（计算数学专业论文）发展型偏微分方程的高维配置方法研究.pdf

山东大学硕士学位论文 发展型偏微分方程的高维配置方法研究 马宁 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文对发展型偏微分方程的高维配置方法进行了一系列研究。配置法是近二三 十年发展起来的以满足纯插值约束条件的方式，寻求算子近似解的数值方法，并具 有无需计算数值积分，计算简便及收敛精度高等优点，使之在工程技术和计算数学 的许多领域得到广泛的应用。但范围一般局限在一维常系数问题 4 ，1 0 ，1 2 ，后来配 置方法也解决了一些二维常系数问题 5 , 6 。8 0 年代d o u g l a s 提出了持征线方法， 函数沿特征线方向的变化比沿时间方向的变化小的多 1 , 2 ，1 1 。9 0 年代 9 1 3 1 提 出了二维椭圆变系数问题的配置法，而且f 3 1 中对一维常系数问题采用了特征配置 法。 在此基础上本文主要对发展型方程的二维变系数问题提出了一种新的数值求 解方法一特征配置法。着重在于如何处理变系数及含特征项的误差估计。理论分析 表明该方法不但具有特征法的优点，而且具有配置法的优点。本文采用了分片双三 次h e r m i t e 插值多项式空间作为求解的逼近函数空间，建立了全离散的特征配置格 式，不但证明了数值解的存在唯一性，而且得到了最优阶的误差估计o ( h 4 ) 。 本文共分三章 第一章考虑二维变系数对流扩散问题的特征配置法，证明了特征配置解的存在 唯一性及三2 模误差估计。本章共分四节。 第一节是引言，考虑对流扩散方程 。) 瓦o u v ( d v u ) + 寸- v u + d = ， b ) u ( x ，y ，0 ) = u o ( x ，y ) ， c ) u ( x ，y ，t ) = 0 ， ( x ，y ) q ，t ( 0 t ( z ，y ) n ， ( z ，y ) o f t te ( 0 ，t 这里q = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，a q 为n 的边界。其中d = d ( x ，y ) 为扩散系数，并且 给出了系数满足的条件，以及引入特征方向7 - 得到相应的离散方程。 第二节给出了预备知识。对空间区域q 作剖分，构造m - ( 3 ，6 ) 为分片双三次 h e r m i t e 多项式空间作为求解的逼近函数空间，给出了配置点、内积、范数的定义 山东大学硕士学位论文 及引理1 1 一引理1 9 ，着重证明了引理1 6 。 第三节是特征配置法及其解的存在唯一性。假设问题是周期的，故边界条件可 去掉，给出了特征配置格式，然后证明了相应( 1 1 6 ) 的离散的g a l e r k i n 方法与特 征配置格式等价，且有唯一解 第四节是误差估计着重证明了含特征项的估计及引理1 1 0 ，进而得到引理 1 1 1 ，应用归纳假设，最后得到l 2 一模误差估计。 定理1 3 ：设u 是周期问题( 1 1 1 ) 的精确解，巩是( 1 3 1 ) 的特征配置解，则 有如下先验误差估计 。掩“一吲职n ) k a 圳雾忆：t ( n ) ) + 汕。黠，i 寡 + 4 ( 1 l u t l l 2 ( o ，t ；日6 ( n ) ) + fj u t i l l 2 ( o ，t ；日4 ( n ) ) ) ) 第二章考虑了多孔介质中不可压缩流体的易混溶驱动问题的全离散有限元配置 法，主要对饱和度方程采用配置法，并给出了l 2 模误差估计本章共分三节 第一节是引言考虑耦合系统 口) v u ( c ，1 即) = - v f n ( c ) ( 1 即一7 ( c ) ) v d ) 】= 口0 ) ，( 。，口) q ，t ( 0 ，t b ) o ，可) 一v - ( d ，y ) v c ) + u ( c ，v p ) v c + 口( t ) c = 口( t ) o ( t ) ， c ) c ( x ，可，0 ) = c 0 0 ，y ) d ) u ( x ，y ，t ) f a n = 0 ， e ) 磋k = o ， ，) 矗卓( 。，t ) d s 2 = 0 ， ( z ，y ) n ，t ( 0 ，t 】 ( z ，y ) q ， t ( 0 ，t ， t ( 0 ，? 】， 其中q = ( 0 ，1 ) x ( 0 ，1 ) ，a q 为q 的边界，并给出了系数满足的一些条件以及 对时间和空间的剖分 第二节提出了全离散有限元配置格式并证明了数值解的存在唯一性 第三节得到三2 模误差估计 定理2 1 ：假设( 2 1 3 ) 成立，r = 3 ，而且时间，空间步长满足 a t 。= 。( ) ，器= o ( ( t 。) ；) ，a t p = o ( ( a t 。) ) 山东大学硕士学位论文 那么存在常数，对足够小的h ，有如下估计成立 m a x ，| | c n c “i l +m 8 | jv ( p 。一p m ) j k ( a t 。+ h 4 + h 5 ) o s “! l 毒：jo “! l 南】 第三章处理了多孔介质中不可压缩流体的易混溶驱动问题的特征配置法，主要 对饱和度方程采用特征配置法也得到了最优误差估计。本章共分三节。 第一节为引言。考虑了耦合系统，假设问题是周期的，故边界条件可去掉。并 引入特征方向s ，得到相应的离散方程。 第二节提出了全离散特征配置格式并证明了数值解的存在唯一性。令m m i ( 3 ，d ) 为逼近空间，其中) v i 是q 上日1 ( q ) 的有限元空间，m l ( 3 ，j ) 如前所 述 第三节得到最优误差估计定理3 1 。 