（固体力学专业论文）V型切口脆性断裂的研究.pdf

v 型切口脆性断裂的研究 摘要 本文基于弹性力学平藉阀题豹基本方程，等l 入两个a i r y 应力函数，推导了 均质材料v 型切口尖端和裂纹尖端的应力奇异性特征方程及其附近的奇异应力 场和位移场。提出了确定单应力强度因子和双成力强度因子的数值方法以及提 高应力强度因子求解精度的结点选取方法。利用上述数僚方法和有疆元程序 m s c n a s t r a n 的数值分析结果，对l 型、i i 型、i 与l i 复会型平面裂纹以及多 种v 型切口问题进行了具体计算。计算结果表明，本文所提出的数值方法具有 简单、通用和精度高的特点，便于实际工程应阁。 本文基于断裂力学原理，攥导出了v 型切口的憔晃应力强度因子k ，与材 料的平面艘变断裂韧度蜀。之间的关系，给出了平面单奇异性和双奇异性v 型 切口问题的最大周向应力脆性断裂准则，并用有机玻璃板材加工了两种v 型切 口试样，进行了实验验证。实验表明，本文提出的最大周尚应力脆性断裂准则 与实验结果基本吻合。 关键词：应力强度因子，数值方法，v 型切口，脆断准则，实验验证 r e s e a r c ho nv - n o t c h e db r i t t l ef r a c t u r e a b s t r a c t b a s e d0 1 3 t h eb a s i ce q u a t i o n so ft h ee l a s t i c i t yp l a n ep r o b l e ma n dt h et w oa i r y s t r e s sf u n c t i o n si nt h et h e s i s ，s t r e s ss i n g u l a r i t ye i g e n e q u a t i o n sa n dd i s p l a c e m e n t f i e l d sa sw e l la ss i n g u l a rs t r e s sf i e l d sn e a rt h ev - n o t c ht i pa n dt h ec r a c kt i pf o r h o m o g e n e o u sm a t e r i a l sa r eo b t m n e d n u m e f i c a lm e t h o d st o d e t e r m i n et h es t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r sf o rs i n g l ea n dd o u b l e s t r e s ss i n g u l a r i t yp r o b l e m sa r ep r e s e n t e da n da p a t h w a y i sp r o v i d e dt os e l e c tn o d e sf o ri m p r o v i n gt h ea c c u r a c yo ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r b y u t i l i z i n gt h ea b o v em e t h o d sa n dt h er e s u l t so ft h ef i n i t e e l e m e n tp r o g r a mn a m e d m s c n a s t r a n ，t h ep a p e rc a r r i e st h r o u g hs p e c i f i cc a l c u l a t i o n sc o r r e s p o n d i n gt ot h e s i n g l es t r e s ss i n g u l a r i t ya n d t h ed o u b l es t r e s ss i n g u l a r i t yi s s u e s ，w h i c hc o n s i s to ft h e c r a c k sf o rm o d ei ，m o d ei i ，t h em i x e dm o d ec r a c ko fm o d eia n di i a n dm a n y v - n o t c h e d p r o b l e m s t h ec a l c u l a t i o n ss h o w t h a tt h en u m e r i c a lm e t h o d sa d v a n c e di n t h ep a p e rh a v et h ea d v a n t a g e so f s i m p l i c i t y , a p p l i c a b i l i t ya n dh i 曲a c c u r a cy j s ot h a t t h e y a r ep e r f e c t l y a p p l i e df o r t h ep r o j e c t s b a