（通信与信息系统专业论文）混沌振子理论在微弱信号检测中的应用.pdf

哈尔滨工程大学硕十学位论文 i i i i i 摘要 本论文主要是研究混浊水海域沉底雷或者掩埋雷探测中声信号的检测方 法问题。在混浊水海域，由于海水中含有大量的泥沙、藻类以及浮游生物， 因而海水的声吸收系数比一般纯净水要高很多。而且由于探雷对探测距离的 要求，以及声波必须小于全反射临界角投射海底，所以只有极少量的声能量 透入海底，而透入海底的微弱声信号在泥沙中的声吸收远强于在任何海水中 的声吸收。因此可以预料，目标的回波是非常微弱的。 论文提出了利用混沌振子进行微弱信号检测的基本思想及具体实现方 法。对实际中出现的基本问题进行了初步的探讨。理论与实验证明了该方法 的有效性和独特的优点。 第一章。综合阐述了混沌理论的发展历程，并对微弱信号的检测理论作 了简单的介绍。最后提出了本论文主要的工作内容。 第二章，从d u f f m g 振子的数学模型开始，进一步分析了d u f f i n g 系统的 有关问题。接着利用m e l n i k o v 方法，详细地推导出系统由混沌转变为周期的 分叉值，从而为选择参考信号的幅值提供理论依据。 第三章，构建了检测微弱信号的基本系统，并且在此基础上提出r 利用 振子阵列对信号进行频率扫描的方法，进一步完善了该检测理论。 第四章，利用随机过程和周期系数线性微分方程的理论，对噪声进过 d u f f i n g 系统后的统计特性分析，确定了此方法对噪声的抑制能力。 第五章，针对实际中遇到的情况，对该方法的可行性做了仿真研究，并 得到了一些具有实际意义的结论。 第六章，通过将该方法与经典的信号检测方法做了一些对比，说明了该 方法的优势所在。最后对该方法的应用前景以及有待开展的工作做了展望。 关键i n ：混沌；微弱信号检测：d u f f i n g 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sm a i n l yt or e s e a r c ht h ew a yo fd e t e c t i n gt h ea c o u s t i cs i g n a l s f r o mt h em i n ei nt h et u r b i dm a r i t i m es p a c e a c c o r d i n gt oal a r g en u m b e ro fs a n d a l g a ea n dp l a n k t o ni nt h et u r b i ds e aa r e a ，t h ea c o u s t i ca b s o r p t i o nc o e f f i c i e n ti s m u c hh i g h e rt h a nt h ea r e ai nt h ep u r es e aa r e a f u r t h e r m o r e ，b e c a u s eo ft h e r e q u e s to ft h ed e t e c t i o nd i s t a n c ea n dt h ea n g l eo fi n c i d e n c eo ft h es o l dw a v e b e i n gl e s st h a nt h ec r i t i c a la n g l eo ft h et o t a lr e f l e c t i o n ，o n l yv e r ys m a l lq u a n t i t yo f e n e r g yc a ne n t e ri n t ot h es e a b e d ，a f t e rt h es o l dc o m e si n t ot h es e a b e d ，t h e a b s o r p t i o no ft h es a n di sm u c hm o r et h a nt h a to ft h ew a t e r i t sc a r lb ep r e d i c t e d t h a tt h ee c h oo f t h eo b j e c t si sv e r yw e a k t h et h e s i s p u t sf o r w a r dan e wi d e ao fw e a ks i g n a ld e t e c t i o nb a s e do nt