（凝聚态物理专业论文）等离子体色散关系的理论研究.pdf

摘要 激光核聚变是超强、超短脉冲激光技术的重要应用领域，在激光核聚变中产生的 等离子体就不可避免地要涉及相对论效应。相对论性等离子体中色散关系的研究是激 光核聚变中最基本最重要的问题之一。 本文所研究的问题主要包含两个部分：一是对相对论性麦克斯韦分布的等离子体 色散关系的数值研究；另一部分是对相对论性费米分布的等离子体色散关系进行解析 和数值研究。 对相对论性麦氏分布等离子体中色散关系的研究，首先从等离子体的动理论出发， 对其色散方程进行了数值分析，结果表明：利用数值计算的方法可以弥补解析结果的 不足，并且得到了不同条件下的色散曲线。 同样从动理论出发，对相对论性费米分布的等离子体色散关系进行研究，分别得 到纵波和横波的色散关系的解析结果。但是理论解析的色散曲线由于受到近似的限制， 出现了不连续性，进而采用数值求解的方法得到完整的色散曲线。 关键词：等离子体色散关系相对论麦克斯韦分布费米分布数值计算 a b s t r a c t l a s e rf u s i o ni sa ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o no fs u p e ri n t e n s ea n du l t r as h o r tp u l s el a s e r t e c h n o l o g y , t h er e l a t i v i s t i ce f f e c to ft h ep l a s m a sp r o d u c e di nl a s e rf u s i o nm u s tb ec o n s i d e r e d i n e v i t a b l y t h er e s e a r c ho nt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o no fr e l a t i v i s t i cp l a s m a si so n eo ft h em o s t f u n d a m e n t a la n di m p o r t a n ti s s u e si nl a s e rf u s i o n p r o b l e m si n v e s t i g a t e di nt h et h e s i sc o n s i s to ft w op a r t s ：o n ep a r ti st h en u m e r i c a ls t u d y o fd i s p e r s i o nr e l a t i o n si nr e l a t i v i s t i cp l a s m aw i t hm a x w e l ld i s t r i b u t i o n ；a n o t h e rp a r ti st h e a n a l y t i c a la n dn u m e r i c a ls t u d i e so fd i s p e r s i o nr e l a t i o n si n r e l a t i v i s t i cp l a s m aw i t hf e r m i d i s t r i b u t i o n n l es t u d yo fd i s p e r s i o nr e l a t i o n si nr e l a t i v i s t i cp l a s m aw i t hm a x w e l ld i s t r i b u t i o ni s b a s e do nt h ek i n e t i co fp l a s m a n ed i s p e r s i o ne q u a t i o n sa len u m e r i c a l l ye v a l u a t e d t h e r e s u l t ss h o w e dt h a t ：u s i n gt h en u m e r i c a lm e t h o d ，t h ea n a l y t i c a lr e s u l t sc a nm a k eu pf o r i n a d e q u a t e ，t h ed i s p e r s i o nc u r v e si nd i f f e r e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d 1 1 1 es t u d yo fd i s p e r s i o nr e l a t i o n si nr e l a t i v i s t i cp l a s m aw i t hf e r m id i s t r i b u t i o ni sb a s e d o nt h ek i n e t i co fp l a s m a t h ea n a l y