（电磁场与微波技术专业论文）毫米波微带环行器的严格分析.pdf

摘要 毫米波微带环行器的严格分析 摘要 本文采用了一种基于h e l m h o l t z 方程弱形式的有限元，结合模式展开方法，对毫米 波屏蔽微带环行器进行了分析。这种方法采用模式展开而不是p m l 截断f e m 计算域， 来解决边值问题。 微带环行器s 参数的计算分成两步完成。首先，单独考虑一个微带截面，采用二维 f e m 方法求解一个本征值问题，得到截面上各种模式的电场分布及其传播常数。第二 步，将微带y 结离散用有限元法处理，连接y 结的三条屏蔽微带线用模式展开法处理； 然后利用上步得到的屏蔽微带线的各种模式的场分布及传播常数，在y 结微带环行器的 三个端口将有限元区与模式展开区进行匹配，建立起一个线性稀疏矩阵。对于这样的一 个稀疏矩阵，采用了s s o r b c g 算法( 超松弛双共轭梯度法) ，计算得其s 参数。 在文章中分析了两种结构的屏蔽y 结微带环行器，分别考虑了铁氧体的电损耗、磁 损耗，介质基片的电损耗等情况。另外，在计算结果中同样显示出了在实验中观察到的 n = 2 阶的切比雪夫响应特性。 本文利用全波分析方法，不仅得到了表征环行器外部特性的s 参数等指标，还计算 出表征内部特性的铁氧体片内部场图，验证了b o s m a 1 的假设，对于理解环行机理将有 很大的帮助。 关键词毫米波，微带环行器，h e l m h o l t z 方程弱形式，f e m ，模式展开，s s o r - b c g 损耗，切比雪夫响应 a b s t r a c t t h er i g o r o u sa n a i j y s i s o fm i l l i m e t e r f a v em i c r o s t r i pc i r c u l a t o r a b s t r a c t a h y b r i dm e t h o dt h a tc o m b i n e sm o d ee x p a n s i o na n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，w h i c hi sb a s e do nh e l m h o l t ze q u a t i o nw e a kf o r m ，i su s e dt od e a lw i t h i n h o m o g e n e o u ss t r u c t u r e ，s h i e l d e dm i c r o s t r i pc i r c u l a t o r m o d ee x p a n s i o no t h e r t h a np m ei su s e dt ot r u n c a t et h ef e m c o m p u t i n gd o m a i ni n t ot h ef i n i t ea n d s m a l l e ro n e h e r e ，sp a r a m e t e r so ft h es h i e l d e dm i c r o s t r i pc i r c u l a t o ra r e c o m p u t e di nt w os t e p s f i r s t l y , t h ef i e l dd i s t r i b u t i o na n dp r o p a g a t i o nc o n s t a n to f t h em o d e so fs h i e l d e dm i c r o s t r i pa r eo b t a i n e dw i t h2 - df e m p r o g r a m s e c o n d l y , t h e3 - dv e c t o r f e mi su s e dt om o d e lt h eyi u n c t i o no fc i r c u l a t o r , a n dm o d e e x p a n s i o ni su s e da tt h et r u n c a t i o na r e ao ft h et h r e es i f t e l dm i c r o s t r i pl i n e ，a n d 也e nt h et w od o m a i n sa r em a t c h e da tt h et h r e ep o r t so fc i r c u l a t o r s oas p a r s e m a t r i xi so b t a i n e d ，t h es s o r b c ga l g o r i t h mi su s e dt os o l v et h em a t r i x e q u a t i o n t h j st h e s i sa n a l y z e st w om i c r o s t r i pc i r c