h e c h a o t i co s c i l l a t o r s ，a n dm a k e ss o m ee l e m e n t a r yd i s c u s s e sa b o u tt h ep r o b l e m si n p r a c t i c e t h et h e o r ya n de x p e r i m e n t sa l lp r o v et h ee f f i c i e n c ya n dt h ed i s t i n c t i v e a d v a n t a g eo f t h ea p p r o a c h i nc h a p t e r l ，f i r s t l yg e n e r a l l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to f t h ec h a o t i ct h e o r y t h e ni n t r o d u c et h et h e o r yo ft h ew e a ks i g n a ld e t e c t i o n l a s t l y , e x p r e s st h em a i n l y w o r ko f t h i st h e s i s ， i nc h a p t e r 2 ，s t a r tf r o mt h em a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h ed u f f i n go s c i l l a t o r , a n d t h e na n a l y z et h ed u f f i n gs y s t e m w ed e v e l o pt h ee x p r e s s i o no ft h eb i f u r c a t i o n v a l u ew i t 1t h em e l n i k o v sm e t h o d s ow eh a v ead i r e c ts i g n i f i c a n c eo fh o wt o c h o o s et h ea m p l i t u d eo f t h er e f e r e n c es i g n a l ， i nc h a p t e r 3 ，c o n s t r u c tt h eb a s i cs y s t e mo fw e a ks i g n a ld e t e c t i o n ，a n dt h i s b a s eb r i n gf o r w a r dt h ea p p r o a c h e st h a tu s ea 1 1a r r a yo fc h a o t i co s c i l l a t o r st o r e a l i z ef r e q u e n c ys c a n n i n g a n dc o n s u m m a t et h i sd e t e c t i o nt h e o r y i nc h a p t e r 4 ，a n a l y z et h es t a t i s t i c a lc h a r a c t e r i s t i c so f t h eo u t p u tn o i s ef r o mt h e d u f f i n gs y s t e m ，w h i c hb a s e d0 1 1t h et h e o r yo fl i n e a rs y s t e ma n ds t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e r e b ym a k es m et h a tt h ec o n t r o la b i l i t ya b o u tn o i s eo ft h i s a p p r o a c h 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i nc h a p t e r 5 ，a i ma tt h ei n s t a n c ei nt l l ep r a c t i c e ，m a k es a m ee m u l a t e st