（工程力学专业论文）基于扩展有限元法的FRP加固混凝土梁的裂缝追踪模拟研究.pdf

ad i s s a n 摘要 摘要 扩展有限元法是近年来出现的一种在常规有限元框架内求解以裂纹问 题为代表的不连续力学问题的数值方法。其原理是在不连续面附近区域内采 用间断函数来模拟裂纹所导致的位移不连续性特征；同时，在裂纹尖端引入 能反映其奇异场特性的三角基函数，以考虑跨过裂纹的位移场的不连续性。 扩展有限元与传统有限元的根本区别在于，它所使用的网格与结构内部的几 何或物理界面无关，不需要对结构内存在的几何或物理界面进行网格剖分， 从而克服了在高应力区和变形区进行高密度网格剖分所带来的困难，模拟裂 纹扩展时也无需对网格进行重新剖分。本文应用扩展有限元法进行了混凝土 构件开裂过程的数值模拟，在此基础上采用扩展有限元法进行f r p 加固钢筋 混凝土构件界面裂缝扩展的数值分析，为界面裂纹的扩展、剥离研究探讨新 的途径。论文的内容和研究成果包含以下部分： ( 1 ) 介绍了扩展有限元的基本原理，给出了扩展有限元法模拟裂纹扩 展的计算流程； ( 2 ) 讨论了两类间断函数，即附加指数型函数与附加h e a v i s i d e 间断函 数模拟裂纹不连续特征的合理性和精确度。分别采用两类附加间断函数， 编写了分析混凝土裂缝扩展问题x f e m 程序，通过悬臂梁和矩形板算例， 对比有限元计算结果发现对于i 型裂纹，采用附加指数型间断函数更为精 确，而对于i i 型裂纹则两者差异不大； ( 3 ) 考虑到界面硬性材料那一侧受界面裂纹的影响相对较小，通过引 入刚度比的概念，并适当改造附加指数型间断函数，使其能够在单元内考 虑含界面裂纹对其两侧材料的不同反应，进而采用修正的界面扩展有限元 法研究了f r p 薄板加固钢筋混凝土梁的裂缝发展及破坏模式。 关键词：扩展有限元；附加自由度；附加位移函数；f r p ；钢筋混凝 土梁；裂纹扩展 广东5 - 业大学硕士学位论文 a bs t r a c t b a s e do nt h e c l a s s i c a lf i n i t e e l e m e n t ，t h ee x t e n d e d f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( x f e m ) i s an u m e r i c a lm e t h o df o r m o d e l i n g d i s c o n t i n u i t i e s m e c h a n i c a lp r o b l e mr e p r e s e n t e db yc r a c k s t h ep r i n c i p l eo fx f e mc o n s i s t si n e n r i c h i n gt h eb a s i so ft h ec l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt a k i n gi n t o a c c o u n tt h ed i s c o n t i n u i t yo ft h ed i s p l a c e m e n tf i e l da c r o s st h ec r a c kb ya d i s c o n t i n u o u sf u n c t i o na l o n gt h ec r a c kl i n et os i m u l a t et h ed i s c o n t i n u o u s c h a r a c t e rr e s u l t e df r o md i s c o n t i n u i t ys u c ha sc r a c ko rjo i n ta n db ys o m e t r i g o n o m e t r i cb a s i sf u n c t i o n sa r o u n dt h ec r a c kt i pt oe m b o d ys i n g u l a r i t ya tt h e e n do f d i s c o n t i n u i t y t h em a jo r d if f e r e n c eb e t w e e nx f e ma n dt h e c o n v e n t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( c f e m ) i st h a tt h em e s hi nx f e mi s i n d e p e n d e n t o ft h ei n t e r n a l g e o m e t