（电路与系统专业论文）ECG参数检测算法的研究.pdf

中文摘要摘要：e c g ( e l e c t r o c a r d i o g r a m ) 信号的检测是心脏疾病临床诊断中的重要环节，如何增加e c g 信号采集的精度、降低噪声干扰、提高e c g 信号波形检测的效率一直是e c g 信号榆测研究的核心问题。本文主要从e c g 信号预处理算法和e c g 信号参数检测算法两个方面对e c g 信号检测进行了研究。e c g 信号中比较常见的干扰类型为：工频干扰及其谐波、基线漂移和肌电干扰。针对这三种干扰的频谱特性，本文系统研究了采用数字滤波器进行e c g 信号预处理的方法，并利用小波变换的多尺度分析特性，深入研究了基于小波变换系数阈值法的e c g 信号预处理。为了解决该方法阈值选取的困难，文中进一步研究了小波变换和自适应滤波器相结合的滤波方法，并设计了一种白适应滤波器。该滤波器是以小波单支重构信号作为参考信号，通过l m s 算法逼近多支重构信号，从而实现滤波功能，此方法能够有效地滤除t 频干扰、基线漂移和部分肌电干扰。e c g 信号参数检测主要是针对e c g 信号中q r s 波群、p 波、t 波等参数的位置、幅度、面积信息进行检测。本文研究了使用双正交二次b 样条小波对e c g 信号进行小波分解，根据模极值对确定e c g 信号中r 波位置的方法。在此基础上本文通过分析不同尺度上小波变换的结果，对e c g 信号中的p 、t 波进行了定位，并针对p 、t 波有正向、负向、双峰等多种形式这一特点，对p 波、t 波的检测进行了优化，使用该方法可以有效地检测e c g 信号中的q r s 、t 、p 等波形信息。本文以m a t l a b 为平台对e c g 信号预处理和参数检测算法进行了仿真，文中使用m i t - b i h 心电数据库和实际采集的e c g 信号，应用小波白适应滤波器和小波变换法进行了e c g 信号预处理和参数检测，均达到了较理想的效果，证实了算法的可行性。本文共有图2 1 幅，表4 张，参考文献4 4 篇。关键词：e c g 信号：预处理：参数检测：小波变换分类号：t p 2 7 4a b s t r a c ta b s t r a c t ：e c g ( e l e c t r o c a r d i o g r a m ) p a r a m e t e r sd e t e c t i o ni sa l li m p o r t a n ta s p e c tf o rc li n i c a ld i a g n o s i so fh e a r td i s e a s e t h ek e yp r o b l e m si ne c gs i g n a lp r o c e s s i n ga r eh o wt oi n c r e a s et h ea c c u r a c yo fe c gs i g n a la c q u i s i t i o n , r e d u c en o i s ei n t e r f e r e n c ea n di n c r e a s ee f f i c i e n c yo fe c gs i g n a lp a r a m e t e r sd e t e c t i o n e c gs i g n a lp r o c e s s i n gi ss t u d i e di nt h i sp a p e ri nt w oa s p e c t sw h i c ha r e ：e c gs i g n a lp r e p r o c e s s i n ga n de c gs i g n a lp a r a m e t e r sd e t e c t i o n t h e r ea r et h r e ec o m m o nt y p e so fi n t e r f e r e n c ei ne c gs i g n a ls u c ha sp o w e rf r e q u e n c yi n t e r f e r e n c e ，b a s e l i n ed r i f ta n dm y o - e l e c t r i c a ln o i s e a c c o r d i n gt ot h es p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i co ft h et h r e en o i s e s ，t h ee c gs i g n a lp r e - p r o c e s s i n gm e t h o db yd i g i t a lf i l t e ri ss t u d i e di nt h i sp a p e r a n dt h e nw a v e l e tc o e f f i c i e n t st h r e s h o l dm e t h o df o re c gs i g n a lp r e p r o c e s s i n gi sr s t u d i e d ，w h i c hi sb a s e do nt h em u l t i - r e s o l u t i o