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y9 0 89 7 6 迭代梯度矢量流方法及其在医学图像分割中的应用 摘要：医学图像分割是图像研究中的一个重要领域。出于医学图像的复杂性， 普通的图像分割模型不能满足医学图像分割的需要。变形模型是近几年发展 起来的一种新的图像分割方法并被广泛应用于医学图象分割中。变形模型分 为参数变形模型和几何变形模型两种。最近约翰斯霍普会斯大学的x u c h e n y 趾g 提出了g v f 变形模型，通过扩展外力在图像区域的作用范围，改善 了传统变形模型对初始轮廓的敏感性以及不能进入图像边界凹口的弱点。但 对于含有又深又细凹口的复杂图像，g v f 方法依然无能为力。 本文提出了迭代梯度矢量流参数变形模型( i g v f ) 。i g v f 方法迭代使用 g v f ，每一次迭代时对上一次g v f 产生的结果进行调整做为新的初始轮廓。 轮廓调整主要在图像中又深又细的凹口附近g v f 无法进入的区域进行。本文 还对去除噪音和边缘检测等图像预处理技术作了深入的探讨。 最后，本文将i g v f 和图像预处理技术应用于实际的医学图像分割中，包 括人的小腿与大脑切片图像。其中大脑切片图像含有大量复杂的边界和又深 又细的凹口。实验结果表明，相比与g v f 方法，i g v f 方法对边界复杂且具 有又深又细凹口的医学图像分割效果良好，且迭代次数少。 关键词：梯度矢量流，迭代，图像分割，变形模型，凹口 l t e 憾t i v eg 阳d i e n tv e c t o rf l o w ( i g v f ) m e t h o da n di t s a p p i i c a t i o ni nm e d i c a i i m a g es e g m e n t a t i o n a b s t r a c t ：m e d i c a li m a g es e g r i l e n t a t i o ni sam 萄o rr e s e a r c hf i e l di ni m a g ep r o c e s s i n g t h d m f n a 】s e g m e n t a t i o n 脚o d e 】sc a n n o ts a 吐s 白t h er e q u i r e m e mo fm e d i c a 王i m a g e s e g m e n t a t i o nd u et oi t sc o m p l e x i w i nr e c e n ty e a r s ，an e ws e g m e n t a t i o nm e t h o dn 锄e d d e f o 瑚a _ b l em o d e l 、v a sd e v e l o p e da n dw a s 谢d e l yu s e di nm e d i c a li m a g es e g m e m a t i o n t h e r ea r et v v o t y p e s o fd e f o n n a b i em o d e l s ： p a r 锄c 仃i cd e f o n n a b l em o d e la i l d g e o m e m cd e f o m a b l em o d e l r e c e n u yx uc h e n y a l l go fj o h nh o p k i n su n i v e r s 岫 d e w i o p e dm cg r a d i e n tv e c t o rf i o w ( g v f ) p a r 锄e t r i cd e 向n 1 1 a b l em o d e l ，g v f i r n p m v e st l l ep e d b r m a l l c eo ft r a d i t i o n a ld e f b n n a b l em o d e l sb ye x t e n d i n gm ee x t e m a l f o r c et oam u c hl a r g e r r a i l g eo v e rt 量l ei m a g ed o m a i n c o m p a r e dt ot r a d i t i o n a l d e f 0 瑚a b l em o d e l s ，g v fi sm u c hl e s ss e n s i t i v et oi n i t i a lc o n t o l l rd o s i t i o na n dc a n c o n v e 理冀i n 幻b o u n d a r yc o n c a v 站nb u tg v fs 埘! d o e sn o tw o r kv e f yw e ni n h ec 8 s eo f l o n ga n dm i nb o u n d a i 了c o n c a v i t i e s i nt l l i sm e s