（计算机应用技术专业论文）基于脊波变换的图像去噪方法研究.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 图像中总存在许多各种各样的噪声，为了对图像进行有效地分析和通信，在图像预处 理中必须减少图像中的噪声。传统的降噪方法在降噪的同时损失了图像的细节。然而有数 学显微镜”之称的小波变换，在去除噪声的同时能保持图像的细节，得到原图像的最佳恢 复。脊波( r i d g e l e t ) 变换是继小波( w a v e l e t ) 变换后提出的一种新型的多尺度分析方法。对 于图像中的直线状和超平面的奇异性问题，r i d g e l e t 变换体现了比w a v e l e t 变换更好的处 理效果。 本文研究了小波变换图像降噪、脊波变换图像降噪以及基于d j 、b a y e s s h r i n k 、 n o r m a l s h r i n k 等阈值的阈值降噪方法，提出并实现了改进的n o r m a l s h r i n k 阈值脊波图像 降噪算法和基于平稳脊波变换图像降噪算法。第一个算法是根据噪声随着分解层数的增 加，高层子带中包含的噪声数量逐渐减少的原理，针对l a k h w i n d e rk a u r 等人提出的 n o r m a l s h r i n k 阈值作了进一步的改进。第二个算法是改进了有限脊波变换的算法得到的。 即将平稳小波变换代替了正交小波变换，再与有限r a d o n 变换相结合，形成平稳脊波变 换并将其应用到图像降噪。其中平稳小波变换是在正交小波变换基础上提出的一种变换方 式，利用平稳小波变换对图像进行降噪处理，可以克服正交小波变换降噪存在的不足，达 到较好的降噪效果。最终通过仿真实验，验证了上述两个算法的合理性，取得了较好的效 果。 关键词：脊波变换；r a d o n 变换：小波变换；图像降噪 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t m a n yi m a g e sa l w a y sh a v en o i s e i no r d e r t of u r t h e ri m a g ea n a l y s i sa n dc o m m u n i c a t i o n ，t h e n o i s en e e d st ob er e d u c e di ni m a g ep r e p r o c e s s i n g t h et r a d i t i o n a lm e t h o d sc a nf i l t e rn o i s e ，b u t a tt h es a m et i m et h e ym a k et h ei m a g ed e t a i l sb l u r r e d w a v e l e tt r a n s f o r mh a st h ec h a r a c t e r i s t i c o f “m a t h e m a t i c sm i c r o s c o p e ”，t h u si tc a nn o to n l yw i p eo f fn o i s eb u ta l s or e t a i nt h ei m a g e d e t a i l s r i d g e l e tt r a n s f o r mi san e wk i n do fm u l t i s c a l ea n a l y s i st e c h n i q u ea f t e rw a v e l e t t r a n s f o r m f o ri m a g ep r o c e s s i n g , r i d g e l e tt r a n s f o r mi sm o r ee f f e c t i v et h a nt h ew a v e l e t t r a n s f o r mi nr e p r e s e n t i n gl i n e a ra n ds u p e r - p l a n es i n g u l a r i t i e s i nt h et h e s i s ，w e s t u d y t h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n dr i d g e l e tt r a n s f o r mi n i m a g e d e n o i s i n ga n ds o m et h r e s h o l d b a s e d d e - n o i s i n gm e t h o d s ，s u c h a s d j ，b a y e s s h r i n k , n o r m a l s h r i n ke t c ，t h e np r o p o s ea n di m p l e m e n tt w oa l g o r i t h mo fi m a g ed e n o i s i n g t h ef i r s t a l g o r i t h mi m p