（车辆工程专业论文）计算机辅助造型设计中的车身表面光顺技术.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 计算机辅助设计及非接触三维扫描技术在汽车车身造型设计中的应用，不仅 大大缩短了汽车车型的开发周期，而且还显著地提高了汽车车身造型设计的质 量。由于所设计的汽车车身表面光顺性的好坏不仅对汽车的动力性和经济性有一 定的影响，而且还会影响到车身表面的制造质量。因此，光顺性问题在汽车车身 造型设计中显得非常重要，是汽车车身造型设计软件开发公司和各大汽车公司研 究的重点之一。 汽车车身造型设计的一般程序是：效果图设计一一模型制作一一模型审定 与修改一一模型的三维测量一一构建车身表面的数字模型。本文利用对一款新开 发微型电动汽车模型进行三维扫描测量所获得的点云数据，深入研究了提高曲 线、曲线构建效率等问题，并对曲线、曲面的光顺理论和算法进行了一些有益的 探索： ( 1 ) 采用节点插入与删除、曲线升阶与降阶并举的方法，以尽可能使瞌线族 参数一致化。 ( 2 ) 欲使构建的曲线、曲面光顺，其前提是曲线连续和曲面连续。为此对曲 线曲面连续的条件和算法进行了研究。 ( 3 ) 通过对曲线、曲面光顺准则的研究发现，曲线、曲面的光顺还应满足生 产工艺的要求。这一准则的提出为光顺的量控提供了依据。 ( 4 ) 在对汽车车身造型设计中常用的几种曲线、曲面光顺算法研究的基础上， 提出一种能量优化的计算方法，并将这一算法推广到n u r b s 中。 ( 5 ) 分片处理可以减少用能量法进行曲面光顺处理的数据量。 本文所提出的能量优化算法可使车身表面曲率的变化较均匀，应变能较小， 具有良好的光顺效果。 关键词：光顺理论，能量优亿 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ea p p l i c a t i o ni nt h ea u t o m o b i l eb o d ys h a p e d e s i g n i n g 、v i t l lc a d ( c o m p u t e r a i d e dd e s i g n ) a n dn o n c o n t a c t e dt h r e e d i m e n t i o n a ls c a n n i n gt e c h n o l o g yi sn o to n l y d e c r e a s eg r e a t l yt h ec y c l eo fr e s e a r c h i n gt h ev e h i c l es h a p eb u ta l s oi m p r o v eg r e a t l y t h eq u a l i t yo ft h ea u t o m o b i l es h a p es c u l p t b e s i d e s ，t h ef a i r n e s so ft h ea u t o m o b i l e s b o d yh a sn o to n l yi n f l u e n c eo nt h ed y n a m i c a lp a r a m e t e ra n de c o n o m i cp a r a m e t e rb u t a l s ot h em a n u f a c t u r eq u a l i t yo ft h ea u t o m o b i l e t h e r e f o r e ，t h ep r o b l e mo ff a i r i n g b e c o m e sv e r yi m p o r t a n ti nt h ea u t o m o b i l eb o d ys h a p e - d e s i g n i n g ，i ti so n eo ft h e r e s e a r c he m p h a s e so ft h ea u t o m o b i l eb o d ys h a p e d e s i g n i n gs o f t w a r ee m p o l d e r e d c o m p a n i e sa n dt h ea u t o m o b i l ec o m p a n i e s t h ec o m m o n l yp r o g r a m m eo fd e s i g n i n gt h ea u t o m o b i l eb o d yi st od r a wr o m a n c e p i c t u r e ，t om a k em o d e l ，t oe x a m i n ea n de d i tm o d e l ，t om e a s u r em o d e la n dt oc o n s t r u c t ad i g i t a la u t o m o b i l e sb o d ym o d e l t h r o r i g ht h ep o i n td a t ao fa ne l e c t r i