（应用数学专业论文）关于期权定价问题的数值方法.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 偏微分方程( p d e ) 的数值解法在科学计算领域占有非常重要的地位，尤其是当 一些工程、物理、生物、甚至经济的实际问题都可以简化为偏微分方程时，数值求 解的便捷性就显得更为突出期权定价理论是目前金融工程、金融数学研究中最为 前沿和热点的问题，同时最为最重要的的衍生工具之一，在防范和规避投资风险中 起着巨大的作用而支付红利的美式期权可以看作是自由边界的抛物型问题，所以 发展数值方法求解期权定价问题具有重要的理论和实际意义 目前关于支付红利的美式期权的数值研究比较少，常用的方法有二叉树方法和 传统的有限差分方法但是二叉树方法未考虑股票价格持平的情形，且计算时间较 长；标准的有限差分方法缺乏自由边界问题的处理且精度较低因此本文通过建立 变网格，将无限不确定的变量限制在一个有限的区域内，该区域根据节点数的不断 增加而不断扩展，以逼近真实的变量范围给定了这样一个有限区域，我们就可以 使用偏微分理论进行数值求解了 本文引言部分对定价理论作了概括性的回顾，介绍了期权理论早期、近期的发 展第二部分介绍了期权定价理论的经济背景、金融衍生物和最佳实施边界的基本 概念，并详细阐述了b l a c k s c h o l e s 微分形式的推导过程文章第三部分根据变量变 换将原i 廿j 题转化为热传导方程，通过自由边界的处理，使方程在一个不断扩展的有 限区域内求解，然后与紧致差分方法结合，得出闻题的数值解，并通过数值算例证明 了该方法比传统的有限差分方法的有效性第三部分在自由边界的处理基础上，给 出了期权定价问题的问断有限元格式的推导 本文的最后给出了相关的结论 关键词：期权定价；b l a c k - s c h o l e s ；紧致差分；间断有限元；自由边界；稳定性 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h en u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) i sa ni m p o r t a n ta r e ao fs c i e n t i f i cc o m p u t i n g ，s i n c et h e r ea r es om a n yp r o c e s s e s ，e g e n g i n e e r i n g ，p h y s i c s ，b i o l o g y , a n de v e n e c o n o m i c s t h i sm e t h o du s i n gp d e t h e o r yi sg r e a t l yc o n v e n i e n c e t h eo p t i o np r i c i n ga n dv o l a t i i i t ye s t i m a t ei sf i n a n c i a lp r o j e c t ，f i n a n c i a lm a t h e m a t i c sp r o b l e mo fl e a d i n ge d g ea sw e l la s ah o to n c a tp r e s e n t a tt h es a m et i m e ，o p t i o ni so n eo ft h ec o r et o o l so ff i n a n c i a ld e r i v a t i v es e c u r i t y , w h i c h p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ee f f e c t i v em a n a g e m e n to fr i s ka n di n v e s t m e n t a m e r i c a no p t i o n so n d i v i d e n d p a y i n gs t o c ki saf r e eb o u n d a r yp r o b l e mo fp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s o ， r e s e a r c h i n gm o r ee f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o d sb ea b l et os o l v et h i sp r o b l e mi sa l s oi m p o r t a n t n u m e r i c a lm e t h o d sf o rt i