r o v e st h e l a k h w i n d e rk a u r sn o r m a l s h r i n kb a s e do nt h ei d e a ：n o i s ei s d e c r e a s i n gw h i l ed e c o m p o s i t i o n l e v e li si n c r e a s i n g t h es e c o n da l g o r i t h mp r o p o s e sas t a t i o n a r y r i d g e l e tt r a n s f o r m ，w h i c hi so b t a i n e db ys u b s t i t u t i n gt h es t a t i o n a r yw a v e l e tt r a n s f o r mf o r o r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m t h es t a t i o n a r yw a v e l e ti san e wt r a n s f o r mm e t h o db a s e do n w a v e l e tt r a n s f o r m ，w h i c hc a nr e d u c en o i s ee f f e c t i v e l yw i t hg o o di m a g ee d g ec h a r a c t e r t h e s t a t i o n a r yw a v e l e td e - n o i s i n gh a so b v i o u ss u p e r i o r i t yc o m p a r e dw i t ho r t h o g o n a lw a v e l e t d e n o i s i n g f i n a l l y , t h e s ea l g o r i t h m sv e r i f i e dt h ev a l i d i t yt h r o u g hs i m u l a t ee x p e r i m e n t s k e y w o r d s ：r i d g e l e tt r a n s f o r m ；r a d o nt r a n s f o r m ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；i m a g ed e - n o i s i n g 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 1 1 脊波变换产生背景 第一章绪论 小波分析是近2 0 年来发展起来的一种新的时频分析方法，是传统傅立叶分析发展史上 里程碑式的进展。小波分析方法在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率， 在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被称为“数学显微镜，。1 9 8 9 年s m a l l a t 提出多分辨分析概念并提出了二维离散小波的快速实现算法，使得小波理论开 始迅速发展。小波分析的理论和方法在信号处理、语音分析、模式识别、数据压缩、图像 处理、数字水印等专业和领域得到了广泛的应用。 小波分析方法在处理含“点奇异 的图像信号时，与传统傅立叶方法相比，取得了较 好地效果。然而在处理二维或者更高维含“线奇异”的信号时，虽然由一维小波张成的高 维小波基在逼近性能上要优于三角基，却也不能达到理想的最优逼近阶。这是由于一维小 波张成的二维可分离小波基只具有有限方向，即水平、垂直和对角造成的，即多方向的缺 乏是其不能“最优”表示具有线或者面奇异的高维函数的重要原因。 事实上，具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍。例如，自然物体光滑边界使 得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。 小波分析的不足，使人们开始从不同角度出发，试图寻找比小波更好的“稀疏”表示 工具。脊波理论便是其中最有代表性、影响最深远的一种理论。 1 2 脊波变换发展现状 1 9 9 8 年e m m a n u e lj c a n d 色s 在其博士论文 1 及文献 2 给出了脊波变换的基本理论， 该理论巧妙地将二维函数中的“直线奇异”转化为“点奇异”，再用小波进行处理，能获 得对含“直线奇异”的二维或高维函数最优的非线性逼近阶。同年，m n d o n o h o 就给出 了一种正交脊波的构造方法【3 1 。该正交脊波延续了脊波变换将“直线奇异”转化为“点奇 异 进行处理的思想，并且构成一组l 2 ( r 2 ) 上的标准正交基。1 9 9 9 年，在文献 4 ，5 中， e m m a n u e lj c a n d 色s 又提出了单尺度脊波变换( m o n o s c a l er i d g e l e t ) 和曲波( c u r v e l e t ) 变换，它 们都是由脊波变换发展而来，分别利用了函数局部化和频带剖分的思想，将脊波理论发展 到了一个更高的阶段，这两种变换都能“近似最优 的表示直线和曲线奇异。 