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基于混沌的扩展频谱通信 基于混池的扩展频谱通信 望3 3 7 0 2 6 摘要 本文对扩频和混沌的基本理论进行了深入的讨论。在介绍混沌 序列的产生并分析其性能的基础上，对l o g i s t i c - - m a p 混沌序列进 行了改进，理论分析和仿真实验均发现其与白噪声的统计特性一 致，适舍作为扩频地址码。针对混沌信号具有的随机性、宽带性、似 噪声以及对初始条件的极端敏感性的特点，本文最后用改进的l o g i s t i c m a p 混沌序列取代扩频通信系统中的伪随机码，利用计算 机模：潋的方法实现了扩频通信。 亡关键词 扩频通伪随藐序列混速i y a p h 厅i o v 指数初始条件 极端敏感混沌序列相关特性同步 tt h es p r e a d s p e c t r u m c o m m u n i c a t i o n b a s e d o nc h a o s i - a b s t r a c t t h i st h e s i sm a k e s at h o r o u g hr e s e a r c ho nt h e b 8 8 1 。t h e o r i e s o fs p r e a d s p e c t r u ma n d c h a o s b a s e do ni n t r o d u c e dg e n e r a t l o n a n da n a l y s e dc h a r a c t e ro f c h a o t i cs e q u e n c e t h ea u t h o r l l a s 1 m d r o v e dt h el o g i s t i c m a pc h a o t i c s e q u e n c e w ef i n dt h a t t h e l r s t a t i s t i c a lp r o p e r t i e sa r e i d e n t i c a lw i t ht h o s eo f w h l t en o i s ea n d t h e va f es u i t e dt ob es p r e a d s p e c t r u m a d d r e s ss e q u e n c e sb yt 1 1 e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds i m u l a t i c a | e x p e r ；, m e n t b e c a u s ed t h er a n d o m e n e s s ，b r o a d b a n df r e q u e n c ys p e c t r u m ，n o i s e l i k e a n de x t r e m e s e n s i t i v i t yt oi n i t i a l c o n d i t i o n so fc h a o t i cs i g n a l p s e u d or a n d o m c o d e si ns p r e a d s p e c t r u mc o m m u n i c a t i o ns y s t e m sa r e r e p i a c e d w i t hi m p r o v e dl o g i s t i c - - m a p c h a o t i cs e q u e n c e sa n d t h e8 p r e a d s d e c t r u mc o m m u n i c a t i o na r er e a l i z e db yc o m p u t e r s l m uj a t l o n k e y w o r d s s p r e a d s p e c t r u mc o m m u n i c a t i o n p s e u d o r a n d o m 8 。一 q u e n c e c h a 。sl y a p u n 。ve x p o n e n t e x t r e m es e n s i t i v i t y t oi n i t i a lc o n d i t i o n s c h a o t i cs e q u e n c e c o r r e l a t i o np r o p e r t y s y n c h r o n i z a t i o n 基于混沌的扩艘频谱通信 前言 在抗干扰和保密通信方面，扩频通信正越来越受到 们的重视，它是将待 传输的信息数据用高速率的伪随机编码调制，实现频谱扩展后再传输，接收端 采用同步的伪随机本地码进行解扩及相关处理，以可靠地恢复信源信息。