（应用数学专业论文）加倍测度意义下均匀康托集的肥性和瘦性.pdf

摘要 本文主要探索直线上均匀c a n t o r 集是拟对称肥集和拟对称瘦集的充要条 件全文共分为四部分：第一部分，我们概括地介绍了前人所做的工作，并由 此引出本文所考虑的主要问题第二部分，我们给出了本文的主要结论，并从 拟对称映射，加倍测度，均匀c a n t o r 集及拟对称肥集和拟对称瘦集的定义出 发，系统给出本文需要用到的重要引理及其证明第三部分，我们证明本文的 两个主要结论； ( 1 ) 设e = e ( _ ( 几知】， c 七) ) 为均匀c a n t o r 集，则在【0 ，1 】上加倍 测度意义下，e 是肥集的充要条件是：是1 ( n k c k ) p ，对所有的0 p 1 成立第 四部分，我们指出有待进一步考虑的问题 关键词 拟对称映射；加倍测度；均匀c a n t o r 集；拟对称肥集；拟对称瘦集 文中关于均匀c a n t o r 集在加倍测度意义下的肥性和瘦性的充要条件这部分内容被收 录在n o n l i n e a r i t y2 2 ( 2 0 0 9 ) 5 4 5 - 5 5 1 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o no ft h et h i c k n e s sa n dt h i n n e s so f u n i f o r mc a n t o rs e t so nt h er e a ll i n ef o rd o u b l i n gm e a s u r e s i tc o n t a i n sf o u rp a r t s i n p a r to n e ，w es u m m a r i z et h ew o r k sd o n eb yf o r m e rr e s e a r c h e r s t h e n ，w ed r a wf o r t h t h ep r o b l e m sw ew i l ld i s c u s s i np a r tt w o ，w es h o wt h et h e o r e m s ，w h i c ha r et h em a i n w o r k so ft h i sp a p e r ，a n dt h el e m m a st h a tw i l lb eu s e dt op r o v et h e m i np a r tt h r e e ， w es h o wt h ed e t a i l so ft h ep r o o fo ft h et w ot h e o r e m s ：( 1 ) l e te = e ( 礼七) ， 吼) ) b e au n i f o mc a n t o rs e t t h e nei st h i c kf o rd o u b l i n gm e a s u r e so i l 0 ，1 】i fa n do n l yi f 器l ( n k c k ) p 。of o ra l l0 p 0 ，有m l k i p 0 ，有产簖 ，因此，对所有p 0 ，有产醒 。o ， 但是当p 1 2 时，貉l f k i p 发散f 4 】 但是，经过简单的验算可知：对于中间区间c a n t o r 集，由结论( 1 ) 的条件 可以推得结论( 2 ) 的条件成立 那么，结论( 2 ) 中给出的 q 。卜t h i c k 集e 是拟对称肥集的充分条件还能 减弱吗? s t a p l e ss 和w a r dl 给出了否定的回答：如果 a 。】是递减序列， 1 湖北大学硕士学位论文 q 。一0 ，0 0 ，e 产醒 o o 成立，这个条件是不是中间 区间c a n t o r 集成为拟对称肥集的必要条件呢? 如果不是，那么其必要条件又 是什么呢? 如果推广到更一般的情况，均匀c a n t o r 集是拟对称肥集的充要条 件又是什么呢? 