（应用数学专业论文）地转效应对非线性表面波的影响.pdf

s u p e r v i s e db yp r o f e s s o ry a n gl i a n g u i s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a y , 2 0 1 0 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除 本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 日 舯教师签名铴咝一 日哆纠。6 ，矿 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将学位 论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允许编入有 关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文为保护学院和导 师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作者今后使用涉及在学期间主要研 究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用于发表论文，版权单位必须署名 为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名： 日 移砂厍 期：盘! ! ：亟：! 指导教师签名： 日 地转效应对非线性表面波的影响 摘要 从包含完整地转效应的无粘、不可压缩流体控制方程出发，利用摄动展 开法求得了地转条件下线性和非线性表面波的谐波解，并给出了频散关系 式结果表明，与仅考虑地转垂向分量相比较，在各个波速上增加了随深度增 大的相位延迟因子e i n z 此外，地转水平分量将导致水中波动压强的增加，其 物理意义是地转水平分量对海水混合起重要作用 关键词：地转效应，表面波，频散关系 t h ei n f l u e n c eo ft h e e a r t h sr o t a l t i o no ns u r f a c ew a v e s a b s t r a c t c o n s i d e r i n gt h ee a r t h sr o t a t i o ni n c l u d e di nt h eg o v e r n i n ge q u a t i o n s o ft h ei n v i s c i d 、i m c o m p r e s s i b l ef l u i d s ，t h eh a r m o n i cw a v es o l u t i o n sa n d d i s p e r s i o nr e l a t i o n so ft h el i n e a ra n dn o n l i n e a rs u r f a c ew a v e sa t eo b t a i n e d b yu s i n gt h ep e r t u r b a t i o nm e t h o d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ep h a s ed e - l a y e df a c t o re m zw h i c hi si n c r e a s e dw i t ht h ed e p t hi sa d d e do nt h ee v e r = l r 1wave s p e e d sc o m p a r ew i t ht h et r a d i t i o n aa p p r o x i m a t i o n ( o n l yt h ev e r t i c a l c o m p o n e n to ft h ee a r t h sr o t a t i o ni si n c l u d e di nt h eg o v e r n i n ge q u a t i o n s ) m o r e o v e r ，t h ew a v ep r e s s u r ei si n c r e a s e db yt h e h o r i z o n a lc o m p o n e n to ft h e e a r t h sr o t a t i o n ，p a y s i c a lm e a n i n go fw h i c hi st h a tt h eh o r i z o n a l c o m p o n e n t o ft h ee a r t h sr o t a t i o nr e a c to ns e a w a t e ra d m i x t l 】r e k e y v 矿o r