) ，存在n t o 使得当t 三乃时有 x i ( t ) x i 0 ( t ) + e i = l ，n( 1 2 6 ) 令k = s u p z i o ( t ) + e t 乃，i = 1 ，) ，则0 e ，i = - ，一，n ， j zl 一。坩( t ) ( 巧o ( ) + ) = 1 ，2艟s 卜 从而有 鼢一_ 驴n 删沪1 d tl t 2 - t t _ s 卜 显然，不依赖于( 1 1 1 ) 的任何解。 现在，我们断言：存在a 满足0 孔使得 z ；( t ) e ，z = 1 ，一，n ，t t 则断言显然成立。所以，可以假设存在一个数列 于。，嘞- + o o ( m _ + 0 0 ) ， 使得 z t ( 7 h ) e ，7 n = l ，2 ，- 一 这种假设可以分成两种情形。 情形l 存在t o 7 i 使得 q ( t ) e ，i = 1 ，一，n ，t t o 情形2 ”= ( t ) ，t m ，+ 。) ，围绕v = 无限振荡，也就是存在两个数列 ( ) 。和 焉) 。使得日 g 并且托( 蠼) = 孔( 埕) ，当t ( 碍，埕) 时甄( t ) 孔( 而) 。；p ， j t o b ic u ，一著n 。巧c “，z ，e u ， a u ln 1 如( “) _ 。巧( u ) ( 巧o ( u ) + ) lj = l ，j 所以，由【1 2 8 ) 知存在一个数列 f ) o o 使得q ( f ) 一+ 。( f 十。) ，这与( 1 2 7 ) 矛盾。因此情形1 不能成立， 若情形2 成立，令q p ：t g 一碍。把( 1 1 1 ) 在嘹瑚上积分得 s = 。；c t ；，= 。，c t ；，e x p 5 玩c u ，一薹。坩c u ，z ，c “， d u x ”讣一，垫小州卅沪e 卜 如果当p _ + 。时如 + 。，那么，同情形1 一样，利用( 1 2 8 ) 可知上面的 不等式产生矛盾。因此，协) i - o 。是正、有界的数列。若存在t 3 ( 理，t ：) 使得 中国科学技术大学博士论文 1 9 铂( 8 ) se x p ( 一a i b ) ，其中 廿卅卜，毫i 叼m h “啦卜计o 。，卜 b = s u p q pi p = 1 ，2 ， ， 显然，0 a 。 + a o ，0 e x p ( 一a i b l 上面的矛盾说明：对于t ( t ：，2 ) 有 吼( t ) c e x p ( 一a i b ) 从以上的讨论知，若t u 。+ ：c o l ( t 7 ，t g ) ，则 托( ) ee x p ( 一a i b ) ； 若t 隹u 蓦( t 已t g ) ，则 z ：( t ) e 令 a = m i n s e x p ( 一a i b ) li = 1 ，一