os t u d y t h ef e a s i b i l i t yo f t h i sa p p r o a c h a n da l s og e ts o m eu s e f u lc o n c l u s i o n i nc h a p t e r 6 ，m a k es o m ec o m p a r i s o n sb e t w e e nt h i sm e t h o da n do t h e rs i g n a l d e t e c t i n gm e t h o d s ，t h e np o i m so u tt h ea d v a n t a g eo ft h i sd e t e c t i n ga p p r o a c h f i n a l l y , p r o s p e c tt h ef o r e g r o u n do f t h i sm e t h o da n dt h ew o r k st ob ed o n e k e yw o r d s ：c h a o s ；w e a ks i g n a ld e t e c t i o n ；d u f f i n g 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的 引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已公开发 表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：年 月日 哈尔滨工程大学颂十学位论丘 1 1 引言 第1 章绪论 m s h l e s i n g e r 混沌科学的倡导者之一说过：“2 0 世纪科学将永远铭记的 只有三件事，那就是相对论，量子力学和混沌”。混沌理论是非线性科学最重 要的成就之一。“混沌”就我们而言其实是一个数学概念，而“混沌理论”却 是一套数学理论。 摆是振子的力学模型，而混沌振子，顾名思义就是处在混沌状态的，宏 观有序而微观运动毫无规律可言的摆。这里，我们首先回顾一下摆的历史。 亚里士多德认为，所有的物体都存在一个所谓“自然状态”。他注意到的是重 锤为了保持“自然状态”而试图回到中间位置，只是由于绳子的约束，从而 左右前后摆动。伽利略看摆时，他注意的是存在一种可以测量的规律性。由 于他的前提过于苛刻，以致于他所预见的规律性并不存在。为了使结果变得 比较漂亮，他必须放弃非线性摆角的正弦，空气的阻力和摩擦力。这实 质上是揭示个理想的科学世界去改变人的直觉，在这个理想的科学世界中， 规律性可以从经验中的无序分拆开来。 无论是亚里士多德还是伽利略，他们考虑的是运动学问题，即摆是怎么 样运动的。而牛顿去更加深入的考虑了摆的动力学问题，即摆为什么这样运 动。三大定律的发现将这种绝对理念的思维方式推到了顶峰。摆钟的发明加 深了人们对绝对时间的幻觉，引导人类文明走向一条永不回头的道路。几乎 所有基本电子线路都被做成线性，几乎所有的系统都被简化成为线性系统， 即使在不能直接简化的时候，人们总是习惯于找到个等效的线性系统。对 于不确定的东西，人们将他们一概定为噪声。总之，宇宙被看作一个巨大的 确定性的钟表结构，并且在时间上是可逆的，即过去未来都可由现在的状态 唯一确定。 然而，这种毫无生气的钟表世界最终会被打破。当满足一定的非线性条 件( 阻尼，摆角正弦) 时，受周期外力驱动的摆将进入一种奇怪的运动状态。 从外表看来，毫无规律可言，而在全局上又能不超出定的范围。即局部不 哈尔滨工程大学硕十学位论文 稳 臼全局稳定。摆球初始状态稍加改变将导致结果的完全不同，这体现了系 统的随机性；但是系统运动的微分方程能被我们准确的写出，这又表现了系 统的确定性。这种全局稳定而局部不稳，确定性和随机性相统一的运动状态 就是混沌。 1 ，2 混沌理论的发展 混沌( c h a o s ) 在o x f o r ds t u d e n t sd i c t i o n a r yo fc u r r e n te n g l i s h 中的解 释为“c o m p l e t e a b s e n c eo f o r d e r o rs h a p e ”，意思是完全无序无形；作为科学 名词最早出现在1 9 7 5 年。在辞海中，“混”意为水势盛大，“沌”意为水 势汹涌，二字台成意为“古人想象中的世界开天辟地前的状态”，即“混沌相 连，视之不见，听之不闻”。