t i c a lr e s u l t so fl o n g i t u d i n a lw a v ea n dt r a n s v e r s ew a v e d i s p e r s i o nr e l a t i o na r eo b t a i n e d b u tt h ed i s p e r s i o nc u r v e so fa n a l y t i ct h e o r yh a v et h e d i s c o n t i n u i t yd u et oa p p r o x i m a t er e s t r i c t i o n s u s i n gt h e n u m e r i c a lm e t h o d ，t h ef u l l d i s p e r s i o nc u r v e sa leo b t a i n s k e yw o r d s ：p l a s m a sd i s p e r s i o nr e l a t i o n r e l a t i v i t y m a x w e l ld i s t r i b u t i o n f e r m id i s t r i b u t i o n n u m e r i c a l l ye v a l u a t e d 长春理工大学硕士( 或博士) 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士( 或博士) 学位论文，等离子体色散关系的 理论研究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文 中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：趣丛! 筮砰三月生同 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定 ，同意长春理工大学保留并向中国科学信息研究所、中国优秀博硕 士学位论文全文数据库和c n k i 系列数据库及其它国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名 指导导师 年立月尘日 年月殂日 第一章绪论 1 1 等离子体的产生及相关概念 等离子体是由处于非束缚态的带电粒子组成的多粒子体系，它和气体、液体、固 体一起构成自然界物质在同一层次上的四大基本形态。等离子体可以单独存在，也可 以与其它的物质形态共存。在绝对温度不为零的任何气体中，都有一定数量的原子电 离，即除中性粒子外，还存在带电粒子电子和离子。但是，只有在带电粒子的密 度达到其建立的空间电荷限制的自身运动时，带电粒子才对气体的性质产生显著的影 响。随着密度的上升，这个限制变得越来越重要。当密度足够大时，正负带电粒子之 间的相互作用，使得在与气体体积线度可相比拟的体积内维持宏观电中性，这时，宏 观电中性的破坏会引起强电场的出现，从而能很快恢复电中性。正是这样密度的电离 气体称为等离子体。“等离子体 是美国物理学家朗缪尔在1 9 2 3 年提出来的。 最常见的等离子体是高温电离气体，如电弧、霓虹灯和日光灯中的发光气体，又 如闪电、极光等。金属中的电子气和半导体中的载流子以及电解质溶液也可以看作是 等离子体。在地球上，等离子体物质远比固体、液体、气体物质少。在宇宙中，等离 子体是物质存在的主要形式，如恒星，包括太阳、星际物质以及地球周围的电离层等， 都是等离子体。由于正离子和电子的空间电荷相互抵消而维持的宏观电中性，是等离 子体的特性，但是，只是在平均的意义上在足够大的体积内和足够长的时间间隔 内才存在这样的抵消。因此，人们说等离子体是准电中性的介质。等离子体的主要特 性是粒子间存在长程库仑相互作用，等离子体的运动与电磁场的运动紧密耦合，存在 极其丰富的集体效应和集体运动模式。 等离子体不但是电离气体，而且它的主要活动成分是许多的带电粒子。等离子体 整个体系表现出的是准电中性的特征，等离子体中的电子和离子具有强烈的保持电中 性的趋势。当体系温度很高时，气体就能够充分电离，体系内是完全电离的等离子体。 当体系的温度不十分高的时候，气体会在一定条件下部分电离，整个气体由电子、离 子和中性粒子组成，如果满足一定条件，也可以是等离子体。其判据如下： ( 1 ) 等离子体的空间尺度必须要远远大于德拜长度l 谚； - 一 ( 2 ) 德拜球内带电粒子数目要远大于1 ，兰刀以 1 ； 3 。 ( 3 ) 带电粒子和中性粒子碰撞的特征时间r 大于等离子体的响应时间。 等离子体中粒子的密度和温度是等离了体的两个最基本的参量。对于气体放电方 式产生的等离子体主要是由电子、离子、中性粒子或粒子团组成的。因此，描述等离 子体的密度参数和温度参数主要有电子的密度和温度、离子的密度和温度以及中性粒 子的密度和温度。 在实验室中，有很多方法和途径可以产生等离子体，如气体放电、激光压缩、射 线辐照及热电离等，但最常见和最主要的还是气体放电法。气体放电可以分为电晕放 电、辉光放电和电弧放电。