c a lm i n i s i z e v e h i c l em o d e lw i t ht h r e e d i m e n t i o n a is c a n n i n gm e a s u r e ，w er e s e a r c hd e e p l yt h e p r o b l e mo ni m p r o v i n gt h ee f f i c i e n c yo f c o n s t r u c t i n gc u r v ea n ds u r f a c e b e s i d e s ，s o m e t h e o r i e sa n dt e c h n i c so f c u r v ea n ds u r f a c ea r ea l s os i g n i f i c a t i v ee x p l o r e d ( t ) b o t ht h er e m o v a lo ri n s e r t i o no f k n o ta n dt h ee l e v a t i o no rr e d u c t i o no f d e g r e e a r eu s e dt ou n i f o r mag r o u po f c u r v e s p a r a m e t e r s ( 2 ) n 怆c o n t i n u i t yo fc u r v ea n ds u r f a c ea r er e q u i r e di nt h ef a i r n e s so fc u a w ea n d s u r f a c e w ea l s og i v et h ec o n d i t i o na n dt h ea r i t h m e t i c so ft h ec o n t i n u i t yo fc u r v ea n d s u r f a c e ( 3 ) t h ef a i m e s so fc u r v ea n ds u r f a c em u s tb em e e tt h en e e do ft h ep r o d u c t i o n t e c h n i c st h r o u g ht h er e s e a r c ho nt h ef a i r n e s sm l eo fc u r v ea n ds u r f a c e t h i sm l ew i l l p r o v i d et h eb a s i sf o rt h eq u a n t i f i c a t i o no ff a i r n e s s ( 4 ) b a s e do nr e s e a r c h i n gs e v e r a la r i t h m e t i c so ff a i r i n gc u r v ea n ds u r f a c ei n a u t o m o b i l eb o d ys h a p e - d e s i g n i n g w ea f f o r dae n e r g yo p t i m i z a t i o nm e t h o dw h i c h c a nb ee x t e n d e dt ot h en u r b s ( s m l ep r o c e s so fd i v i d i n gs u r f a c e sc a nd e c r e a s et h ed a t aq u a n t i t yi nf a i r i n gs u r f a c e w i t he n e r g ym e t h o d t h ee n e r g yo p t i m i z a t i o nm e t h o di nt h i sp a p e rc a nm a k et h ee v e nf l u c t u a t i o no f c u r v a t u r eo f t h ea u t o m o b i l eb o d ya n dt h es m a l ls t r a i ne n e r g y k e yw o r d ：f a i r n e s st h e o r y , e n e r g yo p t i m i z a t i o n 2 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章概论 汽车车身造型是车身开发系统中最为基础的一个环节，是造型设计师在汽车 工业中用来传递创作思想的一种信息载体。传统的车身造型方法的特点是手工作 业，设计师通过画稿、三视线条图、纸板模型、小比例模型以及全尺寸油泥模型 这样的一些步骤，再用三坐标仪测量车身的表面，并将其转化为线条数据，然后 把数据绘成图形，如此所获得的曲线、曲面并不可能光顺美观。因为汽车全尺寸 油泥模型上的任何形状都是复杂的三维曲面，将三坐标仪所测得的数据转化成车 身外形的三个视图的曲线图形，可能从各个视图上难以看出不光顺的情况。