u l a t o rm o d e l s a n dp r e s e n t st h e a n a l y s i so fl o s s l e s sa n dl o s s yo ft h et w om o d e l s i th a sb e e nf o u n dt h a tt h e e l e c t r i c a l1 0 s si st h ed o m i n a n to ft h ew h o l e1 0 s s t h en = 2c h e b y s h e vr e s p o n s e f o u n d e di nt h em e a s u r e dr e s u l t sh a sa l s ob e e no b s e r v e di nt h ec o m p u t a t i o n r e s u l t s t h ef u l lw a v em e t h o dh a sb e e nu s e dh e r e t h esp a r a m e t e r so ft h e c i r c u l a t o ra r eo b t a i n e d ，w h i c hs h o wt h ee x t e r i o rc h a r a c t e r i s t i co ft h ec i r c u l a t o r a l s ot h ee l e c t r i cf i e l dd i s t r i b u t i o ni nt h ef e r r i t ed i s ki so b t a i n e d w h i c hs h o w st h e i n t e r i o rc h a r a c t e r i s t i co ft h ec i r c u l a t o r i tv a l i d a t e st h eh y p o t h e s i sp r o p o s e db y b o s m a 1 a l lt h e s ew i l lb eh e l p f u lf o ru n d e r s t a n d i n gt h em e c h a n i s mo ft h e c i r c u 】a t o r k e y w o r d s m i l l i m e t e rw a v e ，m i c r o s t r i pc i r c u l a t o r , h e l m h o l t ze q u a t i o nw e a k f o r m ，f e m ，m o d ee x p a n s i o n ，s s o r - b c gc h e b y s h e vr e s p o n s e v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名： 茸刍! 臣日 期：丛，2 2 ， 关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 签名：至堑! 臣导师签名：粗 第一章绪论 第一章绪论 1 1y 结微带环行器的发展概况 环行器是一种微波非互易器件。铁氧体结环行器具有电磁波在其内按某一环行方向 传输，而反方向隔离的性能以及其结构简单、重量轻、体积小等优点，在高分辨率雷达、 射电天文、高速数据通讯等微波、毫米波系统中获得了广泛的应用。正因为如此，环行 器成为微波、毫米波设备和电路中不可缺少的重要元件之一。铁氧体结环行器有波导、 带线、微带、集总元件、鳍线、槽线等各种类型。可以说，有一种传输线类型存在就对 应存在着该类型的结环行器。 八十年代以来，毫米波集成技术的发展对集成y 结环行器提出了要求。各国学者研 制了不同种类的集成环行器以满足各种毫米波集成系统的需求。微带线是一种重要的集 成传输线，微带电路采用光刻工艺制成。在构成电路组件时，微带线与其他电路器件一 起固定在金属屏蔽盒内。金属盒不但有电磁屏蔽作用，也增强了集成电路抗振动、抗冲 击的能力。目前许多毫米波集成系统采用微带结构，因而研制性能良好的毫米波微带结 环行器对提高毫米波集成系统的性能具有重要作用。 毫米波微带结环行器的结构形式有简单形式、加四分之一波长阻抗变换器形式，双 y 结环行器几种。微带基片也有介质基片嵌入铁氧体片和铁氧体基片两种。 在毫米波频段，微带的色散效应严重，表面波的影响也增大，已有文献报导有关微 带线的不连续性在毫米波频段的特性分析 1 像微带结环行器这种不连续性结构，计及 在毫米波频段微带线会出现的各种效应的全波分析就显得十分必要。但由于严格分析困 难，过去实际工程中微带结环行器的设计还是采用准静态法，然后根据实验结果进行修 正，即所谓的“t r i a 卜a n d e r r o r ”法。 1 2 本课题方案的提出 以往工程中一般实际的设计思路是：把嵌入的铁氧体片处理为谐振器，虽然在毫米 波频段，所用微带线的基片厚度与波长相比还是很小，所以在结内可假设场沿轴向没有 变化。