s e do nt h et h e o r yo ff r a c t u r em e c h a n i c s ，t h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec r i t i c a l s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sf o rv - n o t c h k c a n dt h ep l a n es t r a i nc r a c kt o u g h n e s s k l o c a n dt h eb r i t t l ef r a c t u r ec r i t e r i o no f t h em a x i m u mc i r c u m f e r e n t i a ls t r e s sf o rs i n g l ea n d d o u b l es t r e s ss i n g u l a r i t yw i t ht h ev - n o t c hp r o b l e m sa r ep r o p o s e d e x p e r i m e n t sw e r e c a r r i e do u tu s i n gt w ok i n d so fv - n o t c h e ds p e c i m e n sm a d eo u to f p l e x i g l a st ov e r i f y t h i sb r i u l ef r a c t u r ec r i t e r i o n i ti si n d i c a t e dt h a tt h em a x i m u mc i r c u m f e r e n t i a ls t r e s s c r i t e r i o nc o i n c i d e sw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s k e y w o r d s ：s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s ；n u m e r i c a lm e t h o d s ；v - n o t c h ；b r i d l e f r a c t u r e c r i t e r i o n ；e x p e r i m e n t a lv e r i f i c a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得 盒妲王、业厶堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者躲源谰皎 签字日期：啪氓年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒坦兰些厶堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权合肥 王、业叁堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权二 5 ) 学位论文作者签名 跟搁暾 签字日期：矾年6 月日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 新躲训一罕 签字日期：如。；年占月筇日 电话 邮编 致谢 本论文是在导师刘一华教授悉心指导下完成的。 在三年的硕士学习阶段，导师严谨的治学态度、丰富的实践经验、敏锐的 学术思想、渊博的专业知识、勤奋的工作精神给作者留下了深刻的印象，启迪 并激发作者，将对作者今后的学习和工作产生深远的影响。同肘，在作者的研 究生期间，导师为作者创造良好的学习环境，帮助和关心作者的生活。谨此， 对导师致以崇高的敬意和忠心地感谢。 感谢杨伯源教授、牛忠荣教授、王炯华教授和白嘉楠教授等全体力学系的 老师给予作者学业上的指导。在本文的实验过程中，力学实验室的袁皖安老师 和鲍建华老师等为作者提供了很大的方便给予感谢。 作者还要感谢父母和家人多年以来对作者的学习和生活支持与无私地奉 献，感谢所有关心我的同事、朋友和同学。 l i l 作者：梁拥成 2 0 0 3 年6 月l o 日 第一章绪论 固体材料是应用最广泛的材料，在各类器械中，作为承载构件的材料，必 定是固体材料。固体力学是一门基础学科又是- - i _ 技术学科。它研究固体材料 在各种载荷和环境的作用下，运动和变形的规律。随着计算机的迅速发展和普 及，高性能的数值计算软件不断出现，并不断得到发展和完善，固体力学研究 的重点，有逐渐向性能评价方面移动的趋势。然而，由于应力分析是性能评价 的基础，所以有关应力分析的知识，仍然是十分重要和不可缺少的。 复合材料力学是固体力学的一个新的学科分支。它研究复合材料的宏观和 微观力学特性，包括刚度特性、强度特性、破坏机理、断裂、损伤、疲劳、冲 击和环境影响等力学问题。随着复合材料研制水平的不断提高，一些强度和刚 度要求较高的构件，也开始选用复合材料。