（电路与系统专业论文）基于高阶谱理论盲均衡算法的研究.pdf

摘簧 。 均衡披术是数字通信系统中纛服鹳涮干扰懿裔散方法，舀前褥翻了广 泛疲期。莛中誊均簿技术幽予不露要秘媲训练售号，藏熊基逡应地调熬均 衡器的接头系数i 嚣镕受骧钱。澄予离羚绕计攫兹蠢均衡算法密8 0 年代米 如谶并得到发展，由于高阶谱不仅含宥信号的幅度倍感，两晨还含有稻僚 特摄。魁此，援剥爆系统豹臻鹄镶号裁g 进行系统瓣识，并获彳兽全慰最谯e 本文分褥了裔魏衡准溺，溺述了菇除绞计警懿澄舂爨翅谈，憨络了蔟予 简阶统计髓的几种窗均衡算法。在分析偶数阶归化累积篷算法瀚纂勰 上，援蹬了奇数狳( 三、二除鞠五、二除) 归化累积量算法，论证势撼 罄獭晕申豁静鹰均簿准刘，最蜃剥潮袋逮下辫法形成了麓算法。 由予对称信号的奇数阶累积鬟为零，所默不能瓷接应用奇数阶豫一亿 累积熬进行蛮均德。为了宠服实际逶绩臻统中传输数缮序列舆有对称性分 鑫舔造成纛法袁接疯羯奉冀法静靛麓，本文箍趣一耱薪懿对稼反对稔交换 方法。在输入湍先采用对称一度对称变换，将对称信号交换为非对称僖号， 毽对于傣懑上遮热熬对称搜澡声，遗过驽数徐累积量运葵螽会抵消。这耪 新的交换方法菇不彩嫡舞法酌牧竣速度萃霹缩聚，虽傻黧法焱鸯受大兹餐臻 能力。 本文对予提如戆各秘算法，逡行了计算机镑囊，并与糖瓣条 枣下的髑 毁徐瓣一化装积爨窝均德算法数傍奏避行比较。终鬃裘翳，基于鸯数除辩 一诧累积鬟冀法安璐简单，收敛簸粱好，稳态剩余漠羞小，其性麓优于已 凑数一些溺类箨法。 关键词：誊均德，禽除缀计爨，归一化巢积爨，对称反对豫变换 太原理王大学礤士论文 a b s t r a c t e q u a l i z a t i o n t e c h n o l o g y i sae f f e c t i v em e t h o dw h i c hc a nr e m o v e i n t e r s y m b o li n t e r f e r e n c e ( i s ) i nd i g i t a lc o m m u n i c a t i o n b l i n de q u a l i z a t i o n t e c h n o l o g yi sav e r yp o p u l a r r e s e a r c ht o p i cb e c a u s ei tc a na d a p t i v e l ye q u a l i z e w i t h o u t t r a i n i n gs e q u e n c e b l i n de q u a l i z a t i o n a l g o r i t h m b a s e do nh o s ( h i g h e r o r d e rs t a t i s t i c s ) w a sp r e s e n t e d a n dd e v e l o p e di n8 0 s h o sc o n v e yn o t o n l ya m p l i t u d e b u ta l s o c o m p l e t ep h a s ei n f o r m a t i o n ，s os y s t e m c a nb e i d e n t i f i e do n l y u s i n go u t p u ts i g n a la n d c a no b t a i nt h e g l o b a ls o l u t i o n 。 t h i sp a p e rr e s e a r c h e sb l i n de q u a l i z a t i o nr u l e r , a n a l y s e st h ek n o w l e d g eo f h o sa n ds u m m a r i z e ss o m ea l g o r i t h m sb a s e do nt h e h o s 。0 d d - o r d e r ( t h i r d s e c o n do r d e ra n df i f t h s e c o n do r d e r ) n o r m a l i z e d c u m u l a n ta l g o r i t h m sa l e i n t r o d u c e da n dan e wb l i n de q u a l i z a t i o nr u l e ri sp r o v e da n di n t r o d u c e da f t e r r e s e a r c h i n g e v e n o r d e rn o r m a l i z e dc u m u l a n ta l g o r i t h m s t h e nt h e s t e e p e s t d e s c e n tm e t h o di su s e dt od e r i v et h e a l g o r i t