因此，铁氧体半径可按下式确定 2 ： 耻而= 眈始，弦帕= 等 ( 1 - 1 ) 式中厶是自由空间波长；占，为铁氧体相对介电常数；和r 为铁氧体张量导磁率元素； 而，是一阶贝赛尔函数的导函数i ，f g ) 的根，对于主模x 。“1 8 4 ，在实际设计环行器时， 东南大学硕士学位论文 这个值要作修正。 由推出的公式( i - i ) 可近似得到相应频段的铁氧体半径；铁氧体与外端的匹配电路 可以使用网络分析仪测试其阻抗特性，据此设计出匹配电路。窦文斌教授、孙忠良教授 及k a i c h a n g 教授在工程应用中分别设计出t a 毫米 3 、三毫米波段 1 的环行器。但 是设计工作基于准静态公式，没有考虑微带环行器不连续性会出现的各种效应，须用 t r i a l a n d e r r o r 法逐步改进。基于上述原因，对微带环行器进行三维全波分析以指导 设计工作就显得尤为必要。 1 2 1 平面环行器理论研究的回顾 平面环行器是微带环行器、带线环行器等的统称。从其结构特征来看，把它们都归 为平面环行器。 6 0 年代初，b o s m a 1 采用格林函数的方法对铁氧体为圆盘的平面环行器进行了分 析，为环行器的研究和发展打下了初步的理论基础。c e f a y 和r l c o m s t o c k 4 从铁 氧体结第一个共振模的场型旋转的角度对铁氧体为圆盘的平面环行器的环行特性进行 了解释和验证，由基本工作原理作出具体分析，这就为工程设计提供了依据。 7 0 年代，y s w u 和f j r o s e n b a u m 5 对序列模式环行器进行了深入研究，指出了 带线结中高阶模式的作用不能忽略；m i y o s h i 6 应用围线积分的方法分析了平面环行 器的形状对宽带性能的影响。 h e l s z a j n 7 从8 0 年代对环行器的数值解进行了深入的分析，将基于变分的有限 元方法和边界元方法应用于平面环行器的具体分析和计算，在其分析过程中也还是做了 部分的近似，不能算是严格的全波分析。 到9 0 年代以后，随着数值算法的不断演进，很多学者在波导y 结环行器和y 结微 带环行器的数值计算方面傲了很多工作。y u n g e d w a r dk n ，j if e i 和c h e nr us h a n 等采用f d t d 方法，计算了铁氧体球y 结环行器的s 参数和环行参数 8 东南大学毫米 波实验室窦文斌教授等使用f d t d + p m l 、f e m + 模式展开分析了部分高铁氧体圆柱、部分 高铁氧体三角柱、铁氧体球等不规则形状铁氧体波导y 结、t 结环行器的各种性能参数 9 1 0 。虽然这几方面的工作都集中在波导结构的环行器，但这些工作对于分析y 结 微带环行器提供了很多借鉴和启发。 1 3 本论文的主要工作 本文的工作采用基于h e l m h o l t z 方程弱形式的矢量有限元方法分析毫米波y 结微带 环行器。h e l m h o l t z 方程弱形式方法于1 9 8 9 年由p e t e r s o n 1 1 3 提出，不同于以往的基 第一章绪论 于变分方法的有限元方法，h e l m h o l t z 方程弱形式有着如下的优点 由于该方法基于h e l m h o l t z 方程弱形式，算子不必是自伴的，也无需推导求得变 分公式； 降低了电磁场问题微分方程的微分阶数，可以用更广泛的基函数来表达场： 可以分析计算复杂边界条件的结构； 采用h e l m h o l t z 方程弱形式，可建立起磁各向异性和电各向异性的三维h e l m h o l t z 方程弱形式。以此为基础，插值表示各向异性媒质复杂形状结构中的电磁场。为了求解 这样的一个边值问题，需要在y 结微带环行器三端口截断，把无界区域划分成一个内部 区域和一个外部区域，通过边界连续性条件在分隔这两个区域的边界面上进行匹配。课 题的难点也就在此，因为课题中的边界是一个非均匀填充介质的面。通过查阅文献发现， 国外的j i a n s h ew a n g 和r a jm i t t r a 在九十年代中期采用了f e m + a b c 方法分析了m m i c 中的微带电路的不连续性问题 1 2 ，给出了这类问题的一种解决方法。另外，东南大学 毫米波实验室的吴鸿超采用f e m + 模式展开混合方法，分析了y 结、t 结波导环行器 1 0 。 这给我们提供了另外一种解决此类问题的思路。 波导截断面是规则均匀界面，所以相关的本征函数可用解析式表达出。对于微带截 面，界面上的场分布就不方便用解析式表达并在界面上利用连续性进行耦合。我们扩展 了吴鸿超所用的f e m + 模式展开混合法，使之可以运用于界面是非规则非均匀填充介质 的情况。具体的过程：即把无界区域划分成一个内部区域和一个外部区域。内部区域中 的场仍然用有限元法表述，外部场则由微带截面上场的数值解来表达。在界面处利用有 限元法和模式展开匹配的混合方法解决此类边值问题。这样的方法可应用于非矩形，非 均匀填充介质截面的不连续性边值问题，前提是得到其界面上场的数值解。