（基础数学专业论文）广义imbq方程的半有界问题.pdf

摘要 本文主要研究一类广义i m b q 方程的半有界问题本文分四章；第一章为引言；第二 章研究广义i m b q 方程的初边值问题的局部解的存在惟一性；第三章通过积分估计证明第 二章所述问题的整体解的存在惟性；第四章用凸性引理讨论了所述问题的解的b l o w - u p 在第二章中，我们研究如下广义i m b q 方程的初边值问题 t 一t b n f 一= ，( ) z z( o 1 ) u ( 0 ，t ) = 0 ，( 0 2 ) ( z ，0 ) = t 幻( z ) ，撕( z ，0 ) = u 1 ( z ) ，( 0 3 ) 在空间日2 ( j 矿) n 硪( r + ) 中的局部解和整体解的存在性和惟一性其中n ( z ，t ) 为未知函 数，f ( 8 ) 为已知的非线性函数，咖( z ) 和u l ( z ) 为已知的初始函数下标t ，z 分别表示对 t ，z 求偏导数 为此，我们首先利用常微分方程中的有关结论把问题( o 1 ) ，( o 2 ) 转化为方程 “缸+ “+ ，( “) = p ( z ，t ) ， ( 0 4 ) 其中p ( z ，t ) = j fh ( x ，) 【u + ，( u ) 】( ，t ) d y 从而i l , q 题( o 1 ) 一( o 3 ) 等价于 t ( z ，t ) 2u 。( x ) c o st + u l ( z ) s i n t 一1 0s i n ( t r ) ，( u ( x , t ) ) d t + f o t s i n ( t r ) p ( x , r ) d r ， ( o 5 ) 然后利用压缩映射原理得到局部解的存在惟一性其主要结果如下； 定理1 假设u o ，u l h 2 ( r + ) n h d ( 矿) ，f ( 8 ) c 3 ( r + ) ，则问题( o 1 ) 一( o 3 ) 有惟一的局 部解u ( x ，t ) g ( 【o t o ) ，h 2 ( r + ) n 础( r + ) ) ，其中【0 ，t o ) 是解的最大存在区间进一步，若 s u p ( i m x ，圳h ：( 肘) + i h ( 。，t ) l l mc r + ) ) 0 ，使得对任意的u r ，有 ，( ) u 2 ( 2 a + 1 ) f ( u ) + 2 a u 2 ， ( 0 8 ) 若初值满足下列条件之一， ( 1 ) e ( 0 ) 0 ， ( 3 ) e ( o ) o ，( ( 一) 一 让l ，( 一) 一咖) + ( u l ，t 正0 ) e ( o ) 【( 一) 一u 。o i 。( 且+ ) + l i f o i l l 。( j p ) 】 则问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解u ( x ，t ) 在有限时间内发生b l o w - u p 关键词：广义i m b q 方程，初边值问题，f o u r i e r 正弦变换，局部解，整体解，爆破 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，玳s t u d yt h es e m i - b o u n dp r o b l e mf o rac l a s so f t h eg e n e r a l i z e di m b qe q u a t i o n t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r t h ef i r s t c h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r ， w ew i l ls t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el o c a ls o l u t i o nt ot h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rt h eg e n e r a l i z e di m b qe q u a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ew i l lp r o v et h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h eg l o b a ls o l u t i o nt ot h ep r o b l e mm e n t i o n e di nc h a p t e rt w ob yi n t e g r