（固体力学专业论文）压电材料三维问题的虚边界元解法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要应用压电材料三维问题的基本解以及虚边界元法的基本思想，建立求解三 维压电问题的虚边界元数值解法，并且进行了程序实现，最终为压电材料的力学分析提 供了一些算例参考。 首先，本文利用压电材料三维问题的g r e c n 函数基本解和线性叠加原理，提出了三 维压电体的虚边界元等额配点方法。这种算法只需在假想虚边界上和实际边界上配点， 解决了传统边界元方法在边界及靠近边界的地方可能存在积分奇异性的问题。同时，该 算法还保持了普通边界元方法所具有的降低一阶维数、计算景小、域内点的求解变量连 续等特点，并且省去了普通边界元方法中边界积分方程的复杂推导过程。由于虚边界元 等额配点算法，一旦配点选取不当，系数矩阵容易出现病态、缺秩的现象，因此本文进 一步提出了虚边界元最小二乘配点解法。该算法不仅同样具有等额配点解法的优点，而 且还利用最小二乘法原理改善了求解的稳定性和精度。 同时，论文利用上述两种算法计算了一些压电材料三维问题的算例，并和解析解做 了比较，结果表明该算法具有较高的计算精度，是求解压电材料三维问题的一种有效的 数值计算方法。 接着，文章还在上述方法的基础上提出了虚边界元积分解法以及虚边界元最小二乘 积分解法。这两种算法是在配点法的基础上，在虚边界上将分散荷载改为连续分布荷载 来计算，使基本解更加完备。 文章最后总结了压电材料三维问题的虚边界元解法，讨论了该算法的优缺点以及需 要进一步完善和解决的问题，对虚边界元方法的发展前景做了展望。 关键词：压电材料；三维问题：虚边界元法；配点法；积分法 压电材料三维问题的虚边界元解法 v i 咖a 1b o u n d a r ye l e m e n tm e m o df o rt h r e ed i m e n s i o n a lp i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l s a b s t r a c t b a s e do n 吐l ef b u n d a t i o m ls 0 1 u t i o no ft h r e ed i m e n s i o n a l 口i e z o e l e “cm a t e r i a l sa i l d 也e b a s i ci d e ao fv i n u a lb o u n d a r ye i e m e n tm e t l l o d ，t h i st 1 1 e s i sp r o p o s e sv i r h l a lb o u r l d a r ye l e m e n t n l e t h o df o r 也r e ed i m e n s i o n a la n a l y s i so fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s t h ef o r t r a np r o g r a m c o d e sf o rv i n u a lb o u n d a r ye l e m e mm e m o dh a sb e e nd e v e l o p e da n ds o m en 吼e r i c a le x 锄a d l e s h a v eb e e ng i v e nt od e m o n s t r a t et 1 1 ev a l i d i t y 趿da c c u r a c yo f n l ea l g o r i t 王l i n f i r s t l y ，b a s e do nt l l eg r e e nn m c t i o nf o u i l d a t i o n a ls o l u t i o n sf o rt 1 r e ed i m e n s i o n a l p i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l sa n d p d r l c i p l e o f s u p e r p o s i t i o n f o rl i n e a r s y s t e m ， av i r t l l a l b o u n d a r y - e q u i v a l e n tc 0 1 1 0 c a t i o np o 访tm e t h o dh a sb e e np r o p o s e d w i mu s 血gc o l l o c a t i o n p o i n t so nv i n u a la 1 1 da c t u a lb o l i n 州e s ，t h i sm c m o da v o i d st 1 1 es i n g u l a ri m e g r a t i o no rn e a n y s i n g u l