i s ，an e wd e f o n n a b l em o d e lc a l l e dn e r a t i v eg r a d i e mv b c t o rf l o wf i g v f li s d e v e 】0 p e d i g v fu s e sg v fi t e r a t i v e l y i ne a c hi t e r a t i o n ，t h ep o s i t i o no ft h er e s u l t i n g c o n c o u ri sa d i u s t e da n di st h e nu s e da sm ei n i t i a ic o n t o u rf b rt h en e x tg v fi t e r a t i o n c o i l _ t o u ra d i u s t m e n tu s u a l l yo c c u r sn e a rl o n ga n dt 1 1 i nb o u n d a r yc o i l c a v i t i e s ，w h e r c g v fw o u l dh a v et r o u b l ec o n v e r g i n g d i 画t a li m a g ep r o c e s s i n gt e c h l l i q u e ss u c ha s n o i s er e d u c t i o na n de d g ed e t e c t i o na r ea l s od i s c u s s e di nd e t a i la n du s e df b r p r e p f o c e s s i n go tm e d t c a i l m a g e s f i n a l l y ，i g v f 姐di m a g ep r e p r o c e s s i n gt e c h n i q u e sa r e 印p l i e dt os e g m e n t a t i o no fr e a l i n e d i c a l i m a g e s ，i n c l u d i n gs e c t i o n so f h u m a r il o w e rl e ga n d h u m a l lb r a i n t h el a t t e r h a s al o to fc o 脚【p l e xb o u l l d 蕊e s 谢t h 】o n ga 1 1 dt h i nc o n c a v i t i e s ，1 1 1 er e s u l t so fm e e x p e d m c n c ss h o wt i l a t ，c o m p a r c dt 0g v f ，i g v fc a l la c l l i e v eb e n e rr e s u l t sw i m l e s s n u m b e ro f i 似m i o n sf o ri m a g e sw i m l o n ga n d 血i nb o u l l d a r yc o n c a v i t i e s 盖毋蝴，凼?g r a d i e n tv e c t o rn o w ， n e r a t i o n ， i m a g es e g m e n t a t i o n ，d e f o r m a b l e m o d e l ，b o u n d a t yc o n c a v i t y 第一章引论 1 1 研究背景与意义 据统计，在人类从外界接收的信息中有7 0 8 0 来自视觉或者说是图像 信息这是人类最有效和最重要的信息获取和交流方式。随着计算机技术的 迅速发展，人们越来越多地利用计算机来帮助人类获取和处理视觉( 图像) 信息。对视觉图像获取与加工处理的技术总称为图像技术。图像技术近年来 受到了人们的广泛的关注，它包括：图像的采集和获取，图像的编码存储和 传输，图像的分割、特征提取与测量等。 医学图像的分割是当前图像分割方法研究中非常活跃的一个领域。医学 临床实践和研究经常需要对人体某种组织和器官的形状、边界、截面面积以 及体积进行测量，从而得出该组织病理或功能方面的重要信息。精确的测量 对疾病的诊断和治疗有重要的临床意义。例如，在一段时间内多次测量同一 种与某种疾病相关的组织的体积，可以得到病情发展的信息或用作治疗效果 的检测手段。肿瘤学的i 临床研究经常用肿瘤收缩的程度和时间来评估治疗效 果，将肿瘤大小的精确量化数值作为疗效的测度。图像边界清晰与否在医学 上十分重要。例如，x 光、m r i 和c t 片需要勾画出肿瘤的明确边界；在超声 图像中需要精确地定出心房、心室的舒张、收缩轮廓。对人体各种组织的正 确分割不仅可以为临床组织病变提供计算机辅助诊断依掘，而且也是图像三 维重建和医学图像可视化的基础。 目前，在实际医学图像处理与分析中，对目标和病灶的识别、定位及定 量分析还主要依赖于人工操作。