a le s t i m a t e s i nt h el a s tc h a p t e r ，w ew i l ld i s c u s st h eu n e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nt ot h ep r o b l e mm e n t i o n e di n c h a p t e rt w o i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h el o c a ls o l u t i o nt ot h e f o l l o w i n gi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h eg e n e r a l i z e di m b qe q u a t i o no nt h eh a l f - s p a c e h 2 ( r + ) n 嘲( 矿) u t t u z z t t 一一= ，( u ) ，( 0 i ) 牡( o t ) = 0 ， ( 0 2 ) ( z ，0 ) = t 幻( 。) ，t “( 。，0 ) = u l ( x ) ，( 0 3 ) w h e r eu ( z ，t ) d e n o t e st h eu n k n o w nf u n c t i o n ，( 8 ) i st h eg i v e nn o n l i n e a rf u n c t i o n ，“o ( z ) a n d u l ( x ) a r eg i v e ni n i t i a lv a l u ef u n c t i o n s ，a n dt h es u b s c r i p tt ，。i n d i c a t et h ep a r t i a ld e r i v a t i v ew i t h r e s p e c tt ot z f o rt h i sp u r p o s e ，w ef i r s tc o n v e r tt h ep r o b l e m ( o 1 ) ，( o 2 ) t ot h ef o l l o w i n ge q u a t i o n 地+ + ，( u ) = p ( z ，t ) ( o 4 ) w h e r e p ( z ，t ) = j f ( z ，) 【u + f ( u ) i ( y ，t ) d y s ot h ep r o b l e m ( 0 1 ) ，( o 2 ) a r ee q u i v a l e n tt ot h ee q u a t i o n “( 。，t ) = t 幻( z ) 。s t + u l ( z ) s i i l t t s i n ( t 一订，( ( z ，) d r + f o t s i n ( t r ) p ( z ，一d r ( 。5 ) t h e n ，u s i n gt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp i n c i p l e ，w ec a no b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o ft h el o c a ls o l u t i o n ，t h en 1 撕nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 a s s u i n et h a t 如，u 1 h 2 ( 矿) n 嘲( r + ) ，( s ) ( r + ) ，t h e nt h ep r o b l e m ( o 1 ) 一( o 3 ) h a sau n i q u el o c a ls o l u t i o nu ( x ，t ) g ( 【0 ，t o ) ，h 2 ( r + ) n 础( r + ) ) ，w h e r et o ，t o ) i sa m a x i m a lt i m ei n t e v a l m o r e o v e r ，i f s u p ( i l u ( x ，t ) i i h 2c r + ) + 0 撕( z ，删h 2 ( r + ) ) 0 ，s ot h a tf o ra l l “r ， f ( u ) us2 ( 2 0 + 1 ) f ( t ) + 2 a u 2 ( 0 8 ) t h e nt h es o l u t i o no ft h ep r o b l e m s ( o 1 ) 一( 0 3 ) b l o w s - u pi nf i n i t et i m ei fa n do n l yi fo n eo ft h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： ( 1 ) e ( 0 ) 0 ， ( 3 ) e ( o ) o ，( ( 一) 一“1 ，( 一z x ) 一t o ) + ( 1 ，蛳) 、e ( o ) ( 一) 一钍。