这种混合方 法可以用于解决波导、微带复杂结构的不连续性问题。 本文工作的内容及研究思路： 具体的，先单独考虑一个微带截面，采用二维f e m 方法求解一个本征值问题，得到 截面上可传播模的场强分布数值解及其传播常数。这部分将在第五章中给出分析过程。 之后，利用上步得到的截面上场模式的数值解去与y 结微带环行器三端口进行匹配， 建立起一个线性稀疏矩阵，通过编程计算即可得到其s 参数。达到优化性能结构参数的 目的。这一部分将在第六章给出分析过程。 在第二章中我们将介绍铁氧体材料的旋磁性、磁张量、有耗旋磁铁氧体特性等。由 于历史的原因目前并行存在着两种单位制，而在一般的书籍中也较少对这两种单位制做 对照说明。所以在下章中分别采用两种单位制表示方法，可以方便使用不至混淆。 东南大学硕士学位论文 第二章铁氧体旋磁性及表示方法【1 9 l 铁氧体是像陶瓷一般的磁材料，是一族化合物的总称，是由一种或两种金属氧化物 与e d 3 混合烧结而成的。铁氧体的化学成分一般为m o ：e d 3 ，其中m 表示二价金属离 子，如锰、镁、镍、铜、锌、钙等。铁氧体的磁性是由自旋电子引起的，其饱和磁化强 度4 7 v m ，在几百到几千高斯之间。 2 1 磁导率张量 达到饱和磁化时，射频磁化强度m 和射频磁场强度h ，通过磁化率张量相联系： fz 。z p 0 式中 z = lz ，z ，0 00 0 舻轳嚣 一j 嚣 ：警，：膨。 o 其中，是旋磁比常数，其值为2 2 1 1 0 5 m 形朋，m o 为饱和磁化强度p 哆厶：) ；h o 为 直流磁场强度眈) 。 在鬲斯单位制中， z 。2 z ，= 丽o j m 0 9 0 飞一j 茜 = 2 形( 4 删o ) = 2 月7 h o( 2 3 ) 其中，是旋磁比常数，其值为2 8 1 0 6 哆包，4 删。为饱和磁化强度( g 口“s s ) ：凰为直 流磁场强度缸) 。 磁化率张量元素在国= 时有奇异性。这是表示谐振吸收出现的频率，用于设计谐 振式器件的基本依据。下面据此推出磁导率张量，因为 或= 丕i 荔i 羞i = 舌一苫j r 曼 c ：一s ， 磁导率张量是磁感应强度6 和磁场强度厅关系的表述。这个关系意味着在某一方 向的磁场会产生与它相垂直的方向上的磁感应和与它相平行方向上的磁感应即所谓旋 如果恒定磁场在y 方向， = 一孽ri 司 = 隆纠 可得磁导率张量为： 可得磁导率张量为 式( 2 5 ) 、( 2 7 ) 、 ( 2 - 8 ) 可扩展到广义正交坐标系。 2 2 有耗旋磁铁氧体特性 ( 2 7 ) 在实际的旋磁材料中，由于自旋磁矩和它周围介质之间相互作用，总会引起磁损耗。 所以在考虑铁氧体存在损耗时，磁化率张量为： ，一国。( 0 2 0 + 啪) 如2 z 一2 ( c 0 2 0 + j o ) a _ ) = 工- 国2 一z 一2z w = 一，i ：i ；南( z _ 。) 式中口为阻尼因子。把实虚部分开，可得张量元素的色散部分和耗散部分分别写成： x 。= t 。一j 之。 艺= 鼎舞辑豢 小诺将器碧 z # 2z w j z w 东南大学硕士学位论文 ，一 2 c o o c o r n c 0 2 口 如一面i 再研面 z n = 伽。k 一彩2 ( 1 + 口2 ) j 面i f 硼蕊 ( 2 - 1 0 ) 这里的阻尼因子d 可以和铁氧体线宽联系起来。通常定义为：当频率固定在缈时，磁化 率张量的对角元素z 。的虚部艺取值为它在谐振点处的一半时磁场值之差。口与日的 关系为： 瑚：雄以国际单位制( 2 - 1 1 ) 瑚= 刀y 日高斯单位制( 2 1 2 ) 把上述式( 2 1 0 ) 代入( 2 - 5 ) 即得铁氧体存在损耗时的磁导率张量。 如不另说明，在下文中计算磁导率张量时用高斯单位制。 6 第三章y 结环环行器的网络理论 第三章y 结环行器的网络理论【1 9 1 环行器的最早描述采用网络理论，a u l d 在1 9 5 9 年首先提出环行器的网络理论。网 络理论告诉我们，对于任何一个线性、无源、时不变的网络来说，其散射矩阵总是存在 豹。 3 1 环行器散射矩阵描述 在微波网络理论中，一般的微波m 端结的散射矩阵定义为 b = 口k ( 3 一1 ) p 】描述了q 端口的复数入射波( 含幅度和相位) 与同一端口的复数反射波钆等的联 系。不失一般性还可以设定口。、b q 为归一化的。x c - t - - - - c 无耗的结而言，能量守恒定理 要求散射矩阵需为一个酉矩阵。陋】是一方阵，沿主对角线的元素为反射系数，其他的 元素是传输系数。 特别的，我们需要在这里讨论的是三端结。其散射矩阵是6 = 陋k ，其中墨1 为散射 矩阵，它是一个三阶方阵，对于任意一个三端结而言，其形式为 s l 墨2s 。门 i s = i s 2 1 s 2 2 s l ( 3 - 2 ) l s 3 l s 3 2s 珏j s ，、s 2 2 、s s ，分别称为端口1 、2 、3 的反射系数，s 。( f ，) 称为端口j 到端口i 的传输 系数，相应的矢量a 和b 为由各端的输入振幅a 。