本文主要介绍的是m n d o n o h o 的脊波。d o n o h o 构造了l 2 ( r 2 ) 中的一组规范正交基， 并称之为正交脊波【6 1 。与c a n d 色s 构造的脊波不同，正交脊波不再是“脊函数 ，不再具有 1 ， 如脊波妒，“) ；a 一劫( 二生羔竺) 的形式。正交脊波多了局域化的优点，在空域光滑并快速 。 a 衰减，在频域中其支撑区间为某个局部的“径向频率角度频率 区问。正交脊波可以看 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 成在r a d o n 域中反对称( a n t i p o d a l l y s y m m e t r i z e d ) 小波基的等距同构【引。d o n o h o 重点讨 论了脊函数和正交脊波的关系，指出正交脊波对于脊函数与一维正交小波对于脊函数的横 切面即脊函数的“轮廓 具有相同的非线性逼近误差阶；对于可以由“轮廓 在b e s o v 空 间b y ：俾) ，0 p l 的可数个脊函数叠加而成的目标函数，正交脊波能达到最优的逼近阶。 也就是说，虽然不是脊函数，正交脊波却可以扮演脊函数与脊波缈，的相同角色。脊波将神 经网络、统计学和调和分析等多门学科的知识综合起来并克服了这些学科涉及到的多变量 函数逼近问题所遇到的难题。 1 3 脊波变换图像降噪 利用图像信号的脊波变换和白噪声的脊波变换的不同性质，可以减少图像噪声，提高 信噪比。图像经过有限脊波变换后，原始图像和噪声所体现的特征不同，图像特征的幅值 较大，噪声在变换域分布均匀，通过设置阈值，将小于阈值的系数置为零，去除大部分噪 声，而保留图像特征。由于脊波变换可以更好地表征图像中的直线，所以对于那些分段光 滑、沿直线边缘奇异的图像来说，在脊波变换域降噪可以达到既去除噪声又较好地保留特 征的目的。 以处理含有高斯白噪声的图像为例，在原始图像中加入了均值为零、方差为仃2 的高斯 白噪声。这里采用硬阈值实现降噪。算法步骤为： 对含噪声图像进行f r i t ( f i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ) ： 用全局阈值( u n i v e r s a lt h r e s h o l d ) s l t ；仃2 l o g 对f r i t 系数进行硬阈值操作， 其中n p 2 为像素点个数，仃为噪声图像标准差。 对处理后的阈值系数用逆的f r i t 进行重构。 重构过程中进行逆f r i t 时，由于把r a d o n 变换域中的某个点反投影到空域中去，结 果会出现两条呈周期环绕状的直线而不是一条单一的直线，即“环绕”效应，为了解决这 个问题，可以选择使用一个自适应滤波器。 ( 可选) 用自适应w i e n e r 滤波器来减少“环绕 效应。 1 4 本文的工作 由于脊波对具有直线奇异的图像处理的优越性，因此在处理一些直线特征明显图像的 情况下，如果改用脊波来处理，势必取得类似或更佳的效果。基于此，本文围绕着脊波域 中的图像降噪进行了初步研究。 第二章介绍了连续小波变换、离散小波变换基本理论及其图像的小波变换。着重阐述 了小波变换在图像降噪中的应用。为后面脊波变换的实际应用打下了理论基础。 第三章介绍了脊波变换的基本理论。包括连续脊波变换的定义及相关性质和脊波变换 的几种数字实现形式。 武汉科技大学 硕士学位论文第3 页 第四章提出了一种改进的n o r m a l s h r i n k 阈值降噪算法。根据噪声在图像中分布的特点， 在l a k h w i n d e rk a u r 的小波阈值 9 基础上作出了进一步的改进，对于d o n o h o 阈值存在的 问题，在每级尺度上将图像与噪声作最大分离。根据不同的子带特征，采用一个改进的新 的尺度参数方程，来确定适合于各个尺度级的最优阈值。其次方法用于r i d g e l e t 变换进行 图像降噪，实验结果表明：降噪效果较好，降噪后图像的边缘的“振荡”现象明显减轻， 且进一步提高了图像的信噪比。 第五章是根据平稳小波变换【l o j 冗余性的特点，在文 1 1 和文 1 2 提出的降噪算法基础 上，进行了改进，得到一种基于平稳脊波变换的图像降噪算法，二者通过仿真实验结果的 比较，证实了该算法的优越性。 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 第二章小波变换图像降噪 经典的傅立叶变换不能同时进行时域和频域的分析。因为信号经过傅立叶变换后，时 域的信息不存在，时间特性消失，只能进行频域信息的分析。为了克服经典傅立叶的缺陷， 后来引入了小波分析。 小波变换克服了傅立叶变换的缺陷，具有时、频二维分辨的特点，并且它具有时域和 频域“变焦距 的特性，因此十分有利于对信号的精细分析。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师j m o r l e t 在1 9 7 4 年首先提出的， 他还通过物理的直观和信号处理的实际需要经验地建立了反演公式，但当时并未得到数学 家的认可。