（数量经济学专业论文）固定收益产品组合的风险管理研究.pdf

中文摘要 固定收益产品组合的风险管理是目前固定收益以及金融工程领域的一项十 分重要的研究课题。本文的目的在于通过回顾固定收益产品传统的风险度量方 法，以及随机利率期限结构理论近二十年的发展历程，研究分析在各种利率期限 结构的经典模型框架下，周定收益产品的风险度量模型，并将其应用到利率风险 管理领域。 本文首先研究传统的风险度量模型，包括久期和凸度模型，并介绍了m 2 这 种基于现金流变异的风险度量模型。并给出了传统的利率免疫方法。 在利率期限结构的动态研究方面，本文主要研究随机利率期限结构模型，并 将随机利率期限结构模型分为均衡模型和无套利模型两大类。均衡模型主要回顾 了m e r t o n 模型，v a s i c e k 模型和c i r 模型；无套利模型简要分析了h o l e e 模型， h u l l w h i t e 模型，b l a c k d e r m a n - t o y 模型并重点分析了h e a l t h j a r r o w - m e o n 模 型。 在基于随机利率期限结构模型的利率风险度量研究上，本文首先推导分析了 基于v a s i c e k 模型和c i r 模型的久期度量，然后重点研究了基于单因素h j m 模 型的久期度量和凸度度量模型。最后给出了基于单因素h j m 模型风险度量构建 免疫组合与传统免疫组合构造的实证结论。 在固定收益组合的风险管理应用研究上，本文研究了了利率风险管理的策 略，利率风险管理体系和管理原则。利用主成分分析法分析了利率波动的影响因 素，通过美国国债的利率数据实证研究。确定影响利率波动的主要影响因素和影 响程度。重点分析了收益率曲线平行且小幅度振动和收益率曲线非平行且大幅度 振动两种情况下的利率风险免疫，并在随机利率期限结构h j m 框架下进行了债 券免疫组合的构建。最后运用随机投资期限规划技术进行债券组合的利率风险免 疫模型的研究。 关键词：固定收益证券免疫组合随机利率期限结构主成分分析风险管理 a b s t r a c t r i s km a n a g e m e n to ff i x e di n c o m ep o r t f o l i oi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tw o r k s i nf i x e di n c o m er e s e a r c ha n df i n a n c i a le n g i n e e r i n g a f t e rr e v i e w i n gt h em e a s u r e m e n t o f f i x e di n c o m ep r o d u c tr i s ka n dt h ee v o l v i n gp r o c e s so f t h e o r i e so nt e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t e ，w ea n a l y z e dt h em e a s u r er i s ko ff i x e di n c o m ep r o d u c tu n d e rt h ec l a s s i c t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t ea n da p p l yt h e mi n t ot h em a n a g e m e n to fi n t e r e s tr a t er i s l t h ed i s s e r t a t i o nf i r s t l ya n a l y z e dt h ec l a s s i cm e a s u r e m e n to f t h er i s k , s u c h 酗d u r a t i o n a n dc o n v e x i t y a l s ow ea n a l y z e da n o t h e rm e a s u r e m e n to fr i s kc a l l e dm - s q u a r et h a ti s b a s e do nt h ec a s hf l o w sa n dh o wt or e a l i z ei m m u n i z a t i o no f p o r t f o l i o s a sf o rt h ed y