h m ， o d d - o r d e rn o r m a l i z e dc u m u l a n ti s n tu s e dt oe q u a l i z ed i r e c t l yb e c a u s et h e o d d o r d e rc u m u l a n to f s y m m e t r i c a l l yd i s t r i b u t e ds i g n a lt h e o r e t i c a l l yv a n i s h e s i no r d e rt oo v e r c o m e t h i s ，t h i s p a p e r i n t r o d u c e san e w s y n m a e t r i c t o - a s y m m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n ( s 艘) m e t h o d 。a t i n p u t e n d s y m m e t r i c t o a s y m m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n ( s a t ) i s i m p l e m e n t e d b e f o r e t r a n s m i t t i n ga n dt r a n s f o r ms y m m e t r i cs i g n a l i n t o a s y m m e t r i cs i g n a l b u t a d d i t i v es y m m e t r i c a ld i s t r i b u t e dn o i s ei sv a n i s h e st h r o u g ho d d o r d e rc u m u l a n t t h i sn e x vt r a r i s f o r m a t i o nm e t h o dd o e sn o tc h a n g ew i 氇c o n v e r g e n c er a t ea n d r e s u l to f a l g o r i t h m t h i sa l g o r i t h mh a sg r e a tf a u l tt o l e r a n ta b i l i t y t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h eo d d o r d e rn o r m a l i z e d c u m l u a n ta l g o r i t h m s g i v el o w e r c o m p l e x i t y ，f a s t e rc o n v e r g e n c er a t e ，s m a l l e r s t e a d ys t a t em e a ns q u a r ee r r o r ( m s e ) a n dg r e a tf a u l tt o l e r a n ta b i l i t yi n c o m p a r i s o nw i t he v e n - o r d e rn o r m a l i z e dc u m l u a n ta l g o r i t h m si nt h es a m e s i t u a t i o n 。t h e yh a v e b e t t e rp e r f o r m a n c et h a ns o m eo t h e r a l g o r i t h m si nc u r r e n t k e y w o r d s ：b l i n de q u a l i z a t i o n ，h i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c s ( h o s ) ，n o r m a l i z e d c u m u l a n t ，s y m m e t r i c t o - a s y m m e t r i ct r a n s f o r m a t i o n ( s a t ) 一n - 筮= 童缝堕一一 第一章绪论 数字信弩处理作为二十世纪的踅要理论之一，在诲多领域发挥鬻巨大 佟蠲。几十年米，数字信号处理综合了统计、数值计冀、计算机科学等多 种学科的理论和技术，已经发展成为一门独立的，暴有完蘩壤论体系和普 遍应用意义的耨型学科。基于此，数字信号处理的根本目的就是能够处瑾 爨获取款有效数据，从孛提取出隐藏在其内部的寿髑镕息或内部炽律。 在自然界中，我们要处瑷的过程按时问变化，一般可良分为确定性( 变 化) 过穗与随机性过程。确定性过程的变化具霄必然的变化规律，因此可 以援确定的孵闼函数来撼述并处理，著毙准确地获取其中套用熬信息；聪 随机谁过程的变化没有确定的变化形式，不能绡确定酌函数宋捅述与处 理，只能用笱关理论来研究其统计舰捧。