r ya n dp h y s i c a li n t e r f a c e s ，s u c h t h a t m e s h i n ga n dr e m e s h i n gd i f f i c u l t i e s i nd i s c o n t i n u o u s p r o b l e m s c a nb e o v e r c o m e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，x f e mi su s e df o rm o d e l i n gf r a c t u r ep r o c e s so f c o n c r e t es t r u c t u r e ，a n dt h e nt h e a n a l y s i s o fc r a c k p r o p a g a t i o n i na f r p - t o - c o n c r e t eb e a mi sd o n ew i t ht h ei m p r o v e dx f e mt oc o n f e ran e w a p p r o a c hf o rm o d e l i n gi n t e r f a c ec r a c kp r o p a g a t i o n t h ep r i n c i p l ec o n t e n t sa n d a c h i e v e m e n t si nt h ed is s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ee l e m e n t a r yt h e o r yo fx f e mi si n t r o d u c e d ，a n dt h ec o m p u t a t i o n f l o wc h a r tw h i c hx f e ms i m u l a t ec r a c kg r o w t hi sp r e s e n t e d ； ( 2 ) t h er a t i o n a l i t yo ft w ot y p e so fe n r i c hd i s c o n t i n u o u sf u n c t i o ni s d i s c u s s e d r e f e r e n c i n gt oe x a m p l e so fa c a n t i l e v e rd e e pb e a ma n da r e c t a n g u l a rp l a t e ，a d o p t i n ge n r i c he x p o n e n td i s c o n t i n u o u sf u n c t i o na n d e n r i c h e ds t e pf u n c t i o ns e p a r a t e l y ，a n dc o m p a r e dt h er e s u l t s ，w h i c hi n d i c a t e t h a tt h er e s u l t so b t a i n e db ye n r i c h e de x p o n e n td is c o n t i n u o u sf u n c t i o na r e m o r ea c c u r a t ef o rm o d ei c r a c k ，b u ta sg o o da sb ye n r i c h e ds t e pf u n c t i o nf o r m o d ei ic r a c k ( 3 ) c o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c eo fi n t e r f a c ec r a c ko nd i f f e r e n tm a t e r i a l s ， t h er a t i oo fr i g i d i t yi sd e f i n e da n dt h ee n r i c h m e n tf u n c t i o ni sm o d i f i e d i i p r o p e r l yt om a k ei t s e l fi n c o r p o r a t et h ed i f f e r e n tr e a c t i o n s o ft h em a t e r i a l so f t w os i d e si nr e s p o n s et ot h ei n t e r f a c ec r a c k si nt h eu n i t s f u r t h e r m o r e ，t h e a n a l y s i so fc r a c kp r o p a g a t i o na n df a i l u r em o d ei naf r p - t o 。