n a m i cs t u d yo ft e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s ，t h ed i s s e r t a t i o n i n t r o d u c e dt h es t o c h a s t i ct e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s ta n dd i v i d e dt h em o d e l si n t o e q u i l i b r i u mm o d e l sa n dn o a r b i t r a g em o d e l s e q u i l i b r i u mm o d e l si n c l u d e dm e r t o n ， v a s i e e k , c i rm o d e l s ，t h el a t t e ri n c l u d e dh o l e e 。h u l l w h i t e ，b d ta n dh j mc l a s s m o d e i s a sf o rt h em e a s u r e m e n to fi n t e r e s tr a t er i s kb a s e do nt h es t o c h a s t i ct e r ms t r u c t u r e o fi n t e r e s t r a t em o d e l s ，t h ed i s s e r t a t i o nf i r s t l ya n a l y z e dt h ed u r a t i o nb a s e do nt h e v a s i c e k , a n dc i rm o d e l s t h e nt h ed i s s e r t a t i o na n a l y z e dt h ed u r a t i o na n dc o n v e x i t y b a s e do no n e f a c t o rh j mc l a s sm o d e l s f i n a l l yt h ed i s s e r t a t i o np r e s e n t e dt h e c o n c l u s i o no f t h ei m m u n i z a t i o nb a s e do f fo n e f a c t o rh j mm o d e l s a sf o r t h er i s k m a n a g e m e n to ff i x e di n c o m ep o r t f o l i o s ，t h e d i s s e r t a t i o n i n t r o d u c e di n t e r e s tr a t e sm a n a g e m e n tp o l i c i e sa n dp r i n c i p l e s t h e nt h ed i s s e r t a t i o n u s e dt h ep r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i st oa n a l y z et h ef a c t o r st h a ti n f l u e n c et h e v o l a t i l i t yo fi n t e r e s tr a t e a l s ot h el a s tc h a p t e ra n a l y z e di n t e r e s tr a t e sr i s ki m m u n i t y s t r a t e g i e sa c c o r d i n gt ot h ec h a n g es c o p eo f t h ey i e l dc u r v e ，a n df i n a l l yd e s i g n e db o n d i m m u n i t yp o r t f o l i ou n d e rt h eh j mf r a m e so fs t o c h a s t i ct e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e f i n a l l y , t h ed i s s e r t a t i o na