复合材料是由两种或两种以上的单 一材料，用物理或化学的方法经人工复合而成的一种多相固体材料。复合材料 的主要特点在于它是有纤维和基体通过界面复合而成。复合材料不但能保留其 组分材料的主要优点，克服或减少它们的缺点，还能产生组分材料所没有的一 些优异性能。复合材料尤其是先进的复合材料是现代科学的产物，它具有巨大 的生命力和极其广阔的发展前景。高强度、高模量、高延伸率和低密度纤维的 出现和发展，将使复合材料得到更广泛的应用。 1 1 断裂力学及其发展概述 1 - 5 1 断裂力学是五十年代开始蓬勃发展起来的固体力学新分支。断裂力学是从 研究低应力脆断问题开始，从客观存在裂纹出发，把构件看成连续和间断的统 一体，从而形成了这门新兴的强度学科。断裂力学发展很快，目前理论己相当 成熟。尤其在工程方面，断裂力学己广泛应用于宇航、航空、海洋、兵器、机 械、化工和地质等许多领域。 断裂是材料失效的重要形式，断裂总是起因于裂纹等内部缺陷，断裂过程 实际上是裂纹的生长与扩展的过程。断裂力学的研究对象，实际上可认为是裂 纹的发生、扩展与断裂发生间的关系，因此有人甚至称其为裂纹的力学 ( m e c h a n i c so f c r a c k s ) 。近年来，由于新材料的不断开发与应用，断裂力学的研 究范围也随之扩大，一般在弹性领域上具有应力奇异点的问题，都属于断裂力 学的研究范围。材料的断裂根据断裂前的宏观塑性变形程度可以分为脆性断裂 和韧性断裂两种形式。材料脆性断裂的特征是断裂突然发生，没有或只伴有少 量的塑性变形，在拉伸试样上，断裂前没有颈缩现象，断口平直与试样的轴线 方向垂直，有金属光泽，也常常见到人字纹或放射花样等宏观形貌。断裂时试 样或零件断面尺寸、形状基本不变。脆性断裂属于低能量断裂，通常其裂纹萌 生的临界应力大于裂纹扩展的临界应力。脆性断裂的裂纹源一般是材料内部或 表面的宏观缺陷，例如加工或环境条件下产生的裂纹，在零件运转中不断扩大， 最后达到临界尺寸面突然断裂。由于破裂时工作应力远低于材料的屈服应力甚 至远低于许用应力，故又称为低应力断裂。脆性断裂是一种危险断裂，常常带 来严重的事故。材料韧性断裂的特征是伴有明显的塑性变形，拉伸试样有颈缩 现象，断口与试样的轴线成4 5 。角，是剪切型断裂。韧性断裂断口粗糙，常呈 暗灰色纤维状。这是一种高能量断裂，通常其裂纹扩展的临界应力大于裂纹萌 生的临界应力。由于断裂前的塑性变形易被及时警觉，故危险性较小。同一材 料可能发生脆性断裂，也可能发生韧性断裂，这与很多因素有关，如受力状态、 温度、应变速率等。许多脆性材料实际上断裂前在裂尖已存在着塑性区，这种 塑性区的存在可以阻止脆性断裂的裂纹扩展。断裂尤其是脆性断裂，一般就是 裂纹的失稳扩展，通常由裂纹端点开始。从带裂纹物体的载荷变形关系来 看，脆性断裂时的载荷与变形一般呈线性关系，在接近最大载荷时才有很小一 段非线性关系。脆性断裂的发生是比较突然的，即裂纹开始扩展的起裂点与裂 纹扩展失去控制的失稳断裂点非常接近。裂纹扩展后，载荷迅速下降，断裂过 程很快结束。 为解决工程问题或材料问题，对于含裂纹的受力零件或构件必须先找到一 个能表征裂纹尖端点区域应力应变强度的参数。进行断裂分析时，常用应力强 度因子脆断准则k ，= k ，。，一方面需要根据构件的尺寸、形状和所受的载荷去 计算构件的彭，值，另一方面，需用实验测定材料的断裂韧度世。值，在测定世， 时，须确定试样的墨标定式。因而计算应力强度因子是线弹性断裂力学的重要 的内容之一。确定应力强度因子的方法有三大类：解析法、数值解法和实验方 法，每一类中又有若干种方法。例如解析法中有应力函数法、j 积分法、保角 变换法和积分变换法等。解析法只能计算简单问题，大多数问题需要采用数值 解法。工程中广泛采用的数值解法是有限元法、边界元法、边界配置法等，人 们f 同时也正在探索其它有效的数值解法，奇异和超奇异积分方程直接数值解法 就是其中的一种。对于复杂问题，用数值解法仍有困难，往往用光弹实验等实 验方法，例如可根据等差线条纹图确定应力强度因子1 6 - 7 3 。 线弹性断裂力学( 1 i n e a re l a s t i cf r a c t u r em e c h a n i c s ) 能解决脆性断裂问题，是 线弹性力学的一门分支，目前其理论和工程应用已形成了一套成熟、完整的体 系。线弹性断裂是指断裂过程中，裂纹体各部分经历的应力和变形基本上处于 线弹性阶段，只有裂纹尖端极小区域处于塑性变形阶段。线弹性断裂适用于线 弹性变形断裂和小范围屈服然后断裂的情况。描述线弹性断裂问题所用的参数 主要是应力强度因子足和弹性能释放率g 。足是建立在裂纹尖端附近应力应变 场具有，“5 阶奇异性基础上，反映了这种奇异性的强度，当具有小范围屈服时， 可以采用i r w i n 的修正方法将裂纹长度用有效长度来代替，就可继续使用足参 数。弹塑性断裂力学( e l a s t i cp l a s t i cf r a c t u r em e c h a n i c s ) 能解决韧性断裂，是弹塑 性力学的- - f 7 分支，目前已接近成熟的阶段。