这就 需要造型师十分认真细微地审察每条曲线在三个视图上是否光滑平顺。造型师从 侧面观察一条长达数米的曲线，很难发现曲线上微小的不光顺缺陷，只有将眼睛 置于图表面附近，从曲线端点附近方向反复观察才易于发现曲线上的缺点。然后 对其进行反复修改调整，直到三个视图都达到满意的效果。显而易见这种传统的 车身造型是一种不断在图纸和模型之间，模型和模具之间的反馈技术，工作量大， 精度差，设计周期长。 现代汽车车身造型设计，则是大规模采用计算机辅助作业，利用三维激光扫 描仪对最终油泥模型进行测量，通过专门的逆向设计软件，在计算机中建立车身 的三维数字模型。它不仅可以快速而精确地进行修改，将曲线和曲面旋转不同的 角度进行观察和光顺，而且还可以通过计算机网络将各台计算机上设计的零件调 集到一起进行装配和检查。 1 1 车身表面光顺的意义 随着经济的快速发展，人们在购买汽车时，对汽车外形的要求越来越高， 对于相同档次的汽车来说，通常性能相差无几，促进用户购买汽车的重要原因多 是车身外形是否符合用户的审美要求。据调查，用户购买汽车的因素中，汽车性 能占2 0 ，车身外形占8 0 。虽然人们对车身外形的审美要求相当复杂，但车 身外表是否光顺却是一个较为一致的评价指标。此外，汽车表面光顾水平的高低 还会影响汽车的性能。表面光顺的汽车其空气阻力系数小，汽车的动力性和经济 性都会相应提高。还有，若设计出的汽车车身，其曲线、曲面的光顺性不好，还 会影响到后继对汽车车身结构强度的有限元分析和车身的制造。在汽车车身的制 造过程中，若车身覆盖件光滑连续，则金属在冲压加工时的流动性好，冲压质量 易于保证；否则材料流动困难，容易受到不均匀拉伸，如此在成型过程中钢板容 易出现开裂、起皱。 综上所述，研究和发展汽车车身表面光顺技术有着重要的实际意义。 1 2 曲线曲面造型的发展 6 武汉理工大学硕士学位论文 过去的设计人员常采用模线样板法表示和传递自由型曲线和曲面的形状。这 种方法要求设计和制造者付出繁重的体力劳动，制造精度低，互换协调性差，不 能适应现代汽车工业的发展。因此人们开始寻找用数学方法唯一定义自由型曲线 和曲面的形状，从而将形状信息从模拟量传递改变为数字量传递。 曲线曲面的造型设计已经历了5 0 多年的发展。1 9 6 3 年美国波音飞机公司的 弗格森首先提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数方法。他最早引入参数三次曲 线，构造了组合曲线和有四角点的位置及两个方向的切矢定义的弗格森双三次曲 面片。1 9 6 4 年，美国麻省理工学院的孔斯给出了有封闭曲线的四条边界就可以 定义一块曲面片的方法。法国雷诺汽车公司的贝齐尔于19 7 1 年提出了有控制多 边形定义曲线的方法，设计人员只要移动控制点就可以方便地修改曲线的形状， 而且形状的变化完全在意料之中。此方法简单易用，漂亮地解决了整体形状控制 问题，被人们广为采用。随后美国通用汽车公司的戈登和里森费尔德于1 9 7 4 年 提出了b 样条曲线曲面。它继承了贝齐尔方法的优点，较成功地解决了此方法的 缺点。到了8 0 年代后期，非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法成为用于曲线曲面描述 的最为广泛流行的技术。非有理与有理贝齐尔和非有理b 样条曲线曲面都被统一 在n u r b s 标准形式之中，因而可以采用统一的数据库。国际标准组织( i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工业产品数据交换的国际标准，把n u r b s 作为定义工业产品形状的 唯一数学方法。 1 3 国内外对光顺问题的研究状况 国际上对光顺问题的研究大约始于6 0 年代初期，最d , - - 乘法是当时最有影 响的一种方法。该方法中三次样条函数取截断幂级数表示，在采用样条的剪力跃 度平方和作为目标函数的基础上，根据具体问题的要求，按经验人为地绘定两组 权因子，其中一组为偏离权，另一组为光顺权。极小化目标函数得到光顺结果， 使得偏离和光顺，即型值点的偏差和代表样条在型值点处回弹力的剪力跃度两方 面得到兼顾。 1 9 6 9 年，h o s a k a 在能量极值原理的基础上给出了一种包括光顺空间曲线和 大挠度曲线在内的光顺方法。其基本思想同最小二乘法一样，是偏离和光顺两部 分的加权平均，不同之处在于采用累加弦长三次参数样条作为拟合曲线，且目标 函数中的剪力跃度改成样条的能量积分。 1 9 8 3 年，k j e ll a n d e r 提出一种参数三次样条曲线和双参数样条曲面的局部 光顺方法。该方法利用与坏型值点相邻的两个型值点和这两点处的切矢信息，在 允许误差范围内将坏点移动到较好的位置以得到光顺的曲线。该方法是局部修改 型值点，故只对坏点进行处理，而不需改变全部型值点，但它不能从理论上证明 修改后的曲线比原曲线光顺。 7 武汉理工大学硕士学位论文 1 9 8 7 年，法林( f a r i n ) 等提出了一种通过“节点消去与插入”对b 样条 曲线进行光顺的方法。