a ri n t e 掣a t i o n ，w i l i c ho f t e no c c u r s 、他e nt 圭l es o u r c ep o i ml i e so no rc l o s et o 也ei m e 觥l e l e m e n t ，r e s p e c t i v e l y t m sm e m o dh a st 1 1 eg e n e r a la d v a l l t a g e so f 血es t a i l d a r db o u n d a r y e l e m e mm e m o d ，s u c ha sm ed e c r e a s eo fd 曲e n s i o n ，m ed e c r e a s eo ft h ec o m p u t a t i o n a ls c a l e 趾dc o n t i n u o u sv a r i a b i e si ni n t e 伊a t e dp o i 鹏h o w e v e r ，d u et ot h ei n a p p r o p f i a t ec o l l o c a t i o n p o i n t so n ( h eb o l l r l d a r i e s ，t h ep r o b l e m so fs i n g m a r i t ya 1 1 dl a c ko fr 融墩o ft l l ee 圩b c t i v em a t r i x m a yo c c wd 嘶n gm ev 删b o u i l d a r y e q l l i l e n tc o l l o c a t i o np o i n ti n t e 删o n t oa v o i d 也e s ep r o b l e m s ，av i r t u a lb o u n d 盯y l e 勰ts q u a r ec o l l o c a t i o np o i mm e m o dh a sb e e np r o p o s e d i nt h ef o l l o 讯n gc o n t e n t s c o i n p a r e d 嘶t hm ev i r t i l a lb o u n d a r y e q u i v a l e mc o l l o c a t i o np o i m m e t h o d t h i sm e m o di sm o r es t a b l ea n da c c u r a l e s o m en 嗽e r i c a ie x a i i 】【p l e sa r ep e r f 0 衄e dt od e m o n s t r a 士em ep e r f b 瑚c eo ft h e s e m e l o d s c o r r l p a r e dw i t h 也e 删y t i c a ls 0 1 u t i o n s ，也em l n l e d c a ls 0 1 u t i o n sa r ec o 璐i s t e n t 、砘t h t i l ea n a l y t i c a lo n e s t h ev a l i d 时a 1 1 da c c l l r a c yo f t h e s em e m o d sh a v e b e e np r o v e da i l dt h c ya r e e f f b c t i v en 啪e r i c a lm e m o dt oa n a l y z et h r e ed i m e n s i o n a lp r o b l 锄so fp i e z o e l e c 廿i cm a t e r i a l s s e c o n d l y ，b a s e d0 nm ea b o v et 、v on l e m o d s ，av 矾u a lb o u n 出【r ye l e m e n t i n t e g r a lm e t h o d h a sb e e np r o p o s e d t h ef o u n 出l t i o n a is o l u t i o n so ft l l i sm e m o da r em o r ec o m p l e t ed u et 0 血e c o n t i n u o u si o a do nv i d = u a lb o u n d a r i e s f i n a l l y ，as a r yo ft h ea b o v em e t l l o d sl l a sb e c ng i v e na n dm ea d v a n t a g e sa n d d i s a d v a n t a g e s0 ft h e s em e m o d sh a v eb e e nd i s c u s s e