（基础数学专业论文）（∮）0弱基及相关结果的推广.pdf

k 一弱基及相关结果的推广 摘要 本文主要有两部分组成，本文的第一部分讨论了一些关于n 。一弱 基的等价刻画，并说明了k 。一弱基在闭映射下的像与册一度量空间之 间的关系；本文的第二部分引入了k 。一s t 一度量空间的定义，并给出 了一些对应的刻画及性质。 第一部分的主要结果有： 结果1 ( 引理2 3 ) ：如果召是点可数一弱基，则召是甜一网且k 。一 弱基具有开、闭遗传性。 结果2 ( 定理2 7 ) ：在空间x 中，下列论述等价： ( 1 ) x 具有仃一离散的k 。一弱基； ( 2 ) x 具有仃一局部有限的k 。一弱基： ( 3 ) x 是k n 一弱第一可数的k 空间。 第二部分的主要结果有： 结果3 ( 定理3 4 ) ：空间具有点可数k n 一弱基等价于序列空间 有点可数k 。一s t 一网且n 。一s r 一网具有遗传性。 结果4 ( 定理3 7 ) ：在空间x 中，下列论述等价： ( 1 ) 空间x 有盯一离散的k 。一s n 一网； ( 2 ) 空间x 是k 。一册一度量空间； ( 3 ) 空间x 是k 。一s t 一弱第一可数的k 空间。 结果5 ( 定理3 1 1 ) ：在空间x 中，下列论述等价： ( 1 ) 空间x 是可分度量空间的可数对一序列商映像； ( 2 ) 空间x 是可分度量空间的序列商映像且x 是k 。一肋一弱第一 可数空间； ( 3 ) 空间x 有可数k 。一s n 一网； ( 4 ) x 是n 。一册一弱第一可数的k 一空间。 关键词： 甜一网 弱基 k 。一s n 一网n o - 弱基k 。一s t 一弱第一可数 可数对一映射k 。一空间k 空间 ( 2 ) x i sa n n o - - s w e a k l y f i r s t - c o u n t a b l ea n das e q u e n t i a l l y q u o t i e n ti m a g eo fas e p a r a b l em e t r i cs p a c e ； ( 3 ) xh a sc o u n t a b l ek 。一$ r 一n e t w o r k ； ( 4 ) xi sa nk o s 玎一w e a k l yf i r s t c o u n t a b l ea n dk o - s p a c e k e yw o r d s ：w e a kb a s e ；n 。一s 万一n e t w o r k ；k 。一w e a kb a s e ； n o 一$ 1 1 一w e a k l yf i r s tc o u n t a b l e ；d - n e t w o r k ；c o u n t a b l e - t o - o n em a p p i n g ； n o - s p a c e s ；k s p a c e s 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成 果和相关知识产权属广西大学所有。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经 发表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研 究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名：王诰a 嘶年石月2 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 曰即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：王墙 导师签名：葡奶巍珊年f 月上日 广西大掌硕士掌位论文 k o 一弱基及相关结果的推广 1 、引言 一般拓扑学是拓扑学的一个重要的分支，也是研究其它拓扑分支的基础。在国内 外有很多优秀的学者从事这一工作，他们所做的工作推动了一般拓扑学不断向前发展， 与此同时产生了许多公开问题，这些问题同样吸引着许多学者在不断的创造新的研究 工具和手段。同时也有许多拓扑学家从事拓扑学和其它学科相结合的研究。