0 2 ：( r + ) + i l 仳。0 2 。( 月+ ) 】 k e yw o r d s ：g e n e r i l i z e di m b qe q u a t i o n ，t h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，f o u r i e rs i n e t r a i l s f o r m ，l o c 以耐u t i o n ，g l o b a ls 0 1 i o n ，b l o w - u p 本文研究下列广义i m b q 方程 第一章引言 t 瓴一钍删一t 硝= ，( u ) z u ( 0 ，t ) = 0 ， ( 1 2 ) ( 霉，0 ) = ：t 1 0 ( z ) ，t “( z ，0 ) = “l ( z ) ，( 1 3 ) 在空间日2 ( j 矿) n 础( r + ) 中的局部解和整体解的存在性和惟一性其中u ( x ，t ) 为未知函 数，f ( s ) 为已知的非线性函数，咖( z ) 和u l ( x ) 为已知的初始函数下标t ，z 分别表示对 t ，z 求偏导数 j b o u s s i n e s q 在1 8 7 2 年描述浅水波方程时提出方程( 又叫b q 方程) “= 牡托+ ( u 2 ) 。+ l l a e 黝z ，( 1 4 ) 对于b q 方程和它的广义方程的初边值问题已有大量研究【1 , 2 ，3 ，4 ，5 】- 改进的b q 方程( 又 叫i b q 方程) u t t t l 一2 z “= ( 2 ) ：，( 1 5 ) 修正的i b q 方程( 又叫i m b q 方程) 【6 】 u t t 一“$ $ 一t b z 托= ( “3 ) ，( 1 6 ) 对于i b q 方程， i m b q 方程和它们的广义方程也已经有很多结果f 6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 1 例如，王书 彬，陈国旺在文献 8 】中证明了广义i m b q 方程在一维有界区域的整体解的存在性与非存 在性王书彬，陈国旺在文献【9 】中对方程( 1 1 ) 在空间w 8 , ，( 舻) 中的c a u c h y 问题进行了 研究然而，对于方程( 1 1 ) 在半空间中解的情况，却鲜有人研究 本文将讨论( 1 1 ) 一( 1 3 ) 在半空间中解的情况第二章利用压缩映射原理证明了问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的局部解的存在性惟一性，第三章通过积分估计证明问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的整体解的 惟性，第四章用凸性引理讨论了问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 解发生b l o w - u p 的条件 文中将用到如下记号和结论：三p ( 矿) ( 1sps 。) 表示所有定义在1 0 ，o o ) 上可积 函数空间，h 2 ( r 。) 表示1 0 ，o o ) 上的s o b o l e v 空间”0 加( 砂) ( 1 p ) 和0 日。( 肘) 分 别表示空间口( j 矿) 和h 2 ( 兄+ ) 的范数 引理1 , 1 ( n i r e n b e r g si n e q u a l i t y ) 1 2 】假设u 口，d ”u 口，1sp ，q o 。则对vi ( 0 i m ) ，有 i i d u l i l r c l l u l l ：；“i i d ”训l 舀 其中；1 = ( 1 一鬲i ，；1 + 鬲ii l ，c 1 是与u 无关的常数 引理1 2 1 3 】假设u w 8 p a l 。