c o n c r e t eb e a m l s d o n ew i t ht h ei m p r o v e dx f e m k e y w o r d s ：x f e m ；e n r i c h e df r e e d o md e g r e e ；e n r i c h e dd i s p l a c e m e n t f u n c t i o n ：f r p ；r e i n f o r c e dc o n c r e t eb e a m ；c r a c kp r o p a g a t i o n i i i 广东工业大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目录i v c o n t e n t s v i 第一章绪论1 1 1 课题研究的背景和意义1 1 2f r p 加固混凝土构件开裂研究进展1 1 2 1f r p 受弯加固混凝土梁的剥离试验研究一3 1 2 2f r p 受弯加固混凝土梁的剥离理论研究4 1 2 3f r p 受弯加固混凝土梁的裂缝研究4 1 3 扩展有限元法的研究进展5 1 3 1 线弹性静态问题6 1 3 2c o h e s i v e 裂纹7 1 3 3 扩展有限元法在其它问题中的应用8 1 4 本文的研究内容和研究方法9 1 4 1 主要研究内容9 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 目录 第三章扩展有限元附加非连续函数的选取2 6 3 1i 型裂纹算例2 6 3 1 1i 型裂纹模式2 6 3 1 2 算例：混凝土悬臂梁2 8 3 2i i 型裂纹算例3 3 3 2 1i i 型裂纹模式3 3 3 2 2 算例：矩形板3 4 3 3 本章小结3 9 第四章f r p 加固混凝土梁界面裂纹的扩展4 1 4 1 界面裂纹的位移模式和控制方程一4 1 4 2 界面裂纹断裂准则4 5 4 3 扩展等参有限元一4 7 4 3 1 扩展等参有限元4 7 4 3 2 积分策略4 8 4 4f r p 加固混凝土梁4 8 4 4 1f r p 加固混凝土梁计算模型4 8 4 4 2 界面裂纹演化的数值模拟5 0 4 4 3 位移及裂纹扩展分析5 1 4 5 本章小结6 0 结论6 2 参考文献6 5 在学期间发表的与学位论文内容相关的学术论文7 l 独创性声明一7 2 致谢7 3 附录7 4 v 1 4 2r e s e a r c hm e t h o d s 9 c h a p t e r2t h e o r i e so fx f e m 1 1 2 1i n t r o d u c t i o n 1l ：! 2e l e m e n t a r yt h e o r y 1 2 ：! 2 1p a r t i t i o no fu n i t ym e t h o d 1 2 2 2 2b a s i ci d e ao fx f e m 13 2 2 3d i s p l a c e m e n tf u n c t i o no fx f e m 1 4 2 2 4t h eg o v e r ne q u a t i o n 18 2 3 i n t e g r a t i o ns c h e m e 2 0 2 4f r a c t u r ec r i t e r i o n 2 1 2 5x f e mp r o g r a m 2 3 v i c o ni e n t s c h a p t e r3s e l e c t i o no fe n r i c hd i s c o n t i n u o u sf u n c t i o no fx f e m 2 6 3 1m o d eic r a c ke x a m p l e 2 6 3 1 1m o d eic r a c k 2 6 3 1 2e x a m p l e ：c a n t i l e v e rb e a m 2 8 3 2m o d ei ic r a c ke x a m p l e 3 3 3 2 1m o d ei ic r a c k 3 3 3 2 2e x a m p l e ：r e c t a n g u l a rp l a t e 3 4 3 3c o n c l u s i o n s 3 9 c h a p t