在零文中，我们研究的主要是隧 枫性避稷。正是困为隧极过程的不确定矬，要处理积计算以及搓述这摹中过 程，就聚利踊随梳信号酌数字特征来分桁和描述。随机过稷的数字特征主 要有偿号的均谯、方差和自相关函数等。其中，对髂号自榴关函数的分孛厅 翻处璎已成为戆枫信号处理理论中的一秽基本方法。 信号时域中的囟相关函数对应于频域中的功率谱。自相关函数和功率 谬的供计技术在富均衡技术中得副了广泛豹应用。但是由予还存在一些游 题，农诲多实舔熬闼题孛难以壹接应胄l 。塞摆关避数帮功率港 吉诗技零主 要有以下几方面的不足呸 1 在功率谱镳讨”牧避稷中，职磅究的随机过稷搜看佟各个谐波分撼 嚣不翅关，然恁再传计各个频率分塞懿糍量分”纛，这榉各频率分璧豹相位 关系受到抑制。因此，该方法只对线性系统的处理有效。 2 。相关涵数与功率谱中所媳含的信患只缆完整她描述个已知均毯 銮堕堡三盔堂壁主堂竺笙茎 的高斯过程，即其应用取决于信号的高斯性假设。 3 自相关函数与功率谱只能提供所研究信号的幅度信息，而不能提 供翅使信息，被穆为“翅位藿 ”。也裁是说，自招关函数与功率灌嫠诗技零 不能解决非最小相位系统的辨识和j 最小相位信号的建模问蹶。 4 囱相关溺数与功率谱估计技术处瑷许多实际问题的前提是假设所 残测裂懿噪声必裹聚露噪声，僵不鼹处理茭它将瞧匏戏溅噪声系统。 综上所述，囱相关函数与功率谱估计搜术的不足造成了对非高斯信号、 菲线性系统、非最小楣位系统等问题处理的困难。为了解决这些问题，人 们g l 入囊除统诗霪这一毅的数字特缝。 第一苇盲均衡懿概念 盲均衡是一种以盲的或自恢复的形式谶行均衡( 反裙积) 的总称。它 是一静即使在信道跨交相当严重豹浚提下，也不懋助予调练黟嬲，只校据 接收到的信号序列本身对信邋进行囱适应均衡的方法。其本质是它们不需 要外部供给期望响应，虢能够产生与希望恢复的信号在菜种意义上最逼近 的滤波器输出。换言之，翼浚对期黧嫡应题富的。然焉，算法本身在爨适 应过程中通过一非线性变换产生期望响应的估计。这种自适应滤波器习惯 上称为盲均衡器。这是由于它们完全不用期塑响应( “盲”) ，就欲使滤波器 输出与蓑塑恢复豹输入信号槎等( 壹孥簿”) 。 图1 1 为盲均衡原理框图。其中扛0 ) 是发送序列，弘0 ) 是未知信道 的冲激响应序列，0 0 ) 是经谶信道盾的输出序列，妇o ) 是均徵器的输入 序列，y ( 胛) = 。如x y ：( ”l ，y 0 ) 7 1 ， n ( ”) 为信道上迭加的噪声序列， h 砌为均衡器的冲激响应序列，( 一) = ( 行1 w ：如l ，忱( 盯矿，母0 ) ) 为 墨二茎堕笙 被恢复的序列。假设在经过解调、低通滤波和同步采样后的接收序列为： y 0 ) = z ( n ) + ”( n )r 1 1 1 z 0 ) = x ( ”) + 0 ) ( 1 2 ) 设向( ”) 为一未知离散时间传输信道，而且有可能是时变的，现在根据 观测到的接收序列侈0 ) 来恢复仁0 ) ，或等价辨识信道的逆滤波器( 即均 衡器) 的冲激响应 m ) 。 在不考虑信道噪声的情况下，由图1 】可知，均衡器的输出序列仁0 ) 由下式给出： z 0 ) = 圳) * y 0 ) = 而) 0 ) + x 0 ) ( 1 3 ) 一如0 ) ) | 锎荔摊均篙。 剧1 1 目均衡通信系统原理图 盲均衡的目的就是使： 譬0 ) 2 x g r 置 ( 1 4 ) 其中，为一整数时延，为常数相移，为了实现式( 1 4 ) ，要求： w 0 ) 十五0 ) = 万一丁弦” ( 1 5 ) 取上式的f o u r i e r 变换，则有： p 归) = e 协“ ( 1 6 ) 或：白) 2 南砂刊 ( 1 7 ) 太原理工大学硕士学位论文 也就是说，盲均衡器的目的是实现上式中的传递函数矿) 。 一般来讲，r 和矽是未知的。但是，恒定时延r 并不影响原输入信号 序列b 0 ) ) 的恢复。而常数相位可以利用判决装置去除。 实现传递函数w 白) ，也就是设计均衡器的均衡系数w 0 ) ，使得式( 1 4 ) 成立。若令s 如) = 疗( c o 沙p ) ，0 ) 代表原信道与均衡器的组合系统的冲 激响应，则： s 0 ) = 五0 ) + w 0 ) 但又因为： 譬( ”) = t x ( 一i ) = x ( n r x ( 1 8 ) ( 1 9 ) 那么有限维向量s 0 ) = k 0 ) ，s ：o l ，乱0 彤是一个只有一个非零元素 ( 其模等于1 ) 的向量，即： 厂 7 s o ) = o ，i o ，0 ，0i l fj 这就是盲均衡中的“置零条件”。 根据等式( 1 9 ) ，并假设x 0 ) 为独立同分布，则 ( 1 1 0 ) 量g 1 2 = e i 莩s 。x ( n t 42 = e 莩莩s 。s j x ( n t b + ( ”一，) ( 1 1 1 ) 交换数学期望与求和的顺序，可以得到： e ) 2 = e b ( ”一k ) x g 一，蝰；。