，( u ) 有到8 1 阶的连续导数则s ( u ) 一f ( o ) w ”， 且 i i f ( u ) 一( o ) i i l - i i ( u ) i i l 一b ， 1 1 9 f ( u ) l l l ，c o ( 1 i ，9 ( “) i i l 一0 “0 ：) l i d 训i l ，( 1 k 8 ) ， g = l 其中c o 1 是一常数 引理1 3 ( m i n k o w s k i si n e q u a l i t yf o ri n t e g r a l s ) 1 4 若1 p o o ，对几乎处处的t ，有 u ( x ，t ) 妒( 舻) ，且函数t i l u ( ，t ) l l l ，l 1 ( n 则 l l z “( ，t ) d t o p z 肌( ，圳i 工p d t 其中j c1 0 ，+ o o ) 是一区间 2 第二章问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的局部解的存在性惟一性 本章将利用压缩映射原理证明问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的局部解的存在性和惟性首先我们 将问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 转化为积分方程为此，我们给出几个有关常微分方程的结论 引理2 1 对v ，l 2 ( 驴) ，问题 i ( + o 。) = 0 ，十 v ( z ，t ) = h ( z ，y ) f ( y ，t ) d y j 0 其中 m ： 8 “越咖棚如， le - - f s i n h x ，y z 证明；方程”一t k 一，等价于 扣+ t ，) 一扣+ t ，) 7 = ， 两边同乘以e ，化街得 ( e ”扣+ ，) ) 7 = 一e - - z ， 上式两边从z 到+ o o 积分，有 f 。( e _ 洳删灿一+ o o e - s ，d s 即 ，十o o e - x ( 口+ ) = e 一8 ，d 8 ， d 两边同乘以e 2 ，化简得 e x 口) = 产+ o o e - s ，如， 上式两边从0 到z 积分，有 尿m 妒fe 卸z + 。e - s f d s d y ， 3 ( 2 1 ) = = 州 ，i解 一 惟有 匕 0础n0 rh 在 即 两边同乘以e 。有 变换积分次序 矿m = l ：乒+ o o e - 8 f d s d y ”fe 卸f 。e 1 纳由 1 f o xf o se 2 u e - s f ( 如) d y d s + e 1f x + 。0f e v 懈s ) a y d s = f o ze - z 竿，s ) d s + f 。e q 亏竺，( t ，s ) 如 ，+ o o = 危( 。，y ) ( t ，g ) d y j 0 引理2 1 证毕 引理2 2 对函数v ( x ，t ) = 口o o ( z ，y ) y ( u ，t ) d y 日2 ( r + ) f 3 嘲( j 矿) ，有 ( 1 ) l 昏( r + ) + 0 如 幢。( 酣) = 1 2 。( 附) ， ( 2 1 砌s u p + i o z 。i 以2 3 - 1 1 l 。( 肘) 证明；( 1 ) 因为。是方程”一巩。”= ，的解，所以有 j ( 。( v 2 - 2 v 妇啪州2 ) 如= 0 0 。舳， z z ”蛾”出一z f ( 酬2 如 结合上面两式，有 z ”( v 2 + 2 ( 训2 懈州2 ) 如= o ”，2 如， 即 詹：( 耐) + 0 如”0 2 。( 肿) = i 1 1 2 。( 胪) f 2 1 利用c a u c h y 不等式和( 2 2 ) 式，有 f zr t ( 魄。( z ) ) 2 一( 如”( o ) ) 22 上( ( 如”( z ) ) 2 ) d z = 2 j 0 如”如z 以zj 0 n v l l ；, 。( 肘) i 1 1 2 t ( 酣) 4 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 在等式口( 奶) = 矿h ( x ，y ) ( v ，t ) d y 两边对z 求导，得 故 如出) = 如( f e ls i n h 洲州) 咖+ o o e - y s i n h x ( 引) 咖) 一一2 s i n h z ，。，t ) 一e 。z 0 zs i n h g ，( ”，t ) 妇 利用h 6 1 d e r 不等式 一e 一2 s i n h z ，( 。，t ) + c o s h z ，0 0 e 一。，( y , t ) d v ，z = 一e f o z s i n h y f ( ，) 匆+ 。0 s h z o o e - y ，( 玑t ) 匆 如”( o ) = z 。e 1 ，( 弘f ) 妇 ， 协。o f = l 上8 一”，( 口，) 咖f o e 一9 i i l ：( 渺) l l z ( 耐) = - 去l l f l l 工z ( 刀+ ) 故知对任意的z 冗+ ，有 绥妒；i f i l l 2 ( r + ) ， 耶 。