（工程力学专业论文）弹性地基静、动力特性的有限元—无限元分析.pdf

西安建筑科技大学硕七论文 弹性地基静、动力特性的有限元一无限元分析 专3 k ：工程力学 硕士生：曹书文 指导教师：刘俊卿 摘要 本文采用三维8 结点有限元与三维8 结点无限元耦合法模拟半无限弹性地基， 利用m a t l a b 语言编制了有限元一无限元耦合计算程序，计算了在荷载作用下弹 性地基的静、动力特性。 介绍了有限元和无限元耦合方法的数学原理，模拟方法和计算思路，并给出 了三维8 结点有限元的形函数和三维8 结点无限元的形函数、映射函数和位移函 数，采用耦合方法，利用m a t l a b 语言编制了有限元一无限元耦合计算程序，计 算了在不同荷载作用下弹性地基的变形情况。 由于无限元的引入，使计算量和计算精度都比单纯有限元方法有很大的提高。 本文所述的弹性地基的求解方法及其结果，充实了弹性地基理论的研究，对高速 公路路面板、机场停机坪、码头货舱、板式地基的设计和施工等工程实践具有重 要的指导意义。 关键词：有限元无限元动力特性耦合法 论文类型：理论研究 ；_赫y j j 西安建筑科技大学硕+ 论文 f i n i t e - i n f i n i t re l e m e n t a n a l y s i so ft h e s t a t i ca n dd y n a m i c p r o p e r t i e so fe l a s t i cs u b g r a d e s p e c i a l t y ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s p o n 掣翟d u t e ：c a ns h u w e n i n s t r u c t o r ：p r o f l i nj u n q i n g a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h es i m i - - i n f i n i t ee l a s t i cs u b g r a d ei ss u p p o s e da s8 1 l o d ea n d3 - d f i n i t ee l e m e n ta n d8 1 l o d ea n d3 di n f i n i t ee l e m e n t , p r o g r a m so ff i n i t e - - - i n f i n i t e e l e m e n tc o u p l m gm e t h o dw i t hm a t l a ba r cw o r k e do u ta n dt h e ya r ea p p l i e df o r a n a l y z i n gt h es t a t i ca n dd y n a m i cp r o p e r t i e so f e l a s t i cs u b g r a d e t h ef i n i t e - - i n f i n i t ec o u p l i n ga n a l y s i sm e t h o d sm a t hp r i n c i p l e 、m o d e li n gm e t h o d a n dc o m p u t a t i o nm e t h o da r ei n t r o d u c e d ，t h es h a p ef u n c t i o n s 、m a p p i n gf u n c t i o n s a n dd i s p l a c e m e n tf u n c t i o n so f & - - n o d ea n d3 df i n i t ee l e m e n ta n d8 1 l o d ea n d3 d i n f i n i t ee l e m e n ta r ep r e s e n t , p r o g r a m so ff i n i t e - - - i n f i n i t ee l e m e n tc o u p l i n gm e t h o dw i t h m a t l a ba r ew o r k e do u ta n dt h e ya r ea p p l i e dt oc a l c u l a t et h ed i s p l a c e m e n to f e l a s t i c s u b g r a d eu n d e rd i f f e r e n tl o a d s a st h ei n t r o d u c eo fi n f i n i t ee l e m e n t ，t h ec a l c u l a t i o na n da c c u r a c yh a v eg r e a t l y i m p r o v e dt h e no n l