1 9 8 6 年著名数学家ym e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，并与s m a l l a t 合 作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其 中比利时女数学家i d a u b e c h i e s 撰写的小波十讲1 1 3 j ( t e nl e c t u r e so nw a v e l e t ) 对小波 的普及起了重要的推动作用。与f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e r 变换( 也就是g a b o r 变换) 不 同，小波变换是一个时间和频率的局域变换，能有效地从信号中提取信息，并通过伸缩和 平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，从而解决了 f o u r i e r 变换不能解决的许多问题，被誉为“数学显微镜，是调和分析发展史上里程碑式 的进剧1 4 1 。 2 1 小波变换基本理论 2 1 1 连续小波变换( c w t ) 设妒o ) 2 轵) ( r 僻) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ，其傅立叶变 换为步( ) 。当矿 ) 满足容许性条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) ： 铲正学 ( 2 1 ) 时，我们称妒o ) 为一个基本的小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) 。将母小波函数妒( f ) 经过伸缩 和平移后，就可以得到一个小波序列为： 2 赤妒( t - 口b ) a , b e r ；川 ( 2 2 ) 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的，o ) l 2 俾) 的连续小波变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m 简写为c w t ) 为： ，6 ) 一 = i 口| r p - - 而( t - - 。b ) a t ( 2 3 ) 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 其重构公式( 逆变换) 为： m 一如。正扣( 口，6 渺( 字) a a a b ( 2 4 ) 要使式( 2 3 ) 的积分变换有意义，要求e 陟o ) | d t 1 。因此对应 的离散小波函数 妒f p ) ；口。一仁毕) ga 0 一锄( 口。一k b 。) ( 2 8 ) 口0 。 则离散化小波变换系数可表示为： c 似。j 二。厂o ) l f ，j o ) 出l ( 2 9 ) 其重构公式为： c 是一个与信号无关的常数。 2 1 3 多分辨分析 ，o ) 一c c 似妒， o ) ( 2 1 0 ) 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 3 7 称为多尺度分析，它是s m a l l a t 在1 9 8 8 年在 构造正交小波时提出的概念，可用于正交小波分解和重构，也称为金字塔算法。多分辨分 析的基本思路是将原始信号分成不同分辨率的几个信号，然后选择合适的分辨率或者在各 级分辨率上处理该信号。人的眼睛观察物体时，如果距离物体比较远，即尺度较大，则视 野宽、分辨能力低，只能观察事物的概貌而看不清局部细节：若距离物体较近，即尺度较 小，那么视野就窄而分辨能力高，可以观察到事物的局部细节却无法概览全貌。因此，随 着尺度由大到小的变换，在各尺度上可以由粗糙到精细地观察目标。这就是多分辨( 多尺 度) 的思想。多分辨分析从函数分析的角度给出了正交小波的数学解释，在空间的概念上形 象地说明了小波的多分辨特性，将之前的所有正交小波构造方法统一起来，给出了正交小 波的构造方法以及正交小波的快速算法，即m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位 相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。关于多分辨分析的理解，我们还可以 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 用一个三层分解加以说明，其小波分解树如图2 1 所示。 百一一d l 詈d 3 m l 鱼习 从图可以明显看出，多分辨分析中是对低频部分进一步分解，而高频部分则不予考虑。 分解式为：s o s 3 + d l + d 2 + d 3 。 2 1 4 图像的小波变换 图像是二维信号，因此首先应该将小波分解从一维推广到二维。对于二维正交小波， 人们常用的是正方形二维正交小波基。 小波变换用于图像分析的基本思想是把图像进行多分辨分解，将图像分解成不同空间、 不同频率的子图像。图像经过小波变换后被分割成四个频带：水平、垂直、对角线和低频， 低频部分还可以进一步分解。