l ea m e r i c a no p t i o np r i c i n go nd i v i d e n d - p a y i n gs t o c ka r ef e w , s u c h a st h eb i n o m i a lt r e em e t h o d sa n ds t a n d a r df i n i t ed i f f e r e n t i a lm e t h o d s h o w e v e r , t h eb i n o m i a lt r e e m e t h o d sn e g l e c tt h ep o s s i b i l i t yo fn o n - f l u c t u a t i n gp r i c e s ，a n dc o m p u t a t i o nt i m ei st o ol o n g ；t h e o r d i n a r yf i n i t ed i f f e r e n t i a lm e t h o di sl a c ko fa n a l y s i so ff r e eb o u n d a r ya n dt h ea c c u r a c yi sl o w t h e r e f o r e ，t h i sp a p e rt r a n s f o r m su n k n o w na n du n b o u n d e dv a r i a b l er e g i nt ob o u n d e dr e g i nt h e o r y t h r o u g hv a r i a b l em e s h e sm e t h o d t h i sr e g i na p p r o a c h e st ot h er e a lr e g i nw h e nt h en u m b e ro f n o d e sa d dt o s ow ec a l lg e tn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h i sp r o b l e mu s i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a lt h e o r y t h ep a r to ft h i sm t r o d u c t i o nh a sd o n et h er e v i e w i n go fg e n e r a l i t yt ot h ep r i c i n gt h e o r y , i n - e l u d i n gd e v e l o p m e n to fe a r l ya n dm o d e mo p t i o np r i c i n g t h es e c o n dp a r ti n t r o d u c e st h ee c o n o m i c a lb a c k g r o u n da n dt h eb a s i cc o n c e p to ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e sa n do p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r y t h e nw ee d u c et h ed i f f e r e n t i a lf o r mo f b l a c k - s c h o l e s i nt h et h i r dp a r to f t h i sp a p e r o p t i o np r i c i n g p r o b l e mi st r a n s f o r m e dt oh e a te q u a t i o n ，t h r o u g ht h e o r yo ff r e eb o u n d a r y w h a t sm o r e ，w eg e t t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h i sp r o b l e mb yc o m p a c td i f f e r e n tm e t h o di ne x t e n d i n gf i n i t er e g i n ，a n d n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h en e wm e t h o di sv e r ye f f i c i e n tf o ro p t i o np r i c