但是随着医学图像的种类和数量不断增多， 这种仅凭人工的方法是肯定行不通的，不可避免地需要借助功能强大的计算 机，尤其利用各种计算机算法对解剖结构或其他感兴趣的区域进行自动描述。 因此研究利用计算机来提高医学图像分割的自动化程度，加快分割速度和改 进分割精度是医学图象分割研究的重点。 由于人体解剖的个体差异较大、对象形状多样及图像质量不同，而临床 应用对医学图像分割的准确度和算法的速度要求又较高，所以医学图像分割 1 青岛人学硕士学1 _ 奇：论文 工作十分困难。特别是图像噪音和人工采样误差可能引起感兴趣的对象边界 模糊和不连贯，更使得图像分割的难度增加。到现在为止，没有一种计算机 图像分割技术可以解决任意的图像分割问题，尤其是对复杂的医学图像。本 文将要解决的问题就是边缘存在复杂深细凹口的医学图像的分割。 1 2 医学图像分割技术的研究和发展 所谓图像分割就是根据某种均匀性( 或一致性) 的原则将图像分成若干 个有意义的部分，使得每一部分都符合某种一致性的要求，而任意两个相邻 部分的合并都会破坏这种一致性。 由于医学图像的特征为低信噪比、低对比度、组织特征的可变性及不同 软组织之间或病灶与背景之间边界的模糊性，形状结构的复杂性等，医学图 象分割的智能化受到了很大的限制，般的图像分割技术的效果难以进一步 向临床实际应用推广。医学图象分割具有很强的针对性，各种算法往往基于 特定的领域、特定的成像模式、特定的感兴趣对象，这些问题的存在使得医 学图像分割至今没有统一的标准和普遍适用的规则。 早期医学图像文献中提到的图像分割方法如边缘检测技术、阈值分割技 术、区域增长技术等是广泛应用的传统的图像分割方法。边缘检测技术是一 个两步方法：首先用边缘检测器通过检测图像强度的不连续来识别图像的边 缘元素，接着，用边缘连接运算法则将边界元素连接在一起成为一个参数化 的曲线或曲面表示。阂值分割技术是通过设定图像的灰度阀值对图像分割， 将背景区与目标物区分开来。区域增长技术是种基于区域的方法，通常先 从一系列种子点开始，通过合并具有相似特性的相邻二维或三维像素来扩充 区域。这些传统的方法有一个局限性就是它们只考虑了局部信息，所以在边 界合成过程中可能采用了不正确的假设从而导致产生了不可行的对象边界。 应用传统方法得到的图像分割结果一般需要通过后处理去除无效的对象边 界。 近几年来。变形模型理论引起了图像处理研究领域的广泛关注变形模 型方法的医学图像分割技术得到了迅速发展。作为一种基于模型的方法，它 2 第一章引论 为图像分析提供了一种独特而有力的途径，其独特性在于，它可以通过综合 利用从图像数据中得到的限制( 自底向上) 和各种先验知识( 白上向下) ，把几何、 物理和估计理论联系起来。此方法已经被证明在图像分割，匹配和运动跟踪 时是十分有效的。 本文的研究就是基于变形模型算法解决医学图像分割问题，并取得了良 好的效果。 1 3 变形模型的发展历史及研究现状 变形模型是定义于某图像区域中的曲线或曲面，该模型可在内力和外力 的作用下运动。其中，内力定义于曲线或曲面内，所设计的内力使得模型变 形时保持光滑，而外力来源于图像数据，外力的作用是使得模型移向图像内 对象的边界或图像内所期望的特征。通过增加约束使对象边界光滑，并增加 对象形状的先验信息，使得变形模型对图像噪音和边界缝隙具有鲁棒性，并 能将边界单元集成在一起，构成一致的数学描述。这种边界描述精度高可被 后续应用直接使用，这正是医学图像处理应用所期望的特征。 尽管变形模型一词最早出现于t e r z o p o u l o s 及其合作者上个世纪8 0 年代末 期的工作口5 1 ，但通过对模板变形抽取图像特征的概念可追溯到f i s c l l i e r e l s c l l l a g e r 所提出的弹簧一载荷模板的工作【6j 及w i d m w 关于橡胶掩膜方法的工 作法 7 1 。变形模型的流行主要是由于k a s s 、w i t k i n 和t e r z o p o u l o s 的创造性 论文：“s n a l ( e s ：a c t i v ec o m o u r s ”。该文发表后，变形模型已发展成为图像分割 中最活跃和最成功的研究领域之一。变形模型的边缘检测思想是全局性的： 认为边缘的存在不仅依赖于特定点的梯度，还依赖于其空间分布，因而在边 缘检测中应将模型的连续性、曲率与局部边缘强度结合在一起，将图像数据、 初始估计、目标轮廓特征与基于先验知识的约束等集成于一个特征提取过程 中8 1 。在文献中应用过不同的名称如蛇线、主动轮廓、动态模型、主动曲面、 变形轮廓或曲面均指变形模型。 变形模型可分为两种：参数变形模型1 1 1 和几何变形模型【b 15 1 。参数变 形模型在变形过程中以显式参数形式表达曲线或曲面。该表达形式允许与模 3 青岛大学硕十学位论文 型直接交互，且表达简洁，实施快捷。但该方法难于处理在变形过程中发生 拓扑结构的分裂或融合等问题，而几何变形模型可自然地处理拓扑结构的变 化，该方法基于曲线演化理论1 9 1 和水平集方法【2 0 圳】，隐式地将曲线或曲面 表达为高维标量函数的水平集。由于该方法仅在完全变形后进行重新参数化 工作，因此易于适应拓扑结构的变化。