可 见，实现扩频通信的关键在于有自相关函数接近8 函数的同步伪随机码( p n 码) “。混沌信号的似噪声、宽带和连续频谱的特征，正好是扩频通信中的 伪随机码的特征；另外通过它对初始值的敏感依赖性，可以提供数量众多、非 相关、类随机而又确定可再生的信号，这一特性也正好满足扩频通信的码分多 址的要求( 不同的用户对应不同的初始条件) 嵋“。正因为如此。对混沌扩频通 信的研究已成为当前混沌应用研究中的重要课题。 研究混沌扩频通信，一般是从两个方面进行的：混沌扩频序列的产生和混 沌扩频通信的同步。本课题主要侧重于混沌扩频序列的产生，具体地说主要是 围绕以下几个方面展开研究的： 1 扩频与混沌的基本理论研究 2 混沌扩频序列的产生及性能分析 3 对混沌扩频序列的改进 4 混沌扩频通信系统的实现 对混沌扩频序列的改进，我们不仅从理论上进行了分析，而且还做了大量 的仿真实验工作，得到的实验数据与理论值很接近，证实了理论分析结果是可 信的。此外还通过计算机模拟将改进的混沌扩频序列应用于扩频通信系统，成 功地实现了扩展频谱通信。 基于混沌的扩展频谱通信 第一章扩频与混沌的基本理论 扩频技术是一种信息处理传输技术。这种技术是利用同欲传输数据( 信 息) 无关的码对被传输信号扩展频谱，使之占有远远超过被传送信息所必需的 最小带宽。在接收端利用同一码对接收信号进行同步相关处理以解扩和恢复 数据。 1 1 扩频的基本原理f 1 “3 1 扩频技术的基本理论根据是信息论中的s h a n n o n 方式，它可以表示为 c w l 0 9 2 ( 1 + s n ) ( 1 1 一1 ) 式中c 是信道容量( b i t s ) ，w 是信道带宽，n 是噪声功率，s 是信号功率。 s h a n n o n 公式表明了一个信道无误差地传输信息的能力同存在于信道中的信 噪比以及用于传输信息的信道带宽之间的关系。 令c 是希望具有的信道容量，即要求的信息，对( 1 一l 一1 ) 式换成以e 为 底的对数 c w = 1 4 4 1 0 9 。( 1 + s n ) ( 1 1 2 ) 对于干扰环境中的舆型情况，s n ( ( 1 ，对上式用幂级数展开并略去高次 项得 c w 一1 4 4 s n( 1 1 3 ) 将上式变为 n s 一1 4 4 w s( 1 一l 一4 a ) 或w c n 1 4 4 s 一0 7 c n s( 1 1 4 b ) 由上式可以看出，对任意给定的噪声信号比，只要增加用于传输信息的带 宽，理论上就可以增加在信道中的无误差地传输的信息率。例如我们希望一个 系统工作于于扰比信号大】0 0 倍环境中，要求的传信率是3 k b p s ，由( 1 一】一 4 ) 式系统应有的带宽为 w 一1 0 0 3 1 0 3 1 4 4h z = 2 0 8 1 0 s h z = 2 0 8 m h z 由此可见，只要将欲传输的信息先用某种方式扩展其频谱，再把接收的扩 2 基于混沌的扩展频谱通信 _ _ 一 频信号的频谱变换成原始信息带宽，信噪比就可以大大提高。 1 2 扩频的主要形式及其特点 根据扩展频谱方式的不同，扩频系统可分为直接序列扩频方式( d s ) ，跳 频扩频方式( f h ) ，混合扩频方式三种。 在直接序列扩频系统中用的编码序列通常是伪随机序列或叫伪噪声 ( p n ) 码。要传送的信息经数字化后变成二元数字序列，它和伪随机序列模2 相加后成复合码去调制载波。在直接序列系统中通常对载波进行相移键控调 制。当扩频信号采用相移键控调制后由天线发射出去。在接收机中有一个和发 射机中的伪随机码同步的本地码，对接收信号进行解扩，解扩后的信号送到解 调器取出传送的信息。直接序列扩频系统的简化框图如图1 所示。 图1 直接序列扩频系统简化框图 1 2 2 跳频扩频系统 跳频系统的载波频率在很宽的频率范围内按预定的图案( 码序列) 进行跳 变。发射机在某一特定的时间间隔中，用哪一个频道发送信号，是由一个伪随 机序列控制的，接收机的本地振荡信号频率如果能与输入信号的频率按同一 规律同步地跳变。则经过变频后，得到的中频信号将把原来的频率跳变解除。 虽然跳频仍然是一种扩频技术，但跳频系统完全不同于直接序列扩频系统，每 3 基于混沌的扩展频谱通信 = 一 一个跳频的瞬间用户所占用的信道带宽是窄频谱，只是由于跳频的速度快，实 现了在宏观上的频谱扩展，跳频扩频系统的原理框图如图2 所示。这种系统主 要由码产生器和频率合成器两部分组成，快速响应的频率合成器是该系统的 关键部件。 图2 跳频扩频系统原理框图 1 2 3 扩频系统的主要优点 由于扩频通信通过展宽频带，在发送端用伪码进行扩频调制，而在接收端 采用相关解调解扩技术，因此具备了一系列的优良性能； 1 抗干扰能力强。扩展的频谱越宽，处理增益越高，抗干扰性能越强。如果 将频带展宽1 0 倍，干扰方面需要在更宽的频带上进行干扰，从而分散了干扰 功率。在总功率不变的条件下，其干扰强度只有原来的1 t o 。