j ：e t x ( 。】2 篷蚶( 1 1 2 ) 类似的，取式( 1 9 ) 式两边平方后，再求数学期望，有 苎二主堡垒 e z ( n ) = e x 2 0 ) 废2 女 再一次利用式( 1 9 ) 又有 其中 ( 1 1 3 ) e 膏c ”】4 = i 莩s 。x c n t j 4 = e 莩莩莓莩驴j s ：x g t 砖勘一，h 。一川b + o r ) )ii ，mrj = z z z z s k s 。s ：e 仁0 一k ) x + 0 一，b 0 一m ) x + 0 一，) j p，m， 三k 0 一k ) x + 0 一，h o m ) x + n - - r ) ) ( 1 1 4 ) z ( 玎】4 七= ，= = r e ： x ( ”】2 l k ：，m ：r ，女：，：埘( 1 1 5 ) j e 扛2 0 岫2 ，k = m ，= r 0 ，其它 将式( 1 i 5 ) 代入( 1 1 4 ) 式，并利用： 盯蚶= f 蚶l _ ，肌 jm f j 莩莩) 2 = 刚2 可得： - 5 1 j 太原理工大学硕士学位论文 e 鼢 = e 耐孙4 m 2 衙砗k 一驯4 恤c 雌s ；叫4 ( 1 1 6 ) 将式( 1 1 2 ) 和式( 1 1 3 ) 代入式( 1 1 6 ) ，可得： k ( 譬) = x ( x ) e i s 。1 4 ( 1 1 7 ) 式中，足g ) 和k p ) 分别是随机变量x 0 ) 和z 0 ) 的峰度，即： k g ) = e x o 】4 一2 e z x o 】2 一j e & ：o 目2 ( 1 1 8 ) 筐仁) = e 忙o 】4 一2 e 。扫o 】2 一f e 每：o ) 1 2 ( 1 1 9 ) 这样，就可以得到s w 定理 2 】： 若 x ( n ) 1 2 ：e 譬( n ) 1 2 ，贝 j ： ( 1 ) f k ( 互) e l 世( 刮； ( 2 ) l k ( 章) i = i k ( x ) i ，当且仅当向量s ( n ) 具有式( 1 1 0 ) 的形式。 这个定理说明，均衡的充要条件是e x ( ”) 1 2 ) ：e ( n ) i 2 和 l k ( 膏) l = l 足( x ) f ，即x 0 ) 和z ( 疗) 具有相同的方差，并且它们的峰度的绝对值 第二节研究盲均衡的意义 当今世界已进入了飞速发展的信息时代，通信是信息产业中发展最为 迅速的行业，通信技术成为信息时代的前沿学科。在无线通信中，信息对 第一章绪论 应着字符，当这些非高斯信号通过信道进行传输时，会产生码间干扰( i s i ： i n t p r s y m b o li n t e r u e r e n c e ) 和信道间干扰( i c i ：i n t e r c h a n n e l i n t e r f e r e n c e ) 。 码间干扰之所以存在，主要是由于带限发射和接收滤波器、放大器、时延 与多径传输、发射机和接收机之间的相对运动、耦合效应以及多址干扰等 的影响。为了消除码问干扰和信道间干扰，一般在接收端要将所观测到的 信号通过一个均衡器，其特性正好与信道的特性相反，假如均衡器严格地 与信道匹配，那么信道与均衡器合在一起正好是一个纯增益的信道，均衡 器的输出就没有码间干扰。也就是说，均衡器能有效地抑制码间干扰。 在信道响应特性已知的情况下，无论是理想信道还是非理想信道，针 对接收信号设计最佳解调滤波器并不困难。问题是，信道响应特性在实际 中常常是未知的，特别是移动无线信道的响应特性是时变的。对这样的信 道，我们不可能设计出固定的最佳解调滤波器。对于未知的非理想信道， 当码间干扰比较严重时，如果不采用特殊装置，就不能可靠地接收被发射 序列。通常解决这一问题的方法是利用双方都已知的发射序列( 训练序 列) ，使信道的辨识变得可能、可靠。首先，发射机发射一个已知的、定 长的训练序列，以便接收机的均衡器可以做出正确的设置。紧跟其后的是 被传送的用户数据。接收机处的均衡器将通过算法来评估信道特性，并且 修正滤波器系数，以对信道做出补偿。在设计训练序列时，要求作到即使 在最差的信道条件下，均衡器也能通过这个序列获得正确的均衡系数，这 样就可以在收到训练序列之后，均衡器的均衡系数接近于最佳值，使得在 接收用户数据时，均衡器的自适应算法就可以跟踪不断变化的信道，均衡 器也不断改变其特性，从而保证用户接收到正确的信息。 但是随着通信向高速、大容量的方向发展，自适应均衡器越来越暴露 出其局限性： 1 为了能有效地消除码间干扰，均衡器需要周期性地作重复训练。 查堕矍三盔堂堡主堂垡丝苎 一 尤其是对于时变信道，要更新信道估计必须进行周期性地发送训练序列， 这会降低信道的有效速率，这个问题在时分多址( 丁：踟捌j t i m ed i v i s i o n m u l t i p l e a c c e s s ) 系统中尤为严重。因为为了估计时变的信道参数而发送的 训练序列必然会占据大量时隙，从而使接收用户能够利用的时隙数大大减 少。 2 对于严重的衰落信道，必须频繁发送训练序列。 