该方法是局部选点修改法，依据所给定的光顺准则，找到 曲线上需要修改的点所对应的节点，利用b 样条曲线的节点消去算法消去该节 点，以使曲线在该节点对应的点处的光顺性得到提高，此后，为了保持曲线的节 点结构不变，再重新插入被消去的节点。 国内学者在光顺处理方面也作了一些有益的探索。 1 9 7 4 年，山东大学和沪东造船厂协作，在船体数学放样的实践中，提出了 圆率法。该方法是局部选点修改法，直接从离散型值点分布的几何位置出发判断 型值点列的光顺性，进而找出坏点予以光顺修改，故偏差不会像整体光顺法那样 大。 同年，苏步青和忻元龙提出了基样条法。该方法首先构造插值三次样条函数， 然后找出使曲线二阶导数符号序列连续变号的点进行初光顺，以消除多余拐点， 再找出使二阶导数插分符号序列连续变号的点进行精光顺，光顺过程采用剪力跃 度平方和作为目标函数。 1 9 7 5 年，齐东旭等提出了一种强调保凸性质的数值拟合方法，称为磨光法。 该方法首先利用构造的磨光函数对原曲线进行磨光，同时强调保凸，若这样处理 的偏离太大，则再采用一种叫做“掇亏修正”的方法进行补救。一般来说，经过 修正以后的磨光函数将更接近于原型值点，使得偏离变小。 19 7 8 年，董光昌提出了回弹法。该方法通过新老两组型值点交替的固定和 回弹，使样条的能量逐次减少，曲线也就趋向光顺。可以看作是一种迭代逼近的 能量法，它把平直段的坏点挑出来加以局部处理，保证了曲线的弯曲方向。 近年来，还出现了基于可变形模型进行曲线曲面光顺、基于小波分析进行 曲线曲面光顺等新的光顺思想和方法。 1 4 选题的背景和依据 汽车造型设计师根据构思的效果图，制作车身的全尺寸油泥模型，然后送到 风洞实验室去评估汽车的空气动力学性能，再根据实验结果对模型进行反复地修 改，直到获得满意的结果为止。那末，如何把最终的油泥模型精确丽又快速地输 入到计算机中去，是制造业面临的实际问题。基于这种状况，在c a d c a m 中又发 展出一个相对独立的技术，称为逆向工程。它是将实物转变为c a d 模型的数字化 技术、几何模型重建技术和产品制造技术的总称，还是将已有产品或实物模型转 化为工程设计模型和概念模型，在此基础上对已有产品进行解剖、深化和再创造 的过程。逆向工程有两个主要的内容：一是样件数据采集技术，即数字化技术； 二是曲面重构技术。对于复杂曲面重构的研究，目前也相当活跃。市场上已出现 8 武汉理工大学硕士学位论文 了多种逆向工程软件，如i m a g e w a r e 、r a p i d f o r m 、p o l y w o r k s 、c o p y c a d 等。由 于理论和方法上的限制，各种软件都没有达到理想的使用性能。由于i m a g e w a r e 采用了先进的n u r b s 曲面模型，与u g 、c a t i a 、p r o e 软件采用的曲面描述方法 相同，此外，u g 软件已经实现了直接读取i m a g e w a r e 软件文件功能，因此对于 汽车车身造型设计，将u g 和i m a g e w a r e 进行结合是个不错的选择。 在对数据的采集和曲面重建过程中，由于外界因素、人为因素以及数字化过 程存在的误差，曲面光顺变得尤为重要。因而针对复杂曲面产品造型的逆向工程 c a d 建模问题，应进一步研究光顺的曲面拟合问题，使得曲面拟合既有很高的精 确度，油有良好的光顺性。 1 5 本课题研究的内容 本文研究的主要内容有： i 一般曲线和蓝面的表示及其性质。 2 贝齐尔曲线和曲面、b 样条曲线和曲面、n u r b s 曲线和曲面的表示及 相应的算法，其中包括样条曲线的升阶和降阶以及节点的插人和删除算法等。 3 曲线和曲面的光顺准则。 4 结合能量法和最小二乘法提出了一种能量优化算法。 5 曲面分片能量算法的研究。 6 曲线之间的连续性和曲面之间的连续性研究。 7 汽车车身造型设计中常用的光顺方法。 8 曲线和曲面光顺性的检验与分析。 9 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章曲线曲面理论及其算法 2 1 曲线的基本理论 2 1 1 曲线的参数表示 在解析几何中，空间曲线上一点p 的每个坐标被表示成某个参数u 的函数， 即：x = x ( “) ，y = y ( “) ，z = z ) 。把三个方程合写在一起三个坐标分量就 组成了曲线上该点的位置矢量，曲线被表示为参数u 的矢函数。 p ( ”) = 【x ，y ，= 】= l ( “) ，y ( “) ，z ( “) 它的每个坐标分量都是以参数u 为变量的标量函数。这种矢量表示等价于笛卡尔 分量表示。 p ( 越) = x ( 拼) j + _ y ( “) ，+ = ( 村) 矗 其中f ，j ，k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴正向的三个单位矢量。常把上述方程简记为： p = p ( “) 这不仅仅是一种简洁的记法，更重要的是将曲线上表示一个点位置矢量的各个分 量合写一起当成一个整体。我们所要考察的正是这个整体而不是组成这个整体的 各个分量；考察曲线上点之间的相对位置关系而不是他们与所取坐标之间的关 系。 按照这种原理，可把曲面表示为双参数u 和w 的矢函数。 