1 9 1 3 年，i n g l i s f 8 1 ( 英格列斯) 将 物体内部缺陷理想化椭圆形切口，用线性理论计算了含椭圆无限大板受均匀拉 伸的问题，按应力集中的观点解释了材料实际强度远低于理论强度是由于固体 材料存在缺陷的缘故。1 9 2 1 年，英国学者a a o r i f f i t h 9 1 对玻璃、陶瓷等脆性 材料进行了断裂分析，建立了脆性材料裂纹扩展的能量准则。g f i f f i t h 理论研究 仅限于材料完全脆性的情况。1 9 5 5 年g r i r w i n i l 哪( 欧文) 提出了应力场强度的 观点，即应力强度因子断裂准则。g r i 伍t h 能量准则和i r w i n 应力强度因子准则 构成了线弹性断裂力学的核心内容。另外，1 9 6 3 年，e e r d o g a n ( 艾多甘) 和 g c s i h ( 薛昌明) 提出的关于混合型裂纹扩展的最大拉应力理论和1 9 7 3 年薛昌 明又提出的关于混合型裂纹扩展的应变能密度因子判据等，都是建立在线弹性 力学的本构关系和脆性断裂基础上的理论，不允许裂端有较大的塑性变形。而 事实上，裂端区域的应力总是有限的；线弹性断裂力学所导致的裂端应力奇异 性这一结果，也指出裂端区域为维持有界的应力值，必然产生一定程度的塑性 变形。尤其对于大多数金属材料都是中、低强度的，断裂前裂端区域都有较大 的、不可忽略的塑性变形这时线弹性断裂力学己不再适用。1 9 4 8 年，o r o w a n 1 和i r w i n 各自独立地用能量观点研究了塑性材料的裂纹扩展问题，提出了塑性 材料裂纹扩展的能量判据。这是研究弹塑性断裂问题的开端。1 9 6 1 年， a a w e l l s 1 2 1 ( 威尔斯) 提出了裂纹张开位移( c o d ) 准则，现已被公认可作为弹 塑性条件下裂纹的起裂准则。1 9 6 8 年，j r r i c e 1 3 l ( 赖斯) 提出用围绕裂纹尖端 的与路径无关的线积分( 称为j 积分) 来研究裂纹尖端的变形及j 积分准则。 同年，j w h u t c h i n s o n t 4 l ( 哈钦森) 及j r r i c e 与g r r o s e n g r e n 【i ”( 罗森格伦) 分 别发表了i 型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析，即著名的h r r 奇异解，这是 j 积分可作为断裂准则的理论基础。j 积分准则与c o d 准则都只能作为起裂准 则，而裂纹稳定扩展准则的建立则是当前这一领域的主要研究方向，目前已经 提出的准则有：i i i 型裂纹基于应变的稳定扩展准则、i 型裂纹和i 型裂纹基于 开口位移的稳定扩展准则。 i 2v 型切口问题的研究现状 工程上经常遇到v 型切口问题，对于此类问题g r i f f i t h - i r w i n 口9 j 准则已不 适用，因为在切口尖端通常具有多重应力奇异性。可见，v 型切口问题通常比 裂纹问题要复杂得多，文献中仅有少量结果。v 型切口和裂纹类似，可以分成 三种变形情况：( 1 ) 张开型( i 型) ，( 2 ) 滑开型( i i 型) ，( 3 ) 撕开型( 型) 。研究 v 型切口的应力强度因子，人们已经试图从现有的其它问题的解法来确定，从 而避免通过理论分析和数值计算的结果来确定边界值问题。例如，可以通过切 口的应力集中系数”6 】和裂纹的应力强度因子 1 7 - 1 9 1 来确定v 型切口的应力强度 因子。就这两种方法而言，从裂纹的应力强度因子来确定v 型切口的应力强度 因子更为合理，因为裂纹是张开角为零的一种特殊的v 型切口。应力集中系数 在确定物体中有较大的孔的影响时是有用的，但当物体中有尖的缺口和类似裂 纹的缺陷时并不特别有用。 w i l l i a m s 2 0 - 2 1 1 是最早研究具有开口裂纹平板的学者之一，他利用特征函数 法建立了v 型切口问题的特征方程，指出了在切口尖端处奇异性的强弱与切口 张开角有关。他的研究工作主要为了获得开口裂纹的特征值。h a r t r a n f t 和s i h 口2 】 给出了三维裂纹问题的特征方程，柳春图( 2 3 1 给出了含裂纹的r e i s s n e r 板广义位 移和广义应力的特征展开式。1 9 8 2 年龙驭球 2 4 1 等提出了分区有限元法。徐永 君和袁驷” 提出了余能积分提取法和正交积分提取法，并将区分原理引入有限 元线法用以计算应力强度因予。许多文献采用不同的算法对各种问题的应力强 度因子分析计算。对于大多数数值方法，若要有效地计算应力强度因子，都要 在不同程度上直接或间接的利用问题的特征解。开始从单材料平面切口问题的 特征方程入手，解析地对第一特征根的分布作了讨论，而后从单材料平面问题 复势出发，讨论了特征值随切口角度的变化规律，指出了高阶特征值曲线的分 支现象和临界角概念。袁驷和张亿果【2 6 】利用逆幂迭代法研制了高效、高速、高 精度的常微分方程( o r d i n a r yd i f f e r e n te q u a t i o n ，简称o d e ) 特征值问题的求解器 解法，但仅对实特征根有效。m u l l e r 法对于一般实和复特征根的求解均能快速 收敛。