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对课本上一道习题的思考与拓展袁炳金（四川省射洪中学 629200）高中数学新课标实验教材A版选修45习题2.3第4题：设为正实数，且，用反证法证明：。本文对此题作如下研究：一、 对原题目的求解出于对题目解法的探讨，本文忽略原题目对解法的限制，借希望达到对知识的融会贯通、灵活运用的目的。证法1：反证法假设，由于，且，则，得，显然矛盾。所以。证法2：分析法由于，且，则。而，即成立。所以得证。证法3：综合法由于，且，所以，而，即。所以。证法4：三角换元法令。则。证法5：均值换元法令，则（设，则）。证法6：综合法（调和平均数与几何平均数不等式）由且即，又当时，。所以令，。由即在单减。故，即，所以得证。二、对原题目的拓展1.横向推广（对变元个数的拓展）若，且，则。把分解，于是得到和：若，且，则。若，且，则。证明：我们先来证明：因为，且，所以当且仅当时取得等号。所以命题得证。再来证明：，当且仅当时取得等号。所以命题得证。 由和等号成立的条件都是，所以自然得到成立。2.纵向拓展（对变元指数的拓展）若，且，则把分解，从而得到和：若，且，则若，且，则证明：先来证明：很显然当时取得等号。不妨设，则。现在对的大小作如下调整：令，显然有，。则，即每对调整一次就会增大一次，当调整到时达到最大，所以。 同理可证得也成立。由于和取等号的条件都是从而也就得到了证明。3.综合拓展（对条件和结论都拓展）若，且，则。与的证明方法方法类似。若，且，则。证明：易知当时取得等号。不妨设，则。现在对的大小作如下调整：令，显然有且，。则（因为，且在上单减。）。即每对调整一次就会减小一次，当调整到时达到最小，所以。 不等式的证明往往是很多同学感觉到头痛的问题，要很好的掌握其证明方法与技巧确实不容易。所以，在平时的学习过程中要抓住手中现有的题目特别是教材上的题目多反思、归纳、总结、延伸，以旧题创新题，以旧解拓新解。本文拓展和都用的是逐步调整法，教材在排序不等式的证明过程中用的就是这种方法，解决具有对称性的多变
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