yu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h es o l u t i o nt oe l a s t i cf o u n d a t i o na n d t h ea n s w e r si nt h i sp a p e rp u t sf o r w a r dt h es t u d yt oe l a s t i cf o u n d a t i o nt h e o r y , a n dt h e y h a v ei m p o r t a n tg u i d em e a n i n g st ot h ed e s i g n sa n dc o n s t r u c t i o n sc t c o fp l a t e so n f r e e w a y 、a i r p o r ta i r c r a f tp a r k i n ga r e a 、w h a r f f r e i g h ts h e d 、s l a b - - - f o u n d a t i o n s k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n t i n f i n i t ee l e m e n t d y n a m i cp r o p e r t i e s c o u p l i n ga n a l y s i sm e t h o d t h e s i st y p e ：t h e o r e t i c a lr e s e a r c h lim-， y9 7 0 2 3 6 声明尸明 彳 i 、 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他 人在其它单位己申请学位或为其它用途使用过的成果。与我同工作的同 志对本研究所做的所有贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：嘈杉文 日期：2 。6 弓 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复e r j i 4 ：，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定) 论文作者虢嗜扣丈导师姥别众竹魄加绷 注：请：睁此页附在论文首页。 两安建筑科技大学硕士论文 第一章绪论 1 1 弹性地基研究的简要回顾 土是一种复杂的、多向的离散体系，土体的性状并不单纯地取决于土的某一 相，而是与同时并存的各相的质和量以及它们之间的相互关系有关，在外力作用 下，土的应力一应变关系呈现出非线性、不可逆的以及随时间变化的特征，且具 有明显的各向异性和非均匀性。正因为此，企图把土的所有特性都考虑在内来解 决地基问题将是一项繁重且十分困难的工作，我们不可能抽象出一种真实的地基 模型，为了得到地基分析中有意义的且可靠的信息，必须考虑土的许多特殊方面 而将其理想化。使土的理想化的最简单形式是介质土的连续统一化，即假设土为 连续介质和具有线弹性性质。当然，这常常不能被天然土所严格满足，但却使地 基分析成为可能，同时在一定的条件下也能得到与实际问题有用的结果。正因为 此，线弹性地基模型在地基分析中占有较重要的地位。常用的几种线弹性地基模 型有； 1 1 1 文克尔模型 文克尔( e w i n k l e r ) 模型是捷克工程师文克尔于1 8 6 7 年在计算铁路路轨时 提出的一种假设，他认为地基表面在任一点的压力p 与该点的位移w 成正比，即： p 仗y ) = 坼，y ) ( 1 1 ) 式中：k 称为地基基床系数或地基反力系数，其量纲为 力 长度 - 3 。 根据这一假设，地基上某点的位移与其他点的应力无关，这实质上就是把地 基看作是由许多独立的且互不影响的弹簧组成( 图1 1 ) ，按照这一模型，地基的 图1 1 文克尔模型 变形只发生在基底范围内，基底以外没有变形，这显然与实际情况不符。但该模 型计算简便，只要k 值选择得当，仍可以得到比较满意的结果。关于文克尔地基模 西安建筑科技大学硕十论文 型在工程中的适用条件还是一个不太明确的问题，说法不尽一致。太沙基( k t e r z a g h i ) 认为作为一种近似方法，文克尔模型可用于计算任何土壤的地基反力 和桩基反力，后腾裕根据福泼尔( a f o p p l ) 的试验也认为该模型对大多数土壤适 用，但有的学者则认为该模型只有一定的适用范围。该模型究竟在什么土壤上适 用，要看其受荷载后基础底面地基反力的分布图形与地基的变形情况。综合一些 有关资料，可以得出文克尔地基模型的适用范围如下：适用于高压缩性软土地 基、薄的破碎岩层或不均匀的土层；对于抗剪强度很低的半液态土地基或基底 下塑性区相对较大，采用文克尔模型比较合适；当地基的压缩层下存在硬层且 压缩层很薄时，也适用于文克尔模型；文克尔地基模型一般适用于浅基础。对 于动力作用下的地基问题，利用文克尔地基模型也能够给出方便的解答。 