基于w i l l i a m s 特征展开理论研究二维断裂问题和计算应力强度因子的文 献较多，但对所依赖的特征根的求解几乎没有专门文献，特别是系统地研究通 用地( 即对多材料、任意切口张角、任意切口边界条件) ，完备地和高效地计算 二维断裂问题特征根方面的文献。嵌入法对断裂问题特征解的定界和求解具有 很大的优势，但对材料数目增多和材料特征差异增大，求解效率降低。m u l l e r 法具有精度高、收敛快、易于实施等优点，但不能保证不漏根。 另外一些研究人员也分析且获得了与特征值有关的系数问题。g r o s s 和 m e n d e l s o n l 2 7 1 利用边界配位法来求这些系数。l i n 和t o n g l 2 ”利用特殊的杂交单 元来确定具有切口平板的应力强度因子。s t e m 口9 】所提出的互功围线积分法 ( r w c i m ) 被认为是利用有限元数值结果获得带裂纹构件应力强度因子的强有 力工具之一。互功围线积分法( r w c i m ) 的优点是它不需要特殊的单元，可以使 用相对粗糙的有限单元网格，而且复杂的外部边界和载荷条件很容易解决。 c a r p e n t e r t 3 0 - 3 1 把互功围线积分法( r w c i m ) 推广到v 型切口问题中，他对裂尖 距离趋于零的围线积分仍采用数值积分，降低了求解精度，文献 3 2 对 c a r p e n t e r 的数值积分作了改进，通过推导得出了绕裂尖尖端( r 斗0 ) 的围线积 分解析表达式，这使计算结果的精度提高，且计算工作量亦有降低。文献 3 2 还计算了单边和双边v 型切口板的应力强度因子随切口深度和张开角的变化， 拟合出了计算远场拉伸v 型切口的应力强度因子经验公式，由这一公式算出的 结果和有限元解的误差在2 5 之内。文献 3 3 对切口角小于9 0 。的双边v 型切 口的p m m a 有机玻璃试样，在一2 0 。c 下进行了拉伸实验，确定了断裂载荷，运 用有限元分析和v 型切口尖端应力奇异场的知识，确定了v 型切1 7 1 尖端的应力 场分布。研究表明：采用切e l 前一特征距离处的最大拉应力达到解离应力， 作为断裂准则是合适的。 i 3 所选课题的目的意义与工作背景 断裂起源于构件有缺陷处，缺陷是酿成灾难性事故的祸根，实际上构件中 总是存在着各种不同形式的缺陷，因为构件在加工制造和使用过程中，即使有 了先进的冶炼技术和制造工艺，也很难消除构件中的全部缺陷。这样，在裂纹 尖端和切1 7 1 尖端等处存在单应力或多应力奇异性情况。为了评价这些奇异点的 强度，需要确定奇异点附近的奇异应力场和位移场。目前，在确定应力强度因 子的各种数值方法中，或是通过构造奇异单元进行数值计算，其通用性差，或 是通过互功围线积分等方法，计算量大，都不便于工程应用。 v 型切口问题在实际工程中也是经常遇到的，由于在v 型切口尖端切口存 在着应力奇异性，它们的存在严重地影响了构件的承载能力，很可能成为裂纹 的起裂点，因此建立v 型切口的脆性断裂准则具有十分重要的意义。为了工程 上方便利用，这个准则应尽可能的简单、方便且有效。对于单边或双边具有对 称的v 型切口的断裂研究，包括断裂规律、断裂准则的建立以及应力强度因子 经验公式的得出等，比较活跃：而对于单边或双边具有非对称的v 型切口的断 裂，由于通常具有多重应力奇异性，比较复杂，目前有关文献较少。辨证唯物 主义认为，事物的发展是有规律的，而且规律是可以认识，只有充分地认识和 把握好事物的规律，才能够扬长避短，使之更好地为人类服务。 i 4 本文的主要内容 本文的主要内容是理论研究和实验验证两个方面。 在理论方面，主要进行以下三个方面的工作：首先，基于平面弹性力学的 基本方程，引入两个4 卿应力函数，推导出均质材料v 型切1 3 尖端、裂纹尖端 的应力奇异性特征方程，并给出v 型切口尖端、裂纹尖端附近的奇异性应力场 和位移场。其次，基于普通的数值分析结果，提出了用位移分量或应力分量确 定单、双应力强度因子的数值方法，并给出了提高应力强度因子求解精度的结 点选取方法，并且利用有限元软件m s c n a s t r a n 对i 型、i i 型与i 、i i 复合型 平面裂纹问题以及单边对称与不对称多种v 型切i ：1 问题的应力强度因子进行了 具体的计算。最后，在两个基本假设的基础上，推导出了v 型切口的临界应力 强度因子k ，与材料的平面应变断裂韧度足。之间的关系，给出了平面单奇异 性和双奇异性v 型切口问题的最大周向应力脆性断裂准则。 在实验方面，首先测定了有机玻璃板材的力学性能：抗拉强度吼、弹性模 量e 、泊松比和断裂应力盯，等：然后，用有机玻璃板材加工单边对称v 型 切口试样，每组三根试样，在岛滓电子万能试验机上进行拉伸破坏实验，对i 型切口模型的断裂准则进行验证，并间接地计算出有机玻璃的平面应变断裂韧 度k 。；最后取用有机玻璃板材加工两组切口张角分别为4 5 。和6 0 。单边不对称 v 型切口试样，在岛津电子万能试验机上进行拉伸破坏实验，对i 型与i i 型复 合型切口模型的断裂准则进行验证。 最后，对全文进行总结，并对将来的工作作出展望。 6 第二章平面v 型切口问题的基本理论 平面v 型切口问题在实际工程中经常碰到。