n a l y z e dt h er a n d o mi n v e s t m e n tp e r i o dm o d e la n di m m u n i t y p o r t f o l i o k e yw o r d s ：f i x e di n c o m es e c u r i t y , i m m u n i z a t i o np o r t f o l i o ，s t o c h a s t i ct e r m s t r u c t u r eo f i n t e r e s t ，r i s km a n a g e m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：省匀 签字日期：加 年；月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫洼盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 彳蚁 签字日期：易年；月f 日 导师签名： 签字日期：形年乡月 日 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 固定收益证券( f i x e d i n c o m es e c u r i t i e s ) 管理是商业银行、保险公司、养老 基金( 社保基金) 、投资基金、证券公司等金融机构资产管理的重要组成部分。 在美国等西方发达国家，固定收益市场是资本市场非常重要的组成部分，也是政 府、企业等融资的重要渠道，同时也是投资者重要的投资工具。随着我国加入 w t o 和改革开放的进一步深化，金融市场的全面放开即将到来，这就要求中国 的金融市场要按照国际惯例的要求进行开放和改革，虽然近几年债券市场发展极 为迅速，表现在交易品种，交易量的增加，但是长期以来，人们并不太重视国债 这个融资渠道，因而国内对固定收益证券的研究仍然相当薄弱，这主要表现在定 量的实证研究比较少，而宏观层面的研究较多。特别是在如何运用计量模型和方 法的研究上，较国外的研究水平落后很多。国外在固定收益产品和利率期限结构 理论的研究方面已经达到了相当高的水平。 国外目前的研究大致可以分为两个大的方面。第一方面是利率期限结构的研 究。在这个领域，一个解决方法是利用数学建模来刻画利率的期限结构，国外学 者提出了各种各样的利率期限结构模型，从而对利率的行为尽可能简单而又准确 的描述。第二大方面是固定收益产品投资组合的利率风险管理。 金融机构资产和负债的到期日的不匹配是其面临的一种主要风险。不同的金 融机构资产和负债不匹配的形式不同，例如商业银行通过短期的负债业务吸纳资 金，而其资产业务是长期的；养老基金与之相反，其负债业务是长期的，其资产 可能和负债是不相匹配的；保险公司通过销售保险协议，承诺在未来特定的时间 支付特定的利息。因此保险公司必须保证在未来有足够的资产来偿付他们的负 债。当资产和负债不能够达到同一个到期日( m a t u r i t y ) ，这些金融机构就会暴露 在利率风险之下。当利率发生变化，对不同到期日的资产和负债的影响是不同的。 因此利率风险管理的研究在我国未来金融市场改革过程中将占有重要的地 位，需要更为定量化的债券市场利率动态过程的描述和债券投资组合利率风险管 理是当前所面临的主要研究工作。 第一章绪论 1 2 研究思路 本论文的选题主要来源于国家自然科学基金项目“固定收益利率衍生产品 定价和风险对冲策略研究”。 本文的研究主要通过回顾传统的利率风险度量，各种利率期限结构模型的动 态特征，从而推导出基于不同利率期限结构的风险度量结果。并利用已有的数据 对利率波动的影响因素和债券组合的免疫策略进行了实证分析。 第一章，绪论。主要介绍本文的选题背景，即当前进行固定收益产品组合的 研究意义，然后简要的介绍了本文的研究思路。 第二章，研究传统的风险度量模型，包括久期和凸度模型开始，并研究m 2 这种基于现金流变异的风险度量模型。 第三章，重点介绍随机利率期限结构模型，其中介绍了均衡模型和无套利模 型，并重点研究了h j m 模型框架。 第四章推导了基于随机利率期限结构模型的利率风险度量模型，推导分析基 于v a s i c e k 模型下的久期度量和基于c i r 模型下的久期度量，最后重点研究了基 于单因素h j m 模型的久期和凸度的度量。 第五章介绍了利率风险管理的体系和步骤，利用主成分分析法分析了利率波 动的影响因素，通过美国国债的利率数据实证研究，确定影响利率波动的主要影 响因素和影响程度。