（固体力学专业论文）功能梯度压电圆板力电耦合三维分析.pdf

摘要 摘要 功能梯度压电材料是一种新型的压电材料，对于其力电耦合分析也成为当今 力学研究的热点。鉴于对于功能梯度压电圆板的力学分析还很缺乏的现状，本 文对功能梯度压电圆板进行了力电耦合三维分析。 第一章中，阐述了功能梯度压电材料的研究背景以及力学研究进展情况，介 绍了本文的主要研究工作和研究目的。 第二章中，对广义弹性简支边界条件下的功能梯度压电圆板进行了力电耦合 的三维分析。通过将位移和电势按f o u r e r - b e s s e i 级数展开，并利用 f o ur e r - b e s s e i 级数的求导定理，解决了在用状态空间方法求解三维圆板问题时 所遇到的变系数矩阵问题，从而给出了这种边界条件下功能梯度压电圆板的轴 对称自由振动问题和静载问题的精确解，并通过算例分析考察了材料性质的不 同梯度变化对板的静动力响应的影响规律。 第三章中，提出了一种解决通常边界条件下的功能梯度压电圆板力电耦合三 维问题的半解析数值方法。这种半解析数值方法是由位移解状态空间方程与微 分求积技术相结合而得到的，利用这种方法文章给出了固支和简支边界条件下 的功能梯度压电圆板的轴对称自由振动问题和静载问题的精确解，通过算例分 析考察了材料性质的不同梯度变化对板的静动力响应的影响规律。 关键词：功能梯度压电材料：f o u r i e r - b e s s e l 级数：位移解状态空间方程；微分 求积法；圆板 a b s t r a c t a b s t r a c t f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ( f g p m ) i san e wp i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l i nv i e wo ft h es h o r t a g eo fr e s e a r c hw o r ko nt h em e c h a n i c a lb e h a v i o ri n f g p mc i r c u l a rp l a t e s ，t h et h r e ed i m e n s i o n a le l a s t o e l e c t r i c c o u p l e da n a l y s i so f f g p mc i r c u l a rp l a t e si sd e v e l o p e d i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h eb a c k g r o u n da n dt h ea d v a n c ei nt h em e c h a n i c a lr e s e a r c h o nt h ef g p mi si n t r o d u c e d n 坞c o n t e n t sa n da i m so fr e s e a r c hw o r ki nt h i s d i s s e r t a t i o na r ep r e s e n t e d i n t h es e c o n dc h a p t e r ，t h r e e d i m e n s i o n a le l a s t o - e l e c t r i c c o u p l e da n a l y s i so f g e n e r a l i z e de l a s t i cs i m p l e s u p p l i e df g p m c i r c u l a rp l a t ei sd e v e l o p e d b ye x p a n d i n g t h ed i s p l a c e m e n ta n de l e c t r i cp o t e n t i a l a c c o r d i n g t of o u r i e r - b e s s e ls e r i e sa n d a p p l y i n gt h ed i f f e r e n t i a t i o nt h e o r e m so f f o u r i e r - b e s s e ls e r i e s ，t h ed i f f i c u l to fv a r i a b l e c o e f f i c i e n tm a t r i xc o n f r o n t e dw i t hw h e ns t a t es p a c em e t h o di su s e dt oa n a l y z et h e p r o b l e mo ft h r e e d i m e n s i o n a lc i r c u l a rp l a t e si so v e r c o m e b yt h i sm e a n s ，e x a c t s o l u t i o n so fa x i s y m m e t r i cf r e ev i b r a t i o na n ds t a t i cp r o b l e ma l eo b t a i n e d n u m e r i c a l e x a m p l e sa l ep r e s e n t e da n dd i s c u s s e d a n dt h ei n f l u e n c e so ft h ed i f f e r e n tf u n c t i o n a l l y g r a d i e n tm a t e r i a lp r o p e r t i e so nt h es t a t i ca n dd y n a m i c a lr e s p o n s eo ft h ep l a t e sa l e i n v e s t i g a t e d i nt h et h i r dc h a p t e r , as e m i - a n a l y t i c a lm e t h o di s d e v e l o p e dt o s o l v et h e t h r e e d i m e n s i o n a le l a s t o - e l e c t r i cc o u p l e dp r o b l e m si nf g p mc i r c u l a rp l a t e sw i n lt h e g e n e r a l b o u n d a r i e s t h i s s e m i a n a l y t i c a l m e t h o di st h ec o m b i n a t i o no f d i s p l a c e m e n t - f o r ms t a t es p a c ee q u a t i o na n dd i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d t h ee x a c t s o l u t i o no fa x i s y m m e t r i cf r e ev i b r a t i o na n ds t a t i cp r o b l e mo fs i m p l e - s u p p l i e da n d c l a m p e df g p mc i r c u l a rp l a t e sa r eg i v e n n u m e r i c a le x a m p l e sa l ep r e s e n t e da n d d i s c u s s e d a n dt h ei n f l u e n c e so ft h ed i f f e r e n tf u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a lp r o p e r t i e s o nt h es t a t i cr e s p o n s ea n dd y n a m i c a lr e s p o n s eo ft h ep l a t e sa r ei n v e s t i g a t e d k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ；f o u r i e r - b e s s e ls e r i e s ； d i s p l a c e m e n t - f o r ms t a t ee q u a t i o n ；d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ；c i r c u l a rp l a t e i l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务：学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：独吃呵 w 年岁月d 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年 月日年 月 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：弘吃日 叼，年方 月 第l 章绪论 1 1 研究背景 第1 章绪论 材料是现代科技和国家经济的物质基础。一个国家生产材料的品种、数量和 质量是衡量其科技和经济发展水平的重要标志。因此，现在称材料、信息和能 源为现代文明的三大支柱，又把新材料、信息和生物技术作为新技术革命的重 要标志。【1 】 对于新材料目前还没有公认的确切定义。简短地、不太严格的说法可以表述 为“在最近将达到实用化的高功能材料”。