例如，拓 扑群以及刘川在2 0 0 5 年定义了仿拓扑群。他们的研究工作吸引着许多对这个课题感兴 趣的学者，也产生了比较精彩的结果。在二十世纪中期a v a r h a n g e l 挂k i i n l 、 u r y s o h n n 纠钉、a h s t o n e 、n a g a t a - s m i m o v 等对一般拓扑学的发展起到了非常积极的 推动作用。他们给出了度量空间的一些刻画，也为以后广义度量空间的推广起到了积 极的促进作用。随后的一些时间里t a n a k a 口1 吼她2 9 1 、e m a c h a e l 嘶2 刀等对广义度量空间做 了大量的研究也出了很多成果；在国内，上世纪六七十年代以至现在出现了一些非常 有名的学者，如苏州大学的高国士做了很多关于广义度量空间方面的工作，山东大学 的江守礼口3 1 解决了严格p 空间是伊加细空间。这是广义度量空间中一个很有名的问题。 林寿阳j 蚴2 3 1 也解决了广义度量空间中一系列的公开问题，苏州大学的恽自求口盯也对广 义度量空间中的问题做出一些回答，解决了以下问题：不含仃一h c p 的甜一网。刘 川魄1 6 j l 舯2 埘柏3 妇在广义度量空间方面做了很多的工作，尤其是k 一网方面。他有以f 的刻画： 在空间x 中下列论述等价口： ( a ) x 是g 度量空间； ( b ) x 是k 一空间且有仃一h c p 弱基； ( c ) x 是弱第一可数空间且有盯一h c pk 一网。 他们做的这些工作对学习和研究一般拓扑学的人有很大的启发，同时也吸引着他 们不断的探索新的领域。 a v a r h a n g e l 抵i i 1 】在1 9 6 6 年引进了弱基。使得一般拓扑学在广义度量空间中又 有了新的发展。刘川在2 0 0 5 年以及2 0 0 6 年发表了两篇关于弱基的文章。其中在2 0 0 5 年的文章里面有以下精巧的刻画：有点可数弱基的序列可分空间是g 第二可数空间n 司。 上述结果使得人们对弱基有了更深刻的认识。这些巧妙的刻画吸引了国内很多人在不 断的拓展和推广他的结果，也在不断的研究新的处理问题的方法。后来f s i w i e c n 仉1 5 1 定义了具有o r 一部有限弱基的空间称为g 可度量空间。并且证明以下的等价命题： 在空间x 中下列论述等价： ( a ) x 是g 度量空间： ko 一弱基及相关结果的推广 ( b ) x 是g 第一可数的甜一盯一空间。 以后的工作者很好的推广了广义度量空间中的一些结果。y o s h i o t a n a k a n 引、 l f o r g e d 随2 1 ，删、林寿、刘川和戴牧引删、葛英等在g 可度量空间做了许多优秀的成 果。其中l f o r g e d 解决了下面的问题： 正则空间x 是g 可度量空间当且仅当该空间是弱第一可数的且有仃一局部有限的 k 一网t 2 1 1 。 映射也是拓扑学中研究的另外一个非常重要的课题，所以研究弱基的相关刻画以 及在一些特定映射下的像及逆像是非常有意义的事情，其中林寿给出了下面的等价命 题 在空间x 中下列论述等价【2 2 】： ( a ) x 是f r e c h 6 t 空间及k 一空间； ( b ) x 是度量空间的l i n d e l i ；f 闭映像 同时也研究了g 可度量空间与度量空间和册一度量空间的联系。从下面的图卜l 及图1 - 2 中我们很容易能够得到下面的关系： 基一弱基寸册一网_ 甜一网 从而上述工作者提出那些新的概念进一步推动了一般拓扑学中的广义度量空间得 以不断的发展。上面的推出关系也给本文的作者极大的启发。我们将在后面提到这个 问题。 r s i r o i s d u m a i s 口1 在1 9 7 2 年定义了k 。一弱基，后来刘川和林寿在2 0 0 7 年重新定 义了n 。一弱基，他们的定义在本质上是一致的，他们的概念是对弱基的又一个重要的 推广。r s i r o i s d u m a i s 在文章中给出了拟第一可数空间是f r e c h 6 t 空间，并且给出了拟 第一可数空间的等价刻画，这些刻画可以得到以下关系： 图1 - 1 由上面的图卜1 ，可以知道n o 一弱基深化了a v a r h a n g e l 箍k i i n 3 定义的弱基。