重点分析了收益率曲线平行且小幅度振动和收益率曲线非平 行且大幅度振动两种情况下的利率风险免疫，并在随机利率期限结构h j m 框架 下进行了债券免疫组合的构建。最后运用随机投资期限规划技术，用我国国债数 据作为样本，完成债券组合的利率风险免疫策略的实证研究。 1 3 文献回顾 1 3 1 传统的风险度量模型文献回顾 m a c a u l a y ( 1 9 3 8 ) 【i 】。f i s h e r 和w e i l ( 1 9 7 1 ) 【2 1 年，分别提出了麦考利久期和 费雪一威尔久期，他们给出了收益率曲线平行移动情况下，价格的变动机制。久 期在理论上是一个精确的度量。但是，久期( d u r a t i o n ) 模型是基于债券价格和 利率之间的线性关系，对于无穷小的利率变化久期模型的度量是有效的。而对于 非无穷小的利率变化，必须考虑债券价格和利率二者之间的非线性关系，以达到 完全免疫的目的。考虑到这一点，一个利率和债券价格之间的非线性变量要引入 久期模型，这个变量就是所谓的凸度( c o n v e x i t y ) 。久期一凸度模型能够对非无穷 第一章绪论 小的利率变化进行更为精确的度量。 除了凸度，对于债券组合中利率的非平行移动，更高阶的风险度量也可以进 行免疫。m 2 是其中一种度量方法，这种方法是n h f o n ga n d v a s i c e k ( 1 9 8 3 ) 嘲提 出的。m 2 度量在持有期前后，偿付时间的加权方差，权重即为偿付的现值。因 此，应该在久期匹配组合中选择具有最小m 2 值的组合。 1 3 2 特定利率期限机构模型的文献回顾 目前国内外研究利率期限结构的文献很多，从不同角度提出了很多利率期限 结构模型，同时也进行了大量的实证研究。总起来讲，这些模型可以归纳起来分 为两大类：均衡模型和无套利定价模型吲。 均衡模型从利率的历史数据和基本面分析确定风险的市场价格和估计模型 的参数，这一类模型用估计的市场风险价格定价债券。因此，由均衡模型确定的 债券价格可能会和现实的债券价格不同，这一类模型适用于预测目的和确定错误 定价的债券，却不适合实际中的定价目的。实际的债券定价和其他利率产品的定 价，倾向于采用无风险定价模型。 无风险定价模型假定基础证券是正确定价并且将基础证券的价格视为已知。 此类模型盯住观测到的市场价格。因为无风险定价模型所确定的债券价格不能偏 离真实的观测价格，因此这类模型适用于债券定价的最优选择。 第一个阶段始于b l a c k s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) t 哪模型和m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 7 1 模型的创立。 这些模型根据对基础资产的对数正态分布的假设，得到一个用累计正态分布密度 函数表示的解析解。其假定服从对数正态分布的基础资产包括债券、即期利率、 远期利率、和互换利率等。一般用b l a c k s c h o l e s 模型定价的利率产品可以分为 两大类：即国债产品和l i b o r 产品。 第二个阶段的主要特征是提出了收益率曲线模型。该阶段的研究者发现利率 随机性质的重要意义并用随机游走模型来描述短期利率的演变。其特点是假定收 益率曲线只被一个变量短期利率r q ) 影响，r ( 0 可以用一个均值回复的随机 过程来表示。由于只有一个不确定性来源，可以很容易的构造出无风险组合来为 其他衍生产品定价。v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 嘲首先提出了一个均值回复的期限结构模型， c o x ，i n g e r s o l l ，和r o s s ( 1 9 7 7 ) 【9 】进一步把期限结构理论推广到一般均衡下的 经济环境中。c i r 模型保留了短期利率围绕均值变动的性质，但是与v a s i c e k 模 型假设固定方差的做法不同，它允许短期利率的方差与短期利率的平方根成正 比。这两个模型都预先规定了利率动态变化的具体结构，然后描述期限结构基于 经济基础变量的系统变动。 第三个阶段的标志是无套利模型的出现：该阶段的代表模型是h o l e e t ”1 模 第一章绪论 型，h u l l w h i t e t 模型，b l a c k d e r m a n t o y t ”1 模型，其共同的特征是模型的均值 回复项都是时变的，因此可以通过调整均值回复项拟合任意形状的初始收益率曲 线。 第四个阶段为h j m 模型类阶段。