一般认为新材料有晶须材料、非晶体 材料、超塑性合金、形状记忆材料、功能陶瓷、功能有机材料、超导材料、碳 纤维、能量转化材料等。【2 i 2 0 世纪8 0 年代以来，随着高技术的兴起和发展，需要许多能满足高技术需 要的新材料，一般把这些新材料称为高技术新材料( a d v a n c e dm a t e r i a l sf o rh i 【g h t e c h n o l o g y ) ，其中大部分属功能材料i l 】。因此，新材料开发的重点从以前仅仅在 物件中起“力能 作用的结构材料转向在物件中起“功能力作用的功能材料。 功能材料也成为材料学科中一个最活跃的前沿学科。 功能材料中的压电材料因为由其制备的元件，既能做传感器又能做驱动器， 实现了传感元件与动作元件的统一，可以方便地应用于智能材料与结构中，尤 其在材料损伤自诊断自适应，减振与噪声控制等方面有独特用途而备受材料研 究人员的关注 3 1 。在这些应用中通常需要压电元件具有较大的位移和较强的承载 能力，因此s u g a w a r a 和h a e r t l i n g 等人【4 5 】设计出了压电复合材料构件，但这些 设计通常会在压电层层间出现应力集中，并且粘结处可能出现蠕变、开裂和脱 落等现象而影响压电元件的使用寿命和可靠性。近年来兴起的功能梯度材料越 来越多的引起人们的关注，这一设计思想也被引入到了压电材料的设计中，从 而产生了功能梯度压电材料。功能梯度压电材料是在压电材料的制备过程中， 连续地改变材料的各组分含量和微观结构，使材料宏观力电特性在空间位置上 呈现出梯度变化，不存在明显的界面，克服了传统压电元件界面处容易剥落等 缺点 6 - 9 1 。 第1 章绪论 由于压电材料结构主要是用于做传感器或驱动器的，因此对压电材料进行力 学研究，分析压电材料结构整个结构的变形和运动成为压电材料结构使用和研 究的关键环节，主要的探讨内容为 ( 1 ) 整个压电结构的变形和运动情况； ( 2 ) 压电体通过外加电场产生应变，对结构的作用力； ( 3 )结构变形后应变在压电体上产生的电场 目前，对于一般的均匀压电材料的力学研究已经有了很多工作，s a r a v a n o s 等人1 1 0 1 、王晓明等人【l l 】、尹林【1 2 l 以及t a u c h c r t 等人【1 3 】对此方面的力学研究工作 都做出了详细的论述，但是功能梯度压电材料由于材料性质在空间上的变化使 得所要求解的控制方程变得相当复杂，因此，功能梯度压电材料的力学分析成 为力学领域中一个新的研究热点。 1 2 功能梯度压电材料的力学研究进展 功能梯度压电材料的力学研究还刚刚开始，其中大部分工作也都是建立在 功能梯度材料研究方法的基础上，并且大多集中在功能梯度压电的梁板壳方面 的研究。对于功能梯度材料的力学研究，王保林【1 4 1 、李永【1 5 l 、e r d o g a n 等【1 6 1 和沈 惠申【1 7 】作了系统的回顾和评述，其中很多方法也可以推广到功能梯度压电材料 的分析中 ( 1 ) 简化模型法 最初，人们对于功能梯度板壳的结构分析都是基于经典的板壳理论和一阶 剪切理论进行的【i s - 2 2 1 ，r e d d y 等【2 3 1 利用一阶剪切理论最先讨论了功能梯度复合材 料圆板和环形薄板的对称问题，并利用一阶剪切理论与经典板理论解之间的对 应关系得到了多种边界条件下的解析解，这种方法最初是由w a n g 洲提出，后来又 被应用于弯曲、屈曲以及振动等问题中1 2 5 - 2 9 1 。后来，r e d d y 3 0 ，3 1 j 发展了一种新的 高阶剪切变形理论，假设剪切变形沿厚度方向按照二次函数变化，材料的热物参 数按幂律变化【3 2 1 ，得到了四边简支功能梯度材料板静动问题的n a v i e r 解。s h e n g 等p 3 1 基于r e d d y 的高阶剪切变形理论，同时考虑了功能梯度材料平板结构中的 剪切变形，拉一弯耦合效应和热耦合效应，从而为功能梯度复合材料板壳结构 非线性分析奠定了基础。在功能梯度材料的简化理论基础上，一些学者也对功 能梯度压电材料结构进行了分析，a l m a j i d 等人【3 4 j 基于一种改进的经典的层合理 2 第1 章绪论 论，考虑电场作用下的力电耦合效应，分析了功能梯度压电板的离面位移和应 力场。w u 等【3 5 】在假设位移和电势为沿壳厚度方向坐标的多项式形式，材料常数 沿厚度方向梯度变化的基础上建立了研究功能梯度压电壳的高阶理论。 ( 2 ) 分层模型法 简化模型法将经典的或者考虑剪切变形的一维梁理论或二维板、壳理论直接 套用到功能梯度材料结构的分析上，但是这些简化理论的基本假设都是基于均 匀材料或层合材料给出的，因此，并不能完全适用于功能梯度材料。在非简化 理论方面，分层模型法得到广泛的应用，由于功能梯度梁板壳的材料参数一般 沿厚度方向上变化，因此用复合材料层合结构模型将功能梯度结构沿厚度方向 分成若干层，假设每一薄层内，材料参数是常数，但是相邻两层的材料参数稍 有不同，这样就可以将每一薄层用经典的结构理论来求解，然后结合边界条件 和界面连续性条件进行整体的求解。