d se a r t h sr o t a t i o ne f f e c t ，s u r f a c ew a v e s ，d i s p e r s i o nr e - l a t i o n i i 第四章地转条件下非线性表面波的解 1 0 4 1 地转条件下非线性表面波的求解1 0 4 2 系数的计算1 3 4 3 结果分析1 7 参考文献 致谢 i i i 2 0 2 2 内蒙古人学硕士学位论文 第一章引言 1 1 表面波研究进展 表面波是最普遍的海洋现象之一，从s t o k e s 【1 l 、b o u s s i n e s q i 2 、r a y l e i g h 3 和k o r t e w e g & d ev h e s 【4 】等开创性工作开始，人们已系统研究了表面波，提出了许多理论对浅水 情形，有描述二维波的b o u s s i n e s q 方程( 见文献【2 】 【5 1 ) 、描述单向传播波的k d v 方程( 见 文献【4 】，【5 】) 、描述弱二维波的k p 方程( 见文献【6 】，【5 1 ) 等 除此之外，k a l 【u t a n i 【。刁利用摄 动方法研究了浅水情形下的不规则底地形对表面长重力波的影响，且当底面简化为 平底时，所得方程即为典型的k d v 方程对深水情形，有非常著名的s t o k e s 波理论( 见文 献【1 】) 等对有限水深情形，m a t s u n o f 8 】利用复变函数理论导出了有限振幅表面重力波一 类新的非线性演化方程等与以前关于表面波的渐进演化方程相比，m a t s u n o 【8 l 所得方程 没有浅水长波限制，可以表示为一个关于波面位移的方程后来，m a t s u n o f 9 】利用复变函 数理论导出了任意深度流体中一组类似于k p 方程的弱二维表面波演化方程，与k p 方 程相比，m a t s u n o 【9 】所得方程对任意水深都成立，且k p 方程为其特例m a t s u n o 1 0 还给出 了底面不规则情形下表面重力波非线性演化方程，该方程同样没有浅水长波限制，因而 对任意水深均适用 利用傅里叶变换方法c h o i 1 1 将m a t s u 玎o 【8 】的有限水深一维表面重力波推广到二维 表面重力波，并且考虑了作用在自由表面上的压力和表面张力d y a c h e n k o 1 2 等利用保 角变换方法和h a m i l t o n i a n 方程，得到了一组关于深水表面波的积分微分方程形式的演 化方程，该方程包含h i l b e r t 变换，形式上更为简单，可精确地描述自由波随时间的演化 d y a c h e n k o 1 3 1 等又将其深水自由表面重力波的情形推广到有限水深情形c h o i 和c a m - a s s a 【14 】又将d y a c h e n k o 等【l 2 】，【l3 】的结果推广到自由表面毛细重力波情形，同时还指出，对 于定常波问题，他们所得到的方程又可以分别简化为b y t t s n l i s h 【l 5 】、s c h w a r z 1 6 、c o k e l e - t 1 1 7 、v a n d e n - b r o e c k 等1 1 8 】利用经典保角变换方法所得到的方程( 见文献f 1 9 】) s o n g 等【2 0 】 利用有限水深水波方程的二阶随机波解，采用特征函数展开的方法得到了波面位移的 统计分布s o n g 等【殂】又得到了两点波面位移的联合统计分布 1 2选题背景及论文结构 在地球物理流体力学中，人们更多的是要考虑地转效应对波动的影响，其数学 上表现为在流体力学n a v i e r - s t o k e s 方程中出现额外的加速度项2 矗才，其中矗： a ( o ，c o s 0 ，s i n 口) 为c o r i 0 1 i s 矢量，才= ( 钍，口，叫) 是三维速度矢量q 是地球旋转角速度，口是 纬度，引入地转效应无疑增加了方程的复杂程度，传统的方法是省略地球旋转水平分 引言 量( 出现在运动方程的纬向和垂直分量上) ，但这种方法在动力学上一直存在争议( 见文 献【2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 】) 近年来，人们越来越重视地转水平分量的作用，w h i t e 纠n 9 】和b u r g e r 通 过对纬向动量平衡的尺度分析表明，对于行星尺度的大气运动，保留地转水平分量是可 取的可以证明在大尺度( 特征尺度l = 1 0 6 m ，u = 1 0 m 8 - - 1 和h = 1 0 4 m ) 中，2 q u c o s 0 磐因此，地转水平分量代表非常重要的非静力效应此外，孙孚【3 u 】依据，平面近似下线 化无粘流体运动方程的一般形式，考虑地转水平分量的作用，首次给出了真正地转意 义下均匀水底上的小振幅波动解赵强，刘式适【3 