关键词：对流扩散方程，不可压缩，特征线，配置法，误差估计 i i i 山东大学硕士学位论文 t h e r e s e a r c h0 fh i g h e r d i m e n s i o n a l c o l l o c a t l 0 nm e t h o do f t i m e d e p e n d e n tp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n m a n i n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h er e s e a r c ho fh i g h e r d i m e n s i o n a lc o l l o c a t i o nm e t h o do f t i m e - d e p e n d e n tp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sc o n s i d e r e d t h ec o l l o c a t i o nm e t h o d i san u m e r i c a lm e t h o dw h i c hs e a r c hf o rt h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o no ft h eo p e r a t o r f u n c t i o nb ys a t i s f y i n gp u r ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o nf o ra b o u tt h i r t yy e a r s ，a n di ti s w i d e l yu s e df o rs o l v i n gb o t he n g i n e e r i n ga n dc o m p u t i n g m a t h e m a t i c sd u et oi t se a s e o fi m p l e m e n t a t i o na n dh i g h - o r d e ra c c u r a c y b u tt h em a t h e m a t i c a lt h e o r yu s e dt o b el i m i t e di no n e - d i m e n s i o n a lc o n s t a n tc o e f f i c i e n tp r o b l e m s l a t e r ，t w o - d i m e n s i o n a l c o n s t a n tc o e f f i c i e n t sp r o b l e m sa r ea l s oc o n s i d e r e d 5 ，6 】i n1 9 8 0 s d o u g l a sg a v e c h a r a c t e r i s t i cl i n em e t h o d ，w h i c ht h ef u n c t i o nc h a n g e sm u c hl e s sr a p i d l yi nt h e c h a r a c t e r i s t i c sd i r e c t i o nt h a ni nt h et i m ed i r e c t i o n i n1 9 9 0 sc o l l o c a t i o nm e t h o do f t w o - d i m e n s i o n a lv a r i a b l ec o e f f i c i e n t se l l i p t i cp r o b l e m sa r eg i v e ni n 9 ，1 3 a n df 3 】 g a v et h ec h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o nm e t h o do fo n e - d i m e n s i o n a lc o n s t a n tc o e f f i c i e n t p r o b l e m s t h e na c c o r d i n gt ot h ea b o v e ，an e wm e t h o d - c h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o nm e t h o d t ot r e a tt w o - d i m e n s i o n a lv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sp r o b l e m so f t i m e - d e p e n d e n te q u a t i o n i s g i y e ni 1 2t h i sd i s s e r t a t i o n i ti si m p o r t a n th o w t ot r e a tv a r i a b l ec o e 伍c i e n t sa n dh o w t op r o v et h ee s t i m a t eo ft h ec h a r a c t e r i s t i c sp a r t i ts e e m st h a tt h em e t h o dh a st h e v i r t u eo fc h a r a c t e r i s t i c sa n dc o l l o c a t i o nm e t h o d i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h es p a c eo f p i e c e w i s eh e r m i t e b i c u b i c si st h ea p p r o x i m a t i o n s p a c e ，i tg i v e st h ec o m p l e t e d i s c r e t e c h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o ns c h e m e ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h en u m e r i c a l s o l u t i o na r ep r o v e d ，a n do p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a