当分层足够多时，分析结果将趋近于弹性 力学精确解。应用这一模型可以对材料参数沿厚度任意变化的情况进行求解， t a n i g a w a 等【3 6 】用这种方法研究了板的一维非定常热应力问题，还有很多学者利 用分层模型求解了圆柱壳、球壳的热应力问题，如o o t a o 等人p7 j 在这一方面做 了很多工作，他们解决了关于非均匀梁、板、壳的热应力与热弯曲问题。分层 模型后来也被广泛的应用于功能梯度压电材料的力学分析中，l i u 等人【3 副运用混 合数值方法分析了功能梯度压电板中波的传播，c h e n 和d i n g 3 9 】研究了功能梯度 压电材料矩形板的自由振动问题，c h e n 等人刚还研究了充满可压缩液体的空心 功能梯度压电圆柱体的三维振动问题。 ( 3 ) 渐近解法 渐近解法是另外一种能无限逼近精确解的方法。w a n g 等人【4 l j 基于三维弹性 力学发展了一种用来求解各向异性非均匀板和层合板的渐近理论。c h e n g 和 r e d d y 4 2 1 基于三维弹性理论，采用传递矩阵法给出四边简支功能梯度复合材料板 谐振动的高阶渐近解。同样，渐近解法也被引入到了功能梯度压电材料的分析 中来，c h e n g 等人f 4 3 】基于三维线性压电现象提出了一种分析各向异性非均匀压电 板和层合压电板的渐近理论。 ( 4 ) 精确解法 目前也有很多学者致力于研究功能梯度材料的三维精确解。在一些特定的 边界条件下，某些具有特定的材料参数和特定几何结构的功能梯度板壳的精确 解或解析解是可以得到的 4 4 4 5 1 。关于功能梯度压电结构的精确解也有了一些成 3 第l 章绪论 果。l e e 4 6 】等人用级数展开从三维线性压电方程推导出了具有通常对称性和材料 性能厚度梯度变化的带电极压电晶体的二维一阶控制方程，后来w 0 4 7 j 将幂级数 法推广至求解功能梯度压电板的自由振动问题的三维精确解。另外，仲政等人【4 8 5 l j 基于状态空间方程对功能梯度平板进行了力电耦合以及力电热耦合的结构 分析。 尽管利用上述方法对于功能梯度压电材料已经进行了一些力学研究，但是 这些工作还是远远不够的，并且这些方法在求解其他的功能梯度压电材料方面 还存在着局限性。譬如，功能梯度材料的材料物性参数沿空间变化，再加上力 电耦合作用，原有的基于经典板壳理论假设的一阶及高阶理论是否还继续适用 还并不十分确定。而分层模型、渐近解法以及精确解法也都只能获得一些特定 结构形式在某些特定边界条件下的结果，这些结果的价值主要在于它们能为其 它理论模型或计算方案提供假设的依据和验证的考题。 目前对于功能梯度压电材料板的研究大多都集中在某些特定边界条件下的 矩形板问题的求解，但对于普遍应用的功能梯度压电圆板结构的研究尚未见诸 报道，甚至对于一般圆板问题的三维分析工作也很少，d i n g 等人【5 2 泓】利用h a n k e l 变换求解了广义简支边界条件下和广义刚性滑动边界条件下的压电层合板的振 动和静载问题。一些可以很方便地用来求解矩形板的方法在用于圆形板的求解 时也都遇到了困难，例如，状态空间法在求解某些特定边界条件下的三维矩形 板问题时，可以在对位移场、应力场不引入任何人为的假设的情况下，直接导 入到状态空间求解，获得精确解，对任何厚度的板都适用，并且形式简单，很 容易推广到具有热、电、磁等多场耦合效应的情况，但是在运用状态空间法求 解三维圆板问题时，就将产生变形数矩阵的问题，使得求解很难进行下去。范 家让1 5 5 j 曾利用状态空间法求解过均匀横观各向同性三维圆板的轴对称自由振动 问题的解，但本文作者发现其求解过程存在错误，【5 5 l 在将状态变量写成分离变 量形式，引入了零阶实宗量b e s s e l 函数和零阶虚宗量b e s s e l 函数相加的形式， 其目的是想通过对于这样的状态变量形式求导，将变系数状态空间方程转化为 常系数状态空间方程来求解，但在零阶实宗量b e s s e l 函数和零阶虚宗量b e s s e l 函数相加形式的求导关系上1 5 习中产生了错误。 1 3 本文的主要工作及研究目的 4 第1 章绪论 针对目前功能梯度压电圆板的力学研究工作还很缺乏，以及状态空间法在求 解功能梯度压电圆板问题时所遇到的困难，本文进行了如下方面问题的研究 第2 章中，对周边广义弹性简支功能梯度压电圆板进行力电耦合的三维分 析，给出了这种边界条件下的功能梯度压电圆板轴对称自由振动问题和静载问 题的三维精确解。这一精确解的给出可以为其他的关于功能梯度压电圆板的力 学分析理论模型或计算方案提供假设的依据和验证的考题。 第3 章中，对通常边界条件下的功能梯度压电圆板进行了力电耦合的半解析 数值求解，并对最常见的固支和简支边界条件下功能梯度压电圆板的轴对称自 由振动问题和静载问题进行了分析。这种半解析数值方法的提出目的在于解决 单纯用状态空间法求解圆板问题时所遇到的变系数矩阵的问题，同时该方法的 运用也不会受边界条件的限制，具有通用性。 