d s o m ef u r n l e rw o r k sa l s oh a v eb e e n i n 廿o d l 】c e d 大连理工大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：p i e z o e k c t r i c m a t e r i a l ；t h r e e d i m e n s i o n a l a n a l y s i s ；v i r t i l a l b o u n d a r ye l e m e n t m e t h o d ；c o l l o c a t i o p o i n tm e t h o d ；i n t e g r a lm e t h o d i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使厍 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索、也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：盛扭 导师签名：二拯龟差 2 翌5 年上月- 2 竺日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 自1 8 8 0 年j 居里和p 居里发现压电效应以来，压电学已经成为现代科学技术的一 个重要研究领域。尤其是近几十年来，随着现代航天、航空、电子、机械等技术领域的 飞速发展，人们对材料的要求越来越高，传统的结构功能材料己经不能满足这些技术的 要求，智能结构得到了越来越广泛的使用 h 】。压电材料的机电耦合特性非常适合智能 结构的需要，成为了智能结构传感器、驱动器的首选材料，因此，研究压电材料的力一 电耦合特性具有很强的工程应用价值。 由于压电材料的机电耦合效应及压电现象的各向异性等特性，解析求解该问题变得 十分复杂，因此人们在解决压电材料问题时都倾向于使用数值方法。 1 1 压电材料的基本概念和工程背景 压电材料是指电介质材料在机械形变作用下发生极化而在材料两端表面间出现电 位差，或是在电场作用下又可以产生几何形变的一类材料，它可以把机械能和电能相互 转换1 3 。 智能结构能够感知周围环境的变化，并做出适当的反映，是一种具有自感觉和控制 能力的“主动”结构，因此有着十分广阔的应用前景。以压电材料为主体的智能结构在 光学、电子、航天航空、机械制造、生物医学、机器人等技术领域都得到了广泛的应用 f 4 j 。例如中心可通过光束的环型压电陶瓷驱动器可以广泛的用于高精度光学干涉仪器中， 用来对大面积光学平面的质量进行检测和加工。压电材料还可以应用在形状控制、嗓声 控制、自适应系统以及振动控制等方面，尤其适用于航空航天工程中，例如航空航天器 的振颤控制、柔性机械、机械臂的开发，以及车辆的振动控制、噪声控制等【”。此外， 压电材料还可以用于检测和诊断各种材料的破坏，例如可以将光纤和压电陶瓷的检测贴 片植入交通工具、建筑物和钢造桥梁中连续的检测其破坏程度。 1 2 压电材料的研究概况 1 2 1 压电材料基本解的研究概况 在压电材料平面问题基本解( g r e e n 函数) 的研究中，c h e n 以及c h e n 和l i n 利用 三重f o u r i e r 变换给出了各向异性压电材料的基本解以及相应的一阶和二阶偏导数p 冉j ； d u n n 通过r “o n 交换和坐标变换给出了横观各向同性压电材料的显式基本解1 7 j ；丁皓 江等利用状态空间方程和f o 曲e r 变换导出了平面问题的基本解【s 1 ，此外还得到了在无限 平面情况下和半平面情况下的格林函数解0 】；刘金喜等利用平面波分解法和留数计算 压电材料三维问题的虚边界元解法 得到了线荷载和线电荷作用下二维各向异性压电体的基本解；r a j 印a k s e 利用f o u r i e r 积分变换推导出了线荷载和电荷作用下的压电材料平面问题所对应的一般解【1 2 】。高存 法、崔德密应舄复变函数的方法，对于压电介质平面问题，分别导出了无限介质或半无 限介质受任意集中载荷作用时的复势函数基本解【1 3 j 。此外，p a n 利用复变函数方法得到 了在无限平面、半平面以及不同半平面相接的各向异性压电固体的格林函数，并且提出 了二维断裂力学的单连通域边界元分析1 1 4 】。p i t ll u 和w i l l i a m s 利用扩展的s 缸曲方法， 得到了含有椭圆形压电内涵物或椭圆孔洞的压电平面的基本解【l5 1 。 在压电材料三维问题的基本解方面，p a 和t o n o n 得到了三维各向异性压电固体的 格林位移和电势的显式解【1 6 】。接着，p a n 和y u 如归纳了对一种含两种材料的压电固体 的分析【1 7 】，p a n 还得到了对各种不同边界条件各向异性半空间m i n d h n 问题的解 1 8 】。丁 皓江、陈波等利用一般解结合体积势理论及构造类调和函数的方法，得到了压电无限 体在集中力和点电荷作用下的位移和电势的表达式，从而给出了边界元法中可用的基本 解 1 9 1 。