按照驱动形式划分，又可以分为直流放电、射频放电和微 波放电： 典型的直流辉光放电，在密封的石英玻璃中充满待放电气体，插入两个金属电极， 在两个电极上加以高压，使得气体发生击穿放电，形成辉光放电。直流辉光放电装置 的优点是结构简单，造价低。但是它的电离度较低，电极容易受到带电粒子的轰击， 使电极的使用寿命缩短，同时溅射出来的原子将对等离子体造成污染。 射频放电是在薄膜合成工艺和集成电路制备工艺中最常用的一种放电类型。这种 放电可以产生大体积的稳态等离子体。根据电源的祸合方式的不同，射频放电可以分 为电容祸合型和电感耦合型；根据电极放置的位置，又可以分为外电极式和内电极式， 外电极式又称无极式。 微波放电是将微波能量转换为气体分子的内能，使之激发、电离以产生等离子体 的一种放电方式。在微波放电中，通常采用波导管或天线将由微波电源产生的微波祸 合到放电管内，放电气体存在的少量初始电子被微波电场加速后，与气体分子发生非 弹性碰撞并使之电离。若微波的输出的功率适当，便可以使气体击穿，实现持续放电。 由于这种放电无需在放电管中设置电极而输出的微波功率可以局域地集中，因此能获 得高密度的等离子体。 等离子体物理学以等离子体的整体形态和集体运动规律、等离子体与电磁场及其 它形态物质的相互作用为主要研究对象。等离子体物理研究的几个相对独立的领域包 括热核聚变能源研究( 高温等离子体) 、空间等离子体物理( 无碰撞等离子体) 和天体 等离子体物理( 各种极端参数条件下的等离子体) 、气体放电和电弧的工业应用( 低温 等离子体及其与物质相互作用) 以及涉及强流带电粒子束的现代高科技应用( 非中性 等离子体及其与强静电场、强电磁波场的相互作用) 。 因此，对等离子体技术的应用开展模拟研究，对上述科学领域的进一步发展和应 用都有着极其重要的意义。 1 。2 等离子体的应用 1 2 。1 等离子体的技术应用 随着人们对等离子体发生的物理过程，以及对等离子体与材料表面相互作用机理 等各方面的不断研究和探讨，等离子体技术已在电子显示、材料、微电子、化工及环 保等众多学科领域中得到广泛地应用，形成一个崭新的工业等离子体处理工业。 在显示器技术方面，等离子体平板显示屏就是等离子体技术在显示器方面的重要 应用，彩色等离子体显示屏是高清晰度显示屏今后发展的首要候选者之一。等离子体 2 显示屏在细巧、高解析度和大面积平板显示器方面有着它独特的优点。 在材料学科中，采用等离子体物理气相沉积技术和化学气相沉积技术可以合成一 些新型功能薄膜材料。物理气相沉积成膜借助于等离子体中的离子的物理效应进行薄 膜沉积，主要分为离子镀和溅射沉积两种。离子镀技术是一种在等离子体环境下的蒸 发技术，工作室的真空度较高。在这种技术中，蒸发出来的原子被电离，然后在电场 的作用下加速运动到基体上，从而形成了镀膜。当固体表面受到载能离子轰击时，靶 表面的原子将被溅射掉。如果在等离子体放电室中放置一固体靶，并施加负偏压。这 样等离子体中的离子将轰击靶的表面，并溅射出靶表面的原子，溅射出来的原子沉积 到基体上，可以形成薄膜。这就是溅射沉积制膜技术。溅射成膜技术又可以分为射频 溅射、磁控溅射及反应溅射等。等离子体化学气相沉积成膜借助于等离子体的高能量 使含有薄膜组成原子的气态物质发生化学变化，在基片下沉积薄膜的一种方法。在这 种方法中，等离子体起着降低反应温度和加速反应过程的作用。 在微电子工业中，采用等离子体刻蚀技术可以对超大规模集成电路进行加工。在 超大规模集成电路工艺中，需要在一些基片( 通常为s i ，s i o ：及g a a s 等) 上制作所需 的各种电路。传统的湿刻蚀技术存在加工精度不高和污染严重等问题。因此，现在的 半导体产业经常采用等离子体刻蚀技术。等离子体刻蚀技术己经达到亚微米量级，现 在研究者正在开发新的技术以求可以刻蚀深亚微米的精度。 在化工工业中，采用等离子体聚合技术，可以制备出一些高分子薄膜材料，等离 子体辅助加工技术可以用来制造许多性能优良的特种新材料、研制新的化学物质和化 学过程，加工、改造材料及其表面性能，在薄膜沉积、等离子体聚合、微电路制造、 工具硬化、超微粉的合成、等离子体喷涂、等离子体冶金、等离子体化工、微波源等 方面，具有极其广泛的工业应用。 1 2 2 等离子体光学发射和质谱检测 通过等离子体的光学检测，可以帮助检测很多本来不能分解的产品的化学元素含 量。高级陶瓷是当前一种重要的工作材料，这些材料的制作、生产以及生产控制都要 求准确的多元素测定方法。对于基性粉木以及紧密陶瓷的多元素测量分析来说，等离 子体原子光谱法提供了适当的解决办法。但是这种技术必须针对直接测定法以及继样 品分解后的测定法进行开发和优化。 对诸如a l 。0 。、s i o 。等用于陶瓷生产的基性粉末而言，采用悬浮体的电感耦合等离 子体原子发射光谱法( i c p - - o e s ) 非常适合直接分析。其性能和局限性与颗粒大小有密 切的关系，因颗粒大小对原子化悬浮体气溶胶的产生以及等离子体中粒子的挥发均会 施加限制，这就决定了用待定元素水溶液加标样进行校准是否可行，继样品分解后的 ( i c p o e s ) 证明对不同的基体都能进行准确度达u g g 水平的测定。 