s 。u 叶pi o 。叫s 艉职晰z r + tz 、一 引理2 2 证毕 引理2 3 对任意的i 口o o ，函数危( z ，) 满足厅 ，) l q ( r + ) ，且0 ( z ，) 怯f 尉) ： 1 e 一2 证明：直接计算。有 ，淝州) = z 。! ，) = z 。( e - x s i n h 妒匆+ z ”( e 。跳。 矿弘f ( 竺亏翌+ ( 蛐妒o o e 一咖 s 2 叫e 一归f o z e 鲫由+ ( s i 血z ) 。o o e - q y 勘 = - 2 q q 一1 ( 1 一e 一驴) + 2 4 9 一1 ( 1 一e 一知) 9 s 2 4 9 一1 ( 2 一e - - q i f ：) 0 ，s 是k ( m ，印上的压缩映射 引理2 4 假设u o ，“1 日2 ( r + ) n 础( 矿) ，f ( 8 ) c 3 ( j 矿) ，则当t 适当小时， s ： k ( m ，t ) k ( m ，t ) 是压缩映射 证明t 假设u ( z ，t ) k ( m ，t ) ，定义函数，；【0 + o 。) + 【0 ，+ ) ， 冗q ) = 珊觚 i ，( 8 ) l ，l ，”( 8 ) l ，li l l ( 8 ) i ) ， v 町 0 i s i 目 显然，( q ) 在【o ，+ o 。) 上是连续且非减的 由引理1 2 ，推得 i i f c u ) 1 1 ：( 肘) = l l f ( “) l l n ：( 酣) + 1 1 0 z f ( = ) l l n ：( r + ) + i i o f ( u ) l l l z ( r + ) - i l l 7 ( u ) i i l 一( r + ) i i “i i l 。( 肘) + i l l ( “) 0 p ( 肘) 0 以训i 庐( 肘) + c o ( i l l ( u ) i i l 一( r + ) 1 1 0 z = i i l ：( 肘) + 0 ，”( ) l | p ( 斛) i p ( 肘) 0 8 ”u 0 l 。( 肘) ) 冗m + 1 ) ( 1 l u l l l 。( 肘) + i i o u l i l ：( r + ) + 岛0 良“她( 肘) + c o ( m + 1 ) l | 如z u 怯( r + ) ) 2 c o ( m 十1 ) ( 肘。+ 1 ) 1 1 1 1 ：( 牙) ( 2 9 ) 利用( 2 2 ) ，( 2 6 ) 和引理1 2 ，可得 0 p 0 h 2 ( j p ) i l u + s ( u ) i i l 。( f 冲) b ( 肘) + 0 ，( u ) 怯( 肘) i i i i l 。( f 冲) + i l ，( u ) 0 l ( r + ) i i “l i 口( f 冲) ( f ( m + 1 ) + 1 ) 0 “0 王r 2 ( 牙。) ( 2 1 0 ) 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 和利用引理1 3 ，得 i i s u 。，t ) l l x ( t ) - l i f o ( z ) 8 圳x ( 力+ 1 ( z ) s i n t x ( + o rs i i l 一r ) ，( 扛，r ) ) d r x ( ，t + j i s i n ( t r ) p ( z ，r ) d r l l x ( r ) ， j o m + ( m + 1 ) 3 c o ( m + 1 ) f ( m + 1 ) + 1 】t 取 t 冬面干斫瓦孺 可顶下丽习，( 2 1 1 ) 7 则得i i s = ( x ，t ) l l x ( nsm + 1 因此，s ( k ( m ，t ) ) k ( 埘j 丁) 下面证明，当t 充分小时，s 是k ( m ，t ) 上的压缩映射设u l ，u 2 k ( m ，t ) ，则 e t 5 k 1 一s u 2 = 一s i n ( t r ) f ( u l ( x ，r ) ) 一，( “2 ( 毛r ) ) 】d 7 - + fs i n ( t f ) 1 ( 霉，t ) 一p 2 0 ，r ) 1 打， ( 2 1 2 ) 其中p i ( x ，t ) = j 。 0 ，y ) m + f ( u d l ( y ，t ) d y ， i = 1 ，2 由微分中值定理，有 ，( t 1 1 ) 一，( 2 ) = ，( “2 + 0 1 ( 1 一t 2 ) ) ( “1 一u 2 ) ， 以( ，( u 1 ) 一，( “2 ) ) = ，7 ( u 1 ) ( 如l o u 2 ) + ，”( - s4 - 0 2 ( m 一抛) ) ( “1 一2 ) 如地， 以。