i n gp r o b l e m s i n t h ef o u r t hp a r t ，o nt h eb a s eo ft h e o r yo ff r e eb o u n d a r y , w eg e tt h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d o fo p t i o np r i c i n g t h er e l e v a n tc o n c l u s i o n sa r em a d ei nf i n a lc h a p t e r t i k e y w o r d s ：o p t i o np r i c i n g ；b l a c k - s c h o l e s ；c o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n t ；d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ； f r e eb o u n d a r y ；s t a b i l i t ya n a l y s i s 山东大学硕士学位论文 符号说明 原生资产的价格( 例如，股票价格) 敲定价格 期权的到期时间 时间变量 在t 时刻原生资产的价格 在t 时刻期权的价格 波动率 红利率 无风险利率 i i i s k t o 毋 巧 矿 q ， 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本论文的研究作出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任 由本人承担。 论文作者签名： 爱磊 日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇 编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：导师签名：垒渔遂 山东大学硕七学位论文 第一章引言 1 1 期权定价理论的历史回顾 期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论，同时也 是所有金融应用领域在数学上最复杂的问题之一第一个完整的期权定 价模型由布莱克( f i s h e rb l a c k ) 和斯科尔斯( m y r o ns c h o l e s ) 创立于1 9 7 3 年f i 】期 权定价理论产生的背景一一b l a c k s c h o l e s 期权定价模型的优点在于：首先， 提出了风险中性( 即无风险偏好) 概念，并且在该模型中剔除了风险偏好 的相关参数，大大简化了对金融衍生工具价格的分析；其次，该模型创 新地提出了可以在限定风险情况下追求更高收益的可能，创立了新的金 融衍生工具标准期权。期权交易诞生后，许多大证券机构和投资银行都运 用b l a c k s c h o l e s 期权定价模型进行交易操作，该模型在相当大的程度上影 响了期权市场的发展 控制风险是b l a c k s c h o l e s 期权定价模型的重要意义之一7 0 年代以后， 随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快，汇率和利率的波动更加 频繁，变动幅度也不断加大，风险也相应增加控制和减小风险成为所有 投资者孜孜以求的目标b l a c k s c h o l e s 定价模型提出了能够控制风险的期 权。同时，也为将数学应用于经济领域，创立更多的控制风险和减小风险 的工具开辟了道路。s c h o l e s 把经济学原理应用于直接经营操作，堪称理论 联系实际的典范。他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛 发展铺平了道路，也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融 资和风险防范手段，这对整个经济发展显然是有益的 期权定价理论是现代金融理论最为重要的成果之一，它集中体现了 金融理论的许多核心问题，其理论之深、应用之广、令人惊叹。现代金融 理论的发张趋势主要体现在：随机最优控制理论，鞅理论，脉冲最优控制 山东大学硕十学位论文 理论，最优停时理论，智能优化等。由于期权定价理论在金融证券市场 上的重要性，越来越多的数学家开始从数学角度研究b l a c k s c h o l e s 定价模 型 2 ，3 ，4 ，5 】。而定价模型取决于原生资产价格的演化模型( 例如b r o w n 运动) 。 在连续时间情形，原生资产价格演化町以通过随机微分方程来描述，从 而在此基础上，作为它的衍生物一一期权的价格适合的是一个偏微分方 程的定解问题。