a t ei sd e r i v e do ( h 4 ) t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e sv a r i a b l ec o e m c i e n t si nt w od i m e n s i o n sa n di sd i v i d e d i n t ot h r e ec h a p t e r s i v 山东大学硕士学位论文 t h ef i r s t c h a p t e rc o n s i d e r sc h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o nm e t h o df o rt w od i m e n s i o n sv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sc o n v e c t i o nd i f h l s i o np r o b l e m a n dp r o v e st h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fi t ss o l u t i o na n dg i v e sl 2 _ n o r me r r o re s t i m a t e t h i sc h a p t e ri sd i v i d e d i n t of o n rs e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n t h ec o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f l u s i o np r o b l e mi s g i v e nb y a ) 筹一v ( d r u ) + - g v u 砌= ， b ) u 扛，y ，0 ) = u o ( x ，) ， c ) u 0 ，y ，t ) = 0 ， ( z ，y ) q ，t ( 0 ，t 】 ( z ，y ) q ， ( z ：y ) a n ，t ( 0 ，卅 w h e r eq = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，a f 2i st h e b o u n d a r yo fn d = d ( q ) i sd i f f u s i o n c o e f f i c i e n t t h ec o n d i t i o n so ft h et o e 伍c i e n t ss a t i s f i e da n dc h a r a c t e r i s t i ctd i r e c t i o n a r eg i v e n ，a n dt h ed i s c r e t ee q u a t i o nc a nb ed e r i v e d i nt h es e c o n ds e c t i o ni s p r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i tg i v e s ap a r t i t i o no fs p a c e q 1 e tm l ( 3 ，5 ) b et h es p a c eo fp i e c e w i s eh e r m i t eb i c u b i c s w h i c hi st h ea p p r o x i m a t e s p a c e ，a n dg i v e st h ec o l l o c a t i o np o i n t s i n n e rp r o d u c ta n dn o r m l e m m a1 1 一 l e m m a1 9 t h i ss e c t i o np r o v e sl e m m a1 6 p r i m a r i l y t h et h i r ds e c t i o ni n t r o d u c e st h ec h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o nm e t h o da n dt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fi t ss o l u t i o n f 培a s s u m et h a tt h ep r o b l e mi sp e r i o d i c i ns p a c e ，t h e nt h eb o u n d a r yc o n d i t i o nc a nb er e m o v e d ，a n dg i v et h ec h a r a c t e r i s t i c s c o l l o c a t i o ns c h e m en e x tt h ed i s c r e t eg a l e r k i nm e t h o dc o r r e s p o n d i n g ( 1 1 6 ) a n d t h ec h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o ns c h e m ea r ee q u i v a l e n t ，h a v eu n i q u es o l u t i o n t h ef o r t hs e c t i o ng i v e sl l n o r me r r o re s t i m a t e w ep r o v e st h ee s t i m a t eo ft h e c h a r a c t e r i s t i c sp a r ta n dl e m m a1 1 0p r i m a r i l y l e m m a1 1 1f o l l o w sa n dl 2 一n o r m e r r o re s t i m a t ei sd e r i v e dw i t ht h ei n d u c t i o nh y p o t h e s e sf i n a l l y t h e o r e m 1 3 s u p p o s e “i st h ea c c u r a t es o l u t i o no ft h ep e r i o d i cp r o b l e m ( 1 1 1 ) i st h ec h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o ns o l u t i o no f ( 1 3 1 ) ，t h e nw eh a v e 。