l 】也研究了地转水平分量对r d s s b y 波的 影响 本文针对无粘、不可压缩流体，考虑完整地转效应，从流体力学基本方程组出发，利 用摄动展开法寻找地转条件下线性及非线性表面波的谐波解寻找谐波解的好处是能 够将方程组中的偏微分方程转化为常微分方程，利用常微分有关知识即可求解论文 最后对所得结果进行了简要分析 本文共分为四章第一章是引言，介绍了表面波的研究进展和选题背景第二章是 流体力学基本方程和边界条件，主要是用r o s s b y 数将地转条件下的运动方程和连续方 程连同边界条件无量纲化，并得到了地转条件下表面波的e o 阶项和1 阶项的控制方程 组第三章主要计算地转条件下线性表面波的解，并给出了频散关系，简要论证了地转 效应对表面波的影响第四章主要计算了地转条件下非线性表面波的解 2 内蒙古大学硕士学位论文 第二章基本方程和边界条件 2 1 流体动力学基本方程 流体动力学基本方程包括连续方程和运动方程，它们是建立波动方程的基础连续 方程【2 2 】为 害+ v 才) = o ( 2 1 1 ) 其中p ，寸分别表示流体的密度和速度当流体不可压缩时，连续方程变为 v ( 才) = 0( 2 1 2 ) 考虑地转效应，其运动方程【2 3 】为 纠等+ 2 矗韧= 一v p + 刀+ 步 ( 2 1 3 ) 其中矗为地球旋转角速度，p 为压强，p 为密度，是用来表示诸如重力之类的保守彻体力 之位势，莎表示流体内的摩擦力，对于无粘流体罗= 0 考虑无粘、不可压缩流体，其控制方程为 害+ u 爰+ 口筹+ 叫爱一加+ 知= 一三p 型o x ( 2 工4 ) 瓦+ t 上瓦+ 口瓦+ 叫瓦一，口+ ，叫2 l 乙l 卅 瓦o v + 乱瓦o v + 口舅+ 伽笔+ n = 一石1 面0 1 ( 2 1 5 ) 瓦+ 乱瓦+ 口丽+ 伽瓦+ r u2 一石瓦 瞄l b j 筹+ u 警+ u 筹+ 叫警+ g 一九= 一丢笔 ( 2 工6 ) 瓦+ u 瓦+ u 瓦十叫瓦+ 一，u2 一；瓦 内 祟+ 祟+ 祟：0 ( 2 1 一7 )r + i + i =【7 ) 其中坐标的x o y 平面与海平面重合，z 轴垂直向上，砖由指向正东，y 轴指向正北夕为重力加 速度，为压强，t ，u ，w 分别表示z ，y ，z 轴上的速度分量，f = 2 f 2 s i n 0 ，= 2 2 c o s 0 ，其中8 是纬 度，是地转垂直分量，是地转水平分量 2 2 边界条件 首先考察运动学边界条件【2 4 1 ，设自由面边界方程为 f ( x ，y ，z ，t ) = 名一叩( z ，y ，t ) = 0 ( 2 2 8 ) 其中7 7 是相对于静水面z = o 的铅直位移该边界为物理边界，即流体质点一旦在此自由 面上，它就永远留在这边界面上，且不离此表面边界对具有速度矢量才( u ，u ，伽) 的自由 面经过出时间后可以描述为 f ( z + u d t ，y + v d t ，z + w d t ，t + d t ) = f ( z m z + ( 箬+ u 篆+ 筹+ 伽箬) d t + o ( 2 = o ( 2 2 9 ) 3 基本方程和边界条件 由( 2 2 8 ) 式，( 2 2 9 ) 变为 即有 等+ 箬+ 口筹+ 叫篆= o面+ 瓦+ 口面+ 叫瓦_ u 切= 象+ u 宝+ u 骞，z = 刀 设底边界为刚性不透水的湿边界，即： 叫= 0 z = - h ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 11 ) 在忽略表面张力的情况下，动力学边界条件取为：，= p 口= o ，z = ，7 综上，边界条件为： t ，= 0 z = 一 钿 a v o i加v , i 加2 磊+ 札瓦+ u 瓦，名2 叩 p = p d = 0 ，z = r 2 3 控制方程和边界条件的无量纲化 ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 对于无粘、不可压缩流体，考虑非传统近似地转影响，其控制方程和边界条件为 o u o u o u a u，一1 叫 瓦+ u 瓦+ 钉瓦+ 瓦一，u + f 叫。一一p 二o a ： a u a t ，孔a u 。 1a 一o t + 乱瓦+ u 丽+ 叫瓦+ f u2 一；- - 面v r 娑+ u 挲+ 口挲+ 伽挲+ g 一，t i ：一三型 ( 2 3 1 5 ) 瓦+ u 瓦+ 口丽+ 伽瓦+一，t i = po z j a 塞+ 骞+ 警= 。 