刘川 及林寿给出了n 。一弱基的一些经典的刻画，同时也进一步推广了r s i r o i s d u m a i s 的结 果。除了以上这些著名的拓扑学家给出的经典刻画之外，对k 。一弱基有别的等价刻画 吗? 本文的第一部分给出了肯定的回答。本文中第一部分的结果深化了上述一些作者的 结果。 2 广西大掌硕士掌位论文 k o 一弱基及相关结果的推广 本文的第二部分主要讨论了s n 一度量空间的一个重要的推广。我们知道：林寿1 在 1 9 9 7 年引入了u n i v e r s a lc s - n e t w o r k ，在1 9 9 9 年改为$ r 一网。册一网是联系弱基与一网 之间的一个重要的概念。葛英阳9 川在2 0 0 0 年给出了如下精彩的刻画： 在空间x 中，下列论述等价： ( 1 ) x 有仃一离散的$ y z 一网； ( 2 ) x 有仃一局部有限的册一网； ( 3 ) x 有仃一h c p 的肼一网； ( 4 ) x 是册一第可数的k 一空间。 葛英以后的几篇关于5 y 一度量空间的文章包含用点星网来刻画这一空间，以及研究 了册一度量空间在某些映射下的像之间的等价关系。从而推广了林寿乜2 1 的结果。但是能 否有一个空间不和5 7 1 一度量空间等价而又是一弱基的推广呢? 受上述工作者及问题 的启发，本文第二部分引入了一个新的空间n 。一$ y 一度量空间，从而不仅推广了刘川与 林寿n 町的结果，还建立了与高智民n 3 1 定义的嚣一网之间的联系，同时也给出了例子不 仅说明了该空间中的k 。一8 1 一网与林寿定义的册一网不等价且还说明了该定义要比s t - - 网的定义弱。该定义还建立了n 。一册一网与c s 一网之间了联系，从而建立了与k 一网的 联系。近而我们可以得到下面的图 图1 2 其中图1 - 2 中的n 。一s 一网是本文从新引入的一个概念，本文的第二部分不仅讨论 了新概念的基本性质，还讨论了它与上述表中的一些相关概念的关系。其中箭头的意思 代表推出。从图中我们不难看出本文新引入的定义建立了k 一弱基与劣+ 一网之间的联 系。而且还进一步推广了以上一些学者的某些结果，同时也从另一个角度推广了弱基。 但是图卜2 中的倒推必须加上一定的条件才成立，否则所有的倒推都是不成立的。在本 文中的第三部分也给出了其中的一些讨论。本文在有的地方直接利用文章 2 3 ，2 4 ，2 6 中的结果，同时也给出了注记加以说明。 空间与映射理论是从事一般拓扑学研究的另一个重要组成部分。关于空间和各种映 射理论也引起了一批拓扑学家的兴趣，许多优秀的成果不断出现。1 9 7 2 年s t r o n g 璐钉证 明了具有可数嚣一网的空间可以刻画为可分度量空间的序列覆盖映射。1 9 9 6 年林寿给 出了空间是度量空间的序列覆盖5 映射当且仅当空间具有点可数的甜一网。2 0 0 5 年刘川、 k o 一弱基及相关结果的推广 林寿口1 给出了空间具有点可数n 。一弱基当且仅当空间是度量空间可数到一的序列商映 射。而本文在第二与第三部分中分别给出了关于k 。一弱基及k 。一册一度量空间的一些等 价的刻画，也得到了空间x 有点可数n 。一册一网当且仅当x 是度量空间的可数对一序列 商映像。这一结果在某种程度上改进了上述作者的结果。同时也讨论了k 。一册一网与嚣一 网的关系并且给出了相关的例子。当然本文中也提出了一些没有解决的问题。这些问题 都有待于作者近一步思考。 本文约定：本文所用到的拓扑空间均是正则五，所有的映射都是连续到上的。并且 记序列 ：甩) 、 己：玎奶分别简单的记为 ) 、 乞) 。 4 k o 一弱基及相关结果的推广 k 一弱基及相关讨论 一般拓扑学经过一个多世纪的发展已经逐步的趋于完善。在这过程中覆盖性质和度 量空间( 包括广义度量空间) 一直是一般拓扑学者非常感兴趣的课题。而在广义度量空 间中映射又是一个重要的概念。它在一般拓扑学的研究中起到了桥梁的作用。它可以连 接两个甚至是多个空间，从而使得广义度量空间中相对独立的空间或概念又可以联系起 来。从而更好的研究其它空间的性质，建立各种空间之间的联系也是很多学者感兴趣的 课题；其次，许多的学者极力引进比较有意义的新空间来加强和已知空间的联系。