因此，我们可以很自然地想到把偏微分方程作为工具，导 出期权的定价公式，对期权的价格结构作深入的定性分析，以及利用偏 微分方程数值分析方法给出求期权的价格。随着计算机的先进性和普及 性，数值方法在求解期权定价，特别是一些复杂的期权定价问题，如复合 期权，选择期权等，显示出了其强大的优越性。 经过3 0 年的研究，很多经济学家对不完善市场、基础资产的价格存 在异常变动跳跃或者基础资产报酬率的方差不为常数等情况下的期权定 价问题，以及美式期权定价问题进行了广泛研究，取得了重要的研究成 果。目前，在金融市场上交易的期权大部分是美式期权，而美式期权的 定价问题要比欧式期权定价复杂得多一般情况下，美式期权没有精确 的解析定价公式，只能使用解析近似解方法或数值方法进行求解。目前 比较成熟的数值方法主要有：蒙特卡罗模拟方法、树图方法、偏微分方 程数值方法等。在树图方法中，最常见的是二叉树参数模趔f 6 ，7 。科克斯 ( c o x ) 、罗斯( r o s s ) 和卢宾斯坦( r u b i n s e t e i n ) 于1 9 7 9 年在论文期权定价：一种 简化方法中首次提出了二项式模型( b i n o m i a lm o d e l ) ，该模型建立了期权 定价数值法的基础科克斯在文献 8 】中首次提出了美式期权的二叉树方 法，随后j a r r o w 9 和h u l l 1 0 和b o y l e 1l 】近似地提出了一种三叉树方法，这 种方法比二叉树方法更精确。姜礼尚 1 2 】系统地阐述了期权定价的数值 差分方法。b r e n n a n ，s c h w a r t z 1 3 和c o u r t a d o n 1 4 使用有限差分方法求解美式期 权。k i m 1 5 ，j a c k a l 6 和c a r r 1 7 提出了一种积分形式处理美式期权定价和自 2 山东大学硕十学位论文 由边界问题的方法。l o n g s t a f f ，s c h w a r t z 1 8 使用最小二乘法技术，运用蒙特 卡洛法模拟出美式期权定价问题，获得了很好的计算结果d y t a n g m a n 和 a g o p a u l 提出了一种新型快速的差分方法求解美式期权定价问题 1 9 1 。另 外还有许多关于期权定价问题的高精度数值方法 2 0 ，2 l 】 自1 9 9 5 年开始，中国期权市场发展仅有十几年的时间，但期权市场需 求已相当成熟。如何对期权风险进行有效的管理和控制，已关系到期权 开发能否从研究阶段过度到试运行阶段。而要对期权风险进行有效的管 理和控制，首先就必须对金融衍生工具特别是期权进行合理的定价因 此，对期权定价方法的研究就显得尤为重要。 1 2 早期期权定价理论的发展 期权的思想萌芽可追溯到公元前1 8 0 0 年的( 汉谟拉比法典，而早在 公元前1 2 0 0 年的古希腊和古腓尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的 雏形，只不过在当时条件下不可能对其有深刻认识。公认的期权定价理 论创始人是法国数学家l o u i sb a c h e l i e r 1 9 0 0 年，他在博士论文“投机理论” 中第一次对股票价格的走势给予了严格的数学描述他假设股票价格变 化过程是一个无漂移和每单位时间具有方差盯：的纯标准布朗运动，并得 出到期日看涨期权的预期价格是： 吣郴州茄m 州蔫m 瓜州茄】 其中以s ，r ) 表示f 时刻股票价格为s 时期权的价值，k 表示期权的执行价 格，m ( ) 表示标准正态分布函数，掣( ) 表示标准正态分布密度函数为与股 票的零预期价格变化假设一致，他没有为得到现值而贴现预期值。按照 现在的标准来看，这一模型仍有不少可取之处，但是它在两个方面还是 稍有不足：一是绝对布朗运动的应用允许股票价格为零的假设，它忽视 了资金的时间价值为正，期权和股票间不同的风险特征；二是风险厌恶 气 山东大学硕士学位论文 特征和程度。虽然有此不足，实际上该公司对预期短期看涨期权的价格 非常适用。但在长期期权价格的判断中，因要求期权价格与期限的平方 根成正比例增加而失效。 在l o i sb a c h e l i c r 以后，s p r c k l c 于1 9 6 1 年对期权定价模型进行了发展，假 设股票价格变化过程服从具有固定平均值和方差的对数分布，且该分布 允许股票价格有正向漂移，他得到的看涨期权价值公式为： v ( s ，f ) = e a t t - t ) s o ( d 1 ) 一( 1 一, 0 k m ( 吨) 其中 d l ：i n ( s k ) + ( _ , r + = o - 了2 2 ) ( t 一- t ) ， ，：dia2a l 一盯沂一t = ：= = = = _ 一， = 一盯v 一 矿、t t 参数丌是市场“价格杠杆”调节量，仃是股票预期收益率。