和输出振幅6 j 组成的列矢量。 3 2 散射矩阵的的么正性 无源线性器件如用普通的导体、电介质和磁介质制成，器件将是互易的，这样的器 件不能成为环行器；如果器件中加入像铁氧体这样的旋磁介质，则一般将获得非互易性， 如能设法使各端匹配，便有希望制得环行器了，下面将就此做进一步的说明解释。 对于一个无耗的无源线性器件，根据能量守恒定律，输入功率一定等于输出功率， 由此可推导出其散射矩阵p 】应该是么正矩阵，满足 s i s ”= ( 3 - 3 ) s t 7 是砖】的共轭转置矩阵；们是单位阵。 首先可以指出，若是一个无耗互易、对称的三端结，要达到各端口匹配是不可能的。 因为对互易结有s ，= s ，的对称性，又满足e = 0 ，那么互易对称三端结的散射矩阵只 东南大学硕士学位论文 0s 1 2 墨：1 留】= l 墨：0s：l(3-4) 峰2 墨2 oj 根据吲的么正关系式便有 2 s 2 = 1 和s 2 = 0 ( 3 - 5 ) 0 s 1 2 s 1 门 陋】| s ，3 0 蜀2l( 3 6 ) 慨2s 3 0j 应用口】的么正性质，有 燃剖2 一 ( ，7 ) l 墨：酯= 0 、。 4 s 1 2 i = o (3-8，is 1 l 聆l = p - o 1 詈3 1 = ? is t j - ，) 【圳= 1 这分别对应了正向环行和反向环行的两种情况，只要s ，= 0 ( 匹配条件) ，那么对无耗 非互易对称三端结而言，一定满足环行条件，成为一个理想的环行器。 上面分析了理想环行器的情况，只要是无耗对称三端结，对p 】矩阵的表示式( 3 2 ) j 旧，1 2 + 旧：1 2 + i s ，1 2 = l l s l 2 s 矗+ s 2 + s 1 3 s = 0 另外，环行器的外部性能参数 i反射损耗= 一2 0 l o g i s 】1 传输损耗( 1 哼2 户2 0 l o g j s ：l | i 传输损耗( 1 寸3 净一2 0 1 0 9 s ，l j ( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) 第四章基于h e i m h o l t z 方程弱形式的有限元方法 第四章基于h e l m h o l t z 方程弱形式的 有限元方法 4 i 有限元法的介绍n 5 3 有限元方法是近似求解边值问题的一种数值技术。这种方法在电磁学中的应用已有 大约4 0 年的历史，它首先在上世纪4 0 年代被提出，在5 0 年代开始用于飞机设计。后 来，该方法得到了发展并被非常广泛地用于结构分析问题中。在其他领域问题中的应用 虽不太广泛，但有不断增加的趋势。作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法， 有限元方法已相当著名。 早在1 9 4 3 年rc o u r a n t 就提出用分片三角形单元上多项式近似的方法求解位场问 题，其思想与现在的有限元法非常类似，而规范的一阶三角形单元有限元法则由rj d u f f i n 于1 9 5 9 年建立，之后这种方法在很多领域得到广泛的应用。上世纪六十年代末， ps i l v e s t e r 、sa h m e d 和pd a l y 等将有限元法应用于电磁问题的分析。我国数学力学 界很早就开始了有限元法的原理与应用研究，而在电磁领域则要晚一些。 从原理上讲，有限元法可用于求解几乎所有的电磁问题，但存在所需计算机内存大、 初始数据准备工作繁琐等缺点。多年来，人们在单元的自动剖分与节点坐标的自动生成 方面做了大量的研究工作，并取得了很大的进展。事实上，目前一些基于有限元法的商 业软件，如a n s o f t 的h f s s 软件等，都己做到了网格的自动生成。 根据边值问题求解方法的不同，有限元法可分为里兹有限元法( 或变分有限元法) 和迦辽金有限元法。变分有限元法是根据变分原理和离散化而取得近似解的方法。电磁 场的问题一般都可以归结于求解的偏微分方程的边值问题，变分有限元法不是直接对电 磁场的偏微分方程去求解，而是先从偏微分方程边值问题出发，找出一个能量泛函的积 分式并令其在满足第一类边界条件的前提下取极值，即构成条件变分问题。这个条件变 分问题是和偏微分方程边值问题等价的。变分有限元法便是以条件变分问题为对象来求 解电磁场问题。 在求解过程中，将场的求解区域剖分成有限个单元，在每一个单元内剖，近似地认 为对任一点的求解函数是在单元节点的函数值之间随坐标变化而线性变化的。因此在单 元中构造出插值函数，将插值函数代入能量泛函的积分式，再把泛函离散化成多元函数， 之后求此极值，这样便得到一个代数方程组。最后由此方程组求解得到数值解。对第二 类或第三类边界条件在变分问题中无须单独列出，它们本身已被包含在泛函达到极值的 9 东南大学硕士学位论文 要求之中了，是被极值解自动满足的。如果场域内存在着不同的媒质，则在媒质分界面 处的边界条件为自然边界条件，相应的变化问题称为无条件变分问题。对于第一类边界 条件则在变分问题中与微分方程边值问题中一样，必须作为定解条件列出。