使得 在某个领域拓展成为一个相对完整的体系。a v a r h a n g e l 捱k i i 口1 引入了弱基概念之后，进 一步推动了广义度量空间的发展，同时也建立了它与度量空间的联系，r s i r o i s d u m a i s 船1 在1 9 7 2 年定义了k 。一弱基作为对弱基这个概念的进一步推广也有非常重要的意义。随后 文d ) l l 和林寿n 订在其文章中从新定义了n 。一弱基，同时也给出了一些非常精彩的刻画。 本文引用的主要是按照后者的定义。受上述工作者的启发，对n 。弱基我们得到以下刻 画，这些刻画在某些程度上改进了上述作者的结果。为了更好的描述我们把相关的定义 以及引理先做简单的介绍： 定义2 1 3 空间x 的子集族徘为x 的弱基，如果弘u 。r p x 满足： ( a ) x np x ； ( b ) 若u ，y p x ，则存在i t p x ，使得形cu nv ； ( c ) x 的子集g 是开集当且仅当对x g ，存在p 尹x ，使得pcg 。 定义2 2 口1 设b 是空间x 的子集族。舀称为空间x 的k 一弱基。如果 召uf 侈，( 以) ：x x ，”n ) 满足： ( a ) 对任意的x x ，疗，召x ( 刀) 对有限交封闭并且x n 召。( 刀) ； ( b ) x 的子集e ，是开集当且仅当对任意的x u ，存在刀n ，置( 玎) 8 ，( 栉) 使得 忍( 刀) cu 。 由r s i r o i s d u m a i s 乜1 的定义，x 称为一弱第一可数或者弱拟第一可数若空间x 有 n o 一弱基b = u 召，( 疗) ：z x ，刀n ) ，且对每一个z x ，刀 r 使得侈，( 刀) 可数。 由定义2 2 以及定义2 1 我们可以看出：对每一个刀，如果有1 3 。( 刀) = 召，( 1 ) ，那 么召就是空间x 的弱基。 定义2 3 h 1x 是拓扑空间，尸c x 称为点x 在x 中的序列邻域，若每一个在x 中 收敛到点x 的序列都终留于p 。 定义2 4 设厂：x 专j r 是闭映射，若空间x 中的每一个闭集的像是j ，中的闭集。 k o 一弱基及相关结果的推广 定义2 5p 是空间x 的覆盖，则徘为空间x 的k 一网，若对空间中的每一个紧子 集k 以及开集u ，存在p 的有限子集p 使得k cup c u 。 定义2 6 n 3 3 空间x 的子集族p 称为x 的船一网，如果对x 的收敛序列 z = z ) u 乙：刀n )( 毛一z ) 及开集u 3z ，存在p p 及z 的子序列 z 。= z u 且最( 刀，m + 1 ) c 最( ，l ，聊) 对每一个阼，不妨设p x ( 拧) = p p ：存在聊n 使得噩( 栉，册) cp ) 。则p x 铆) 对有 限交封闭，从而u px ( 拧) ：工x ，疗仨 r ) 是盯一离散族。 1 2 广西大掌硕士掌位论文 k o 一弱基及相关结果的推广 我们将证明p x ( 刀) 是点x 在空间x 的网。我们只需要证明存在m n ，七n 以及 固定的x 在空间x 中的领域u 使得e ( n ，所) c 最，从而丑p x ( ”) 以及丑cu ，否则存 在x 在x 中的邻域u 。对每一个尸p x ( 玎) 有p 正u 。对任的朋n ，k n ，记 p p ：x 尸c u ) = 丑：七n ) 使得色( m ) 匹丑，则对任意的m ，k n 有b ( n ，m ) 旺最，对每一个m k ，选取 b ( n ，m ) p k ，令只= ，江k + m ( m - 1 ) 2 。则序列 乃) 收敛于空间x 的工点( 因 为 e ( 刀，册) ：i n ) 是z 在x 中的网) 。因为尹是空间x 的甜一网，存在七，n 使得 m ：f j ) c 最，取f 存在m k 使得m = ，从而有足，这与对任意的m ，k n ， b ( n ，聊) 丑矛盾。 令仁u p x ( 门) ：x x ，r l n ) ，下证明p 是k 。一册一网。令序列是空间x 中收 敛于点x 叠。因为舻u 召x 伽) ：x z ，刀n ) 是空间x 的n 。一$ i 一网，所以存在的 子序列以及n o n 使得对任意的最( ) 反( n o ) 子序列终留于段( ，所) 。