丁皓江等人又系统的研究了横观各向同性压电材料控制方程和平衡方程的通解， 给岛了无限空间中横观各向同性压电材料三维问题的基本解以及半空阊边界上作用集 中力和点电荷时的解 2 2 1 ，并与上面提到的平面压电材料基本解一起，发展出了一套系 统的基本解求解方法【2 ”。 1 2 2 压电材料数值解法的研究概况 由于压电材料的机电耦合效应及各向异性等特性，解析求解压电材料问题变得十分 复杂，所以人们在解决压电材料闯题时都倾向于使用数值方法。目前，在压电材料的力 学分析方面采用的数值方法主要有有限元法和边界元法两种。 在有限元方面，s u n g 等对含压电陶瓷的传感器和驱动器复合结构做了有限元分析， 并与实验结果进行了比较洲；q i 等建立了压电材料的有限元分析模型【2 5 ：丁皓江等对 压电材料轴对称问题作了有限元分析1 2 6 j 。在这个领域内，还有许多学者用有限元方法解 决了压电材料的断裂、层合、振动等许多方面的问题，这里就不再一一列举。 在边界元的数值求解方面，d i n g 等人利用功的互等定理推出了二维压电体边界积分 方程；l e e 和j i a n g 用加权残值法也推出了压电材料平面问题的边界积分方程| ：2 8 j ；d i n g 和l i a i l g 用一种边界元方法对三维压电问题进行了分析【2 9 1 。此外，l e e 也提出了一种边 界元方法来分析压电材料的压电效应【3 0 】。l i u 和f a n 发展了一种改进的边界元方法用于 处理压电薄片体力学和电学分析中所遇到的近奇异积分计算( 边界层效应) 问题，取得了 较好效果剐。姚伟岸和王辉利用压电材料平面问题的基本解和弹性力学虚边界元方法的 基本思想，提出了压电材料平面问题的虚边界元法，提出了一种新的数值求解方法【3 2 j 3 ”。 大连理工大学硕士学位论文 除了上面所提到的数值算法外，国际上还出现了一种无网格算法用于压电材料分 析，在这方面的工作主要有：o h s 和a j u m 采用一种区域离散的无网格配点算法( p c m ) 来求解压电控制方程【34 1 。 1 3 虚边界元法的发展和基本原理 13 1 虚边界元法的发展概况 为了克服传统边界元法的一些不足，1 9 8 4 年g j b u r 2 e s 提出了“叠加法” 3 5 。该 方法属于间接边界元法范畴，只是源函数不是作用在边界上，而是作用在有限域之外的 拓沿区域上，其实质是等额配点法。此后，我国许多学者也曾分别提出了与b l l r g e s 相 同思想的域外奇点法和无奇点边界元法。 孙焕纯等从1 9 8 9 年开始研究这一方法，做了更加深入和系统的工作【3 6 】。他们将研 究的实际区域拓沿至无限远，并在实际边界之外的一定距离处截取虚边界，通过在虚边 界上作用未知的分布虚荷载或有限个集中虚点荷载，利用原问题微分方程的基本解和叠 加原理，满足实际边界条件来确定这些虚体积力，建立求解的线性方程组，从而求得问 题的解。他们将这种方法称为虚边界元法，虚边界元法打破了b u r g e s 关于“叠加法” 局限性的观点，为该类方法的进一步发展奠定了基础。 已有一些学者将虚边界元法应用到计算力学的各个领域。姚伟岸和王辉阮3 3 1 将虚边 界元法应用到压电材料平面问题的分析中。s 1 】i l 和y a o 【3 7 】将虚边界元应用到薄板的弹性 障碍问题。许强 3 b 圳1 等分别将虚边界元法应用到薄壳和板弯曲的三维分析中已经薄板的 自由振动问题中。张立洲【4 1 _ 2 】等用虚边界元分析了不同材料的契合弹性力学问题。 1 32 虚边界元法的基本思想 设所研究的区域为口，其边界为厂。设想口被嵌入一个无限大的区域中，在厂外 的无限区域中有一个延拓边界厂，称之为虚边界厂。，所包含的区域为口7 ，且有 口c 口。如果沿虚边界厂7 作用有虚拟荷载，将虚拟荷载的基本解及区域露内已知荷载 的基本解叠加，并令其叠加解对真实边界所产生的物理量和真实的边界条件一致，那么 就可以由此求解出该虚拟荷载。显然，该叠加解满足了区域口内的所有控制方程和边界 厂上的边界条件，即为原问题的解。从而可以求出域力及边界，上任意点处的相应物 理量值。由于虚边界，上的荷载实际上是不存在的、虚拟的，故以上方法总称之为虚 边界元方法 36 1 。 压电材料三维问题的虚边界元解法 1 3 3 虚边界元法的分类 根据虚边界上作用的是集中点荷载还是分布荷载，可以把虚边界元方法分为虚边界 配点方法和虚边界单积分方法。进一步，根据实边界上离散点和虚边界上的配点或节点 数是否相等，可以分为等额配点( 或单积分) 法和最小二乘配点( 或单积分) 法。虚边 界元算法的结构框图大致如下鳓： 圈l 。1 虚边界元算法分类图 f i g 1 1c a t e g o l yo f v i n l l a lb o u l l d 哪e l e m 锄tm 砒o d 1 3 4 虚边界元法中虚边界的选取 虚边界元算法的理论基础在于区域口的解析延拓和线性系统的叠加原理。