2 0 0 1 年，b u c k l e ys m ，h a n s o nb 和m a c m a n u sp 用反证法证明了中间 区间c a n t o r 集e = e ( 【q ) 是拟对称肥集的充分条件即是其成为拟对称肥集 的必要条件f 5 】，在证明过程中，所用的构造加倍测度的方法源自k a h a n ej p 的文章t r o i sn o t e ss u rl ee n s e m b l e sp a r f a i t sl i n 邑a i r e s 【引这就对我们上面提出的 第一个问题给予了肯定的回答至于均匀c a n t o r 集成为拟对称肥集的充要条 件是什么，这就是本文讨论的主要问题之一 由于均匀c a n t o r 集e = e ( 礼七) ， 】) 可以看成是 t z k c k 一t h i c k 集，根据 【4 中的相关结论，我们推测，芒1 ( n k c k ) p o 。，对所有的0 p 1 成立，就 是均匀c a n t o r 集e = e ( n 知) ，_ c 岛) _ ) 是拟对称肥集的充要条件并且我们给出 了证明这样，我们就得到了均匀c a n t o r 集是拟对称肥集的充要条件 拟对称瘦集是与拟对称肥集相对应的一类特殊的分形集1 9 9 3 年，w u j m 给出了 a 。卜多孔集是拟对称瘦集的充分条件：产q 磐= o 。对所有 k 1 成立，其中，0 q n 1 1 7 并且证明了结论中的条件不能减弱：如果 0 n n 0 成立f 7 】至此， 一个很显然的问题出现了：e 是拟对称瘦集的必要条件是什么? 类似于讨论均匀c a n t o r 集是拟对称肥集的充要条件，本文证明了：如果 e = e ( n 七) ， 】) 为均匀c a n t o r 集，则e 是拟对称瘦集的充要条件是： 罂l ( n k c k ) p = 。，对所有的p 1 成立这是本文讨论的另一个主要问题 2 第二章预备知识及本文主要结果 第二章预备知识及本文主要结果 2 1拟对称肥集与拟对称瘦集 在给出拟对称肥集和拟对称瘦集的定义之前，我们先来看一下什么是拟对称映 射，以及在一维情形下，拟对称映射和加倍测度之间的关系 定义2 1 1 ( 拟对称映射) 实直线r 上的递增自同胚映射，称为拟对称映射，如 果存在k 1 满足 三 1 满足： 4 j ，l 霄1p ( 【o ，1 d p ( ，) 去i ，i k p ( 【o ，1 】) 【引 利用和引理2 1 1 相似的证明方法，我们显然可以得到关于加倍测度的一个基本 性质 推论2 1 1 设p 是【0 ，1 】上的k 一加倍测度，j 和j 是 0 ，1 】的子区间，且jcj ， 则 a c 渺船纠黔 其中，q 【0 ，l 】，p ( 1 ，) ，a ( 0 ，1 ) 且都仅依赖于k 下面我们给出拟对称肥集和拟对称瘦集的定义 定义2 1 4 ( 拟对称肥集的定义1 ) 称实直线上的子集e 是拟对称肥集，如果对实 直线上每一个拟对称映射，集合f ( e ) 都有正的l e b e s g u e 测度 由注2 1 4 ，显然，我们可以得到拟对称肥集的另一个等价定义 定义2 1 5 ( 拟对称肥集的定义2 ) 称实直线上的子集e 是拟对称肥集，如果对实 直线上所有加倍测度p ，都有p ( e ) 0 定义2 1 6 ( 拟对称瘦集的定义1 ) 称实直线上的子集e 是拟对称瘦集，如果对实 直线上每一个拟对称映射，都有i ，( e ) l = 0 同样地，我们根据注2 1 4 可以得到拟对称瘦集的另一个等价定义 定义2 1 7 ( 拟对称瘦集的定义2 ) 称实直线上的子集e 是拟对称瘦集，如果对实 直线上所有加倍测度p ，都有p ( e ) = 0 注2 1 6 在本文中，我们说一个集合在加倍测度意义下是肥集( 简称肥集) 和在 加倍测度意义下是瘦集( 简称瘦集) 就是分别指拟对称肥集和拟对称瘦集 2 2均匀c a n t o r 集 定义2 2 1 ( 均匀c a n t o r 集) 设e o = 0 ，1 】， n 七) 是l 是一列正整数序列， 吼) 茫l 是( 0 ，1 ) 中的实数序列，且满足：i l k c k 1 对所有尼1 成立假设【既】茫。