但是存在 m n 使得反( n o ，m ) cp , ( n o ) ，从而对任意的只( ) 见( n o ) 。因此 伊u p x ( n ) ：x x ，l n ) 是空间x 的一册一网。 葛英1 在s n 一度量空间中给了以下的等价刻画： 在空间x 中下列命题等价： ( 1 ) x 有1 7 一离散的s p l 一网。 ( 2 ) x 是s r l 一第一可数的k 一空间。 ( 3 ) 彳有盯一遗传闭包保持的册一网。 由他给( 2 ) h ( 3 ) 的等价刻画我们很自然的提出下面的问题： 问题1 设空间x 具有o r 一遗传闭包保持的n 。一册一网，问x 是否是n 。一册一弱第一 可数的k 一空间? 定理3 1 2 空间x 是度量空间的可数到一序列商映像当且仅当x 有点可数 k o 一册一网。 证明：充分性令厂是度量空间m 到空间x 的序列可数到一商映射。令b 是度量空 间m 的一个点可数基。对每一个y m ，因为m 是度量空间，令召yc 廖是少在度量空 间m 中可数，单调下降的局部基，令召t 1 3 y ：y m ) 。则b 是度量空间m 中的点可 数族。 因为厂是可数对一映射，所以f ( 1 3 ) 在空间x 中可数，我们将证明uf ( b ) 是 k o 一肌一网。 对每一个y m ，令b y = b ：f ) 而且对每一个x x 有b 川c 母j ，再令 厂1 ( 功= ：疗册，又因为厂是可数到一映射，所以取p x ( ”) = 厂( 召矗) ，则 u 厂( 1 3 ) = u p x ( 力) ：x x ，玎n 设u 是空间x 的的开集，则- 1 ( 是m 中的开集，因此对每一个x u ，n n ， 广西大掌硕士掌位论文 k o 一弱基及相关结果的推广 f 1 ( u ) ，所以存在f 使得& ，cf - 1 ( 【，) ，从而厂( & ，) p ，伽) 以及厂( & ，) cu 。 因为序列三在空间x 收敛于点x ，f 是序列商映射，所以存在度量空间m 中的序列s 收 敛于厂- 1 0 ) 。对任意的f n ，eb x ，由引理3 7 不难证明屯，是点邑。的序列 邻域并且对任意的f n 有序列s 终留于。，所以，对任意的f n ，厂( & ，) p x ( n o ) ， ( s ) 终留于( 疋，) ，( s ) 是三的子序列以及( s ) 终留于px ( ) ，因此( 召) 是 k o 一册一网。 必要性令伊u 廖x ( 甩) ：x x ，甩n ) 是空间x 的点可数k 。一册一网，对每一个 ”n 有召x ( n ) = 色( ，m ) ：加n ) 且对每个m n 有色( 刀，m + 1 ) ce ( 门，m ) 。对每一个 x x ，聆n ，任意 召。( 刀，m ) ：m ) 的无限子序列1 3 x 是点x 在x 中的网，我们不妨记 肛 鼠：口i ) 赋予，离散拓扑并且对每一个i n ，是，的拷贝。 断言：空间x 的两个子集族 只：刀) 和 q 册：m n ) 称为共尾的，若存在， m o n 使得对每一个i n 有& + ，= 级+ o 令 肘= 口= ( q ) 1 - i 旭：存在双口) x ，n en ， & ：f ) 共尾t - 1 3 x ( a ) o ) ， 吃：f ) 是点x ) 的网) 按以下方式定义定义f ：m 专x ，f ( a ) = x ) ，不难证明是满映射且是到上的。因为 空间x 是乃的，对每一个n n ，b x0 ) 是x 在空间x 中的网。每一个口= ( ) m 有 ) = n 旭吃，b 是点可数的，则是可数到一的映射，同时也可以证明是连续映射。 下面我们将证明厂是序列商映射。 因为胪u 召x ( 聍) ：x x ，n n ) 是空间x 的点可数n 。一s r l 一网，若空间x 中的序 列三收敛到x 诺三，则存在序列三的子序列1 2 及n o n 使得对任意的m n 都有z 终于 鼠( n o ，m ) 。对每一个f n ，取有吃。= 最( n o ，da 令口= ( q ) ，则口m 。对每一 个七，令= m i n m n ：x k 芒e , ( n o ，m ，按以下的方式取乙= 饵( 后) ) 1 7 洲：如 果j 有置( n o ，f ) 。因为终于色( ，f ) ，从而f 仇 并且j | 。