而一般扩频都要 达到1 0 0 倍以上。耍对其实施干扰，难度是显而易见的。 2 保密性好，对其他设备干扰小。因为信号在很宽的频段上被扩展，单位 带宽的功率很小，即信号功率密度很低，信号被淹没在噪声中，人们很难发现 信号的存在。加之扩频的编码，就更难获取有用信号。再者由于其功率密度极 低，它对目前的各类窄带通信系统和其他电信设备产生的干扰可能性极小。 3 抗多径干扰。利用扩频码序列的相关特性，在接收端用相关技术从多径 信号中提取和分离出最强的有用信号，或把从多个路径来的同一码序列的波 形相加合成，变害为利。提高信噪比。 4 频带利用率高可实现码分多址。扩频通信极大地提高了抗干扰性能， d + 基于混沌的扩展频谱通信 但也付出了占用频带宽的代价。实际一k ，让多用户共用这一宽频带却大大提高 了频率的占有度，也就提高频率利用率。由于扩频通信中存在扩频序列的扩频 调制，充分利用各种不同码型的扩频码序列之间优良的自相关特性和互相关 特性，在接收端利用相关检测技术进行解扩，通过不同用户不同码型来区分不 同用户信号，即可随机地进行多址通信，实现码分多址较为容易。例如在数字 蜂窝移动通信( g s m ) 中，采用码分多址技术理论上可提高容量2 0 倍。 5 能精确地定时和测距1 。利用电磁波的传播特性和伪随机码的相关性， 可以比较正确地测出两个物体之间的距离。目前广泛应用的全球定位系统 ( g p s ) ，就是利用扩频信号的这一特点来精确定位和定时的。 1 3p n 码序列的产生及性能分析 在扩频系统中，信号频谱的扩展是通过扩频码实现的，扩频系统的性能同 扩频码的性能有很大关系。通常扩频码要满足以下几个条件f “： 1 易于产生i 2 具有随机性； 3 扩频码应具有尽可能长的周期，使干扰者难以从扩频码的一小段去重 建憋个码序列i 4 扩频码应具有双值自相关函数和良好的互相关特性，以有利于接收时 的截获和跟踪，以及多用户使用。 从理论上说，用纯随机序列去扩展信号频谱是最理想的，但在接收机中为 了解扩应当有一个同发送端扩频码同步的副本。因此实际上我们只能用伪随 机或伪噪声( p n ) 序列作为扩频码。m 序列和g o l d 码序列就是直扩系统中实 际广泛应用的两种扩频码序列。 。5 基于混沌的扩展频谱通信 7 1 3 1n l 序列 。序列是最大长度线性反馈移位寄存器序列的简称，具有优良的自相关 特性是扩频码中应用较广的伪随机序列。m 序列产生器的一般结构如图3 所 示。 图3 线性反馈移位寄存器的结构 图中线性反馈移位寄存器由n 级移位寄存器和一些作为反馈逻辑网络的 模2 加法器组成。a 一( i _ 1 ，2 ，n ) 是各级移位寄存器的状态，c 剐应于各移 位寄存器的反馈参数。c ；一1 表示该级移位寄存器参加反馈，c 。一。表示该级 移位寄存器不参加反馈，c 和c 。不能等于零。其反馈函数可表示为a k c a k l + c 2 8 k 一2 + + c 。a k 一。，这是一个线性递归函数。当级数( n ) 和反馈逻辑确 定了，反馈移位寄存器的输出序列也就确定了。但并不是任意移位寄存器采用 任意的反馈逻辑都能产生m 序列。只有输出序列的长度等于2 “一1 才属于m 序列反馈移位寄存器。 m 序列有以下性质： ( 1 ) “o ”“1 ”均衡性。m 序列是周期性的，设其周期为( 2 “一1 ) ，则每个序列 包括2 - 1 个“1 ”和2 - i 个“0 ”，1 和“o ”的个数基本相等，这和随机码的特性是 类似的。 ( 2 ) 游程分布。在n l 序列的一个周期中，游程总个数等于2 ”一，其中“0 ” 游程与“1 ”游程各占一半。n 2 时，长为i ( 1 i n 一2 ) 的游程数占总游程数的 6 基j 混沌的扩展频潜通信 一一d _ _ _ _ _ 一 1 2 。m 序列的游程分布非常类似于随机序列的游程分布。 ( 3 ) 任一m 序列的循环移位仍是一m 序列；m 序列与其本身循环移位得 到的序列模2 相加仍是一m 序列。 ( 4 ) 自相关函数的性质。m 序列的归一化自相关函数满足： f 1t = 0m o dp 默订2 1 一l pr o m 。dp 式中：p = 2 “一l 为m 序列的周期。r 为码元延时。 自相关函数曲线见图4 所示。 - l p 图4m 序列自相关函数曲线 此图说明r 自相关函数是以p 为周期的函数，在r = 0 处出现尖峰，并以 p 为周期重复出现，m 序列的每比特宽度越小，相关峰越尖锐。 - r ( r ) 的取值只有1 与一1 p 两种，所以m 序列是一种双值自相关序 列。 自相关函数的主峰高度远大于其它部分，这说明m 序列具有良好的自 相关特性。当p 很大和每比特宽度很小时，自相关函数趋向于6 ( t ) 函数，即近 似于白噪声的自相关特性。 m 序列自相关函数的这种特性，使得m 序列伪随机码扩频的信号可以在 接收端用相关器解调出来。