e r4i n t e r f a c ec r a c kp r o p a g a t i o no ff r p - t o - c o n c r e t eb e a m 4 1 4 1 d i s p l a c e m e n tf u n c t i o na n dg o v e r ne q u a t i o no f i n t e r f a c ec r a c k 4 1 4 2f r a c t u r ec r i t e r i o no fi n t e r f a c ec r a c k 4 5 4 3e x t e n d e di s o p a r a m e t r i cf i n i t ee l e m e n t 4 7 4 3 1e x t e n d e di s o p a r a m e t r i cf i n i t ee l e m e n t 4 7 4 3 2i n t e g r a ls t r a t e g y ”4 8 4 4f r p t o 。c o n c r e t eb e a m 4 8 4 4 1c a l c u l a t i o nm o d e lo ff r p t o c o n c r e t eb e a m 4 8 4 4 2n u m e r i c a lm o d e l i n go fi n t e r f a c ec r a c kp r o p a g a t i o n 5 0 4 4 3a n s y so fd i s p l a c e m e n ta n dc r a c kp r o p a g a t i o n 5 1 4 5c o n c l u s i o n s 6 0 c o n c l u s i o n 6 2 r e f e r e n c e s 6 5 t h ep a p e r sp u b l i s h e dd u r i n g t h em a s t e r d e g r e e 7 1 d e c l e r a r a t i o no fc r e a t i o n 7 2 a c k n o w l e d g e m e n t 7 3 a p p e n d i x 7 4 v i i 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题研究的背景和意义 近年来随着复合材料f r p ( f i b e rr e i n f o r c e dp l a s t i c s ) 在土木工程中的应用，传 统材料如混凝土与f r p 的界面力学性能得到了广泛的关注。在构件制造过程和使 用荷载下产生的界面裂纹可降低结构的刚度和强度，最终导致结构破坏，这是复 合材料结构应用受限的根本原因。 为了深入了解f r p 加固混凝土构件界面的断裂性质、为设计和施工提供科学 的依据，许多学者进行了界面断裂的理论研究和试验研究，提出了多种理论模型 和试验方法。但是，这些理论和试验方法还远未做到合理、简单和准确，绝大多 数试验需要测量裂纹的开展长度、荷载、加载点位移以求得能量释放率。尽管目 前可以精确测量荷载值及加载点位移，但裂纹长度的测量却很困难，导致相同的 试验得出完全相反的结论。因此，迫切需要简单有效的理论模型进行f r p 加固混 凝土界面断裂性能的研究。 本论文针对当前关于界面的剥离、破坏机理这一热点课题，采用近年来新兴 的扩展有限元数值方法，对f l 冲加固混凝土构件受弯作用下界面裂纹的开裂扩展 进行数值模拟，追踪裂缝的扩展情况，为界面裂纹的扩展、剥离研究探讨新的途 径。 1 2f r p 力n 固混凝土构件开裂研究进展 近年来由于f r p 材料具有优越的力学性能及其耐久性能，将f r p 应用于对 现有结构的加固工程逐年增加。有关f r p 加固混凝土结构的性能研究也逐步深 入，在国内外积累了相当数量的试验数据的基础上，其研究方法从单一的试验研 究转为试验与理论数值计算相结合，而研究领域也从一般受力性能延伸至受力机 理的研究。在大部分f i 冲加固混凝土结构中，f i 冲与混凝土界面之间的剥离是导 致f i 冲加固混凝土结构最终失效的主要原因之一。有关f r p 的剥离机理，各国 学者从不同的角度进行了研究解释，提出了不同的计算方法。 目前f r p 与混凝土之间的剥离破坏分析研究，大多数是基于界面平均剪切强 广东_ z - ：l k 大学硕- k 学位论文 度的计算，其破坏为断裂力学中的第1 i 类破坏形式。在受弯和受剪加固中，弯曲 或者剪切裂缝附近的f r p 与混凝土之间的应力状态十分复杂，一般是正应力与剪 应力并存，在裂缝附近，由于混凝土与f r p 之间这种局部不利的应力状态，以及 粘结强度等原因都会使这种剥离破坏迅速发生和扩展，从而产生脆性破坏。 