是【0 ，1 】 中的闭集套，且满足以下条件： ( a ) 对每个k 1 ，鼠是互不相交的等长的闭区间的并； 4 第二章预备知识及本文主要结果 ( b ) 砍一l 的每个构成区间，都包含n 七+ 1 个玩中的区间，取中最左边的那个 区间和，有相同的左端点，风中最右边的那个区间和，有相同的右端点，并且这 n 七+ 1 个区间所形成的礼七个空隙的长都等于c k l l i 则集合 e ：= e ( 礼七】- ， ) ) = ne k 称为均匀c a n t o r 集 从均匀c a n t o r 集的定义出发，对其结构进行分析，我们可以得到如下一些基本 结论 设e = e ( 佗七) ， ) ) 是均匀c a n t o r 集记取的构成区间的个数为帆，长度为 如，则由均匀c a n t o r 集的定义，有 帆= n ( h i + 1 ) 且 以= 珥诗 t = l 那么，显然可以得到 i e i = ( 1 一心q ) 对于每一个k21 ，令吼是后级空隙的全体，即：9 岛是构造鼠时从既一1 中去 掉的区间的全体显然，8 9 k = n k l n k ，并且对所有j 吼有i j i = 以一1 ，其中，# 表示个数令g = u 芒1 吼，则9 就是【0 ，1 】e 的构成区间的全体 下面，我们给出一个关于均匀c a n t o r 集的引理 引理2 2 1 设e = e ( 礼七) ， 吼) ) 是均匀c a n t o r 集，p 是【0 ，1 】上的k 一加倍测 度，则 ( 1 4 ( n k c k ) 。) p ( e k 一1 ) p ( f k ) ( 1 一a ( n 七c 七) 卢) p ( e k 1 ) ， 其中，q ，卢和入同推论2 1 1 证明：设，是e k 一1 的构成区间，以，如，, i n 。吼是j 所包含的k 级间隙 把区间j 等分成礼k 个区间，记为坷，龙，龙。，假设这些空隙和区间按下标递增 排列，则对任意1 i n 七，有 五 高一 5 湖北大学硕士学位论文 由于肛是加倍的，故由推论2 1 1 可知 a ( n k c k ) p 篇 4 ( n k c k ) q 取遍所有的i ，则 入( n 知c 七) p p ( j ) p ( u 正) 4 ( n k c k ) 。p ( ，) 由于j n e k = i u 翟lj i ，所以由上面的不等式可以得到 ( 1 4 ( 佗七c 七) o ) p ( ，) p ( jne k ) ( 1 一a ( n 七c 七) 卢) p ( ，) 那么，我们取遍取一1 的所有构成区间，即可得到 ( 1 4 ( 礼k c k ) 。) p ( j 一1 ) 肛( e k ) ( 1 一a ( 扎c k ) p ) p ( j 一1 ) 引理得证 2 3本文主要结论 本文主要讨论的是在加倍测度的意义下，均匀c a n t o r 集是肥集和瘦集的充要条 件 定理1 设e = e ( 礼知) ， 鲲) ) 为均匀c a n t o r 集，则在【0 ，1 】上加倍测度意义下， e 是肥集的充要条件是： 是l ( n k c k ) p 。o ，对所有的0 p 0 ，因此，从直观上说，在分配测度时，把均匀c a n t o r 集e 的空隙上的测 度分配的相对少一些构造出加倍测度肛后，用和定理1 类似的方法我们可以得到 p ( e ) 0 ，从而推出矛盾完成必要性的证明 我们将在第三章给出定理1 和定理2 的详细证明 7 湖北大学硕士学位论文 第三章主要定理的证明 3 1定理1 的证明 为了完成定理1 的证明，我们给出在【0 ，1 】上构造非平凡加倍测度的一种方法 为此，首先给出分段l e b e s g u e 测度的定义 定义3 1 1 ( 分段l e b e s g u e 测度) 令p ：0 = x o x l 规= 1 是 0 ，1 】区间的 一个有限划分称测度p 是【0 ，1 】上关于划分p 的分段l e b e s g u e 测度，如果对于每 个区间 x i 一1 ，毛】，有p = g i k 一1 ，劫】| 成立其中，q ，a 是大于0 的常数 下面的引理告诉我们了利用分段l e b e s g u e 测度在 0 ，1 】上构造非平凡加倍测度 的一种方法 引理3 1 1 设是大于2 的整数对每个k 0 ，令口七是【0 ，1 】中长为“的 一进区间的全体如果 肌) 墨。