nw a v e l e ta n a l y s i s i no r d e rt or e s o l v et h ed i f f i c u l to fs e l e c t i n gt h r e s h o l d ，af i l t e r i n gm e t h o d ，w h i c hi st h ew a v e l e tt r a n s f o r mc o m b i n i n gw i t ht h a ta d a p t i v ef i l t e r , i sr e s e a r c h e d b a s e do nf o r m e rr e s e a r c h ，aw a v e l e ta d a p t i v ef i l t e r i sd e s i g n e di nt h ep a p e r , w h i c ht a k e ss i n g l ew a v e l e tr e c o n s t r u c t i o ns i g n a la sr e f e r e n c ea n da p p r o a c h e si tt ot h em u l t i - w a v e l e tr e c o n s t r u c t i o ns i g n a l t h ef i l t e rc a l le f f e c t i v e l yf i l t e rp o w e rf r e q u e n c yi n t e r f e r e n c e ，b a s e l i n ed r i f ta n ds o m em y o - e l e c t r i c a ln o i s e e c gs i g n a lp a r a m e t e r sd e t e c t i o ni sd e t e c t i n gt h el o c a t i o n ，m a g n i t u d ea n do t h e rp a r a m e t e r so fq r ss i g n a l ，pw a v ea n dtw a v ei ne c gs i g n a l am e t h o di sr e s e a r c h e di nt h ep a p e r , w h i c hd e t e c t st h el o c a t i o no frw a v eb yt h ee x t r e m ev a l u e sm o d u l oi np a i r s t h ee x t r e m ev a l u e sm o d u l oi np a i r sa r eg o t t e nb yd e c o m p o s i n gs i g n a lw i t ho r t h o t r o p i cq u a d r a t i cb - s p l i n e t h em e t h o di su s e dt od e t e c tt h el o c a t i o no fpw a v ea n dtw a v ea n do p t i m i z e df o rt h em u l t i p l ew a v ef o r m so fpw a v ea n dtw a v e i tc a ne f f e c t i v e l yd e t e c tt h eq r s ，只tw a v e si ne c gs i g n a lb yt h i sm e t h o d t h ea l g o r i t h m so fe c gs i g n a lp r e p r o c e s s i n ga n dp a r a m e t e r sd e t e c t i o na l es i m u l a t e db ym a t l a b t h ee c gs i g n a l sf o rs i m u l a t i n ga r ef r o mm i t - b i ha n dr e a la c q u i s i t i o nd a t a t h es i m u l a t i n gi sv e r yw e l l a n dt h ef e a s i b i l i t yo fe c gs i g n a lp r e p r o c e s s i n gb yw a v e l e ta d a p t i v ef i l t e ra n de c gs i g n a lp a r a m e t e r sd e t e c t i o nb yw a v e l e tt r a n s f o r mi sp r o v e db yt h es i m u l a t i n g k e y w o r d s ：e c gs i g n a l ；p r e p r o c e s s i n g ；p a r a m e t e r sd e t e c t i o n ；w a v e l e tt r a n s f o r mc l a s s n o ：t p 2 7 4独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标汴和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名：匀中必签字日期：幼汐夕年石月2 罗日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权北京交通大学可以将学位论文的伞部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名：白巾心签字日期：二矽年凡节日导师签名：础一日致谢本论文的研究工作是在我的导师郝晓莉副教授的悉心指导下完成的。