尽管两种方法在该方面本质不同，但 基本原理非常相似。 参数变形模型存在两个关键难题。一是初始模型必须靠近目标边界，否 则可能收敛为错误结果。已经提出了几种方法来解决这个问题，诸如多尺度 法吲、压力法、距离势能法瞄j 。其基本观点是增加外力场的吸引范围 将变形模型引向目标边界。二是变形模型难以收敛进边界深凹口处 2 4 - 25 1 。尽 管应用压力、法【0 1 、控制点法 1 3 、区域适应法、方向吸引法【2 7 l 、无散矢场法 【27 】解决了其中一个问题或两个问题但是随之带来了新的难题。例如，多尺 度法解决了吸引范围问题，但在说明变形模型应该如何跨越不同分辨率上仍 存在问题。再如，压力能将变形模型推进边界深凹口，但压力不能太大，否 则弱边界将会被淹没28 1 。压力初始化时必须指明是拉出还是压进变形模型。 x u ( t h ej o 1 1 1 sh o p k i n su n i v e r s i t y ) 等人提出g v fs n a l ( e ( g r a d i e n tv e c t o r f l o ws n a l 【e ) 方法 2 9 1 解决了上述问题。他设计了一种称为g v f 的新的外力，这 种新的外力在整个图像区域计算梯度场，并由简单的扩散方程得到。g v f 外 力与传统外力相比有三个优点：一是g v f 有较大的吸引范围，能在远离对象 边界处初始化变形模型。二是g v f 能将变形模型引向边界凹口，而传统的方 法则不能。三是g v f 表达式可用于任意维度。 尽管g v f 方法已被广泛地应用于具体的图像处理中，但是本方法在处理 边缘特别复杂的医学图像时结果不理想。例如本文要解决的问题：当图像边 界凹口又深又细的情况下，g v f 变形模型就难以收敛进入凹口谷底，不能得 到精确的边界描述。在医学图像的处理中，具有此种特征的图像非常多见。 既希望利用g v f 方法的上述优点，又要克服其不能进入又深又细凹口的缺 陷，本文提出迭代梯度矢量流方法对梯度矢量流方法进行了改进，实践证明 图象分割效果良好。 4 第一章引论 1 4 本论文的研究内容及论文安排 本论文研究工作主要有如下几个方面：参数变形模型的原理及应用研究， 主要是基于梯度矢量流方法的参数变形模型的研究及其在医学图像分割中的 应用：提出了基于g v f 变形模型的迭代算法( i t e r a t i v eg v f ，i g v f ) 来实现含 有细且深凹口边界的医学图像的分割，同时为保证医学图像分割的效果，对 图像预处理技术进行了分析、探讨和比较，并选择合适的预处理技术应用于 i g v f 方法的医学图像分割中。 本文安排如下： 第一章概述本课题的背景意义，医学图像分割的研究现状及变形模型的 研究和发展，并介绍本论文的研究内容和创新之处。 第二章介绍变形模型。变形模型包括几何变形模型和参数变形模型。主 要介绍了参数变形模型，包含能量最小公式、动态力平衡公式、外力设计、 数值实现及其传统变形模型的性能评价及缺陷。 第三章介绍梯度矢量流变形模型理论。介绍梯度矢量流( g v f ) 变形模 型及其数值实现、性能评价、存在问题。 第四章介绍改进了的迭代梯度矢量流方法变形模型( i g v f ，i t e r a t i v e g v f ) ，介绍实验的过程及结果，给出i g v f 性能评价及同g v f 比较的优越性。 第五章介绍i g v f 变形模型在医学图像分割中应用实例，讨论i g v f 图 像分割模型的实现过程与要点。其中为取得理想的医学图像分割效果，对图 像的预处理技术技术作了深入的研究，提高了图像分割质量。 第六章总结本文的工作，对未来医学图像分割算法的进一步研究作一展 望。 1 5 本论文的创新之处 本论文针对医学图像分割的特点，将基于曲线演化和梯度适量流方法的 参数变形模型应用于医学图像的分割。并对实现过程中的各个问题进行详细 青岛人学硕士学位论文 讨论，提出了一些改进的措施，取得了良好的分割效果。具体的创新之处主 要表现在以下几个方面： ( 1 )对g v f 算法通过实验进行验证得出结论：当图像的边界存在 又深又细的凹口时，g v f 方法变形模型收敛结束后不能获得 精确地图像分割结果，其停留在凹口处，不能进入图像边界的 凹口谷底。 ( 2 ) 对g v f 方法作出改进，提出了迭代梯度矢量流方法，称之为 i g v f 方法。使其能适应细且深凹边界的医学图像的分割问题， 并取得了良好的效果。 ( 3 )对图像的预处理技术进行深入研究和比较，选择出合适的对医 学图像的去噪和边缘检测算法，使图像分割的质量大大提高。 6 第二章变形模型 参数变形有几何变形模型和参数变形模型两种。第简单介绍几何变形 模型；第二介绍参数变形模型及其能量最小公式、动态力平衡公式；第三给 出了几种能有效地将变形模型引向所期望的图像特征且已被广泛使用的外 力并给出了其数学实现形式；第四讨论了传统变形模型性能比较及缺陷。 2 1 几何变形模型 几何变形模型基于曲线演化理论和水平集方法。曲线或曲面演化依赖于 几何测量，其演化过程与图像数据耦台在一起用咀恢复图像边界。因为演化 过程不依赖于参数，演化曲线或曲面可以隐式地表达为高维函数的水平集， 从而可以自动处理拓扑结构的变化。 