由于只有含特定的伪随机码的信号能出现相关峰， 于是该信号解扩后被压缩到较窄的频带内，而其它信号的频带不压缩，这样通 过窄带滤波器就能滤除噪声，提取所需的信号。 基于混沌的扩展频谱通信 一= 一 实际中有许多伪随机序列的自相关函数除主峰外，还可能存在一定旁峰， 因而不像m 序列的自相关函数那样是双值的。所以通常除去要求伪随机序列 的自相关函数在r = 0 处出现尖锐的主峰外，还要求在r 的其它值时出现的旁 峰小而少，或者限定主峰与旁蜂之比值大于某一数值。 1 3 2g o l d 码序列 g o l d 码是由r g o l d 在1 9 6 7 年提出的用优选对组成的复合码。所谓“优 选对”是指m 序列中互相关值为 一1 ，- - t ( n ) ，一2 的一对序列，其中： f 2 n + l 2 + 1 ，n = 2 k 一1 t ( n ) = o 使得对任意x o ，1 以及x 的任意一个领域v c 一总存在y v c 。，和正整数n ，使得( x ) - - f 。( y ) i 8 ，那么就称f 是初值敏感的。 其中f r ( x ) 表示从x = x 。出发，依函数式迭代r t 步的取值。 以l o g i s t i c - - m a p 为例，当u 一3 9 8 时，图7 显示了仅仅在x 变量的初始 值相差1 0 - * 数量级的情况下，x ( t ) 时间序列的两条曲线。可见，起源于两个十 1 2 基于混沌的扩展频谱通信 ：_ _ 日；j _ 一 分相近的初始值序列，经过短暂时间便毫不相关了。 ( s ) 圈7l o g i s t i c m a p 在u = 3 9 8 时对初值的敏感性 利用混沌的这一特性。我们可以产生数量众多、非相关、类随机而又确定 可再生的信号。如果不同的用户对应不同的初始条件，完全可以满足扩频通信 中的c d m a ( 码分多址) 的要求。 4 混沌信号的频谱是连续的类似于噪声的频谱，具有连续和宽频带特 性。关于这一点我们在第三章中将详细讨论。 基于混沌的扩展频谱通信 = 一口 8 5 一 第二章混沌扩频序列的产生及其性能分析 在传统c d m a s s 通信系统中，采用p n 码作为扩频序列，p n 码拥有理 想的自相关特性，但相关函数呈现周期性。它们的互相关函数，特别是当部分 相关时。有较大的尖峰，最主要的是相关特性比较好的p n 码的数目有限，不 能满足用户日益增长的需要。有鉴于此，可以在c d m a d s s s 系统中用混沌 序列替代p n 码作为扩频序列。因为混沌序列数目众多，又互不相关，只要分 配给每个用户一个初始值，就能很好地解决码分多址( c d m a ) 中地址码数量 不够的问题。 目前，对于混沌信号在通信中的应用，研究工作一部分集中在时间连续的 混沌信号上，也就是用微分方程表达的混沌系统，这类混沌系统的实现是用模 拟电路来完成的，它对电路固有参数以及混沌再生算法的误差很敏感，实际实 现比较困难。另一类混沌系统。也就是用迭代方程( 映射) 表达的混沌系统，所 产生的时间离散的混沌信号( 混沌序列) 更适合于在通信中应用，特别是在扩 展频谱通信中d o n 。 2 1 基予混沌映射扩频序列的产生 混沌映射可用确定性的非线性差分方程来描述。用以产生混沌序列的离 散时问动态方程不必过于复杂。l o g i s t i c m a p 映射就是一种广泛研究的离散 时间动态系统。 l o g i s t i c m a p 映射的定义如下： x 。一f ( x 。) 一r x 。( 1 一x 。)( 2 l 一1 ) 通过前面第一章第四节的分析可知。当3 5 6 9 9 5r ：r 4 时，l o g i s t i c m a p 工作于混沌态，由它产生的序列( x 。：n = 0 ，l ，2 ， 非周期、非收敛、对初 始值十分敏感。 选定r = 4 时的l o g i s t i c m a p x 。+ 1 = f ( x 。) = r x 。( 1 x 。) = 一4 ( x 。一0 5 ) 2 十1( 2 l 一2 ) 来产生混沌序列，因为此时l o g i s t i c m a p 的输入和输出都分布在区问( o ，1 ) 14 基于混沌的扩展频谱通信 上。 要实现式( 2 - - 1 2 ) 所表示的l o g i s t i c m a p 混沌映射，一种方法是采用 浮点运算，实际计算表明，浮点单精度( 3 2 b i t ) 的运算结果脱离了混沌态，使序 列呈现出周期性。只有浮点双精度( 6 4 b i t ) 的运算结果与理论值很接近，因此 在实际利用计算机进行迭代运算产生混沌扩频序列时应采用浮点双精度 ( 6 4 b i t ) 运算 l 2 。 除了上述利用计算机进行迭代运算的方法之外，为适应实际需要，还可以 用简便的数字硬件实现方法产生l o g i s t i c m a p 混沌扩频序列n 3 1 “。 由于l o g i s t i c m a p 的输人和输出都分布在区问( o ，1 ) 上，首先把区间 ( o ，1 ) 上的小数x 写为二进制数表达形式： 、1 x = 2 5 a 。