t ，= 0 z = 一h = 象+ 乱塞+ u 赛，z = 叼 4 一 凼蓥直盔堂堡主堂垡笙壅 一一 _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ - _ - - _ _ _ _ _ - _ _ - - 一一一一 首先令矿= p a 一舶z + p 并对动力学边界条件和自由面边界条件在z = o 处作t a y l o r 展开 得到 o uo u a u c 3 u ，； 1a p 瓦+ u 瓦+ 口面+ 叫瓦一， + ，加2 一；瓦 o v o v o v o v ， 1o p 瓦+ 札蕊+ 丽+ 叫瓦+ ，u2 一po y 挈+ u 挈+ u 挈+ 伽挲一九：一兰塑 ( 2 3 1 6 ) 面+ t 正瓦+ u 瓦+ 伽瓦一，u2 一po z 瞄 a u 巩抛 瓦+ 面+ 瓦2 o 伽= 0 z = - h 伽= 裳+ u 爱+ u 宝，z = 0 下面对方程( 2 3 1 6 ) 进行无量纲化令 未裟，p等乙掣ftuu 叩 仁3 ，u ， ) 【，口，伽) ， _ 袁。，叩_ 厂 7 其中阢矗， 分别为速度、时间和水深的特征量，将式( 2 3 1 7 ) 代入方程( 2 3 1 6 ) 中得到 裳+ 出瓦c o u + u 薏+ 伽爱】一知+ 知= 一塞 瓦c o u + 水是+ 口骞十叫爱】十，乱= 一面a p ( 2 3 1 8 ) 等+ 阻筹+ u 等+ 伽蓑1 _ ，u = 一磊c o p 是+ 赛+ 警= o 其中e = 摄( 其中e 为r ( ) s s b y 数) ，磊。，矗_ ，边界条件为： t l ，i ：一l = 0 p = ，7 ，z = 0 q 伽= 象+ 巾爱+ 们舄】，z = 。 ( 2 3 1 9 ) 其中q = 尚为常数 设( u ，u ，叫，p ，叼) = ( t 正o + e u l ，v 0 + e v l ，伽o + e 埘1 ，p o + e p l ，伽+ _ r ) 1 ) ，代入 式( 2 3 1 8 ) ，( 2 3 1 9 ) 中，整理得 5 z = 0 ( 2 3 2 0 ) 和( 2 3 2 1 ) 构成了非传统近似下的线性和非线性表面波问题 6 堕却 如 塑如 o 幻 = z ，堕况 仇 = = h m 鲫 第三章地转条件下线性表面波的解 3 1 地转条件下线性表面波的求解 参考孙孚【3 0 】、刘永军【3 2 | 等的方法，令o o = a e i 妒，设方程( 2 3 2 0 ) 具有下列形式的解 ( u o ，v o ，w o ，p o ) = ( a ，b ，g g ) e 缈 其中妒= l x + m y - a t ，。为常数，a ，b ，c ，g 均为z 的函数设i ：( z ，m ) ，k 2 ：1 2 + m 2 ，将上述待 定函数代入到方程( 2 3 2 0 ) 中，得到 - i a a i s 七| c = 一i l g - i a b + f a = 一i 仇g i 仃c 一，a ：一j d g i l a + t 仇b + 1 d c 一：0 a z c = 0 z = - 1 “= a z = 0 - i a a = a c z = 0 由方程( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 可得 c = 石1 【石d g n ) b 2 砉( i m g + f a ) 将式( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 代入方程( 3 1 1 ) , - - j 得 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) a 2 南 ( i m r ) g 一，警 ( 3 。) 将( 3 i 8 ) ，( 3 1 9 ) ，( 3 1 1 0 ) 代入到连续方程( 3 1 4 ) 中整理得到关于待定函数g 的常微分方程 ( 0 2 - - n 窘m ， 瓦d g + ( m z 尸- - k 2 a 2 ) g ：。( 3 1 1 1 ) 解方程( 3 1 1 1 ) ，其通解为 g = a e a l 。+ q e a 2 。 ( 3 1 1 2 ) 其中a 1 ，a 2 是方程( 3 1 1 1 ) 对应特征方程的两个根，记 a l = i n a ，a 2 = i n + a ， n = 研r u f f ， ( 3 1 1 3 ) 、仃、( 盯2 一f 2 ) 七2 一m 2 ，2 = ；一 口2 一，2 7 堂型丛墼型鳖 下面求解c l ，q ，由c 和g 的关系武( 3 1 8 ) ，( 3 1 1 0 ) ，有 c 2 砉 a 1 研e a l z + a 2 q e a ( 3 1 1 4 1 一南f ( 。口+ i m f ) ( c l e x z + q e 坳) 一，( a 1 仍e a 7 + a 2 q e 址) 1 ( 3 1 1 5 ) 再犁用边界条件( 3 1 5 ) ，( 3 1 7 ) ，即可得到关于劬，伤的方程组 i 呻1 ( 矿一2 ) 一( 1 矿+ 呵) 】e 。t + q ( o r 2 - - ，2 ) 一f ( 1 矿+ 嘶) 】e _ ko 。，n “沪吖2 卜f ( 1 a + i m y ) 坞( a r 2 吖) 一f ( h r + i m f ) 】= 驴( 0 2 _ f 2 _ 产) 解得 “ 。