3 1 2 3 激光与等离子体的相互作用 随着啁啾技术的发展，目前的靶面激光功率密度已经达到1 0 2 1 w c m 2 。这种超强激 光与等离子体相互作用所产生的一些非线性效应和物理现象已成为现今等离子体物理 的重要前沿。 最近的实验发现，在激光与固体靶、气体靶以及团簇的作用过程中，均可观察到 能量超过m e v 的高能离子，这些辐射出来的高能离子不仅对于激光惯性约束中的快点 火概念的研究十分重要，而且对应用核物理、天文学、需要高亮度离子源的生物学和 医学也有十分重要的意义。 激光束相对论光学导引、激光击频谐波的相干激发、大振幅的等离子体波等过程 都与激光等离子体加速器、x 射线源和激光聚变有关。激光尾波场是由激光有质动力 在稀薄等离子体中激发的电子等离子体波，基于它在新型粒子加速器、激光频率转换、 激光脉宽压缩、激光强度提升等方面的应用前景，过去二十年里这种波被广泛研究， 针对这些应用激发的这种大振幅等离子体波的典型振动频率在太赫兹( 掰，1 0 1 2 h z ) 附近，目前有关太赫兹电磁辐射的产生和应用受到物理学界广泛关注。 1 3 等离子体的理论描述方法 等离子体的理论研究方法大致可以分成宏观描述和统计描述两大类。宏观描述是 流体描述，它包括磁流体力学( 把等离子体当成导电流体介质来描述) 和双流体力学 ( 把不同种类的带电粒子特别是电子和离子分别用不同的导电流体来描述) 。磁流体 理论适于描述随时间和空间变化的一些等离子体行为，如在给定电、磁场中的平衡位 形，低频的稳定集体运动( 磁流体力学波) 和不稳定集体运动( 宏观或磁流体力学不 稳定性) 。双流体理论可以描述高频波及各种粒子的输运过程。 等离子体是大量带电粒子的集合，它是一个多体系统。目前，等离子体物理中常 用的基本描述方法大致分为以下几种：单粒子轨道法；磁流体和双流体描述；自洽场 的伏拉索夫方程组；自洽场的粒子计算机模拟法；碰撞过程的动力学方程( 福克普朗 克方程或波尔兹曼方程) 。后三种方法通常统称为等离子体的动理学描述。 1 3 1 单粒子轨道理论 单粒子轨道理论是把等离子体看成由大量独立的带电粒子组成的集体，只讨论单 个粒子在外加电磁场中的运动特性，而略去粒子间的相互作用，也就是近似地求解粒 子的运动方程。它能得出在各种复杂的、接近真实情况的电磁场中带电粒子运动轨迹。 常常能对一些观测结果给出定性上的合理描述。但在更多情况下，它不能给出等离子 体的行为，而是作为进一步讨论粒子间相互作用对等离子体行为影响时的零级近似， 也即作为在理论上进一步分析和讨论实际问题的出发点。这种理论只适用于研究稀薄 等离子体。在一定条件下的稠密等离子体，通过每种粒子轨道的确定，可对等离子体 4 运动作适当的描写，也能提供稠密等离子体的某些性质，例如等离子体中的自发辐射。 不过，由于稠密等离子体具有很强的集体效应，粒子间耦合得很强，因此这种理论的 局限性很大。 1 3 2 等离子体的流体力学描述 当等离子体粒子间的相互碰撞非常频繁，以致其平均碰撞自由程远小于问题的特 征尺度，我们可以把等离子体看成流体。这时我们使用流体力学变量如：密度、速度 和温度等来描述等离子体的物理行为，这些变量满足流体方程。 流体力学描述有求解方便，物理清晰的优点，但是它是一种近似的描述方法，只 有在某些精度范围内，可以把等离子体看成是流体。此外需要指出：等离子体流体近 似不能处理粒子和高频波共振现象，例如朗道阻尼。在速度空间，众多等离子体粒子 分布在其热速度附近；因而流体动力学描述的适用范围是热速度小于波的相速，超出 此范围必须用适合波粒共振作用的动理论。 另外，我们还根据具体的物理模型，可以把流体力学描述又分为磁流体描述和双 流体描述两种方式。 1 3 3 等离子体的动理学描述 当平均碰撞自由程远大于问题的特征尺度时，流体描述失效，我们只能用等离子 体的动理学来描述。动理学描述又可分为：自洽场的伏拉索夫方程组；自洽场的粒子 计算机模拟法；碰撞过程的动力学方程( 福克普朗克方程或波尔兹曼方程) 。 通常用分布函数疋( ，v ，f ) 约描述等离子体系统中。组分粒子在时刻，相空间中点 ( r ，v ) 处出现的几率密度，其中口代表是哪种粒子( 电子或是离子) ，是粒子空间坐标， v 是粒子速度。分布函数一般满足伏拉索夫( v l a s o v ) 方程和福克普朗克方程。如果知 道了粒子的分布函数，就可以通过平均求得系统的各种宏观量。 由于等离子体是带电的多体系统，所以，不管是用流体力学描述还是动理学描述， 我们还要用麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程来描述等离子体的电磁学行为。 一般情况下，动理学描述比单粒子和流体描述可以更精确的描述等离子体。但是 动理学的求解一般是很复杂的，所以我们在选用哪种方法来描述等离子体时，应视具 体情况具体而定。 与统计描述相比，等离子体的流体描述和单粒子描述均属于近似描述，前者不考 虑同一流体元中不同粒子间运动的差异，后者忽略了粒子间的相互作用。