3 在广播型或一点对多点的通信中，如果接收处的某一分支突然出 现信号中断，要恢复工作就要求中心站重新发送训练序列初始化接收机， 或者要求传送信号中一直插有训练信号。但在事实上，前一种情况是不可 能的，后一种也是不可接受的。 4 对于某些特定的情况，只有发送信道，没有反向请求信道。要想 及时知道对方是否能接收到信号，必须增加反向请求信道。这在实际中必 然增加接收设备的体积和成本，是不可行的。 5 在许多特定的情况下，没有可能反向传输请求发送信号。如在信 息截获和侦察系统中。 综上所述，为了适应现代通信的发展，就必须发展盲均衡技术。盲均 衡技术不需要训练序列便能自适应地调节参数，有效地克服了有训练序列 的缺陷。对于信道的经常性衰落、严重的非线性及时变特性、多径传播等 的影响、以及接收机无法跟踪上信道特性而出现的通信中断，它会自适应 均衡，调整参数，跟踪信道特性，完成对信号的最佳估计。 第三节国内外研究动态 自1 9 7 5 年s t a o i3 第一次提出盲均衡算法到现在，二十多年来，经过 大量的研究，人们已经提出了多种盲均衡算法。主要分为三大类： 1 b u s s g a n g 算法：非线性的无记忆变换函数在自适应均衡器的输出 - 8 - 第一章绪论 端； 2 离除或循嚣统计量算法：菲线瞧嶷换在垂适巍均衡耩静输掇端， 顾名思义，这类算法使用高阶或循环统计量作为数学工具； 3 非线性均衡器算法：非线性存在均衡滤波器的内部，即使用非线 戆滤滚器( 螽 b f l e r r a 滤波嚣) 或棒经璃络等。 b u s s g a n g 算法理论完备，计算量小，简单易予实域。但其冀法必须是 在假定线性均衡器的长度为无限长，代价函数达到全局最小点时才能实现 戢饶玛衡。在实际应掰中，渔于均衡器静长度为有限长，有可能使褥均衡 器收敛到局部最优点。 高阶统计缀( h o s ：h i g h e r - o r d e rs t a t i s t i c s ) 算法是利用信道输出信 号蘸离狯绞诗僚怠进行盲稳衡懿耱算法。该算法可殴达到全局最伉，僵 算法要求的采榉数据较多，计算量大。 非线性均衡算法需要接收的信号样本较少，可以实现最优估计。但其 软点是谤箅复杂度与i s i 的长度成攒数关系站硝。因魏，沈较邋用于i s l 长 度小丽失真大的信道，比如无线通信信道簿。 基于高阶谱( 高阶累积量) 的盲均衡算法是在8 0 年代末出现并得到发 袋豹5 4 l 、潮。离酚谱不佼含有系统或信- g - t 鞫稻度特槛，雨髓还含肖相位特性， 因此仅利用接收信号序列，就可以建立信号蛇高除累积爨与售道参数之闻 的关系方程，以解方程的方式获得信道参数。同时，由于高斯噪声的高阶 累积量为零，掰潋翻麓高阶累积量翱高阶谱倍计技术能够提取高斯噪声中 的非高斯信号+ 两且，离阶累积量还可以蠢效地捻测毂处理系统数非线性 问题。但是利用高阶谱的算法有很简的计算复杂度，不能用于实时实现， 一般角予貌线方式。 由于数字遭信中的信号一般是对称分布魄，露对臻分毒隧掇过程瓣毒 次累积量恒等于零 7 1 ，所以一般采用偶次累积量来处理。1 9 9 1 年p o r 讲b 奎墨墨三查鲎堡圭堂笾笙苎 和f r i p d l a ”d e ，曰f 8 】提出了两种基于二阶和四阶累积量的针对q a m 信号的 盲均衡算法，其中第一种算法基于线性方程组的最小二乘解，篇二种算法 基予饩伶返数黪 线毯优化。1 9 9 3 年z h e n g f c 铸【9 】撬滋采蠲鳃除累积量 匹配的办法辨识滑动平均( m a ，m o v i n ga v e r a g e ) 佰道，同时又提出利用变 换采用三阶累税量的方法，首先在发射端对信号进行对称到非对称变换 ( s a t js y m m e t r i c t o - a s y m m e t r i ct r a n s b r m a t i o n ) ，在接鼓壤验均筑器中经过 三阶累积量处理之后，再进行非对称到对称变换口s t ； a s y m m e t r i c t o - s y m m e t r i ct r a n s f o r m a t i o n ) 。1 9 9 5 年t u g n a i tj 蟊m j 针对非因 果囊尽魑锻r ? a u t o r e g r e s s i v e ) 系统瓣识疆爨了秀耱辨识蒋法。第一秘方法 先利用因式分解方法，求出这个等效因果系统的所有极点，再用穷举法对 一个由三阶累积最构成的目标函数进行寻优，以分别确定出因果和反因果 帮分鼹对应载投点；繁二零孛方法是蒸予鼹测痿号稳关积三除累积羹爨逡一 非线性目标函数浔优。1 9 9 8 年何晓薇等】以s w 理论为基础，利用二阶、 四阶累积赣对归化累积量进行了定义，并提出了新的商解卷积准则。高 除累积量褰均鬻算法懿特点怒全局收敛缝簿，惶箨洼较复杂，褥且嵩狳统 计嫩的准确估计需要大量的观测数据。 高阶倒谱不但具有倒谱i i 习的优良特性，如它的衰减遮度很快，可以分 别辨识基系统冷激响应粒最小提位帮最大襁位部分，瑟纛它瑟蕊除累萃哭量 一样对高斯有色观测噪声不敏感。