7 白=ao-2(cr赢2_f2-而p)e-,、2sinhaa(a f 2 ( 3 1 1 6 ) 2 一 ) + ，刎 慨l 1 6 ) c 22 麴9 2 一f 2 一户) 一 从而可得到g 的表达式为 2 s 讯 入队( 盯2 一，2 ) 一矗叫 ( 3 1 1 7 ) g = ：夏a j e 蕊m z a ( 盯2 一，2 ) c 。s a ( 1 + 2 ) + f l a s i n h a ( 1 + z ，) 1( 3 1 1 8 ) 由a 和g 的关系式( 3 1 1 0 ) 可得 。 a = a e m z a ( h r + i m f ) 螂州1 刊+ 蓦( i l l - m a ) s i n h , 入( 1 + z ) ( 3 1 1 9 ) 由b 和g 的关系( 3 1 9 ) 式可得 b 2 蕊a e m z 卜( m a - i f l ) c 州1 捌+ 癣( 1 a + i m f ) s i n h a ( 1 + z ) ( 3 1 2 0 ) 由c 和g 的关系式( 3 1 8 ) 可得 c = 一i a a e m z s伽ha(ho。sinha l + 名) ( 3 1 2 1 ) u = 一譬i 1 上_ 、 ，一 。 纠 ( 3 1 由式( 3 1 6 ) ，( 3 1 1 8 ) 可解得频散关系式 仃2 = f 2 4 _ o 。k 2 了- 一f l a z 。n 从 ( 3 1 2 2 ) 当，= ，= o 时，上式退化为( 此时a ：后) 口2 = a k t 口死h k ( 3 1 2 3 1 8 内蒙古人学硕士学位论文 3 2 结果分析 1 从压强的表达式p o = g e i q ”来看，地转水平分量和垂向分量对压强均有影响，其 中地转水平分量，增大了水中波动压强，而垂向分量，不具备该效应，其物理意义是地转 水平分量会对海水混合起重要作用 2 从速度表达式u o = a e i o ，v o = b e i , ，叫o = c e i x o 来看，在各个方向上均增加了相位 延迟因子e i n z ，但地转水平分量和垂向分量对垂向速度w o 均没有影响，即与不考虑地转 的情形一样，但二者对波向速度u o 和横向速度v o 均有影响 3 从频散关系式( 3 1 2 2 ) ，( 3 1 2 3 ) 来看，与不考虑地转情况相比较，地转垂向分量增 大了频率仃，地转水平分量减小了频率口，但地转垂向分量的作用要远远大于地转水平分 量，与仅考虑地转垂向分量情况相比较，频率口变小了 9 地转条件下非线性表面波的解 第四章地转条件下非线性表面波的解 4 1 地转条件下非线性表面波的求解 令叼1 = b e 2 i 妒设方程( 2 3 2 1 ) 具有如卜彤式嗣启竿 ( t 1 ，口1 ，w l ，p 1 ) = ( d ，e ，f ，g ) e 2 渺 其中6 为常数，d ，e ，f 日为z 的待定函数，将式( 4 1 1 ) 代入控制方程( 2 3 2 1 ) 中得到 一2 访d + i l a 2 + i m a b + c 西d a 】一f e + i f = 一2 i f 日 一2 衍e + i l a b + i m b 2 + c 瓦d b 】+ ，d = 一2 i m h 锄盯f 钟啪+ i m b c + c 瓦d c 】一加= 一警 2 l i d + 2 i m e + _ d f ：0 口z f = 0 z = - 1 h 1 = b z = 0 - 2 l a b + a ( i l a + i m b ) = q ez = 0 令 d p l = i f a 2 + i m a b + c d d a z = 一a a d c z + c a _ _ d a z 雪2 = i z a b + i m b 2 + c d d b z = 一b d d c z + c a d b z 圣3 = i l a c + i m b c + c 篆z = o 由( 4 1 4 ) ，( 4 1 3 ) 可得 f = 丽1 ( 西d h 一，d ) e = 2 去a ( 2 i m h + f d + 圣2 ) 将( 4 1 1 2 ) ，( 4 1 1 3 ) 代入到( 4 1 2 ) 中，得到 。= 南 一，警+ ( 4 l a + 2 i m f ) h + 叫 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) ( 4 1 1 0 ) ( 4 1 1 1 ) ( 4 1 1 2 ) ( 4 1 1 3 ) ( 4 1 1 4 ) 其中圣：，圣2 2 i a 1 再将( 4 1 1 2 ) ，( 4 1 1 3 ) 7 6 1 ( 4 1 1 4 ) 代入到连续方程( 4 1 5 ) 中，得到关 于h 的方程 ( 4 a 2 - - n 碧- 4 i m f ：d h z + ( 4 m 2 ，- 1 6 a 2 k 2 ) h 圳z ) 其中 儿) = ( 4 肛2 t m f ) , b 一2 i m ( 4 0 - 2 _ ，2 一，2 ) 圣2 + ，罢 1 0 ( 4 1 1 5 ) ( 4 1 1 6 ) 内蒙古大学硕士学位论文 - - 与式( 4 1 1 5 ) 对应的齐次微分方程为 ( 4 0 2 - - ，2 謦一钺m ，警+ ( 4 m 2 ，- 1 6 a 2 k 2 ) h ：。 ( 4 1 1 7 ) 方程( 4 1 1 7 ) 的通解为 日= c 3 e 卢1 2 + q e 励。 其中伤，q 为常数，尻，尻为方程( 4 1 1 7 ) 对应特征方程的两个根，记 卢1 = i s 一卢，愚= i s + 卢 s = 研2 r u f f ，卢= 虿4 0 ，k 2 ( 4 0 2 _ _ f 2 ) _ _ m 2 2 下面利用常数变易法求解非齐次方程( 4 1 1 5 ) 的通解，设 h ( z ) = c 3 ( z ) d - 。+ q ( z ) e 助。 将( 4 1 2 1 ) 代入方程( 4 1 1 5 ) ，得到关于c ! ；( z ) ，q ( z ) 的方程组 卢q e 即+ & q 护= 岩与 解得 即有 c ( z ) e 卢- 。+ c ( z ) e 励。= 0 q ( z ) = 玩- j 酾( z ) e - 卢l z 吼) = 赫 仍( 名) = 一项酾1 北) e - f l l z d z + 锯 c 4 ( z ) = 獗研1 北) e - & z d z + 将( 4 1 2 4 ) 代入到( 4 1 2 1 ) ，即得非齐次方程( 4 1 1 5 ) 撇i f $ 酢) = 一顽万1 丽北) e - 尻z d z + 瓯 e 即 ( 4 1 1 8 ) ( 4 1 1 9 ) ( 4 1 2 0 ) ( 4 1 2 1 ) ( 4 1 2 2 ) ( 4 1 2 3 ) ( 4 1 2 4 ) + 丽丽北) e - a z z d z + 锯 毋。 ( 4 - 2 5 ) 由f 和日的关系式( 4 1 1 2 ) ，( 4 1 1 4 ) 可解得 f = 五系i 南b 岛( 。) e b l z + 乃a ( z ) 护z 一，圣 ( 4 1 2 6 ) 1 1 地转条件下非线性表面波的解 其中 记 孔= 卢1 ( 4 口2 一f 2 ) 一，( 4 f 口+ 2 i r a f ) 死= 卢2 ( 4 a 2 一f 2 ) ( 4 l o - 4 - 2 i r a f ) r - = f j ( z ) e 一卢1 。出， 恐= 北) e 柏钝 r l l = f g ( z ) e - a l z d z i ：- l r 2 1 m ) e - 励z d zl 。 = fj ( z ) e - a l z d z l 。，r 加= fj ( z ) e - 卢2 z d z 乙 由边界条件( 4 1 6 ) ，( 4 。1 8 ) 可得到关于岛，侥的方程组 其中 t i e p 1 锯+ t 2 e 一励瓯= q , 1 孔c 5 - 4 - 乃c 8 = q 2 q ，= 硒嘉砺b e - b x r l l - - 死e - 如r 2 1 + 加( - 1 ) q 2 = 砀t i r 丽l o 而- t 2 r 2 0 解方程组( 4 1 2 7 ) 可得 + 如( 。) - - 2 0 - 2 ( 4 0 - 2 _ ，2 一产) 一2 兰+ _ 【a 2 饥+ a c o 枞) 】 侥= 杀害 一 q 1 一e - f j l q 2 c 62 t 2 ( e - & - e - z 1 ) 下计算频散关系，由压力条件( 4 1 7 ) 式有 即 即 仍( 0 ) + a ( 0 ) = b 锯+ q = b + 獗r i 研o - r 2 0 q l e - t 勋q 2q l e - 卢1q 2 币孑矿i 巧一面f 百韧 ( 4 1 2 7 ) ( 4 1 2 8 ) ( 4 1 2 9 ) ( 4 1 3 0 ) ( 4 1 3 1 ) ：6 + 坐塑堡一 ( 4 1 3 2 ) 2 2 d + ，( 4 0 - 2 _ f 2 ) 4 1 j z j 式( 4 1 3 2 ) f l 【! 为频散关系表达式 由( 4 1 2 5 ) ，( 4 1 1 2 ) ，( 4 1 1 3 ) ，( 4 1 1 4 ) 式可计算d ，e ，f 的表达式 内蒙古人学硕士学位论文 4 2 系数的计算 本节y f _ 曼讨算q 1 ，q 2 酮表达瓦，目冗订舁r l ，r 2 r = f j ( z ) e 一卢1 2 d z ( 4 2 3 3 ) m ) = 一4 ( m 盯，删舻) 圣1 + ( 4 w 删m 2 铷m ，2 ) 西2 - 2 i a ，警+ ，害( 4 2 3 4 ) 啦一a 篆+ c d a 圣2 = - b d d c z + c 警 ( 4 2 3 5 ) 下面计算圣1 表达式 一a 警= 羔l a + i m f ) c o s h 2 a ( 1 刊 + - n x ( f 盯+ m f ) + 孑i ) 2 t m a f ( i ，z m 口) s 融a ( 1 + z ) c o s h a ( 1 + z ) 一孑n 。