对于一幅图像来说小波变换构成了对它的多尺度时频分解。 图给出了图像的三个尺度的分解。图2 2 给出了图像的三个尺度的分解。 l l 3h l 3 h l 2 l h 3h h 3 h l l l h 2h h 2 l h lh h l 图2 2 一幅图像的三层多分辨分析小波分解 左上角( l l 3 ) 是最低频段滤波后的低尺度逼近，同级分辨率下，h l 3 块包含了水平方向 高通、垂直方向低通滤波器后所保留的低频信息。同样的l h 3 块保留的是水平方向低通、 垂直方向高通滤波后的细节信息，h h 3 块包含的是水平和垂直方向都通过高通滤波后的细 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 节信息。相同的处理过程在中分辨率层和高分辨率层重复进行。 图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据总量相等，生成的小 波图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集中于中低频部分，水平、垂直 和对角部分的能量则较少；水平、垂直和对角部分表征了原图像在水平、垂直和对角部分 的边缘信息，具有明显的方向特性。低频部分可以称作逼近图像，水平、垂直和对角部分 可称作细节图像。 2 2 小波图像降噪综述 在许多领域中，如航空航天、工业交通和医学方面，采集到的数据常常是含有噪声的， 噪声可能来自获取数据的过程( 如传感器振荡、电子器件干扰) ，也可能来自自然现象( 如 空气干扰) 。为保证后续处理的正确性，在数据进行处理前必须首先将噪声尽可能地去除。 人们根据实际图像的特点，噪声的统计特征和频道分析的规律，提出了各式各样的降 噪方法，其中最为直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而图像频谱则分布于一个 有限区间的这一特点，采用低通滤波的方法来进行降噪，例如滑动平均窗滤波，维纳线性 滤波，中值滤波等【1 引，但效果不够理想。近年来，小波理论凭借其良好的时、频特性得到 了飞速发展。在降噪领域中，小波理论受到了许多学者的重视，他们应用小波降噪，并获 得了非常好的效果。目前，基于小波分析的图像降噪技术已成为图像降噪的一个重要方法。 小波降噪方法的成功主要得益于小波变换具有如下特点【1 6 j ：( 1 ) 低熵性，小波系数的稀 疏分布，使得图像变换后的熵变低；( 2 ) 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以 非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘，尖峰，断点等；( 3 ) 去相关性，因为小波变换可 以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于降噪：( 4 ) 选 基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同的应用场合，对不同的研究对 象，可以选择不同的小波母函数，以获得最佳效果。 从信号学的角度看，小波降噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波降 噪可以看成是低通滤波，但由于在降噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上又 优于传统的低通滤波器。由此可见，小波降噪实际上是特征提取和低通滤波的综合，其流 程框图如图2 3 所示1 1 5 j ： ! 竺圈 2 2 1 图像的降噪模型 特征信息 图2 3 小波降噪流程框图 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 设噪声具有零均值，即e r l 一0 ，同时定义噪声的协方差矩阵q ： q = e 【( ，7 一e ，7 ) ( 叩一e ，7 ) 7 】一e r l r l 7( 2 1 1 ) 沿矩阵q 的对角方向方差为0 2 一e 叩? 。如果矩阵q 是对角阵，即e r ，仇一0 ( i j ) ，则称噪 声是白噪声或不相关噪声。若所有的数据点都有相同的概率密度，称这些点是同分布的， 这意味着 仃? 一o 29 v i - 1 ，2 ，n ( 2 1 2 ) 具有常值方差的噪声被称为同方差的。否则，就称为异方差的。因此，同方差的白噪声具 有非常简单的协方差矩阵： q 一仃2 i( 2 1 3 ) 本文主要以图像中的独立同分布的高斯白噪声为研究对象。 假设一幅含有噪声的图像如下： y f + ，7( 2 1 4 ) 图像大小为n n ，向量y 表示输入信号，噪声叼是由随机变量组成的向量，而，是未经噪 声污染的原始信号。 对上述含噪声图像作小波变换，由小波变换的线性性质可知，分解得到的小波系数仍 然由两部分组成： w 1 y + 厅 ( 2 1 5 ) 其中 ，是理想无噪声图像的小波分解系数，咒表示噪声经小波分解后的小波系数，w 是 实际含噪声图像的小波分解系数： f 肛w y v = w f 。 ( 2 1 6 ) 【咒一聊 上式中，矽表示小波正变换的矩阵。