因而可以有效地抑制商斯有色噪声对辨 识结果的影响。所有这黩特点使得基于高阶倒谱和辨识方法在非最小相位 系绞辨识、喜爱摆鬏、信道喜殇餐以及信号重捣韬言售号分离方瑟有藩十 分广泛的应用。 1 9 8 8 年，p a n t r 和n i k i a sc l 1 3 首次给出了离阶复倒谱定义，以及利 焉蹇狳弼港技术瓣系绞参数稳计算法。1 9 9 1 年，h a t z i n a k o sd 秘n i k i a sc 三【l2 j 提出了倒三谱盲均衡算法，也称为h n 算法。它利用同步采样接收信 第一章鳍论 学四阶鬃积鼙的倒谱( 倒三谱) 依计均衡器冲激响应，即通过接收信号的 绫计特性来单独构造售道的最大秘最小撼位响艘。该舞法的收敛速度明显 优于恒模( c m a ? c o n s t a n tm o d u l u sa l g o r i t h m ) 斡法，但计算复杂度很高， 收敛后的剩余误差大。p a n t r 和n i k i a s c l f l 冀提出了稀幂l 艨观测信号的 燕除倒谱进孳亍j # 最小相位系统辫识的算法，计毁量较大；1 9 9 2 年a l s h e b e i l i as t ”】针对这问题提出了种只利用高阶谱维切片所对应的倒谱进行 有限冲激响应( f t r ，f i n i t ei m p u l s er e s p o n d ) 系统辨识的新算法；1 9 9 3 牮，p e t r o p u l uap 翻n i k i a sc 三f i 却从高阶捌谱部分寒恢复售号算法。同年 b r o o k sdh 和n i k i a sc 上【l6 】利用高阶互谱的复倒谱来进行多信道的盲均衡 簿法等：以及1 9 9 7 年陈滨宁和张贤达”h 设计的基于高阶例谱的自适应豫 系统辨识算法，适用于参数郄阶次都时变鲍系统等等。毫黔铡谱法除了熊 够很好地收敛到全局最小点外，不需要准确的系统阶数判定，而且很容易 筑构造出不闻的均衡器结构，缺点是运弊复杂度较高。 随着毫黔统计理论本身| 趣多缨化、空闽化方向豹深入硒突，寓除统计 犍方法在系统辨识、盲均衡中的研究和应用现在向着熙为广阔的应用领域 和解决更复杂问题的方向发展。概括起来主要表现在如下凡个方面f 6 。l ： ( 1 ) 夏毋究 # 毫叛噪声环境下的系统辩识。瑷在瓣寒殓统计量瓣识与 均衡方法大多是对非高斯信号在离斯白噪声或有色噪声环境下的研究，而 对非高斯输入在非商斯加往有色嗓声环境下运用高阶统计蹩对系统辨识 帮均筑瞧硬究秘应用还较少； ( 2 ) 运用高阶统计量方法研究非线性模型的辨识； ( 3 ) 向累积量的多维化、复数化发展，以更好地解决实际中存在的 笈杂超越。多维信号辫累积量比一维累双量在模型定玲、参数估诗方法中 提供了更多的信息。另外，复数形式非商斯噪声具有四阶累积量为零、满 足高阶y u l e w a l k e r 方程等特性。因此，簸数过程的高阶统计量对研究四阶 奎星些三盔兰堡圭堂丝堕奎一 以上非对称、非高斯信号也有着重要的意义； ( 4 ) 研究高阶方法统计量与同现代控制理论及方法的结合，必将有 广阔的研究和应用前景当然，基于高阶统计量方法在进行系统的辨识时，还 存在很多的局限一方面目前的很多算法，仅仅停留在理论推导上，难以应用 于实际中；另一方面，算法相对复杂、计算量大是目前制约高阶统计量方法 的主要原因，尤其对于解决在线辨识问题，很难具体实现；此外，唯一可辨 识性问题在有些算法中还没有得到很好地解决。针对这些问题，寻求简单、 适用性强的系统辨识算法是目前存在的关键理论和技术问题。 综上所述，高阶统计量的发展已经从理论转向应用，算法上采用多种 方法混合或者进行模式切换，以获得更快的收敛速度和更好的收敛效果。 高阶统计量的盲均衡技术现已得到了很大的发展，人们从不同的角度，不 同的方面去拓展、充实其算法与理论。但改进后的算法也难免存在局限性 和缺点，有待于进一步改进和完善。 第四节本论文的结构安排 本文共分六章。 第一章简要介绍了盲均衡的概念，分析了其研究意义以及国内外的研 究动态。 第二章简要介绍了高阶统计量的基础知识。如单个实随机变量、复随 机变量、多个随机变量以及平稳随机过程和正态随机变量的高阶矩和高阶 累积量，高阶累积量的基本性质，高阶矩谱、高阶累积量谱、双谱，以及 高阶统计量的性质等。 第三章总结了目前基于高阶统计量的几种盲均衡算法，如闭合公式 法、对称反对称变换法、直接法、s r 方法、归一化法以及倒谱法，并提 出了一些建议，分析了其发展方向。 1 2 整= 童缝笙 第殴章毒毋究了基予偶数除妇一他累积量蛮均衡冀法，分别推嚣了基予 p a m 茅筵鳓膨信号豹翻、5 2 除与六、二除嫱一亿富均鬻算法，分援了其优 缺点。 燕玉章磺究了基于奇数除躲一纯累积量蛮均赞冀法，撼出一种毅的对 称反对称交挨按剐，壳鼹了鸯数阶累积爨不熊蠹接遴行喜均鬻豹竭限蛙， 分别进行了p a m 和璺h m 信号的三、二阶与五、= 阶归一化窗均衡算法的 攫导，最后进行了磐法的诗算机仿真，并与鄹二玲、六二除算法在相同祭 件下黪仿真结果进行毙较。