1 l2 弹性连续介质模型 1 1 2 1 平面问题 弹性力学的平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。对平面应力问题， 当半平面体( 变形模量为e ，泊松比为) 在边界上受垂直于边界的力p 作用时 ( 图1 2 ) ，f l a m e n t 得到了边界上距离原点为r 的一点m 相对于参考点b ( 距原点 距离为s ) 的相对沉降为： 玎：丝l n 三( 1 2 ) 玎= 一l n 一 1 z ， 乙一 o一 4 秭。 ：) ， q r i _ilb i i a 卫 b 一 。 一r _ $ _ 一 图1 2 弹性半平面体受集中力作用图1 3 弹性半平面体受分布荷载作用 当半平面体( 取单位宽度) 在边界上作用有分布荷载口g ) 时( 图1 3 ) ，则由 上述的f l a m e n t 解，可以得到距原点0 距离为x 的一点的沉降( 仍是相对于参考点 b 的) 为： e t l - _ 、 两安建筑科技大学硕+ 论文 荆= 丢旷舡，) l n 詈西+ f 。如r ) l n s ，d r s ， 对于平面应变问题，只需将式( 1 2 ) 和式( 1 3 ) 中的e 换成f 即可。 1 1 2 2 弹性半空间问题 弹性半空间地基模型假设地基是均匀的、各向同性的半无限大连续弹性体， 土的力学性质由变形模量e 和泊松比来表征。当集中力p 作用于弹性半空间表 面上时( 图1 4 ) ，地基表面任一点i 处的竖向位移w 由b o u s s i n e s q 解答给出： p r 叫。 ，一 少百一 厂j ，_li 、： 一 y 臣产 图1 4 弹性半空间地基受集中力作用图1 5 弹性半空间地基受分布荷载作用 以，y ) ：单 魁， ( 1 4 ) 式中：，= 、：阿为地表面上f 处与荷载作用点的距离。从式( 1 4 ) 可以看出， 当r 寸o o 时地表面竖向位移为零。 当作用于地表面某区域q 上的荷载为分布荷载g ( x ，y ) 时( 图1 5 ) ，表面竖向 位移w 可由式( 1 4 ) 沿q 积分得到： 幻) 2 警f 【君揣 f 和，7 为区域内任意点沿工和y 方向的坐标。 从式( 1 5 ) 可以看出，如果作用于弹性半空间体表面上的荷载为有限面积荷 载时，可用积分法求出其应力和位移表达式。事实上，这些积分常常是困难的， 当荷载面积复杂或受荷不均匀时，就更难于直接积分，一般采用数值方法。 弹性半空间体地基模型考虑了压力的扩散作用，比文克尔地基模型在理论上 要合理一些。但该模型的扩散能力往往超过了地基的实际情况，计算所得的位移 、 斛 两安建筑科技大学硕士论文 量和地表位移范围比实测结果大。一般认为造成这一问题的原因是实际地基的压 缩层的厚度是有限的，而且其变形模量随深度变化。 弹性半空间模型同样适用于动力荷载作用下的地基计算，对弹性半空间介质， 其动力控制微分方程为： p 窘= 以+ g ) 塞埘2 “+ 只 鲁= 以+ g ) 雾一2 峭 n6 ， p 窘= q + g ) 警们2 w + c 式中；p 弹性体的质量密度； g 体积应变，占= 罢+ 学+ 芸； o y o a 。g 材料的拉梅常数5 甜，v ，w 墨j ，z 方向的位移分量； c ，e ，e 体积力沿五y ，z 方向的分量； 用k ，蚝来代替甜，v ，w ，经过推导，上式可采用下述形式： i 户争= 以脚耽 p 等= 以+ 2 g n i p 争= 脚2 巧 ( 1 7 ) 等甜f 警+ 等+ 罟 “s ， 可卸1 丽+ 矿+ 可j u 淄 式中：4 ：，f 互墨堡为纵波速度。这里，质点运动的方向与波的传播方向相同。 yp 表现为波动方程的式( 1 8 ) 被用作半空间模式介质的运动方程，我们将其称 为具有单个位移的p 地基模式。 1 1 3 双参数地基模型 文克尔地基模型不能扩散应力和变形，因而在理论上存在着严重的缺陷。弹 性半空问虽然在理论上较为完善，但在数学计算上存在着较大的困难。为此，人 们发展了介于这两者之问的地基计算模型。双参数地基模型就是其中的一类。这 4 f 两安建筑科技大学硕士论文 类模型采用两个独立的参数来表征地基土的特性，以从理论上文克尔模型中地基 不连续的缺陷，在数学处理上则比弹性半空间理论简单。 双参数模型有两种不同的形式：一种是在文克尔模型中的各个弹簧之间增加 约束，以反应地基土的连续特性，这类模型的代表有费氏( f i l o n e n k o b o r o d i c h ) 模型、巴氏( p a s t e r n a k ) 模型和海藤义( h e t e n y i ) 模型等：另一种则是从弹性 连续介质模型开始并引入约束或简化位移与应力分布的某些假设，这类模型的代 表有符拉索夫( v l a z o v ) 模型、瑞斯纳( r e i s s n e r ) 模型等。 1 1 3 1 费氏模型 费氏模型的特点是用承受常值拉力t 的薄膜将一系列文克尔地基中的弹簧相 连接，考虑薄膜力与弹簧体系的平衡，在三维状况下铅垂荷载p 与地基位移的关 系为： 尸g ，y ) - - 后m ，j ，) 一t v 2 “x ，y ) ( 1 9 ) 式中：v 2 = 导+ 导为拉普拉斯( l a p l a c e ) 微分算予；七，r 为表征地基模型的两 个弹性常数。 