与非参数形式相比，它能较好地满足形状数学描述的要求其优点是： 1 满足几何不变性的要求 2 易于规定曲线、曲面的范围 3 易于表示空间曲线 4 易予计算曲线、曲面上的点及其它信息 5 易于处理多值问题 6 提供了对曲线、曲面形状控制的较多自由度 7 为向高维问题推广提供了可能性 2 1 2 曲线的切矢 由于曲线上的点是参数u 的矢函数，就可以将曲线对参数求导。曲线对参数 u 求导就等于各个分量分别对参数u 求导。即对于曲线 p ( ) = x ( “) y ( “) z ( “) 则 m ) i d pj 掣掣掣l h ) 武汉理工大学硕士学位论文 曲线在“= u o 处的一阶导矢为： p ( ) = 如出专# 盟 ( 2 十2 ) 矢量p ( + 血) 一p ) 表示曲线上从点p ( ) 到p ( u 。+ a u ) 的一个矢量，除以 a u ，方向不变。当a u o 时，则p ( u 。+ a u ) 。p ( ) ，p ( + ”) 一p ( ) 就表 示曲线在p ) 点处切线方向的一个矢量。一阶导矢p ( ) 被称为曲线在i , l = l d 0 处 的切矢。类似的可以给出曲线在z ，= i i o 处的高阶导矢。不同于作为绝对矢量的位 置矢量。切矢以及各阶导矢都是相对矢量，可在空间任意平移。图2 一l 表明该切 矢为曲线在p ( ) 点处的切矢，我们把它看作附着于p ( ) 点的一个矢量，使其 矢量起点始于p ( ) 。 图2 - 1 曲线上一点p ( u ) 的切矢p ( ”) 与二阶导矢p ( u ) 曲线采用参数表示后，就有了方向。曲线的方向对应于曲线上参数增加的方 向。曲线在一点的方向即曲线在该点的切线方向，也就是曲线在该点的切矢方向。 如果p ( u o ) = 0 ，则曲线在p ( ) 点处的切线方向就不能由该点处的一阶导矢确 定。这时，可由曲线在该点处的最低阶非零矢量的方向决定。 曲线上任一点关于参数u 的一阶导矢为零时，被说成是切矢消失，这样的点 称为奇点。曲线上切矢为非零矢量的点称为正则点。对给定曲线进行参数化时， 若在参数域内处处一阶导矢为非零矢量，则称该参数化为正则的，所定义的曲线 称正则曲线。 2 1 3 曲线论的基本公式 过曲线上一点处切矢的平面都是曲线在该点的切平面。其中有一个平面与 曲线最为贴近，称为密切面。它由该点处相互不平行的一、二阶导矢p 与决定， 其单位法矢为 b 称为副法矢，与b ，t ( 单位切矢) 都垂 ( 2 - 1 3 ) 合右手定则的单位矢量 武汉理工大学硕士学位论文 行= b t =( 2 - i - 4 ) 称为主法矢。 将曲线在一点处的三个单位矢量t ，n ，b 用来作为坐标轴方向的基矢量，则 在该点处构成一个局部坐标系。当参数u 连续变化时，该坐标系就连续发生平移 和旋转，成为曲线上的一个活动坐标系，称为弗朗内特( f r e n e t ) 活动标架。 有了活动标架，则曲线在任一点处邻近的性态就可在该点处的活动标架内考 察。该点处的任一个矢量就可表示成活动标架上三个矢量的线性组合。把三个基 矢量t ，n ，b 分别再对弧长s 求导，就得到曲线论的基本公式( 即f r e n e t s e r r e t 公式) 。 = 睢洲 ， 其中k 为曲率，r 为挠率。f r e n e t - - s e r r e t 的几何意义见图2 2 。 n _ h 图2 - 2f r e n e t s e r r e t 公式的几何意义 2 1 4 曲线的曲率 在微积分中，平面曲线在一点处的曲率定义为切线方向对于弧长的导数 警，这里我们先看看在弗朗内特活动标架中的曲率k 的几何意义。 设口为切矢 ( s ) 和r ( s + 缸) 间的夹角，如图2 - 3 所示。其曲率为： 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 酬= 阱慨幽 = l i m 幽a ti i a 血o l ( 2 - 1 - 6 ) t ( 善) t ( 图2 - 3 曲线的切矢 因为当曲线以弧长为参数时，其切矢为单位矢量，故i f ( s ) i = ( s + 厶) l = 1 弦长l 出| 与夹角口之比的极限为1 ，由此得到： 拈l i m a t ) = 警( 2 - 1 - 7 ) = ：。卜：铲为 协h ， ：。，曲线的挠率 阿 、“。 式中r 为挠率，其绝对值为 j r i = l 罢i = 。l i + m 。i a b ，l = 。l i m 。l a p b i l a 8 ，| ( 2 - 1 - 9 ) 式中a o 为副法矢6 ( s ) 和b ( s + a s ) 间的夹角。类似地，因副法矢6 为单位矢量， 故1 6 ( s ) l = p ( s + 血) i = l ，6 与口之比的极限为1 。因此，可得挠率r 。 武汉理7 - 大学硕士学位论文 地_ 0 i l 即曲线在一点的挠率等于副法矢( 或密切面) 对弧长的转动率。挠率的符号规定如 下： 当点沿曲线正向移动时，占与m 反向，则r 取正号；反之取负号。 对于一般参数曲线p = p ( t 1 ，挠率f 的表达式为： 2 2 曲面的基本理论 2 2 1 曲面的表示 一般的曲面可以表示为 ( p 。