在实践中，利率衍生产品定价要求利率模 型中导出的债券价格与观察到的初始期限结构一致，以便于对基础证券进行套期 保值。因此，为避免套利机会的出现，套期保值投资组合中的衍生品价格应该基 于基础证券的市场价格制定。h e a l t h ，j a r r o w 和m e r t o n ( 1 9 9 2 ) 【l ”从初始市场曲 线出发，建立了整个远期利率曲线演变的利率衍生品定价的框架。这一方法是 h o l e e 最先提出的，h i m 模型在其基础上提出了一个更为一般性的结构。 第二章传统的利率风险度量和免疫方法研究 第二章传统的利率风险度量和免疫方法研究 历史文献中的传统风险度量主要涉及久期( d u r a t i o n ) 和凸度( c o n v e x i t y ) 。 m a c a u l a y ( 1 9 3 8 ) ，f i s h e r 和w e i l ( 1 9 7 1 ) 年，分别提出了麦考利久期和费雪一威 尔久期。他们给出了收益率曲线平行移动情况下，久期在理论上的精确度量。然 而实证表明，有时候，久期在收益率曲线的非平行移动情况下也能进行较好的风 险度量。凸度是更高阶的风险度量，它在实际应用中更为重要，特别是收益率曲 线的移动不是无穷小( n o n i n f i n i t e s i m a l ) 的变化时候。此外，f o n g 和v a s i c e k ( 1 9 8 3 ) 研究了另一种风险度量，肘2 ，可以有效的减少收益率曲线的非平行移动带来的 利率风险。 2 1 久期 ( 一) 久期的概念及相关计算公式 久期被看作是债券定价公式对收益率的一阶导数，因此要导出久期这个参 数，必须要从债券定价公式和收益率之间的关系入手。债券价格的变化和收益率 的变化近似有关系： p ：f 婴1 缈 l 咖7 ( 2 1 ) 其中p 代表价格变化，y 代表收益率的变化，等式两边除以价格p ，得到 债券的价格变化率： 等= 【孑p ) 缈 z ， 若以d 表示久期，则久期定义为： 、 d ；- ( 譬伽 ( 2 3 ) 毋| 该式反映了收益率的单位变化导致债券价格的变化率。 即债券的价格变化= 一久期收益率的变化。 传统久期度量研究主要是麦考利久期( m a c a u l a y sd u r a t i o n ) 和费雪一威尔 久期( f i s h e r - w e i l d u r a t i o n ) 。例如，考察一个息票债券，到期日为：r = 矗，在每期 期末支付票面利息，在最后期末支付本金，则该息票债券的t 时刻的价格可 以表示为b ( t ，t ) ，息票债券的久期，d ( t ) 可以表示为如下： 第二章传统的利率风险度量和免疫方法研究 ( 一t ) c , p ( t ，f i ) d ( ) = 生百矿 2 。4 其中，b ( t ，d = c ，p ( t ，f ，) c f ：日所支付的息票利息，这里f s f 2 毛t ，交易间隔为【f ，t 】 p ( t ，f ) ：t 时刻到期日为的零息票债券的价格。， 尸( f ，t ) 的定义不同，导致不同的久期定义。4 y ( t ，d 为t 时刻，到期日为t 的 零息债券的到期收益率( y i e l dt om a t u r i t y ) ，根据到期收益率的定义，p ( f ，f j ) 可 以定义为f 斋。如果“f 乃= y ( f ) ，即到期收益率对于任何期限的到期 债券是相同的，这意味着存在一条平直的收益率曲线。那么( 2 - 4 ) 式的久期的度 量就是麦考利久期d 0 ( f ) ( m a c a u l a y sd u r a t i o n ) 。如果对于到期日不同的债券， 到期收益率不同，( 2 - - 4 ) 的推导就成为费雪一威尔久期d ，( f ) 。如果y ( f ，r ) 是连 续的收益率，那么p ( f ，) 就定义为e x p ( 一y 以) ( 乃- t ) ) ，对于常数收益率 y ( t ，d = y ( f ) ，( 2 - - 4 ) 式可以表示为连续时间的麦考利久期，( f ) 。对于不同 到期日，变化的到期收益率，( 2 4 ) 式表示连续时间的费雪一威尔久期，d ( f ) 。 麦考利久期仅在理论上适用于精确度量平直的收益率曲线和相应的平移。而费雪 一威尔久期在理论上可以度量任何形式的利率期限结构。 修正久期是对麦考利久期的简单修正，记为m d ( t ) 。通过用麦考利久期除以 l 加到期收益率得到的，即m d ( t ) = ( f ) ( 1 + y ( f ) ) 。修正久期仅适用于离散时间 的久期度量。 ( 二) 久期的性质 久期是债券分析中的核心概念，久期有效的度量了债券的利率风险，在债券 的风险管理中起到了非常重要的作用。根据久期的定义有： d p ；一d a y ( 2 5 ) p 因此，债券价格变化率的方差为： 脚等) - d 2 v c w ( a y ) ( 2 6 ) 该式表明在收益率的微小变动下，债券价格变化率( 短期回报率) 的方差是 收益率方差的d 2 倍。 ( 1 ) 久期与债券息票率之间的关系 假定每年附息一次的息票债券，年息票为c 面值为l ，距到期日还有年， 收益率是年复合收益率弘则债券价格为： 第二章传统的利率风险度量和免疫方法研究 p = 若而c + 百考矿= 号 1 一( t + “】+ 百考矿 c z ， 两边取对数，得： l n ，= 山仙 c 1 - ( 1 + 南】 q 8 再对收益率求导数： 型坚：上竺1+一cn(i+y)-”-i+y(1+y)-jv-i(-n)+(1+y)-m(2-9) 砂 pd y yc 【l 一( 1 + 力一“】+ y ( 1 + y ) 一“ 上式两边乘以- ( 1 + 力，左边是麦考利久期巩，右边经过整理得到： 巩= 1 + 歹1 + 币n ( y 丽- c ) 巧- ( 1 两+ y ) ( 2 - l o ) 从( 2 1 0 ) 式可以看出久期与息票支付的关系：息票支付c 越大，久期越小。 ( 2 ) 久期与收益率之间的关系 从( 2 1 0 ) 式可以看出，投资者的收益越大，久期越小。久期对利率的敏感 性，可以用久期对收益率的导数表示： 警一专r 喜咖硝1 n 弘c ，切“争 ；一妻毕一巩) ： ( 2 1 1 ) 从上式可见，以下是上述讨论涉及久期的数学表达式：d m d 0 ，i 值随r 的增加而 增大。 ( 2 ) 没有交割的债券在到期日的清算值，是要把剩下的现金流折算至到期 日，剩下的n - m 期的利息，以利率r 计算出来的债券清算值为： l = c x ( 1 + r ) “+ 1 0 0 x ( 1 + r ) “ ( 2 2 9 ) i f f i 。m + l 投资者此部分的现金流是利率r 的减函数，即a r h ，d w d r 0 固定时是一个均值 为，( 0 ) + ，方差为f a r 2 的正态分布，由于任何正态分布的随机变量可以以正的 概率取负值，因此m e r t o n 模型违反了市场对利率的非负性假定；其次，当口0 时，r ( 力的均值是t 的单调增函数 o ) 或单调减函数似 0 ) ，此与利率具有的 均值回复性的波动方式不符。 3 1 2v a s i c e k 模型 v a s i c e k 于1 9 7 7 年提出了一个满足均值回复性的利率方程， d r = k m r ( t ) d t + 口r ( r l ，t ) d w 模型形式如下； 其中，k ，巩盯为常数，显然r ( f ) 是围绕利率的长期均值m 上下波动， 反映了利率回复到七的速度。 ( 3 _ 4 ) 参数k 该模型中，在给定时刻s ，s t 的信息集合时，时刻t 的短期利率服从正态分 布，即 ，( f ) i ) ( ，( 卅五( 阳) ，丢( 1 一一“) ) 贴现债券b ( t ，t ) 在v a s i c e k 模型下的价格方程为： 口( f ) + 昙仃2 一r ( f ) 占+ k o 一，( f ) 一2 0 b r ：0 结合边界条件b ( t ，n = l 和f = t t ，并进行变量替换，可以得到贴现债券的 价格： b ( t ，n = e x p a ( r ) - b ( r ) r ( t ) ( 3 - 5 ) 其中， 第三章随机利率期限结构模型的研究 肿) = 万0 - 2 ( 1 一) + 一- 船t 一和可 口( 力= - - ：o - e “) 同样，根据r ( f ，n ：一i n f b ( t , _ t ) ，可以得到贴现债券的收益率r ( f ，为： 即力一抛一讪哟+ 嘉”，+ 等一和彳“ 。， 一( 口一竿一孚) f 】 在v a s i c e k 模型中，贴现债券的收益率和波动率分别是，o ) + 2 0 - ( 1 一e - i t ) k 和 0 - ( 1 一e - k r ) k ，在给定的风险市场价格a 下，收益率和波动率随到期期限f 的增加 而非线性增加。 v a s i c e k 模型存在的一个显著问题就是由于g a u s s 分布的对称性造成不能保 证r ( f ) 的非负性。当r ( f ) 代表的是扣除通货膨胀后的实际利率时该非负性可以解 释，但当r ( f ) 代表的是名义利率时，该非负性蕴涵着无风险的套利机会，因此是 十分危险的。