1 1 3 2 巴氏模型 巴氏模型是假设在文克尔地基模型中各弹簧单元之间存在着剪切作用。这种 剪切作用是通过一层只能产生横向剪切变形而不可压缩的剪切层相联结来实现 的。若剪切层在x ，y 平面内各向同性，其剪切模量为g x = g y = g p ，则外荷载与位 移之间的关系为： p g ，y ) - - 七七，y ) 一g 。v 2 ，以，y ) ( 1 1 0 ) 若将式( 1 1 0 ) 中的g 。用r 代替，则该式与式( 1 9 ) 完全相同，因此，这一 模型的表面挠度曲线与费氏模型所示非常相似。 1 1 3 3 符拉索夫模型 符拉索夫模型是通过一些能简化各向同性线弹性连续介质基本方程的位移约 束而得出的。在这一模型中，假设在x z 平面内厚度为h 的弹性层为平面应变状 态( 如图1 6 ) ，位移分量为： i i ， 两安建筑科技大学硕士论文 “g ，z ) - - 0 以x ，z ) = 以m g ) ( 1 1 1 ) y 式中：缸) 是地基表面位移；厅( z ) 是描述z 方向位移变化的函数，它可以呈线性或 指数变化，如： ( z ) = l 一言 1 1 2 a ) 或 j l l g ) = 1 3 h b 丽( u - z ) l ( 1 1 2 b ) 式中：，为与地基有关的常数；l 为结构的某一特征尺寸。 利用变分法分析，可证明外荷载g g ) 与位移m b ) 之间的关系为： g = 坼) 一2 f 掣 ( 1 1 3 ) 式中：t 称为荷载传递速率，它是作用力对相邻单元可传性的一种度量。 七= 南r ( 警 2 出z ，= 翻e o 胁 “ 在集中力p 的作用下，弹性层位移m b ，z ) 的一般方程式可用下式表示： 如_ y ) = 毛矗( o 啡一“( 1 1 5 ) 式中：a = ( k 1 2 t ) 1 ”。 若矗0 ) 沿深度呈线性变化，上式可简化为： 咖，= 蔷碧 ( ，一劫 n 6 ， # 一 、 l 弛安建筑科技大学硕十论文 1 1 4 黏弹性地基模型 土的力学特性与时间有关，黏性土尤其显著，主要表现在定常应力下应变随 时间而逐渐增长的蠕变特性和在定常应变下应力随时间逐渐减小的松弛特性，土 的这种特性通称为流变特性。为了描述土的流变特性，人们提出了多种流变学模 型，通常称它们为土的黏弹塑性模型。这类模型有多种形式，常用的几种有： 1 1 4 1 麦克斯韦模型 麦克斯韦( m a x w e l l ) 模型是由弹性元件和黏性元件串联而成( 图1 7 ) ，设在 应力盯作用下，弹簧和阻尼器的应变分别为c 1j 和8 2 ，则总应变为： s = + 9 2 ( 1 1 7 ) 图1 7 麦克斯韦模型 对于弹性元件，叮= e e l ，彦= e 毒l ；对于黏性元件，盯= e 屯。由此可得下面的关系 式： 舌= 南+ 苦z2 暑+ 詈 ( 1 1 8 ) 式( 1 1 8 ) 即为麦克斯韦模型的微分型本构方程，卵为土的黏性系数。 式( 1 1 8 ) 的解为： 停 州j e x p ( 号卜 式中：o r o ；e e o 为初始应力；氏为初始应变。 麦克斯韦模型能描述材料的松弛特性而不能确切描述蠕变特性， 又叫做松弛模型。 1 1 4 2 开尔文模型 ( 1 1 9 ) 所以该模型 开尔文( k e l v i n ) 模型又称为伏吉特( v o g i t ) 模型，它由一个弹性元件和一 个黏性元件并联而成图( 1 8 ) 。设弹簧中应力为q ，应变为毛，阻尼器中应力为仃：， 应变为岛，则有： 西安建筑科技大学硕七论文 仃= 0 1 + o r z ( 1 2 0 ) 并联时应变值相等，即 + 岛= 占 ( 1 2 1 ) 将各元件的应力一应变关系o l = e 毛+ 和盯2 = 鸦= 班代入式( 1 2 0 ) 中，得： 盯= q + o 2 = 西+ r l g ( 1 2 2 ) 图1 8 开尔文模型 式( 1 2 2 ) 即为开尔文模型的微分型本构方程。它的解为： 占= d 一辨+ 扣眯r h n z s ， 式中c r o 和6 0 的意义同前。 1 1 4 3 三元件模型 三元件模型又称为标准黏性固体模型，它的形式之一是由一个开尔文模型和 一个弹簧串联而成的( 图1 9 ) ，通常称为麦金特( m e r c h a n t ) 模型。该模型加在 串联的两个环节中的应力仃是一样的，而占为两者应变之和。用公式表示为： wvvvy e 2 o 门 图1 9 三元件模型 将式( 1 2 4 ) 中的第一式微分并由前两式消去毛和f 2 ，最后可以得到： 8 ( 1 2 4 ) 翳 两安建筑科技大学硕十论文 童+ 里f ：世旦+ 一1 彦 ( 1 2 5 ) 刁2e l，7 2e l 将上式整理后写成下列形式： 盯+ p 1 疗= q o f + 9 1 舌 ( 1 2 6 ) 热a = 彘仙= 器确= 彘踞z 1 1 5 各向同性饱和弹性半空间模式 实际天然土体是复杂的三相介质体系，三相之间物理和化学成分的不同组合 使土体具有不同的性状。