在两年的研究生学习生涯中，郝晓莉副教授严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此，我衷心的感谢郝晓莉老师对我的生活、学习无微不至的关心和指导，并祝愿郝老师身体健康、工作顺利。陈后金教授、刘颖教授、薛健副教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心的感谢。在实验室t 作及撰写论文期间，牛传莉、孙上鹏等同学对我论文中的研究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。另外也感谢我的家人，正是由于他们的理解和支持才能使我在学校专心完成我的学业。1 引言1 1 研究背景与意义心脏病是严重危害人类健康的疾病之一。根据世界卫生组织在2 0 0 8 年1 0 月公布的数据，全球每年因患心脏病及相关疾病而死亡的人数占到总死亡人数的2 9 ，排在所有疾病之中的第一位。因此，及时发现心电信号异常并实施必要的治疗抢救措施有着重要的临床意义。心电信号也是人类最早进行研究并应用于医学临床实践的生物信号之一，它比其它生物电信号更易于检测，并且具有较直观的规律性。作为主要反映心脏激动电学活动的心电图( e l e c t r o c a r d i o g r a m ，e c g ) 也一直是心脏疾病诊断领域的研究重点。自上世纪初荷兰莱顿大学的生理学家e i n h t o v e n 应用弦线电流计描记心电过程开始，心电图应用于临床心脏病诊断。在临床诊断中，心电图参数检测分析大多采用临床医生手动分析的方法，但是因为心电信号形状复杂、数据量大，因此心电参数检测的准确率与临床医生的诊治经验与工作态度等主观因素有非常大的关系。为了解决这一问题人们开始将计算机辅助分析引入到心电图分析中，并解决了部分心电图自动测量、模式识别和辅助诊断的工作。上世纪6 0 年代以来，随着计算机技术的进步及其在医学上的应用，心电信号自动监测分析技术也得到了迅速的发展。心电图自动分析【l 捌则是迄今为止计算机在医学中应用最为成功的范例之一，它融合了包括传感器技术、信号处理技术、描记技术以及逻辑判断技术( 人工智能) 等最新的研究成果。早在1 9 5 7 年，h p i p b e r g e r ( w a s h i n g t o n 的v e t e r a n s h o s p i t a l )小组就开始使用心电自动分析技术。之后在1 9 6 5 年，以u s p h s ( u sp u b l i ch e a l t h s e r v i c e ) 的援助为基础，c c a c e r e s 开发了被称为“e c a n d ”的心电程序。在此基础上，6 0 年代末期，t e l e m e d 公司和h e w l e t tp a c k a r d 公司又开发了自己的心电程序。同时，自1 9 6 0 年起，i b m 公司也开始开发自己的产品，形成在7 0 年代后半期被广泛使用的b o n n e r 程序。从那时开始，又有m a r q u e t t e 公司的“m u s e ”和m o r t a r a 公司的程序诞生。现在t e l e m e d 和i b m 都已经中止分析、诊断程序的服务及销售，全世界只有少数生产厂家有相对成熟产品。目前的心电图自动检测及分析技术在信号去噪、特征提取、分析方法等各个方面仍然存在很多的缺陷，现有的各类心电图机和心电分析软件都只是起到辅助诊断的作用。冈此，研究新的心电参数检测方法以提高心电信号的特征参数检测的准确率，寻找适合计算机实现又具诊断价值的诊断方法，是改进计算机自动分析效果，并扩大其应用范围的根本途径。1 2e c g 信号介绍心脏是维持生命的重要器官，其在中楸神经系统和自主节律系统的双重控制下进行有节律的持续的搏动，使血液通过循环系统流经身体的各个部位，供应组织的营养需要，维持正常的新陈代谢。心电图反映了心脏传导系统的活动，因此它们的联系非常密切。心脏细胞除极和复极的电生理现纠引，是心脏运动的基础。由丁心脏内部产生的一系列非常协调的电刺激脉冲，分别使心房、心室的肌肉细胞兴奋，使之有节律地舒张和收缩，从而实现“血液泵”的功能，维持人体循环系统的正常运转。心电信号则是从宏观上记录心脏细胞的除极和复极过程，从一定程度上客观反映了心脏各部位的牛理状况，因而在临床医学中有重要意义。每一个心脏细胞的除极和复极过程可以等效于一个电偶极子的活动。为了研究方便和简化分析，可以把人体看作是一个容积导体，心脏细胞的电偶极子在该容积导体的空间中形成一定方向和大小的电场，所有偶极子电场向量相加，形成综合向量，即心电向量。