中国古代哲学中所说的“道”、“太极”等范畴， 在一定意义上也含有混沌的意思。 近代科学强调宇宙的简单性，以研究自然界的秩序和规律为宗旨，所以 不把作为复杂性代表的混沌放在视野之内。数百年来，混沌不是被认为没有 研究必要，就是被当作噪声处理。 到1 9 世纪中叶，从自然科学角度首先讨论混沌问题的是热力学。但是当 时科学家的兴趣并不在研究混沌本身，而是去探索在微观上看来是浑沌的现 象。会在宏观上表现出什么样的秩序和规律。 1 9 0 3 年，法国数学家庞加莱( p o i n c a r 6h ，1 8 9 3 ) 从不可积动力学概念出 发，率先指出对相空间动力学的全局性问题进行定性研究的重要性；并通过 对太阳、月亮、和地球三体问题的研究，得出在一定范围内其解是随机的( 在 其保守系统中的混沌) 。从而成为了第一个了解混沌存在可能性的人。自此以 后，混沌理论得到了长足的进步。尤其是在许多基础科学中更是取得了重大 进展，例如美国气象学家洛伦兹( l o r e n ze ) 首次在一个确定性系统中从数 值上得到混沌解，从而揭开了对混沌问题深入研究的序幕。美国数学家约克 ( y o r k ej a ) 和美籍华人李天岩共同发表重要文章“p e r i o dt h r e ei m p l i e s c h a o s ”，从数学的角度深刻揭示了从有序到混沌的演化过程。1 9 7 8 年，美国 物珲学家菲根鲍姆( f e i g e n b a u m ) 发表了关于混沌的普适性文章，使混沌科 学确立了自己坚固的地位。 哈尔滨工程大学硕十学位论文 1 3 混沌在工程上的研究现状 1 3 1 混沌应用于工程的意义 线性的方法处理工程问题已经相当的成熟。但是，我们必须知道我们所 处的这个世界从本质上来说是非线性的。人们要制造线性的仪器设备必须人 为地破坏自然的和谐。工程混沌学的人为就在于打破单调的“钟摆结构”，使 人们采用一种更加自然的方法来改造我们的世界。 当然，我们也应该看到，混沌理论研究的历史不是很长，工程应用也只 是刚刚起步，再加上自身技术条件的限制，在混沌应用方面做的探索将是艰 难的。但是，我们也应该看到非线性科学已逐步为人们所重视，越来越多的 混沌应用实例和技术发明将为我们创造个更加和谐的世界。 1 3 2 混沌在工程中的应用 混沌在工程中的应用一般可以分为以下几个方面： 1 分析工程系统中产生的混沌现象并加以控制。许多过去被认为是噪声 的信号己被证明为确定性的混沌。因此，只要调整参数就可以有效斑控制混 沌，从而达到类似滤波的结果。这里混沌仍然被视为无用的噪声，唯一的进 步就是承认混沌与噪声的区别，从而更加有效地加以控制。与经典的控制问 题不同，混沌控制不存在统一的理论框架，但其物理状态的特征存在一个共 同点，就是变原来的正的l y a p u n o v 指数为负值，从而实现从不稳定向稳定的 转变。 对于无法得知系统模型的情况，可以利用一些常用的非线性技术，直接 从试验数据入手，获取庞加莱截面的某些信息，从而实现对吸引子的刻画。 其中比较典型的有：相空间重构法，o g y 法，o f f 技术，等等。 4 7 j 【4 8 】【4 9 1 所有这些方法，其研究手段都是相对固定的。一般都是根据物理学基本方程， 建立系统的数学模型。然后分析可能产生的混沌现象，并用实验加以验证。 研究者只需要一定的数学技巧。 2 产生混沌并加以利用。在这里，混沌被视为具有一定特征的，能为我 哈尔滨工程大学硕士学位论文 所用的东西。这些方法需要研究者对混沌的性质以及其哲学意义有充分的了 解，需要较丰富的想象力。与纯理论的混沌理论相比较，又必须在实际中能 行得通，这就更进一步加深了阔题的难度。 1 3 3 混沌、噪声及有用信号的检测 混沌是确定性的随机行为，而噪声则是不确定的扰动形式。但从表现形 式来看是无法将二者区分开来的。即便是应用传统的分析方法也很难区分。 比如，泊松过程是一种典型的离散高斯过程，其概率密度是指数形式的；但 是有些混沌动力系统概率密度也是指数形式的。 正如水声环境中无法克服的混晌，一般都被说为噪声。而海军工程大学蔡志明教授等在 水中混响的混沌属性分析中【j ，用混沌动力学的理论方法分析混响时问序列，结果 表明混响是具有一定的混沌特性的，而并非完全不确定的。 所谓有用信号，就是可以直接传递信息的物理量。如声信号的振幅、相 位、频率、波形等。漏淹信号也可以传递物理信息，但不能直接应用，需要 对其做一定的转换，因而不算是传统意义上的有用信号。 