也就是说， 极值解必须在满足这个边界条件的函数中求得，称这类边界条件为强加条件。相应的变 化问题为条件变分问题。最简单的离散化处理方法是将场域分成许多小的三角形单元， 在每个单元中构造位函数的线性插值函数。这样处理后，能量泛函被转化为以节点位函 数为变量的多元二次函数。求泛函极值的变分问题也就被简化成多元函数的求偏导数的 问题了。多元二次函数求偏导数并使之等于零( 求极值条件) ，得出一组以节点位函数 为未知量的线性代数方程组。这个方程组即为有限单元法在此情况下的数学模型。 最后求解线性方程组的问题则可用一般的数值解法( 如高斯消元法) ，求出各离散 节点的位函数的近似数值解。 所以，归纳一下，边值问题的有限元分析应包含以下四个基本步骤： 区域的离散或子域划分； 插值函数的选择； 方程组的建立： 方程组的求解。 二维问题的区域离散最常用的是三角形单元，矩形单元更适合离散矩形区域。在三 维问题的求解中，区域可划分成四面体、三棱柱或矩形块、六面体单元，其中四面体是 最简单、最适合离散任意体积区域的单元。 有限元方法根据插值函数的不同又可分为标量有限元和矢量有限元。传统的标量有 限元在采用结点基函数时，会遇到几个严重的问题。比如伪解的出现，在材料界面和导 体表面强加边界条件的不方便，处理导体和介质边缘及角的困难性等。随着一种崭新方 法的提出，上述问题得到了解决。这种方法使用所谓矢量基或矢量元，它将自由度赋予 棱边而不是单元结点。因此，它们也叫棱边元( e d g ee l e m e n t ) 。不同于传统的节点有 限元法，矢量有限元法由于其自由度是待求场矢量沿单元棱边的线积分，采用棱单元 插值时，能保证未知量的切向分量连续，而不强制法向分量连续，因而可直接求解场 量e 和h ，避免了间接求解场量而造成的微分误差问题。同时在计算精度和计算代价 方面，它都优于节点元。 方程组的建立是有限元分析中的主要步骤，对于变分有限元法， 考虑算子方程 上面= f ( 4 1 ) 1 0 第四章基于h c | m h o l t z 方程弱形式的有限元方法 其对应的变分方程为 ，( ) = 圭( 媳中) 一圭( 。，厂) 一圭( 厂，) = m i i l 假设问题是实数值的，上述泛函f 可表示为 m f ( ) = f ( 。) p 2 l 式中m 是组成全域的单元数，而 f 。( 8 ) = 三。工中。m 一三l 户。犯 所以 f 2 = 圭如。r ， 。扛 2 7 d f 2 一舾。r ， 。沁 写成矩阵形式 ，。= 委枷。) 7 暖8 】舾。) 一曲。f 每。 矩阵中的兀素 k ；2k n ：l n ：拯 6 j 。上，j 锄 将单元泛函的表达式代入总的泛函表达式中，得到 ，( 西) ：芝( 委曲e k r 】舾e ) 一舾。) 7 移a )，( 西) = ( 去扣。j k 。】扣。j 一扣。j 7p 。 ) 通过求和运算，采用全局结点编码，上式可写成 f = 妻枷y 【苴】细) 一和) 7 6 ) 应用驻点条件，令f 对0 ，的偏导数为零： 等= 三和w 卟 仲l ，2 ，3 ，w 因为 k 是对称的，上式写成矩阵形式为 1 7 k 1 o ) = 6 对于伽辽金有限元法，同样可以导出矩阵方程 对于算子方程 = 厂 第e 个单元的残数加权为 “2 ) ( 4 - 3 ) ( 4 - 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 - 8 ) ( 4 9 ) ( 4 - 1 0 ) ( 4 - 1 1 ) ( 4 - 1 2 ) 东南大学硕士学位论文 r j = ，n j ( l c b 。一，) m i = 1 ，2 ，3 i n 离散后得到 群= 。吖三 7 施和。 一l 孵疵 写成矩阵形式 r 。 = 瞵。】轴。 - 对每一单元求和，得到 忸 ；兰伍e ) ：m ( k e 】扣e 一 be ) )忸 = 忸。 = ( k 8 】净8 一) ) c f le - l 令上式等于零，可得到方程组 羔( 足r 】扣c 一 b e ：o( 足。】枷。j j ) = o ( 4 - 1 3 ) ( 4 - 1 4 ) ( 4 - 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 - 1 7 ) 也可写成与变分有限元相同的形式。 方程组的求解是有限元分析的最后一步。最终的方程组是下列两种形式之一： 【k 】舾) = 6 ( 4 1 8 ) 或者 【4 】 ) = a 【占】枷) ( 4 1 9 ) 这两个方程分别称作确定型方程和本征值型方程。对于这样的大型线性方程组，可用多 种方法求解。这些方法可分成两组：直接法和迭代法。在各种直接法中，分解法比较适 合于有限元方程组。而迭代法中，共轭梯度法使用得较多。一旦解出细 的方程组，就 能计算出所需要的参数，如电容、电感、输入阻抗、散射系数和辐射图等。 4 2 矢量有限元及其矢量基函数n 胡 前面已经提到，矢量元的应用极大推动了电磁场有限元分析的发展。运用矢量元基 函数，不会再有通常的结点基有限元插值函数的所有缺点，特别适合于表达矢量电场和 磁场。 