当它作用于人体的容积导体时，在体表不同部位则形成电位差，通常从体表检测到的e c g 信号就是这种电位差信号。显然，当检测电极安放位置不同时，得到的e c g 信号波形也不同，于是产生了临床上不同的导联接法。在体表不同位置连续记录两点间的电位差所得到的随时间变化的曲线，就是人们所熟悉的心电图。心电图【4 5 】虽然源于心肌细胞的生物电变化，但是心电图曲线和心肌细胞的生物电变化曲线存在明显的差别，造成这种区别的主要原因主要包括如下几点：1 细胞生物电变化曲线是通过细胞内电极记录法得到的，测到的电位差是同一个细胞膜内外的电位差。心电图曲线是通过细胞外电极记录法得到的，它只能测出己兴奋部分和尚未处于兴奋状态部分的电位差，当两个测量部位处于相同的活动状态时，测出的电位差呈现等电位线状态。2 细胞生物电变化曲线反映的是单个细胞在兴奋或静息时膜内外的电位差，而心电图曲线反映的是一个心动剧期内整个心脏的生物电变化，是许多心肌细胞电活动的综合效应在体表的反映。3 心电图是在身体表面不同部位测量得到的心脏电变化，由于人体各部位组织不同，与心脏的距离也不同，在人体表面的不同部位，心电电位的变化也不相2同，因此测量电极放置的位置不同，心电图记录的曲线也不同。正常的人体心脏，在生命活动中呈现的是有规律性、特征性的心电图曲线，它应该包括一个p 波，一个q r s 波群和一个t 波，有时还能记录到一个小的u 波。典型正常心电图的波形如图1 1 所示。图1 1 正常心电图f i g i 1n o r m a le l e c t r o c a r d i o g r a m1 3e c g 信号处理技术心电图自动检测分析技术是指在采集到e c g 信号的基础上，提取表征心脏状态的波形信息和特征参数，获取心脏工作状态的相关信息，然后利用这些特征信息分析、判别心电信号类型及所对应的疾病类型或健康水平，进而对心脏状态和健康状况进行判断。其主要由：e c g 数据采集、e c g 信号预处理、e c g 参数自动检测、e c g 诊断分类四个模块组成，如图1 2 所示。图1 2 e c g 信号分析流程f i g 1 2t h ep r o c e s so fe c gs i g n a l sa n a l y s i s1 3 1e c g 数据采集技术e c g 数据采集系统主要用于各导联i _ j 步心电信号的采集、放大和描记。同步心电图仪一般只使用8 通道放大器同步采集8 导联心电信号，它包括输入电路和放大处理电路两个部分。输入部分主要包括电极、导联线、缓冲放大电路等，主要作用是从人体提取心电信号。人体的心电信号极其微弱，而且人体作为心电信号的信号源，其内阻是比较大的。所以在放大部分不但要对心电信号进行放大。最后，将采集后得到的心电模拟信号进行数字化处理，即彭d 转换，从而得到数字化的心电信号。1 3 2e c g 信号预处理技术e c g 信号预处理是对心电信号的前期处理，主要是为了滤除干扰信号。心电信号比较微弱，一般正常人的心电信号频率在0 1 5 1 5 0 z 范围内，幅度为1 0 9 v ( 胎儿) 5 m v ( 成人) ，在采集心电信号时，易受到仪器、人体活动等方面的影响，所采集的心电信号常伴有干扰。心电信号的干扰主要有以下三种：一是基线漂移，一般是由人体呼吸和心肌兴奋所引起的，频率低j j ：i h z ，表现为缓慢变化的曲线；二是肌电干扰，它足由人体肌肉颤动所致，它的频率范围很宽，一般在5 h z 2 0 0 0 h z 之间，表现为4 i 规则的快速变化波形；三是工频干扰，它的频率固定为5 0 h z 或6 0 h z 。为了能够有效的滤除这些干扰信号，通常采用滤波器进行滤波处理，例如：使用低通滤波器滤除低频基线漂移干扰：利用高通滤波器滤除肌电干扰的高频成分；利用梳状滤波器滤除工频干扰等。1 3 3e c g 信号参数检测技术e c g 信号参数检测包括心电信号中各个波形的位置、宽度、面积等信息的检测，目前各参量检测方法已有不少研究成果发表。但是因为e c g 信号波形的复杂性和各种类型噪声的存在以及生理上的变异性，各种方法均有其不足之处，目前的方法主要是硬件方法和软件方法。采用硬件实现心电信号参数信息的检测具有处理速度快、结构相对简单的优点，但是方法上不如软件实现灵活，对于复杂的情况应付能力比较差：而且它处理的参数比较少，一般仅用于检澳i j q r s 波的位置。q r s 波硬件检测主要是依据q r s波与p 、t 波和噪声的频率特性的差异来实现的。典型的q r s 波形检测由滤波电路、整合处理电路和判别电路等部分组成。采用软件实现e c g 信号参数信息的检测可以灵活选择调节各类设置，对复杂情况进行判断处理，能够方便地增加检测的参数，虽然它的速度与硬件相比较慢而且软件结构相对复杂，但用软件方法可以方便地进行数字滤波、线性和非线性4变换以及判定处理等，显示出许多优越性。目前的软件方法主要是对心电参数信息中的q r s 波形信息进行检测，首先是要对滤波之后的信号经过一些变换，进而采用一系列阈值进行判别，这些阈值有固定阈值法，也有可变阈值法。前者由于可能的干扰的存在，着其滤波后超过其阈值便会产生假阳性( f p ，f a l s e p o s i t i v e ) 结果；另外，当心律失常或心电信号各个波幅度变小，阈值设置过高，会导致漏检产生假阴性( f n ，f a l s e n e g a t i v e ) 结果。