，一：一”) ”丽 z = s ( x ，y ) ( 2 - 2 1 ) 或 f ( x ，y ，z ) = 0 ( 2 - 2 2 ) 但是在c a g d 和c a d c a m 中，一般的曲面方程的次数往往很高，通常是三阶 或三阶以上，用参数表示更具有优越性。曲面的参数方程含有两个参数“和w ， 其表达式为： x = x ( u ，w 1 y = y ( u ，w ) ( 2 - 2 - 3 ) 三= z ( u ，w 1 参数材和w 的变化区间常取为单位正方形，即“，w , a o , 1 】，曲面的矢量方程是以 茗，y ，z 为坐标的双参数矢函数： ，= r ( 甜，w ) = ( x ( 就，w ) ，y ( u ，w ) ，z ( ，w ) ) ( 2 - 2 4 ) 式中三个分量x ，y ，z 都是参数”和w 的二元可微函数。当( z , w ) 在单位正方形 甜，w 【o ，1 】中连续变化时，与其对应的点( x ，y ，z ) 就形成一张曲面。正常情况下， 参数内的点与曲面上的点构成一一对应的映射关系。 2 2 2 曲面的参数睦线 设曲面的矢量方程为 r = r ( ”，w ) - - ( x ( u ，w ) ，y ( u ，, o z ( u ，w ) w e 【o ，1 1 ) 当“= o 时，代人上式得到 ，= ，u o ，w ) = ( x ( ，w ) ，y ( u o ，w ) z ( u o ，w ) ) ( 2 - 2 5 ) 这是单参数w 的矢函数，表示曲面上一条沿w 参数方向的空间曲线，称为w 向线 武汉理工大学硕士学位论文 或者w 一曲线，类似地，可定义“向线，即 ，= r ( u ，w 0 ) = ( x ( u ，w o ) ，y ( u ，w o ) z ( “，w o ) ) ( 2 - 2 6 ) w 向线和u 向线统称为曲面的参数曲线，亦称等参数线。w 向和“向两组参 数曲线构成了整张曲面。甜= 0 或者“= 1 的参数曲线，= r ( o ，w ) 和，= r ( 1 ，w 1 以及 w = 0 和w = 1 的参数曲线r = r ( u ，0 ) 和，= r ( u ，1 ) 统称为边界曲线。相邻边界曲线 间的交点r ( o ，o ) ，r ( o ，1 ) ，r ( 1 ，0 ) 和r ( 1 ，1 ) 统称为嗌面的四个角点。 2 2 3 参数曲线的切矢 设二元函数为 ，= r ( u ，w ) 则有微积分学可知，对”和w 的偏导数分别为 砉= 。( 删) = 概巫瓮掣业 嘉= 。( 州) = 热巫等乒鲥 通常，偏导数吒( “，w ) 和( 材，w ) 仍是“，w 的二元函数，继续对“，w 求偏导数， 可得到四个二阶偏导数： 未( 言 = 笔= 未( 嘉) = 凳= 其中和称为二阶混合偏导数，二阶连续时，两者相同。 在曲面上的r = r ( u ，w ) 上一点鼻( “。w f ) 处总有一条w 线和“线，“线在该点 处的切矢即关于”的偏导矢( ，w ) = 堡掣i 。称为”向切矢，切矢的方向指 向参数, 的增长方向。w 线在该点的切矢即关于w 的偏导矢 1 5 岳嘉 加一锄 甜一跏 a 一挑 a 一抛 武汉理工大学硕士学位论文 。( w f ) = 堡鲁岩k 叶称为w 向切矢。它的方向指向参数w 增长的方向。 2 2 4 曲面上任意曲线的切矢和曲面的法矢 1 曲面上的曲线 设曲面方程为 r = - ( “，w ) = ( x ( ，w ) ，y ( u ，w ) ，z ( “，w ) )“，w 【o ，l 】 令参数“，w k 是另一个参数r 的函数，即 “= “( f ) ，w = w ( f ) 将其代人曲面方程，得： r = r “( r ) ，w ( r ) = x “( f ) ，w ( r ) ，y “( f ) ，w ( r ) ，z “( ，) ，w ( r ) ( 2 - 2 7 ) 当r 变动时，就得到一条曲线，称为曲面上的任意一条曲线。 2 曲面上曲线的切矢 应用复合函数求导，则曲面上曲线的切矢可表示为 办“1幽咖 彳2 百+ o i =ixu百du+警，咒石du+儿警，毛警+钆警i(2-2-8xu x w， 2 百+ i ，咒石+ 儿i ，毛i + 钆百l 式中，：i ，为坐标曲线的切矢。式( 2 - 2 8 ) 表明，曲面上过某点的任何一条曲线 的切矢都处在由切矢屹，0 所张成的平面内，该平面称为曲面在该点的切平面。 3 曲面的法矢 上述切平面的法矢就是该平面在该点的法矢( 见图2 4 ，其方向和大小由 x 0 求得) ，即： 胛：# 马 h o i 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 图2 - 4 曲面上的曲线及其切矢和曲面上的法矢 4 曲面的法矢、切平面和法线的计算 给定曲面r = r ( u ，w ) 上的一点户( ，y o ，z o ) ，其“向和w 向切矢分别为 吒= ( 吒，虬，乞) 和o - - ( x 。，y w ，气) ，则曲面在点处的法矢为： 式( 2 2 - 9 ) 中 切平面方程为 j 虬 y 。 = ( 芰三) ，( 芝乏 ，( 乏芰 = ( 4 ，b ，c ) f 儿毛、 肚i y ，z ，尸舻叫 丑= 眨t 舟乞，屯, z ，x 。