( ，1 ) 一，托2 ) ) = f i l l ( t 2 + 如( t 1 一u s ) ) 扣1 一“2 ) ( 如u 2 ) 2 + ，”1 ) ( ( 如“1 ) 2 一( 巩2 ) 2 ) + ，”( 抛+ 0 4 ( u l u 2 ) ) ( 钍l 一2 ) 如。u 2 + ，( u 1 ) ( 如2 钍1 一如z t 2 ) 其中0 巩 0 ，方程( 2 8 ) 在x ( t 7 ) 上至多有一解 事实上，设u 1 ( z ，t ) ，啦( z ，t ) x ( r ) 是方程( 2 8 ) 的两个解，则 ，t t l ( 毛t ) 一u 2 ( x ，t ) = 一fs i n ( t t ) f ( u l ( x ，7 - ) ) 一f ( u 2 ( x ，r ) ) 】d r j 0 ，t + s i n ( t r ) 【p l ( 1 - ) 一p 2 ( 马r ) 】打 ( 2 1 7 ) j 0 由空间x ( r ) 的定义和s o b o l e v 嵌入定理，我们可以假定 0 u 10 p ( 肘) sc i ( t ) ，0 u 2 l l p ( 肘) a ( r ) 其中c i ( t ) 是仅依赖于r 的常数这样，由引理1 3 ，引理2 2 和式子( 2 1 7 ) 可得 o u l 一“2 l | h 2 ( 肘) j o o t o p l p 2 i i h ：( 肘) 打 0 u 1 一乱2 l | ( 肘) u 1 ) 一，( u 2h 2 ( 耐) d + 0 p l p 2 i i h 2 ( 肘) 打 o i l l ( u ) 一，( “。) 怕。( 凡+ ) 打+ r 陋一t 2 + ，( u - ) 一，( “2 ) l l 矾肘) d r ，f q ( r ) 上o u l 一“2 f h ：( 卅) 打， 其中c 2 ( t ) 是仅依赖于c i ( t ) 的常数 由g r o n w a l l 不等式可得，i l l u 2 0 h 2 ( 肘) = 0n e ，即方程( 2 8 ) 在x ( r ) 上至多有一解 其次，设【0 ，t o ) 是问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 解的最大存在区间，我 f i r 须证明若( 2 1 6 ) 成立， 则t o = o o 假设( 2 1 6 ) 成立，且t o o 。，对v t 【0 ，t o ) ，考虑下面积分方程 口( z ，t ) = “( z ，t ) c o s t + u t ( z ，r ) s i n t - 上8 n ( 。一r ) m ( z ，。) 渺 + s i n ( t f ) p ( z ，t ) d r , ( 2 1 8 ) 由( 2 1 6 ) 知， 0 “( ，t ) l l h ：( 月+ ) + i l 毗( ，t ) i i h 。( 且+ ) 关于r 【o t o ) 是一致有界的，这样我 们可以选择t + 0 ，t o ) ，对每一个r 【o ，t o ) ，方程( 2 1 7 ) 有惟一解v ( z ，t ) x ( t + ) ，根据 引理2 4 和压缩映射原理，这样的t + 是存在的( 2 1 1 ) 和( 2 1 5 ) 又说明t + 是不依赖于 r 【o ，t o ) 的，设t ，- t o 一孚，记v ( x ，t ) 是方程( 2 1 7 ) 的解 定义 m ，归k 竺一篇i t t o 麓 i ( z ，t r ) ， z ， + 手】 1 0 由构造，豇( z ，t ) 是问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 在i o ，t o + 譬】上的解根据局部解的惟性。豇是“的 延拓，这与【o ，t o ) 是解的最大存在区间矛盾故t o = 0 3 定理2 1 证毕 第三章问题( i i ) 一( 1 3 ) 整体解的存在性惟一性 在这一章，我们将证明问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的整体解的存在性惟一性为此，先给出一些 预备知识 定义设歹l 1 t o ，0 0 ，则，的f o u r i e r 正弦变抉和f o u r i e r 余弦变换如下定义： ， 只【，】( ) = ，( ) s i n x d x ，f c 【，1 ( ) = ，( z ) c o s x d x ，f 【0 ，o o ) j o- 0 对v ，( z ) l 1 【o 。) ，分别对( x ) 作奇延拓和偶延拓如下一 r 。 加( 加 i ( x ) 畎 【一，( 一茹) ，一o o z 0 k ： “习0 锄细 【，( 一z ) ，一o 。