由的定义，所以层( j | ) = q ，也就是说 ( 。) ：f n ) 在离散空间中收敛 于。从而乙在空间m 中收敛于口。因此厂是序列商映射。 引理3 1 3 睁1 设f ：x _ y 是序列商映射，x 是心一空间，则】，是n 。一空间。 定理3 1 4 在空间x 中，下列论述等价： ( 1 ) 空间x 是可分度量空间的可数到一序列商映像； ( 2 ) 空间x 是k 。一册一弱第一可数且是可分度量空间的序列商映像； ( 3 ) 空间x 有可数n 。一肼一网； ( 4 ) 空间x 是n 。一s t 一弱第一可数k 。一空间。 1 4 n o 一弱基及相关结果的推广 证明：( 1 ) 一( 2 ) 由定理3 1 2 ，因为空间x 有点可数k 。一册一网，所以空间x 是 k 。一册一弱第一可数空间。又因为空间x 是可分度量空间的可数到一序列商映像，所 以空间x 是可分度量空间的序列商映像。 ( 2 ) 一( 4 ) 因为空间x 是可分度量空间，所以空间x 是k 。一空间。由引理2 1 1 很 容易证明( 2 ) 一( 4 ) 。下面我们将证明( 4 ) 一( 3 ) 一( 1 ) 。 因为空间x 是k 。一空间，由定理4 ，我们可以假设空间彳有可数心一网p 并且对有 限交封闭。令 召= u b x ( 拧) ：x x ，开n ) 是空间x 的k o 一册一网这里每一个i , r l n 有8xq ) = e ( 刀，i n ) ：m ，且 最( ”，m + 1 ) ce ( 刀，肌) ，对每一个刀n ，7 0 x ( 以) = p 7 0 ：存在所en 使得 鼠( 所) cp ) ，则p 工( r 1 ) 对有限交封闭。 断言：p x ( 刀) 是点z 在空间x 的网。否则对每一个尸p x ) ，在x 中存在点的邻 域u 使得p 旺u 。令 尸7 0 x 尸cu ) = 丑：七n ) ，则对任意的m ，k n 有 b ( n ，m ) 旺丑，对每一个m k ，选取k b ( n ，m ) 丑，令儿= ，江k + m ( m - 1 ) 2 。 则序列收敛于空间x 的x 点( 因为 毋( ，m ) ：m ) 是x 在x 中的网) 。因为p 是空间x 的嚣一网，存在七，使得 咒：f ，) c 最，取f 存在，l k 使得乃= ，从而有 丑，与b ( n ，朋) 丑矛盾。 令胪u p x ( ”) ：x x ，珂n ，则b 可数。下证明启是k s i i 一网。存在三是空间x 中的序列收敛到x 叠l ，从而存在序列l 的子序列z 及n o n 使得对任意的 盈( n o ，m ) 胰( ) 都有5 终于或( n o ，m ) 。但是存在m n 使得最( n o ，m ) c p ( n o ) ，因此对 任意的p a o ) p x ( n o ) 都有终于p , ( n o ) ，所以召= u b x0 ) ：x x ，玎n ) 是空间x 的 k o 一肼一网。 ( 3 ) 斗( 1 ) 的证明类似于定理2 1 0 充分性的证明，不过这里的每一个是可数的而 且m 是可分度量空间。 引理3 1 4 阳3 设f ：x y 是闭映射，x 具有盯一遗传闭包保持的k 一网，则】，是册一 度量空间当且仅当】，是s t l 一第一可数空间。 定理3 1 5 设f ：x 专y 是闭映射，x 具有盯一遗传闭包保持的k 。一册一网，则】，是 s l l 一度量空间当且仅当】，是s l l 一第一可数空间。 证明：如果l ，是册一度量空间，显然l ，是s ? i 一第一可数空间。 令x 具有口一遗传闭包保持的k 。一s l l 一网召，由引理3 3 ，我们可以得到召是 劣。一网。由引理3 6 ，x 具有o r 一遗传闭包保持的k 一网，再由引理3 8 ，不难得到j ，是 s l l 一度量空间。 推论3 1 6 空间x 有盯一遗传闭包保持的点可数n 。一s i l 一网，则空间x 是s r l 一度量 广西大掌硕士学位论文 n o 一弱基及相关结果的推广 空间当且仅当x 是s 1 一第一可数空间。 推论3 1 7 空间x 有仃一遗传闭包保持的点可数k 。一s y 一网，则空间x 是n 一空间 当且仅当x 不包含闭子集同胚于。 在下面我们将给出关于n 。