在一般情况下，混沌、噪声和有用信号往往是混杂在起出现的，所以研究 方法就比较杂乱。这里就只介绍一些常见的情况： 1 抑制混沌中的噪声。混沌在本质上虽然是确定的，然而其表现形式却 与噪声并无大的区别。所以传统的滤除噪声的方法很难将混沌和噪声分开。 因此要有效的抑制混沌中的噪声必须采用新的方法。l e e c h u n g y o n g 等人介 绍了一种基于系统动力学特征的去嗓方法，提出了一种在系统动力学特征未 知的情况下压制噪声的方法。 2 检测混沌信号。一般是通过对系统动力学藿构方法，如相空间重构、 l y a p u n o v 指数计算等，将奇异吸引子中的非稳定成分提取出来，这样就可以 扶嗓声中区别出混沌信号。西北工业大学的李亚安等人在基于l y a p u n o v 指数的水下目标信号混沌特征提取文中应用l y a p u n o v 指数计算方法提出 了检测与识别水下目标新的理论和方法。0 7 1 3 ，利用混沌检测噪声中的有用信号。这是本论文的主要内容，在后面各 节中也有介绍，所以在这儿就不再赘述了。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 4 微弱信号检测的原理及发展历程 1 4 1 微弱信号检测的原理 所谓“微弱信号”可以从两个方面理解：其一是指有用信号的幅度相对 于噪声来说是很微弱的，例如信噪比为2 0 d b 、乃至一6 0 d b ，这时有用信号将 完全淹没在噪声中；其二是指有用信号自身的幅度非常的小，如信号在 “矿，n v ，p v 的数量级上。 微弱信号检测技术是采用电子学、信息论、计算机及物理学的方法，分 析噪声产生的原因和规律，研究被检测信号的特点和相关性，从而从噪声中 检测到有用信号的技术。该技术的目的是研究如何从强噪声中检测到有用信 号，并且尽量降低检测门限。 1 4 2 微弱信号检测的发展历程 1 经典检测与估计理论时期 该时期也可以称为第一阶段，所用的数学方法基本是统计学家已完成的 工作。在此期间，美国科学家w i e n e rn 和苏联科学家柯尔莫戈罗夫 ( k o l m o g o r o v ) 将随机过程和数理统计的观点引入到通倍和控制系统中，提 出了信息传输和处理过程的统计本质，建立了最佳线性滤波理论，即维纳滤 波理论。一州 同一时期，n o r t hd 0 与1 9 4 3 年提出以输出最大信噪比为准则的匹配滤 波器理论；1 9 5 0 年在s h a n n o nc 信息论问世后不久，w o o d w a r dr m 提出了 理想接收机应能接收到的信号加噪声的混合波形中提取尽可能多的有用信 息，方法是必须知道后验概率分布。从1 9 5 3 年开始，人们直接利用统计推断 中的判决和统计理论研究雷达信号检测和参量估计。m i d d l e t o nd 等人用最 小风险准则处理最佳接收问题，并使用各种最佳准则统一于风险理论，使检 测理论发展到成熟阶段。 2 现代检测与估计理论时期1 2 4 】 k a l m a n 滤波理论、非线性检测与估计理论、非参量检测与估计理论、r o b u s t 哈尔滨工程大学硕士学何论义 检测与估计理论，构成了检测与估计理论发展的第二阶段。 2 0 世纪6 0 年代初出现的k a l m a n 滤波理论是对w i e n e r 滤波理论的突破， 它打破了平稳过程的限制，以时域微分方程表示滤波闻题，得到递推滤波算 法。它的特点之一是在线性问题中出现了非线性微分方程，在已知初始条件 下可以用计算机求解。到了2 0 世纪7 0 年代，k a i l a t ht 等人发展了新信息 ( i n n o v a t i o n ) 理论，和鞅过程理论相结合，为非线性估计拓宽道路。 c a p o nj 于1 9 5 9 年提出了适用于噪声的统计特性基本未知情况下的非参 量检测与统计。经过十几年的发展，到2 0 世纪7 0 年代初，h a n s e nv g 等人 提出了“广义符号检测法”，并在雷达检测中得到实际应用。r o b u s t 检测与 估计理论的基础是h u b e rr j 与2 0 世纪6 0 年代中期提出的r o b u s t 统计学， 该理论是用于噪声统计特性部分确知的问题。 2 0 世纪8 0 年代以后，由于光纤通信、激光雷达以及其他激光技术的发 展，使量子信道日益重要，但至今量子检测与估计理论还处于初级阶段。 2 0 世纪9 0 年代前后，国内外为数不多的学者从事一项新的检测技术工作， 即利用非线性科学中的混沌理论检测强噪声背景中的微弱信号，并取得了重 要的进步。 