因而它们都 不能用来研究涉及波与粒子相互作用的现象，也不能揭示因粒子体系分布函数在速度 空间中偏离平衡态所引起的不稳定性。然而这并不是说一切问题都只能采用统计描述 去解决。统计描述虽然严格，但比起前两种描述来，数学上要复杂得多，而且也缺少 流体或单粒子模型的物理直观性。对于具体的等离子体问题进行理论处理时，究竟采 用何种描述手段为宜，要根据问题的具体情况而定。阿尔文采用磁流体描述预言了理 5 想导电流体处于磁场中会产生沿磁力线传播的横波，朗道用动力学描述证明了 l a n g m u i r 波传播时，共振电子会吸收波的能量而引起波的无碰撞衰减，即有名的朗道 阻尼。这是等离子体物理学发展史上最成功地采用适当的理论描述解决实际问题的两 个范例。 1 4 本论文主要工作 为了研究激光在相对论性等离子体中的传播、吸收，以及等离子体的不稳定性问 题，对分布不同的等离子体的色散关系进行数值模拟。并将数值模拟结果与理论近似 结果进行比较、分析： ( 1 ) 从伏拉索夫方程与麦克斯韦方程出发可以推导出m i k h a i l o v s k i i 计算等离子 体色散关系的物理模型，再取极端相对论近似，得到麦克斯韦分布的等离子体色散关 系。然后，用计算机数值模拟无近似情况下的等离子体色散关系。将理论近似结果与 数值模拟结果进行比较看是否吻合，理论结果局限于极端相对论的情况，而数值模拟 结果不但将色散关系推广到相对论、弱相对论，还可得到非相对论的色散关系。并对 计算结果进行曲线拟合，以方便今后的应用。 ( 2 ) 根据相对论情况下的费米分布函数，对横波和纵波进行了数值模拟。由于在 极端相对论情况下色散关系不依赖于分布函数的具体形式，所以，依旧能将费米分布 的等离子体色散关系的数值模拟结果和m i k h a i l o v s k i i 的理论近似结果进行比较。同 样的，数值模拟结果也可将色散关系推广到相对论、弱相对论和非相对论。 ( 3 ) 将麦克斯韦分布和费米分布的色散关系模拟拟合出来的色散关系的表达式制 成方便查阅的表格，使所得到的结果更加清晰直观地展现出来。 6 2 1 引言 第二章等离子体的色散特性及基本理论 物理学中，色散关系作为因果律的推论，其主要思想可概括为：设外界对某一物 理系统输入信号，作为响应，系统产生输出信号。只要此系统具有下述性质：( 1 ) 其内 部运动规律不随时间改变；( 2 ) 输入和输出按因果方式联系；( 3 ) 输出是输入的线性 泛函，则可以求出此线性泛函的傅里叶变换的解析性质，进而得到可测量间的积分关 系式色散关系。在推导色散关系时，只用到因果律和其他一些普遍原理，而无需 对系统内部运动规律或相互作用项作具体的说明或假定。所得色散关系式中都是可以 直接与物理测量相联系的量。因此色散关系在物理学许多领域中获得广泛的应用。 量子场论和基本粒子理论中关于色散关系的研究，集中在2 0 世纪5 0 年代中期到 6 0 年代初期这一段时间。主要原因一方面是由于微扰理论不能用到强相互作用领域， 人们亟待寻找新的可靠的方法；而另一方面是用色散关系研究问题时，只要求遵从一 些普遍有效的原理，这点非常适应于当时量子场论和基本粒子物理的发展状况，因而 掀起了研究和运用色散关系的高潮。 2 2 等离子体色散关系的理论基础 等离子体是由部分电子被剥夺后的原子及原子被电离后产生的正负电子组成的离 子化气体状物质，它是除去固、液、气外，物质存在的第四态。等离子体是大量带电 粒子的集合，即它是一个统计系统。 1 6 6 6 年，牛顿观察到白光通过三棱镜后分解成彩色光带，这就是光学的色散现象。 自那以后，人们对色散现象进行了多年的研究。波动现象是重要的物质运动形式。波 动过程的时空特性可用角频率c o 和波矢量k 来描写。所谓色散关系，其中一种表示方 法就是缈与k 之间的函数关系，即缈= f ( k 1 。通过这种色散关系把波动的时间特性和 空间特性联系起来，这是描述波动过程的简便方法。如果波通过介质时，国k = 常数， 则称这种介质为非色散介质。不同频率的波通过非色散介质时，具有相同的相速度， 因而不发生色散现象。即使是一个波包( 可视为各种频率正弦波的迭加) 通过这种介质 时，由于各分波有相同的相速度，因而波的形状不随波的传播而发生变化。波通过介 质时，如果不满足：彩k = 常数的关系，我们就称这种波为色散波，相应的介质称为 色散介质。 等离子体中粒子分布函数厂一般满足伏拉索夫方程： 7 望+ y 望+ f 望：0 ( 2 1 ) 8 ta r a p 将线性伏拉索夫方程、麦克斯韦方程联立起来可以得到各向同性的纵介电常数和 横介电常数： 掣= 1 + 4 h w e 24 ，p 占卜l + 堡和 i v o 矽 w k v 一+ i ea 占 ( + e ) o f w k v z + i a ( 2 2 ) ( 2 3 ) 在极端相对论情况下所得到的近似结果不依赖于分布函数厂的具体形式，所以纵、 横振荡有如下色散关系： w 华( 1 + 昙七：d ：) ，( pl o ) ( 2 4 ) 。 