这一模型同样 也没有考虑资金的时间价值。 b o n e s s 在1 9 6 4 年也提出了类似的模型，他对股票收益假定了一个固定 的对数分布，并且认识到风险保险的重要性为简明，他假定“投资者不 在乎风险”他利用这一假设证明了用股票的预期收益率来贴现最终期 权的预期值。他的最终模型是： v ( s ，f ) = s m ( d 1 ) 一严( ，一，) k m ( 吨) 其中，d l 和啦如前面所定义这一等式在形式上与后来的b l a c k s c h o l e s 公 式完全相同。唯一区别是仃的用法，此处是股票的预期收益率而不是无 风险收益率r 假如b o n e s s 将投资者不在乎风险的假设代以逻辑结论甜= ， 他将推导出b l a c k s c h o l e s 方程当然，他的推导仍需建立在风险中性的假 设基础上 s a m u e l s o n 于1 9 6 5 年认识到，由于不同的风险特性，期权和股票的预期 收益率一般来说是不同的。他的欧式看涨期权的模型是： v ( s ，f ) = p 叩7 一7 ) s m ( d 1 ) 一矿似7 一o k m ( 击) 4 山东大学硕士学位论文 其中，而和吨如前面所定义。而当取口= 卢时即为前面的b o n e s s 模型。 s a m u e l s o n 和m e r t o n 在1 9 6 9 年用一种资产组合选择的简单均衡模型检验 了期权定价理论，这种模型允许内生的确定股票和期权的预期收益。他 们证明了期权问题可以用函数形式的“公共概率”项来表示，这种函数形 式与用真实概率所表述的问题一样。以这种方式表示时，调整过的股票 预期收益率和期权预期收益是一样的。这一方法使用了现在被认为是理 所当然的估计期权的风险中性或偏好自由的发展成果。 1 3 现代期权定价理论的发展 现代期权定价理论的革命发生在1 9 7 3 年，美国金融学家b l a c k 和s c h o l e s 在有效市场和股票价格遵循几何布朗运动等一系列假设条件下，运用连 续交易保值策略推出了著名的b l a c k - s c h o l c s 定价模璎。b l a c k s c h o l e s 定价模 型的核心在于设计了一个套期组合策略，使得期权市场投资的风险为零， 这是对期权定价公式建模思路的高度概括。它告诉我们，如果构造了这 样的套期组合，并且能够完全复制期权的收益及风险特性，那么下列两 个量均应当与期权当前的公平价值相等：第一，构造该套期组合的当前 成本；第二，该套期组合在期权到期日价值的期望值按无风险利率贴现 的现值 b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型的基本假设如下： ( 1 ) 允许使用全部所得卖窄衍生证券； ( 2 ) 没有交易费用或税收； ( 3 ) 在衍生证券的有效期内没有红利支付； ( 4 ) 不存在无风险套利机会； ( 5 ) 证券交易是连续的； ( 6 ) 无风险利率r 为常数且对所有到期日均相同； 5 山东大学硕士学位论文 ( 7 ) 股票价格遵循下述几何布朗运动； d s = l a s d t 牟c r s d w 其中，p 是股票的预期收益率，r r 是股票价格波动率，和丌均为常数。d w 是一个维纳过程，即： d w ：8 厮 s 服从标准正态分布( 即均值为0 ，标准方差为1 0 的正态分布) 。 b l a c k 和s c h o l e s 给出了标的资产为不支付红利的股票的衍生证券在时 刻t 的价格雕，) 所满足的偏微分方程： 箬+ 心箬+ 知2 笨= r f 这就是著名的“b l a c k s c h o l e s 微分方程”该方程的一个重要特性在于 不包含股票的预期收益率p ，使其独立于投资者的偏好。 b l a c k s c h o l e s 模型给出了所有的可以用标的变量定义的不同衍生证券 的价格所满足的偏微分方程，不同的衍生证券有着不同的边界条件。当 所研究的衍生证券没有精确解析公式时，通常运用数值计算方法为其定 价在b l a c k s c h o l e s 模型中给出了欧式期权定价公式，但美式期权定价问 题则要复杂的多现在市场上存在的大量美式衍生证券，就常常找不到 相应可行的解析公式来求解其价格，所以数值方法就称为了一种相当重 要的衍生证券定价方法。 1 4 本文的主要研究工作 一般说来，美式期权定价问题的数学模型可归结为抛物型方程自由 边值问题或相应的线性互补问题目前大多数数值方法的研究工作主要 是针对线性互补问题的，直接针对自由边值问题的还比较少见，这是由 6 山东大学硕士学位论文 于美式期权的自由边界( 最佳实施边界) 是未知的，这给数值方法的构造 带来了困难。