所以从以上意义来讲，v a s i c e k 模型对r ( f ) 的描述虽不能判定为错， 但由于对利率的绝大多数实证和实际操作都是基于名义利率，所以很大程度上造 成了不便和误解。 3 1 3c o x - i n g e r s o l l - r o s s 模型 c o x i n g e r s o l l r o s s - 于( 1 9 8 5 ) i t j 年提出的c i r 模型，是一个持续竞争经济的 一般均衡模型。该模型的基本假设是每个投资者都通过对单一商品的选取达到预 期效用的最大化，而这一商品是通过有限状态的技术生产出来的。因此，在最优 选取中通过最优消费水平，财富中投资于每个生产过程的最优比例，以及投资于 各种债券或衍生品的最优比例，来达到期望效用的最大化。在一般均衡条件下， 可得到个平方根过程： d r = k o - r ( t ) d t + 0 - ，o ) d 彬 ( 3 7 ) 其中，k ，0 ，盯为常数，( f ) 是围绕利率的长期平均值0 上下波动的，参数k 反映了利率回复到0 的速度，短期利率变化的方差与利率水平的平方根成正比。 ( - - ) 短期利率r ( f ) 的分布 给定在时刻s 的信息集合，在时刻f ，j s t ，r ( f ) 服从z 2 分布，其均值和方差 为： 耳( ，( f ) i ，( ) ) = 口+ 驴( f ) - o ) e 一“1 ) v a r e ( 们j 讹) ) 叫s ) 詈2 。- k o - s ) e - 2 t ( t - s ) ) 坝丢) ( 1 - e - t o - s ) ) 2 ( 3 8 ) 第三章随机利率期限结构模型的研究 均值为短期利率的当前值和无条件均值0 的加权平均，权重为正，并且总和 等于1 ，反映了短期利率的均值回复性。 当t o o 时，方差趋近于常数，且逐渐变得独立于时刻s 时的信息集， ! i m e p c r c t ) f c r , ) ) = 0 2 ( 3 9 ) ，l + i r av a r p ( ，( f ) ) ) 2 口( 荠 ( 二) c i r 模型的评述 1 c i r 模型中的利率过程r ( f ) 具有非负性，由公式可知，当，( f ) 一0 时，漂 移项恒为正数，而扩散系数盯 ( f ) 也以利率平方根的速度趋近于零，这表明利 率的波动性也趋近于零，从整体来看预期的利率变化d r ( t ) 为正数，保证了利率 不会降到零以下。 2 c i r 模型中的利率过程，( f ) 具有均值回复性，回复速度为k 。 3 与m e r t o n 和v a s i c e k 模型不同的是，c i r 模型下风险的市场价格不再是 常数，而是取决于短期利率水平，此时五( r ) = 厶4 r 肛。 4 c i r 模型可以产生的收益率曲线的形状比较有限，不及其他单因素模型 丰富。 ( 三) c i r 模型下的债券定价方程 贴现债券b ( f ，r ) 在c i r 模型下的价格方程为； b ( t ，d = e x p a ( r ) 一口( f ) r ( f ) 】 ( 3 - 1 0 ) 鼽肿卜2 k o i n 旧肛y + e 孚吉面捌俨旧 弦s i n + h 去y r 。而 可以看出贴现债券价格对数与短期利率r ( f ) 呈线性关系。 又根据r o ，r ) = 一_ i n b ( t ，乃和f = t t ，可以得到贴现债券的收益率 r ( t ，) 为： 咿) = 专即卜号萨旦笋毗o o ) ( 3 - 1 1 ) 其中，r ( t ) 0 0 ) ：_ 罢，表明c i r 模型的长期利率收敛于正常数。 茸十 盯十y 在原概率p 下，贴现债券的收益率和波动率分别是，( f ) ( 1 + 2 a b ( r ) ) k 和 ( f ) 盯烈) 。如果风险市场价格旯r 为正，收益率和波动率随到期期限f 的增 加而单调增加，当到期日f 趋近于0 0 时，分别达到极限值，( f ) ( 1 + 2 旯卅( t + z ) ) 和 r ( f ) ( t 一五) ，其中k = k - 2 t r 。 贴现债券的收益率r ( t ，乃的表达式表明其是短期利率和无穷到期日收益率 第三章随机利率期限结构模型的研究 的加权组合，权重严格为正。在相同模型参数的条件下，基于c i r 模型的利率 通常比基于v a s i c e k 模型的利率更低，这是因为在c i r 模型中短期利率的瞬时波 动率与短期利率的平方根成正比。 通过对s ( t ，”和r ( t ，r ) 的分析可以看出，口( f t ) 是t 的减函数，还是短期利 率的递减的凸函数，这是符合实际的。