气、气 ， 嵋= 埘1 + 2 e x p ( - 2 k 2 d 2 , - 2 ) ，( 瓦1 ) ( 2 5 ) 对于处于相对论性状态的等离子体中的振荡，m i k h a i l v s k i i 在1 9 8 0 年己做了一定 的研究，导出了色散方程。由于色散方程非常复杂，其只能在极端情况下得到纵、横 振荡的分段的色散律以及纵振荡的朗道阻尼系数。2 0 0 1 年，j a nb e r g m a n 得到了在相对 论性等离子体中线性波的色散关系的解析和数值结果。但是m i k h a i l o v s k i i 的理论已 经覆盖了j a nb e r g m a n 的主要结果；并且j a nb e r g m a n 数值分析的结果不是十分清晰。 另外m i k h a i l o v s k i i 和j a nb e r g m a n 的结论都是在等离子体分布为玻尔兹曼分布下得 出的。而m i k h a i l o v s k i i 的理论也有两个不足： ( 1 ) m i k h a i l o v s k i i 得到的色散关系是在极端相对论下口 1 ，巧1 的色散关系。 2 2 1 麦克斯韦方程组 按照电动力学的观点，等离子体首先是一种介质，在等离子体介质中，以下麦克 斯韦方程组是适用的： v d = 4 z p o ( 2 6 ) v e ：10 b ( 2 7 ) c0 t v b ：三等+ 丝五 ( 2 8 ) v b = 0 ( 2 9 ) 8 d ( 叫) = e ( ) + 4 万l 班歹( 吖) 以及它的物质条件： 塑a t + v = o ， 亟o t + v 。五= o u ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 口( ，f ) = l d t p 勺( ，一f ，一，) t ( ，f ) ( 2 1 3 ) 上式中张量岛，( t - t ，r - r ) 为相应函数，描述介质对电磁相应的性质。它对时间和 空间量( f 一，一，) 的依赖形式，是考虑到介质的时间和空间均匀的结果。 彳( ，t ) - - p ( 国，后户巾叫d a ) d k ( 2 1 4 ) 印 ) 2 南咖叫订撕 ( 2 1 5 ) 以二蹴苍高p 弦= p 磁il 厉p 毛。一f ：r 一广- ) p 即坩- 弓( 劬后) l p 因此有： 口( ，) = d t p 白( r ，厂) e i ( o ) t - k r ) 易( 缈，尼) ( 2 1 7 ) 4 ( 缈，k ) = 毛( 国，k ) e j ( 彩，七) ( 2 1 8 ) 9 上式中： 毛( 国，后) = f d tp 毛( 妒) p 恫。， ( 2 1 9 ) 我们称( 彩，j j ) 为介质的介电张量。它对频率的依赖关系确定频率国的色散，对 波矢后的关系则表征空间色散。 2 2 。3 电导率张量 同样，我们也可以认为感应电流( r ，f ) 是介质对电磁扰动e ( r ，t ) 的先行相应结果， 它们之间的一般先行非局域关系为： z ( 彤) = l d t p c r u ( t - t ，一，) 巨( ，) ( 2 2 0 ) 谱分析以后得到： j l ( 缈，七) = ( 0 3 ，七) e ( 缈，k ) ( 2 2 1 其中： ( 彩，七) = f 衍p ( 妒) p 似刊 ( 2 2 2 ) 我们称为吼( 国，k ) 电导率张量。它与介电张量毛( 国，忌) 的关系为： 毛( 砒) = 毛+ 等( 础) ( 2 2 3 ) 2 2 4 色散特性 由于我们研究的场量都为实函数，因而本构方程( 2 1 3 ) 中的非局域相应函数 毛( f ，) 也是实函数。因此，由( 2 1 9 ) 式，立即得到： 毛( 0 3 ，七) = 毛( 一国，一后) ( 2 2 4 ) 分成为实部和虚部： 毛( c o ，七) = r e 毛( 缈，k ) + i i m 占u ( 缈，尼) ( 2 2 5 ) 则上式有： r e 勺( 缈，尼) = r e 毛( 一国，一七) ( 2 2 6 ) i r a 6 ，( 国，忌) = 一i m ( 一国，一忌) ( 2 2 7 ) 也可以把介电张量分为厄米和反厄米的形式： 毛( 国，k ) = 菇( 国，七) + 移( c o ，尼) ( 2 2 8 ) 其中： 1 0 菇( 砒) = 缸气( 础) + 勺( 砒) ( 2 2 9 ) ( 皑七) = 三 毛( 幼后) 一毛。( 劬七) ( 2 3 0 ) 我们可以看到，单位时间单位体积内场e 对流j 所作的功和介电张量的反厄米部 分有关。对时空平均j e ，得到( 对单色波e 一叫) ： ：； 1 ，巴2 百( + 。) ( e + e ) ( j f e 。一，。e ) ( 2 3 1 ) a l e j e l + o o e l j e i 0 j k 一一心e ：e 。 因而，介电张量反厄米部分( 力，后) ( 或的厄米部分) 描写了介质的耗散响应， 而厄米部分则反映了介质的非耗散响应，或介质的透明性质。 