为了有效地估计含有v 型切口 构件脆性断裂的危害，需要确定其尖端及其附近的奇异应力场、位移场、以及 应力强度因子等参数，建立有效的判据。本章将由平面问题的基本方程出发， 利用a i r y 【3 4 1 应力函数，推导出平面v 型切口问题奇异点附近的奇异应力场和 位移场。 2 1 平面问题及其基本方程 2 1 1 平面应力问题和平面应变问题 任何一个弹性体都是空间物体，所受的外力都是空间力系，因此严格地来 说，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题。但是，许多工程构件，例如 面内承载的薄板、水坝、隧道、厚壁圆筒、滚柱等都可以近似简化为平面问题， 使分析和计算工作量大大地减少，而所得到的结果仍然能够满足工程上的精度 要求。弹性力学平面问题通常分为平面应力问题和平面应变问题。 一、平面应力问题 假设： 盯。= 盯，0 ，y ) 旷盯， ( 2 _ 1 ) r 。= f ，( x ，y ) 、1 盯：= r 3 = r ：v = 0 二、平面应变问题 假设： o = 6 x b ，y ) 旷勺( ；，川、 ( 2 _ 2 ) y 。= y ，g ，y ) “ s ：= y 。= y 。= 0 2 1 2 平面问题的基本方程 在平面极坐标系( ，0 ) 中，各向同性材料的平面问题在无体力作用情况下的 基本方程为”1 一、用应力函数表示的应力分量： a 西a 2 西 0 r2 高+ 万茅 d 口 o o2 = _ 手 ，；一上f 盟1 - 一秘- - t 一一旦- - 生t 一万l 高2 jz a 万一面历 式中p ，0 ) 为平面问题中的a i r y 应力函数，它应满足双调和方程 f 导+ 旦r o r + 寿 f 窘+ 等+ 等 - 。【矿+ 一+ 丽j 【萨+ 蒿+ 茄j - o 二、平面应力问题的物理方程： 0 = b 一) 岛= p 。一q ) = 掣= 罟 式中e 是弹性模量，g 是剪切模量，“是泊松比。 成e ( 1 一t2 ) ，u 换成u ( 1 一) 即可。 三、几何方程： s ：丝 凹 一u r o u o 岛2 亍+ 丽 驴警+ 丽o u 一了u ec 矿r d r 2 2 平面v 型切口问题 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 对于平面应变问题，把e 换 ( 2 6 ) 2 2 1 平面v 型切口问题的基本模型 根据v 型切口问题的受力与变形特征可分为三种情况： ( a ) 张开型切口( i 型或对称型) ：在与切口对称线正交的拉应力作用下，切 口面产生相互张开位移的一种变形模式。 ( b ) 滑开型切口( i i 型或反对称型) ：在与切口对称线平行的剪应力作用下， 切口沿其对称线产生相对滑动位移的一种变形模式。 ( c ) 撕开型切口( 型) 在垂直于切口对称线而与切口尖端线平行的剪应力 作用下，切口面产生相互张开位移的一种变形模式。 前两种属于平面问题，第三种属于空间问题，在这篇论文中，主要研究前 两种平面v 型切口问题。如图2 1 所示，考虑无限大均质材料的平面v 型切口 几何体，建立图示坐标系，坐标原点0 位于v 型切口的尖端，z 负半轴为切口 角平分线，切口角为2 ，而y = z 一卢。 l y l 滤 4 夕 、 图2 1v 型切口模型与坐标系 2 2 2 平面v 型切口尖端的奇异应力场和位移场 一、i 型v 型切口几何体 i 型v 型切口尖端的边界条件为 盯日驴，y ) = 0 ( 7 ，一，) 20 (2-7) f ，口p ，y ) = 0 r ，目p ，一，) = 0 引入a i r y 应力函数2 0 1 船，口) = ，”1 a c o s ( 五l + 1 ) 0 + b s i n 0s i n 0 】 ( 2 8 ) 式中4 和b 是待定系数，由边界条件确定。把( 2 - 8 ) 式代入( 2 - 3 ) 式，得到： 盯，= 一r 。l t - i 阻a 。0 ，+ 1 ) c o s 以+ 1 ) o + b 一1 ) s i n 0s i n 0 2 b 五c o s 0 c o s 0 j = r 。1 “+ l 牝c o s ( z l + 1 ) o + b s i n 2 1 0s i n o 】 ( 2 9 ) f 。= r 。旯。阻( + 1 ) s i n “+ 1 ) e b ( c o s 2 1 0 s i n 0 + s i n ；t 1 0 c o s 0 ) 把( 2 - 9 ) 式代入边界条件( 2 - 7 ) 式中的第一和第二式，可得线性齐次代数方程组： 4 7 。8 ( 旯，+ 1 护+ b8 i n 丑t 1 8 n ，20(2-10) 4 以1 + 1 ) s i n ( a 】+ 1 ) r 一口( 五lc o s 兄1 7 s i n y + s i n 2 1 7 c o s 7 ) = 0 。 由于a 和日不能同时为零，故方程组( 2 一1 0 ) 要有非零解，因而其系数行列 式必为零，即： l c o s ( a l + 1 矽 | 以+ 1 ) s i n ( a + i p 由此得到 s i n 2 l t s i n ，7 c o s , 。