2 1 i 曲线演化理论 曲线演化理论的目的是应用几何测度量研究曲线变形这些测度包括单 位法向量、曲率。这些量与参数化模型中诸如参数曲线的导数等对应。如下 考虑运动曲线 c b ，d = 咩 0 ，地f ) 】( 21 ) 其中，s 为任意参数，t 为时间，指向内侧的单位法向量及曲率分别用n 和k 表示，曲线沿法向的演化可由下述偏微分方程表达： 丝：矿( k ) _ v( 2 2 ) f 其中，w 剧被称为速度函数，它决定了曲线演化的速度。注意沿任意方向 运动的曲线总可以重参数化为方程( 2 2 ) 的形式。发事实可直观得出，切向 变量仅影响曲线的参数化，不影响其形状和几何属性。 在曲线演化理论中对曲线变形研究最多的是曲率变形和常变形，曲率变 形由下述所谓的热传导几何方程给出。 青岛大学硕十学位论文 坚：刺 ( 2 3 ) 其中，a 为正常数。该方程将使曲线保持光滑，撮终使曲线收缩为圆点。 曲率变形的影响类似于参数变形模型中的弹性内力的作用。 常变形由下述方程描述 些：( 2 4 ) f 其中，矿。为决定变形速度和方向的参数。常变形所起的作用同参数变形 模型中的压力的作用相同。曲率变形与常变形的作用互补，曲率变形通过使 曲线保持光滑而消除奇点，而常变形使初始光滑曲线产生奇点。 几何变形模型的基本思想是将图像数据与变形速度耦合作用，以使演化 曲线停止在对象边界上，实现上述演化采用水平集方法，所以，过去对几何 模型的大多研究集中在速度函数的设计上。 2 1 1 2 水平集方法 水平集方法用于刻划自动拓扑结构的变化，并为几何变形模型的数值方 法提供基础，用于演化曲线的水平集方法由o s h e r 和s e t h i a n 【2 0 _ 2 1j 提出。 在水平集方法中，曲线被隐式表达为2 d 标量函数的水平集，该函数被称 为水平集函数，并定义在图像区域上。水平集是具有相同函数值的点的集合。 图2 1 是嵌套水平集的例子。值得指出，此处的水平集不同于图像水平集，后 者有时用于图像增强。水平集函数的唯一目的是为演化曲线提供隐式表达。 水平集方法不是跟踪曲线随时间变化，而是通过在固定坐标系中水平集 函数随时间的变化而演化曲线，该观点类似于欧拉方程与拉格朗日运动间的 关系，后者对应于参数变形模型。该方法的主要特点是当嵌套曲线改变其拓 扑时，水平集函数仍保持为有效函数，如图2 2 所示。 8 第二章参数变形模型 ( a ) ( c ) 图2 1 ：嵌入一条曲线作为水平集( a ) 单一曲线( b ) 嵌入曲线作为零水平集的水平集函数( 黑色) ( c ) 零 水平集映射为图中黑线 圈2 2 ：从左到右，当水平集函数保持有效时零水平集分裂成两条髓线的情况 以下推导曲线演化方程( 2 2 ) 的水平集嵌套。给定水平集函数庐g ，_ y ，r ) ， 轮廓线砂是其零水平集，有 量为 彳( 5 ，r ) ，f - o( 2 5 ) 将上述方程对，求导，并利用链式微分规则，有 其中，v 为矿的梯度。 型+ v 击塑：o ff ( 2 6 ) 假定，庐在零水平集内为负，在其外为正，且水平集曲线的内向单位法向 9 青岛人学硕士学位论文 础。 ：旦 v 妒i 由上述事实及方程( 2 2 ) ，可将( 2 6 ) 整理为 型：i v f 其中，在零水平集的曲率 为 ( 2 7 ) ( 2 8 ) - 尚= 盟警 亿。， v l ( 九+ 。) 3 、 方程( 2 2 ) 与( 2 8 ) 间的关系为应用水平集方法实现曲线演化奠定了基 实现几何变形模型必须考虑以下三个问题。 ( 1 ) 初始函数巾“，y ，t = o ) 的构造必须使得零水平集与初始轮廓线相对立， 通常选择中( x ，y ，o ) = d ( x ，”，d ( x ，y ) 为每个格点到零水平集的符号距离。一般来 说，初始轮廓线符号距离的计算较费事。近来，s e t h i a n ，m a l l a d i 提出了快速移 动法( f a s tm a r c h i n gm e t l l o d ) ，该方法阶数为o ( n l o g n ) ，其中，n 为像素点数。 该方法在某些情形下计算效率较高，例如，当零水平集可由一组圆盘的外边 界描述时，符号距离函数的阶数为o ( n ) ，即 d ( x ) = m i n ( 1z c ，卜) i = 】卅 ( 2 1 0 ) 其中，x = ( x ，y ) ，m 为初始圆盘数，c ，r ，分别为每个盘的中心和半径。 ( 2 ) 由于演化方程( 2 8 ) 仅由零水平集导出，该速度函数v ( k ) 般不能 定义在其它水平集上，所以，需要将速度函数v ( k ) 拓展到所有水平集上，但 是，单位法向量和曲率的表达式不适于所有水平集。尽管已有许多方法对其 进行拓展研究 2 l 】，但应用这些拓展速度函数的水平集函数演化方法会失去作 为符号函数的特性，从而引起曲率和法向量计算的误差。因此，这些方案往 往要求将水平集函数重新初始化为符号距离函数。 1 0 ( 3 ) 在几何变形模型应用中，常变形经常应用于刻划大尺度变形、窄边 界识别及凸型恢复，但常变形使初始化光滑零水平集出现尖角，一旦尖角产 生，使连续变形产生困难。 