， ，f 屯咒1 l x 。n j 毡儿吖执 ( 2 2 9 ) a ( x 一) + b ( y y o ) + c ( z - z 。) = o ( 2 - 2 - 1 0 ) 1 7 ，k h ，。l = o x 0 武汉理工大学硕士学位论文 法线方程为 或 x = x o + a t y = y o + b tr ( 埘，栅) ( 2 2 1 1 ) z = z o + c t x - x o ：丛：塑 爿bc ( 2 - 2 1 2 ) 2 3 贝齐尔曲线和贝齐尔曲面 在汽车车身造型设计中，许多自由曲面是通过自由曲线来构造的。对于自 由曲线的设计，设计人员经常需要构建出曲线的形状，并对其进行灵活地调整， 经过多次修改，达到设计要求。贝齐尔方法的出现使得上述操作变为现实。贝齐 尔曲线是2 0 世纪7 0 年代法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔提出的自由曲线模 型，由于依据较少的控制点就能实现对曲线的操作和控制，因而它成为计算机辅 助几何设计中先进的设计方法之一。 2 3 1 贝齐尔曲线的定义 贝齐尔曲线的方程为： r ( u ) - - 以，( 甜) k i = o ( 2 - 3 1 ) 其中n 为贝齐尔曲线的次数，i 为特征多边形顶点数，0 i ，”为参数， o us1 。巧是特征多边形顶点的位置矢量，以，。( “) 是伯恩斯坦基函数。 以，。( “) = q ( 1 - u ) ”。 ( 2 - 3 2 ) 组合数c 为： 。 n ! l 一2 丽 2 斗3 ) 当疗= 3 时，由式( 2 - 3 1 ) 可得到三次伯恩斯坦基函数 也。( m ) = 四“。( 1 一“) 3 以。，( 甜) = 嘞( 1 一甜) 2 = 3 u ( 1 一越) 2 ，：( “) = 四“2 ( 卜“) = 3 u 2 ( 1 - “) ( 2 - 3 4 ) 以，( “) = q 矿( 卜“) 。= 甜3 1 8 武汉理工大学硕士学位论文 三次贝齐尔曲线可表示为： 3 r ( 甜) = 以，( h ) k i = o = ( 1 一“) 33 u ( 1 一“) 23 u 2 ( 1 一“) 材3 ，0 ”1( 2 - 3 5 ) 由上式可知，只要给定特征多边形4 个顶点的未知量v o ，k ，v 2 ，k ，并利用 式( 2 - 3 5 ) ，即可构造一条三次贝齐尔曲线，如图2 - 5 所示。 图2 - 5 三次贝齐尔曲线 贝齐尔曲线有以下性质： 端点性质 曲线的端点通过特征多边形酋末点，且曲线在起点处与终点 处分别同特征多边形的第一条边与最后一条边相切，即： r ( o ) = r ( 1 ) = k ( 2 - 3 6 ) 由伯恩斯坦基函数的性质可得： r b ) = 以肛) k = 咒k 如卜。( “) 一“，( “) ( 。以，( “) = “。( “) 一“小) ) = 一( k k 一，m 。( “) 则： r ( o ) = 胛( k - v o ) = f a l r ( 1 ) = 门( k - v 一，) = 慨 ( 2 - 3 - 7 ) ( 2 - 3 - 8 ) 武汉理工大学硕士学位论文 r ”( o ) = 胛( 行一1 ) ( 一k ) 一( k - v o ) = 聆( 行一1 ) ( 口2 一q ) ( 2 3 9 ) ，。( 1 ) = n ( 一一1 ) ( 一k 一。) 一( k 一。一k 一：) = ”( 阿一1 ) ( 以一一，) ( 2 - 3 1 0 ) 对称性 如果保持贝齐尔曲线的各个顶点k 的位置保持不变，只把它们的次序完全 颠倒，可得到新的多边形顶点k ，由它们构成的新的贝齐尔曲线与原来的曲线 是同一条，只不过走向相反，如下图2 - 6 所示。 珂 矿 图2 - 6 贝齐尔曲线的对称性 凸包性质 对于任何“l o ，l i ，r ( ) 必落在其特征多边形顶点张成的凸包内，即贝齐尔 曲线完全包含在这一凸包之中。这个凸包性质有助于设计人员根据多边形顶点的 位置，事先估计相应曲线的存在范围。如当”= l 时，和k 张成的凸包就是r o y , 线段上的全部点；当订= 2 时，v o 、巧、k 张成的凸包就是k k k ；当特征多边 形有凸有凹时，其相应的凸包为k k k k k ，如图2 - 7 所示。 图2 7 贝齐尔曲线的凸包性 最大影响点 移动阼次贝齐尔蓝线的第i 个控制点k ，将对曲线上参数为“= i 处的那点 ，f 、 竹 ，i 三i 处发生最大的影响，这是因为相应的基函数五，( ”) 在“一1 9 最大值。 珂 胛 这个性质对于交互设计贝齐尔曲线非常有用，设计人员可以调整最希望改动曲线 附近对应的控制顶点达到修改曲线的目的。 2 3 2 贝齐尔曲面 贝齐尔曲面是贝齐尔曲线的直接推广，我们以双三次贝齐尔曲面为例说明 此曲面的数学表达方程式。 武汉理工大学硕士学位论文 设在三维空间给出1 6 个点，构成一张双三次贝齐尔曲面的特征多边形网 格，在“，w 方向上分布。点的位置用矢量一j ( f ，y = o ，l ，2 ，3 ) 表示，形成一个4 4 的顶点矩阵。 v = 先对顶点矩阵矿中的每一列的4 个顶点构成一条以“为参数的三次贝齐尔 曲线，共可得到4 条三次贝齐尔曲线。 