sz s 0 则，d d d 是奇函数，丘。是偶函数，且知d ，厶。l 2 ( 一o 。，+ o 。) 下面证明成立反演公式 9 f o o or o o ，( z ) 2 ；上只【，】( ) s i n z 2 ；上足【，1 ( ) 。m 。磷 事实上，利用f o u r i e r 变换和函数的奇偶性，有 ，十0 0 f 【厶翻( ) = d ( z ) e 1 d x ：，悯( 。) ( c 0 8 扛- i s i n z ) 出 ，一 = 一就厂( z ) s i n 和d ：r = 一新z + ”，( z ) s i n z d x = ；磊【，】( ) ， 对上式作f o u r i e r 逆变换，利用函数的奇偶性，有 妇= f - 1 f 】一熹上和碰f m 灿缸d a = 一l 。f r ( c o s y + i s i n f ) d j ( 。，( z ) s i n z 出 ：；i ”s i 。钿武i 。m ) s i n 和d x 7 rj o j o = ；z 。叫心) s i n 淞 1 2 故 m ) = ；f 蹦) s 洫锹 同理 m ) = ；j ( ”蹦他) c o s 锹 以下为了方便，记五( ) = 引，】( ) ，五( ) = 疋【，】( ) 引理3 1 五和五把l 2 【o ( 3 0 ) 映入l 2 o ，o o ) ，且满足 ic 1 i 2 。( r + ) = 0 五眭。( 酣) = i l l 2 。( r + ) 证明；对v ，( z ) 【o ，o o ) ，设如d d 是( x ) 的奇延拓，则d 是奇函数，且d 三2 ( 一，+ ) ，所以，有 f 【知胡( f ) = ；五( f ) ， 利用上式，有 腓川2 z ( 叫= fj ；f k 炉式 = ；e l f i 圳钏2 ：；佃1 t o 甜( 。) 1 2 如 2 i 上o 。 l 。j l “。 ：要j 佃i 加( 刮。如2 io l j 删l 纠i “ = 矽7 r 川2 驴( 舻) 同理，有l l 五睡。( r + ) = f 。2 ：( 叶) 引理3 1 证毕 引理3 2 假设，g 驴( j 寸) ，则 ( 五，蟊) = ( 五，蟊) = ；( ， 夕) 证明：因为，g l 2 ( r + ) ，利用引理3 1 ，有 i i 五+ 蟊0 玉( 舻) = 互u ，十g i l 2 l 2 ( 肘) ， 把上式展开，有 i i l i i 弘( r + ) + 2 ( 五，蠡) + i i 蠡0 2 。( j 廿) = ；( 1 i ，| 1 2 。( 牙+ ) + 2 ( ，g ) + i l g l l 2 ：( 疗r ) ) 1 冀 再利用引理3 1 ，有 ( 五，蠡) = 昙( ，9 ) 同理，有 ( 五，疵) = 昙( ，9 ) 引理3 2 证毕 引理3 3 设，( 动瑶( j 矿) n h j ( r + ) ，则 只【厶。】( ) = 一f 2 b i 烈f ) 证明；直接计算，有 e 忱。】( f ) = z n ( x ) s i n 0 ：d x j 0 ，o o = 厶 ) s i n xi 铲一厶( x ) d s i n f x j 0 ， = 一f 上厶( z ) c 0 8 z 如 = 一f ( ，( z ) c o s zi 铲一，( $ ) d c o s f z ) j 0 ， = 一2 ，( z ) s i n x d x j 0 = 一2 b 【，】( f ) 引理3 3 证毕 引理3 4 假设，( ) e ( 且+ ) ，f ( = f 2 0f o ) d 5 ，( 一) 一j 1 1 l 2 ( 月+ ) ，u o ，“1 三2 ( 2 + ) 和 f ( u o ) l 1 ( j 矿) ，则问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解有等式 e ( t ) = i i ( 一) 一t “o 石( f 计) + i i 毗。各( 牙- ) + o u l i 刍( p r ) + 2 o 。f ( ) d x = e ( o ) ， ( 3 1 ) 其中( 一) 一 ( z ) = f s - 1 i x 一1 b t ( 硼，耳1 和e 分别表示f o u r i e r 正弦逆变换和f o u r i e r 正 弦变换 证明t 利用引理3 3 ，在方程( 1 1 ) 两边作f o u r i e r 正弦变换，有 锄+ f 2 钆+ f 2 砬+ 2 ， ) 一0 ， 两边同除以2 ，有 西1 矗t t + 砬“+ 也+ 两：0 ， 1 4 上式两边分别与血作内积，有 瓦d i | | 乏1 锄l i 玉( r + ) + i 幢