y s i n 7 一s i n 。，c o s 7 = 。 c z 一， l一 。，l “ s i n 2 4 y + 兄s i n 2 7 = 0 这就是i 型v 型切口问题应力奇异性特征方程。 当* r 1 2 7 石时，0 5 2 i 1 ，j j _ s i n 2 i y s i n 7 0 得到 ( 2 1 2 ) 由( 2 一l o ) 式中的第一式 b 一梨爿 ( 2 _ 1 3 ) s i n l ，s l r l y 。 定义应力强度因子为 k t = 姆2 厅r 。o o k ( 2 1 4 ) ，0 0 + l d 。u、一 将( 2 1 3 ) 式和( 2 1 4 ) 代入( 2 9 ) 式，得到i 型v 型切口尖端附近的奇异应力场： q = k ，“，。p ) = k i ，叫厶l p ) ( 2 1 5 ) f ，p = k l ，a i - i m p ) 瓦甲 z p ) 2 志 c 。s “一1 ) y c 。s “+ l p + 矧c o s - 舾s t 叫 厶- p ) 2 了麦西【c 。s n t + l 砂c 。s 以- 一1 ) o c o s ( 4 l i 弦c o s 0 i + 1 炒】 ，m p ) = 一丽1 c 。s 0 - 一1 ) r s i n + 1 ) 0 一矧c o s 抽n 叫 再利用( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式，得到平面应力问题的位移场： “，= k i ，g ，l p ) = k ；，1 9 。p ) 式中 g r t p ) 2 j z 嘉丽i c 。s 以- 一1 p c 。s 以+ l 汐 0 ( 2 - 1 6 ) ( 2 1 7 ) + ( 旨1 + 者1 + 2 嚣j c o s t 枷s ”- 妒|i l il + 、“、 7 | 岛- p ) = 一i 7 主i j & 云 c 。s o t l 妒s i n 积t + l 汐( 2 - 1 8 ) c 嚣+ 一4o s ”枷n ”t p |l l + 五l ll + j 、1“。1 v 。i 其中 c j = c o s 瓴+ i 沙一c o s ( 五一1 ) r ( 2 1 9 ) 将( 2 一1 7 ) 式中的2 换成芦a 一) ，即德到平西应变阀题的位移场。 二、i i 型v 趔切蹦问题 v 型切口尖端附近的边界条件仍为 0 o ( r ，y ) = 0 ，黑净o ( 2 - 2 0 ) 0 f ，日p ，y ) = f m ( r ，了) = 0 引入一眇应力函数”1 庐( ，扫) = r 酬 a s i n ( 2 2 + 1 ) 0 + bs i n 2 2 0 c o s 8 】( 2 2 1 ) 式中a 和b 是待定系数，由边界条件确定。把( 2 - 2 1 ) 式代a ( 2 3 ) 式，得到： q = - r 妒1 扭五2 姐2 + 1 ) s i n ( 22 + l 汐 + b 2 2 以2 1 ) s i n 2 2 0 c o s 0 + 2 b & c o s 2 2 0 s i n 0 】 0 0 = ，屯。五2 ( 五2 十l 牡s i n 执+ 1 ) o + b s i n 2 2 0 c o s 8 】( 2 - 2 2 ) f m = - - r 南“五2 留0 2 + 0 0 0 s ( 2 2 + l 汐 + b 以2c o s 3 2 0 c o s 0 - s i n 2 2 0 s i n 0 ) 把应力分量( 2 2 2 ) 式代入边界条件( 2 2 0 ) 式中的第一和第二式，可得线性齐次 代数方程缝： 。 a s i n ( 2 ，+ 1 ) 少+ b s i n 2 ，y c o s y ：0 a ( 2 ：+ 1 ) c 。s 以2 + x ) r + 台以：c 。s 如，c o s ，一s i n a 2 ，s i n y ) ；o 2 2 3 由于a 和b 不能闷时为零，故方程缀( 2 2 3 ) 簧有非零解，霞而其系数行剜 式必为零，朝： 髅s i n ( 2 2 m + 一1 ) r j ：n ，2 2 y ，c o s y。| ：o (2谢)+o 以2 + 1 ) c o s 五2r 五2c o s 五2 y c o s 芦一s i n 五，s i n y | 篇u u 一鹪 由此德到 s i n 2 2 2 r 一如s i n 2 7 = 0( 2 - 2 5 ) 这就是型v 型切口问题的应力奇异性特征方程。 当r c 2 y 万糖，0 5 毛s l ，晨s i n ( 2 2 + l o ，由( 2 2 3 ) 式中的第一 式得到 定义应力强度因子 a ：s i n 2 ：y c o s 2 2 y b s i n ( 2 2 + 1 ) r k ，= l i r a 4 2 z r 。 ，_ + 0 + ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 将( 2 2 6 ) 式和( 2 2 7 ) 式代入( 2 2 2 ) 式，从而得到i i 型v 型切口尖端附近的奇异 应力场： 式中 q = k ：r 如“，：p ) o o = k 2 ，如1 厶2 p ) f ，口= k 2 r 2 2 - i ，日2p ) ( 2 2 8 ) ，z p ) = 一去盼z + 1 ) s i n ( a z l s i n 魄+ 1 p + ( 3 一a ：) s i n ( 2 ：+ l 矽s i n ( 五一1 ) e 】 厶：p ) 3 表以z + 1 ) s i n ( 兄2 - 1 ps 血以：+ 1 p ( 2 - 2 9 )吖z 厅l ， 一s i n ( 2 2 + l 砂s i n 以2 1 ) e 】 ，一z p ) = 一去：+ 1 ) s i n o z 一1 p c 。s 以：+ 1 ) o 冉利用( 2 - 5 ) 式和( 2 - 6 ) 式得到平面应力j 司题的位移场： “，= k 2 ，g ，2 p ) “。= 足：r “g 。：p ) 式中 g ，z p ) = 一丽荔1 万：+ 1 ) s n 以：一1 椭n ：+ 1 p l 2 - - 1 - 21 + - a s i n 以：+ l ps l n 以：一l p 岛：p ) = 一丽荔1 西z + 1 ) s n o z 一1 p c 。s 0 ：+ 1 p 一 纠+ 南 s i n 帆砸z 却 其中 c ：= 以：一1 ) s i n 以：+ 1 ) r 一以：+ 1 ) s i n ( 2 ：一1 弦 将( 2 - 3 1 ) 式中的换成t ( 1 一) ，就得到平面应变问题的位移场。 1 2 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 三、一般的平面v 型切口问题 根据叠加原理，一般平面v 型切口问题总可表示为i 型v 型切口几何体和 i i 型v 型切口几何体的叠加。因此由( 2 1 5 ) 式，( 2 1 7 ) 式，( 2 2 8 ) 式和( 2 3 0 ) 式可得到一般平面v 型切1 2 1 问题切口尖端附近的奇异应力场和位移场为： c r r = k r “，。p ) + k 2 ，如“，2p ) 仃口= k i r 。厶1p ) + k 2 r f 0 2p ) ( 2 3 3 ) r = 足l r 小f 日ip ) + k 2 r 也“，目2p ) 尝之舭( 0 ) + k 2 ra g , 2 ( ( o k r a l gg0 j ( 2 - ，。) “口= 1日l ( 曰) + 足2 ，厶日2 ( ) 式中角函数厶( 0 ) 0 = r ，0 ，r o , m = 1 ，2 ) 3 - ) - 另1 为( 2 1 6 ) 式和( 2 2 9 ) 式，角函数 g 。p ) ( f = ，o ；m = l ，2 ) 分别为( 2 一1 8 ) 式和( 2 3 1 ) 式。足，和k 2 为i 型和i i 型v 型 切口问题的应力强度因子，分别定义为( 2 1 4 ) 式和( 2 2 7 ) 式。 和几分别是特 征方程( 2 - 1 2 ) 式和( 2 - 2 5 ) 式的第一个正特征根，它表征v 型切口尖端的奇异性 大小。 1 5 j1 趔 爿 婆 1 垛0 5 0 。 乡! 03 06 09 01 2 01 5 01 8 0 切口张角2 口。 图2 2 第一特征值曲线图 图2 2 给出了对0 。2 s 1 8 0 。内 。、五的变化曲线。当2 = 0 。时， = 丑：= o 5 ，对应于相应的裂纹问题，它具有最强的奇异性；当2 = 1 8 0 。时， = 五：= 1 ，奇异性消失，对应于半平面问题或带有圆孔的半平面问题。即可以 把裂纹问题和半平面问题作为平面v 型切口问题的特例。另外，对i i 型切口， 在1 0 2 5 5 。2 1 8 0 。之间，a 2 = 1 。 2 3 平面裂纹问题裂纹尖端附近的奇异应力场和位移场” 一、i 型裂纹问题 对于i 型切口问题中，令，：厅，由特征方程( 2 1 2 ) 式得到 = 0 5 ，再 代入( 2 1 0 ) 式的第二式，可得： 口= 三一 ( 2 3 5 ) 2 定义i 型裂纹的应力强度因子为 k 。= 臻历l ( 2 3 6 将( 2 3 4 ) 式和( 2 3 5 ) 式代入( 2 9 ) 式，并利用( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式，从而得到i 型裂纹尖端附近的奇异应力场和位移场： 铲gf 俐= 。厉k l o ( sc o s 知s 引 驴害舶) = 砺k l o ( 。c o s 知s 萼 3 7 ， 铂= 粤”志( s i n 扣n 詈 旷“厩2 篆( c o s 争詈 ，。， 旷佩阳) _ _ 若磊( m 1 ) s i n 争n 詈 式中 f 0 一一) 0 + ) 平面应力 茁2 13 4 平面应变i 一4 平回应燹 由坐标变换，可得直坐标系下i 型裂纹问题尖端附近的奇异应力场和位移 场为： 盱舡”。压k i o ( ，c o s 扣s 詈) 旷等胎) = 砺k l o ( 5 c o s 扣s 詈) 3 9 ) 铲眦) _ 击“n 习 驴坛鼢箍卜咖专c o s 爿 。， 圹如”箍p 1 ) s i 争n 习 1 4 对于i i 型切口问题中，令y = 厅，由特征方程