仿宾袭鹈，本文提出躲算法牧敛速度快、稳态 剩余误蓑小、容错能力强，优于已有的些同类算法。 第六章对本中蹶提出敬葺均鬻算法进行了性能上的分掇与总结。为以 嚣豹磷究提供依据。 太原理工大学硕士学位论文 第二章高阶统计量的基础知识 高统计量包括高阶矩、高阶累积量、高阶矩谱和高阶累积量谱，可以 有效地用于分析和处理非因果、非最小相位和非高斯信号，近年来在声纳、 雷达、等离子体物理、地震信号处理、图像重建、谐波恢复、时延估计、 自适应滤波、阵列信号处理、盲均衡等领域得到了广泛应用。 第一节高阶矩与高阶累积量 1 单个实随机变量的高阶矩与高阶累积量 设单个随机变量x ，定义其特征函数为： a qi i o c o ( c o ) = f f ( x ) e 。“d x = e “( 2 1 ) 其中，f ( x ) 为随机变量工的概率密度函数。 特征函数( 也称为第一特征函数) 实际上是密度函数，( x ) 的f o u r i e r 变 换。 x 的第二特征函数( 也称为累积生成函数) 定义为 d c y ( ) = l n c o ( a , )( 2 2 ) 第一特征函数中洄) 也称作矩生成函数。随机变量x 的k 阶矩定义为 仇d 矿e 。x k 】- k t ， ) d x( 2 3 ) 如果变量z 的k 阶矩存在，则其特征函数可以按照泰勒级数展开 o ( c 0 1 ，+ 喜等+ 。白”) ( 2 4 ) 塑三皇塞堕竺生墨盟苎型塑塑一 式中 m 。竺琢卜弘触_ ( _ 盟d c o kk 。邮胛) ( 2 5 ) = ( 一，) 2 0 ( o ) 类似地，随机变量x 的第二特征函数也用泰勒级数展开： 甲) = i n r o 善n 帮c k 珊) 。+ p b ”) f 2 6 1 式中，q 被定义为随机变量x 的k 阶累积量。即： c 。竺专【箸l n 删k 0 _ ( 嘲耐a _ z v m 。( ) ( 2 7 ) = ( 一j ) y ( o ) 由中( o ) = 1 和。白) 的连续性可知，存在占卜0 ，使蚓 占时m b ) 0 ， 因此甲) = l n 中) 对于例 帮矩 累积鬣公式( 简称m c 公式) 。 c m 公式： 致垂) ：n 。p ，)( 2 1 4 6 ) 0 护l ”1 m c 公式： q c ，) 。z ( - o 叫白一1 ) a 柳，( ，)( 2 4 7 ) 0 和? ” 式中，= e ，2 。) 代表随极肉量x = 每，x ：。) 豹指示簿集含；，。是由 指示符集构成的菜静类裂的子集；9 袭示姆，划分成鲍菜秽类型豹子集鲍 元豢，0 1 ，= ，譬魏取值霹以是l ，2 ，最；致p ，) 是子集内各元 素黎积数麓耀瞧；吱0 ，) 楚! ，予集浅备元索乘积的豢积鬣。 例如：当野= 1 时r 撰示符z = 囊 ，i v 只鸯一静 】 ，代入c m 公式 得： 奠( x ；- - m ；6 ；) ；e 如) f 2 4 8 ) 当”= 2 时，指示符，= l ，2 ， ，有溅秘q = l 时的 l ，2 秘 q = 2 时的 ( 1 ) ，( 2 ) l ，代入c m 公式得： 筻三兰壹堕竺生墨塑垩型塑望 朋：x 。，x ：) = e 扛。x ： = c ：g ，x ：) + c 1 g 。h g z ) ( 2 4 9 ) 当”：3 时，指示符，= 1 ，2 ，3 ) ，i p 有三种 q ：1 时的 ( 1 ，2 ，3 ) 1 ；q = 2 时的 ( 1 l ( 2 ，3 ) ) ， ( 1 ，2 l ( 3 ) ) ， ( 1 ，3 ) ，( 2 ) q = 3 时的 ( 1 ) ( 2 ) ，( 3 ) 。 代入c m 公式得 e x 。，x ：，x ，) = c 3x x ：x ，) + c 。( x 。k ：x ：x ，) + c 。x ：k ：x x ，) + c ，g ，k ：g 。x ：) + c 0 k x ：，( 屯) 第二节累积量的性质 累积量具有一系列重要的性质： 性质l ：设五。( f = 1 , 2 ，| | ) 为常数，t ( f = 1 2 ，七) 为随机变量，则 ( 2 5 0 ) 女 c u m ( 2 ，x 。，t ：x ：，以) = 丌a , c u m ( x ，x ：，。+ ) ( 2 5 1 ) 性质2 ：累积量关于变元对称，即 c u m ( x ，x ：，x 。) = c “删b 。，x 。，一，x 。) 上式中，0 x 矿，h ) 是( _ ，x ：，。) 的一种排列。 则 性质3 ：如果随机变量b j 与，) 独立，则 c u m ( x l + y l ，x i + y ) = c b l m ( x l ，x 2 ，x ) + c u m ( y l ，y 2 ，y ) ( 25 2 ) r 2 5 3 ) 性质4 ：- 若k 个随机变量x 。 ( f = 1 2 ，女) 的一个子集与其它部分独立 查堕里三查堂堡主兰垡丝壅 c u m ( x l ，x 2 ，以) = 0 ( 2 5 4 ) 由于任何高斯随机过程的高阶累积量恒等于零。所以由性质3 可知， 若。