从金融实际角度考虑，人们通常关心的期权在最佳实施边 界内的值和期权的最佳实施边界，在最佳实施边界以外的期权值可利用 期权的损益函数直接得到。 有限差分方法是解偏微分方程的主要数值方法 2 2 】由于数字电子计 算机只能存储有限个数据和做有限次运算，所以任何一种用计算机解题 的方法，都必须把连续问题( 微分方程的边值问题、初值问题等) 离散化， 最终化成有限形式的线性代数方程组首先对求解区域作网格剖分，用 有限个网格节点代替连续区域；其次将微分算子离散化，从而把微分方 程的定解问题化为线性代数方程组的求解问题中心差分格式具有二阶 精度，但是却只能在很小的网格参数下才能稳定。迎风差分格式虽然无 条件稳定，却只有一阶精度。因此寻求稳定性好、精度高的差分格式称为 当前研究的重要课题近年来出现的紧致差分格式因其与二阶中心差分 格式涉及相同的网格节点( 例如一维情况时只用到三个节点) ，运算量小、 计算时间短、整体精度高而日益受到重视【2 3 】 有限元方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力 学问题的数值求解方法有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确 地模拟各种复杂的曲线或曲面边界，网格的划分比较随意，可以统一处 理多种边界条件，离散方程的形式规范，便于编制通用的计算机程序，在 固体力学方程的数值计算方面取得巨大的成功。而近几十年，间断有限 元方法已得到了越来越广泛的应用 2 4 1 鉴于传统数值方法在时间和空间上精度都比较低，近年来，有许多科 研工作者开始致力于高精度格式的研究【2 5 ，2 6 】，研究实践表明，提高数值 方法的精度对于提高问题的求解能力是一个非常有效的途径。本文将针 对美式期权的定价模礅的抛物型方程自由边值问题，提出变网格的数值 7 山东大学硕士学位论文 方法一一紧致差分方法和间断有限元方法。 本文的基本思想是：首先建立一个自由边界所满足的期权定价模型， 该问题是一个倒向随机微分方程，通过变量代换将变系数方程化为常系 数方程，将反向时间问题化为正向时间问题，即热传导方程。对于此问题 自由边界的处理，具体做法是，在定义域趋于无限的那一端，给定一个人 工自由边界方程，以便确定未知的自由边界值。这样在人工区域内，利用 变网格思想，在每一时间层用紧致差分格式求出期权值后，利用此方程 求出相应的自由边界点，进而调整网格的下一步计算，以此类推，得到紧 致差分格式。根据目的不同取值，分别给出e u l e r 向后差分和c r a n k n i c o l s o n 差分格式，并且证明了该格式的稳定性，接着，对于支付红利的美式看涨 期权给出了数值算例，证明该方法的处理非常有效，并且精度也比标准 的有限差分方法高。最后，本文还提出了美式看涨看跌期权定价的间断 有限元方法。 8 山东大学硕士学位论文 第二章b l a c k - s c h o i e s 模型的建立和定价公式的推导 2 1 期权定价理论的经济背景和基本概念 期权定价问题是目前金融工程、金融数学所研究的前沿和热点问题 在金融市场商品市场上，风险无处不在：资产风险( 股票) ，利率风险， 货币风险( 汇率) ，信用风险，商品风险等。作为风险管理工具一一金融衍 生物( f i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ) 也有多种形式，其中远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t s ) ，期货 ( f u t u r e s ) 和期权( o p t i o n s ) 是三种最基本的金融衍生工具。 金融衍生物的价值依赖其他更基本的原生资产( u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的价格 变化。如果把原生资产设定为股票，债券，汇率或商品等。那么为了对这 些原生资产进行风险管理，相应的有：股票期权，债券期权，货币期权以 及商品期权等。 期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或 卖一定数量的基础商品( u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的选择权期权价格是期权合约中 唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈 亏状况，是期权交易的核心问题。期权作为一种独特的衍生金融产品，它 使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。金融期权创立 于2 0 世纪7 0 年代，并在8 0 年代得到了广泛的应用。