因此，剥离问题的研究对象，可以分为两类：受力情况简单的面内剪切剥离； f r p 受弯或受剪加固混凝土结构中，复杂受力状态下的剥离。 根据滕锦光等人【1 2 】的研究工作，外贴f r p 片材对钢筋混凝土梁的受弯加固， f i 冲与混凝土之间的剥离破坏可以分为以下四种形式( 见图1 - 1 ) ： 彳上一j 一- f 一一一上土一一一， 乡可 一 专 ； 端部界面剥离关键斜裂缝剥离中部裂缝剥离保护层剥离 图1 - 1 不同剥离破坏模型 f i g 1 - 1t h ed i f f e r e n tm o d e l so fd e b o n d i n gf a i l u r e ( 1 ) 保护层剥离； ( 2 ) f r p 端部界面剥离； ( 3 ) 中部裂缝处剥离( i n t e r m e d i a t ec r a c kd e b o n d i n g ，简称i cd e b o n d i n g ) ； ( 4 ) 关键斜裂缝剥离。 这些剥离破坏的原因主要有两方面：一类是在f r p 片材端部由于f r p 的截 断而导致的梁的受弯刚度不连续以及应力集中引起的，包括保护层剥离和f r p 端 部界面剥离；另一类是由于梁底裂缝发展所引起的，包括中部裂缝剥离和关键斜 裂缝剥离。f r p 片材端部剥离是由于f r p 片材端部由于f r p 截断，使得此处受 弯刚度的不连续，形成应力集中而引起的，以保护层剥离更为常见。由于这种剥 离形式与加固片材的刚度有关，片材刚度越大，就越容易出现剥离。在粘钢加固 研究中已对这类破坏形式进行了深入讨论，提出了很多强度模型，s m i t h 和滕锦 光【3 4 】对这些模型进行了详细的讨论和比较。对于f r p 加固，由于f i 冲片材的刚 度一般不大，试验研究中这种剥离破坏的情况并不多见。而且，通过试验研究发 现，只要在f r p 片材的端部施加u 型箍，就可以有效避免端部剥离情况发生【5 - 6 1 。 关键斜裂缝剥离破坏主要是由于钢筋混凝土梁抗剪能力不足，引起较大的斜 2 第一章绪论 裂缝，进而导致斜裂缝两侧梁体发生刚体错动而产生的。由于实际工程中一般要 求梁为强剪弱弯，因此这种剥离破坏可以通过保证足够的受剪承载力予以避免。 中部裂缝剥离( i cd e b o n d i n g ) 是由于受弯裂缝张开较大，在裂缝附近f r p 片材 与混凝土界面之间的局部粘结应力集中而导致的剥离破坏。这种剥离破坏形式在 粘钢加固中并不常见，而在f r p 受弯加固中却经常发生。目前对这种破坏形式的 研究还很少，且这种剥离破坏与混凝土受弯裂缝的开展有关，即便使用u 型箍也 不能完全避免。因此，有必要对这种剥离破坏形式进行深入研究。 1 2 1f r p 受弯加固混凝土梁的剥离试验研究 叶列平等7 1 通过在梁底粘贴c f r p 布并采用c f r p 布u 形箍锚固进行了梁的 受弯剥离性能研究，并讨论了u 形箍在提高f r p 布与混凝土之间剥离性能的作用， 如图l 一2 所示。滕锦光等8 1 通过在梁底及梁侧面粘贴u 形c f r p 进行了梁的受剪 性能试验研究。 图1 2u 形箍不同的设置方式及剥离破坏 f i g 1 2t h ed i f f e r e n tp o s i t i o no fuh o o pa n dd e b o n d i n gf a i l u r e 叶列平等的研究结果显示【7 】：在用c f r p 受弯加固混凝土梁中，梁底剪弯段 斜裂缝附近c f r p 布应变有局部峰点，将产生较大的局部粘结剪应力，从而可能 成为导致剥离的起点。随着荷载增加，靠近跨中部分的c f r p 布逐渐产生剥离， 靠近支座部分c f r p 的应力梯度增大，使粘结剪应力逐渐增大。斜裂缝的出现， 使得剪弯段梁底c f r p 布的应力增加，导致剩余粘结长度上粘结剪应力增大，而 且由于斜裂缝向下错动趋势的影响，粘结界面上除有面内剪应力外，还产生垂直 于界面的法向剥离应力。这种法向剥离应力将导致面内剪切粘结强度极大地降低， 并成为剥离破坏的起因。因此，合理设置c f r p 布u 形箍，可减小粘结界面上的 法向正应力，使面内剪切粘结强度充分发挥，有效地提高了抗剥离能力。 在f r p 受剪加固混凝土梁的试验中，f r p 剥离一般开始于剪切斜裂缝附近， 并逐步发展，这种受力状态与单剪或双剪试验中f r p 与混凝土界面的受力状态相 广东工业大学硕士学位论文 近，比受弯加固中梁底f r p 同时受到剪应力和正应力的情况简单。滕锦光等1 8 j 在 其试验研究中，没有就受剪加固c f r p 的剥离问题做进一步的研究。 