孙焕纯等 通过对虚边界元法的分析，给出了虚边界和实边界之间距离的选取方法p 6 】。 从实际计算的角度来看，由于计算机的精度限制，虚边界和实边界之间的距离不能 过小。过小的距离容易导致系数阵的病态，影响计算精度。其实，当虚边界向实边界逼 近时，虚边界元法在某种意义上就向传统的边界元法逼近，演变成有积分奇异性问题， 其误差较大也是正常的p ”。 同样，从实际计算的角度来看，过大的距离也不合适。由于基本解一般都是1 ，、l n ， 之类的奇异形式，其值随两点之间的距离的增大而减小，太大的距离，容易导致影响系 数阵的系数过小，也不利于计算，影响精度p “。 文献【3 6 根据计算经验数据给出了虚边界和实边界之间距离的适用范围：对包络实 体的外侧边界问题，虚边界与实边界的相似比一般取1 2 0 5 ；而对实体孔洞的内侧边界 问题，相似比一般取o 6 o 8 5 较为合适。 大连理工大学硕士学位论文 1 3 5 虚边界元法的优缺点 虚边界元法的主要优点是 3 6 ： ( 1 ) 避免了壹接边界元法牢奇异积分( 图1 2 ) 的麻烦处理 源点 、 7 f 边界积分单元 图1 2 当源点位于积分单元上时产生的奇异积分 f i g1 2t h es i n g u l a r 协t e j f a lc a u s e dw h e ns o u r c ep o h n l i eo n 也ei n t e 可a 1e l e m e m ( 2 ) 消除了直接边界元法中的近奇异积分所导致的边界层效应( 图1 3 ) ，提高了 边界附近点的计算精度： 边界积分单元 图1 _ 3 当源点无限靠近积分单元时导致的近奇异积分 f i g 1 3t h en e a r l ys i r 培u l a ri n t e r 目a lc a u s e dw h e ns o u r c ep o i mc l o s et o 廿1 ei n t e g 嘲e l e m e m f 3 ) 虚边界元最小二乘配点法和积分法求解的线性代数方程组的系数矩阵具有对称 性，节省了存储和计算时间： ( 4 ) 理论简单避免了直接边界元法中边界积分方程的繁琐推导。 虚边界元法的不足之处在于m j ： ( 1 1 虚边界的位置目前还不能从理论上给予确定。只能依据计算经验； ( 2 ) 还不能有效的用于裂纹闯题求解。 压电材料三维问题的虚边界元解法 1 4 本论文的主要工作 本文的工作可以看作虚边界元解法应用的延伸，主要研究了压电材料三维问题的虚 边界元法求解。 主要工作有： ( 1 ) 从已有的压电材料三维问题位移和电势的基本解出发，推导出相应的应力和电 位移基本解： ( 2 ) 利用压电材料三维问题的基本解和控制方程，详细推导出虚边界等额配点算法 的相关计算公式； f 3 ) 根据等额配点算法可能带来的问题，引入了虚边界元最小二乘配点算法，并推 导了相关公式； ( 4 ) 利用上述算法对压电材料三维问题的一些典型算例进行了计算，结果和解析解 比较吻合； ( 5 ) 最后，文章根据虚边界元配点算法的缺陷，提出了虚边界元单积分法和最小二 乘单积分法，并推导了相应的计算公式。 大连理工大学硕士学位论文 2 压电材料的基本控制方程 由于压电材料的控制方程比较复杂，本章将详细介绍压电材料的压电效应和基本控 制方程。 2 1 压电材料的压电效应 2 1 1 压电材料的基本类型 压电体可以是单晶体、多晶体( 多以压电陶瓷的形式出现) 或非晶体( 例如聚合物) 。 在金属、半导体、铁磁体和生物体( 例如骨骼和皮肤) 中也存在压电效应。皮肤的感觉、 手指的触觉，均与压电效应有关。力电和化学反应的联合效应是生物物理的重要内容。 已知的压电材料有1 0 0 0 多种，主要分为压电陶瓷、压电单晶、压电半导体、压电 高聚物、压电复合材料和压电液晶等几类。其中，在智能结构中应用最多的是压电陶瓷 和压电聚合物两类【l l ，它们具有电能和机械能转换系数大而理化性能比较稳定的优点。 压电陶瓷的典型代表是锆钛酸铅系列( p z t ) 和钾铌酸钠系列，其中p z t 是机敏材料和 机敏结构的主要选材之一。压电陶瓷具有较高的强度、刚度和良好的机电性，且制造工 艺成熟，价格便宜。压电聚合物的主要特点是压电性能稳定，可塑性好，可以大面积制 膜，以及声阻抗低，非常适合作为声学材料。应用最广泛的是聚偏二氟乙烯( p v d f ) ， 它是一种高分子聚合物，具有柔软、质轻透明等特征，并且具有优是的压电特征。 当然，这些压电材料在作为智能材料结构的传感器时仍有一定的缺陷。压电陶瓷比 较脆且与基体材料的兼容性较差，不易大面积铺放。压电聚合物可以做成很薄的膜，便 于贴在材料或结构的表面或是埋入材料的内部，但压电聚合物的使用温度受限制。因此 人们提出将压电陶瓷和压电聚合物复合在一起形成压电复合材料，它的出现克服了上述 缺陷，是未来智能材料系统和结构中的新型传感和驱动元体，有着很好的发展前景【4 3 。 2 1 2 正压电效应和逆压电效应 1 8 8 0 年居里兄弟首先在g 石英晶体上发现了压电( p i e z o e l e c t r i c 耐) 效应，压电效应反 应了晶体的弹性性能和介电性能之间的耦合。