是 0 ，1 】上的测度序列，且满足以下条件： ( 1 ) 对每个k ，胀是关于划分d 七的分段l e b e s g u e 测度； ( 2 ) 对每个i 口七，都有肌( ，) = 胀+ l ( n ( 3 ) 如果，j 是仇中任意两个相邻同父区间，则肌( ，) e 鲰( j ) ，其中，是大 于1 的常数； ( 4 ) 如果，j 是勿知中任意两个相邻异父区间，则# k ( i ) p k ( j ) = 舭一1 ( i ) a k l ( j ) 则序列 胀) 弱车收敛于【0 ，1 】上的一个k 一加倍测度其中，k 仅依赖于e 和 如果把条件( 3 ) ，( 4 ) 用下面更弱的条件代替，则结论仍然成立 ( 5 ) 对于巩中任意两个相邻的区间，j 都有：d k ( i ) e 鲰( j ) 证明由条件( 3 ) 和条件( 4 ) 显然可以得到条件( 5 ) ，故我们在条件( 1 ) ，( 2 ) ，( 5 ) 成 立的前提下证明引理结论即可 定义集合函数： p ：u 是o d 一【0 ，1 】 肛( ) = 弘知( ，) ， i d k 由条件( 2 ) 及测度的基本理论可知，集合函数p 可以延拓成 0 ，1 】上的测度而 且条件( 5 ) 表明测度p 在【0 ，1 】上是加倍的，加倍常数仅依赖于和 最后，给定一个函数f c o ，1 】，则有 z 1 ，舡七一1f d # i i e d ki ，中知一，舡| ，s u 。p 。训m a x 。i f ( z ) 一，( 可) f 第三章主要定理的证明 由于，一致连续，故当k 0 0 时，詹f d # k _ s o f d l z 这说明序列 触) 弱牛收 敛于p 引理得证 定理1 的证明： 充分性：设e = ( 几七) ， ) ) 是均匀c a n t o r 集，p 是 0 ，1 】上的k 一加倍测度如 果墨l ( n k c k ) p 0 0 对所有p ( 0 ，1 ) 都成立，则当k 一时，n k c k _ 0 那么，存 在正整数，使得4 ( n k ) a k o 都成立，其中，q 同推论2 1 1 则由 引理2 2 1 可得 p ( e ) i i ( 1 4 ( n k c k ) 。) p ( ) k = k o + l 而q ( 0 ，1 ) ，故墨1 ( n k c k ) 。 0 因此，在 0 ，1 】上的加倍测度的意义下，e 是肥集充分性得证 必要性：即要证明墨1 ( n k c k ) p 0 ， 南= l 从而可得是1 n k c k 。不失一般性，假设对所有的k 1 ，n k c k 0 对每一个k 0 ，记d k 为 0 ，1 】中长为“的一进区间 的全体显然，对每个j 9 ，存在整数m 满足j e m 一1 ，但j 垡e l m ，即j 是第仇 级的一个空隙把一l 中包含j 的构成区间分成礼m 个等长的子区间，其中，仅 有一个子区间包含j ，记为j + 则 j i = n 。c m l j i 下面，我们来构造一个分段l e b e s g u e 测度序列 设p o 是 0 ，1 】上的l e b e s g u e 测度，假设p o ，p 1 ，胀一1 已经定义好了，且满足 引理3 1 1 的条件，我们只需定义弘七即可由于胀是关于划分仇的分段l e b e s g u e 9 湖北大学硕士学位论文 测度，故对每个i 巩，只需定义胀( j 1 ) ，弘七( n ) 即可，其中，j r l ，i n z ) k 是 区间j 的子辈为此，考虑 a 南= j 9 ：j j i 1 0 n 一知+ 1 ) 由于对所有的k 1 ，n 七a 七 1 2 成立，因此，对4 南中任意两个不同的空隙，有 d i s t ( j 1 ，j 2 ) 昙“ 其中，d i s t 表示距离从而，口七一l 中任意两个相邻区间的并至多与ak 中一个空 隙相交令i 仇一1 ，1 1 ，i n 仇是区间j 的子辈，且按下标递增方式排列定 义舭( ) ，舭( n ) 时分以下两种情形 情形1 ：区间j 和九中的某些空隙相交 显然，在这种情形下，j 仅和a 中的一个空隙相交，记为j 由于f j i 茫。满足引理3 1 1 的所有条件设序列 肌) 弱 牛收敛于p ，则t 是k 一加倍测度，且加倍常数k 仅依赖于p 构造了 0 ，1 】上的加倍测度p 之后，我们要证明u ( e ) = 0 由于已知罢1 ( n 知) p = o 。，故只需证明 p ( e ) i i ( 1 一c ( 佗知c k ) p ) 知= 1 即可，其中，c 是仅依赖于p 的常数 那么，根据式( 1 ) ，又转化为证明 端砌晶尸 ( 2 ) p ( j + ) 一。、l j + i 7、。