黑陋n 一吲纠稚k | | 勃硝。删，+ m m 班a x 引寡 + a 4 ( 1 i u | | l z ( o ，r ；h e ( n ) ) + l u t t l z ( o 丁；h ( n ) ) ) ) v 山东大学硕士学位论文 t h es e c o n dc h a p t e rc o n s i d e r sac o m p l e t ed i s c r e t ef i n i t ee l e m e n tc o l l o c a t i o n m e t h o df o ri n c o m p r e s s i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a ，t h ec o n c e n t r a ， t i o ne q u a t i o ni sa p p r o x i m a t e db yc o l l o c a t i o nm e t h o da n dl 2 n o r me r r o re s t i m a t ei s d e r i v e d i ti sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n ，t h ec o u p l e ds y s t e mi sg i v e nb y a ) v - 让( c ，v p ) = 一v a ( c ) ( v p 一7 ( c ) ) v d ) 】= q ( t ) ，( 卫，y ) q ，t ( 0 ，t 】 6 ) 咖( 刚) 豢一v ( d ( 。，y ) v c ) + u ( c ，v p ) v c + 荆c = 荆e ( t ) ， 。 ( z ，y ) q ，t ( 0 ，t 】 e ) c ( x ，y ，0 ) = c o ( z ，可) ， ( z ，y ) q ， d ) u ( x ，y ，t ) l a n = 0 ，t ( 0 ，t 1 ， e ) d _ b ei a n ：0 ，t ( o ，t 】1 ，) 厶牙( z ，) d q = 0 ， w h e rq = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，t h ec o n d i t i o no ft h ec o e f f i c i e n t ss a t i s f i e da n dt h ep a t t i t i o n so fs p a c ea n dt i m ea r eg i v e n t h es e c o n ds e c t i o ng i v e st h ec o m p l e t ed i s c r e t ef i n i t ee l e m e n tc o l l o c a t i o ns c h e m e a n dp r o v e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o n i nt h et h r e es e c t i o n l 2n o r me r r o re s t i m a t ei sd e r i v e d t h e o r e m 2 1 s u p p o s e ( 2 1 3 ) h o l d s ，r = 3 ，a n dt h a tt h es p a c ea n d t i m e d i s c r e t i z a t i o n ss a t i s f yt h er e l a t i o n s a t 。= d ( ) ，t ：= o ( ( a t 。) ；) ，如= o ( ( a t c ) ) t h e nt h e r ee x i s t sac o n s t a n tks u c ht h a t ，f o rhs u f i i c i e n t l ys m a l l ， 。! 。m a x 南】i lc n g “l | + 。 m m ! a x 【孟】| | v ( p m p m ) 峪k ( 屯+ 4 + 竹 t h et h i r dc h a p t e rc o n s i d e r sac h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o nm e t h o d f o ri n c o m p r e s s - i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a ，t h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o ni sa p p r o x i - m a t e db yc h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o nm e t h o da n da l s og i v e sl 2 _ n o r m e r r o re s t i m a t e i ti sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n ，w ea l s oc o n s i d e rt h ec o u p l e ds y s t e