2 2 5 色散方程 现在，我们对场方程进行傅立叶分析，很容易得到： 冰b ) ，= 一等已t + 等五 ( 2 3 2 ) k b ：一c o b ( 2 3 3 ) 消去召，得到： 人私七) 巨( 础) = 一警五小，尼) ( 2 3 4 ) 伽一= 等( 等一磊h 砒， 汜3 5 ， 非齐次方程( 2 2 8 ) 的右边是源项，它对应的齐次方程是： 人，j ( 缈，后) e ( 缈，七) = o ( 2 3 6 ) ( 2 3 6 ) 式决定了等离子体介质中的波的本征模式。它是齐次代数方程，根据克 兰姆定理，存在非零置( 彩，k ) 的充要条件是：张量a ，( 缈，k ) 分量组成的行列式为零， 即： d e t ( a ，( 国，七) ) 羞人( ，七) = o ( 2 3 7 ) 上式被称为色散方程。一般来说，它的解非常复杂，是复数，然而，介质的耗散 一定是很小的，否则的话，对于有较大的耗散的介质，电磁场能量不好确定。这就意 味着，在复数解中，行对于实部而言，它的虚部是很小的。这时，介质近于透明，也 就是说略去中a ，j ( 国，k ) 的反厄米部分，人，( 缈，k ) 是厄米的。根据行列式的性质，厄米 矩阵的特征根全部是实的。由于人，( c o ，七) 等于所有实特征根乘积，因而 a = d e t ( a ，( 缈，后) ) 本身是实的。色散方程的解记为： 彩= 国d ( 七) ( 2 3 8 ) 我们称之为色散关系。 2 3 等离子体中的波及其色散关系的研究进展 等离子体是德拜球内带电粒子数目很多的电离气体，其特征是带电粒子间的相互 作用以长程库仑力为主，它使媒质保持准电中性，并在其中形成各种集体运动。等离 子体中的波就是其中粒子与自洽电磁场耦合在一起的各种集体运动模式。在热力学平 衡态下，波是非增长型的。当媒质处于非平衡态时( 如空间不均匀、分布函数为非麦 克斯韦分布等) ，某些波可能随时间增长，称为波的不稳定性。由于等离子体中带电粒 子间独特的长程相互作用，电子与离子质量相差悬殊，电荷相反，它们对电磁场有很 不同的响应。在磁场中带电粒子的运动以及它们对波的响应的各向异性等等因素，使 得等离子体中波动的模式比中性气体要丰富和复杂得多。有由空间电荷分离而造成的 静电波，也有因电磁感应而生成的电磁波。当等离子体中存在磁场时，由于磁力线的 扰动和磁场与等离子体的冻结效应可以产生各种磁流体波如果等离子体密度、温度空 间不均匀以及磁场弯曲和不均匀，则会引起粒子的漂移运动，这种运动可以激发出各 种漂移波。 自从1 9 2 6 年朗缪尔( 1 a n g u m u i r ) 发现等离子体振荡以来，人们对等离子体中波 的激发、传播和衰减等问题进行了大量的研究。天体物理的早期研究中用磁流体力学 解释太阳黑子的成因以及研究天体的各种电磁讯号无线电物理中研究电磁波在电离层 中的传播和反射微波技术中研究微波的产生、放大和传播等工作都促进了对等离子体 波的研究。在受控热核聚变研究中，等离子体的稳定性、利用波加热等离子体以及等 离子体基本参数的诊断等都与等离子体波密切相关。因此研究等离子体波无疑在理论 和实验上都是非常重要的。等离子体波的特性由等离子体本身的性质和它所处的物理 条件决定。等离子体是由带电粒子所组成的气体，因此其中的波和热压强也和电磁力 有关，即在等离子体中存在着三种力热压强梯度、静电力和磁力起着准弹性恢复 力的作用。这意味着，等离子体中除热压强引起的声波外还会产生各种模式的静电波 ( 纵波) 、电磁波( 横波) 以及它们的混杂波。此外，由于电子和离子的质量相差很大， 它们各自在波动过程中所起的作用有很大不同。最后，在有限大小的等离子体、空间 不均匀的等离子体、各向异性以及速度空间不均匀的等离子体中又有各自的特征性波 动现象。因此，一般说来等离子体中波的形态是极其多样复杂的。 等离子体波按扰动波场的幅度可大致分为线性波和非线性波。非线性波一般指大 1 2 振幅的扰动，如激波和孤立波等。描述非线性波的方程是一组非线性偏微分方程。线 性波是小振幅扰动。它用线性微分方程组描述。等离子体线性波理论是研究等离子体 中非线性波及其他理论分支的基础，可见对等离子体线性波的研究是极其重要的。 具有与等离子体相同数目自由度的由祸合振子所构成的系统，有着大量的可能的 振荡形式，波状扰动，即电场e = e 0e x p lf ( 忌x 一倒) 将在等离子体中传播。频率和波 矢之间的关系满足等离子体的色散关系。由此可见，等离子体中存在的线性波必须满 足色散关系，而色散关系完全确定给定条件下等离子体中可能存在的波的全部性质。 因此，研究等离子体波的问题归结于求色散关系。 1 9 5 2 年，美国为了发展受控核聚变反应堆，制定了雪伍德方案。随后，英国、法 国和苏联也相继开始类似的研究。这些研究的开始，使得人们对等离子体的研究热情 也日趋高涨。到现在，等离子体己成为一门独立学科，等离子体物理学在天文、原子 物理、化学、生命科学、分子物理、磁流体发电和大气物理等众多领域起着非常重要 的作用。 1 9 8 0 年，俄国科学家m i k h a i l o v s k i i 建立了相对论性等离子体色散关系的物理模 型并得到了极端相对论下近似求解的色散关系。由于该结果是在极端相对论条件下得 到的色散系，是近似结果，这使得口的范围受到限制。 