当固体土骨架之间孔隙中充满液体，则形成饱和土，它 实际是一种流体饱和多孔介质，通常当地基土位于地下水线以下时，地基宜模拟 成饱和半空间模式。对于各向同性饱和弹性半空间地基模式的控制方程组，采用 b i o t 所建立的两相介质动力方程来描述： f g v 2 u + 0 + u + a 2 m 谤a e a m g r a d 善= h i i + p l i i , ) ig r a d ( c r m e m e ) = ( p l i i + m i i , ) + 蚤w n 由于b i o t 模型及其基本方程中某些参数难以确定，不便应用，工程中应用较 少。 1 1 6 横观各向同性饱和半空间模式 天然土由不同地质时代沉积的土层组成，导致土体在水平方向和竖直方向的 力学特征不同，土体的应力一应变关系多表现为横观各向同性，因此，将地基土 作为横观各向同性饱和多孔弹性半空间模式比较切合实际。根据b i o t 理论，利用 平衡方程、几何方程和物理方程，横观各向同性饱和多孑l 介质的基本方程为： ( u ) = 0 ( 1 2 8 ) 式中： 可= l 。，：，叱，p 】r l = 。： 1 2 ik 1 ”1 3 2 ，4 。k 屯“ k 如 1 nl m l nl 式中l y 为微分算子；下标1 ，2 ，3 分别代表x ，y ，= 方向。 9 两安建筑科技大学硕士论文 1 2 本论文的意义及主要工作 本论文主要是为了求解弹性地基的动力荷载和移动荷载作用下的位移，其结 果可为高速公路路面、机场跑道等的设计和施工提供参考和指导，其理论充实了 弹性地基理论的研究。本论文为陕西省教育厅项目“弹性地基板的动力特性研究” 的子项目。 论文主要对弹性地基在静力荷载、动力荷载和移动荷载作用下三种情况进行 了三维分析，通过有限元一无限元耦合法计算了弹性地基在上述三种荷载作用下 的位移。地基单元划分采用三维八结点有限元加三维八结点单向映射无限元和三 维八结点双向映射无限元。将地基分三层考虑，上部两层角点部位采用三维八结 点双向映射无限元，边部结点采用三维八结点单向映射无限元，中间单元采用三 维八结点有限元，底层采用三维八结点单向映射无限元。最后又将地基分作五层， 在第四层开挖洞口。作者利用姒t l a b 简洁、方便、易懂的特点，在m a t l a b 中编制 了相应的有限元一无限元耦合程序，计算了弹性地基在三种荷载作用下的变形。 其分析方法同有限元方法类似，只是由于无限元的引入，不需要处理边界条件， 和实际情况更接近；动力分析采用无条件稳定的w i l s o n 一0 法求解。 m a t l a b ( j a t r i xl a b o r a t o r y ) 是c l e v em o l e r 博士等开发的功能强大的，一种 以矩阵运算为基础的，集数学计算、结果可视化和编程于一体的交互式程序语言。 自1 9 8 2 年正式推出后，随着其版本的不断升级，它的内容不断地扩充和改进，功 能也越来越强大，使复杂繁琐的科学计算和编程变得日益简单而又准确有效，目 前，它已经成为国际公认的最优秀的数学软件之一，其应用范围涵盖了电子、医 疗、机械以及建筑等领域。其主要特点如下： 它的基本运算单位为矩阵，其表达式与数学、工程计算中常用的形式类似。 因为其简单易用、人机界面良好，有演算纸式的科学计算语言的美称。 具有强大的作图和数据可视化功能，可以把数据以多种形式加以表现，非 常简单、直观方便。 具有强大的数学计算工具箱和极强的可扩展性。m a t l a b 包括主程序和许多 用于解决某一方面的专门问题的工具箱，同时m a t l a b 还提供了与其他应用语言( c 语言、f o r t r a n 等) 的接口，实现数据的共享和传递。 0 两安建筑科技大学硕十论文 第二章有限单元法 2 1 有限单元法的基本原理 有限元的建立有两种方法，即变分法和加权残量法。变分法有较为严格的数 学证明，应用较为广泛，其实质是要解决问题的变分，对于固体力学问题，其对 应于最小势能原理和最小余能原理。加权残量法的原理是假定一个解，代入要解 的微分方程中，得到的结果与实际方程有一个残量，残量与选定的权函数的乘积 的积分为零，得到的方程解为真解。其表达式为： 对于偏微分方程 叫2 乏譬罂) 。， ( 2 1 ) l b u = g ( 在嫩界上) 式中：l 、b 微分算予 u 未知变量 ，、g 给定值 假定一个解： d = q m ，其中n s 为基函数，q 为待定系数。这样得到 内部残差和边界残差如下： j r j 。工z 一，o 2 2 ) 【r 。= b u g 0 设w 是权函数，则有 j r l w , d v + n w , d v = 0 ( 2 3 ) 内部残差和边界残差为零，解以上方程得到的解就是真实解。 加权残量法计算的关键是试函数和加权函数的选择，根据不同试函数的选择 方法，可分为内部法、边界法和混合法；以权函数的选择方法区分为最小二乘法 配点法、子域法、矩阵法和伽辽金法。其中对土工而言，应用最广的是伽辽金法。 