先看二维问题中的三角形矢量元。 二维三角形标量基函数的表达式为 1 形( w ) 2 玄( 口；+ x + 。；_ y ) j 。1 ，2 ，3 ( 4 - 2 0 ) 其中 口；= y ；一y ；x ；b ；= y ；一y ；= x ；一x ； 口；= x ；y ；一y 3 e - i f ，6 ；= y ；一y ；c ；= x ? 一x ； 第四章基于h e l m h o l t z 方程弱形式的有限元方法 岔= 丢1 1 圣薹j = 丢c k c ；一。；c ；，= 第e 个单元的面积 定义单元的面积坐标 置= 西1 ( d ；+ 啦+ c ；y ) 置= 西l ( 口；+ 啦+ c 2 。y ) 骂= 西1 ( 口；+ 啦+ c ；y ) 若我们定义棱边( 1 ，2 ) 为棱边1 ，则其矢量基函数可表示为 i = 啊：z i = ( g v l 2 一鹾v l d t ； 同样，棱边2 、3 的矢量基函数为 蛭= ，巧= ( 置v g g v e 磁 埘= 。学= ( 骂v 鬈一鬈v e ) 鬈 此时，单元内的矢量场可展开为 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 - 2 3 ) ( 4 - 2 4 ) ( 4 - 2 5 ) ( 4 - 2 6 ) 3 ee=n罐(4-27) i = l 将上面建立的矢量基函数用于表达矢量场时，单元矩阵的表达式中，主要包含下面两种 形式的积分： e ，e = f c ，( v 吖) ( v y j ) d n f ：= 沁n t n ；d q 其中，e e 的积分很简单。因为 vxn t ：生t j 是一个常数，其中筮表示单元的面积，因此 ：盟 廿 其中巧的公式较复杂，但不难求出 耻筹( 厶“) 祭怒( 厶一正2 - 2 胁脚 耻慧, - 2 厶氓) ( 4 2 8 ) ( 4 - 2 9 ) ( 4 3 0 ) ( 4 - 3 1 ) 东南大学硕士学位论文 磋= 筹魄吒+ ，2 2 ) 巧2 i t 西i t ；u t 一厶一2 a - + 厶) 巧= 筹 甜埘 ( 4 - 3 2 ) 其中式= b ：+ c ：c ： 再来看三维问题中四面体单元的矢量基函数。 与二维问题一样，先导出四面体单元的标量基函数。在四面体单元内，未知函数可近 似为 中。( x ，y ，z ) = a 。+ 68 z + c e y + d 。z( 4 - 3 3 ) 在单元的四个结点上强加上式，可以确定式中的四个系数口r 、b 。、c e 和d e 。 其中 口一：上 6 矿。 6 c ：上 6 矿。 c c ：上 6 v 5 d e ：上 6 矿 中； 工； y ； ：； 中； x ； 必 z ； m ： 工： y ： ： ： y ： z ； 奏 匿 m ； y ； z ； x ； 西； z ； 中； ) ，； z ； x ； ； 菇 m ： 虻 z ： x ： m ： o ： x ； 尤 ； 1 矿r ：三阿 6 i y ； 防 x ； y ； ； x ： ： = 矿1 ( 口；。；+ 口；。；+ 4 描+ 口。e u 。e ) = i 尹1 ( 吖m ；+ 中；+ 蟛；+ 瑶m ：) = i 专( c i 中i + c 2 2 。2 + c ；。；+ c e u 。e ) = i 万1 ( d ；m ；+ d ；中；+ d ；+ d ；中：) ( 4 - 3 4 ) = 单元体积 将行列式展开后，可以确定系数、町、c j 和彤。 将四个系数口j 、彰、c 和d j 的表达式代回，得到 4 。( 五y ，：) = 三e ，( x ，y ，z ) 中； ) - 1 1 4 ( 4 - 3 5 ) ( 4 - 3 6 ) 吖群玎彳 蝣蝣 ，圬 第四章基于h e l m h o l l z 方程弱形式的有限元方法 上式中标量插值函数e ( x ，y ，：) 为 1 彳( 训，z ) 2 亩( 口；+ 彰x + c ；y + z ) 如果将棱边( 1 ，2 ) 定义为棱边1 ，那么它的矢量基函数可表示为 i = ：矸= ( 笃v e e w ；) ，i 类似可得到棱边i 的矢量基函数 ? = 。誓= ( 鬈v 一最v e ) 口 其中棱边数及相关结点和f 的定义如下表所示 棱边i结点结点i ， l12 2l3 3l4 423 54 2 634 图4 1 棱边数及相关结点的定义 ( 4 - 3 7 ) ( 4 3 8 ) ( 4 - 3 9 ) 当运用上面讨论的四面体矢量基函数进行三维有限兀离散式，得到的单元矩阵主要 包含下面两个积分。 巧= j j ，( v 吖) ( v x 吖e ) d r ( 4 4 0 ) f ；= 弧n 7 n ；d v ( 4 - 4 1 ) 由矢量基函数的表达式可以得到 v x j = 2 f ? 蹉 = 两2 l , r 1 2 一硼州黔弦堋圹一4 2 将上式代入到积分表达式中，得到 4 ，。z 8 矿 e e2 商争 ( 。械一d ( 。