同时占( f ，r ) 还是利率方差的递增凸函数， c o x 等人对此的解释是：当方差较大时，未来的生产机会与消费有较大的不确定 性，风险厌恶型的投资者就会对债券提出较高的定价。 3 2 利率期限结构的无套利模型分析 无套利模型就是以市场债券价格( 即当前的利率期限结构) 作为输入变量， 并相应为利率衍生产品定价的一种方法，因此这一类模型不能发现基础债券定价 的错误。但是就像股票期权定价中的b l a c k s c h o l e s 模型一样，基础资产的定价 错误不会影响对衍生产品的定价。 、 均衡分析的着眼点常常在均衡的存在性和均衡的变动情况上，而无套利定价 方法是对金融市场中的某项头寸进行估值和定价，分析的基本方法是将这些头寸 与市场中其他金融资产的头寸组合起来，构筑起一个在市场均衡时不能产生无风 险利润的组合头寸，由此推算出该项头寸在市场均衡时的价值，即均衡价格。 当市场处于不均衡状态时，价格偏离了由供求关系所决定的价值，此时就出 现了套利的机会。而套利力量将会推动市场重建均衡，市场一旦回复均衡，套利 机会就会消失。市场的效率越高，重建均衡的速度越快。无套利分析的意义在于 认识到虽然在金融市场中各个市场参与者想法各异，尤其是各人的风险偏好很不 一样，但是只要出现套利机会，所有的市场参与者就都会抓住机会去套取无风险 利润。而套利机会消除后所确定的均衡价格，就与市场参与者的风险偏好无关。 因此，无套利分析的思路是非常巧妙的，它抓住了金融市场均衡的最为本质的特 性。 由市场供需关系所主导的市场价格均衡，一旦价格失衡，就会有许多参与者 只对自己的供需状况做有限的调整。套利则不然，一旦出现套利机会，每一位套 利者都会尽可能大的构筑套利头寸。从理论上讲，因为金融市场允许卖空，所以 只需要少数几位( 在理论上甚至只需一位) 套利者就可能重构市场均衡，因此无 套利均衡比供需均衡所产生的市场推动力要强的多，重建市场均衡的速度也要快 的多。这就是金融市场的效率为什么要比其他的商品市场和服务市场高的多的原 因。 第三章随机利率期限结构模型的研究 从对金融市场的无套利均衡分析角度出发，国外学者构建了大量的套利模 型，下面介绍几个主要的模型。 3 3h o - l e e 模型 h o 和l e e 认识到在，( f ) 以随机游走方式运动时，只需允许，( f ) 的漂移量司 以随时间改变就能够拟合任意一种形式的初始期限结构，这一发现为利率模型的 拟合研究提供了新的建模途径，下面对离散形式的h o l e e 模型进行简单介绍。 假定a ( o ，t ) 是初始的期限结构，它来自于市场上所有不同期限的零息债券 的观测值。对于自然数n ，口( ”，乃为第n 期的价格。假定在每一期仅有两个可变 的状态：朋铂d ，则b ( n ，d 满足 的肛篆器坳岛d ( 3 - 其中，磊是一列独立的随机变量，当己= 时，表明状态发生；当= d 时表明状态d 发生。设尸 = z = 己，p 点= j ) _ = l 一只，由于无套利条件的限制 只的选取不是任意的，必须满足 。 e ( b 。，r ) b ( n - l , t ) ) = j b 石( n 而- 1 , t ) ( 3 1 2 ) 即只 ( 肝，t ，r ) + ( 1 一只) ( ”，d ，t ) = 1 ，为计算方便，假定只是与”无关的常数， 设只= 石，则上式变为 石 ( ，) + ( 1 一石) ( ”，d ) = 1 其中，厅( 疗，磊，r ) 称为扰动函数，且形式不唯一。h o 和l e e 给出了h ( n ，磊，d 的一种简单函数形式： 坝肋2 万i 而1 歹坳卜百声万 其中，0 t 时，远期利率曲线的随机漂移项，w 为定义q 在上的 样本点。 q 以t ，w ) ：随机波动函数i ，i - l ，n 这里丁 t ，w 为定义q 在上的样本 点。 对于给定的初始远期利率曲线f ( o ，n ，远期利率的演变过程可以用( 3 - 2 5 ) 式的 积分形式表示： ：f f t ，乃= ( o ，d + p ( v ，t , w ) d v + 杰n o ，l w ) d 形( v ) ( 3 - 2 5 ) 0 00 由( 3 - - 2 6 ) 式可以推导出即期利率，( f ) 如下式： ，( t ) - - f ( o ，f ) + p r ，w ) a v + 窆 ( v ，丁，w ) a l e , ( v ) ( 3 - 2 6 ) 0 00 无套利条件对波动项的漂移做了约束，即所谓的远期利率漂移条件： a ( t ，t ，w ) = q ( f ，t ，w ) (