7 对所有j 9 成立 设j g ，考虑集合 z j = 七：n i j i 1 都成立因此，不失一般性，设对任意的k 1 ，n k c k 1 ，使得墨1 ( n k c k ) p 0 设p 已经给定测度p 的构造方法和定理1 中的构造加倍测度的方法是一样的 只是在这里，令a = n 1 _ p 1 ，是1 ( n k c k ) p = 定理2 得证 至此，本文的主要结论已经证毕在第四章中，我们将指出可以进一步考虑的问 1 3 湖北大学硕士学位论文 第四章总结 4 1可以进一步考虑的问题 在本文的写作过程中，我们遇到了很多问题，其中一些在本文中得到了解决， 并且，文中关于均匀c a n t o r 集在加倍测度意义下的肥性和瘦性的充要条件这部分 内容已经被收录在n o n l i n e a r i t y2 2 ( 2 0 0 9 ) 5 4 5 - 5 5 1 但还有一些问题尚未得到答案 在这一节中，我们把尚未解决的问题阐述一下，以便进一步研究 问题1 ： 本文证明了在加倍测度意义下，均匀c a n t o r 集是肥集的充要条件并且，对于 更一般的_ a 。卜t h i c k 集，我们已知在加倍测度意义下，它是肥集的充分条件，那么 能否给出它是拟对称肥集的必要条件呢? 同样地，对于 q n 卜多孔集，它是拟对称 瘦集的必要条件又是什么呢? 进一步，可以考虑 问题2 ： 如果对于 a n 卜t h i c k 集，它是拟对称肥集的充分条件不是其成为拟对称肥集的 必要条件，那么能否举出一个反例? 对于 q 。卜多孔集，也可以考虑类似问题 问题3 ： 如何进一步刻画直线上的拟对称肥集和瘦集? 1 4 参考文献 参考文献 【1 b e u r l i n ga ，a h l f o r sl a r s t h eb o u n d a r yc o r r e s p o n d e n c eu n d e rq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n g s j a c t am a t h e m a t i c a ，1 9 5 6 ，9 6 ：1 2 5 - 1 4 2 【2 h a k o b y a nh a c a n t o rs e t sm i n i m a lf o rq u a s i s y m m e t r i cm a p s j j c o n t e m p m a t h a n a l ，2 0 0 6 ，4 1 ：5 - 1 3 【3 h um e i d a n ，w e ns h e n g y o u q u a s i s y m m e t r i c a l l ym i n i m a lu n i f o r mc a n t o rs e t s j t o p 0 1 a p p l ，2 0 0 8 ，1 5 5 ：5 1 5 5 2 1 【4 s t a p l e ss u s a ng ，w a r dl e s l e ya q u a s i s y m m e t r i c a l l yt h i c ks e t s j a n n a c a d s c i f e n n m a t h ，1 9 9 8 ，2 3 ：1 5 1 1 6 8 5 b u c k l e ys t e p h e nm ，h a n s o nb r u c e ，m a c m a n u sp a u l d o u b l i n gf o rg e n e r a l s e t s j m a t h s c a n d ，2 0 0 1 ，8 8 ：2 2 9 2 4 5 【6 k a h a n ej p t r o i sn o t e ss u rl ee n s e m b l e sp a r f a i t sl i n 电a i r e s j e n s e i g n m a t h ， 1 9 6 9 ，1 5 ：1 8 5 - 1 9 2 【7 w uj a n g - m e i n u l ls e t sf o rd o u b l i n ga n dd y a d i cd o u b l i n gm e a s u r e s j a n n a c a d s c i f e n n m a t h ，1 9 9 3 ，1 8 ：7 7 - 9 1 【s h e i n o n e nj u h a l e