2 2 参数变形模型 2 2 1 参数变形模型的能量最小公式 变形轮廓能量最小公式的基本前提是通过使其内能和势能的加权和最小 来确定参数化曲线。内能决定了轮廓的扩张或光滑程度，势能定义于图像区 域，且在对象边界的图像强度边缘处达到极小值。对总能量取最小值得到内 力和外力。内力使得曲线保持在一起( 弹性力) 且使曲线不过度弯曲( 弯曲 力) 。外力将曲线引向目标对象边界。为找到对象边界，首先在图像区域初始 化参数曲线，然后在两力的作用下，将其移动到能量最小位置。 在数学上，变形轮廓为曲线：爿( j ) = ( x ( s ) ，_ y ( 5 ) ) ，s “o ，1 ，该曲线通过图 像的空间区域到达如下能量泛函的极小值点： s ( x ) = s ( x ) + 尸( x )( 2 1 1 ) 其中，第一项为内能泛函，定义如下： 泓h f 卜髀雕，诽 ：， 其一阶偏导数阻止曲线伸展，使得模型类似弹性系统。其二阶导数阻止曲线 弯曲，使其行为类似刚性杆。权参数口( s ) 和卢( s ) 分别用于控制模型扩张和弯 曲的强度。口( s ) 调整轮廓的张力，( s ) 调整轮廓的刚度。在实际应用中，口( s ) 和( 5 ) 通常取常数。若口为零，则该点不连续：若为零，则存在一个曲率 断点，即角点。( 2 1 ) 式第二项为势能泛函，通过对势能函数p ( x ，y ) 沿轮廓( j ) 积分计算。 j p ( 爿) 2f p ( z ( j ) ) 出 ( 2 1 3 ) 青岛大学硕士学位论文 势能函数尸( x ，y ) 由图像数据导出，在对象边界处及其它感兴趣特征处取较小 值。给定灰度值图像，( z ，y ) ，并将其看作连续位置变量( x ，y ) 的函数，可设计 使轮廓向阶梯边缘移动的典型的势能函数： p ( x ，y ) = 一种。l v g ，( 工，y ) + ，( 工，y ) | 2( 2 1 4 ) 其中，口。为正的权参数，g 一( x ，y ) 为具有标准差仃的两维高斯函数，v 为梯度 算子，+ 为2 d 图像卷积算子。如果期望的特征为线，那么合适的势能函数定 义如下： 尸( x ，y ) = ， g 一( x ，y ) + ，( 工，y ) 】( 2 1 5 ) 其中，埘，为权参数，正值，用于在白背景上确定黑线，负值印，用于在黑背景 上确定白线。对边缘和线的势能，增大盯可扩大其吸引范围。但较大的a 可 引起边界位置的偏移，导致不精确的结果。 如果不考虑准确势能函数的选择问题，能量泛函极小化的过程相同。通 过能量泛函s 极小化确定曲线爿( s ) 的问题是一个变分问题【2 】。泛函 私，= 蜘斛俐斛肭 z s ， 为简化起见，我们用f ( ( s ) ，x ，( s ) ，x 。( s ) ) 表示式( 2 6 ) 的被积函数，式( 2 1 6 ) 可写为如下泛函形式： s ( 鼻( 5 ) ) = if ( x o ) ，( s ) ，x 。( s ) ) 出 ( 2 1 7 ) 泛函取极小值的条件是其变分为零。设曲线x = x ( s ) 邻域内的曲线记作 x = z + ( s ) ，建立含一个参数的曲线： z ( j ，口) = j ( j ) + 口( + ( s ) 一_ ( j ) )( 2 1 8 ) x ( s ) 一z ( s ) 叫作函数( s ) 的变分，记作甜。考虑泛函( 2 1 7 ) 沿曲线 x = ( j ，口) 积分，得到含变量口的一个函数： 第二章参数变形模型 s ( x ( s ，d ) ) = ( 口)( 2 1 9 ) 对a = o ，该函数相对于邻域内的曲线取得极值。函数庐( 日) 在口= 0 处取得极值 的条件是： ( o ) = 0( 2 2 0 ) 因为 ( 口) = jf ( z ( 删) ，x ，( 删) ，以( 删) ) 出 ( 2 ，2 1 ) 所以 纵加掣+ _ 掣峨笔笋协 ( 2 z ：) 又因为： 坚尘：虫：翌! 垄盟! 些! ：硝 0 n d a 学掣：塑掣芸型：秘，( 2 2 3 ) 0 ao n 掣：型掣掣： o no n 所以有： 7 ( o ) = j 巧料+ _ 耐，+ 吃研。坤 ( 2 - 2 4 ) 声( o ) 就是泛函的变分，记作出。泛函取极值的条件是其变分瑟为零，即 矿( o ) = f 以蹄+ b ，吼+ b 。，研。坤= o ( 2 2 5 ) 保留第一项，第二项一次积分，第三项两次积分，可得 据= 以辫b + 【以，耐 一 芸目；。掰。】：+ f 以一罢氏+ 等吃 戤孤 ( 2 2 6 ) 让所有曲线通过相同的端点，有： 1 3 青岛大学硕士学位论文 捌i 。= 研b = o 耐。b = 科，b = o ( 2 2 7 ) 剁，k = 麟。b = o 相应地 曲= l 目一丢氏+ 嘉吃】鼢= o ( 2 2 8 ) 可得 以一芸民+ 导吃= 。 ( 2 2 9 ) 这就是最优化的e u l e r 方程。通过计算得到下列使s 取极小值的曲线必须满足 的e u l e r - l a g r a l l g e 方程： 芸( 口豢一等( 警卜卯( 耻。 ( 2 ，0 ) 为方便理解变形轮廓的物理性态，可将( 2 2 0 ) 式看作如下力平衡方程： f 。