容易验证，小波域中噪声的协方差矩阵s e n n 7 为： s w q w 7 ( 2 1 7 ) 由此可以得出结论：稳定的白噪声经过正交小波变换依然是稳定的白噪声。 2 2 2 阈值的选取与评估 图像经过小波变换后，图像的主要信息将集中在小波域的低频子带，而噪声还是均匀 地吩咐在所有小波系数中。d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出一种非常简洁的方法，对小波变换后 系数进行评估【1 7 】，寻找一个合适的数a ，使得低于的a 小波系数w ，。( 主要由噪声引起) 置为 零，而对高于a 的系数w i 。( 主要由信号引起) 予以保留或进行收缩。前者称为硬阈值方法 ( 见图2 4 b ) ；而后者称为软阈值方法( 见图2 4 a ) 。从而得到阈值处理后的小波系数w ，然 后对w ，进行小波反变换，就可以得到降噪后的图像。 取a = o 2 1 0 9 n ，定义： 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 叫然： 称它为硬阈值方法；软阈值方法定义为： 暇= s i g n ( w ) ( 卅州 a y jl t 1 ( a ) 软阈值方法 i 卜_ 歹一f 2 0 ) 。 用阈值函数修改脊波系数，获得新的脊波系数。 根据新的脊波系数用脊波逆变换重建“降噪 的图像。 阈值可以分为全局阈值和局部适应阈值两类。其中，全局阈值是对各层所有的小波系 数或同一层内的小波系数都是统一的；与全局阈值不同，局部阈值主要是通过考察在一点 或某一局部的特点，在根据灵活的判定原则来判定系数是“主噪 还是“主信 ，以实现 降噪和保留有效特征之间的平衡，而且判定原则有时并不一定是从系数的绝对值来考虑 的，而是从别的方面，例如从概率和模糊隶属度方面来考虑。实验结果表明，局部阈值的 确比全局阈值对信号的适应性好，但需要较繁琐的计算。 2 2 3 小波系数的统计模型 小波变换系数作为一种新的工具被应用在小波降噪中。其基本思想是：对小波变换系 数用先验概率分布进行建模。然后，问题转化为用先验信息和贝叶斯估计方法，对无噪声 的信号进行估计。在小波降噪中的系数模型非常重要，能否建立成功的小波系数模型是小 波降噪方案的关键。小波系数模型，主要分为层间模型、层内模型和混合模型。其中，层 间模型主要是考虑不同尺度系数之间关系的模型；层内模型主要考虑同尺度内系数的统计 分布，以及相邻系数之间的关系；混合模型则是综合了前两者的模型。 目前最经常使用的层内系数模型是广义高斯分布模型，这是对自然图像在同一层内的 小波系数分布进行统计得到的规律，l a p l a c e 分布和高斯分布是它的两个特例。 2 2 4 其它系数选择方案 小波阈值降噪包括了一大类算法，它是将小波系数的绝对值作为衡量正则性的标准； 最重要的系数同时也是正则性最高的。除此之外，利用投影方法和相关方法也能够有效地 区分噪声和信号。投影方法有m a t c h i n gp u r s u i t s 法和m c d ( m u l t i p l ec o m p a c td o m a i n ) 或 p o c s ( p r o j e c t i o no n t oc o n v e xs e t ) 法两类。其中，m a t c h i n gp u r s u i t 法是通过指定一族小 波或波函数，并将带噪信号向该函数族进行投影，接着又对残差投影，并循环反复，直到 残差最后达到一定的条件；m a t c h i n gp u r s u i t 法是m a l l a t 等人首次提出的，这种方法除了小 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 波函数库可以选择之外，还可以使用局部余弦等多种函数库。m c d 和p o c s 法也是基于 投影原理，不过是投影空间有所不同( 如果利用小波，则一般为b e s o v 空间的凸集) 。相 关方法主要是基于信号在各层相应位置上的小波系数之间往往具有很强的相关性，而噪 声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点来进行降噪的。 2 3 本章小结 本章主要介绍了连续小波变换、离散小波变换和平稳小波变换的定义以及小波变换的 性质和多分辨分析。由于本文的主要研究对象是图像，还最后还介绍了现有的利用小波进 行图像降噪的各类方法及其相关特点，并且引出了本文所要重点讨论的r i d g e l e t 变换。 本章理论主要为论文以后几个章节做铺垫，后续部分基于脊波变换的图像降噪问题进 行研究和探讨。 武汉科技大学 硕士学位论文第1 3 页 3 1 连续脊波变换 3 1 1 连续脊波变换的定义 第三章脊波变换的基本理论 足2 上的连续脊波变换可如下定义1 6 l ，选择一个光滑的单变量函数l f ，：r 呻尺，具有足够 的衰减和消失矩：阿( t ) d t 一0 。对于任意的口 o ，b e r 和0 e o ，纫) ，定义双变量函数 妒地一：尺2 呻尺2 如下： 妒。j 。p ) 一a - v 2 妒( o lc o s o + x 2s i n 0 一b ) a ) ( 3 1 ) 上式中的函数沿“脊 毛c o s o + z ：s i n 0 一t ，其中f 为常数。