1 2 2f i 冲受弯加固混凝土梁的剥离理论研究 f r p 受弯加固混凝土梁f r p 的剥离推导理论公式的共同假定为材料一直处于 线弹性阶段，剪应力和正应力在粘结材料厚度上为均匀分布。 吴智深【9 】使用f r p 布受弯加固混凝土梁模型，推导出f r p 受弯加固混凝土梁 中f r p 与混凝土之间的剥离强度公式，其受力分析模型如图1 3 所示。 图1 3 受力分析模型 f i g 1 - 3t h ef o r c ea n a l y s i sm o d e l 1 2 3f r p 受弯加固混凝土梁的裂缝研究 目前，关于f r p 加固钢筋混凝土构件裂缝发展的理论研究还很少。f c e r o i n 等【1 0 】进行了f r p 加固钢筋混凝土轴拉和受弯构件裂缝开展性能的试验研究，又以 粘结滑移理论为基础建立了适用于f r p 加固钢筋混凝土构件使用状态分析的非 线性理论模型；m a a i e l l o 等【1 1 】以粘结滑移理论为基础，推导了适用于f i 心加 固钢筋混凝土梁使用状态分析的非线性理论模型。他们建立的非线性模型的主要 区别为：f c e r o i n 的模型中是将受弯构件的受拉区看作拉杆来考虑的；而 m a a i e l l o 的模型中是按受弯构件的截面平衡条件考虑的。由于这两个模型都是 非线性的，其求解都需要用数值方法，还很难在设计中应用，而且他们对影响加 固构件开裂性能的因素没有进行深入的讨论。 4 工 王 第一章绪论 目前这方面的研究主要存在以下两方面的问题：一方面是根据f r p 与混凝 土粘结性能试验得到的粘结一滑移关系中未考虑到钢筋引入以及裂缝存在的影 响，因此在将这些研究所得出的模型运用到实际构件中时的合理性值得商榷；另 一方面是f r p 加固构件端部的应力分析为端部剥离破坏的研究做出了很大贡献， 但在端部范围内一般没有裂缝存在，可以不考虑裂缝对应力分布的影响，而在跨 中范围往往存在一系列的裂缝，该范围内粘结应力的分布形式与端部有着明显的 区别，因此需对裂缝区段内进行专门的应力分析【i ”j ，分析成果可用以研究构件 中应力的传递方式和i cd e b o n d i n g 问题。蔺新艳【1 4 】，j f c h e n t l 5 舶1 等进行了f p r 加固混凝土梁界面粘结性能的研究，建立了研究相邻裂缝间界面粘结滑移的解析 模型，可给出粘结界面上滑移和剪应力的分布，及相邻裂缝间各材料的应力分布， 进而进行构建开裂分析。 1 3 扩展有限元法的研究进展 1 9 9 9 年，美国西北大学t b e l y t s c h k o 教授、m o e s 教授等1 7 1 8 1 首次提出扩展 有限元的思想。2 0 0 0 年，扩展有限元法( x f e m - e x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 这一术语被正式使用。该方法以常规有限元法和单位分解法为基础，保留了传统 有限元的所有优点。应用扩展有限元法分析断裂问题等不连续力学问题时，不需 考虑裂纹面的位置直接划分网格，应用单位分解法思想，在离散位移表达式中增 加节点的附加自由度以及相应的反映局部特性( 裂纹、界面) 的附加函数。如在模 拟裂纹时，通常用不连续的广义h e a v i s i d e 函数对被裂纹一分为二的单元节点进 行加强，以反映裂纹面的位移不连续；同时，用裂尖渐进位移场函数来加强包含 裂尖的单元节点，以反映裂尖区域的局部特性。采用含附加函数的位移近似表达 式以后，其求解步骤与常规有限元法基本相同，将位移表达式代入求解问题的弱 形式，即可得到支配方程，求解方程组就可以得到所求问题的位移场，进而求得 应力场以及应力强度因子等断裂参数，并且可以进行裂纹的扩展追踪。而与常规 有限元所不同的是，扩展有限元在对弱形式积分时需要做特殊处理。 扩展有限元法是近十年来求解不连续力学问题较为有效的数值方法。与传统 有限元法相比，扩展有限元法进行断裂问题分析有以下优点： 在划分有限元网格时，不连续面与有限元网格相互独立，裂纹可以位于网 格的任意位置，克服了常规有限元中必须将裂纹面作为单元的边、裂尖作为单元节 准确地建立了断层问题的位移和应力场。i a r v e 2 4 】使用高阶b 样条插值函数代替 h e a v i s i d e 函数，从而简化了单元积分问题。s t a z i 等【2 5 】将改进的二次有限元插值 函数应用到线弹性断裂力学问题中，通过二次有限元离散的水平集函数来表示裂 纹。c h e s s a 等【2 6 】研究了合适的单元构建方法在改进单元和未改进单元同时存在的 混合区域中对于单位分解的性能的重要性，并在此基础上提出一个能达到理想收 敛速率的增强应变表达式。 h a n s b 0 1 27 】将被不连续界面穿过的单元视为两个独立的单元，建立了固体力学 6 第一章绪论 的强不连续和弱不连续模型；在弱不连续情况下，这两个单元连接处的位移有一 定的连续程度，这个程度由界面情况和单元划分情况共同决定。