在发展检测和估计理论的同时，已经逐步将一些具有普遍应用价值的方 法研制成一系列微弱信号检测仪器。自从2 0 世纪6 0 年代国外出现第一台微 弱信号检测仪器( 锁定放大器及取样积分器) 以来，至今世界上已有很多成 产此类仪器的厂家。 1 5 论文工作 从关于摆的动力学表述中可以看出：全局稳定的混沌振子由于参数的不 同会表现出不动点、周期、拟周期、混沌等动力学状态。对两种状态的相互 转换时的参数l 临界值，在非线性科学中称为“分叉值”，两种状态间的转换成 为“分叉”。我们的出发点是利用分叉特性来检测外界信号。 处于混沌状态的振子表现出确定性和随机性的统。其随机性表现在混 沌系统表面上的无序状态。正因为这种无序，使得混沌对噪声具有极强的免 疫能力。因为噪声在每个瞬间的作用效果只是改变相点的局部的位置，虽然 哈尔滨工程大学硕士学位论文 使得初值敏感性造成的全局轨道不可预知性更为明显，但是丝毫没有改变系 统的混沌状态；其确定性表现在系统的状态是由确定的方程决定的，方程中 的参数变化有可能导致系统状态的变化。如果我们把有用信号调制到参数空 间中，就可以根据系统的相变检测出信号来。 我们可以将系统状态调节到分叉点附近，如振子由混沌转为周期点附近。 将带有噪声的信号输入系统，虽然噪声很强，但只是改变相点的局部位置， 很难改变系统的状态，也就是说很难引起相变。但是如果有信号与参考信号 频率相同，即使幅值很小，也能导致系统由混沌到周期状态的巨大变化。这 样，淹没在强噪声中的微弱信号就可以检测到了。 本论文的主要工作有以下几个方面： 第一章，综合阐述了混沌理论的发展历程，并对微弱信号的检测理论作 了简单的介绍，并且初步阐述了本论文的基本思想。 第二章，首先建立d u f f i n g 振子的数学模型，并在此基础上分析了d u f f i n g 系统的有关问题。接着利用m e l n i k o v 方法，详细地推导出系统由混淹转变为 周期的分又值，从而在此基础上选择合适参考信号的幅值。 第三章，构建了检测微弱信号的基本系统，给出了系统的基本框图。并 且在此基础上提出了利用振子阵列对信号进行频率扫描的方法，提供了确定 任意信号频率的方法，进一步完善了该检测理论。 第四章，利用随机过程和周期系数线性微分方程的理论，对噪声进过 d u f f i n g 系统后的统计特性分析，从而得出了此方法的处理增益。 第五章，针对实际中遇到的情况，对该方法的可行性做了仿真研究，并 得到了一些具有实际意义的结论。 第六章，通过将该方法与经典的信号检测方法做了一些对比，说明了该 方法的优势所在。最后对该方法的应用前景以及有待开展的工作傲了展望。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章d u f f in g 系统简介 2 1 引言 对混沌振子用于微弱信号检测的研究已经越来越深入，：混沌振子由于参 数的不同会表现出不动点、周期、拟周期、混沌等动力学状态。对两种状态 的相百转换时的参数临界值，在非线性科学中称为“分叉值”，两种状态间的 转换称为“分叉”。本章将对从数学模型出发介绍d u f f i n g 振子的基本原理， 然后通过m e l n i k o v 方法求解分叉值。 2 2d u f f i n g 系统的基本原理 2 2 1d u i ：- f i n g 系统的数学模型 图2 1 数学模型 正如前面所介绍的，单摆为混沌振子的最简单的数学模型吼当不限制 摆幅时，单摆的运动有令人料想不到的复杂性。若把单摆的细线换成刚性细 棒，认为其质量可以忽略，即系统全部质量仍都只集中在小球上。如图2 1 所示，设摆长为，小球的质量为牌，相对于平衡的垂直位置的角位移为p ， 重力加速度为g ，则单摆的运动方程为： m 1 8 ”+ r i o + m g s i n 0 = f c o s c o o t ( 2 1 ) 或者 f 0 + 二日+ 峨2s i n 0 = 二_ c o s o g d t ( 2 2 ) m“ 【 其中臼，0 ，臼”分别表示质点的位置，速度和加速度，为阻力常数，甜。= 1 等 喻尔滨工程大学硕士学位论义 为固有角频率，等式右边是周期性的驱动力，其角频率为c o 。将( 2 - 2 ) 归 一化可以得到： 占”+ 2 p o + s i n 0 = f c o s q t ( 2 3 ) 式中2 形。峨为归一化阻力因数，3 ，簖5 夕名和q 2 7 么为归一 化驱动参量。 