一s p z 一网及相关网络的注记，以此来说明k 。- - $ - - 网与 肌一网以及与甜一网之间的区别。有第二部分最后的注记2 和注记3 ，我们不难得到以下 结论： ( 1 ) k 。一册一网未必是s n 一网。 ( 2 ) n 。一册一网未必是 c s 一网。 1 6 广西大学硕士掌位论文 k o 一弱基及相关结果的推广 参考文献 1 a va r h a n g e l 抵i i m a p p i n ga n ds p a c e s j r u s s i a nm a t hs u r v e y s ，1 9 9 6 ，2 1 ：l15 - 16 2 2 r s i r o i s d u m a i s q u a s i a n dw e a k l yq u a s i f i r s t - c o u n t a b l es p a c e s j t o p o l o g ya n di t s a p p l ，19 8 0 ，l l ( 3 ) ：2 2 3 2 3 0 3 c l i u ，s l i n o nc o u n t a b l e - t o o n em a p s j t o p o l o g ya n di t sa p p l ，2 0 0 6 ，11 ：1 - 6 4 s l i n s e q u e n c e - c o v e r i n gm a p sa n d m e t r i cs p a c e s j t o p o l o g ya n di t sa p p l ，2 0 0 0 ， 1 0 9 ( 3 ) ：3 0 1 - 3 1 4 5 l f o g e d c h a r a c t e r i z a t i o no f 寺- s p a c e s j p a c i f i cj m a t h ，1 9 8 4 ，i 10 ：5 9 - 6 3 6 s l i n g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa n dm a p p i n g s m ，c h i n e s es c i e n c ep r e s s ，b e ij i n g ， 1 9 9 5 7 s l i n ，y o s h i o t a n a k a p o i n t - c o u n t a b l ek - n e t w o r k s ，c l o s e dm a p sa n dr e l a t e dr e s u l t s j t o p o l o g ya n di t sa p p l 19 9 4 ，5 9 ：7 9 8 6 8 yg e s n - m e t r i cs p a c e s j a c t am a t hs i n i c a ，2 0 0 2 ，4 5 ：3 5 5 3 6 0 9 y g e s p a c ew i t hc o u n t a b l es n - n e t w o r k s j c o m m e n t s m a t h u n i v c a r o l i n a , 2 0 0 4 ，4 5 ： 1 6 9 1 7 6 1 0 j r r b o o ea n df s i w i e c s e q u e n t i a l l yq u o t i e n tm a p p i n g s j c s e c h j m a t h ，1 9 9 7 ，2 6 ： 1 7 4 1 8 2 11 y g e o ns p a c ew i t hao - l o c a l l yf i n i t eu n i v e r s a l 甜一n e t w o r k s j q u e s t i o n sa n d a n s w e r si ng e n e r a lt o p o l o g y , 2 0 0 0 ，18 ：9 3 9 6 1 2 熊金成点集拓扑讲义 m 高等教育出版社2 0 0 0 ( 第三版) 1 3 高国士拓扑空间论 m 科学出版社2 0 0 0 1 4 刘川仃一遗传闭包保持k 