2 一”垒( a o a l a 2 ) ，a 。一0o r1 取前l 位表示x ，舍弃后面的位，则 l w + i x 二乙a i 2 叫垒( a o a l a 2 a l1 ) 其中x = 与a i 2 l 1 “是一个由i 。位二进制数表示的整数，它与小数x 一 一对应。 把x 。+ i 和x 。写成式( 2 - - 1 - - 3 ) 的形式，并代人式( 2 1 2 ) 中，解得 x 。十l 一4 x 。( 2 。一x 。) z 。 x o = 2 。x o 这就是r = 4 的l o g i s t i c - - m a p 的整数表达形式。 对于式( 2 1 4 ) 的实现，2 。一x 。可以通过对x 。的求补来完成，( 2 。一 x n ) 和x n 都是l 位比特的整数，乘积为2 i 。位比特，乘以4 相当于将这2 i 。位 乘积左移2t t # ，最后除以2 。，也就是取这2 l 位比特整数的高位l 比特作为 结果输出，所以式( 2 - l 一4 ) 可以很简便地用数字硬件实现： 1 5 x l 2 一一 一l 2a 一m 。 l一 2 盏 基于混沌的扩展频i j 越i 信 一一 图8l o g i s t i c m a p 硬件实现框图 将上图输出的l 比特整数乘以权2 。，可得式( 2 1 2 ) 产生的 x “n = 0 ，1 ，2 ，) 。 除l o g i s t i c m a p 可产生混沌扩频序列之外，h e n o n 映射也可产生混沌 序列h e n o n 映射的数学表达式为 f x 。+ l ；1 - - a x 。2 + y n 1 y 。+ 。一b 。 当a 一0 3 ，1 0 8 b 1 4 时，h e n o n 映射存在混沌吸引子。对于二维的 h e n o n 映射，我们也可以等价地将其化为如下的一维形式： x 。+ i 一1 1 4 x n 2 + 0 3 xi 选初值x 0 t x 。 一1 5 ，1 5 ，由上式所产生的序列为一混沌序列，该序列亦可 作为扩频通信中的伪随机序列。 1 6 基于混沌的扩展频谱通信 2 2l o r e n z 混沌扩频序列的产生 i 。o 。e n z 是6 0 年代在美国m i t 工作的气象学家，他从一个旋转水桶的实 验得到启发，于1 9 6 0 年总结出包含1 2 个方程的联立方程组，建立了一个仿真 气象模型，l o r e n z 相信，尽管气候变化多端，但毕竟遵守经典力学规律，只要 输人必要的初始数据，他的计算机就对这1 2 个方程进行计算，终会沿着一条 确定论的道路把气象奥妙揭示出来。 当时科学家们普遍信奉这样一种经验，即：知道了一个系统的近似的初始 条件，那么通过计算机就能得到近似于这系统起初状态的解。或者说：极小的 影响或差别是可以忽略不计的，事物在运动之中有一种收敛性，泛泛的小影 响、小差别不会积累起来成为泛泛的大影响、大效应。然而情况并非如此， l o r e n z 发现，在利用计算机解这个方程组时，对于输入的初始值，哪怕只有千 分之几的误差，输出的结果都大不一样。也就是说该方程组对初始值具有高度 敏感性。后来他又把注意力转向了非线性数学系统，从纳维一斯托克斯 ( n a v i e r - - s t o k e s ) 定理出发，大胆简化了描述二维对流的方程组，只剩下三个 关键变量，得到有名的l o r e n z 方程组1 2 , 1 4 , 15 ： f x = 6 ( y x ) l i = ( r - - z ) x - - y ) l i x y b z 其中x t y ，z 均为无量纲量。取6 = 1 0 ，r 一2 8 t b = 8 3 ，将它的三个变量作为 三个坐标，构成三维相空间，利用计算机求解发现，不管给予何种初绍条件，最 后方程组的解在相空间中呈奇异吸引子。亦即l o r e n z 方程组所表示的系统在 6 = 1 0 ，r = 2 8 ，b = 8 3 的情况下具有混沌行为。 对于l o r e n z 方程组，我们可以用如图9 所示的硬件电路实现： 1 7 基于混沌的扩艘频谱通信 一目- _ - 日# _ - 目_ 日d j # ；_ ；_ 目# i ；口；- ；。目t ；目i i a ；t = _ # i ；t ；口j ；一 图9 基于l o r e n z 方程组的混沌电路 图中运放( 1 ) ( 8 ) 和相关电路完成加、减、积分运算，从图9 我们可得 f u = 砭1 c 。f - r r , ，v 蕊r 3 ( 1 + 警) u v = 彘 茄( ，+ 面r i ：z 川十r i 肛警v 一譬u w w = 丽1 。