i 吒一d 磁) + ( d ：6 ：一6 j d ：) ( d i 吆一b 1 , d j ) + ( 6 ：c i c ：6 ：) ( 6 i c 三一c i 6 互) 】 ( 4 - 4 3 ) 对于巧，代入矢量基函数的表达式，可以有 吖形= 器k z 。，。，一e 巧：l 。一e 巧 。+ t z z j ( 4 4 4 ) 其中，= 巧+ c ：c j + d t d j 。代入到巧的积分表达式中，并利用通用积分公式 东南大学硕士学位论文 m ，( 吖九孵) f ( 孵) “( 吖) “d 矿= 瓦等 毛三：轰6 ( 4 4 5 ) 可以得到所有c 的显式表达式。 通过比较发现，同样是四面体单元，虽然矢量元离散比结点基单元离散得到更多的 未知量( 大约两倍) 。但是，矢量元各边的联系较弱，或者说有限元矩阵更加稀疏。所 以，如果仅以非零项计算的话，两种类型单元的内存需求大体相同。 由于矢量元的优越性，使其在电磁场数值分析中得n - f 越来越广泛的应用。研究与 应用矢量元的文献大量出现棱单元矢量插值函数。 4 3h e l m h o l t z 弱形式n 司 1 9 8 9 年，p e t e r s o n 引进了“h e l m h o l t z 弱形式”的概念 1 1 ，基于此弱形式，d a r e n a 在2 0 0 1 年采用模式匹配有限元混合法 1 3 ，并对内部形状规则，包含各向同性材料的 波导结构进行了分析。文献 1 4 建立了同时包含磁各向异性和电各向异性媒质的赫姆 霍兹方程弱形式后，以此为基础，通过插值表示包含各向异性媒质复杂形状结构中的电 磁场，与规则区域的模式展开结合，用于求解不规则形状铁氧体波导结环行器。 该方法具有以下特性： 由于该方法基于h e l m h o l t z 弱形式，所以算子不必是自伴的，也无需像传统的有限 元法那样必须得到变分方程。该方法广泛适用于其他复杂结构系统的计算。 降低了对结果函数表达的限制。弱形式的引进可以让未知场用更广泛的基函数来表 示。 容易对包含有耗各向异性煤质的复杂结构进行分析，而不必像传统有限元法需引入 不同的内积定义再导出广义变分方程来处理有耗问题。 计算区域可以尽可能的小，因而节省了存贮空间和计算时间。 通过模式匹配得到了规则区域和非规则区域交界面上的场，因而无需使用诸如p m l 之类的吸收边界条件。 该方法应用简单，并且得到的计算矩阵是稀疏矩阵，可以使用有效的解稀疏方程方 法来节省计算时间。 首先考虑二维问题，可分别讨论t e 和t m 情况。在场沿z 方向无变化的情形，可以 导出标量h e l m h o l z 方程。 在各向同性无源非均匀区域，m a x w e l l 方程可写为 v e = 一_ ，窄z o ，h ，v h = 口苫o s ，e v ( 6 0 e ，e ) = 0 ， v ( o ，h ) = 0 ( 4 - 4 6 ) 1 6 第四章基于h e l m h o l t z 方程弱形式的有限元方法 由上式司得 v ( 上v 局：一_ ，掣。v 疗；七2 云 v x 仁v x 雷) = j w e o v x 五= 七2 所疗 ( 4 4 7 ) 再由场关于z 方向无变化，可得上面两式的z 分量，即标量h e l m h o l t z 方程 v ( j w ：) + t 2 s ，e ：o v ( 士跗：) + t 2 肼以：o ( 4 4 8 ) 占 上面两个方程是h e l m h o l t z 方程的强形式，未知函数出现在二阶微分算子中。若要将它 们变为弱形式，必须用到检验函数t ( x ，y ) ，并在区域r 上积分。用r 乘以( 4 4 8 ) 式两边， 得到 7 v ( l v e ) + t 2 s ，t e ：= o ( 4 4 9 ) 作积分，有 【( z v v e ：) + t 2 t e ：) a x a y = ( 艇：，r ) ( 4 5 0 ) 4 ， 其中a 为算子，利用矢量恒等式 v ( 西) = t v j + v r j ( 4 5 1 ) 和散度定理 f v j a x a y = 伊砌( 4 - 5 2 ) 因为 阢( t v e ：) ：v r ( w ：) + 刀o 诳：) ( 4 - 5 3 ) pr # ，h ， 即 刀：) ：v ( w ：) - v r o ：) ( 4 5 4 ) p ，耻，耻， 代入到( 4 5 0 ) 中，得到 f ( 1 v ( ，i - - - ，v e = ) + k 2 8 , t e = 蚴 ( 4 5 5 ) ：【阿( 刀e ) - - - ，- v t v e + ：您： d x d y p rh ， 即 f ( 去v r - k 2 c r t & 协d y = f v 。( 去觋皿方 1 7 东南大学硕士学位论文 = 扣：砺出 ：f 与堡疵 4 嗡 打， 锄 于是得到 f ( 去v 加妒如愿蚴= l r 旁鲁出 ( 4 _ s z ) 对( 4 4 8 ) 式中的磁场方程作类似讨论，同样可得 fc 去v t v 日- k 2 1 l t h ：蚴= l 等出 m s s ， 方程( 4 5 7 ) 和( 4 5 8 )