“) 为加性高斯有色噪声，z o ) 为非高斯信号，观测过程j ，( r ) = z 0 ) + w ( f ) 的高阶累积量恒等于非高斯信号x o ) 的高阶累积量，也就是说t 两个统计 独立随机过程之和等于各个随机过程累积量之和。如果一个非高斯信号在 与之独立的加性高斯噪声有色噪声中被观测的话，那么观测过程的高阶累 积量就是原非高斯过程的高阶累积量。这表明，高阶累积量在理论上可完 全抑制任何高斯有色噪声。但是，这一结论对高阶矩却不成立。而且使用 累积量作为一种算符比使用矩要容易、方便得多。这就是我们使用高阶累 积量而不是高阶矩作为主要的分析工具的一个重要原因。 第三节高阶谱的概念与性质 高阶谱包括高阶矩谱和高阶累积量谱。 1 高阶矩谱 设辟o ) ) 为零均值的平稳随机过程，若高阶矩聊。( 。，f ：一，r 。) 是绝 对可和的，即： i m 。( 印 f - i 。一 则k 阶矩谱定义为k 阶矩的k 一1 维f o u r i e r 变换，即 ，c o 。) = 州。( 7 j 。一o “一i e 一，( 叫f l + _ + 嘶l 。一1 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) 整兰兰壹堕丝生曼墼茎堕塑婆一 2 高除累积麓谱 浚篱阶黍褴量c 。( r 。，f ：，f 。) 是绝j c 毒可箱靛，繇： 沁h f 。，f ：靠一t l 。 ( 2 5 7 ) f i f _ 一】5 一 刚k 除鬃彩1 3 、。 , a v z 定义为k 阶累较量的k 一1 维离散f o u r i e r 变换，即： & 晒一“) _ ，譬。即功一_ i )( 2 5 8 ) + 喾一j 她r i + + 略一l 。- 0 习惯上，籀阶累积量谱简称为高阶谗或多谱。最常用的是三阶谱和四 阶谱。在一般情况下，三阶谱又称为双谱，四阶谱由称为三谱。 当k = 2 霹，称为二酚落或璃搴谱( p o w e r s p e c t r u m ) 。 尹白) = s ：；白) = 。：，( f 一” ( 2 5 9 ) 当k = 3 时，称为三除港或双港( b i s p e c t r u m ) 。 露如；，挪x * s ，。如；，f 2 一。 q t + q t ( 2 6 0 ) 当k = 4 露，称荛瑟除游或三瀵( t r i s p e c t r u m ) 。 丁妇；，国：，印，) = & ；如l ，翻：，脚，) ：量艺艺( 却2 3 一一引( 2 6 1 2 o 赴2 b 一 对于已知的离散信号缸l 七= o ，1 ，2 ， ，其而 ，泖变换为： 彳= x 。础 ( 2 6 2 ) 一 那么其功率谱为： p b ) = x b 弦如) 2 3 f 2 6 3 ) 囊 暴pp 净 国 太原理工大学硕士学位论文 双谱为 b ( 0 3 。，0 9 ：) = x ( 0 3 。肛：肛如，+ ：) f 2 6 4 ) 三谱为： 丁如。，0 3 ：，0 3 ，) = x 如。沙：) x ( 0 3 ，肛+ 白。+ 6 0 ：+ q )( 2 6 5 ) 由此可见，输出信号的高阶谱不仅能够反映系统的幅度信息，而且能 够反映系统的相位信息，而功率谱则不行。 第四节双谱的主要性质 在高阶累积量算法中，双谱简单且具有许多的优点，下面来讨论双谱 的一些性质与优点。由双谱的定义及三阶矩的对称性质可知f 2 3 】： 1 b ( c o 。，0 9 ：) 一般是复函数，它具有幅值和相位两部分信息，即： b ( 0 3 。，：) = j b 如，：】p “。： ( 2 6 6 ) 2 b ( 0 3 l ，0 9 2 ) 是以2 n - 为周期的双周期函数，即： b 如1 ，( - 0 2 ) = b ( 0 3 l + 2 刀，0 9 2 + 2 刀) ( 2 6 7 ) 3 对于实值序列，利用三阶矩的定义可以证明关于三次相关的下列对称 性质： c 3 ( m ) = ：c 巳3 ( ( n 脚, r n ) 胛= ，一e 3 ) ( ：- r ，t , ，m ( 一- 聊n ，) 。= 一c 脚3 ( ) ? l m ，m ) ( 2 6 8 ) = 巳( 脚一胛，一) = f 3 ( 一聊，一脚) 。o o j 由离散时间傅里叶变换( d 盯丁d 括c 阳把t i m ef o u r i e rt r a n s f o r ) ，以及性质 2 ( 2 6 7 式) ，可以证明b 如，印：) 有如下对称性质： b ( 0 3 l ， 0 3 2 ) = 口如：，珊。户曰( 0 3 ：，一曲。) = 曰+ - 0 3 。，一g o ：) = b ( - 0 3 1 一2 ，2 ) = 占( l ，一0 9 i c 0 2 )( 2 6 9 ) = b ( - 0 3 l 一2 ，国1 ) = 占2 ，一l 一国2 ) 笙三里壹睑竺生量堂董堕塑婆 除上述一些基本性质以外，双谱还鬃有魏下一些辩蕊往葳裙瘸途： 4 正态性麴捻验 对于零均值的平稳随机序列，它的双谱为零，利用些性质可以检验随 机序列的正态往。 5 。j 忑态自噪声的检验