此外居里兄弟还发现，对每种压电体，均 有特定的出现压电效应的温度，后人称之为居里温度( c u r i et e m p e r a t u r e ，记为毛) 。当温 度降至居里温度以下时，晶胞的极化强度在承受一定力电荷载时发生可逆的变化，正是 这两种可逆变化导致材料产生压电效应。根据耦合原理的不同，压电效应可分为正压电 效应和逆压电效应两种m j 。 压电材料三维问题的虚边界元解法 在没有电场作用时，某些晶体在机械力作用下内部正负电荷中心发生相对位移而产 生电的极化，导致介质两端表面出现符号相反的束缚电荷( 或极化电荷) 。这种没有电场 作用，由于机械力的作用而激起晶体表面荷电的效应，称为正压电效应( 如图2 1 ) 。在 外力不太大时，由压电效应产生的电荷密度( 或极化强度) 和外力成线性关系，即： ，= d 盯 ( 2 1 ) 其中，p 为极化强度矢量，盯是应力二阶张量，d 是反映晶体压电性质的压电应变 常数张量，是三阶张量，单位是c ，n 。 广 i l i 山、i 专山山 图2 1 正压电效应示意图 f i g 2 1d i r e c tp i e z o e l e c t r i ce f 奄c t i l l 图2 2 逆压电效应示意图 f i g 2 2i n d i r e c tp i e z o e l e c t r i ce 矗酏t 大连理工大学硕士学位论文 与正压电效应过程相反，在电场作用下，压电晶体内部正负电荷中心产生相对位移， 导致晶体发生形变，这种效应称为逆压电效应( 如图2 2 ) 。当电场不是很强时，应变与 外电场强度呈线性关系，但联系应变张量g 与电场强度矢量e 的压电常数依然是压电应 变常数张量d ，即： s = d e ( 2 2 ) 注意，上标t 表示转置。 21 ，3 压电体的宏观热力学框架 压电体的力电耦合性能由两种机制构成：( 1 ) 跨越临界点的电畴翻转过程，这时电 致变形与极化向量的符号无关，是后者的偶函数；( 2 ) 不跨越临界点的离子连续移动过 程，这时电致变形与极化向量近似呈现线性关系，称为线性压电关系。本文以后在不加 说明的情况下，讨论的均是线性压电材料。 由于压电晶体的压电效应反映了晶体弹性与介电性之间的耦合，所以体现力学量与 电学量相互作用的系数，必定与相应量的状态有关，如介电常数将与力学状态有关，弹 性常数也将与电学状态有关。要严格确定各量之间的关系，必须把晶体看作一个热力学 系统，描述一个热力学系统的热力学特征函数( 状态函数) 有8 个： 内能：u ； 赫姆霍兹自由能：f = u 一盯； 焓：墨= u d s e 。d ；弹性焓：甄= u 一盯。占：电性焓：e = v 一五d ； 吉布斯自由能：g = 己厂一s f 一盯s e - d ； 弹性吉布斯自由能：g = 一盯一盯一占； 电性吉布斯自由能：g = u s r e - d 。 其中，s 为熵，r 为温度，e 为电场强度，d 为电位移，盯为应力，s 为应变。 根据热力学第一定律，可逆过程中系统内能的增量d ，等于外界对系统做的功d 矽 与系统从外界吸收的热量如之和，即： d u = d 矽+ d 9 = 砒+ 点矗d + 嬲 ( 2 3 ) 如果把( 2 3 ) 代入特征函数焓日的微分式中，并且以应力仃、电场强度e 和熵s 为 自变量，那么： d h = 船一耐盯一d 以( 2 4 ) 如果此过程是绝热过程，即豳= 0 ，则焓的全微分的分量式为： 压电材料三维问题的虚边界元解法 疵f i = 一8 u d oq d ，d e 。 ( 2 5 ) 热铲( 嚣舾，坟- - ( 静 隧：二黎 亿印 卜等+ 嚣e s 茄= 卺为恒电场年j 厦熵时的弹性柔顺常数张量的分量； 四5 豢为恒应力和恒熵时的压电应变常数张量的分量； 蜡= 等是恒电场和恒熵时的压电应变常数张量的分量； 东= 警是恒应力和恒熵时的介电常数张量的分量。 撇：嫒= 鲁- _ ( 器，= 嚣婚 夸簧= 器矿一c 器n 鼍刊孑； 舞= 薏一器小薏哦。 同时反映力学量和电学量之间耦合的压电常数张量的分量则是相等的，说明正逆压电效 把上述表示晶体物理性质的张量代入式( 2 6 ) 。并采用不注恒熵符号的惯例，有 i s u = = s ；u c r k | 。d n q e 。， 大连理工大学硕士学位论文 这就是以应力和电场强度为自变量的第一类压电方程，求解满足e = o 和盯= o 的边 界条件比较方便。 实际上，晶体的边界条件，电学上有两种，分别对应电极的开路和短路，即e = c o n s t 和d = c o n s t ；力学边界条件也有两种，分别对应机械自由和爽持，即仃= c o i l s t 和 s = c o n s t 。力学边界条件和电学边界条件的组合可构成四种边界条件，对应有四类压电 方程。其余三类压电方程可以通过求解第一类压电方程得到，也可以通过与推导第一类 压电方程类似的过程，分别取电性焓、弹性焓和内能为热力学函数得到，结果如下： rf 一 第二类压电方程( 自变量：应变、电场强度) ： 之2 。