1 9 8 4 年，c h e n 研究了非相对论性等离了体振荡的色散关系。他从等离了体流体理 论出发，得出了小于离了振荡频率大于电了振荡频率的纵波，也因此忽略了这一频段 问可能还存在的其它纵波：并且等离了体流体理论不完全适合于无碰撞等离了体的研 究。 1 9 9 5 年，s c h l i c k e i s e r 对各向同性的平衡等离了体中纵波的色散关系做了详细的 研究，从动力学的伏拉索夫方程和麦克斯韦方程的协变形式出发，得到了适用于非相 对论和极端相对论的解析表达式，但是其不足之处在于为了得到解析表达式，对方程 的展开使用了解析近似的方法，从而忽略了部分解的存在。 2 0 0 1 年，j a nb e r g m a n 得到了在相对论性等离子体中线性波的色散关系的解析和 数值结果，但是j a nb e r g m a n 数值分析的结果不是十分清晰。另外m i k h a i l o v s k i i 和 j a nb e r g m a n 的结论都是在等离子体分布为玻尔兹曼分布下得出的。 2 0 0 2 年电子科技大学从椭圆空波导中电磁波的传输理论出发，较为全面的研究了 椭圆柱坐标系下解亥姆霍兹方程出现的马丢函数的解的问题，用无穷级数的有限项来 逼近马丢函数的解，研究了椭圆空波导中各种波型的波，并计算了归一化的截止波长， 几种模式的归一化衰减曲线，及波的色散曲线，并与圆波导的色散曲线进行了比较。 在此基础上，又从“磁化等离子体波导中电磁波传播理论 出发，并将其应用于椭圆 波导中，研究了在外加无穷大磁场和零磁场时完全填充等离子体椭圆波导中波的传输 理论，计算出了各种模式的波的色散曲线，又进行了部分填充的椭圆波导中的波传播 理论的公式推导。 1 3 2 0 0 6 年同济大学分析了具有周期折皱表面的半无限金属对电子集体激发的影响， 采用流体力学模型计算了金属表面等离子振荡模，把其色散曲线与平面界面时的色散 曲线相比较，分析了周期结构对色散关系的影响。 另外，在实际应用方面：2 0 0 6 年中国科学院空间科学与应用研究中心研究了电磁 波沿轴向对称柱形等离子体天线传播的特性、色散关系及辐射方向图、增益等天线参 数。通过对腔体材料的介电系数、内外半径、等离子体密度、碰撞频率等参数的分析， 结果表明要减小波沿等离子体天线传播的衰减，应当增加等离子体密度，减小碰撞频 率，增加等离子体半径，减小腔体厚度，采用介电系数较小的材料，计算了在不同参 数条件下，等离子体天线的辐射方向图、增益的变化，这些结果对于等离子体天线的 设计很有参考价值。 2 4 本章小结 在对等离子体的研究过程中，主要包括流体理论和动理论。鉴于本论文主要采用 动理论进行相应计算，本章从描述等离子体的主要理论之一的动理论出发，叙述了应 用动理论描述等离子体的思想的出发点以及局限性；然后根据麦克斯韦方程和本构方 程对色散方程进行了必要的推导，说明了介质色散关系，为以后对于不同介质分布状 态的等离子体的色散关系的研究进行了必要的说明。 1 4 第三章麦克斯韦分布的相对论性等离子体的色散关系 3 1 引言 等离子体理论中的v l a s o v 方程是v l a s o vaa 于1 9 3 8 年提出来的。在上世纪7 0 年代之前，尚没有关于v l a s o v 方程的精确解。近1 0 至2 0 年来，国内外才出现了一些 在特殊情况下关于v l a s o v 方程的精确解。 v l a s o v 方程是b o l t z m a n n 方程在无碰撞项时的特例，又可视为l i o n v i l l e 方程当 h a m i l t o n 量为带电粒子总能量时的特例。因而v l a s o v 方程的精确解不仅可作为求解 b o l t z m a n n 方程的初级近似，而且可以当作l i o u v i l l e 方程的精确解之一。国际上，关 于v l a s o v 方程精确解的数学和物理方面的研究正方兴未艾，尤其是许多数学家也加入 进来。 在直接或间接驱动惯性约束聚变中，激光等离子体相互作用可以产生各种参量不 稳定性，主要包括受激拉曼散射( s r s ) 、受激布里渊散射( s b s ) 、参量衰变不稳定性、 双等离子体衰变等。这些过程所产生散射光波以及所产生的超热电子不利于惯性约束 聚变，前者将有限的激光能量散射后降低了入射激光的吸收效率或者改变激光的吸收 位置，后者由于超热电子具有很长的射程，可以预热激光聚变靶芯的热核燃料，从而 影响压缩和对称性，降低耦合效率并严重影响高增益激光聚变的实现。 研究激光等离子体相互作用中的s r s ，s b s 动理学现象有两种途径，一是采用粒子 模拟方案，二是求解v l a s o v 方程和m a x w e l l 方程。这两种模拟方案理论上是等价的， 他们都是从动理学层次上研究等离子体中的电子与离子的运动行为。3 0 多年来，粒子 模拟方法得到了很好的发展，国内外已广泛使用一维、二维、三维粒子模拟程序对激 光等离子体相互作用中的相关物理问题进行深入的研究。然而至今人们很少使用全三 维的v l a s o v 方程和m a x