加权残量法使用简单，应用方便，但其收敛性在数学上没有得到较为严格的证明， 对于某些问题有不收敛的情况，但对于大多数土工问题，实际证明是收敛的。 对于土工问题的有效应力法而言，一般采用伽辽金法进行有限元格式的建立， 对于总应力法而言，一般采用变分原理中的最小势能原理建立有限元格式。最小 两安建筑科技大学硕士论文 势能原理的基本原理为：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有位移 中，实际存在的位移应当使总势能取得最小值，即在给定的外力作用下，实际存 在的位移应当使总势能的变分为零，即 印= 8 ( u + 矿) = 0 ( 2 4 ) 式中：n 总的势能 u 物体的形变能 矿外力的势能 推导得到： n = 丢f p 厂p 枷一f p r p 洳一f p 厂 g 扭 ( 2 5 ， 式中：p ) ，p 物体内部任意点的应力向量，应变向量和位移向量 扫) ，矗 体积力向量和面力向量 v ，s 物体体积内部和边界 有限元法就是采用单元划分来将原来有无数个自由度的连续介质近似转化成 为有限个自由度问题，其关键在于：如果给出的待求函数的分片近似函数( 也称 插值函数) 满足某些连续性条件和协调条件，则泛函可写成由集合体所有单元定 义的泛函之和，即兀p ) ：兰n e p e ) ，其中m 为离散模型的单元数，6 、扩分别 为整体和单元的结点位移商皇。 在有限元位移法中，结点位移为基本的未知量，单元e 内的位移值扩) 是以插 值函数 n 】通过结点位移p ) 。来描述： = 【】p 。 ( 2 6 ) 单元内部的应变也表示成结点位移向量的函数为： 斜= 【b 】p ， ( 2 7 ) 式中【b 为由形函数的导数构成的矩阵，称为应力矩阵。 单元内部的应力则可以由物理矩阵 d 与应变或结点位移向量相联系，即： = 【d 怡 = 【d p 弦 。= 玲弦r ( 2 8 ) 那么单元的势能可以写成： 2 两安建筑科技大学硕士论文 n p 。) = 圭p ) ”扛r 咖一p ) r 扫 咖一p 西 = 三p 尸陋r d 1 8 1 8 。咖一p 尸【r 扫冲一p ”【r 9 汹 ( 2 9 ) 式中：屹单元e 的体积 墨单元e 受有面力时的表面面积 根据最小势能原理 御p ) = 7 铘t 。- = 陋r 【d p 弦 。西一【r 扫) 咖一【i r 白 蕊 = 瞳r p 。一仁 。 ；o( 2 1 0 ) 式中：医r 单元刚度矩阵k r = c 陋f 【d p k 忸) 。喵效结点荷载向量 取 。= 【】2 扫 西+ 【f 舀) d s 伽) ， q 卜一面力和体积力向量 将各单元叠加，就得到整体平衡方程如下： k 黔 = 仁 ( 2 1 1 ) 这样就可以将复杂的偏微分方程的求解化为一个代数方程组的求解，从而使 问题得到解答。 2 2 空问8 结点有限元计算原理 以上就是用有限元计算固体力学弹性问题的普遍方法，其关键是插值函数的 选择问题。文献【6 1 指出，空间8 结点在反应像地基这样剪力较显著的大体积结构 方面很有效，并且采用这种单元较为简单。因此，本文采用空间8 结点等参单元， 其单元局部编码规则为：保证局部编码中l 、2 、3 、4 与5 、6 、7 、8 分别按逆时 针顺序填写，1 、5 结点相对应于一条线上，并保证局部编码l 的局部坐标为( 一1 ， 一1 ，一1 ) 。空间8 结点有限元的编码示意图如下： 西安建筑科技大学硕十论文 子单元母单元 图2 1 空间8 结点有限元 2 2 1 空间坐标变换 如图( 2 1 ) ，空间8 结点等参元的坐标变换公式为： b x = n 。x t = n i x l + 2 x 2 + + s i = 1 y = i 乃= j m + 2 y 2 + + n s y s i = l 0 z = n i z l = n l 毛+ 2 2 2 + + s 毛 式中：x ，y ，z 实际单元任一点的坐标值 置，弘，互一实际单元节点的整体坐标值 7 3 ( 2 1 2 ) 以g ，玑f ) 对应于j 节点的形状函数，m = ；( 1 + 舌善x 1 + 仉叩x 1 + 乒f ) ，n ，局部坐标下任意一点的坐标值 皇，矾，幺局部坐标下节点i 的坐标值 2 2 2 位移函数 对于空间等参单元，位移函数与坐标变换一般采用相同的结点，以结点位移 插值出单元的内部位移，则单元内沿x ，y ，z 方向的位移甜，v ，w 可表示为： 3 = n ，虬= n l “l + 2 l ，2 + + 8 8 忙i 1 4 西安建筑科技大学硕十论文 用矩阵表示为： j：) v = n ，一= lv l + 2 叱+ + j v l i = 1 8 w = = n i w l + n 2 w 2 + 一+ s 岷 式中：m g ，r ，f ) 形状函数 p = l ，v ，w r 结点位移 2 2 3 单元特性分析 ( 2 1 3 ) = 【噩硝 ( 2 1 4 ) 在三维变形状态下，一点的应变与位移的几何关系可以表示如下： p = 将位移函数( 2 1 4 ) 代人上式得 斜= 【b 弦 。