( j ) + ( x ) = o ( 2 3 1 ) 其中，内力为： 州耻昙 豢一等( 等) ( 2 3 2 ) o s0 so so s 势力为： ，( 爿) = 一v p ( x ) ( 2 3 3 ) 内力曩。阻止模型的伸展和弯曲，势力，将轮廓拉向理想的对象边界。在本 章，我们将力定义为高斯势力，由( 2 4 ) 式和( 2 5 ) 式的势能函数p ( x ，y ) 导出。 为求解方程( 2 1 6 ) ，通过将x ( s ) 视作s 与时间，的函数即坝s ，0 ，从而使 变形模型成为动态模型。然后，将( 2 1 6 ) 式记为： 1 4 第二= 章参数变形模型 y 等= 杀 芸卜导( 警) _ 卯( 椰 ( z 。) ( 2 3 4 ) 式左边的系数，的选取，使得左右两边单位一致。当x ( 5 ，f ) 稳定后， 上式左边为零，得到方程( 2 1 6 ) 的解。 通过能量最小化来逼近所提取的特征有很大优越性，但是，由于能量函 数的非凸性，存在多个局部极小值，因而模型的初始位置需要靠近目标的轮 廓边界；因内力的抵抗作用，模型不能处理失角、深凹、狭长分叉等形状。 许多研究者提出新方法改进其中的一个或多个方面，见本章2 5 节。 2 2 2 参数变形模型的动态力公式 在2 1 节中，首先将变形模型定义为静态模型，然后通过引入人工变量t 对能量求极小值。但有时应用力公式直接从动态模型建立变形模型更方便。 这种公式允许使用更多种类的非势力外力，即不能写成势能函数负梯度的力。 根据牛顿第二定律，轮廓x ( 5 ，f ) 的动力学必须满足： = ( m ( m 吲奶 ( 2 3 1 ) 其中，卢为具有质量单位的系数，瓦，是阻尼力，定义为一，等，为阻尼 系数。在图像分割处理中，通常被置为零，主要原因是惯性项可使得轮廓 跨越弱的边缘，无惯性项的变形模型动力学方程为： y 警哦。( m 吆( 棚 ( 2 3 2 ) 内力定义同式( 2 2 2 ) 。外力可以是势力或非势力。但非势力不能由上节的能 量变分公式得到。 通常可将外力表示为不同力的迭加： k ( ) = e ( x ) + e ( ) + 凡( x ) ( 2 3 3 ) 其中，n 为外力的数目。上述迭加公式使得可将外力分解为多个更易使用的 力。例如，我们可将外力分解为高斯势力和压力，这将在2 2 3 节介绍。 青岛火学硕士学位论文 2 2 3 外力设计 为了解决变形模型对初始化位置敏感问题和不能处理图像深凹口问题， 许多研究者提出了改进方法，其基本思想是：在图像本身产生的对变形模型 的引力为零或较小时，对模型施加一个常力或者自适应力，平衡内力所固有 的向内收缩趋势，强制性使模型趋向目标，就可允许初始化模型远离目标。 此外，改变能量场，增加力的作用距离或者改变力的指向，使模型处于含有 目标特征信息的场力的控制域内，也可使模型向所希望的目标特征拟合。本 节我们给出几种用于变形模型的外力这些外力既可用于变形轮廓也可用于 变形曲面。 ( 一) 多尺度高斯势力 当使用高斯势力时，为了使变形模型精确地跟踪对象边界，仃必须取小 值。其结果是，高斯势力仅能将模型吸引到初始化轮廓附近的对象边界。为 了改进该问题，t e r z o p o u l o s ，w i t k i n & k a s s 口，5 1 提出，在保持边界定位精度的同 时，应用不同尺度的高斯势力拓宽模型的吸引范围。其基本思想是首先应用 较大的仃以产生在对象边界附近具有较宽凹谷的势能函数。较粗尺度的高斯 势力将变形轮廓或曲面在大的范围内吸引到所期望的对象边界。当轮廓或曲 面达到平衡位置时，降低盯，以使模型在更精细的尺度上跟踪对象边界。该 方法有效地拓宽了高斯势力的吸引范围。其弱点是，目前尚未有如何定义盯变 化的理论方法。现有的专用方法往往导致不可靠的结果。 ( 二) 压力 c o h e n 提出了应用压力和高斯势力一起增大吸引范围的方法。该压力可 使模型扩大或缩小，因而不再要求将模型初始化在所期望的对象边界附近。 应用压力的变形模型又称为气球( b a l l o o n ) 。 压力定义为： ( x ) = ，( ) ( 2 f 3 4 ) 其中，( x ) 为模型在x 点向内的单位法向量，甜。为常值权参数，其符 1 6 第二章参数变形模型 号由用户根据是扩大或缩小模型作出选择。最近提出了依据空间位置变化定 义珊。符号的方法，浚方法依据区域信息和模型与所期望对象的相对位置( 内 侧或外侧) p o 川1 。珊。值决定了压力强度。的选择必须慎重，在重要边缘压 力的值必须略小于高斯势力，但又须足够大以使模型能够跨越弱的或模糊边 缘。当模型变形时，压力使得模型扩大或缩小直到高斯力阻止模型变形为止。 应用压力模型的缺点是气球力的方向选择不是智能化的，要求初始模型全部 位于目标的内部或外部。 ( 三) 距离势力 扩大吸引范围的另个方法是c o h e n & c o h c n 提出的用距离映射定义 势能函数的方法。每个像素点距离映射的值通过计算该像素点到最近边界点 的距离得到，可以采用e u c l i d e a n 距离【3 2 】或c h a m f e r 距离。通过定义基于距 离映射的势能函数，我们可以得到具有较大吸引区域的势力场。