m a ，f 。( i ，f m 盯) s i n h 2 入( 1 + z ) ) c 石d a = 未急噼 n m 叩a f ( z 一叫“2 ( 1 a + i r a f ) s i n h 2 a ( 1 刊 ( 4 2 3 6 ) + 阻州m f ) 一辫( 饥一叫】s m m 刊c 枷( 1 刊) ( 4 2 3 7 ) 同理可计算圣2 如下 啦羔i a 2 ( 1 a + i m y )圣1 。孑万丽 啦差翥入i x 2 - - vv a z ( m 川f 1 ) 蛋22 孑七2 5 i n z 入【m 盯一2 将式( 4 2 3 s ) ，( 4 2 3 9 ) 代入到式( 4 2 3 4 ) 中，可得 j ( z ) = j o e 2 “。 其中 于是 ( 4 2 3 8 ) ( 4 2 3 9 ) ( 4 2 4 0 ) 而：羔阳，2 + 2 a 2 ) 一筹( m a 2 - 3 i ，l a + 2 m n ( 4 2 4 1 ) r ，= j of e ( 2 i n - b 1 ) z d z = 互i 元j 兰j 万e c 2 伽一卢1 ) 2 ( 4 2 4 2 ) 地转条件下非线性表面波的解 同理可得 下面计算q 1 ，q 2 ，得到 r 2 = 丽j 鬲o e ( 2 泓岛) ： = 蒜，r 2 0 = 丽j 鬲o r 1 1 = 歪i 磊而j o e 卢1 2 i n ， r 2 1 = 丽j op ，l q - = 丽南b e - b t 丽j 丽oe 卢l - 2 i n _ 耵如志毋q 伽 + ，l f 圣2 ( - - 1 ) 一2 j a i l ( - 1 ) 1 r1 ( 4 2 4 3 ) ( 4 2 4 4 ) ( 4 2 4 5 ) = 高 南一南 + ，端卜h 酊2 + 2 a 2 ) 4 2 4 6 ) 一l+，盟卜川z(f2+2a22in-卢2 o t 2 k 2 s i n h 2 a ) 一j 十j 【o 丌o ，一，j 砌2 ( 4 0 2 - - ，z 一f 2 ) 一2 兰+ 孑a 2 ( 胁 由q 1 ，q 2 的表达式, - 7 i + 算得到q ，舔 岛= 杀筹罱 1 。t 1 ( e - b 1 - e - 励) 既= 端 ( 4 2 4 7 ) 一岛 + ，羔陋h f ( ，2 砌2 ) ) e 咖盯z ( 4 a 2 - ，2 一尸) 【一2 兰+ a 2m + 翮】 + 1 面f 矿硒e ( 4 2 4 8 ) 一志 + ，茹罴卜川f ( ，2 砌2 ) 柏2 盯z ( 4 a 2 - - ，2 一尸) 一2 兰+ a 2 ( 砌m ) 】 ( 4 2 4 9 ) 内蒙古大学硕士学位论文 下计算频散关系令 l 1 ：f l2 f l ( 4 a 2 一f 2 、 l 2 ：2 盯z ( 4 a 2 - ，2 _ 尸) 一2 兰+ 豢( m 】 由压力条件p l = r l l ，z = o ，可得 即 仍+ 仍鲥+ 丽r i 研o - r 2 0 3 m 盯，- 订( ，2 + 2 盯2 ) ) ( 4 2 5 0 ) ( 4 2 5 1 ) ( 4 2 5 2 ) = b + 整理可得 j 0 2 卢( 4 a 2 一f 2 ) 志一丽1 丽 ，( 4 a 2 - ，2 ) l 1 e i ( 8 2 n ) c s c 邶一( 三1 一如) p ( 4 0 - 2 _ ，2 ) c o t h 卢+ 4 1 盯爿 = 互助+ 顼t 研1 t = j o iv i t u一， 下面计算f 的表达式 f = 1 2 i a ( 4 a 2 一f 2 一；2 、 丽1 丽一丽1 鬲 陋伤( z ) e 即+ t 2 c 4 ( z ) 乒2 一，雪 死 一而r 1 + c 5 e 口l z + 疋 r 2 2 ，( 4 a 2 一，2 ) = 丽万与丽 一旦一7 0 e2inz+2f，(4a2-2)2in-1，1 丑岛沙2 2 丽面( 而t q e + 南丽j 鬲o e 2 i n z + 易魄e f l z z _ ，圣) ( 4 2 5 3 ) ( 4 2 5 4 ) + 瓯p 一，畸 地转条件下非线性表面波的解 1 1 万面j o e 研2 i n z 一丽7 丽 1 】+ 乃侥e 卢l z + 死岱e 芦2 z _ 加) 志2 i n 一南2 i n 】书一愚一卢lj 。 + ( l l l 2 ) e s z s i n 卢( 1 + z ) 一l l e i ( s - 2 n ) e i s z 8 i n ，l 卢z c 5 c i l 卢) f 1 2 i a ( 4 a 而f 2 2 一，2 一) l j o e 2 t ”。 