这种处理方法的 问题在于其很难处理裂尖停留在单元内部的情况，且决定单元交界处连续程度的 罚函数也是不稳定的。 x i a o 和k a r i h a l 0 0 1 2 8 】对x f e m 单元刚度矩阵的数值积分和s a r ( s t a t i c a l l y a d m i s s i b l es t r e s sr e c o v e r y ) 方法进行了研究，并考察了影响x f e m 和s a r 计算精 度的几个参数。w a g i l e r 和l i u 2 9 1 使用一个交互项来区分改进函数的等级，通过这 个交互项来控制计算误差和刚度矩阵的条件数。 b e l y t s c h k o 等【3 0 1 将x f e m 应用于拓扑优化中，把平衡方程的弱解形式表示成 隐函数的阶跃函数。这个阶跃函数被调整成能用于计算敏感度的函数。 李录贤掣”】综述了x f e m 的基本思想，实施步骤及其应用，初步展望了该 领域需进一步研究的课题。谢海【3 2 】论述了基于单位分解法和水平集法的扩展有限 元法，阐述如何应用u e l 在a b a q u s 平台上实现x f e m 。 1 3 2c o h e s i v e 裂纹 上述文献都是在假设材料是线弹性的条件下求解裂纹问题。然而只有裂纹尖 端的塑性区相对于裂纹尺寸和试件尺寸很小时，断裂力学中的线弹性假设才适用。 为考虑裂尖附近塑性区的影响，需要引入其它一些模型，d u g d a l ef 3 3 】和b a r e n b l a t t 3 4 】 提出了一种粘着裂纹模型( c o h e s i v ec r a c km o d e l ) ，在数值模拟中应用起来十分方 便。在粘着裂纹模型中，由于在断裂影响区内裂纹表面作用粘着应力，裂尖的应 力强度因子为零，也就是裂纹光滑地闭合。而该粘着应力取决于裂纹的张开位移， 通常随着裂纹张开位移的增大，粘着应力减小。 目前，已经有些将扩展有限元法应用到粘着裂纹模型的研究。 对于静态c o h e s i v e 裂纹，z i 和b e l y t s c h k o 3 5 提出使用符号函数( s i g nf u n c t i o n ) 来改进所有三结点和六结点的包含裂尖的三角形单元，并通过强制令裂尖的应力 投影与材料强度相等来保证c o h e s i v e 裂纹的光滑闭合。由于不需要均匀的划分所 有有限元，a l f a i a t e 等【3 6 】采用位移跳跃来描述半脆性材料中的裂纹。m 撕砌和 p e r e g o 3 7 】在x f e m 中引入高阶位移不连续性，研究了准脆性材料中准静态粘着裂 纹的传播，并通过i 型和混合型数值试验给出了其有效性评定。p a t z a k 和j i r a s e k 3 s 1 提出由一个非局部损伤模型来描述软化所引起的局部化，从而计算半脆性材料狭 7 广东工业大学硕士学位论文 窄损伤区域的局部应变，用与精确局部模式相近的规则h e a v i s i d e 函数来改进 x f e m 位移逼近函数，使其有更好的适应性。 s i m o n e 等【3 9 】提出一个新的计算框架计算含有不连续缺陷的应变软化连续体， 并在连续体的本构方程中引入梯度项，使用基于f e 形函数的单位分解的不连续 插值函数来改进缺陷周围的区域，内部不连续面的边界条件也无需有限元划分引 入，这就避免了规则化连续体模型的不真实损伤扩展。这种联合模型能够分析从 细观裂纹的扩散到宏观裂纹的局部出现的整个失效过程。d eb o r s t 等【4 0 】通过合适 的f e 形函数的单位分解( p u ) 来改进混凝土断裂中所使用的裂纹模型，使其能较 好的描述从分布的微观裂纹发展成为起支配作用的宏观裂纹的过程。 余天堂【4 l 】基于扩展有限元法的基本原理，推导出相应的公式，给出了求解不 连续函数的积分方法和裂尖应力强度因子的计算。夏晓舟等【4 2 舢1 提出了一类指数 型附加位移间断函数来模拟不连续问题，该函数具有便于积分和求导的优点。同 时推导了对应的有限元公式，模拟了含初始裂纹的重力坝的裂纹扩展问题。 杨瑁1 4 5 j 给出了求解平面粘着裂纹扩展问题的扩展有限元公式，建立了求解非 线性方程组时的直接迭代的算法，并给出了位移加载和载荷加载两种加载方式的 具体实施过程。丁晶【4 6 j 采用扩展有限元计算平面张开型裂纹的应力强度因子，根 据最大周向应力判据以及等比例荷载施加方式采用扩展有限元方法对平面拉伸型 裂纹以及拉剪复合型裂纹进行了裂纹扩展模拟。 董玉文1 47 j 采用扩展有限元进行了混凝土及其结构的断裂数值分析，推导出了 应用x f e m 进行混凝土水力劈裂分析的x f e m 列式，给出了裂纹面水压力项的 积分方法，首次将x f e m 应用于水力劈裂分析。 