：暇，b 2 , - - , 坟怡r 式中：p ) 。= h ，q ，w i ，材：，v ：，w 2 ，村。，v 8 ，w 8 r 为单元结点位移列阵 【b 卜单元应变矩阵； 【b 】按结点分块表示为： 1 5 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) o o k o 以o k o o o o m 0 m o 心o o o o m o m o m o o 。，l = o o a一勃o a一苏a一 o a钞o a一锄a一缸o a一缸o o a一知o a 一氟 q 勺乞岛k 两安建筑科技大学硕十论文 瞳】一 盟oo 良 。盟 砂 o0 8 n 。 钞 o 拼。 出 a n , 玉 a n , 如 o o a n 如 o o n 。 砂 o n , 缸 ( i = 1 ，2 ，8 )( 2 1 7 ) 由于形函数m 皓，7 ，f ) 是用局部坐标给出，由复合导数求导法则，有： 一o n s ：盟鱼+ 盟塑+ 一a n , 鱼 8 瓠8 却8 考瑟8 腿写噜，筹矧： o n , 鸳 a n a 行 o n , 笛 o x 鸳 缸 却 缸 a f 式中【j 】为j a c o b i o n 矩阵，由下式给出： 纠= 缸 鸳 叙 o r l 缸 8 a n i 鸳 a n l a 行 o n l a 砂 鸳 砂 a 玎 砂 a f a 2 暂 o n 2 a 玎 o n 2 a f 瑟 管 瑟 o r 七 8 0 = l f f i l f a ， l i ：p 譬 i 茂 眩 等 等而 等薯 a 磊y 筹y a n 嚣y 由( 2 1 8 ) 式可得到形函数在整体坐标中的导数： 6 嚣刁 婴毛 d 玎 当互 c r ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 亳、i叭一砂叭一岔 出一鸳出一却出一笛 砂一鸳砂一卸砂笛 乃比；赡而砭；h 1u“h，弧一够巩一铆巩一笛 两安建筑科技大学硕十论文 a n o x o n ， 砂 o n ， 瑟 = 叶 a n 鸳 8 n a 玎 o n , a 将( 2 1 9 ) 式矩阵求逆后与( 2 ，2 0 ) 式代人( 2 1 7 ) 可求出单元应变矩阵 b 】进 而可求出单元应变p 。 2 2 4 单元刚度矩阵 从图2 1 甲可以看剑，劣，d 玎，西在管卡儿坐标系甲| l ；f r 形成的体积微兀是： d v = 蟛( d r d p ( 2 2 1 ) 而 d e = 鼍+ 鼍峨+ 鼍蠊 咖嘉d r k + o r 嘞+ 喜o r 饥 ， ( 2 2 2 ) d 刀 。 d = 鼍呜+ 鼍嵋+ 鼍螺 其中i ，j ，k 是笛卡儿坐标x ，y ，z 方向的单位向量。将( 2 2 2 ) 式代人( 2 2 1 ) 式得到： l 鱼鱼 l a a 孝 ，i 毋d , x 咖2 防面 l 出o x 防面 彬f = i d l d 4 d r l d c ( 2 2 3 ) 单元刚度矩阵k 】= p n p p k 西沈，由( 2 2 3 ) 式得， k 】= l 。f 。f ，吲t 【d p 】，l 倒硝 m 为雅克比矩阵行列式，即： 西安建筑科技大学硕十论文 将【k 】写成分块形式 i ，| - 吲= 砂 凿 锣 o r 砂 8 墨l 足1 2 k 2 l 如 lk 墨s 足 ： 如 ( 2 2 5 ) 每一个子矩阵为： k 。】= “i l b f d i a , l a c a 叩a f ( 2 2 7 ) ( f l ，2 ，8 ：s = l ，2 ，8 ) 在有限元分析中，如果将被积函数f ( e ，r l ，) 表示成f 叩f ，其中i ， j ，k 不一定同时达到最大值，而是f + ，+ k n ，n 是某个整数，因此可以利用更 为有效的积分方案。i r o n s 提出了一个比高斯积分效率更高的积分公式i r o n s 积 分： f l f 。f l f g ，r ，f ) d ，脚f = 爿。r ( o ，0 ，o ) + 见 f ( _ 6 ，0 ，o ) + r ( b ，0 ，o ) + f ( o ，一b ，o ) + f ( o ，b ，o ) + f ( o ，0 ，- b ) + r ( o ，0 ，6 ) ) + c d f ( - c , 一c ，- c ) + ，( c ，c ，c ) + f ( - c ，c ，c ) + ，( _ c ，一c ，c ) + f ( c ，f ，c ) + + f g ，c ，c ) ( 共8 项努+ d l ： f ( - d ，一d ，o ) + r ( a ，一d ，o ) + r ( - a ，0 ，d ) + r ( d ，0 ，叫) + r ( o ，一d ，卅) + ( 共1 2 项 ( 2 2 8 ) 式中权系数a 1 ，b 6 ，c 8 ，d 1 2 和积分点坐标b ，c ，d 以及误差均列于下表【2 1 】中： 西安建筑科技大学硕士论文 表2 1 i r o n s 积分公式的权系数和积分点坐标 积分点数权系数积分点坐标精度阶次 l a i = 8 l 6b 6 = 8 6b = l3 1 4b 6 = 0 8 8 6 4 2 6 5 9 3b = 0 7 9 5 8 2 2 4 2 65 c 8 = 0 3 3 5 1 8 0 0 5 5c = 0 7 5 8 7 8 6 9 11 2 7a 1 = 0 。