不过，距离 映射是在像素点与最近边缘点之间建立关系，邻近的边缘有更大的引力，所 以不能驱动模型收敛到深凹的形状。 给定计算的距离映射d ( x ，y ) ，用【2 3 提出的方法定义对应的势能方式如 下： 只( x ，y ) = 一国de x p 【一d ( x ，y ) 2 】( 2 3 5 ) 对应的势能场为一v 己( z ，y ) 。 ( 四) 动态距离力 3 4 ，3 5 提出了一种与距离势力类似，但无边界深凹口问题的外力。该方 法通过在变形轮廓或曲面上每个点的符号距离推导出外力。该符号距离由沿 着模型法向的最近边界点或其它图像特征来计算。模型每变化一次，该符号 距离要重新计算。可用不同的准则定义要搜索的目标对象边界点。最常用的 准则是用具有高图像亮度梯度值的像素点或由边缘检测方法产生的边缘点。 为避免同外部轮廓混淆及降低计算时间，其阈值由最大搜索距离确定。所得 到的力即我们所指的动态距离力。该力可将变形模型在较大的范围内吸引到 1 7 青岛人学硕士学位论文 单位法向量为( ) ，所计算的符号距离为d ( x ) ，指定的距离临界值为d 。， 阶。等m ) ( 2 3 6 ) 结果的精度。例如，当用户希望将模型拉向某重要特征，或希望对模型施加 约束，使其通过专家指定的标记点时，变形模型可方便地使用户交互力化为 通常应用k a s s 等 3 1 提出的两种交互力，即弹簧力和火山力。定义弹簧力 正比于模型上的点彳与用户指定点p 的距离： e = 矾( p 一工) ( 2 3 7 ) 弹簧力将模型拉向p 点，模型离p 点越远，拉力越大。基于在p 点局部 区域的直观搜索，在模型上选择离j f ，点最近的点j 。 设计火山力将模型推离火山点p 周围的局部区域，为提高计算效率，火 山力仅在p 点的临域( p ) 内计算，即： t ( 耻卜青 肌( 脚 ( 2 3 8 ) t ( 卫) = p 矿 肌川 ( 2 3 8 ) 【0j 芒( p ) 其中，= 彳一p 。注意，为避免数值不稳定，在r 接近零时，应对火山 第二章参数变形模型 础，= 卜一嚣 b ， 其中，疗。用于调整火山力的强度分布。 2 2 4 参数变形模型的数值实现 ，警= 口警一声等忆( x ) 由于变形轮廓为： x ( s ) = ( x ( s ) ，】，( s ) ) ，s “o ，1 ，设s ，= + 油， f 。= “+ n r ， 为空间步长，f 为时间步长。f 表示变形轮廓上的第f 个节 点在第时刻的矢量值。若设s 。= 0 ，“= o 可表达为： 攀：掣 ( 2 4 1 ) 西f 翌：茎：! 二篓：墨二篓 瓠， 翌：型二丝：笪二丝 出血 1 9 ( 2 ，4 2 ) ( 2 4 3 ) 青岛大学硕士学位论文 所以 a x “ 瓠2 峨“ 警：挲：半 ( 2 。) 瓠血 、7 硝巍 x i 、一x ：x 一x n - 、 广一rx ：，一2 x ? + ? 2 等= 导c 等，= 导c 盟等盟，=玉4加2 、西2 7 西2 、 2 7 一工2 4 z 品+ 6 爿? 一4 x 二+ x ：2 4 ( 2 4 5 ) a 2 爿品a 2 j 7 a 2 x 二。 出2西2瓠2 i 一 将式( 2 4 1 ) 、( 2 4 5 ) 、( 2 4 6 ) 代入方程( 2 4 0 ) 可得 ，篓二兰! ： 。 f ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 其中，为阻尼系数， 为空间步长，f 为时间步长，通常，外力以 离散矢量场形式存储，该矢量场定义在图像网格上。任一点x ，处的外力k 可 通过对z 附近网格点的外力值双线性插值得到。 整理方程( 2 4 7 ) ，得 星言兰= 一芳霸：+ ( 吾十等) 霸一( 等+ 等) f 了( 2 4 8 ) + ( 吾+ 芳) 二一等z 二：+ 吃( f k w 啊 汛 第二章参数变形模型 记各项系数分别为：n = 一等， x | 一xn - r 州吾+ 羚一学+ 羚则 c6 口o 0口6 6c6日o o口 d6 c 6口0 - o od6c6日o ； ! od6c6日0 0 o盘6c6a 口o 0n6c6 6 口0 o口6c = a x ：+ f 。晖，、 方程( 2 4 9 ) 可写为如下紧凑的矩阵形式 x ； x ： x ； 肖：一2 x ：一t + k ( x ? 。) ( 2 4 9 ) 些：肼一+ ( )( 2 5 0 ) 其中，f = 形，z ”，x 和屹( z ) 为聊2 矩阵。a 为埘m 的带状对 角阵，聊为样本点。方程( 2 5 0 ) 应用如下方程迭代求解。 爿”= ( ，一叫) 一k “+ 吒( z “) j ( 2 5 1 ) 一谢的逆阵可通过l u 分解计算。对于不改变弹性参数和刚性参数变形 过程，该分解只需进行一次。 2 2 5 参数变形模型几种方法的数值比较及缺陷 我们应用几个简单对象的变形模型，比较传统变形模型( 只应用高斯势 力) 、压力变形模型( 气球) 和距离势力变形模型的几个主要特征。对所有的 变形轮廓，都取口= o 0 5 ，= o o ，迭代次数为7 5 次。变形轮廓动态地重新参 数化以维