方修君等【4 8 5 0 】首次在a b a q u s 平台上实现了扩展有限元法功能，推导了粘 着裂纹模型的扩展有限元控制方程，并分别对三点弯曲梁的开裂过程、以及混凝 土的复合型开裂过程进行了数值模拟，得到了与实验较吻合的结果。 1 3 3 扩展有限元法在其它问题中的应用 扩展有限元法还被应用于除裂纹以外的其它一些不连续问题。例如s u k u m a r 等人【5 1 1 对孔洞和夹杂问题的研究，b e l y t s c h k o 等人【1 8 ，5 1 】对切线不连续问题的研究， 还有b e l y t s c h k o 等人【5 2 】对位错问题和界面问题的研究等等。扩展有限元法还被应 用于流体力学5 3 1 。董玉文【4 7 】将x e f m 与增广l a g r a n g e 乘子法相结合，研究了用 8 第一章绪论 扩展有限元法分析摩擦接触问题的可行性。由于本文篇幅所限，在此就不做赘述。 1 4 本文的研究内容和研究方法 1 4 1 主要研究内容 对于f r p 加固补强的混凝土桥梁结构，增强体系的关键是要保证f r p 板与 混凝土之间的粘结充分，使得结构在整个服务期限内保持一个整体。由于荷载的 作用，纤维复合材料和混凝土的界面将产生大量的裂纹，在弯曲和剪切裂纹的端 部由于纤维应力作用引起纤维复合材料的脱层，是一种常见的粘结破坏形式，这 使得结构在低于修复系统的理论强度下出现破坏。 针对当前关于f r p 加固混凝土构件剥离破坏分析中现有数值方法存在的不 足与缺点，本论文借助扩展有限元分析不连续问题，特别是分析断裂力学问题的 独特优势，采用扩展有限元法，对f r p 加固混凝土构件中裂纹的开裂，扩展过程 进行数值模拟与研究，具体内容包括以下几个方面： ( 1 ) 进一步研究附加非连续函数的选取，比较阶跃函数和指数函数模拟裂纹不 连续性质的合理性和计算精度，探讨两种函数针对i 型和i i 型裂纹的适用性，为 进一步分析裂纹的扩展奠定基础。 ( 2 ) 探讨采用扩展有限元模拟裂纹扩展过程的数值实现方法，分析单一材质中 裂纹的开裂扩展过程，应用扩展有限元法进行混凝土悬臂梁和矩形板的开裂分析。 ( 3 ) 探讨用x f e m 模拟f r p 加固混凝土构件在受弯作用下f i 冲与混凝土之间 的界面裂纹扩展的数值实现方法，应用扩展有限元法进行含初始裂纹的f r p 加固 混凝土梁受弯剥离分析。 1 4 2 研究方法及创新性 1 4 2 1 研究方法 本课题拟采取理论与数值摸拟相结合的研究方法，研究界面裂纹的扩展并探 讨其对纤维复合材料补强的混凝土结构的粘结破坏及结构承载力的影响，同时提 出实用的计算模式，基于扩展有限元的思想，通过一类附加位移形函数来模拟由 裂纹所导致的不连续现象，适当改造其附加间断函数，使其能够在单元内考虑含 界面裂纹对其两侧材料的不同反应，从而模拟f r p 加固混凝土构件的界面裂纹的 9 广东工业大学硕士学位论文 扩展。 1 4 2 2 本课题的创新之处 ( 1 ) 研究扩展有限元法中附加非连续函数的选取，比较阶跃函数和指数函数模 拟裂纹不连续性质的合理性和计算精度，探讨两种函数针对i 型和i i 型裂纹的适 用性。 ( 2 ) 通过引入刚度比的概念来解决附加非连续函数模拟单元内含不同材料的 界面裂纹情形，同时给出了界面裂纹的位移模式及断裂准则。 ，( 3 ) 探讨用x f e m 模拟f r p 加固混凝土梁在受弯作用下f i 冲与混凝土之间的 界面裂纹扩展的数值实现方法，实现了用扩展有限元法进行含初始裂纹的f r f 加 固混凝土梁的裂缝追踪模拟。 1 0 第二章扩展有限元的基本原理 2 1 引言 第二章扩展有限元的基本原理 固体力学中存在两类典型的不连续问题，即位移不连续和应变不连续 问题，断裂问题属于位移不连续问题。数值方法是分析不连续问题的主要 途径，其中有限元法由于具有如适用于任意几何形状和边界条件，可以分 析材料非线性、几何非线性、各向异性问题，容易编程等诸多优点，成为 分析裂纹等不连续问题的主要数值方法。然而在常规有限元法中通常采用 连续函数作为形状插值函数，要求在单元内部形状函数和材料性能保持连 续性，因此在处理像裂纹这样的位移不连续问题时，必须将裂纹面设置为 单元的边、裂尖设置为单元的结点，还需在裂尖附近的高应力区布设高度 密集的网格，同时当裂纹扩展时，单元边界必须始终保持与裂纹表面重合。 正是由于传统有限元法的单元位移场函数选取的是连续函数，而裂纹问题 本身却是不连续问题，因此，除了需要在裂纹尖端区域精细的网格划分外， 在模拟裂纹扩展时，随裂纹扩展还需不断对网格进行重新剖分。这样，在 不同的网格之间就需要确定变量的相互对应关系，这给前处理过程带来很 多困难，而且导致