由于固定阈值的这些缺点，有研究者提出了用可变阈值检测，以提高检测的精确率，所采用的可变阈值包括幅度阈值、斜率阈值和时间间隔阈值等。应用小波变换( w t w a v e l e tt r a n s f o r m ) 技术，可以较好的提高心电信号参数检测效果1 6 】。小波变换的基本思想是用一族函数去表示或逼近一信号或函数，这一族函数称为小波函数系，它通过一基木小波的平移和伸缩构成。形象地讲，小波变换有“变焦距”的功能，在高频部分，它有“最微”能力，这一特点在处理突变信号时很有用。该技术利用信号在不同尺度( 频段) 上的不同分布，来检测q i 峪波，该方法还可以检测p 波和t 波等其他参数。小波变换具有以下三个特点：多分辨率；品质因素即相对带宽恒定；适当选择基本小波，可使小波在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。使用小波变换方法检测e c g 参数具有以下一些技术特点：1 小波变换w 2 1 f 【n ) 能代表信号不同频率上的分量，在s = 2 、3 的尺度上，高频噪声有很大衰减，而基漂、高p 波和高t 波等容易造成误判的低频成分在s = 2 、3 尺度上较小，检测该尺度上的小波变换大大提高- j q r s 波检测率。2 信号记录中出现伪迹，容易造成误判，在小波变换检测方法中，通过去掉孤立极值点能很好地解决这个问题。李翠微等人【7 】利用二进样条小波对e c g 信号按m a u a t 算法进行变换：从二进小波变换的等效滤波器的角度，分析了信号奇异点( r 峰点) 与其小波变换模极大值对的零交叉点的关系。1 3 4e c g 诊断分类技术心电图的自动诊断具有很高的临床应用价值。目前国内外都开展了这一领域的研究工作。但是，目前计算机对心电图的自动诊断还不能完全达到专家的诊断效果。分析其原因，主要有三个：一是由于心电信号本身不规则，形态多变，各种异常波形和正常波形的特征量差异往往不能用简单的阈值就能够区分开米，仅用有限的特征参量难以完全描述心电模式。二是基于特征提取的e c g 自动分类方法往往要用到大量的先验知识，使得算法的建立较为复杂。三是常用的模式分类5方法自身还不够完善。如基于贝叶斯决策理论的分类方法在理论上是最优的，但它是样本数目趋于无穷大时的渐近理论在实际中很难做到。而具有自适应、自学习能力的神经网络方法，虽然具有强大的分类识别能力，但缺乏完善的理论指导，且其训练样本的选择对分类器性能和泛化能力有很大影响。因此，改进传统的处理方法、探索新的解决方案。进一步提高诊断的准确性，仍然是当前心电分析领域中迫切需要解决的一个问题。1 4 论文主要内容及结构本文从两个大的方而对于e c g 信号处理技术展开了研究：1 研究了使用数字滤波器对e c g 信号进行预处理的方法，在此基础上，进一步研究了小波变换在e c g 信号预处理技术中的运用，并将自适应滤波器和小波变换相结合，设计了一种利用小波重构，通过逼近信号中来预测噪声分量从而实现滤波效果的自适应滤波器，经过m a t l a b 的仿真验证，取得了很好的预处理效果。2 研究了e c g 信号常用的波形检测技术，并深入研究了利用小波变换模极值对与e c g 信号奇异点对应的特性，使用双正交二次b 样条小波进行q r s 波群的波形检测方法。本文将这种方法延伸到e c g 信号中p 波、t 波等参数检测的应用中，经过使用实测的心电信号，以及m i t - b i h 心电数据库中的数据验证，取得了很好的检测效果。论文的主要框架结构如下：第一章：介绍了本论文的研究背景与意义。第二章：对小波变换的理论进行了介绍，并重点讨论了小波变换的多尺度分析特性，以及小波变换模极大值与信号奇异点对应的特性。第三章：研究了e c g 信号的预处理技术。在讨论了常用预处理技术的基础上，重点研究了小波变换在e c g 信号预处理中的应用。第四章：主要介绍了e c g 信号的参数检测技术。重点研究了使用小波变换进行e c g 信号q r s 、p 、t 参数检测的方法。第五章：对e c g 信号预处理与检测算法进行了总结，对存在的问题进行了探讨，并说明了下一步的研究方向。62 小波变换理论2 1 小波变换在e c g 信号处理中的应用小波变换的多尺度分析和重构能力，以及模极值对在各个尺度上的变化规律能表征信号奇异点的性质，使得小波变换在数据压缩、图像处理、地震波检测、语言信号处理等领域得到广泛应用。同样，利用小波变换的尺度分析特性可以分解e c g 信号，在不i 一的分解尺度上可对e c g 信号进行去噪、特征点检测、压缩等各种分析处理。具体可以归纳为以下几点：1 对e c g 信号进行预处理：使用小波变换对信号在各个尺度上进行分解，在不同尺度上所包含信号的频率成分是不同的，简单的说，小尺度上信号的高频成分较多，而大尺度上低频成分较多。因此可以利用这一特件对e c g 信号进行滤波，去除较小尺度上的细节信号以去除高频干扰，而丢掉大尺度的逼近信号以抑制基线漂移等低频干扰，最后通过信号的重构得到去除噪声后的e c g 信号2 对e c g 参数的检测：小波变换具有很好的局部分析能力，可以表征信号的局部变化情况，并且小波变换模极值对在各个尺度上的变化规律能表征信号的奇异性。利用这些性质就可以使用小波变换进行e c g 信号的参数检测。