酥r 1 9 u v 一良丽r i b 一( 1 + 瓦r j 9 ) w 3 令e = 志，r = 丽1 蕊( ，+ 可r i g 十可r l z ) ( 1 + 急) ， n = 丽惫砥c t + 舡 1 8 基于混沌的扩展频谱通信 e 一 同时选取适与的其它各元件值，使得 是乩撬c ，+ 髻h ，彘乩 瓦& 蕊一1 ，i 墨慧= l ，则上式变为 f u 一6 ( v u ) v r u v u w w = u v b z ( 2 - - 2 - - 2 ) 式就是l o r e n z 系统的方程，其中6 ，r ，b 为系统的参数。 从上面可以看出，通过调整电容c 。、c 。、c 。就可以达到调整系统参数6 ，r 和b 的效果；同时，通过调节相应电阻r ；，r 一。和r - s ，同样也可以达到独立地调 整系统参数6 、r 和b 。 混沌序列对系统的参数和初始条件非常敏感，不同的系统参数和初始条 件产生的混沌序列互不相关。即使是两个非常接近的系统参数，产生的混沌序 列经过几次迭代后也是不相关的。正是基于混沌的这一特性，我们才把混沌序 列引入到扩频多址通信系统中。假设所有的接收机和发送机都具有相同的混 沌模型和初始条件，对于不同的接收机( 用户) 分配一组不同的系统参数，相当 于分配一组不同的互不相关的伪随机码。如在l o r e n z 电路中给每个用户分配 一组电容值( c ，c 。，c 。) 或一组电阻值( r 。，r ；。，r 。) ，也可以把电容、电阻结合 在一起来考虑。可以看出，混沌序列的资源是非常多的，克服了m 序列，g o l d 序列中资源紧张的矛盾。此外混沌序列的产生较1 1 1 序列和g o l d 序列简单，仅 需系统模型和一组系统参数，不需进行任何存贮，因此混沌序列具有产生方 便、数量众多的特性。 2 3 混沌扩频序列的性能分析 在扩频通信中，对扩频序列的一般要求是“7 1 有良好的自相关和互相关特性； 2 不同码元数目趋于平衡； 3 可用序列的数目足够多； 4 有尽可能大的复杂度i 1 9 基于混沌的扩展频谱通信 5 便于捕获和同步，易于产生等等。 特别是自相关和互相关特性，扩频序列设计者往往把那些自相关函数为 8 函数、互相关函数为零的序列作为追求的目标。 对于前面两节中所产生的混沌扩频序列，下面我们从其平衡、相关等特性 方面加以分析，以确定这些混沌序列是否满足对扩频序列的要求。 2 8 1 自相关特性 7 设f ( x ) 是从 一1 ，1 到 l ，1 的映射，且x 。一f ( x 。) ，扩频序列 a 。 由轨 迹 x 。) 量化得到，即； a 。一s g n ( x ) ，n 一0 ，1 ，n 一1 这里s g n ( x ) 为符号函数，n 是序列( a 。 的周期。则混沌扩频序列( a 。 的归 一化部分自相关函数为 ： = 矗薹s s n 嚼黼， 混沌的遍历理论认为n o 1 ，如果映射f ( x ) 是遍历的，则对于每个绝对可 积函数甲( x ) 和几乎所有的初始值x 。都有 恕矗堇虻蚴= j p ( x ) 甲( x ) d x 这里p ( x ) 是轨道点的分布密度，p 表示f ( x ) 的n 次迭代或重复合。 定义中( x ) = s g n x f ( x ) ，则有下式成立2 3 ： 3 晚r t 。，= 3 嗯寺蚤甲 f 糊一j 1 1 p ( x ) 甲( x ) d x 当m - - o 时，f 是偶对称的，从而t ；p ( x ) 是奇x 口称的，而p ( x ) 是偶对称的， 所以m o 时上式积分为零。 故有 门m = 0 t | i r a r 。) = “” 【0i t i 0 可见，与n o 。时，混沌扩频序列( a 。 的归一化部分自相关函数是占函 数，具有渐进理想的部分自相关特性。 2 0 x g sx g s 一n j m aa ，一n = mr 基于混沌的扩展频谱通信 ：= l 4 一 2 3 2 互相关及平衡特性 设序列 a 。 、 b 。 分别是由初值x 。、y 。迭代得到的，且x o 、y 。随机独立地选 取。 a 。) 和 b 。) 的归一化部分互相关函数为皿“2 副 n 一1 n 1 r a b ( m ) 一南蚤a n b n + m ；雨1 蚤s g n 喝 s g n f 州 由独立性知p ( x ，y ) 一p ( x ) p ( y ) 2 “，上式化为 r 1r l l i m r a b ( m ) ；j l j l s g n ( x ) s g n m f 砖 ) p ( x ，y ) d x d y r 1r 1 = j l s g n ( x ) p ( x ) d x j l s g n e f 黜j p ( y ) d y = 0 因此n 一。时，混沌扩频序列具有渐进理想的部分互相关特性。 下面我们再来分析其平衡特性心“”。： 设混沌扩频序列 a 。 中“1 ”的数目与“l ”的数目之差为i 。个，则 n 一1n 一1r l 3 晚雨l = 罂雨1 圣a 。= l i m l 蚤s g n f ：为 = l s g “x ? p ( x ) d x o 可见混沌扩频序列“1 ”与“一1 ”的数目趋于平衡。 