如今，期权已经成为 所有金融工具中不可或缺的功能最多的工具因此，了解期权的定价问 题，具有极其重要的意义 期权持有人具有按协议条款在确定时间实施这个协议的权利，但不 负有必须实施这个协议的义务在期权合约中，确定价格称为实施价格 ( e x e r c i s ep r i c e ) 或敲定价格( s t r i k ep r i c e ) ，确定日期称为到期日( e x p i r yd a t e ) ，按期 权合约规定执行购入或销售原生资产称为实施( e x e r c i s e ) 。 设k - 敲定价格，t - 到期日，则在到期日期权的收益( 期权的价值) 蜥： 9 山东大学硕士学位论文 吩= ( s r k ) + ，( 看涨期权) 吩= ( k s 丁) + ，( 看跌期权) 看涨期杈 看跌期杈 期权作为一种衍生证券，它的定价决定于原生资产价格的变化。也就 是说，若在t 时刻原生资产价格为s ，期权价格为巧，则存在函数z ( s ，以确 定的二元函数) 使得 所= v ( s ，。，) 在期权的到期日期权的价值所是确定的，它就是期权的收益： ， i r k ) + ，( c a l lo p t i o n ) r21 l 衅一s7 ) + ，( p u to p t i o n ) 、 期权定价问题就是求v = v ( s ，) ( o ss ，0 t 7 ) 使得 ， i ( s7 一目+ ，( c a l lo p t i o n ) v ( s ，丁) 2 l ( 足一s7 ) + ，( p u to p t i o n ) 特别是在期权生效日f = 0 ，若股价为s o ，它的期权金 1 0 p = v ( s o o ) = ? 因此期权定价问题是一个倒向问题。 山东大学硕士学位论文 2 2b l a c k - s c h o l e s 模型微分形式的推导 1 9 0 0 年法国数学家b a c h e l i e r 就发表了第一篇关于期权定价的文章一投 机交易理论。在这篇义章巾他首次利用随机游动的思想给出了股票价格 运行的随机模型，奠定了现代金融学的基础。p a u ls a m u e l s o n ( 诺贝尔经济学 奖的获得者) 于1 9 6 4 年对l - b a c h e l i e r 的模型进行了修正，以股票的回报代替 原模型中股票的价格 若s ，表示股票价格，那么鲁表示股票的回报，那么修正后的随机微 分方程是 7 d s i ：d t + o d w t t a t c r a w t( 1 ) 1 = ij l j ， 为了给出这个模型的微分形式，我们首先假没 a 原生资产价格演化遵循几何b r o w n 运动 其中 p 一期望回报率( e x p e c t e dr e t u r nr a t e ) ( 常数) ， 俨波动率( v o l a t i l i t y ) ( 常数) ， d w t 一标准b r o w n 运动( s t a n d a r db r o w nm o t i o n ) ， e ( j 彤) = 0 ， v a r ( d w t ) = d t ， b 无风险利率r 是常数， c 原生资产不支付股息， d 不支付交易费( t r a n s a c t i o nc o s t s ) 和税收( t a x ) ， e 不存在套利机会 利用一对冲技巧，设在时刻t 形成投资组合兀，并在时段( ，t + 内， 不改变份额那么由于兀是无风险的，因此在时刻，+ d t ，投资组合的回 山东大学硕士学位论文 报是 即 由于 h t + _ d = t - 一 - i t ：，魂 兀， d v t - a d s t = rhd t = r w t 一酪t d r ) t 巧= v ( s ，) ， ( 2 ) 其中s ，是由随机微分方程( 1 ) 确定的随机过程，因此由i t b 公式 d = ( 箬+ 三户s 2 豢+ 矽o r ) 斫+ 稚筹d 孵 把它代入( 2 ) 得 ( 百o v + 互1 矿2 s 2 豢+ 筇筹一却s ) 协+ ( 旷s 筹一时s ) d 彤= r c v - a s ，衍c 3 ， 由于等式右端是无风险的，因此等式左端随机项d w t 的系数为0 ，即选取 = 两o v ，将它代入( 3 ) ，并消去魂得到 罾+ 兰槲等+ 心箬州= o 这就是刻画期权价格变化的偏微分方程一一b l a c k s c h o l e s 方程。 为了得到支付红利的期权定价方程，我们将之前的假设作如下推广： a 原生资产价格适合随机微分方程 百d s t ：( o d t + 矿( ，) d w t b 无风险利率r = 们， c 原生资产连续支付股息( 红利) ，红利率是q ( t ) ， d 和e 不变 1 2 山东大学硕士学位论文 类似于之前的推导，得到v 满足的偏微分方程： 苦+ 宇s 2 象+ ，一删，s 箬一m 矿= 。 