。 无阻尼，无驱动时，2 - 3 式可以简化为【9 1 ： 0 + s i n 0 = 0( 2 4 ) 该系统为h a m i l t o n 系统，其h a m i l t o n 量h 等于系统的总能量，为一不变量， 其值为： h ：盟+ c o s 口( 2 5 ) 假设单摆0 = 0 时，此时的0 = o h ，代入2 5 式可以得到： 日= c o s 氏 ( 2 6 ) 协壶幽詈j 气1 s i n 詈例刚矧： 0 = 2 a r c s i n 缸 0 ，：j 丝x ，( 2 7 ) 1 一七2 x 2 目一：! 垒：+ 丝型! ! 1 一七2 工2 ( 1 一七2 x 2 ) 3 将2 7 代入2 - 4 可以得到 2 缸一+ 2 _ k 3 x ( f x 丁 ) 2 ：2 b g 一毒2 x 2 ) ( 2 8 ) i 一定一x 。 由2 - 7 我们可以得到 ( z ) 2 = 三j 等( 口7 ) 2 = 矿1 - - k z x 2 ( h - c o s 0 ) = ( 1 - k z x 2 ) ( x 2 1 ) ( 2 9 ) 将2 - 9 代入2 - 8 可以得到 z ”一( 1 一k2 ) x + 2 k 2 2 3 = 0 ( 2 1 0 ) 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 其标准形式其实就是无阻尼，无驱动的d u f f i n g 方程的形式 x ”一x + x 3 ：0( 2 - 1 1 ) 2 2 2d u f f in g 系统轨道表示 从物理意义上来说，无阻尼，未受扰的d u f f i n g 系统是一个保守的系统， 其h a m i l t o n 能量唯一恒定值。其h a m i l t o n 能量函数为( 令j ，：a xj ： d t 脚功= 孚 + x z 。( 2 - 1 2 ) ，一 一 i 余n彳氐、： 、蹩 ( 1 7 0 ) i ? 一 、h ，- ，_ 一 图2 2 系统轨道 根据系统的能量不同，可以将系统的相轨道分为三类【1 9 】：同宿轨道、外 轨和内轨。图2 2 是该系统的相平面图。从图中我们可以看出，系统存在着 三个平衡点。其中( 1 , 0 ) 为中心点，( 0 , 0 ) 为鞍点。经过鞍点的m 形的轨 道为同宿轨道，它的h a m i l t o n 能量为o ；在同宿轨道以外的轨道簇就称为外 轨，能量在0 到+ o o 之间；在同宿轨道以内的两对轨道簇，我们称之为内轨， 能量在0 到一杉之间。 0 哈尔滨工程犬学硕士学位论史 i ii i 加上阻尼和周期策动力这两种扰动后的d t t f f m g 方程形式为 x ”+ 萝一一x + x 3 = y c o o j r + 舻、 ( 2 - 1 3 ) 式中占为阻尼系数，y ，o ，妒分别为周期策动力的幅度，频率和相位。2 】3 式 经过变形可以转化为下式 f x = 0 ) y 1 yr ：二( 一砂+ ( x x ，+ y c 。s f ) ) ( 2 - 1 4 ) 为简单起见，墩= i ，固定d ，随着y 由零逐渐增大，将会出现以下几 种状态： 1 y = 0 时，相点将最终停在两个焦点( 1 ，o ) 之一上； 2 y 0 时 ( 1 ) r 约( 为一阂值) 时，系统将在相平面上出现次谐分岔，系统按 簧动力频率或其倍颓振荡。相平面上轨迹如图2 3 所示。 ( 2 ) 当n 3 时，共振带 宽度就小到没有实际意义的程度，所以，只有当m = l 时，共振带才足够宽， 这就是我们为什么要选择周期1 外轨为检测轨道的原因。 2 4 本章小结 本章从单摆的数学模型出发，建立了d u f f i n g 方程与振子之间更为直观 的联系，并对d u f f i n g 振子做了简单介绍。最后通过m e l n i k o v 方法求出带阻 尼的d u f f i n g 系统由混沌运动向次谐周期运动转变的分叉值，为实际应用提 供了理论基础。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第3 章混沌振子进行信号检测的基本概念及方法 3 1 引言 混沌系统在各个科学领域的应用已经相当的广泛，其中混沌控制是当前 最为成熟也是最为热门的研究方向。混沌振子用于微弱信号检测就是由混沌 控制理论中得到的启发。混沌控制在物理机理上有一个共同点，就是利用连 续小微扰对混沌实现稳定控制，使得l y a p u n o v 指数由正变为负 2 4 j ，从而实 现从不稳定到稳定的转变。