从上面的性能分析可知，混沌序列满足扩频通信中对扩频序列的要求，故 混沌序列适宜于作为扩频序列。 2 1 基于混沌的扩艘频潜通信 ；d _ _ _ 目一 第三章改进的l o g i s t i c - - m a p 混沌扩频序列 从理论上分析，l l o g i s t i c m a p 混沌扩频序列的相关函数很理想，但均值 都不为零m 3 1 。下面我们对i o g i s t i c a m a p 加以改进，a n o n - - t o t 可以用 作噪声调制，适合于在扩频通信中作为扩频地址码的混沌扩频序列。 3 1改进序列的性能分析 3 1 1改进序列的表达式及其概率密度 对于l o g i s t i c - - m a p 映射 当r 一4 时，映射为 y 。+ 1 = 4 y 。( 1 一y 。) 将式( 3 1 一1 ) 等价变抉，得到 y 。+ l r y 。( 1 一y 。) y 。( 0 1 ) 2 y 。+ l 一1 = 一8 ( y 。) 2 + 8 y 。一1 令y 。= ( x 。) 一吾( x 。+ 1 ) ，则( 3 1 2 ) 式变为 x 。+ l = 1 2 ( x 。) 2 x 。( 一l ，1 ) 式( 3 1 - - 3 ) 即为改进的l o g i s t i c - - m a p 映射的表达式。 对于式( 3 1 1 ) ，s c h u s t e rh g 在其d e t e r m i n i s t i cc h a o s ，a ni n t r o d u c t i o n ；卜书中证明该式所产生的混沌序列的概率分布密度函数为1 r1 7 i ；兰= = =y ( o ，1 ) p ( y ) = 4 y ( 1 - - y ) 10 其它 由于x 。；h ( y n ) 一2 y 。一l 单调递增且处处可导，因此式( 3 一l 一3 ) 所产生 混沌序列的概率分布密度函数为 p ( x ) p h ( x ) 喘掣 。以商d x 0 其它 2 2 基于混沌的扩展频潜通信 一一 生。( 一l ，1 )。 1 一x 2 p ( x ) 不依赖于初始f ：i ：【，所以改进的l , o g i s t i c m a d l 表达的混沌系统具有 遍历性。 3 1 2 相关特性及平均值 首先计算自相关函数r ( m ) ： 当自相关间隔m ；0 时 n 1 胁，= 舰吉蚤x ，2 一x 5 f 1 = j1 x 2 p ( x ) d x 一0 = j 1 一兰兰：d x “1 一x 2 0 5 当自相关间隔m 0 时 x m 。= f ( x ) 一f ( f f ( x ) ) 关于x 一0 偶对称 n1 r ( m ) ；s l i m l 戮“ f 1 ；jl x f “”( x ) p ( x ) d x 一0 0( 3 一l 6 ) 综合式( 3 1 5 ) 和式( 3 1 6 ) 可得，式( 3 1 3 ) 所产生混沌序列的自 相关函数为 ，一 ：j o 5 “一o 。 【0m 0 独立选取两个初始值x ，。以及x 。若式( 3 1 3 ) 迭代产生的两条轨迹无 移位重叠，则序列互相关为： 2 3 x xx m 一n m 扣 l n l i )m(r 一妒一 十 xx m n m 仲 l n nr 基于混沌的扩展频谱通信 一一 r 1r 1 = jo jo x l p ( x 2 ) p ( x 1 ) p ( x 2 ) d x l d x a 一0 0 ( 3 1 7 ) 其中p ( x 2 ) f ( f f ( x 2 ) ) 从另一个角度来说，混沌序列周期无穷长，同一映射的不同初始值的两条 序列可以看成此周期无穷长序列的不同相位，因此式( 3 1 7 ) 也可以归于自 相关之中。 我们再来计算序列的平均值： l 兰= ：x ( 1 ，1 ) 由于p ( x ) = 1 一x 2 【0其它 关于x = 0 偶对称所以式( a - 1 3 ) 所产生混沌序列的平均值： n 一1 r 1 i 一3 蝶善x i j _ l x p ( x ) d x _ o ， 3 1 3 奇偶相关特性 - 在直扩码分多址( d s c d m a ) 系统中，序列的奇偶相关特性直接影响系 统性能。因此很有必要对改进的l o g i s t i c - - m a p 混沌序列的奇偶相关特性进 行计算和分析： 设a ，a 2 ) 分别表示长度为n 的两个不同的改进l o g i s t i c m a p 混沌扩 频序列。定义a m 和ac 。，的偶互相关函数、奇互相关函数为“3 k ( 1 ) 。( 2 ) ( 1 ) 一c i 1 ) ( 2 ) ( 1 ) + c ( 1 m ( 2j ( 1 一n ) ( 3 一l 一8 ) k ( i ) ( 2 ) ( 1 ) 一c “i ) ( 2 ，( 1 ) + c i ( 1 ( 2 ) ( 1 一n ) ( 3 1 9 ) 特别地，当a 一a 。) 