脊的横截面为小波，故称之为 “脊波。 给定一可积的双变量函数厂o ) ，它的脊波系数定义为 r i ， ，b ，0 ) - p a , b , a ( x ) f ( x ) a x ( 3 2 ) 我们的假设保证了妒满足胪 ) 1 2 1 a 1 2 d a ，若进一步假设妒是规范的，即 缈( a ) l 3 - 2 d a = 1 ( 3 3 ) c a n d e s 证明了完全重构公式对可积和平方可积函数几乎处处成立。这说明“任何 函 数都可以写成一系列“脊 函数的叠加。上述表示是稳定的，满足p a r s e v a l 等式： j 1 ，研d x = f o 。e f p ，( a , b , o ) 1 2a 口a ，d ba 石a ( 3 4 ) 图3 1 显示了一个r i d g e l e t 函数以及该函数分别在尺度变换、平移、旋转后的情况。 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 ji 【o r 泌n 越r i d g e l e t 】潍f t 盼r 酬i n g 】 c a f f e rs l f i 代i n g 】 图3 1 一个础d g e l e t 函数 1 dw a v e l e t 变换 【a f t e rr o t a t i o n 。】 图3 2 砌d g e l e t 与鼬d 蚰变换之间的关系 3 1 2 脊波变换与i h d 佃变换的关系 连续脊波变换与r a d o n 变换有密切的联系。r a d o n 变换定义如下式： 尺彳，( 臼，f ) = f f ( x 1 ，x 2 ) 6 1c o s p + x 2s i n 0 一f ) 出1 d x 2 ( 3 5 ) 其中6 服从d i r a c 分布。则脊波变换就是在r a d o n 变换的切片上( 其中0 是常数，t 是变量) 应用一维小波变换，如图3 2 所示： r i ，( 口，b ，口) = n f ，。 ( f ) r 彳r ( 臼，t ) d t ( 3 6 ) 由于r a d o n 变换本身是沿直线三) 的积分，这里 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 l ( 川) = 仁尺d ：“x = f ，“er 4 ，i “= 1 ( 3 7 ) 当d = 2 时，u = ( c o s p ，s i n 0 ) ，l ( ) = l ( 盯) 。对于直线型的奇异性，r a d o n 变换在某个方 向u 必定会和这种直线型的奇异性重合，沿这个方向的直线积分后，直线型的奇异将转化 成点奇异，高维的超平面的奇异性也将转换化为点状的奇异性，而一维小波变换能有效地 处理点状的奇异性。因此，脊波变换处理直线奇异性的能力要归功于小波变换处理点奇异 的能力。 如果在式( 3 6 ) 中用一维傅立叶变换取代小波变换就得到了二维傅立叶变换： f ；( 亭c o s 0 ，s i n 0 ) = 卜啪剐r ( 口，f 渺 ( 3 8 ) 3 1 3 举例 具体的，考虑定义在单位方形上的函数f ( x l ，工：) 厂 。，x ：) = k ：。：而+ o 5 ，e - d - x l , xe r 2 图3 3 厂g 。，石：) 表示的图像 ( 3 9 ) 如图3 3 所示，这个函数沿着直线x 2 0 ) 。 卜面分别用离散余弦变换( d c t ) 、离散小波变换( d w t ) 、r a d o n 变换和脊波变换来非线性表示 f ( x ，x ，) ，比较结果图3 4 所示如卜【1 9 j 。从图3 4 不难看出脊波变换能最“稀疏”地表示直线奇异，比 其他三种变换更好的效果。 3 2 数字脊波变换 在实际应用中，脊波变换的离散化及其算法实现一直是一个具有挑战性的问题。脊波 分析等效于目标函数在r a d o n 域中的小波分析。但由于r a d o n 变换的变换精度取决于其在 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论文 各个方向上的投影个数，其冗余性使得它不能完全重构，这一缺点影响了脊波变换的具体 实现精度。 3 2 1 脊波变换的数字实现 由脊波变换与r a d o n 变换的关系可知，为实现脊波变换，第一步首先要计算r a d o n 变 换黝，( 口，f ) ，然后对切片剐，( p ，) 进行一维小波变换。 若在式( 3 6 ) 中不是进行小波变换，而采取沿t 的一维f o u r i e r 变换，则结果是二维f o u r i e r 变换。令厂表示函数厂的二维f o u r i e r 变换，则 f ( x c o s o ，a s i n p ) 1r 朋r ( 口，f 弘1 刀d t ( 3 1 0 ) 这就是著名的投影切片原理。它说明r a d o n 变换可以通过限定在通过原点的射线上的二维 f o u d e r 变换进行一维f o u d e r 反变换得到。这意味着数字图像的近似r a d o n 变换可以由离 散的快速f o u r i e r 变换实现。 对于数字图像厂o 。