s o ( o = 4 ，( “) k 。 i = 0 1 s l ( ) = 也，( “) k 。 品( “) = 以，( “) k ： 墨0 ) = 以，( “) k ， 给定一个“值，令“= u + ，那么可以在4 条曲线上分别得到相应的点： 品( “) ，s ( “+ ) ，s ( “。) ，s 3 ( u ) ，以这4 个点为顶点形成特征多边形。从而定 义了一条以w 为参数的3 次贝齐尔曲线 3 q ( w ) = 以，( w ) 量( “+ ) o w 1 j = o 将q ( w ) 设想为母线，四条曲线( ”+ ) 连( “) 是( ”) 墨( “+ ) 为基线，当i x * 从 0 变化到1 时，相当于母线q ( w ) 的特征多边形沿着四条基线滑动，形成一条双 三次贝齐尔曲面。 r u ，w ) - - s o ( ) 墨( ) s 2 ( 甜) 墨( “) 以，。( i v ) 也。，( w ) 1 3 ，：( w ) 以。，( w ) 将岛( “) 、s ( “) 、是( “) 、墨( “) 代入上式，并展开得： 2 l 0 u ，w 1 ( 2 - 3 1 4 ) 咖咖趾比咖咖 咖瞄 武汉理工大学硕士学位论文 ，( “，w ) = 以，。( “) 以，0 ) 山：( “) 以，( “) i v = ( 1 一“) 3 3 ( 1 一“) 2 “3 ( 1 一“) “2 u q 叫k oo 3o 一63 33 o 以- 以： 以3 ，。，碥：， k ，o巧，k ，2k ，。 k ，。k ，k ：匕， k o巧，i巧，2巧，3 o 巧ok ok l 匕o_ i = u m v m 7 w 7 0 玑w 1 由以上双三次贝齐尔曲面的表达式 式。 v o 2 3 k - 2v i i ， k ：k ， k ：巧， 13 o3 o0 oo w ) w ) w ) w ) ( 1 一w ) 3 3 ( 1 _ w ) 2 w 3 ( 1 - w ) w 2 3l 一63 33 0l 1 w ( 2 - 3 - 15 ) 可以推出一般形式的贝齐尔曲面表达 r ( “，w ) = l ，。( “) 厶，( “) 厶，。( “) 矿 = 厶，( “，( w ) ， i = o j = o 以。( w ) 以，( w ) 以，。( w ) o s 甜。卅l 其中m 、n 分别表示方向和方向的次数，当m = 行= 3 ，即为双三次贝齐尔曲面。 贝齐尔曲面的性质： 特征网格的4 个角点与贝齐尔曲面的4 个角点重合，即 ，( o ，o ) = k 。r ( o ，1 ) = ， r ( 1 ，o ) = k ，。r o ，1 ) = 巧， 特征网格的最外一圈的顶点决定了曲面的四条边界线，而特征网格的内部 顶点不影响益面的边界形状。对于双三次贝齐尔曲面，曲面的四条边界线如下： 3 ，( “，o ) = 以，( “) k ，。 i = 0 3 ，( “，1 ) = 以，( “) ， ，= 0 武汉理工大学硕士学位论文 r ( o ，w ) = 以，( u ) v o ，j r ( 1 ，w ) = 以，( “) 巧，。 移动一个顶点巧，将对曲面上参数为“= ，w - - - - - 名的那个点影响 最大。 2 4 b 样条曲线和曲面 2 4 1 b 样条曲线 贝齐尔曲线有很多的优点，但是它是整体定义的曲线，曲线的形状要受到 全部顶点的影响。改变其中某一个顶点的位置，对整条曲线都有影响，因而贝齐 尔曲线不具有局部修改性。而b 样条曲线用b 样条基替代了以， ) 基，构造出 了b 样条曲线，这种方法继承了贝齐尔方法的一切优点，克服了贝齐尔方法存在 的缺点，较成功地解决了局部控制问题。 b 样条曲线方程为 r ( “) = ，。( 材) k ( 2 - 4 1 ) 式中k ，i = o ，1 ，2 ，h 为控制顶点，又称德布尔点。顺序连成的折线称为b 样条控 制多边形。m 。( ”) ，f - o ，l ，甩称为k 次规范b 样条基函数，其中每一个称为规 范b 样条，简称b 样条。它是由一个称为节点矢量的非递减的参数”的序列u ： n o u ls u i m l 所决定的i 次分段多项式，即k 次多项式样条。“( u ) 的第 一个下标f 表示序号，第二个下标_ j 表示基函数的次数。它可以由节点矢量 u = 1 1 1 0 ，砘，。i 按德布尔一考克斯递推公式计算得到。 州小器蔷l m 州2 最高i 卜舯老鼍劓 2 。4 。2 规定罟= 。 b 样条曲线具有如下的性质： 局部性：膏阶b 样条曲线上参数与一点r ( u 1 至多与k 个控制点 一( j = i - k + l ，f ) 有关，与其他控制点无关，移动该曲线的第，个控制点至多 影响到定义在区间( t ，薯+ 。) 上那部分曲线的形状，其余的曲线段不发生变化。 凸包性：8 样条曲线凸包定义在各曲线段特征顶点的凸包的并集之内。与 武汉理工大学硕士学位论文 贝齐尔曲线相比有更强的凸包性。 递推性：由递推公式可以表明。 2 4 2b 样条曲面 b 样条曲面与贝齐尔曲面类似，是把b 样条曲线推广到b 样条曲面。它也可 以看做是两个参数方向的b 样条曲线的张量积。 如果把参数“和w 都看成相互