知一擘：t ： i “28 十住 第三类压电方程( 自变量：应力、电位移) 第四类压电方程( 自变量：应力、电位移) g q = s 知u + g 崎玟 u 。= 一g h o q + p ；d k ou = c 8 u 一a ， l 巨= 一k ，+ 成喀 其中，矾，和都为压电常数张量的分量，分别为压电应力常数、压电电压常数、 压电刚度常数和压电应变常数：咯( 闭路) 和c 品( 开路) 为压电体弹性刚度常数；咳，( 闭 路) 和瑞( 开路) 为压电体弹性柔度常数；椎( 夹持) 和椎( 自由) 为介电常数；成( 夹 持) ，雕( 自由) 为介电隔离率常数a 如果采用缩写指标的矩阵分量表示法，则有： 第一类压电方程 第二类压电方程 雠磐：麓 c e 型，摩麓：麓 第三类压电方程：c s 型， 毒三端： 第四类压电襁悟黧：琵。 ( 虹= 1 斗6 ；f ，= 1 斗3 ) 这四类压电方程从不同角度反映晶体的压电性质所遵从的规律，它们是相互关联 的，这些联系可以从系数之间的关系反映出来： 压电材料三维问题的虚边界元解法 嘛c 0 = ( 其中+ 代表e 或d ) l 成矗= 嘞( 其中+ 代表躐仃) = 屯c 磊 矗= e ，。s 盂 = 略 乳= ，s 品 剪 巧孙 或e 。 或d * jc ；。一c 矗= h ，。e ，。彤一劈= 鼬= & l s 品一s 毛= 一g 。d ，。1 西一巧= 一e 。颤= 一靠6 注意：上述讨论是一般性的，并没有涉及到各种晶体的特殊性，事实上，晶体的任 何物理性质的对称要素应当包括热力学关系决定的对称性和晶体点群的对称要素 ( n e u m a r u l 准则) ，考虑这两种对称性后，上述的介电常数、弹性系数、压电常数中独立 分量的个数可进一步减少。 2 14 压电效应与对称性 表示压电体性能的材料常数，不仅受热力学关系确定的对称性的制约，而且还要受 到晶体所属点群对称性的影响脚 。 比如，第二类线性压电方程： 式中，f ，七，= 1 ，2 ，3 ，材料常数g 。，为三阶压电应力常数张量的分量，靠f 为四阶压电体 闭路弹性刚度常数张量的分量，箍为二阶夹持介电常数张量的分量，分别有3 3 、3 4 、3 2 个分量。考虑到热力学和晶体所属点群的对称性后，独立的材料常数数目会减少。 热力学关系决定的对称性约束使得压电常数张量的独立分量数减至1 8 个：弹性常 数张量的分量减至2 1 个；介电常数减至6 个独立分量。 如果再考虑晶体对称性，那么独立分量的个数会进一步减少。根据n e u m a i l l l 原理， 压电常数的对称性应包括晶体所属点群的对称性。属于不同点群的晶体所对应的压电常 数张量将有不同的形式和独立分量个数。点群对称性越高，压电常数张量独立分量的个 数就越少。 由于压电效应是晶体在机械力或电场作用下发生形变，引起带电粒子的相对位移 ( 偏离平衡位置) ，从而使得晶体的总电矩发生改变而造成的，所以具有对称中心的晶体 q 蚺弛 一 + 编讷 = i l q 口 大连理工大学硕士学位论文 永远不可能具有压电性，这种晶体正负电荷的重心之间不会因形变而发生不对称的相对 位移，也即不能使之产生极化，总电矩永远为零。 在三斜、单斜、正交、三角、四方、六方、立方7 个b r a v a i s 晶系的全部3 2 种点群 中有1 2 种点群具有对称中心或准对称中心，所以有压电效应的点群有2 0 种。各种不同 点群的压电晶体的材料常数张量的具体形式可以参看文献 4 4 】。 常见的压电陶瓷有横观各向同性压电陶瓷( 属6 m m 晶系) 和正交各向异性压电陶瓷 ( 属2 m m 晶系) 两种，尤以前者使用最广。横观各向同性压电材料有1 0 个独立的材料常 数，其中弹性常数5 个，压电常数3 个，介电常数2 个。正交各向异性压电材料有1 7 个独立的材料常数，其中弹性常数9 个，压电常数5 个，介电常数3 个。 在以后的章节中，我们主要以6 咖晶系的横观各向同性压电材料为研究对象。 2 2 压电材料的基本控制方程 用来描述压电材料的基本方程包括平衡方程、本构方程、m a x w e l l 方程、几何方程 和边界条件，下面就以工程中常用的矩阵形式分别描述它们m 扪。 实际中，具有横观各向同性的6 搠州点群六角晶系线性压电材料，如p z t 4 压电陶 瓷等，在智能结构和m e m s 等结构中常用到，所以在这里详细介绍一下这种点群的晶 体对应的基本控制方程。 假设研究对象所占据的区域为口，边界为厂。 由于这种点群的晶体具有横观各向同性，所以不妨假设以垂直于极化方向的各向同 性面为x y 平面，以z 轴作为极化轴。另外，在本构方程的表示上，为方便起见，把材 料参数c j ，中的上标e 略去不写，但要注意这两种材料常数都是闭路常数。 ( 1 ) 广义平衡方程： ( 2 ) 广义几何方程： 堡+ 堡+ 鲤+ f ：o 缸 却 出 。 堡+ 堡+ 堕+ f ：o ? ( 2 8 ) 监+ 堕+ 堕+ f ：o 批 咖 阮 。 a d 。8 dv8 d i + 畜+ i 2 乃 压电材料三维问题的虚边界元解法 d “ 占。= 一 d x 洲 q 2 面 伽 s = 一 知加 。