，f ：) ，0 主i lf ：sn 一1 来说，脊波变换包括以下几个步骤【刎： 2 df f l ( 快速傅立叶变换，f a s tf o u d e r1 r a n s f o m ) 。计算厂的二维快速f o u d e r 变换得 至0 矩阵f ( k 1 ，k 2 ) ，- n 2 墨k l , k 2 墨n 2 - 1 ； 直角坐标向极坐标的转换。使用插值技巧，将在方格点上得到的f o u r i e r 变换的采样 值厂替换为极坐标格点上的采样值； 1 di f f r 。对每一个角度0 ，沿直线计算一维f o u r i e r 逆变换，就得到了数字图像近 似的r a d o n 变换值； 在r a d o n 域中，沿极坐标的变量进行一维小波变换。 上述几个步骤中，最关键的是第二步：直角坐标与极坐标的转换问题。在f o u r i e r 变换 域中进行插值需要十分精密，因为图像的f o u r i e r 变换是摆动的，其相位包含了图像的关键 信息。为了实现r a d o n 变换尽可能精确的重构，人们提出了各种各样的方法，大体上可分 为在f o u d e r 域利用投影切片定理的方法【2 1 , 2 2 l 、多尺度方法【2 3 】和代数方法【2 4 】三类。 图3 5 所示为脊波变换的流程图，大小为n x n 的图像的脊波变换系数矩阵为2 n 2 n ， 冗余因子等于4 。这个算法对一幅nxn 图像的计算复杂度为o ( n 2l o g ( n ) ) 。 武汉科技大学硕士学位论文第1 7 页 刁 、- ， z z c ，) 图3 4 四种变换的非线性表示效果比较 3 2 2 有限r a d o n 变换 r- i d g e 奴m n s f o m 图3 5 数字脊波变换的流程图 有限脊波变换是m n d o 和m v e t t e r l i 在连续脊波变换的基础上，针对素数大小的离 散图像给出的。它是在有限r a d o n 变换域上做一维小波变换而得到的。下面简述它的构造 过程如下： 定义集合z p = o ，1 ，p 一1 ) ，其中p 是一个素数，z p 是通过模生成的一个有限区域， 那么定义离散图像厂在有限网格z 口2 上的有限r a d o n 变换f i n i t er a d o nt r a n s f o 姗( f r a t ) 是： 第1 8 页武汉科技大学硕士学位论文 “阳= f r a t r k , i 卜砉( f 容p 】( 3 1 1 ) 其中厶，表不阴怡z p 2 上组成以七为斜率，z 为截距的直线( 当七= p 时，代表斜率无限大 或垂直的直线) 的点的集合，或更确切地定义如下： l t 一 ( f ，j ) lj 一k i + ( m o d p ) ，ie z p ，ke z p ( 3 1 2 ) l p 一 u ，川j e z p 在f r a t 域中，如果在变换之前减去图像厂的均值，图像的能量就能最好的集中，在 下文中默认图像厂的均值已被减去。另外，式( 3 1 2 ) q a 的模运算将导致f r a t 直线呈现出区 别于自然直线的周期性“环绕”现象。 式( 3 1 5 ) 定义了有限网格z p 2 上p ( p + 1 ) 个方向上的直线，其中每条直线上均包含 p 个不同的点。并且，不同斜率的两条直线只可能有一个交点，对于任意给定方向，存在 p 条互相平行的直线，它们完全覆盖了网格z 。2 。这就意味着： 薹k m 瓦1 荟m 帅批p ( 3 1 3 ) 式( 3 1 3 ) 明确的说明了f r a t 的冗余性。对于任意一个方向，有p 一1 个独立的f r a t 系 数。总共p + 1 个方向上的( p + 1 ) ( p 一1 ) 个系数和平均值组成了有限r a d o n 域的 ( p + 1 ) ( p - 1 ) + l = p 2 个独立系数( 或自由度) 。 根据连续情形类推，有限反射投影算子( f b p ，f i n i t eb a c k p r o j e c t i o n ) 定义为对经过给定 一点的所有直线的r a d o n 系数求和，即： 。 f e e r ( i ，j ) 一；e r 。 1 】 ( f ，j ) z ； ( 3 1 4 ) 4 p ( t ，嘞， 。 其中，j 记录了所有经过点g ，j ) z ；的直线的斜率和截距。利用式可表示为： ，一 ( 七，z ) i ，一j 一k i ( m o d p ) ，ke z p u ( p ，f ) ( 3 1 5 ) 将( 3 1 1 ) 式代入( 3 1 4 ) 式，得到 f b p , ( i ，_ ) 一三罗罗作，j 】 ( 3 1 6 ) p ( 女憾，譬幺。 一三( 罗作，j 】+ p f i ，佃 p ( i ，广澎； 一f i ，j 】 所以式( 3 1 6 ) 定义的有限反射投影算子实际上是计算图像的有限r a d o n 反变换。这样得到 一个有效的准确的重构算法。 3 2 3 正交有限脊波变换 武汉科技大学硕士学位论文第1 9 页 获得f r a t 系数后，通过对f r a t 系数矩阵的每一个向量( 也可称为投 影) 丘【o 】，r k 【1 】，【p 一1 】做一维小波变换就可以得到有限脊波变换。但f r a t 是冗余且非 正交的，文