3 用于e c g 信号的数据压缩：作为某些心脏疾病的诊断手段之一，常常需要测量病人连续2 4 小时的心电图，会有大量的数据需要存储。因此，在对这类心电图记录进行处理时，就需要进行数据压缩，而数据压缩正是小波变换应用的重要方面。采用小波变换逼近可提高压缩比，而且可避免“方块效应”和“蚊式噪声”，效果较好。本文在第三章和第四章研究了利用小波变换进行e c g 信号预处理，以及检测q r s 波、p 波、t 波等参数信息的方法，为了更好地展开研究，本章将先对小波变换的理论基础和小波变换在e c g 信号处理中的应用原理进行讨论。2 2 小波变换概述小波( w a v e l e t ) i s - 1 3 1 是波中的一类信号，顾名思义是指小的波形信号。所谓“小，是指具有很快速度的衰减性，在有限时间范围内不为零，能量有限，且相对集中在局部区域；所谓“波”是指其具有波动性。我们利用小波信号来进行信号表达，7从而实现信号的小波变换。小波变换是由法国地球物理学家m o r l e t 于1 9 8 4 年在分析地球物理信号时作为一种信号分析的数学工具而提出来的。虽然小波变换的统一理论框架的完善只是近几年的事情，但小波变换思想的提出可以追溯到2 0 世纪初，1 9 1 0 年h a r r 就提出了小波规范正交基( h a r t 系) ，经过半个世纪以来众多学者的共同努力逐步发展为统一的理论框架，使小波变换成为自傅立叶变换提出以来的一个新的里程碑式的理论。2 0 世纪8 0 年代中期法国科学家组成的f r e n c hs c h o o l 为小波理论建立了坚实的数学基础，许多科学家m o r l e t 、m e y e r 、g r o s s m a n 、m a l l a t 、d a u b e c h i e s 、c o i f r n a n 、w i c k e r h a u s e r 等都作出了杰出的贞献。经过近一个世= 纪特别是近2 0 年的发展，小波变换不仅在理论和方法上取得了突破性的进展，而且在许多领域巾都获得到了广泛的应用。原则上讲传统上使用傅立叶变换的地方，现在都可以用小波变换来取代，小波变换优于傅立叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域采样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，从这个意义上讲小波变换被人们誉为数学显微镜，是傅立叶变换发展史上里程碑式的进展，已成为信号分析中又一重要的数学工具。信号的短时傅立叶变换虽然能够在一定程度上改善傅立叶变换的不足，但由于在信号的时频分析中，时间分辨率固定不变，因而不能有效地反映信号的突变程度，使得应用受到许多局限。小波分析拓展了信号短时傅立叶变换的方法，实现了一种新的时频分析方法，其时窗可以随着频率增高而缩小，频率减低而增大，有效地解决短时傅立叶变换的缺陷。接下来本文就将介绍连续小波变换和离散小波变换。在信号分析中，为了能够更好地分析与处理信号，常将信号t ) 分解为另一类信号的线性组合，即：x ( t ) = e a 。( p 。( t )( 2 1 )n其中：n 是整数下标( n z ) ，可以为有限或无限；a n ，n z 为展开系数，叩。( t ) ，n z 为展开函数。若展开式2 1 具有唯一性，即不同的信号对应不同的展开系数，则该展开函数称之为基。如果该基是正交归一化基( o r t h o n o r m a lb a s i s ) ，即基函数( p l ( t ) 与叩k ( t ) 的内积满足：( i p i ( t ) ，叩k ( t ) ) = i p l ( t ) p k ( t ) d t = 0( k 1 )( 2 2 )则各展开系数a n 可由信号x ( t ) 与对应的基函数p 。( t ) 的内积计算：a 。= ( x ( t ) ，p 。( t ) ) = ix ( t ) ( p 。( t ) d t( 2 3 )例如，对于傅立叶技术，其基函数( p 。( t ) 为s i n ( n 0 1 0 t ) 与c o s ( n o ) 0 t ) ，其为正交归一化基。对于小波展开，基函数为小波信号、i ，i 。( t ) ，即：x ( t ) = d j k y j , k ( t )( 2 4 )kj其中：d i 。k ( j ，k z ) 为小波变换系数，称为信号x ( t ) 的离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o m ，d w t ) ，而把式2 4 称为离散小波反变换( i n v e r s ed i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，i d w t ) 。小波信号、l ，i 。( t ) 定义为：、l ，“( t ) = 2 胆、i ，( 2 t k )j ，k z( 2 5 )而信号、l ，( t ) 称之为小波母函数( m o t h e r w a v e l e t ) ，即小波信g - 、l ，ik ( t ) 可以由小波母函数、i ，( t ) 经实践k 的平移( t r a n s l a t i o n ) 和尺度j 的展缩( s c a l i n g ) 而得到。在信号的傅立叶变换中，展开系数是一维频率变量的函数。