5 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 本章主要是利用位移甜，w 的f o u r i e r - b e s s e l 级数展开并根据这种级数的求 导定理将平衡方程转化为以位移形式表示的状态空间方程，对其进行求解。运 用该方法可以解决广义弹性简支边界条件哺2 1 下功能梯度压电圆板的轴对称自由 振动和静载问题。由于目前对于三维圆板问题的精确分析还很缺乏，所以该方 法所得到的圆板问题的三维精确解可以为其它求解三维圆板问题的近似或半解 析的方法提供正确性的评判标准，分析所得的结果也很好地反应了功能梯度压 电圆板中的一些规律性特征。 2 1 功能梯度压电圆板的轴对称自由振动问题三维精确解 2 1 1 问题的描述 在柱坐标系下，考虑一个半径和厚度分别为口和h 的横观各相同性功能梯度 压电材料圆板，如图2 1 所示。圆板周边广义弹性简支( 该边界条件最早由丁嘲 提出) 、接地。 ht 上 i l 口 、 口 。l r 71 ，r i 17 z 图2 1 圆板的几何尺寸与坐标 本论文所研究的功能梯度压电材料其性质沿板厚度方向连续变化，力学、 电学的平衡方程为 6 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 为 孥+誓+盟刊xzpt2竺20rrd t陇 誓+ 鲁+ 等= 荆窘 亿t ， 堡+ 堡+ 生：o o ro zr 对于自由振动问题，方程( 2 1 ) 中的右边取零。 假设z 轴为极化方向，则轴对称功能梯度横观各向同性压电体的本构方程 仃，= c l l ( z ) s ，+ q 2 ( z ) 占口+ c 1 3 ( z ) 占：一占3 l e ： = c 1 2 ( z ) 占，+ c l i ( z ) 岛+ c 1 3 ( z ) 占：一色l ( z ) e 仃：= c 1 3 ( z ) 占，+ c 1 3 ( z ) 占一+ c j 3 ( z ) 占：一毛3 ( z ) t f 厅= c 5 ，( z ) 厂厝一色5 ( z ) e q = 占i s ( z ) 厂璧+ 舀l l ( z ) e d ：= 占3 i ( z ) 占，+ 占3 l ( z ) 占口+ 色3 ( z ) s ：+ & 3 3 ( z ) e ： ( 2 2 ) 另外，问题所要满足几何方程为 占，：塑，岛：兰，f ，：丝，y 。：丝+ 丝，e ，：一丝，e ：一丝( 2 3 )q 5 石岛27 一：2 石2 瓦+ i 心，一言“：一言心_ )o rra za za z。a ro z 周边广义弹性简支、接地这一边界条件可以表示为 厂= a 处，w = 0 ，= 0 ，( c l i - c , 2 ) = + o r = 0 ( 2 4 ) 假设对于所研究的功能梯度压电材料的所有力学和电学材料常数沿厚度方 向按同一指数函数规律连续变化 一 七 k = k e a ( 2 5 ) 七可代表p ( 引，c t ( z ) ，c 3 ，乜) ，c - 2 ( z ) ，c - ，( z ) ，( k ( z ) ，c 酌( 引，占3 0 ) ，占3 3 ( z ) ，占l s ( z ) 以及口- 【z ) ，口，【z 。k 是相应的材料常数在z = 0 处的值，a 代表了材料的梯度变 化程度。指数函数形式的材料常数梯度分布假设，由于数学求解上比较简单， 且在一定程度上反映了功能梯度材料的特点，因此在功能梯度材料的力学研究 中被广泛采用。 7 一 翌圣! 型壁望堡垒曼型堡型三堡塑塑墅 _ _ - - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - - _ - - - _ _ _ _ ，- _ - _ _ _ - - _ ，_ _ 一一 一 一。 于是由方程( 2 1 ) ( 2 3 ) 可以得到问题需满足的以位移、电势表示的平衡 方程为 g ( 窘+ 吾雾一爿+ ( c 1 3 鹄s ) 塞巾一，裳崛s 窘 。2 6 ， 十昙( 警+ 已鲁托，警) = p 窘 氏( 害+ 吾刳托5 ( 等+ 吾警) + 心，+ 岛) ( 塞+ 吾刳 ) + g ，窘蝎，害+ 罢( c 。，石o u + c ，等心，老托，老) _ 芬 ( 害+ 吾刳喝。( 窘+ 吾刳吨，文袅+ 吾割 ) p e 3 3 窘一窘+ 吾一詈+ e 3 。- 兰- i - e 3 3 警一老- - l r ) = 。可川，蔷+ i 一石+ 一，西川，瓦j 刈 2 1 2 位移解状态空间方程的导出与求解 将位移、电势、应力、电位移形式设为 ”( ，z ，f ) ：万( ，z ) e l 纠，w ( r ，z ，f ) = 谚( ，z ) e 。