m w e s h a l l a s s u m et h a tt h ep r o b l e mi sp e r i o d i ci ns p a c e ，s ot h eb o u n d a r yc o n d i t i o nc a nb e r e m o v e d ，a n dg i v et h ec h a r a c t e r i s t i csd i r e c t i o n ，t h e nt h e d i s c r e t ee q u a t i o nc a nb e d e r i v e d v i 山东大学硕士学位论文 t h es e c o n ds e c t i o ng i v e st h ec o m p l e t ed i s c r e t ec h a r a c t e r i s t i c sc o l l o c a t i o ns c h e m e a n dp r o v e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o n l e t x ? t 1 ( 3 ，j ) b et h ea p p r o x i m a t es p a c e ，w h e r e 帆i st h ef i n i t ee l e m e n ts p a c eo f 日1 ( q ) i nq a n d m l ( 3 ，6 ) i sj u s tl i k et h ep r e c e d i n g i nt h et h r e es e c t i o n ，l 2 一n o r me r r o re s t i m a t ei sd e r i v e d k e y w o r d s ：c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ，i n c o m p r e s s i b l e ，c h a r a c t e r i s t i c sl i n e c o l l o c a t i o nm e t h o d ，e r r o re s t i m a t e v i i 原创性声明 本入郑重声明：掰垒交的学德论文，是本入在导鄹的指导下，猿 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含饪露其缝个人或集体己经发表或撰写过的辩磅成暴。对本文的麓 究作出重骤贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人究 全意识型本声麓豹法德责 王壹本人承担。 论文作卷签名：墨址日期：2 鲤：垒：垫 关予学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的娥定，同意学 校保留或i n 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅羊借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入肖关数据席进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密厝应遵守此规定) 论文作考签名：鸟喜二一导努煞名：勉曩麓：2 蚴 第一章二维变系数对流扩散问题的特征配置法 1 1 引言 在多种问题的数值模拟中均涉及抛物型对流扩散方程的数值求解问题近几年 提出的特征修正技术，解决了用一般差分法或有限元法进行数值求解时出现的数值 振荡现象。由于配置法无需计算数值积分，计算简便，收敛阶高等优点，使之在工程 技术和计算数学的许多领域得到广泛的应用，但范围一般局限在一维常系数问题。 本章主要研究二维变系数对流扩散问题，提出特征法和配置法相结合的方法， 着重在于如何处理变系数及含特征项的误差估计。理论分析表明，该方法不仅具有 特征法的优点，而且具有配置法的优点。本文采用了分片双三次h e r m i t e 插值多项 式空间作为求解的逼近函数空间，建立了一个求解的特征配置格式，不但证明了数 值解的存在唯一性，而且得到了最优阶的误差估计。 考虑对流扩散方程 a ) c ) 豢一v - ( d r “) + 言v u 拙= ， 扛，y ，0 ) = u o ( x ，可) ， u ( x ，9 ，t ) = 0 ， ( 。y ) q ，t ( 0 ，t ( z ：y ) q ， ( z y ) a q ，t ( 0 t 这里n = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，a q 为q 的边界，其中d = d ( x ，y ) 为扩散系数 言= ( 6 1x ，t ) ，b 2 ( x ，) ) 丁为对流速度，d = d ( z ，9 ) ，= ，( z ，y ) ，系数满足 0 d + d ( x ，y ) d + 。 0 d 。d ( x ，y ) d 4 o 。， j f 了( z ，y ，t ) isb + o 。， 假设问题是周期的，故边界条件( 1 1 1 ) c ) 可去掉，令 v ( x ，g ) = 1 + ( 6 l ( z ，) ) 2 + ( 幻( 茁，g ) ) 2 ， 记7 ：r ( z ，可) 是与算子u 。+ 苫v u 对应的特征方向 m ， 志= 丽1 瓦a + 搿未+ 渊南 l 山东大学硕士学位论文 从而 则方程( 1 1 1 ) a ) 可写为 ( 1 1 3 ) 母豢：窑+ 苫v 让， 妒而2 瓦十0 讹， 砂筹一v ( d r 札) + 砒= ，( 训) q ，t ( 啦 对时间区间【o , t 剖分：0 = t o t 1 - t “_ 1 护= t ，以t 记为时间 步长，采用等距剖分z x t = t “一t ”1 = 吾，再令 ( 1 1 4 )牙“= z b l ( z ，y ，护+ 1 ) t 蜃= 。