信号的离散小波变换d i ，k 是二维整数变量i 、k 的函数，变量k 表示d w t 的时间或窄问( t i m eo rs p a c e ) ，变量j 表示d w t 的频率或尺度( f r e q u e n c yo rs c a l e ) ，这表明在在信号的d w t 中，可以同时获得信号的时间和频率信息，从而实现信号的时频分析。此外，小波基函数并不唯一，而是存在许多不同的小波基函数，这与傅立叶基函数的唯一性不同。小波基函数的非唯一性为信号小波分析提供了更多的灵活性，这也是信号的小波分析得到广泛应用的重要因素。连续小波变换主要有以下这些性质：1 叠加性：一个多分量信号小波变换等于各分量小波变换之和。2 。平移不变性：若t ) 的小波变换为w t x ( a ，t ) ，则x ( t - t o ) 的小波变换为w t 。( ”一t o ) 。3 伸缩共变性：若x ( 0 的小波变换为w t x ( a t ) ，则x ( t a ) 的小波变换为4 x w t x ( 犰，讥) ；九 0 。此性质表明，当信号x ( t ) 作某一倍数伸缩时，其小波变换将a ，t 两轴上作同一比例的伸缩，但是不发生失真变形。4 自相似性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数t 的连续小波变换之间是自相似的。5 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：第一，由连续小波变换恢复原信号的重构方式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与其反变换是一一对应的。第二，小波变换的基函数即小波函数存在许多可能的选择。接下来，将对连续小波变换及其性质进行数学角度的介绍。首先定义符号z和r 分别代表整数和实数集合，l 2 ( r ) 和l 2 ( r 2 ) 分别代表可测是的、平方可积的一维和二维函数，即f i x ) 和坟x ，y ) 的向量空间1 2 ( z ) 是平方可求和序列的向量空间，即：，2 ( z ) = ( a i ) m ：l a i l ( 2 6 )9中仁挚 0 。基小波v 对此可能必须有一点限制附加在、i ，上的条件是：r 掣抓f 掣扯三c v 仁在实际运用小波的过程中，尤其是使用计算机实现时，往往要把前面提到的连续小波变换离散化f 1 4 - 1 6 1 。在这里的离散化是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数t 的，而不是针对时间变量t 的。这一点与以往的时间离散化习惯不同。关于尺度的离散化，目前通行的办法是对尺度按幂级数做离散化。即令a 取a o o = 1 ，a 0 1 ，a 0 2 ，a 0 3 ，甜。相应的小波基函数为甲( t f ) a 舻a 3 ，j = o ，l ，2 ，。关于位移的离散化，当a a o o = l ，下可以某一基本间隔t o 作均匀采样。t o 当选择使信息仍能覆盖t 轴而不丢失的值( 例如不低于n y q u i s t 采样率) 。在其余各尺度下由。f 甲( t a 6 ) 的宽度是甲( t ) 的1 a j 倍( 相当于其频率降低了耐倍) ，因此采样间隔可以扩大甜倍。也就是说，在某一i 值下沿t 轴以韵j 勘为间隔作均匀采样仍可保证信息不丢失。这样，甲。( t ) 就被改成：l f ( k a 扣。一t ) a j o 2j 记作、l ，8 5 h 。( t ) 。在这些点上计算得到的w t 记作：w r , ( a a h ) f x ( t 酬挚i( 2 2 0 )a a式2 2 0 即为信号x ( t ) 的离散小波变换，简记为d w t ( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 。在实际工作中最常见的情况时取a o = 2 ，此时a t 的取值为2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 j ，这就是我们常用到的二进离散小波变换。对于尺度及位移均离散化的小波序列，若取离散栅格的a o = 2 ，a t = 0 ，即相当连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，则称这类小波为二进小波，相应的小波变换称为二进小波变换。二进小波表示为：气( t ) = 去p l 等)( 2 2 1 )二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时问域上的平移仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具有连续小波变换的时移共变性( 也即平移不变性) ，这是它较之离散小波变换所具有的独特优点。二进小波既是完全的，也是稳定的。下面我们将引出“离散序列小波变换”的概念。图2 1 信号分解结构图f i g 2 1s i g n a ld e c o m p o s i t i o nt e x t u r ed i a g r a m1 2由图2 1 ，我们可知：1 第0 级输入x k ( 0 ) 就是信号的原始采样序列x ( k ) 。2 各级低通输出x k 0 ) 是x ( k ) 在第j 级分辨率下的平滑逼近。