时式( 3 一l 一8 ) 、( 3 一l 一9 ) 表示的函数分别是扩频序 列的偶自相关函数、奇自相关函数。 由式( 3 1 8 ) ，我们有； l i r a k i c 】) ，k m ) ( 1 ) 一j i me c i l l ) i ( z ) ( 1 ) + c m 1 2 ) d - - n ) l 一1n1 1 ， 一 蜒c 占蒌a ( in ) ( 1 ) a 十志蒌a a ， n il o + 熙南i = o a i ( i ) a i + l ( z ) 2 4 基于混沌的扩展频谱通信 由于式( 3 1 3 ) 的概率密度函数( 3 1 4 ) 与映射初值无关，所以a 【1 ) ， a 。具有遍历性，进而可知序列样本的时间相关与序列的统计相关相等，即上 式右端等于r - m ( z ，( 1 ) 故l i m k ( 1 ( 2 ，( 1 ) = r i ( 1 m ( 2 ) ( 1 ) 一0 n _ 同理由式( 3 1 9 ) ，有 l i m k - ( 1 t 2 l ( 1 ) = l i m c ( 1 ) “2 ( 1 ) 一c 。( 1 ) “2 ) ( i n ) n - 4 h _ u 。 1 n - - 一1 - - i f = 一l i “雨1 2 5a i 1 a i 十l 2 n 一l 、l 一0 = 一r 。( 1 ) - 【z 】( 1 ) = 0 通过上面的计算可知，当序列长度n 趋于无限大时，由改进的l o g i s t i c - - m a p 产生的混沌扩频序列的奇互相关函数和偶互相关函数均为零。 3 2 仿真实验与结论 在3 1 中我们运用数学工具从理论上对改进的l o g i s t i c m a p 混沌扩频 序列的相关特性、平均值等进行了计算和推导，但实际情况又如何呢? 下面通 过实验加以证实理论分析结果的可信性： 我们先看改进的l o g i s t i c m a p 迭代产生的混沌序列的自相关及互相关 函数，这是我们最关心的。以式( 3 - - 2 1 ) 、( 3 - - 2 2 ) 分别计算改进的l o g i s t i c - - m a p 映射有限长度混沌序列的自相关、互相关。 1 n n - - i r f 。) = 寺2 5 x ix ( i + 。)一m m m ( 3 2 1 ) m 1 用式( 3 1 3 ) 迭代产生混沌序列( 迭代步长为0 0 0 1 ) ，用快速傅立叶变 换计算混沌序列的自相关和互相关。其算法如下o3 s , 3 6 ： ( 1 ) 选择l 满足下述条件 2 5 x x h m n n x m n 基于混沌的扩展频谱通信，一 j l m + n 一1 i i 。一2 ，r 为正整数 一 ( 2 ) 将序列x 。，与y 。，按如下方式补零，形成长为l = 2 。的序列 一 f x ( n ) ，n 一0 ，1 ，m l 扎一1 0 ，n ：m ，m + 1 ，i 。一l f o ，n = o ，1 ，m 一2 i ( 。) 一 y ( 。) ，n = m 一1 ，m ，m + n 一2 【o ，n m + n l ，m + n ，i ，一l ( 3 ) 用f f t 算法分另0 计算序列i 。，与虱，的离散傅立叶变换xc k ，与y c “， i 一l 一x 。x p ( 一伽n k l ) l | 一l y m 一e 。p ( 一j 2 。虮) ( 4 ) 计算x ( k ) 与y ( k ，的乘积 z ( k j x 五j y ( k ，其中* 表示复共轭i ( 5 ) 用f f t 算法计算z 。的离散傅立叶变换，得到线性相关z “， l 一1 z 一z ( k ) e x p 1 2 n k t j ) n 。0 1 ，。l - - 1 序列z m ，的前m + n 一1 点的值就是序列x 。，与y 。，的线性相关。 利用上述算法，在i b m p c 5 8 6 上用c 语言编程( 程序略) 。选择序列长 度n - - = 2 0 4 8 ，相关间隔范围m = 1 0 0 0 。在( 一l ，1 ) 间随机选取初始值进行计算， 得到的自相关和互相关结果如图1 0 和图1 1 所示。 2 6 兰三堡竺竺芝竺竺堂塑篁 _ ；t _ _ _ _ 口= ；= ；t 。j = t = ；= ；一 图1 0 有限长度混沌序列的自相关 i 图1 1有限长度混沌序列的互相关 从图1 0 和图1 1 可见。实际计算的改进的l o g i s t i c m a p 映射混沌序列 2 7 。 川 基于混沌的扩展频谱通信 的相关特性与前面理论分析结果基本相吻合，相关间隔零处的自相关为0 5 ， 互相关在0 左右。 从理论上说，混沌序列本身是非周期的，长度无限，但是应用于扩频通信 中，混沌扩频序列长度必须是有限的。有限长度韵混沌序列的统计特性与理论 值( 无限长度) 存在差距。长度越长，差距越小，然而随着序列长度的增加，实现 起来也越来越困难，改进的