利用混沌系统对参数的敏感性来检测微弱信号， 就是将有用信号看作微扰小信号。由于系统对噪声的免疫力，尽管噪声很强， 也不能改变系统的状态。而一旦有特定的小信号，由于混沌系统对参数的敏 感性，即使幅度很小，也能使系统状态发生改变。 因此，我们利用混沌振子检测徼弱信号实际上是利用混沌系统对参数的 敏感性来实现的。事实上，参数敏感性与非线性科学中的初值敏感性是等效 的。 3 2 参数敏感性 在介绍参数敏感性之前先介绍初始敏感性的概念。对于初值敏感性有一 个形象地比喻：在中国的一只蝴蝶无意地煽动了一下翅膀，有可能导致太平 洋对面的美国海域产生巨大的海啸，也就是人们俗称的“蝴蝶效应”。其实所 谓初值敏感性就是指系统初始状态的微小变化将导致系统轨迹的巨大差异。 对于一个非线性系统，不管它处于混沌或是非混沌状态，如果这个系统 是耗散系统，那么，只要系统的参数确定了，系统的轨迹都趋向于吸引子( 不 管系统的初值是什么) 。但微小的初值差异将导致混沌状态的轨迹产生巨大的 差异，而非混沌状态的轨迹却会愈来愈接近或者始终保持等距的状态。 来看个比较简单的例子： x = h 。( 1 一x 。) ( 3 - 1 ) 3 1 式是非线性科学中众所周知的l o g i s t i c 等式【1 0 1 。当初值有微小的差异 时系统轨迹将会是什么样子的昵? 取k = 3 7 5 时，系统将处于混沌状态。假 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 如初始状态的差异为o 0 0 1 ，如果轨迹的初值= o 4 1 0 0 ，这另一轨迹的 初值= ，0 4 1 0 l 。图3 1 为两轨迹的情况， 通过计算，前五个值分别为：0 。9 0 7 i ( o 9 0 7 2 ) 、0 ，3 1 5 9 ( o 3 1 5 7 ) 、o 。8 1 0 4 ( 0 8 1 0 2 ) 、o 5 7 6 1 ( 0 5 7 6 7 ) 和0 9 1 5 8 ( 0 9 1 5 4 ) ，差别不是特别大。但是如 果经过若干次迭代后，两轨迹的差异逐渐被表现出来。第2 0 2 4 个值分别为： 06 1 3 5 ( 0 6 3 6 6 ) 、o 8 8 9 2 ( 0 8 6 7 5 ) 、o 3 6 9 4 ( 0 4 3 0 9 ) 、o 8 7 3 6 ( 0 9 1 9 6 ) 和 0 4 1 4 2 ( 0 2 7 7 3 ) 。 图3 1 初值敏感性 下面让我 、 来看看d u f f i n g 方程的对于初值的敏感性。如果我们取 k = 0 5 ，y = 0 7 5 ，国= l ，p = 0 ，结果如图3 2 所示，图中细线表示初始值为 x ( 0 ) = o ，y ( o ) = 0 时的轨迹，粗线表示初始值为x ( 0 ) = 0 0 0 1 ，y ( o ) = 0 时的轨 迹。结果与图3 1 非常相似，最初差异也不是很明显，但是2 5 秒之后系统的 状态就完全不同了。 5 g 刍矗一茹一。甜一南 晶靠。；乩 图3 2d u f f i n g 系统初值敏感性 哈尔滨t 程大学预寸= 学位论文 现在再来证明d u f f i n g 方程的参数敏感性和初值敏感性之间的等效关系。 d u f f i n g 方程为 x 1 + d x 一x + x 3 = r c o s ( t ) l 3 - 2 ) 固定占，把，看作是可变参数。系统初始点的坐标为( x ( o ) ，x ( o ) ) 。如 前所述，y 的变化有可能导致系统状态的根本变化，也就说系统表现出参数 敏感性。现在我们将3 - 2 式微分，可得： z 4 + 乐”一x + 3 x2 x = 一ys i n ( t ) ( 3 - 3 ) 用3 - 2 式和3 3 式可以消去，得到： z ”+ ( 占+ t a n ( t ) ) x 。+ ( 3 x 2 1 + 占t a n ( t ) ) x + t a n ( t ) ( x3 一x ) = 0 ( 3 - 4 ) 这个系统的初始点坐标为( x ( o ) ，x ( o ) ，z 8 ( o ) ) ，其中x ( o ) 可以通过将，- 0 代 入3 - 2 式得到。最后我们得到初始点的坐标是： ( z ( o ) ，x ( o ) ，一国( 0 ) 十苴( o ) 一z 3 ( o ) + y ) 这样，二阶系统3 2 式中的可交参数，就自然而然的转移为三阶系统的