一b l ( x ，y ) a t ， p = f ( x ，y ，t - ) ， 矿= y 一6 2 ( z ，y ，t n + 1 ) a t 口= y b 2 ( x ，y ) a t ， 产= ，( 护，矿，t n ) ， 则有近似式f 1 】 m 刚，筹删础，若舞篙= 地等幽 可得到如下离散方程 妒= 堕幽爿塑型 ( 1 1 6 ) d t u “一v - ( d v u “) + d u 8 = r ， n = 1 ，2 1 2 预备知识 对空间区域作如下剖分：对q 作拟一致正规的，沿。，y 方向分别以h x , h ，为步 长，等距的矩形网有限元剖分，网格点记为( x i ，协) ，i = 0 ，1 ；j = o ，1 ， 令 矗：0 = x 0 z l z 虬= 1 ；矗：0 = y o y x 可= 1 ， h ：= 一x i l ，h ”= 珊一协一1 ，h = m a x h z ， y ) ， n 玎= 【z i l ，x i 【y j 一1 ，珊j ，i = 1 ，2 ；j = 1 ，2 0 ， i = 【0 ，1 ，正= 【一1 ，兢】，巧= 【y j 一1 ，聊】，i = 1 ，2 也；j = 1 ，2 ；： 记p 3 ( e ) 是定义在j 上的函数集合e c i ，当它限制在e 上时，是次数不高于3 的 多项式 山东大学硕士学位论文 m 1 ( 35 x ) = v c 1 ( i ) f b ( e ) ，i = 1 虬) m - ( 3 如) = ( ”c 1 ( 驯”p 3 ( 日) ，j = l ) 则有 ( 1 2 1 )m l ( 3 ，6 ) = m - ( 3 疋) o m z ( 3 毛) ， m l ( 3 ，d ) 是分片双三次h e r m i t e 多项式有限维空间 并且 m 2 ( 3 ，5 x ) = m - ( 3 ，矗) ：v ( o ) = v ( 1 ) = o m 2 ( 3 ，毛) = ”m f f 3 ，西) ：v ( o ) = ”( 1 ) = o ) ： 则有 ( 1 2 2 )m 2 ( 3 ，d ) = m o ( a ，瓦) om 2 ( 3 毛) 在，上选取如下四个配置点：( x i k ，协f ) ， = 1 ，2 ，f = 1 ，2 ：且有 ( 1 2 3 ) = ；( x i _ t - - x i ) + ( - 1 ) 。丽h x ，协产；( y a - ，+ y j ) + ( _ 1 ) 丽h y ( z i k ，y j t ) 为q 玎上高斯求积公式的节点 现规定以下记号 且 z ( 1 2 4 ) ， = 沪； 。 ，( u ”) ( m ) i = lj = 1i = lj = 1 r ，l = l = + ， 帆n z l 2 = 铲等( 一) ( 孤m t ) ， t _ 1i = i k = l n vn i ， 2 = ，= 了h , y ( u ”) ( 。协，t ) ， j = 1j = 1 一i = 1 n tn ￥n ：n vp = e 。e 侧( ”驴善1 善1 上，础由，# 1 ，2 1l = j = ” = ( u ，”) 缸= “础， ：氖咄，：兰蜥删， = = z ， = | | l “| | | 2 3 山东大学硕士学位论文 ( 1 2 5 )川u | | ( 1 2 6 )m | i v u m l ( 3 ，6 ) v u m 1 ( 3 矾 记n 上分片双三次h e r m i t e 插值算子t 3 ，d m 1 ( 3 ，6 ) ，且沿z ，y 方向的分片 三次h e r m i t e 插值算子为死，如m 1 ( 3 ，以) ，乃，如m z ( 3 ，毛) 对足够光滑的函数 u ，有 正，6 = t 3 ，如乃，b = t 3 ，如t 3 ，以钉 并且【4 】，【7 】中有以下结论成立 引理1 1 ：若记e = 口一乃，以口，则存在常数c 0 ，使 1 ) 以e 够叫喜e ，三( 等灿 k 叭 z 一e 。略耋e ，一( 踟o x o 、2 ) 出 。小堍键砉仁。薹( 象) 2 d z a 小，协懂喜戛( 象灿 沿y 方向有相同结论 n tn y 俨t 3 ，删r l 础n ) c h 4 ( i i v ( 4 慨) ) ； 仇一t s ，d 仇l l l 2 ( n ) c h 4 文献 6 证明了如下结论 引理1 3 ：对任意a ，卢m l ( 3 ，d ) ，有 。( 两2 7 ) i 1 ( 。，q ) ： z = ( 口z ) z 一去2 5 心 4 咖b蛳 屯 一 f q 如r 厶 d 扪 j 圳 刘 仇 孔z 0 ，使 c 川剧( n ) ! c 川口jj ( n j m ? ( 3 ，占) 证明：由( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 及d ( x ，) 的假定条件，易知 d 。i i i v l l l ；：曼l i l y 巯( n ) d + l l l v l t l ； 。r n o ( 3 ，d ) 由引理1 5 ，引理1 6 ，得 ， 万c 口慨( n ) s c 川川刍sc t 一 冬c 取 e 训训i 言铷训 c n c e 。5 万。2 酉 c 圳l ( n ) c w ( n ) u m ? ( 3 ，6 ) 结论成立，证毕 引理1 8 ：假设对m 1 ( 3 ，6 ) 反假设成立f s j 则对任意”m l ( 3 ，6 ) ，存在常数 c 0 ，使 j | ”| | 刍t ( n ) sc + l i l y ( n ) ) 。君一到刮珊，+(vz(x,yfl)dx+yz12 1 0 v yx ，y ) d y()f ( z ，) = 口( z ： ，协f ) + ， 因为m - ( 3 d ) 中反假设成立，所以由逆估计式及l | | ( n ) 的定义和 5 知，在 m 2 ( 3 6 ) 中，模| | i 陪和l ( n ) 等价，m | | 隆和川( n ) 亦等价，由此可得 ( n ) 和i l ( n ) 等价从而由( 1 2 1 0 ) 易推得结论成立 山东大学硕士学位论文 引理1 9 ：若 m l ( 3 ，d ) ，存在正的常数c ，c | 使 ( 1 2 1 1 ) ( 1 , 2 1 2 ) ci n i l ：( n ) l i l v l | | g k ( n ) 1 l 0 l * ( n ) c h 一1i l v l l l z ( n ) ， i i 训i 硪( n