一网的几个注记 j 数学进展，1 9 9 5 ，2 4 ( 6 ) ：5 5 8 5 6 0 1 5 e s i w i e c o nd e f i n i t i o nas p a c eb yaw e a kb a s e j p a c i f i cj m a t h ，1 9 7 4 ，5 2 ：2 3 3 2 4 5 16 c l i u o nw e a kb a s e s j q u e s t i o n sa n da n s w e r si ng e n e r a lt o p o l o g y , 2 0 0 4 ，2 2 ： 9 3 9 6 刘川关于有局部可数k 一网的空间【j 】广西大学学报，1 9 9 1 ，1 6 ：7 1 7 4 林寿关于g 一可度量空间【j 】数学年刊，1 9 9 2 ，3 ：4 0 3 4 0 9 y o s h i ot a n a k aa n dz h a o w e nl i c e r t a i nc o v e r i n g - m a p p i n g ，七一n e t w o r k sa n dr e l a t e d m a t t e r s j t o p o l o g yp r o c e e d i n g s ，2 0 0 3 ，2 7 ：3 17 - 3 31 2 0 c l i ua n dm u m i nd a i g - m e t r i z a b i l i t ya n d & 【刀t o p o l o g ya n di t sa p p l ，2 0 0 6 ： 1 8 5 1 8 9 1 7 广西大掌硕士掌位论文 k o 一弱基及相关结果的推广 2 1 f o g e dl g - m e t r i z a b i l i t y j p a c i f i cj m a t h ，1 9 8 2 ，9 8 ：3 2 7 3 3 2 2 2 s l i n m a p p i n gt h e o r e m so nn s p a c e s 川t o p o l o g ya n di t sa p p l ，19 9 8 ，10 1 ： 1 5 9 1 6 4 2 3 s l i n i m a g e so nl o c a l l ys e p a r a b l em e t r i cs p a c e s j a c t a m 础s i n i c a ，1 9 9 7 ，1 3 ：i - 8 2 4 c l i u n o t eo nc l o s e dm a p p i n g s 叨h o u s t o nj o u r n a lo f m a t h e m a t i c s ，2 0 0 7 ，4 ：l - 1 1 2 5 文t j ) 1 1 关于点可数覆盖 j 数学研究与评论，1 9 9 6 ，1 6 ：1 2 1 - 1 2 4 2 6 g g r u e n h a g e ，e m i c h e la n dt a n a k a s p a c e sd e t e r m i n e db yp o i n t - c o u n t a b l ec o v e r s j p c a i f i c j m a t h ，19 8 4 ，ll3 ：3 0 3 - 3 3 2 2 7 d b u r k ea n de m i c h e l o nc e r t a i np o i n t - c o u n t a b l ec o v e r s 明p c a i f i c j m a t h ，19 6 8 ，6 4 ： 5 2 1 5 3 2 2 8 f o g e dl n o r m a l i t yi nk - a n d - k - s p a c e s j t o p o l o g ya n di t sa p p l ，19 8 6 ，2 2 ：2 2 3 - 2 4 0 【2 9 】s l i n c o v e r i n gp r o p e r t i e so fk - s e m i s t r a t i f i