7 8 8 0 7 3 4 8 3b - - 0 8 4 8 4 18 0 117 b 6 = 0 4 9 9 3 6 9 0 0 2c = 0 6 5 2 8 1 6 4 7 2 c 8 = 0 4 7 8 5 0 8 4 9 9d = 1 1 0 6 4 1 2 8 9 9 d 1 2 = 0 0 3 2 3 0 3 7 4 2 式( 2 2 5 ) 可采用1 4 结点积分公式来求解。 9 西安建筑科技大学硕+ 论文 第三章无限单元法 无限元是把解析法和数值方法有机结合起来的一种半解析、半数值单元，属于 半解析元范畴。其具体做法是在位移模式中引入适当的解析函数，以代替或部分代 替无限方向上的离散与插值，从而节省了单元数，达到了简化的目的。无限元按构 造方法可分为乘子型无限元和映射无限元，乘子型无限元主要是通过l a g r a n g e 插 值函数与衰减函数的乘积来构造形函数；后者是由0 c z i e n ki e wi c z 提出的，坐 标变换和位移采用不同的插值函数的一种计算方法。 无限元的概念最早由r u n g l e s s 于1 9 7 3 年提出，后来经过了b e t t e s s 、b e e r 、m e e k 等人的改进和发展，至今已有二十多年时间。我国的张楚汉、葛修润等人对无限 元的研究使其应用范围更加广泛。目前，无限元已有多种形式，并且己从一维发 展到三维。无限元的特殊性在于：局部坐标系中的有限域到整体坐标系中的无 限域的映射，即局部坐标斗l 时，相应整体坐标趋向无穷大，从而实现计算范围 伸向无穷远点；无限域上位移衰减过程的描述，即f 哼1 时，位移趋向于零，从 而实现无限远处位移为零的边界条件。在分析半无限弹性地基时，如果采用有限 元分析，则面临着一个如何合理截取计算范围和边界条件简化的问题。因为真实 的边界条件是无穷远处位移为零，如果取很大的计算范围来满足此条件，则计算 工作量大的惊人，取得太小则精度不够。无限元的引入基本能解决这些棘手的问 题，其优越性主要体现在：能合理地反映真实边界条件，提高计算精度；单 元数日大为减少，减少计算量，节约机时。 3 1 乘子型无限元 乘子型无限元是利用l a g r a n g e 插值函数和衰减函数的乘积来构造形函数，一般 要选择能反映位移衰减特征的衰减函数，以反应在介质中由近场至远域的位移分 布规律。衰减函数选取的原则是：能反应场变量在无穷介质中的分布规律及单元 刚度矩阵的广义积分满足收敛条件。在竖向集中力作用下的半无限平面弹性问题， d 其位移解具有l n 兰型式。其中b 为位移参考点与荷载作用点间的距离，r 为计算点 ， 离荷载作用点的距离。这就排除了采用这类对数衰减函数的可能性。考虑到有限 元求解问题的近似性，清华大学赵崇斌教授提出双曲线衰减型与指数衰减型两类 函数如下： 2 0 l 墼耋坠坠耋坠鳖二一 ! 日e ! 目女e e 目e g e ! e e ! e ! ! e e ! e e ! ! 1 5 。一 3 1 1 指数型e 嘴衰减函数 这一模型可 模拟具有指数型 据单元节点上位 以通过对衰减因子b 的选择来反映位移衰减程度。它可以精确地 衰减的问题，对弹性半无限平面问题也可以给出较好的近似。根 移与精确解相等的条件，可导出e 的表达式。 图3 ，l 各结点衰减因子的确定 考虑图( 3 1 ) 中所示的单元，取位移： v ：c l n b - 可：d e 一彤 ( 3 1 ) ， 其中：1 ，和可分别为问题的精确解和近似解，c ，d 均为位移比例系数。对节点3 ， r 2 r 3 ，亭2 0 ，代人使v = 虿得： c l i l 旦：d 矿：d e 一群 ，3 对节点4 ，= ，4 ，= 1 ，代人使v = 歹得： c l n 旦；肪哪 由此可得： f l ，= i n 五l n b 面- l n r 3 同理可得： 届= 1 n 面l n b 五- l 瓦n r l 对于节点2 ，可取衰减因子岛为： ：= 妻慨十尾) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 西安建筑科技大学硕十论文 3 1 2 双曲线型彳鲁衰减函数 亡十以 类似于指数型衰减函数，变量a 可视为位移衰减因子。这一模型对集中力作用 下的半无限空间弹性问题能给出很精确的数值结果，因为三维问题的解析解符合 这一规律。同样的，它对半无限平面弹性问题能给出近似的数值结果。为了使双 曲线型衰减函数仍能近似地位移的对数衰减规律，可取位移： v ：c l n 旦矿：d ( 3 7 ) r 舌+ a 按照与1 3 相同的推导方法，可得： a：i l n b - l n r 5 l n r 5 一i n r j a 3 ：l n b - l n r 4 ( 3 8 ) l n