c t u r e so na n a l y s i so nm e t r i cs p a c e s m n e wy o r k ：s p r i n g e r ， 2 0 0 l f 9 f a l c o n e rk e n n e t h 分形几何中的技巧f m 】曾文曲，王向阳，陆夷译东 北大学出版社，1 9 9 9 湖北大学硕士学位论文 1 0 a h l f o r sl a r sv l e c t u r e so nq u a s i c o n f o r m a lm a p s m v a nn o s t r a n dc o m p a n y i n c ，1 9 6 6 1 1 f a l c o n e rk e n n e t h m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o na n da p p l i c a t i o n s m j o h nw i l e y ，1 9 9 0 【1 2 f e n gd ，r a oh ，w uj t h en e tm e a s u r ep r o p e r t i e sf o rs y m m e t r i cc a n t o r s e t sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s j n a t u r a ls c i e n c e ，1 9 9 7 ，7 ：1 7 2 - 1 7 8 【1 3 k a u f m a nr ，w uj a n g - m e i t w op r o b l e m so nd o u b l i n gm e a s u r e s j r e v m a t h i b e r o a m e r i c a n a ，1 9 9 5 ，1 1 ：5 2 7 - 5 4 5 1 4 l u u k k a i n e nj ，s a k s m a ne e v e r yc o m p l e t ed o u b l i n gm e t r i cs p a c ec a r r i e sa d o u b l i n gm e a s u r e j p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 9 8 ，1 2 6 ：5 3 1 5 3 4 1 5 m a n d e l b r o tb b t h ef r a c t a lg e o m e t r yo fn a t u r e m n e wy o r k ：w h f r e e - m a n ，1 9 8 2 1 6 m a t t i l ap g e o m e t r yo fs e t sa n dm e a s u r e si ne u c l i d e a ns p a c e s m c a m b r i d g e u n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 5 1 7 s a k s m a ne r e m a r k so nt h en o n e x i s t e n c eo fd o u b l i n gm e a s u r e s j a n n a c a d s c i f e n n m a t h ，1 9 9 9 ，2 4 ：1 5 5 - 1 6 3 1 8 t u l d ap h a u s d o r f fd i m e n s i o na n dq u a s i s y m m e t r i c a lm a p p i n g s j m a t h s c a n d ，1 9 8 9 ，6 5 ：1 5 2 1 6 0 【1 9 v o l b e r ga l ，k o n y a g i ns v o nm e a s u r e sw i t ht h ed o u b l i n gc o n d i t i o n j m a t h u s s r - i z v ，1 9 8 8 ，3 0 ：6 2 9 6 3 8 2 0 】w a n gx i a o h u a ，w e