耐，( ，z ，f ) = 歹( ，z ) e t u , 0 ，= 子，( ，z ) e 叫， o r o ：瓦( ，z ) e 妇，仃：= 孑：( r ，z ) e 妇，f 厅= t ( ，z ) e 触，d r = 西，( 厂，z 弦妇， 见= d z ( ，z ) e 埘 ( 2 9 ) 代入到位移、电势表示的平衡方程( 2 6 ) ( 2 8 ) 中，并进行无量纲化 z = z l h ，r = r a ，u 一= 万 ，旷= 谚j l l ，面= 3 口3 3 c j i ，巴= c ：f ，c ! l ， 毛= 口l ，a 3 3 ， 弓= c l l 口3 3 ， 元= 元c ， d 足二d ，c l l 口3 3 ， 一：厩，e reia而，瓦=e：3口33c,dz d e - e _ee4 6 r 3 3 c , l = ：c i i 口3 3 ， e i 口3 3 c l l ， z = ：。 l 可以得到 8 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 e 。f 祭+ i 1 鬃0 u 一旦r 2j b a 2 俺，也一h 引箍告喝等 + 兄障鬃等+ 瓦鲁o ui h 嗝鲁笋) = 划扩 瓦( 而0 2 w + 页10掀w-1j_h2坻i(0矛2-万+!堕肛仁，篆+去堕oz)1垒ar o r + c 5 5 c s 5 ij 万+ 页掀j 口f 托s i 觎：斗一一j 7 + 幅，丽瓦+ i l 二 + 己，等+ 己，等+ 西己，豢等+ 己，要事+ 己，瓦o w ：h + 毛，鲁扪= 一q 2 旷 一f ，a 2 旷 1o w h 2 一f ，a 2 面1 丽1h 2 ，- 一、i ra 2 扩 1a 扩1h i 石矿+ i 石ij 了一口t - l 面f + 页面j 了+ 忙s + e ， 丽+ i 瓦j ： 一a 2 形 一a 2 。f o uh 2一uh 2 一o wh a h1，、 托，矿叫，万瓦一a 2 + e 3 - i 7 托，瓦：川，瓦v - ：j - o 黼q = 砌石 将可( r ，z ) ，w ( r ，z ) ，面( r ，z ) 分别按照附录b 中的( b 4 ) 和( b 1 ) 式进行如 下f o u r i e r - b e s s e l 级数展开 盯( r ，z ) - z g ( z v ，( 群j 5 c ) n = l w ( r ，z ) = 冗( z ) 山( 砑尺) 面( 尺，z ) = 万。( z ) 厶( 雒尺) 一= i ( 2 1 0 ) 位移、电势按照( 2 1 0 ) 展开后自然满足式( 2 4 ) 的广义简支边界条件。 将( 2 1 0 ) 代入( 2 6 。) ( 2 8 。) 并利用附录b 中所介绍的f o u r i e r - b e s s e l 级数求导定理给出的关系式( b 8 ) 、( b i o ) 和( b 1 2 ) 可以分别得到如下关系式 9 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 喜 一己。咿7 h 2c 。( z ) 一( 互，+ 己，) 砑：h 百a w n ( z ) 一( 瓦。+ 瓦，) 砑：h 百0 0 ( z ) 喝学州也7 h 2 岬d 惦，垒a 地o z 吨群，7 h 2 m 俐 + q 2 玩( z ) ) l ( 群尺) = 0 ( 2 6 ) 善a o 一瓦似宁等死( z ) 一互，沁宁等或( z ) + e ，+ 瓦，御岩警 喝学嗝学州甜等驰婀，鲁警嗝尝警】 + f 1 2 或( z ) 乩( 砑r ) = 0 ( 2 7 ”) 羔n = l 一百，似咿7 h 2 眠n ( z ) + 蟊。似守等碱( z ) + 瓴，+ 毛，淤呜警+ 己，学 嗝警州稍等邢m ，：i , 百o w n ( z ) 氓考警m ( 枷) - o ( 2 8 ”) 由方程( 2 6 ”) 一( 2 8 ”) 可得状态空间方程 昙只= 和c ( 2 1 1 ) 她冲嘲嘲硇警，警，警 1叱化叱l 其中， a 。= ( 2 1 2 ) 谢= 善窄了h 2 一簧，蚶v 矿- 椰= b 以= 毒等掣兄，础= 一尝名 l o 0 o 协拍弱协的 口 口 口 0 0伽盯鲐伽酷 口 口 口 l 0 0似伽”“ 口 口 口 o 0 o”伽” 口 口 口 o o 0似鸵细鸵酡 口 口 口 o o 0伽引伽伽们 口 口 口 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 口笔 ) ：c i 3 ：+ 。c 5 5 c 5 5 ha l o ) ，口： 口 ，：堡璺 c 等蝌一 幽k - ( 繁等+ c 3 3 面l + 瓦5 瓦3 c 3 3 弼3 口2 = 0 ， h 2 ，3 1 ( o ) 兄， 口 j h 2 ( 、3 ( 0 ) ) 2 ， 方程( 2 1 1 ) 的解为 当z = 1 时有 鱼群，口辨 口 瓦3 q 2 石，瓣- - 2 口冀 一觜c秘a3 3 瓦3 + 硝口2 “ = 鬻c等3 3 瓦3 + 磁口”7 口饕：一鱼兄，口；：0 口 等蝌一毒 口器= ( 精一 c ( z ) = e 。c ( 0 ) c ( 1 ) = p c ( o ) g ，( 瓦5 + 弓3 ) 己，瓦，+ 瓦弦 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 在没有外加机械荷载且板的上下表面d ，= 0 的情况下，圆板上下表面边界 条件无量纲化后为 z = 0 ，k = 0 ，元= 0 ，d z = 0 z = 1 ，= 0 ，五= 0 ，d z = 0 根据问题所要满足的基本方程，由( 2 1 5 ) 可以得出 1 1 ( 2 1 5 ) 鬻 = ) o 让 口 m 。 