2 卢( 4 a 2 一，2 )一南2 i n 一伤j + 【( l 1 一l 2 ) e i s z s n p ( 1 + z ) 一工l e i ( s - 2 n ) e i s z 8 打1 l 卢z c s c 九卢 q a 2 z a i ) s 、i 2 礼e 2 i n 从z 3 m 盯，一以f ( f 2 + 2 a 2 ) 同理，由d 和日的关系可知 一，筹+ ( 4 2 i m f ) h + 叫 一，【q ( z ) e a l z + q ( z ) 乒2 + 卢1 c 3 ( z ) 1 。+ 侥瓯( z ) e 如1 + ( 4 f 盯+ 2 i r a f ) c 3 ( z ) e 即+ q ( z ) e 如2 + 圣 ) =志矿羽黑4la+2ira4a2 f 2 2 ) ( 2 i n 卢1 ) ( 2 i n m 饥力一 一一i ( 4 盯2 一，2 一 一位) 。 。1 1 南4a2f 2 一，2 一 l ( 4 2 5 5 ) + ( 4 l 口+ 2 i m f ) ( c 5 e 风。+ 锯e 励。) 一，( 卢1 酝e 卢- 。+ 虎饶e 如2 ) + 圣) j o e 2 i n 2 ( 4 盯2 一，2 ) ( 2 i n 一卢1 ) ( 2 i n 一侥) 4 f 盯+ 2 i m f 一2 i n 刁 + ( 4 1 a + 2 i m f ) ( c 5 e 卢1 2 + c 6 e 如2 ) 一f ( 卢1 c 5 e 卢l 。+ & c 6 e 虎。) + 簇卜f ( ，2 仙2 ) ) 1 6 ( 4 2 5 6 ) 空一 = = d 内蒙古大学硕十学位论文 4 3 结果分析 在上一节中，我们得到了地转条件下非线性表面波的频散关系式( 4 2 5 4 ) 和波速 式( 4 2 5 5 ) 和式( 4 2 5 6 ) ，但是其表达式已非常复杂，很难从中得出地转水平分量和垂向分 量的作用，为此，在本节我们分别令垂向分量，= o 和水平分量，= 0 ，讨论它们对波要素 的影响 一、f = o 的情况 此时 n = o ，入= 三0 、- - 历丽 s = o ，p = 昙、石i 夏丽 ：n2盯2a2(sk20r2-do 2 恕) a 2 k 2 s i n h 2 a ( 2 mf 2 。 j l 1 - o l 2 = 2 盯2 ( 4 a 2 - 户) ( 一2 兰+ 妄概 式( 4 2 5 4 ) ( 频散关系式) 化为 z , o t h z ( 一2 兰+ 蓦础+ 淼 冉z 小2 尝+ 豢a c o t h a 卜肋：q 4 3 5 7 ) 式( 4 2 5 5 ) ，( 4 2 5 6 ) 可以化为 f = i 巾2 兰+ 篆砌删咖h f l ( 1 + z ) ( 4 3 5 8 ) 。= 去 一2 兰+ 孕a 2 a 玩a p z 她( 1 + z ) 一m 2 ，s 锄 p ( - + z ) ( 4 3 5 9 ) 式( 4 3 5 8 ) ，( 4 3 5 9 ) 说明地转水平分量，对垂向速度没有影响，但会减小波向速度u ，这与线 性结果是一致的在式( 4 3 5 7 ) ，( 4 3 5 s ) ，( 4 3 5 9 ) 中令口= o ，可得 f l c o t h p a 2 + f 知一口= 0 ( 4 3 6 0 ) 盯2 瓦蒜( 一l ，+ 、j 22 + 4 0 r f l c 砒卢) ( 4 3 6 1 ) f = 一2 云i a s i n h ，( 1 + z ) ( 4 3 6 2 ) d = 疏bp a l c o s h 卢( 1 + z ) m 2 ，咖邶( 1 + 2 ) 】 ( 4 3 6 3 ) 上式表明，与线性结果相比较可知，不论是大尺度情况还是小尺度情况，其频率、波速 在数学结构【= 县一致的 1 7 地转条件下非线性表面波的解 二、，= o 的情况 此时 n = 。，a = 丽k o s = 。，卢= 丽4 k a j：一4k2a2a2入2(f2+202)0 a 2 k 2 8 i n h 2 a l ，。一 l 1 = o , 如：2 以4 0 2 _ 一( 一2 兰+ 豢砌枞) 式( 4 2 5 4 ) ( 频散关系式) 化为 p c 郴c 一2 兰+ 孚砌m ，+ 乏熹 仃2 - b k 2 ( 4 3 6 4 ) ( 4 3 6 5 ) d：堕+笔裟著(一2兰+豢a)(41a+2iraf)2a2k2sinh2)、 ( 4 3 邡)u 2 十二萄百i 石j 历一l z 夏十孑 c 仉n 、八 卜朋u ， 式( 4 3 6 5 ) ，( 4 3 6 6 ) 说明地转垂直分量，对垂向速度没有影响，但会增大波向速度乱，这与线 性结果是一致的在式( 4 3 6 4 ) ，( 4 3 6 5 ) ，( 4 3 6 6 ) 中令口= o ，可得 拈三，2 + 高 f ：一2 皂i 盯s 拥