由于美式看涨期权和看跌期权的对称关系 2 7 】，本文将仅限于讨论支 付红利的美式看涨期权 2 4 美式期权定价问题的最佳实施边界 美式期权定价是一个非线性问题，除了永久美式期权以外，它的定 价一般无法用显式表达式给出另外，它的数学模型是一个偏微分方 程自由边界问题。所谓自有边界，就是一条未知的交界线，它把区域 0 s ，0 ，t 分成两个部分，一部分是继续持有区域，另一部分是终 止持有区域，这条自由边界在金融上称为最佳实施边界。因此，从数学的 角度研究美式期权，就是研究最佳实施边界的性态 若s 。( f ) ，s p ( r ) 和s 坤，s n 。分别表示具有同一敲定价格的一般美式看涨， 看跌期权和永久美式看涨，看跌期权的最佳实施边界 对于美式看涨期权，我们有， s 。( f ) 单调递减，凸函数； l3 山东大学硕士学位论文 ( 等，砷嗵c 耶蹦咏。 对于美式看跌期权，我们有， s p ( ，) 单调递减，凸函数； 。 s c ( f 灯) - m i n 睁刁 综上所述，在假设市场是风险中性的情况下，我们所要讨论的支付红 利的美式看涨期权的价格v = v ( s ，) 可以看作是满足如下自由边界问题的 抛物型方程： 巧+ 三，s 2 以，+ p q 芦一r 矿= o ( 5 ) r ( s ( ，) ，) = s ( f ) 一k ( s ( f ) ，) = 1 ，0 t t z ( s ，r ) = m a x ( s k 0 ) ，0 s s 。( r ) v ( s ，d = s 一丘s 。( f ) s + o o 这里，s ( ，) 是未知的自由边界，它是t 的单调减函数，在期权到期e t 有 1 4 s ( 7 3 = m a x ( q k , k ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) 山东大学硕士学位论文 第三章b l a c k - s c h o l e s 模型的紧致差分格式及理论分析 3 1 问题的提出 美式期权定价问题( 5 ) ( 9 ) 是一个复杂的偏微分方程，很难直接应用紧 致差分格式求解。p a n t a z o p o u l o s 2 8 和k e n g h s i n 2 9 分别介绍了变量代换的方 法将偏微分方程转化为简单的热传导方程。本文就在此基础上采用类似 的变量代换： 1 - = 妄o r 2 ( 7 一，) 1 - 2 = 口9 【一” 川n ( 妻) + h 川n ( 半卜足= 吾c h v ( s ，f ) = k u ( x ，r ) + s k 直接计算，我们可以很容易将( 5 ) 一( 9 ) 倒向问题转化为如下正向问题： 蜥一奶“+ r u = “r ) ，0 1 - t i ， - - 0 0 x 烈r ) l i mu ( x ，1 - ) = 1 一矿打，0 fst l j 一 l ，( q ( r ) ，1 - ) = 0 ，( q ( 1 ) ，1 - ) = 0 ，0 1 t i u ( x ，0 ) = m a x ( i 一矿，o ) ，一o o o 易知“0 ，因此以o ) = ，l 0 。显然当j ，一+ o o 时，妒o ，) 竺+ 。( r ) ， l8 山东大学硕七学位论文 在空间上利用四阶紧致差分逼近公式， 6 2 x u j = 竺上学为空间 中心差商，则 = ( + 甜1 蛳呐 因此，方程( 11 ) 离散化，则其紧致差分格式为 丛a m - 一( - + 瓦h 2 吩r 2 j 、i 砖+ i + ”鳓卅( 吵”口) 例( 2 5 ) 左右两边同时乘以人r ( 1 + 瓦h 2 ! ) ，则 ( t + 鲁6 0 ( 哆+ 1 一哆) 一而：( 日哆+ i + ( - 一日) 哆) + 尺r ( 一+ - h 。2 26 2 1 ( 8 哆+ 1 + ( - 一d 哆) 咄( - + 铷) ( 9 矿+ ( 1 川矿) ， 整理得 c + o r f ，哆+ l + ( 笔一弘t ( 一尺鲁) ) 哆+ l + c c 一一回r a t - i ，哆+ ( c ，一r ( - + 尺篙) 一鲁) 6 ；哆 = 弘啊+ i + ( 1 一d 啊+ 弘f 鲁砖矿+ l + ( 1 一日) r 西h 2 磋矿 由于显格式受稳定性的限制，故现在只考虑问题的隐格式情况。首 先，我们给出e u l e r 向后紧致差分格式，取0 = 1 ( 1 + r a t ) 哆+ i + ( 笔一r ( 1 一尺瓦h 2 。，2 哆一西h 26 1 形= 孵+ l + f 乾h 2 c ，- ，2 乃“, n + i ， ( 2 8 ) 则 ( + 篙砖) ( 哆一哆) 一邂哆+ l + t 尺( + 笔) 哆= f ( t + 瓦h 2 6 ；) 矿+ 1 ， 整理得 争扣+ 2 妒1 啦+ 击