忍一口等 擎鳓瓦一g 叠塌譬盔憾篆 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 删o z i z - o2 + 蔚e 5h , , t ! 。o 硼 剖_ 一墼c 3 3 瓦等3 3 铆a 印)记l z i o+ 磁 ”一 剖o z 瑚= 嚣c 3 纫a 耶， j z i o3 瓦3 + 硝 “一 划o z i z , 2 哟+ 垦c 鲫a 面。( 1 ) 割捌一鬻c 3 - 2 铆a 勋， a z l z i i 3 瓦3 + 9 3 3 “一 割o z 纠= 杀c 3 等鲫a 勋，b3 毛3 + 硝 ”一 联立( 2 1 4 ) 和( 2 1 6 ) 可以得到 b 。k 。= 0 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 其中，k 一= 甄( o ) 冗( o ) 或( o ) 玩( 1 ) 旷。( 1 ) 或( 1 ) 厂，现为6 x 6 矩阵，形 如 其中， 6 f ：，) 噬? 噬? 比? 鳍 略 6 譬 堙 磺 6 ； 6 ； 磴 搬 磴 磺 西； 磺 醒； 6 ：；f ，= i l + 口譬a ：l ，t 巧+ 口等a ll ，t 硒，6 譬= 霉2 力以以以 6 j = ) = 一口鞋a 万l ， 鱼群， 口 其中乃为6 x 6 矩阵p 中第i 行第列的元素。 板的自由振动频率方程为 1 2 0 1 0 碟 0 0 拶= i ，+ 口氍a 元lz h j ( o ) 一， 口 ( 2 1 8 ) o o l伽帖0 0 6 0 o o舛酣 6 6 亟憾聂 盔憾篆 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 d e t b 。= 0 ( 2 1 9 ) 群取零阶b e s s e l 函数山( 尺) = 0 的相应的第刀个零点，代入( 2 1 9 ) 求解出 圆板的各阶频率值。 2 1 3 算例及分析 算例l 、考虑一个周边为广义弹性简支边界条件下的功能梯度压电圆板，半 径和厚度分别为a ，h ，z = 0 处材料常数见表2 1 ，其他位置的材料常数取值服 从式( 2 5 ) 规律，计算当h i 口为0 1 、0 2 、0 3 、0 4 ，旯为0 、1 、2 、2 0 情况下 的圆板轴对称自由振动基频，结果见表2 2 。本文所采用的材料常数及边界条件 与文献嘞1 相同，因此可以将本文旯= 0 情况下各种厚度下板的自由振动频率结果 与文献呻1 ( 表2 3 ) 结果进行比较。 表2 1 材料常数5 2 1 弹性系数( g p a ) c nc 1 2c i 3c 3 3c 4 4 1 3 97 7 87 4 31 1 52 5 6 压电系数( c m 2 )介电系数( 1 0 一w m ) e 1 5e 3 10 3 3 ql i q3 3 1 2 75 21 5 16 4 65 6 2 表2 2 周边广义弹性简支情况下圆板轴对称自由振动基频砌厮 入= 0 = l入- - 2入= 2 0 h a = n 10 o l5 3 9 70 0 15 3 9 3o 0 1 5 3 8 l 0 0 1 4 0 0 8 h a = d 20 0 5 9 9 9 60 0 5 9 9 4 00 0 5 9 7 5 50 0 4 3 4 7 7 h a = d 3o 1 2 9 7 2 50 1 2 9 4 2 90 1 2 8 5 5 30 0 7 2 9 6 3 h a = d 4o 2 1 9 5 8 90 2 l8 6 2 2o 2 l5 9 9 0 o 0 9 9 6 6 4 表2 3 文献1 中的计算结果 h a o 1o 2 o 3d 彳 砒后面 o 0 1 5 40 0 6 0 00 1 2 9 70 2 1 9 5 由表2 2 可见在这种边界条件下，相同材料梯度分布形式，随着板厚增加， 轴对称自由振动的基频也增加。由表2 2 中，五= 0 情况下不同厚度板的振动频 1 3 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 率与表2 3 的计算结果相比较，可以看出本文的计算结果与其一致。 算例2 、考虑与算例l 相同的边界条件和材料性质的功能梯度压电圆板，计 算h a 为0 3 ，a 为0 、l 、2 、2 0 情况下前三阶频率结果见表2 4 。 表2 4 周边广义弹性简支，h l a = o 3 的功能梯度压电材料圆板前三阶频率砌刁百 入= 0 入= l入= 2 入= 2 0 n = l0 1 2 9 7 2 50 1 2 9 4 2 90 1 2 8 5 5 30 0 7 2 9 6 3 n = 20 5 5 0 8 4 70 5 4 9 5 2 00 5 4 5 6 0l0 3 2 6 3 5 6 n = 31 0 7 8 8 5 0 1 0 7 5 9 9 0 1 0 6 7 6 2 00 6 7 2 7 6 7 由表2 4 可见，对于同样厚度的板，自由振动频率则随着梯度变化幅度增大 而减小。