3 各级高通输出d 一是x ( k ) 在第j 级分辨率下的细节信号，它也就是离散序列x ( k )在第i 级的小波变换。4 h o ( k ) ，h i ( k ) 是处理时所用滤波器组的冲激响应。h o ( k ) 是低通的，相当于c w t的尺度函数中( t ) ；h l ( k ) 是高通的，相当于c w t 中的小波函数v ( t ) 。以上四点所述就是离散序列小波变换( d i s c r e t es e q u e n c ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简记为d s 、w ) 的基本框架。对于离散序列( 即数字化信号) ，它的_ 进制小波变换也肯定应是离散形式。法国数学家m a l l a t 提出了相应的小波分解和重构的快速算法。这种方法将内积运算转化成了卷积运算。对于数字信号f 【n ) ，其二进制小波变换的m a l l a t 算法为：$ 2 j f ( n ) = h k s 2 j - i f ( n - 2 j - 1 k )( 2 2 2 )日0 2 j f ( n ) = g k s 2 j - i f ( n - 2 r l k )( 2 2 3 )k e z我们将s ，称作光滑算子，那么就有：s 2 ，f 【n ) = f 宰2 j ( n )( 2 2 4 )其中的称作为尺度函数，且有：s ，。f ( n ) = d ( n )( 2 2 5 )式2 2 4 和式2 2 5 中的f 【n ) 是我们所要处理的信号，d l l 可以看作是f 【n ) 被似n ) 光滑之后的结果。o ) 2 j f ( n ) 是信号f i n ) 的二进制小波变换。设 h k ，k 刁和 g k ，k e z 分别是低通滤波器h ( ( 1 ) ) 、高通滤波器q ( o ) 的系数：h b ) = h 。e x p ( - j k c o )( 2 2 6 )g 0 ) = g 。e x p ( - j k t o )( 2 2 7 )滤波器h ( ( o ) 和g ( t o ) 与小波函数和尺度函数具有以下关系：t 1 2 0 , ) - - n ( ：c o ：) , i , ( ：c o )l圣( 2 ) = h 0 冲0 )并且：( 2 2 8 )( 2 2 9 )j n ( o , 1 2 + l g 0 ) | 2 = 1( 2 3 0 )由式2 2 6 和式2 2 7 可知，计算小波变换并不涉及小波函数、i ，的具体形式，而只要知道高通滤波器和低通滤波器的系数就可以了。这也体现了小波分析的多分辨特性，因为数据逐级通过滤波器就实现了对频带的分割。在具体使用中，如果采用的小波对应的分解系数很长，这时还可以使用d f t 的方法来减少计算量【1 7 1 。2 3 小波变换对信号突变特征的表征信号的突变 1 8 - 2 2 】有两方面的含义：一是位移的急剧变化( 即峰值奇异) ，二是频率的急剧变化，因此信号的突变分析也要从这两方面进行：第一，确定信号的突变时刻( 奇异点定位) 第二，区分不同的突变类型( 奇异性检测) 。如果信号的频谱有时间局域性，就可以进行给定时刻的频率分析，同时又可以随着时间的推移跟踪信号频率的变化情况。这正是小波变换的重要特点。2 3 1信号奇异点位置的确定g r o s s m a n n 曾系统地论述了如何利用小波变换的局部化特性柃测信号奇异点位置。设一光滑函数。( x ) ，并且满足下列条件：。( x ) = 0 0 0 + x 2 ) ) 和l o ( x x o ，我们定义o 。( x ) = o ( x s ) s ，并定义两个小波函数：甲- ( x ) ：掣a x对于f 【x ) l 2 ( r ) ，它的小波变换为：甲2 ( x ) = 掣( 2 3 1 )们( s ，x ) = f 木只1 ( x ) = s 兰( f 幸。，x x )( 2 3 2 )2 f ( s x ) = f 掌鬈2 ( x ) = s 2 爵d 2 ( f 。x x ) ( 2 3 3 )件o ( x ) 起着光滑化坟x ) 的作用。对每一尺度s ，其1 f 【s ，x ) 、2 f f s ，x ) 分别正比于辟o ( x ) 的一阶导数和二阶导数，图2 2 直观地表示了它们之间的关系。c a ) f 【曩，x )日0 2 f ( a , x )r 一1：x o：x l：x 2；4 一i 一么全毒 0 ，因此可以利用小波变换来检测。设x o 为信号f i x ) 的局部奇异点，则该点处f 【x ) 的小波变换可以取得模极大值。在离散二进小波变换中式2 3 5 变为：k f ( s ，x ) i k ( 2 穸q + t x x o l 8 j( 2 3 6 )这里的i 为二进尺度参数，x 取离散值。由式( 2 3 6 ) 可得：l 0 9 21 0 2 ，f ( 划l 0 9 2 k + a j + l 0 9 2 0 + l x - x o l 4 j( 2 3 7 )如果信号在x o 处的奇异性指数大于零，那么由式2 3 7 可知，随尺度i 的增加，小波变换模极大值的对数也增大。e c g 信号预处理技术的研究3 。le c g 信号的噪声干扰心电信号是微弱低频人体生理电信号，通常频率0 ，0 5 1 0 0 h z ，幅值不超过4 m v ，通过安装在皮肤表面的电极来获取。由于人体是个复杂