面+ 瓦 抛劬 y n2 瓦+ 面 a va “ 2 夏+ 面 ( 2 9 a ) ( 2 9 b ) ( 3 ) 本构方程： 若采用以应变和电场强度为自变量的第二类本构方程，独立的材料参数仅有1 0 个 q l ，c 1 2 c i 3 ，0 4 ，巳5 ，p 岛l ，嚣，西，具体形式为： 川曼 1 4 ( 2 1 0 a ) ( 2 1 0 b ) 彻一缸拗一砂抑一(； 一 一 一 i i i i = e q e 、l、r、，j 疋q 疋 lijniij o o o o o o o o o o o o o q q k k ，j，【 0 o 0 o o o o 0 o o 0 o 0 o o 钆气o 0 o 钆o o o 钆钆o 0 o 以巩办印强锄 、，rj 以b e w i j i 儿 o o 强 o 矸o o o rl“ll o t k 们_ - 圳叫 0 00 0 o o o 0 岛 大连理工大学硕士学位论文 式中岛e = 扣- _ c 1 2 ) ： 实际中，还经常用到以应力和电场强度为自变量的第一类本构方程，其中独立的材 料参数也有1 0 个：s q ：，马，s 3 3 ，吐，氏，西1 ，磊，具体形式为： 刚曼 l + 慝 利用矩阵运算，可以得到这两类本构方程材料参数之间的换算关系： 钆。丽专蠹焉 巳3 = j 4 4 = j 6 6 = 啊，= 刍! ! ! ! c 1 1 c ”一2 c 毛+ c 1 2 c ( 2 1 1 a ) ( 2 1 l b ) -，-、rlj t b 毛 liinirlj 以盔西0 o 0 o o o 丸o o o o 0 0 西o 融巩办如红锄 o o o o o o o o o 0 0 o 0 0 0 i o o o 钆o 0 o 钆o o o 矗勺k 、，、fj疋影疋 w i i n 儿 o o 镌 o 舔o 以巩办印依功 ，j，【 o o o 丸o o o 屯o o o 以 o o 以 ，一，一一 压电材料三维问题的虚边界元解法 如意虢 咖毒篝筹警 ：矗+ 鱼 c 4 4 磊砥+ 虻篙篙萨 或者：c u 2 蕊睾纛 一 一 2 s ”+ s 南 q 2 一j 一2 j 矗s 1 1 一i ；岛3 + 2 s 矗丑2 ，一 二! ! q 3 一墨l s 竭一2 + 墨2 岛3 ，一 苎! ! 1 2 ”一毛1 屯3 2 碚+ 矗2 屯3 1 c 4 4 = s 4 4 1 c 6 62 一 s 6 6 铲意铣 = 寺篓辫 岛，：盘 s 4 4 耻巧一譬 祭羁一熊嵩蓦 1 6 一 奎塑王奎堂堡主鲨壅 边赛条件分为力学边界条件和电学边界条件两类。对力学边界条件，般分为给定 位移边界条件和给定表面力边界条件： ox n x + ：掣柏y 址托：= l x f 掣疗+ 盯y 胛y + z 。弦聆：= f y在f i f ，z 以+ f 声力，+ 盯；胛：= ，： ( 2 1 2 a ) ( 2 1 2 b ) 电学边界条件分为给定表面电荷密度边界条件和给定电势边界条件： 西= 痧在厂0 ( 2 1 3 a ) d ：+ d ，n y + d ：，l ：= 一国在厂。 ( 2 。1 3 b ) 其中，r ，r ：为已知表面力矢量的分量，出为表面电荷密度，”，竹， ：为外法线方向余弦， 符号上面的横线表示所描述量的给定值。此外，边界还需满足条件 r t ur 。= r 。uf 。= f1 敬及r t n ru = r 。n f 。= 母。 为了以后表述方便，特引入以下表示符号：广义位移分量“，( f - l ，2 ，3 ，4 ) 和广义应力 分量吼( f = 1 ，2 ，9 ) ，它们分别代表巩v ，w ，中和吒，盯，盯：，f 。，k ，d ，b ，d ：，以后用 到时不再一一声明。 压电材料三维问题的虚边界元解法 3 压电材料三维问题的基本解 为了下文虚边界元解法的需要，在此给出横观各向同性压电材料三维问题的基本解 ( g r e e n 函数解) 的具体表达式。其中位移和电势部分由文献 1 9 给出，应力和电位移 部分是结合基本控制方程自行推导出来的。 3 1 位移和电势基本解的表达式 假设在压电材料无限平面域内的源点( 古，f ，叩) 处分别作用有z ，y ，z 方向单位集中力 和单位点电荷，那么对于三维压电问题，在任意场点( x ，_ y ，z ) 处产生的位移、电势和应 力、电位移的基本解表达式分别为： n ) 在源点作用x 方向单位力的广义位移表达式： 伽喜等l 南一赢薪卜l 南一南j 小一喃赤一尚 ， 秘南李赢 小亩嘻翻 ( 2 ) 在源点作用y 方向单位力的广义位移表达式： 屿一唾南一赫 蜘喜等岛一耐碲卜 南 如= 青y 窑南 咖青毫翻 ( 3 ) 在源点作用z 方向单位力的广义位移表达式： 南 大连理工大学硕士学位论文 嵋= 高喜翻 咖青褊 慨。， 小窑去 蜘窑矗 ( 4 ) 在源点作用点电荷的广义位移表达式： 吒2 亩妻鼎 心咱碲 。， 蜘善最 小喜矗 3 2 应力和电位移基本解的表达式 将上述位移和电势的基本解对x ，y ，z 分别求导。并代入三维压电材料的广义几何方 程( 2 9 ) 和