由于五= l 、2 时材料性质变化幅度不大，故频率相差不明显，而从名= l 变化到五- - 2 0 ，则频率降低很多，并且这种趋势随着板厚度的增加而变得更加明 显。 2 2 功能梯度压电圆板静载问题的三维精确解 2 2 1 问题的描述 在柱坐标系下，考虑一个半径和厚度分别为a 和h 的功能梯度压电材料圆 板，如图2 2 所示。圆板四边广义弹性简支、接地，受表面荷载q t ( r ) ，q g r ) ，卯似 毋似，或表面电位移d ，纠，岛f = j 作用。 图2 2 圆板的几何尺寸、坐标及所受力电载荷 2 2 2 位移解状态空间方程的导出与求解 在这种情况下，平衡方程( 2 6 ) ( 2 8 ) 右侧等于零，于是可以按照( 2 9 ) 1 4 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 那样假设位移和电势的形式，进行( 2 1 0 ) 给出的f o u r i e r - b e s s e l 级数展开，并 利用与2 1 2 相同的推导过程得到问题所要求解的状态空间方程，其形式与 ( 2 1 3 ) 相同，只是状态方程的系数矩阵彳。中q = 0 。 对状态方程进行求解，同样得到解为 e ( z ) = p 扯c ( o ) ( 2 2 0 ) 当z = l 时有 只( 1 ) = p 只( o ) ( 2 2 1 ) 设圆板上下表面边界条件无量纲化后形式为 z = 0 ，亏泫= q l ( r ) ，死= q 2 ( 尺) ，d z = d l ( r ) z = l ，亏略= q 3 ( r ) ，五= 幺( r ) ，d z = d 2 ( r ) ( 2 2 2 ) 其中，磊( j f c ) ( f = 1 , 2 ，3 ，4 ) 和巨( r ) ( j = 1 , 2 ) 分别是图2 2 中荷载g ，( ，) ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 和4 ( ，) ( i = 1 , 2 ) 无量纲化后的形式。 ( 2 2 2 ) 中各个表面载荷可以分别按照附录b 进行f o u r i e r - b c s s e l 级数展开 磊( r ) = c 。以( 群天) ，磊( 足) = c 。：山( 群r ) 磊( r ) = c 。，以( 群r ) ，磊( r ) = c 。山( 砑尺) ( 2 2 3 ) n f f i ln l l 瓦( 足) = 巳，厶( j 6 c ) ， 打# l 厦( r ) = e c 拍d o ( 砑r ) 疗= l 其中，厶，( f = 1 , 3 ) 可以根据附录b 中的公式( b 5 ) 进行计算得出，( f = 2 , 4 ，5 ，6 ) 可以根据附录b 中的公式( b 2 ) 进行计算得出。 将( 2 2 3 ) 代入( 2 2 2 ) 并利用问题所需满足的基本方程可以得到 z - o = 孕c s s 唣群吣毫鲫a 面脚) 口 【，” 割z f 镑等一镑等7 h 21。oc 蚋 - 1 = = ：一：一一= 彳一，一hu 。i u ， a z l z 。o 3 3 西3 + 硝c 3 3 萌3 + 瑶口” 。 1 5 第2 章功能梯度压电圆板的三维精确解 剖z - o = 错c一鬻- - 2 垒a 牦 o 叫= = ：_ 一= ：_ 一一l l ，j a z 3 3 瓦3 + 瑶c 3 3 瓦3 + p 3 3 ”7 剖纠专+ 嘶毒砷， 割z * l = 鬻一紫鱼a 栀m h = = _ 一= 一九7 ui l - a z c 3 3 萌3 + 磊c 3 3 瓦3 + 磋 ”7 剖捌= 错c 3一觜铆a 勋) 亿2 4 ) 叫 2 = 一= 一 ：u i 厶厶鼍j 勉f z = l3 瓦3 + 硝g 3 瓦3 + 商 “ ”7 式( 2 2 1 ) 与式( 2 2 4 ) 联立可以得到c ( 0 ) ，进而将e ( 0 ) 代入方程( 2 2 0 ) 得出e ( z ) ，将所得的各阶c ( z ) 中的玩( z ) ，呒( z ) ，或( z ) 代入到式( 2 1 0 ) ， 得到无量纲化的位移，再通过基本方程给出整个板内部的力学场和电学场。 2 2 3 算例及分析 考虑一个周边广义弹性简支、接地的功能梯度压电圆形薄板 ( a = l m ，脚1 m ) 。z = 0 处的材料常数按照表2 1 取值，其他位置的材料常数取 值服从式( 2 5 ) 规律，取五种材料梯度变化系数分别进行计算： 旯= 【- 1 0 ，- 5 ，0 ，5 ，1 0 】。 下面分别计算两种载荷情况。 算例l 、机械荷载作用：上表面作用均布压力吼二l 1 0 9 n m 2 ，下表面自 由，上下表面无自由电荷。 图2 3 给出了在5 种材料梯度变化